Sei $f\in C\left(\right[a,b\left]\right)$ und $𝜀>0$. Nach Satz 3.77 ist $f$ gleichmässig stetig und es gibt ein $\delta >0$, so dass für alle $x,y\in [a,b]$ gilt

Sei $ℨ=\left\{a=x_0<x_1<\dots <x_n=b\right\}$ eine Zerlegung von $[a,b]$ mit

Zum Beispiel können wir die Zerlegung durch $x_k=a+k\frac{b-a}{n}$ für $k=0,\dots ,n$ und ein hinreichend grosses $n\in \mathbb{N}$ definieren. Wir definieren für jedes $k\in \left\{1,\dots ,n\right\}$ die Zahlen

wobei wir Korollar 3.71 für die Existenz von Minimum und Maximum verwendet haben. Wir behaupten nun, dass für alle $k\in \left\{1,\dots ,n\right\}$

gilt. In der Tat ist $m_k=f\left(z_{\min }\right)$ und $M_k=f\left(z_{\max }\right)$ für $z_{\min },z_{\max }\in [x_{k-1},x_k]$. Da aber $x_k-x_{k-1}<\delta$ ist, haben wir auch $|z_{\min }-z_{\max }|<\delta$. Auf Grund der Wahl von $\delta$ mit (4.16) erhalten wir also unsere Behauptung $M_k-m_k=f\left(z_{\max }\right)-f\left(z_{\min }\right)<𝜀$.

Wir definieren nun Treppenfunktionen $u,o$ durch

für $x\in [a,b]$. Nach Definition von $m_k,M_k$ für $k\in \left\{1,\dots ,n\right\}$ gilt daher $u\le f\le o$. Des Weiteren ist

Da $𝜀>0$ beliebig war (und $b-a$ fix ist), zeigt dies mittels Proposition 4.12, dass $f$ Riemann-integrierbar ist.   

Angenommen es existieren zu jedem $𝜀>0$ stetige Funktionen $f_{+},f_{-}$ wie in der Proposition. Sei $𝜀>0$ und wähle stetige Funktionen $f_{+}$ und $f_{-}$ mit $f_{-}\le f\le f_{+}$ und

Da $f_{+}$ als stetige Funktion nach Satz 4.42 auch Riemann-integrierbar ist, so existiert eine Treppenfunktion $o\in \mathcal{𝒯}\mathcal{ℱ}\left(\right[a,b\left]\right)$ mit $f_{+}\le o$ und ${\int }_a^b\left(o-f_{+}\right)dx<𝜀$. Genauso existiert $u\in \mathcal{𝒯}\mathcal{ℱ}\left(\right[a,b\left]\right)$ mit $u\le f_{-}$ und ${\int }_a^b\left(f_{-}-u\right)dx<𝜀$. Zusammenfassend gilt $u\le f_{-}\le f\le f_{+}\le o$ sowie nach Linearität

Da $𝜀>0$ beliebig war, beweist dies mit Hilfe von Proposition 4.12 die erste, einfachere Richtung der Proposition.

Wir beweisen nun die verbleibende Richtung und nehmen dazu zuerst an, dass $t$ eine Treppenfunktion ist. Sei $ℨ=\left\{a=x_0<x_1<\dots <x_{n-1}<x_n=b\right\}$ eine Zerlegung in Konstanzintervalle für $t$ und seien $c_1,\dots ,c_n$ die Konstanzwerte. Wir konstruieren eine stetige Funktion $t_{+}:[a,b]\to ℝ$ mit $t\le t_{+}$ und ${\int }_a^b\left(t_{+}-t\right)dx<𝜀$. Wenden wir dies auf $-t$ an, so lässt sich analog eine stetige Funktion $t_{-}$ auf $[a,b]$ mit $t_{-}\le f$ und ${\int }_a^b\left(t-t_{-}\right)dx<𝜀$ finden.

Bevor wir eine explizite Definition von $t_{+}$ angeben, fassen wir die Idee in folgendem Bild zusammen.

     Figur 4.4: In blau gestrichelt die Treppenfunktion $t$, in rot eine stetige, stückweise lineare Funktion $t_{+}$. Für alle $x$, die nicht in der Nähe eines Punktes von $ℨ$ sind, ist $t\left(x\right)=t_{+}\left(x\right)$. In der Nähe der Punkte von $ℨ$ ersetzen wir $t$ durch eine genügend hohe aber „stetige Spitze“, so dass $t$ unter der Spitze liegt. Damit die Definition etwas einfacher ist, wählen wir überall die gleiche „Höhe und Breite“ der Spitze; natürlich ist dies nicht zwingend nötig.     

Sei $\delta >0$ mit

vorerst beliebig (dies wird die „halbe Breite“ der Spitzen sein). Da $t$ eine Treppenfunktion ist, existeren $m=\min t\left(\right[a,b\left]\right)$ und $M=\max t\left(\right[a,b\left]\right)$. Zur formalen Definition von $t_{+}$ verwenden wir die Zerlegung $ℨ=\left\{a=x_0<\dots <x_n=b\right\}$, die Konstanzwerte $c_1,\dots ,c_n$ von $t$ und für alle $x\in [a,b]$ die Fallunterscheidung

wobei $k\in \{1,\dots ,n\}$ beliebig ist und die verschiedenen Fälle auf Grund unserer Wahl von $\delta$ disjunkt sind. Aus Korollar 3.51 und mehrfacher Anwendung von Übung 3.54 folgt, dass $t_{+}$ stetig ist. Dank der Definition von $m$ und $M$ ist auch $m\le t\le t_{+}\le M$. Weiter gilt für jedes Konstanzintervall $(x_{k-1},x_k)$, dass $t_{+}\left(x\right)=t\left(x\right)=c_k$ für alle $x\in (x_{k-1},x_k)$ mit Distanz grösser als $\delta$ von den Randpunkten $x_{k-1},x_k$. Insbesondere ist

und damit

Wählen wir nun $\delta <\frac{𝜀}{2(M-m)n}$, so ist $2(M-m)\delta n<𝜀$. Daher hat die stetige Funktion $t_{+}$ alle gewünschten Eigenschaften.

Sei nun $f$ eine beliebige Riemann-integrierbare Funkton und sei $𝜀>0$. Nach Proposition 4.12 existieren Treppenfunktionen $u,o\in \mathcal{𝒯}\mathcal{ℱ}\left(\right[a,b\left]\right)$ mit $u\le f\le o$ und ${\int }_a^b\left(o-u\right)dx<𝜀$. Seien $u_{-},o_{+}\in C\left(\right[a,b\left]\right)$ wie oben konstruiert mit $u_{-}\le u$, $o\le o_{+}$, ${\int }_a^b\left(u-u_{-}\right)dx<𝜀$ und ${\int }_a^b\left(o_{+}-o\right)dx<𝜀$. Die stetigen Funktionen $f_{-}=u_{-}$ und $f_{+}=o_{+}$ erfüllen damit $f_{-}\le f\le f_{+}$ und ${\int }_a^b\left(f_{+}-f_{-}\right)dx<3𝜀$. Da $𝜀>0$ beliebig war, haben wir damit die zweite Implikation der Proposition gezeigt.