Stetigkeit – Analysis I (Kap. 1-9)

3.5 Stetigkeit

Sei $D \subseteq ℝ$ eine nicht-leere Teilmenge.

Definition 3.45 (Stetigkeit).

Sei $f : D \to ℝ$ eine Funktion. Wir sagen, dass $f$ stetig bei einem Punkt $x_{0} \in D$ ist, falls es für alle $𝜀 > 0$ ein $δ > 0$ gibt, so dass für alle $x \in D$ die Implikation

\begin{array}{l} | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < 𝜀 \end{array}

gilt. Die Funktion $f$ ist stetig, falls sie bei jedem Punkt in $D$ stetig ist. Formal ist Stetigkeit von $f$ also durch

\begin{array}{l} \forall x_{0} \in D : \forall 𝜀 > 0 \exists δ > 0 \forall x \in D : | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < 𝜀 \end{array}

definiert.

Diese Definition ist vielleicht auf den ersten Blick überraschend, wird für uns aber sehr fundamental sein.† Das Wort „stetig“ und daraus abgeleitete Wörter kommen in der vollständigen Version von diesem Skript über 850 mal vor, was die Wichtigkeit des Begriffs gewissermassen quantifiziert. Wir wollen im Folgenden wieder einige Funktionen und deren Graphen untersuchen, damit wir ein Gespür für die Definition der Stetigkeit erhalten können.

$PIC$

Figur 3.5: Bei dieser Funktion

f

mit einem „kontinuierlichen“ Graphen sehen wir, dass

f

bei

x_{0}

stetig ist. Egal wie klein man

𝜀 > 0

wählt, kann man sich gut vorstellen, dass für ein geeignetes

δ > 0

für alle

x

, die

δ

-nahe bei

x_{0}

liegen, auch

f (x)

𝜀

-nahe an

f (x_{0})

ist. Die Funktion ist sogar auf dem ganzen Definitionsbereich

[a, b] \cup [c, d] \cup {e}

stetig.

Applet 3.46 (Stetigkeit).

Wir betrachten eine Funktion, die an den meisten (aber nicht allen) Punkten des Definitionsbereichs stetig ist.

In den meisten Situationen wird $D$ für uns ein Intervall $I$ sein. Wir untersuchen nun ein paar konkrete Beispiele.

Beispiel 3.47.

•

Die konstante Funktion

x \in ℝ \mapsto c \in ℝ

für ein

c \in ℝ

ist stetig. Man kann für jedes

x_{0}

und

𝜀 > 0

denselben Wert

δ = 1

verwenden.

•

Die lineare Funktion

x \in ℝ \mapsto a x \in ℝ

für ein

a \in ℝ

ist stetig. Ist

a = 0

, so ist die Funktion konstant und somit stetig. Sei also

a \in ℝ^{\times}

. Ist

x_{0} \in ℝ

und

𝜀 > 0

, dann gilt

| a x - a x_{0} | = | a | | x - x_{0} |

für alle

x \in ℝ

. Betrachtet man also die Wahl

δ = \frac{𝜀}{| a |}

und ein

x \in ℝ

mit

| x - x_{0} | < δ

, so ist

| a x - a x_{0} | = | a | | x - x_{0} | < | a | δ = 𝜀

•

Die Funktion

x \in ℝ \mapsto | x | \in ℝ

ist stetig.

$PIC$

Ist $x_{0} \in ℝ$ und $𝜀 > 0$ beliebig, so gilt wegen der umgekehrten Dreiecksungleichung $| | x | - | x_{0} | | \leq | x - x_{0} |$ für alle $x \in ℝ$ . Damit kann man mit der Wahl $δ = 𝜀$ erreichen, dass wenn $| x - x_{0} | < δ$ auch $| | x | - | x_{0} | | \leq | x - x_{0} | < δ = 𝜀$ für alle $x \in ℝ$ gilt, was die Stetigkeit zeigt.

•

Die Funktion

x \in ℝ \mapsto ⌊ x ⌋ \in ℝ

ist bei Punkten in

ℤ

nicht stetig.

