Der Satz über die Umkehrabbildung – Analysis I (Kap. 1-9)

3.7 Der Satz über die Umkehrabbildung

In diesem Teilabschnitt wollen wir nun zeigen, dass jede stetige, streng monotone Abbildung eine inverse Abbildung (mit denselben schönen Eigenschaften) besitzt.

Satz 3.64 (Umkehrsatz).

Sei $I$ ein Intervall und $f : I \to ℝ$ eine stetige, streng monotone Funktion. Dann ist $f (I) \subseteq ℝ$ wieder ein Intervall und die Abbildung $f : I \to f (I)$ hat eine stetige, streng monotone inverse Abbildung $f^{- 1} : f (I) \to I$ . Falls $I = [a, b]$ für reelle Zahlen $a < b$ , dann gilt des Weiteren, dass $f (I)$ die Endpunkte $f (a)$ und $f (b)$ hat.

Tatsächlich ist $f^{- 1}$ streng monoton wachsend (respektive streng monoton fallend), wenn $f$ streng monoton wachsend (respektive streng monoton fallend) ist. Dies folgt unmittelbar aus der Existenz der inversen Funktion und den Definitionen, siehe auch den Beweis weiter unten. Bevor wir uns dem Beweis zuwenden, wollen wir eine Anwendung dieses Satzes betrachten.

Beispiel 3.65 (Existenz von Wurzeln höherer Ordnung).

Sei $n \in ℕ$ . Dann ist die Funktion $x \in [0, \infty) \mapsto x^{n} \in [0, \infty)$ streng monoton wachsend und surjektiv. Um Surjektivität zu sehen betrachten wir ein beliebiges $c \in [0, \infty)$ . Nach der Bernoullischen Ungleichung (Lemma 3.5) gilt ${(c + 1)}^{n} > n c \geq c$ , womit $c$ zwischen $0 = 0^{n}$ und ${(c + 1)}^{n}$ liegt. Aus dem Zwischenwertsatz (Satz 3.58) folgt nun, dass es ein $x$ zwischen $0$ und $c + 1$ gibt, für das $x^{n} = c$ ist.

Nach dem Umkehrsatz (Satz 3.64) existiert eine stetige, streng monoton wachsende Umkehrabbildung

\begin{array}{l} x \in [0, \infty) \mapsto \sqrt[n]{x} \in [0, \infty), \end{array}

die die n-te Wurzel genannt wird. Des Weiteren definieren wir für $x \in [0, \infty)$ und $m, n \in ℕ$

\begin{array}{l} x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}} \end{array}

und für $x \in (0, \infty)$ und $m, n \in ℕ$ auch $x^{- \frac{m}{n}} = {(x^{\frac{m}{n}})}^{- 1}$

Wichtige Übung 3.66 (Rechenregeln für rationale Potenzen).

Zeigen Sie die Rechenregeln (in Analogie zu Übung 3.2)

\begin{array}{l} {(x y)}^{\frac{m}{n}} = x^{\frac{m}{n}} y^{\frac{m}{n}}, x^{\frac{m_{1}}{n_{1}} + \frac{m_{2}}{n_{2}}} = x^{\frac{m_{1}}{n_{1}}} x^{\frac{m_{2}}{n_{2}}}, {(x^{\frac{m_{1}}{n_{1}}})}^{\frac{m_{2}}{n_{2}}} = x^{\frac{m_{1}}{n_{1}} \frac{m_{2}}{n_{2}}} \end{array}

für positive Basen $x, y \in (0, \infty)$ und rationale Exponenten $\frac{m}{n}, \frac{m_{1}}{n_{1}}, \frac{m_{2}}{n_{2}} \in ℚ$ .

Beweis von Satz 3.64.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass $f$ streng monoton wachsend ist (sonst ersetzt man $f$ mit $- f$ ). Wir bemerken zuerst, dass die Funktion $f : I \to f (I)$ bijektiv ist, da sie (per Definition) surjektiv ist und auf Grund der strengen Monotonie auch injektiv ist. Somit existiert eine (eindeutig bestimmte) Umkehrabbildung $g = f^{- 1} : f (I) \to I$ , welche auch streng monoton wachsend sein muss: Da $f$ streng monoton wachsend ist, gilt (siehe Übung 3.42)

\begin{array}{l} x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f (x_{1}) < f (x_{2}) \end{array}

für alle $x_{1}, x_{2} \in I$ , was zu

\begin{array}{l} f^{- 1} (y_{1}) < f^{- 1} (y_{2}) \Leftrightarrow y_{1} < y_{2} \end{array}

für alle $y_{1}, y_{2} \in f (I)$ äquivalent ist.

