Weitere Lernmaterialien – Analysis I (Kap. 1-9)

2.7 Weitere Lernmaterialien

2.7.1 Verwendung des Kapitels

Die Themen dieses Kapitels stellen den Anfang unserer Entwicklung der Analysis dar und sind aus diesem Grunde für das Folgende fundamental. Wie bereits erwähnt werden wir die üblichen Eigenschaften der reellen, natürlichen, ganzen, rationalen und komplexen Zahlen (inklusive der Konjugation komplexer Zahlen) im Folgenden ohne Verweise verwenden. Es ist auch nicht notwendig, die Beweise der elementaren Aussagen in Abschnitt 2.1 auswendig zu lernen. Manche der Beweise in Abschnitt 2.2 sind auch etwas zu formal, als dass sie für das Folgende von grosser Bedeutung sein werden. Für ein fundiertes Verständnis der Induktion sind die besprochenen Varianten der Induktion samt Beweise wichtig und auch die Beweise der algebraischen und geometrischen Aussagen stellen eine gute Übung dar. In Abschnitt 2.4 haben wir einige Ihnen wahrscheinlich bekannte Definition ausgesprochen, doch werden auch die Ihnen wahrscheinlich neuen Begriffe „offen“ und „abgeschlossen“ zunehmend an Bedeutung gewinnen.

Die Kernthemen dieses Kapitels sind hingegen in folgender Liste enthalten.

•

Das Vollständigkeitsaxiom in Abschnitt 2.1.3.

•

Existenz und Eigenschaften des Supremums und Infimums in Abschnitt 2.5 (inbesondere beispielsweise die Unterscheidung von Maximum und Supremum).

•

Korollare der Vollständigkeit in Abschnitt 2.6: Das Archimedische Prinzip (Satz 2.68), die Existenz von Häufungspunkten für beschränkte unendliche Mengen (Satz 2.75), das Intervallschachtelungsprinzip (Satz 2.77), und die Überabzählbarkeit von

ℝ

in Korollar 2.81.

Diese Themen und deren Beweismethoden sind von zentraler Bedeutung für das Folgende und Sie werden weitere Vorlesungsstunden besser verstehen, wenn Sie diese Kernthemen bereits im Gedächnis und auf Abruf bereit haben.

Im Laufe dieses Kapitels haben wir auch bereits einige grundlegende Funktionen eingeführt, welche wir ohne Verweis und mit den üblichen Eigenschaften in Zukunft wieder benötigen werden.

•

Die Körperoperationen auf

ℝ

oder

ℂ

: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

•

Das Quadrieren

{(\cdot)}^{2}

auf

ℝ

oder

ℂ

•

Die Quadratwurzel

\sqrt{\cdot} : ℝ_{\geq 0} \to ℝ_{\geq 0}

•

Der Absolutbetrag

| \cdot |

auf

ℝ

oder

ℂ

•

Die Vorzeichenfunktion

sgn (\cdot)

auf

ℝ

•

Der ganzzahlige Anteil

⌊ \cdot ⌋ : ℝ \to ℤ

•

Der Nachkommaanteil

{\cdot} : ℝ \to [0, 1)

•

Das Maximum

\max (x, y) = \max ({x, y})

und das Minimum

\min (x, y) = \min ({x, y})

zweier reeller Zahlen

x, y \in ℝ

ergeben sich als Spezialfälle von Maximum und Minimum der Menge

{x, y}

(welche auf Grund einer Fallunterscheidung basierend auf die Trichotomie reeller Zahlen immer existieren).