$PIC$

Ist $n \in ℤ$ , dann gilt für jedes $δ > 0$ , dass $| (n - \frac{1}{2} δ) - n | < δ$ und

\begin{array}{l} | ⌊ n - \frac{1}{2} δ ⌋ - ⌊ n ⌋ | = ⌊ n ⌋ - ⌊ n - \frac{1}{2} δ ⌋ \geq n - (n - 1) = 1 . \end{array}

Damit ist die Stetigkeitsbedingung bei $n \in ℤ$ für $𝜀 < 1$ nicht erfüllt.

Wir möchten an dieser Stelle kurz anmerken, dass es im Beweis der Stetigkeit einer Funktion reicht, $𝜀 > 0$ „klein genug“ zu betrachten. Genauer können wir annehmen, dass $𝜀 \leq 𝜀_{0}$ für ein $𝜀_{0} > 0$ . Denn falls $𝜀 > 𝜀_{0}$ ist, so kann man ein $δ > 0$ zu $𝜀_{0}$ finden, was auch für $𝜀$ die gewünschte Aussage erfüllt.

Man könnte an dieser Stelle natürlich auch die Stetigkeit weiterer Funktionen beweisen, wie man in folgender Übung verifizieren kann.

Übung 3.48 (Quadrat und Quadratwurzel).

Zeigen Sie, dass die Funktionen $x \in ℝ \mapsto x^{2} \in ℝ$ und $x \in ℝ_{> 0} \mapsto \sqrt{x} \in ℝ_{> 0}$ stetig sind.

Da wir jedoch nicht jedes Mal „von Hand“ überprüfen möchten, ob eine Funktion stetig ist, wenden wir uns nun allgemeineren Aussagen zu. Eine erste solche wollen wir Ihnen als Übung überlassen.

Wichtige Übung 3.49 (Einschränkung von stetigen Funktionen).

Sei $D \subseteq ℝ$ ein Teilmenge und $f : D \to ℝ$ stetig. Sei $D^{'}$ ein Teilmenge von $D$ . Zeigen Sie die Stetigkeit von $f |_{D^{'}}$ .

Hinweis.

Verwenden Sie die Definition von Stetigkeit.

Proposition 3.50 (Stetigkeit unter Addition und Multiplikation von Funktionen).

Sei $D \subseteq ℝ$ . Falls $f_{1}, f_{2} : D \to ℝ$ Funktionen sind, die bei einem Punkt $x_{0} \in D$ stetig sind, dann sind auch $f_{1} + f_{2}, f_{1} \cdot f_{2}$ und $a f_{1}$ für $a \in ℝ$ stetig bei $x_{0}$ . Insbesondere bildet die Menge der stetigen Funktionen

\begin{array}{l} C (D) = {f \in ℱ (D) ∣ f ist stetig} \end{array}

einen Unterraum des Vektorraums $ℱ (D)$ .

Beweis.

Angenommen $f_{1}, f_{2} \in ℱ (D)$ sind bei $x_{0} \in D$ stetig und sei $𝜀 > 0$ . Dann existieren $δ_{1}, δ_{2} > 0$ , so dass für alle $x \in D$ gilt

\begin{array}{l} | x - x_{0} | < δ_{1} \Rightarrow | f_{1} (x) - f_{1} (x_{0}) | < \frac{𝜀}{2} \\ | x - x_{0} | < δ_{2} \Rightarrow | f_{2} (x) - f_{2} (x_{0}) | < \frac{𝜀}{2} . \end{array}

Wir setzen $δ = \min {δ_{1}, δ_{2}} > 0$ und erhalten

\begin{array}{l} | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | (f_{1} + f_{2}) (x) & - (f_{1} + f_{2}) (x_{0}) | \\ \leq | f_{1} (x) - f_{1} (x_{0}) | + | f_{2} (x) - f_{2} (x_{0}) | \\ < \frac{𝜀}{2} + \frac{𝜀}{2} = 𝜀 \end{array}

Da $𝜀 > 0$ beliebig war, erhalten wir, dass $f_{1} + f_{2}$ bei $x_{0} \in D$ stetig ist.