Wir möchten nun zeigen, dass $f (I)$ auch ein Intervall ist und nehmen dazu vorerst an, dass $I = [a, b]$ ein abgeschlossenenes, beschränkten Intervall für zwei reelle Zahlen $a < b$ ist. Auf Grund der Monotonie-Annahme gilt $f (x) \in [f (a), f (b)]$ für alle $x \in [a, b]$ . Nach dem Zwischenwertsatz (Satz 3.58) ist auch $f ([a, b]) = [f (a), f (b)]$ und damit ist $f (I)$ insbesondere ein Intervall.

Sei nun $I$ ein beliebiges† Es gibt noch weitere 3 Fälle von beschränkten und weitere 5 Fälle von unbeschränkten Intervallen. Intervall in $ℝ$ mit Endpunkten $a < b$ in $\bar{ℝ}$ . Wir definieren nun die Punkte $c = \inf f (I) \in \bar{ℝ}$ und $d = \sup f (I) \in \bar{ℝ}$ und behaupten, dass $(c, d)$ in $f (I)$ enthalten ist. Sei $y \in (c, d)$ . Dann gibt es nach Definition von $c = \inf f (I)$ und wegen $c < y$ ein $x_{-} \in I$ mit $c \leq f (x_{-}) < y$ . Ebenso gibt es nach Definition von $d = \sup f (I)$ und wegen $y < d$ ein $x_{+} \in I$ mit $y < f (x_{+}) \leq d$ . Nach dem Zwischenwertsatz (Satz 3.58) ist also $y \in f (I)$ und die Behauptung folgt. Wir haben damit insbesondere gezeigt, dass $f (I)$ ein Intervall ist.

Falls der linke Endpunkt $a$ von $I$ zu $I$ gehört, dann ist $c = f (a) = \inf f (I) = \min f (I)$ . Falls $a$ nicht zu $I$ gehört, dann gibt es zu jedem $x \in I$ ein Element $x_{-} \in I$ mit $x_{-} < x$ , was wiederum wegen der strengen Monotonie impliziert, dass $f (I)$ kein Minimum besitzt (da es zu jedem $y \in f (I)$ ein Element $y_{-} \in f (I)$ mit $y_{-} < y$ gibt). Das heisst, der linke Endpunkt von $I$ gehört zu $I$ genau dann, wenn $c$ zum Intervall $f (I)$ gehört. Dasselbe gilt auch für den rechten Endpunkt.

Wir wollen nun zeigen, dass $g = f^{- 1}$ stetig ist. Sei also $y_{0} \in f (I)$ und $𝜀 > 0$ . Wir definieren den Punkt $x_{0} = g (y_{0})$ .

Falls $y_{0} < d$ und damit auch $x_{0} < b$ ist, dann gibt es einen Punkt $x_{+}$ in $(x_{0}, x_{0} + 𝜀)$ mit $x_{+} < b$ . Wir definieren $y_{+} = f (x_{+}) > y_{0}$ und erhalten für alle $y \in f (I)$

\begin{array}{l} y_{0} \leq y < y_{+} \Rightarrow f^{- 1} (y_{0}) \leq f^{- 1} (y) < f^{- 1} (y_{+}) = x_{+} < f^{- 1} (y_{0}) + 𝜀 \end{array}

oder auch

\begin{align} y_{0} \leq y < y_{+} \Rightarrow | f^{- 1} (y) - f^{- 1} (y_{0}) | < 𝜀 . & (3.8) \end{align}

Falls $a \in I$ und $y_{0} = c = f (a)$ gilt, ist dies bereits die Stetigkeitsbedingung bei $y_{0}$ für $𝜀$ und die Wahl $δ = y_{+} - y_{0}$ . In der Tat falls $y \in f (I)$ und $| y - y_{0} | < δ$ ist, so folgt $y \geq c = f (a) = y_{0}$ aus $c = \min (f (I))$ und damit $y_{0} \leq y < y_{+}$ aus der Definition von $δ$ .