Sollten Sie noch nicht mit dem Anlegen einer persönlichen Zusammenfassung aller wichtigen Inhalte der Vorlesung begonnen haben, dann legen wir Ihnen nahe dies jetzt in Angriff zu nehmen. Die Inhalte aus Kapitel 1 sollten schnell wiederholt und zusammengefasst sein. Doch in diesem Kapitel haben wir bereits unsere ersten grundlegenden Sätze der reellen Analysis und deren Beweise kennengelernt. Deswegen wird eine persönlich erstellte Zusammenfassung nun wahrscheinlich schon einige Seiten lang sein. Welche Form und Detailreiche eine derartige Zusammenfassung oder Mindmap haben sollte, ist Geschmackssache und Ihnen überlassen. Zum Beispiel könnte für den Beweis der Existenz eines Häufungspunktes einer beschränkten unendlichen Menge $A \subseteq ℝ$ (Satz 2.75) folgende Zusammenfassung aussreichen: „Wir definieren $X = {x \in ℝ ∣ | A \cap (- \infty, x] | < \infty}$ und zeigen, dass $\sup X$ ein Häufungspunkt der Menge $A$ ist.“ Vielleicht reicht Ihnen dies bereits als Anfangspunkt um den Beweis zu vervollständigen, oder Sie ergänzen die Zusammenfassung noch um ein bis zwei Sätze.

Wir stellen nochmals einige Multiple-Choice-Fragen, die Ihnen zur Wiederholung des Kapitels helfen sollten.

Übung.

Sei $A \subseteq ℝ$ und $x_{0} \in ℝ$ . Sind die folgenden Aussagen äquivalent zur Aussage, dass $x_{0}$ ein Häufungspunkt von $A$ ist?

(i): (J/N)
🚫
$\forall 𝜀 > 0 \exists! a \in A : 0 < | a - x_{0} | < 𝜀$ .
(ii): (J/N)
✅
$\forall 𝜀 > 0 \exists a \in A : 0 < | a - x_{0} | < 𝜀$ .
(iii): (J/N)
✅
$\exists 𝜀_{0} > 0 \forall 𝜀 \in (0, 𝜀_{0}) \exists a \in A : 0 < | a - x_{0} | < 𝜀$ .
(iv): (J/N)
🚫
$\forall 𝜀 > 1 \exists a \in A : 0 < | a - x_{0} | < 𝜀$ .

Lösung.

In (i) wird eine eindeutige Existenz eines Punktes nahe an $x_{0}$ verlangt. Aber für einen Häufungspunkt $x_{0}$ einer Menge $A$ gibt es in der Tat für $𝜀 > 0$ sogar unendlich viele Punkte von $A$ , die zur $𝜀$ -Umgebung von $x_{0}$ gehören.

Die Aussage in (ii) ist genau die Formulierung der Definition eines Häufungspunktes in Prädikatenlogik.

In (iii) schränken wir die Definition auf alle „genügend kleinen“ $𝜀 > 0$ ein. Dies ist zur Definition äquivalent. Denn falls $𝜀 \geq 𝜀_{0}$ , so können wir die eingeschränkte Behauptung für $𝜀^{'} = \frac{1}{2} 𝜀_{0}$ anwenden und ein $a \in A$ mit $0 < | a - x_{0} | < 𝜀^{'} < 𝜀$ finden. Also ändert diese Einschränkung die Bedeutung der Aussage nicht.

Die Einschränkung auf alle $𝜀 > 1$ ändert allerdings den Begriff auf drastische Weise. In der Tat hat zum Beispiel $ℤ$ keinen einzigen Häufungspunkt, aber jedes beliebige $x_{0} \in ℝ$ erfüllt für $A = ℤ$ die Aussage in (iv).

Übung.

Sei $X$ eine Menge mit $| X | \geq 2$ . Die Relation $\subseteq$ auf $𝒫 (X)$ ist…

(i): (W/F)
🚫
…eine Äquivalenzrelation.
(ii): (W/F)
🚫
…eine lineare Ordnungsrelation.
(iii): (W/F)
✅
…eine Ordnungsrelation, die nicht linear ist.
(iv): (W/F)
🚫
…keins der Obigen.

Lösung.

Die Aussage (i) ist falsch. Da $X$ nichtleer ist, gelten für $\emptyset, X \in 𝒫 (X)$ die Relationen $\emptyset \subseteq X$ und $X ⊄ \emptyset$ . Also ist $\subseteq$ nicht symmetrisch.