Das Argument für $f_{1} f_{2}$ ist ähnlich, aber etwas komplizierter. Wir beginnen mit der Abschätzung

\begin{array}{l} | f_{1} (x) f_{2} (x) - f_{1} (x_{0}) f_{2} (x_{0}) | & = | f_{1} (x) f_{2} (x) - f_{1} (x_{0}) f_{2} (x) + f_{1} (x_{0}) f_{2} (x) - f_{1} (x_{0}) f_{2} (x_{0}) | \\ \leq | f_{1} (x) f_{2} (x) - f_{1} (x_{0}) f_{2} (x) | + | f_{1} (x_{0}) f_{2} (x) - f_{1} (x_{0}) f_{2} (x_{0}) | \\ = | f_{1} (x) - f_{1} (x_{0}) | | f_{2} (x) | + | f_{1} (x_{0}) | | f_{2} (x) - f_{2} (x_{0}) | \end{array}

für $x \in D$ unter Verwendung der Dreiecksungleichung. Sei $𝜀 > 0$ und wähle $δ_{1} > 0$ und $δ_{2} > 0$ , so dass für $x \in D$

\begin{array}{l} | x - x_{0} | < δ_{1} \Rightarrow | f_{1} (x) - f_{1} (x_{0}) | < \frac{𝜀}{2 (| f_{2} (x_{0}) | + 1)} \\ | x - x_{0} | < δ_{2} \Rightarrow | f_{2} (x) - f_{2} (x_{0}) | < \min {1, \frac{𝜀}{2 (| f_{1} (x_{0}) | + 1)}} \end{array}

erfüllt sind. Dann gilt für ein $x \in D$ mit $| x - x_{0} | < δ = \min {δ_{1}, δ_{2}}$ , dass

\begin{array}{l} | f_{2} (x) | = | f_{2} (x) - f_{2} (x_{0}) + f_{2} (x_{0}) | \leq | f_{2} (x) - f_{2} (x_{0}) | + | f_{2} (x_{0}) | < 1 + | f_{2} (x_{0}) | \end{array}

und damit

\begin{array}{l} | f_{1} (x) - f_{1} (x_{0}) | | f_{2} (x) | < \frac{𝜀}{2 (| f_{2} (x_{0}) | + 1)} (1 + | f_{2} (x_{0}) |) = \frac{𝜀}{2} . \end{array}

Für das zweite Argument gilt ebenso

\begin{array}{l} | f_{1} (x_{0}) | | f_{2} (x) - f_{2} (x_{0}) | \leq | f_{1} (x_{0}) | \frac{𝜀}{2 (| f_{1} (x_{0}) | + 1)} < \frac{𝜀}{2} . \end{array}

Gemeinsam erhalten wir $| f_{1} (x) f_{2} (x) - f_{1} (x_{0}) f_{2} (x_{0}) | < 𝜀$ wie gewünscht. Die Aussage über $a f_{1}$ für $a \in ℝ$ folgt mit Obigem und der Tatsache, dass die konstante Funktion $x \in ℝ \mapsto a \in ℝ$ stetig ist. Insbesondere ist $C (D)$ auch nicht leer, da die konstante Nullfunktion in $C (D)$ liegt, und somit ist $C (D)$ ein Unterraum von $ℱ (D)$ .

■

Wir präsentieren eine direkte Anwendung dieser Proposition.

Korollar 3.51.

Polynome sind stetig, das heisst, $ℝ [x] \subseteq C (ℝ)$ .

Beweis.

Wie wir in Beispiel 3.47 gesehen haben, ist die Funktion $p (x) = x$ stetig und konstante Funktionen sind stetig. Vollständige Induktion und Proposition 3.50 zeigen, dass jedes Polynom $\sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k} \in ℝ [x]$ stetig ist.

■

Eine weitere Art und Weise, wie man zeigen kann, dass eine Funktion stetig ist, ist, dass man sie als Verknüpfung von stetigen Funktionen darstellt.

Proposition 3.52 (Stetigkeit unter Verknüpfung).

Seien $D_{1}, D_{2} \subseteq ℝ$ zwei Teilmengen und sei $x_{0} \in D_{1}$ . Angenommen $f : D_{1} \to D_{2}$ ist eine bei $x_{0}$ stetige Funktion und $g : D_{2} \to ℝ$ ist eine bei $f (x_{0})$ stetige Funktion. Dann ist $g \circ f : D_{1} \to ℝ$ bei $x_{0}$ stetig. Insbesondere ist die Verknüpfung von stetigen Funktionen wieder stetig.

