Übung.

Sei $n\in \mathbb{N}$ und seien $v_1,\dots ,v_n$ Elemente eines komplexen Vektorraums $V$. Finden Sie einen vereinfachten Ausdruck für die Doppelsumme

Übung (Formale Definition des Polynomrings).

Das Ziel dieser Aufgabe ist, den Ring der Polynome über einem beliebigen Körper formal zu definieren. Im Folgenden ist $𝕂$ ein beliebiger Körper und $𝕂\left[X\right]$ bezeichnet die Teilmenge der schliesslich verschwindenden Funktionen in ${\mathbb{N}}_0\to 𝕂$, das heisst,

Des Weiteren definieren wir Operationen $+$ und $\cdot$ auf $𝕂\left[X\right]$ durch

für alle $n\in {\mathbb{N}}_0$ und $f,g\in 𝕂\left[X\right]$.

(i)

Zeigen Sie, dass $𝕂\left[X\right]$ mit den oben definierten Operationen einen kommutativen Ring bildet.

(ii)

Wir fassen $𝕂$ als eine Teilmenge von $𝕂\left[X\right]$ auf, indem wir $a\in 𝕂$ mit der Funktion $n\in {\mathbb{N}}_0\mapsto a{𝟙}_{\left\{0\right\}}\left(n\right)$ identifizieren. Zeigen Sie, dass $0\in 𝕂$ eine Null und $1\in 𝕂$ eine Eins des Ringes $𝕂\left[X\right]$ ist.

(iii)

Für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$ sei $X^k\in 𝕂\left[X\right]$ die Abbildung gegeben durch

$$X^k\left(n\right)=\{\begin{array}{cc}1\hfill & \text{falls }n=k\hfill \\ 0\hfill & \text{sonst}\hfill \end{array}$$

für alle $n\in {\mathbb{N}}_0$. Zeigen Sie, dass sich jedes Element $f\in 𝕂\left[X\right]$ als eindeutig bestimmten Ausdruck der Form

$$\begin{array}{lll}\hfill f=\sum _{n=0}^N{a}_n{X}^n& & \hfill \end{array}$$

für ein $N\in \mathbb{N}$ und Zahlen $a_0,\dots ,a_n\in 𝕂$ mit $a_N\ne 0$ schreiben lässt.

(iv)

Vergleichen Sie die obigen Definitionen zur Definition des Polynomrings in Definition 3.13.

Übung (Ein Körper mit neun Elementen).

Wir möchten in dieser Übung einen Körper mit neun Elementen konstruieren und folgen dabei der Bemerkung am Ende von Abschnitt 3.2.2.

(i)

Zeigen Sie, dass das Polynom $f\left(x\right)=x^2+x+2$ über dem Körper ${𝔽}_3$ keine Nullstelle besitzt.

Wir betrachten nun den Polynomring ${𝔽}_3\left[x\right]$ und die Relation $g_1\sim g_2\iff f\text{ teilt }(g_1-g_2)$.

(ii)

Zeigen Sie, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist. Sei $𝕂={𝔽}_3\left[x\right]∕\sim$ der dazugehörige Quotientenraum.

(iii)

Zeigen Sie, dass die Operationen $$\begin{array}{lll}\hfill {\left[g_1\right]}_{\sim }+{\left[g_2\right]}_{\sim }={[g_1+g_2]}_{\sim }& & \hfill \\ \hfill {\left[g_1\right]}_{\sim }\cdot {\left[g_2\right]}_{\sim }={[g_1\cdot g_2]}_{\sim }& & \hfill \end{array}$$

wohldefiniert sind und aus $𝕂$ einen Körper mit neun Elementen machen.

Übung (Zwei Identitäten für Binomialkoeffizienten).

Seien $k,n\in {\mathbb{N}}_0$ mit $1\le k\le n$. Zeigen Sie die Identitäten

Übung (Nicomachus Theorem).

In Proposition 3.32 haben wr die Summe ${\sum }_{k=1}^n{k}^d$ für $d\in {\mathbb{N}}_0$ und $n\in \mathbb{N}$ als Werte eines Polynoms vom Grad $d+1$ mit Leitkoeffizient $\frac{1}{d+1}$ ausgedrückt. In der Tat existiert für alle Koeffizienten eine Formel – Faulhaber’s Formel – in Termen der sogenannten Bernoulli-Zahlen. Wir verzichten hier auf diese und beweisen einen Spezialfall – Nicomachus Theorem. Dieses besagt, dass für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt

Beweisen Sie Nicomachus Theorem, indem Sie Abel-Summation wie in Übung 3.3 anwenden.

Übung ($ℝ$-wertige Funktionen auf einer Zweipunktmenge).

Sei $D$ eine Menge bestehend aus $2$ Elementen. Zeigen Sie, dass es einen Isomorphismus von Vektorräumen $F\left(D\right)\cong {ℝ}^2$ gibt. Induzieren Sie durch diese Bijektion eine Ordnung auf ${ℝ}^2$ und beschreiben Sie diese (beispielsweise duch Beschreibung welche Elemente grösser als $(0,0)$ und welche kleiner als $(0,0)$ sind).

Übung (Dimension von $F\left(D\right)$).