Auch (ii) ist nicht richtig. Seien $x, y \in X$ mit $x \neq y$ . Diese Elemente existieren, da $| X | \geq 2$ . Dann gilt weder ${x} \subseteq {y}$ noch ${y} \subseteq {x}$ .

Die Relation $\subseteq$ ist eine Ordnungsrelation, denn sie ist reflexiv, da für $A \in 𝒫 (X)$ stets $A \subseteq A$ gilt; sie ist transitiv, da für $A, B, C \in 𝒫 (X)$ aus $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$ auch $A \subseteq C$ folgt; und sie ist antisymmetrisch, da für $A, B \in 𝒫 (X)$ mit $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$ schon $A = B$ gilt. Sie ist nicht linear nach (ii), also ist (iii) richtig und somit muss (iv) falsch sein.

Übung.

Sind die folgenden Mengen (mit der üblichen Addition und Multiplikation) Beispiele für Körper, die angeordnet werden können?

(i): (J/N)
🚫
$ℕ$
(ii): (J/N)
🚫
$ℤ$
(iii): (J/N)
✅
$ℚ$
(iv): (J/N)
✅
$ℝ$
(v): (J/N)
🚫
$ℂ$

Lösung.

Die Menge $ℕ$ ist kein Körper, da zum Beispiel $1 \in ℕ$ kein additives Inverses besitzt (da $- 1 \notin ℕ$ ).

Auch $ℤ$ ist kein Körper. Beispielsweise hat $2 \in ℤ$ kein multiplikatives Inverse in $ℤ$ .

Sowohl $ℚ$ als auch $ℝ$ sind angeordnete Körper. Wir verweisen dazu auf die Abschnitte 2.1.2 und 2.2.3.

In jedem angeordneten Körper gelten $0 < 1$ (Folgerung (s)), also $- 1 < 0$ (Folgerung (q)). Weiters ist $x^{2} > 0$ , falls $x \neq 0$ (Folgerung (r)). In $ℂ$ gilt aber $i^{2} = - 1$ . Dies ergäbe nun einen Widerspruch, wenn $ℂ$ mit einer geeigneten Ordnung zu einem angeordneten Körper gemacht werden könnte.

Übung.

Es bezeichne $i \in ℂ$ die imaginäre Einheit. Welche der folgenden Formeln sind richtig?

(i): (W/F)
🚫
${(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i)}^{4} = 1$
(ii): (W/F)
✅
${(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i)}^{4} = - 1$
(iii): (W/F)
✅
${(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{3} = 1$
(iv): (W/F)
🚫
${(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{3} = - 1$

Lösung.

Durch Ausrechnen erhält man die richtigen Lösungen. Dabei ist es hilfreich für (i)-(ii) zuerst ${(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i)}^{2}$ und für (iii)-(iv) zuerst ${(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2}$ auszurechnen. SageMath kann dies natürlich auch sehr schnell berechnen.

Übung.

Seien $A, B \subseteq ℝ$ nichtleere, nach oben beschränkte Teilmengen von $ℝ$ . Welche der folgenden Aussagen gelten im Allgemeinen?

(i): (W/F)
✅
Gilt $A \subseteq B$ , so folgt $\sup A \leq \sup B$ .
(ii): (W/F)
🚫
Gilt $\sup A \leq \sup B$ , so gibt es für jedes $b \in B$ ein $a \in A$ mit $a \leq b$ .
(iii): (W/F)
✅
$\sup (A + B) = \sup A + \sup B$ , wobei $A + B : = {a + b ∣ a \in A, b \in B}$ .
(iv): (W/F)
🚫
$\sup (A B) = \sup A \sup B$ , wobei $A B : = {a b ∣ a \in A, b \in B}$ .
(v): (W/F)
✅
Existiert das Maximum der Menge $A$ , so gilt $\max A = \sup A$ .
(vi): (W/F)
✅
Ist $\sup A \in A$ , so existiert das Maximum von $A$ .

Lösung.