Es folgt damit, dass zum Beispiel die Abbildung $x \in D \mapsto | f (x) | \in ℝ$ für eine beliebige stetige Funktion $f : D \to ℝ$ stetig ist (nach Beispiel 3.47).

🪆Dies ist ein Matrjoschka-Beweis; verwenden Sie Definition 3.45 für $f$ und $g$ in der richtigen Reihenfolge.

Beweis.

Sei $𝜀 > 0$ . Dann existiert wegen der Stetigkeit von $g$ bei $f (x_{0})$ ein $η > 0$ , so dass für alle $y \in D_{2}$

\begin{array}{l} | y - f (x_{0}) | < η \Rightarrow | g (y) - g (f (x_{0})) | < 𝜀 . \end{array}

Da $η > 0$ ist und $f$ bei $x_{0}$ stetig ist, gibt es aber auch ein $δ > 0$ , so dass für alle $x \in D_{1}$

\begin{array}{l} | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < η . \end{array}

Zusammen ergibt sich unter Verwendung von $y = f (x) \in f (D_{1}) \subseteq D_{2}$ , dass für alle $x \in D_{1}$

\begin{array}{l} | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < η \Rightarrow | g (f (x)) - g (f (x_{0})) | < 𝜀 . \end{array}

gilt. Dies beweist auch die letzte Aussage, da $x_{0}$ ein beliebiger Punkt in $D_{1}$ war.

■

Wichtige Übung 3.53 (Stetigkeit von Quotienten).

Zeigen Sie, dass die Funktion $x \in ℝ^{\times} \mapsto \frac{1}{x} \in ℝ^{\times}$ stetig ist. Schliessen Sie, dass Funktionen der Art $x \in D \mapsto \frac{f (x)}{g (x)} \in ℝ$ stetig sind, wenn $D \subseteq ℝ$ eine Teilmenge und $f : D \to ℝ, g : D \to ℝ^{\times}$ stetige Funktionen sind. (Beachte, dass $g$ auf $D$ keine Nullstelle haben darf.)

Hinweis.

Der zweite Teil folgt aus dem ersten und den Propositionen 3.50 und 3.52. Für den ersten Teil versuchen sie zuerst $| \frac{1}{x} - \frac{1}{x_{0}} |$ umzuformen und abzuschätzen bevor Sie versuchen, das geeignete $δ > 0$ zu finden. Durch die geeignete Wahl von $δ$ kann man auch verhindern, dass $x$ zu nahe an die $0$ gerät, was für die Abschätzung von Nachteil wäre.

Eine andere Art und Weise, wie man stetige Funktionen konstruieren kann, ist durch „Zusammenkleben“, wie wir in folgender Übung diskutieren wollen.

Wichtige Übung 3.54 (Stetige Funktionen durch Fallunterscheidung).

Seien zwei Intervalle durch $I_{1} = [a, b], I_{2} = [b, c] \subseteq ℝ$ gegeben mit $a < b < c$ und seien $f_{1} : I_{1} \to ℝ$ und $f_{2} : I_{2} \to ℝ$ stetige Funktionen. Zeigen Sie, dass die Funktion

\begin{array}{l} f : [a, c] \to ℝ, x \mapsto {\begin{matrix} f_{1} (x) & falls x \in [a, b) \\ f_{2} (x) & falls x \in [b, c] \end{matrix} \end{array}

genau dann stetig ist, wenn $f_{1} (b) = f_{2} (b)$ gilt.

Übung 3.55 (Dirichlet-Funktion).

Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion

\begin{array}{l} 𝟙_{ℚ \cap [0, 1]} : [0, 1] \to {0, 1}, x \mapsto {\begin{matrix} 1 & falls x \in ℚ \\ 0 & falls x \notin ℚ \end{matrix} \end{array}

an keinem Punkt in $[0, 1]$ stetig ist.