$PIC$

Falls $y_{0} > c$ und damit auch $x_{0} > a$ ist, dann gibt es einen Punkt $x_{-} \in (x_{0} - 𝜀, x_{0})$ mit $x_{-} > a$ . Wir definieren $y_{-} = f (x_{-}) < y_{0}$ und erhalten wie zuvor für alle

\begin{array}{l} y_{-} < y \leq y_{0} \Rightarrow f^{- 1} (y_{0}) - 𝜀 < x_{-} = f^{- 1} (y_{-}) < f^{- 1} (y) \leq f^{- 1} (y_{0}) \end{array}

oder auch

\begin{align} y_{-} < y \leq y_{0} \Rightarrow | f^{- 1} (y) - f^{- 1} (y_{0}) | < 𝜀 . & (3.9) \end{align}

Falls $b \in I$ und $y_{0} = f (b)$ ist dies wiederum die Stetigkeitsbedingung bei $y_{0}$ für $𝜀$ und $δ = y_{0} - y_{-}$ .

Für einen beliebigen Punkt $y_{0} \in (a, b)$ setzen wir $δ = \min {y_{+} - y_{0}, y_{0} - y_{-}}$ und können die Gleichungen (3.8) und (3.9) kombinieren zu

\begin{array}{l} | y - y_{0} | < δ \Rightarrow | f^{- 1} (y) - f^{- 1} (y_{0}) | < 𝜀 \end{array}

für alle $y \in f (I)$ , was zu beweisen war.

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3.7.1 Wurzeln aus natürlichen Zahlen*

Wir wollen hier nochmals betonen, dass wann immer wir das Supremum verwenden, wir implizit auch das Vollständigkeitsaxiom (Axiom (16) in Abschnitt 2.1) verwenden. Dies ist insbesondere für den Zwischenwertsatz (Satz 3.58) und damit auch für den Umkehrsatz (Satz 3.64) der Fall. Manifestieren tut sich diese Tatsache darin, dass Wurzeln eher selten rationale Zahlen liefern.

Lemma 3.67.

Seien $m, k \in ℕ$ . Die $m$ -te Wurzel $\sqrt[m]{k}$ ist genau dann rational, wenn sie eine ganze Zahl ist.

Dieses Lemma vereinfacht unter anderem in konkreten Fällen die Verifikation, ob eine ganze Zahl eine rationale Wurzel hat oder nicht. Grund dafür ist beispielsweise, dass Primzahlen keine $m$ -te Wurzel in $ℤ$ haben können. (Wieso?)

Beweis.

Angenommen $\sqrt[m]{k} = \frac{p}{q} \in ℚ$ für zwei natürliche Zahlen $p, q \in ℕ$ . Nach Kürzen mit dem grössten gemeinsamen Teiler können wir annehmen, dass $\frac{p}{q}$ durchgekürzt ist oder äquivalent dazu, dass $p$ und $q$ teilerfremd sind. Dann ist aber auch $k = (\frac{p}{q})^{m} = \frac{p^{m}}{q^{m}}$ ein durchgekürzter Bruch, denn jeder Primfaktor von $p^{m}$ (resp. $q^{m}$ ) ist ein Primfaktor von $p$ (resp. $q$ ) und somit sind $p^{m}$ und $q^{m}$ teilerfremd. Nach Annahme ist aber $\frac{p^{m}}{q^{m}} = k \in ℤ$ , was $q^{m} ∣ p^{m}$ , $q^{m} = 1$ und also $q = 1$ impliziert. Dann ist $k = p^{m}$ und $\sqrt[m]{k} = p \in ℤ$ . Die Umkehrung folgt aus $ℤ \subseteq ℚ$ .

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Wir sehen also, dass $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, . . ., \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[3]{5}, \sqrt[3]{6}, \sqrt[3]{7}, \sqrt[3]{9}, . . .$ alles irrationale Zahlen sind, und haben somit eine Kollektion von (konkreten) irrationalen Zahlen zur Verfügung. Genauer gilt folgendes Kriterion.

Übung 3.68.

Sei $k \in ℕ$ und $m \in ℕ$ . Zeigen Sie, dass $\sqrt[m]{k}$ genau dann rational ist, wenn jeder Primfaktor $p$ in der Primfaktorzerlegung von $k$ die Eigenschaft $p^{ℓ} | k$ und $p^{ℓ + 1} ∤ k$ für eine durch $m$ teilbare natürliche Zahl $ℓ$ hat.