Die erste Aussage ist richtig, denn aufgrund der Inklusion $A \subseteq B$ ist $\sup B$ eine obere Schranke von $A$ . Das Supremum von $A$ ist als kleinste obere Schranke von $A$ somit höchstens $\sup B$ .

Zu (ii) finden wir ein Gegenbeispiel: Seien $A = [1, 2]$ und $B = [0, 2]$ . Dann ist $\sup A = 2 \leq 2 = \sup B$ und es gibt für $b = 0 \in B$ kein $a \in A$ mit $a \leq b$ .

Für (iii) verweisen wir auf Proposition 2.63

Die vierte Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel: $A = {- 1}$ , $B = [0, 1]$ . Dann gilt $\sup (A B) = \sup ([- 1, 0]) = 0$ aber $\sup A \sup B = (- 1) \cdot 1 = - 1$ . Die Aussage gilt aber, wenn $A, B \subseteq [0, \infty)$ (siehe Übung 2.66).

Zu (v): Das Maximum $\max A$ ist, wenn es existiert, eine obere Schranke von $A$ , und es kann keine kleinere obere Schranke geben, da nach Definition eines Maximums $\max A \in A$ gilt. Also ist $\max A$ die kleinste obere Schranke von $A$ , und dies ist die definierende Eigenschaft des Supremums.

Auch (vi) ist richtig. Da das Supremum von $A$ per Definition eine obere Schranke von $A$ ist, erfüllt es im Fall $\sup A \in A$ die definierende Eigenschaft eines Maximums von $A$ .

2.7.2 Weitere Übungsaufgaben

Übung (Parallelogrammidentität).

Zeigen Sie für alle $z, w \in ℂ$ die Gleichung

\begin{array}{l} | z + w |^{2} + | z - w |^{2} = 2 (| z |^{2} + | w |^{2}) . \end{array}

Übung (Mittelsenkrechte).

Seien $w_{1}, w_{2} \in ℂ$ zwei verschiedene Punkte. Erklären und beweisen Sie, wieso die Teilmenge ${z \in ℂ ∣ | z - w_{1} | = | z - w_{2} |}$ eine Gerade ist. Eine Gerade ist dabei eine Teilmenge der Form ${a + t v ∣ t \in ℝ}$ für $a, v \in ℂ$ .

Übung (Körper mit zwei Elementen).

Zeigen Sie, dass die Menge $𝔽_{2}$ mit den in Übung 2.7 definierten Operationen einen Körper mit zwei Elementen bildet. Wieso gibt es keinen Körper mit nur einem Element?

In den nächsten beiden Übungen konstruieren wir für eine Primzahl $p$ den Körper mit $p$ Elementen. In der Praxis (insbesondere in der Informatik) finden diese viele Anwendungen.

Übung (Kongruente Zahlen).

Sei $q \in ℤ$ . Wir sagen, dass $a, b \in ℤ$ kongruent modulo $q$ sind, falls $a - b$ durch $q$ teilbar ist. In diesem Fall schreiben wir auch $a \equiv b \mod q$ .

(i): Zeigen Sie, dass $a \equiv b \mod q$ für $a, b \in ℤ$ eine Äquivalenzrelation definiert.

Den Quotienten bezüglich dieser Äquivalenzrelation bezeichnet man meist als $ℤ ∕ q ℤ$ und die Äquivalenzklasse von $a \in ℤ$ ist durch $a + q ℤ$ gegeben. Genau wie die Zahlenmengen, die wir bereits kennen, verfügt die Menge $ℤ ∕ q ℤ$ über zusätzliche Struktur wie Addition und Multiplikation.

(ii): Zeigen Sie, dass die Abbildungen $\begin{array}{l} (a + q ℤ, b + q ℤ) \in (ℤ / q ℤ)^{2} & \mapsto (a + b) + q ℤ \in ℤ / q ℤ \\ (a + q ℤ, b + q ℤ) \in (ℤ / q ℤ)^{2} & \mapsto (a \cdot b) + q ℤ \in ℤ / q ℤ \end{array}$
wohldefiniert sind.
(iii): Verifzieren Sie mit Division mit Rest, dass $ℤ ∕ q ℤ$ genau $q$ Elemente hat.