Sei $D$ eine nicht-leere Menge. Zeigen Sie, dass $F\left(D\right)$ genau dann endlich-dimensional ist, wenn $D$ endlich ist und dass in diesem Fall die Dimension gerade $\left|D\right|$ ist.

Übung (Eigenschaften komplexwertiger Funktionen).

Sei $D\subseteq ℂ$ eine nicht-leere Teilmenge.

(i)

Definieren Sie den Begriff der Stetigkeit (in einem Punkt in $D$) für Funktionen $D\to ℂ$.

(ii)

Zeigen Sie, dass eine Funktion $f:D\to ℂ$ genau dann in $x_0\in D$ stetig ist, wenn die Funktionen $\mathrm{Re}\left(f\right):D\to ℝ,x\mapsto \mathrm{Re}\left(f\right(x\left)\right)$ und $\mathrm{Im}\left(f\right):D\to ℝ,x\mapsto \mathrm{Im}\left(f\right(x\left)\right)$ in $x_0$ stetig sind.

(iii)

Formulieren Sie das Analogon von Proposition 3.50 für komplexwertige Funktionen und beweisen Sie es (zum Beispiel unter Verwendung von (ii) oder direkt).

(iv)

Formulieren und beweisen Sie Proposition 3.52 für komplexwertige Funktionen.

Übung (Formalisierung der Nicht-Stetigkeit).

Sei $I\subseteq ℝ$ ein Intervall und $f:I\to ℝ$ eine Funktion. Drücken Sie die Aussagen „$f$ ist nicht stetig“ und „ $f$ ist nicht stetig bei einem Punkt $x_0\in I$“ in Prädikatenlogik aus. Zeigen Sie damit, dass die Funktion

aus dem Teilabschnitt 3.4.2 nicht stetig ist.

Übung (Lineare Abschätzung bei $x_0$).

Sei $I\subseteq ℝ$ ein Intervall und $f:I\to ℝ$ eine Funktion. Angenommen es existiert zu $x_0\in I$ eine Konstante $L_{x_0}\ge 0$, so dass für alle $x\in I$ gilt $\left|f\right(x)-f(x_0\left)\right|\le L_{x_0}|x-x_0|$. Zeigen Sie, dass $f$ stetig bei $x_0$ ist.

Übung.

Sei $D\subseteq ℝ$ eine Teilmenge und seien $f_1,f_2\in C\left(D\right)$. Zeigen Sie, dass dann auch die Funktionen

stetig sind.

Übung (Kompakter Träger).

Wir sagen, dass eine Funktion $f:ℝ\to ℝ$ einen kompakten Träger hat, falls ein $M>0$ existiert mit $f\left(x\right)=0$ für alle $x\in ℝ$ mit $\left|x\right|>M$. Sei nun $f:ℝ\to ℝ$ eine stetige Funktion mit kompaktem Träger. Zeigen Sie, dass $f$ gleichmässig stetig und beschränkt ist.

Übung (Offene und abgeschlossene Intervalle).

In dieser Übung möchten wir zeigen, dass sich das offene $(0,1)$ Intervall vom abgeschlossenen $[0,1]$ Intervall zwar von der Kardinalität her nicht unterscheiden, aber von der Ordnung her sehr wohl.

(i)

Finden Sie eine Bijektion $f:[0,1]\to (0,1)$.

(ii)

Zeigen Sie, dass keine stetige, bijektive Abbildung $[0,1]\to (0,1)$ existieren kann.

Übung.

Zeigen Sie, dass die Abbildung $x\in ℝ\mapsto x^7+x^5+x^3+x\in ℝ$ bijektiv ist (ohne zu versuchen, eine Formel für die inverse Abbildung anzugeben).

Übung.

Beweisen Sie Satz 3.69 und Korollar 3.71 mit Hilfe des Intervallschachtelungsprinzips in Satz 2.77.

Übung 3.81 (Challenge: „Fast überall“ Stetigkeit von monotonen Funktionen).

In dieser Übung möchten wir zeigen, dass es zu einer monotonen Funktion $f$ auf einem Intervall $[a,b]$ mit $a<b$ höchstens abzählbar viele Punkte geben kann, bei denen $f$ nicht stetig ist (sogenannte Unstetigkeitsstellen). Gehen Sie dazu wie folgt vor: Sei $A\subseteq [a,b]$ die Menge der Unstetigkeitsstellen von $f$.

(i)

Sei $x\in A$. Wir setzen $$\begin{array}{lll}\hfill f_{-}\left(x\right)=\sup \left\{f\left(x^{\prime }\right)\mid x^{\prime }\in [a,b],x^{\prime }<x\right\},f_{+}\left(x\right)=\inf \left\{f\left(x^{\prime }\right)\mid x^{\prime }\in [a,b],x^{\prime }>x\right\}.& & \hfill \end{array}$$

Zeigen Sie, dass $f_{-}\left(x\right)<f_{+}\left(x\right)$. Wählen Sie anschliessend eine rationale Zahl $g\left(x\right)$ in $\left(f_{-}\right(x),f_{+}(x\left)\right)$. (Wir nehmen hier an, dass wir beliebig oft eine Wahl treffen können.)

(ii)

Zeigen Sie, dass $g:x\in A\mapsto g\left(x\right)\in \mathbb{Q}$ injektiv ist und schliessen Sie auf die Aussage.