Der Vollständigkeit halber erwähnen wir noch folgende Charakterisierung von Stetigkeit, auf die wir später wieder zu sprechen kommen werden und die beispielsweise eine grundlegende Definition der Topologie-Vorlesung im vierten Semester des Mathematikstudums darstellt.

Übung 3.56 (Stetigkeit über offene Mengen).

Sei $I \subseteq ℝ$ ein offenes Intervall und $f : I \to ℝ$ eine Funktion. Zeigen Sie, dass $f$ genau dann stetig ist, wenn für jede offene Menge $U \subseteq ℝ$ auch $f^{- 1} (U)$ offen ist.

Ist eine Funktion $f$ stetig, so ist das Verhalten von $f$ in kleinen Umgebungen eines Punktes oft vorhersehbar.

Übung 3.57 (Lokale Eigenschaften von stetigen Funktionen).

Sei $D \subseteq ℝ$ eine Teilmenge und $f : D \to ℝ$ eine Funktion. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.

a): (Lokal beschränkt) Wenn $f$ bei $x_{0} \in D$ stetig ist, dann gibt es eine $δ$ -Umgebung $U$ von $x_{0}$ und ein $M > 0$ , so dass $| f (x) | \leq M$ für alle $x \in D \cap U$ .
b): (Lokal das gleiche Vorzeichen) Wenn $f$ bei $x_{0} \in D$ stetig ist und $f (x_{0}) \neq 0$ ist, dann gibt es eine $𝜀$ -Umgebung $U$ von $x_{0}$ , so dass $f (x) f (x_{0}) > 0$ für alle $x \in D \cap U$ (das heisst, $f (x)$ und $f (x_{0})$ haben dasselbe Vorzeichen).

3.5.1 Komplex-wertige Funktionen

Für eine Menge $D$ können wir in Analogie zum reellen Vektorraum $ℱ (D)$ auch den komplexen Vektorraum

\begin{array}{l} ℱ_{ℂ} (D) = {f ∣ f : D \to ℂ} \end{array}

der $ℂ$ -wertigen Funktionen oder komplex-wertigen Funktionen Funktionen auf $D$ definieren. Weiter sagen wir, dass eine Funktion $f : D \to ℂ$ beschränkt ist, falls die reellwertige Funktion $x \in D \mapsto | f (x) |$ beschränkt ist. Ein Punkt $x \in D$ ist eine Nullstelle einer Funktion $f : D \to ℂ$ , falls $f (x) = 0$ gilt.

Dieser Abschnitt lässt sich ohne grosse Änderung auf $ℂ$ -wertige Funktionen auf einer Teilmenge $D \subseteq ℂ$ übertragen. Wir empfehlen Ihnen diesen Abschnitt nochmals zu lesen, aber diesmal komplex-wertige Funktionen auf Teilmengen $D \subseteq ℂ$ zu erlauben, wobei $𝜀 > 0$ und $δ > 0$ weiterhin reelle Zahlen darstellen. Wir werden später nochmals in grösserer Allgemeinheit auf den Begriff der Stetigkeit zu sprechen kommen. Wir bemerken noch, dass die Monotonieeigenschaften in Abschnitt 3.4.2 hingegen kein Analogon für komplex-wertige Funktionen besitzen (da auf $ℂ$ keine natürliche Ordnung gegeben ist).

3.5 Stetigkeit

Definition 3.45 (Stetigkeit).

Applet 3.46 (Stetigkeit).

Beispiel 3.47.

Übung 3.48 (Quadrat und Quadratwurzel).

Wichtige Übung 3.49 (Einschränkung von stetigen Funktionen).

Proposition 3.50 (Stetigkeit unter Addition und Multiplikation von Funktionen).

Korollar 3.51.

Proposition 3.52 (Stetigkeit unter Verknüpfung).

Wichtige Übung 3.53 (Stetigkeit von Quotienten).

Wichtige Übung 3.54 (Stetige Funktionen durch Fallunterscheidung).

Übung 3.55 (Dirichlet-Funktion).

Übung 3.56 (Stetigkeit über offene Mengen).

Übung 3.57 (Lokale Eigenschaften von stetigen Funktionen).

3.5.1 Komplex-wertige Funktionen

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