Applet (Darstellung des Quotienten modulo Kongruenz).

Wir stellen in diesem Applet den Quotienten $ℤ ∕ q ℤ$ (für verschiedene Werte von $q$ ) dar. Es macht Sinn sich die Punkte $ℤ ∕ q ℤ$ entlang eines Kreises vorzustellen, doch hat dies formal (vorerst) keine Bedeutung.

Übung (Körper von Primzahlordnung).

Sei $p \in ℤ$ eine Primzahl und sei $𝔽_{p} = ℤ ∕ p ℤ$ ausgestattet mit Addition $+$ und Multiplikation $\cdot$ aus der vorherigen Übung. Wir möchten in dieser Übung zeigen, dass $(𝔽_{p}, +, \cdot)$ ein Körper ist.

(i): Zeigen Sie, dass $𝔽_{p}$ allen Körperaxiomen bis auf (6) genügt, wobei das Nullelement durch $0 + p ℤ$ und das Einselement durch $1 + p ℤ$ gegeben ist.
(ii): Zeigen Sie, dass jedes Element $a + p ℤ \neq 0 + p ℤ$ von $𝔽_{p}$ eine multiplikative Inverse besitzt. Betrachten Sie dazu die Multiplikation mit diesem Element auf $𝔽_{p}$ und überprüfen Sie zuerst, dass diese injektiv (und damit auch surjektiv) ist.
(iii): Zeigen Sie, dass es keine Ordnung auf $𝔽_{p}$ gibt, die $𝔽_{p}$ zu einem angeordnetem Körper macht.

Wir bemerken auch, dass sich für jede Primzahlpotenz wie zum Beispiel $4$ oder $9$ ein Körper definieren lässt; siehe nächstes Kapitel.

Hinweis.

Für (iii) dürfen Sie auch Übung 2.32 verwenden.

Übung.

Entscheiden Sie bei den folgenden Teilmengen von $ℂ$ jeweils, ob sie offen, abgeschlossen oder weder noch sind.

•

Die Zahlenmengen

\emptyset, ℕ, ℤ, ℝ, ℂ

•

Die Teilmenge der komplexen Zahlen mit Absolutbetrag Eins.

•

Das Rechteck

{z \in ℂ ∣ a < Re (z) < b, c < Im (z) < d}

für

a, b, c, d \in ℝ

mit

a < b

und

c < d

Übung (Topologie auf $ℝ$ und $ℂ$ ).

Sei $𝒯$ die Menge der offenen Teilmengen von $ℂ$ . Zeigen Sie, dass folgende Eigenschaften erfüllt sind.

•

\emptyset \in 𝒯

und

ℂ \in 𝒯

•

Für

U_{1}, . . ., U_{n} \in 𝒯

ist

⋂_{i = 1}^{n} U_{i} \in 𝒯

•

Für eine Kollektion

𝒰 \subseteq 𝒯

gilt

⋃_{U \in 𝒰} U \in 𝒯

In Worten ausgedrückt sind also endliche Schnitte und beliebige Vereinigungen von offenen Mengen offen. Die analoge Aussage gilt für die offenen Teilmengen von $ℝ$ . Was gilt für abgeschlossene Mengen?

In Abschnitt 2.6.1 haben wir bereits beschrieben, was Dichtheit der rationalen Zahlen in $ℝ$ bedeutet. Allgemeiner sagt man, dass eine Teilmenge $A \subseteq ℝ$ dicht ist, wenn für jedes offene, nicht-leere Intervall $I \subseteq ℝ$ der Schnitt $I \cap A$ nicht-leer ist.

Übung (Charakterisierung von Dichtheit).

Zeigen Sie, dass folgende Aussagen über eine Teilmenge $A \subseteq ℝ$ äquivalent sind.

(i): $A$ ist dicht.
(ii): Die Menge der Häufungspunkte von $A$ ist gleich $ℝ$ .
(iii): Jede abgeschlossene Menge, die $A$ enthält, ist gleich $ℝ$ .

Übung (Dichtheit der irrationalen Zahlen).

Zeigen Sie, dass die Menge $ℝ ∖ ℚ$ der irrationalen Zahlen dicht liegt in $ℝ$ .

Hinweis.

Verschieben Sie die Menge der rationalen Zahlen um eine irrationale Zahl.

Übung.

Berechnen Sie die Häufungspunkte folgender Teilmengen von $ℝ$ .

\begin{array}{l} {\frac{1}{n} ∣ n \in ℕ}, (0, 1), {\frac{1}{1 - r} ∣ r \in (- 1, 1)} \end{array}

Übung (Supremum als Häufungspunkt).

Sei $A \subseteq ℝ$ eine von oben beschränkte Teilmenge. Zeigen Sie, dass $A$ ein Maximum besitzt oder das Supremum von $A$ ein Häufungspunkt der Menge $A$ ist.

Hinweis.

Falls $\sup A \notin A$ kombinieren Sie am besten die Aussage in Satz 2.59 mit Definition 2.73.

Übung (Überabzählbare Mengen haben Häufungspunkte).

Sei $A \subseteq ℝ$ überabzählbar (aber möglicherweise unbeschränkt). Zeigen Sie, dass dann $A$ einen Häufungspunkt besitzt.

Hinweis.

Betrachten Sie die Durschschnitte $A \cap [- n, n]$ für $n \in ℕ$ und ob diese endlich oder unendlich sind.

Übung.

Finden Sie für jedes $n \in ℕ$ ein Intervall $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ mit rationalen Endpunkten $a_{n}, b_{n} \in ℚ$ wie in obigem Satz, so dass $⋂_{n = 1}^{\infty} I_{n} = {\sqrt{2}}$ gilt. Schliessen Sie daraus, dass das Intervallschachtelungsprinzip in $ℚ$ nicht erfüllt ist. (Hierbei ist ein Intervall in $ℚ$ definiert als der Durchschnitt von $ℚ$ mit einem reellen Intervall mit rationalen Endpunkten.)

Übung (Das Vollständigkeitsaxiom und das Supremum).

Zeigen Sie, dass Satz 2.59 zum Vollständigkeitsaxiom (Axiom (16)) äquivalent ist. Genauer formuliert: zeigen Sie, dass die Axiome eines angeordneten Körpers (das wären Axiome (1) –(15)) gemeinsam mit der Aussage in Satz 2.59 das Vollständigkeitsaxiom (Axiom (16) ) implizieren.

Übung (Eine weitere Formen des Vollständigkeitsaxioms).

Zeigen Sie in Analogie zu obiger Übung, dass unter Annahme der Axiome eines angeordneten Körpers (1)–(15) das Intervallschachtelungsprinzip zusammen mit dem Archimedischen Prinzip äquivalent zum Vollständigkeitsaxiom sind.

Übung.

Zeigen Sie, dass jede nichtleere offene Teilmenge von $ℝ$ überabzählbar ist.

Hinweis.

Verifizieren Sie der Einfachheit halber zuerst, dass $(0, 1)$ überabzählbar ist.

Übung (Multiplikation mit 3 auf der Cantor-Menge).

Zeigen Sie, dass die Abbildung

\begin{array}{l} m_{3} : C_{n + 1} \to C_{n}, x \mapsto {\begin{matrix} 3 x & falls x \in [0, \frac{1}{3}], \\ 3 (x - \frac{2}{3}) & falls x \in [\frac{2}{3}, 1] . \end{matrix} \end{array}

wohldefiniert ist. Intuitiv sagt uns die Abbildung $m_{3}$ also, dass $C_{n + 1}$ aus zwei Hälften besteht, die jeweils aussehen wie kontrahierte Kopien von $C_{n}$ . (Wieso?)

Übung (Rechtecksschachtelungprinzip in $ℂ$ ).

Wir bezeichnen eine Menge der Form

R = [a, b] \times [c, d] = {z = x + y i ∣ x \in [a, b], y \in [c, d]}

als ein abgeschlossenes beschränktes Rechteck. Beweisen Sie folgendes Rechtecksschachtelungsprinzip in $ℂ$ : Seien $R_{n}$ für jedes $n \in ℕ$ ein abgeschlossenes beschränktes Rechteck so dass $R_{m} \supseteq R_{n}$ für $m \leq n$ . Dann ist der abzählbare Durchschnitt $⋂_{n = 1}^{\infty} R_{n}$ nicht-leer.

Hinweis.

Verwenden Sie zuerst das Intervallschachtelungsprinzip für die Projektionen der Rechtecke auf die reelle Achse.

Übung (Häufungspunkte in $ℂ$ ).

Sei $A \subseteq ℂ$ und $z_{0} \in ℂ$ . Dann heisst $z_{0}$ ein Häufungspunkt von der Menge $A$ falls es zu jedem $𝜀 > 0$ ein $a \in A$ gibt mit $0 < | a - z_{0} | < 𝜀$ . Sei nun $A$ eine unendliche und beschränkte (das heisst, es existiert $M > 0$ mit $A \subseteq B_{M} (0)$ ) Teilmenge. Zeigen Sie, dass ein Häufungspunkt der Menge $A$ in $ℂ$ existiert.

Eine kurze Anleitung: Auf Grund der Beschränktheit der Menge $A$ existiert ein $D > 0$ so dass $A \subseteq [- D, D] \times [- D, D]$ . Sie können für den Beweis zuerst obiges Rechtecksschachtelungsprinzip beweisen und dann verwenden. Alternativ können Sie den Beweis von Satz 2.75 adaptieren: definieren Sie

\begin{array}{l} X = & {x \in ℝ ∣ | A \cap ([- \infty, x] \times ℝ) | < \infty} \\ x_{0} = & \sup X \\ Y = & {y \in ℝ ∣ \exists 𝜀 > 0 : | A \cap ([x_{0} - 𝜀, x_{0} + 𝜀] \times (- \infty, y]) | < \infty} \\ y_{0} = & \sup Y \end{array}

und zeigen Sie, dass $x_{0} + y_{0} i$ ein Häufungspunkt ist.

Übung (Challenge).

Gibt es eine Kollektion ${A_{t} ∣ t \in ℝ}$ von Teilmengen von $ℕ$ mit der Eigenschaft $A_{t} ⊊ A_{t^{'}}$ für alle $t < t^{'}$ in $ℝ$ und $⋃_{t \in ℝ} A_{t} = ℕ$ ?

Kryptischer Hinweis.

Ja, es gibt derartige Mengen. Verwenden Sie, dass $ℕ$ und $ℚ$ gleichmächtig sind.

2.7 Weitere Lernmaterialien

2.7.1 Verwendung des Kapitels

Übung.

Übung.

Übung.

Übung.

Übung.

2.7.2 Weitere Übungsaufgaben

Übung (Parallelogrammidentität).

Übung (Mittelsenkrechte).

Übung (Körper mit zwei Elementen).

Übung (Kongruente Zahlen).

Applet (Darstellung des Quotienten modulo Kongruenz).

Übung (Körper von Primzahlordnung).

Übung.

Übung (Topologie auf ℝ und ℂ).

Übung (Charakterisierung von Dichtheit).

Übung (Dichtheit der irrationalen Zahlen).

Übung.

Übung (Supremum als Häufungspunkt).

Übung (Überabzählbare Mengen haben Häufungspunkte).

Übung.

Übung (Das Vollständigkeitsaxiom und das Supremum).

Übung (Eine weitere Formen des Vollständigkeitsaxioms).

Übung.

Übung (Multiplikation mit 3 auf der Cantor-Menge).

Übung (Rechtecksschachtelungprinzip in ℂ).

Übung (Häufungspunkte in ℂ).

Übung (Challenge).

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Übung (Topologie auf $ℝ$ und $ℂ$ ).

Übung (Rechtecksschachtelungprinzip in $ℂ$ ).

Übung (Häufungspunkte in $ℂ$ ).