Absolute Konvergenz – Analysis I (Kap. 1-9)

7.2 Absolute Konvergenz

In diesem Abschnitt wollen wir uns vor allem mit absolut konvergenten Reihen auseinandersetzen und einige Konvergenzkriterien beweisen. Auch möchten wir zeigen, dass absolut konvergente Reihen im Gegensatz zu bedingt konvergenten Reihen stabilere Eigenschaften haben.

Proposition 7.28 (Absolute Konvergenz).

Eine absolut konvergente Reihe $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ist auch konvergent und es gilt die verallgemeinerte Dreiecksungleichung

\begin{array}{l} | \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} | \leq \sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | . \end{array}

Beweis.

Der erste Teil folgt unmittelbar aus zweimaliger Anwendung des Cauchy-Kriteriums für Reihen (Satz 7.26): Da die Reihe $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ konvergiert, gibt es für $𝜀 > 0$ nach dem Cauchy-Kriterium ein $N \in ℕ$ , so dass für $n \geq m \geq N$ die Abschätzung

\begin{array}{l} \sum_{k = m}^{n} | a_{k} | < 𝜀 \end{array}

gilt. Daraus folgt

\begin{array}{l} | \sum_{k = m}^{n} a_{k} | \leq \sum_{k = m}^{n} | a_{k} | < 𝜀 \end{array}

mit der Dreiecksungleichung. Da $𝜀 > 0$ beliebig war, beweist dies nach dem Cauchy-Kriterium die Konvergenz der Reihe $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ .

Der zweite Teil folgt nun aus der Ungleichung

\begin{array}{l} | \sum_{k = 1}^{n} a_{k} | \leq \sum_{k = 1}^{n} | a_{k} | \end{array}

für alle $n \in ℕ$ und dem Grenzübergang für $n \to \infty$ .

■

7.2.1 Hinreichende Kriterien für absolute Konvergenz

Falls sich die Glieder einer Reihe im Absolutbetrag durch die Glieder einer konvergenten Reihe abschätzen lassen, so ist die Reihe konvergent, wie wir in folgendem Korollar des Vergleichssatzes (Korollar 7.12) zeigen.

Korollar 7.29 (Majorantenkriterium von Weierstrass).

Sei ${(a_{n})}_{n}$ eine komplexe und ${(b_{n})}_{n}$ eine reelle Folge mit $| a_{n} | \leq b_{n}$ für alle hinreichend grossen $n \in ℕ$ . Falls $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ konvergiert, dann ist $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ absolut konvergent und daher auch konvergent.

Beweis.

Da endlich viele Startglieder vernachlässigt werden können, dürfen wir annehmen, dass die Ungleichung $| a_{n} | \leq b_{n}$ für alle $n \in ℕ$ gilt. Nach dem Vergleichssatz (Korollar 7.12) ist $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ dann absolut konvergent und die Konvergenz folgt aus Proposition 7.28.

■

Wir möchten nun zwei Korollare des Majorantenkriteriums diskutieren.

Korollar 7.30 (Cauchy-Wurzelkriterium).

Sei ${(a_{n})}_{n}$ eine Folge komplexer Zahlen und

\begin{array}{l} α = \underset{n \to \infty}{limsup} \sqrt[n]{| a_{n} |} \in ℝ \cup {\infty} . \end{array}

Dann gilt

\begin{array}{l} α < 1 & \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ist absolut konvergent, \\ α > 1 & \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ist divergent und {(a_{n})}_{n} ist keine Nullfolge . \end{array}

Sehr schwammig ausgedrückt lässt sich eine Folge ${(a_{n})}_{n}$ für $α < 1$ wie in Korollar 7.30 bis auf endlich viele Glieder und einen kleinen Fehler $𝜀 > 0$ von oben durch die geometrische Folge ${(α + 𝜀)}^{n}$ abschätzen. Somit kann man Korollar 7.29 anwenden. Nun aber genauer.

Beweis.

Angenommen $α < 1$ . Dann gibt es ein $n \in ℕ$ mit

\begin{array}{l} \sup_{k \geq n} \sqrt[k]{| a_{k} |} < q = \frac{1 + α}{2} < 1 \end{array}

und somit $| a_{k} | < q^{k}$ für alle $k \geq n$ . Die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ konvergiert somit absolut wegen dem Majorantenkriterium (Korollar 7.29) und der geometrischen Reihe in Beispiel 7.3.

Falls $α > 1$ gilt, gibt es nach Satz 6.15 eine Teilfolge ${(a_{n_{k}})}_{k}$ mit $\sqrt[n_{k}]{| a_{n_{k}} |} > 1$ für alle $k$ . Daraus folgt aber $| a_{n_{k}} | > 1$ . Insbesondere ist ${(a_{n})}_{n}$ keine Nullfolge und $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ divergiert nach Proposition 7.2.

■

Beispiel 7.31 (Der Fall $α = 1$ in Korollar 7.30).

Sei ${(a_{n})}_{n}$ eine Folge komplexer Zahlen und $α = {limsup}_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |}$ wie im Wurzelkriterium (Korollar 7.30). Falls $α = 1$ , dann kann anhand des Wurzelkriteriums keine Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz der Reihe $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ getroffen werden.

•

Ist

a_{n} = \frac{1}{n}

für alle

n \in ℕ

, dann gilt

\sqrt[n]{| a_{n} |} = \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \to 1

für

n \to \infty

wegen Beispiel 6.4 und wegen Beispiel 7.4 divergiert die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}

gegen Unendlich.

•

Ist

a_{n} = \frac{1}{n^{2}}

für alle

n \in ℕ

, dann gilt

\sqrt[n]{| a_{n} |} = \frac{1}{{\sqrt[n]{n}}^{2}} \to 1

für

n \to \infty

und

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

konvergiert nach Beispiel 7.14.

Korollar 7.32 (D’Alemberts Quotientenkriterium).

Sei ${(a_{n})}_{n}$ eine Folge komplexer Zahlen mit $a_{n} \neq 0$ für alle $n \in ℕ$ , so dass

\begin{array}{l} α = \lim_{n \to \infty} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} \end{array}

existiert. Dann gilt

\begin{array}{l} α < 1 & \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ist absolut konvergent. \\ α > 1 & \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ist divergent und {(a_{n})}_{n} konvergiert nicht gegen Null. \end{array}

Wichtige Übung 7.33.

Beweisen Sie Korollar 7.32.

Hinweis.

Gehen Sie wie im Beweis von Korollar 7.30 vor. Für $α < 1$ finden Sie ein $q < 1$ , so dass $\frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} < q$ für alle bis auf endlich viele $n$ .

Übung 7.34.

Wieso kann man im Quotientenkriterium (Korollar 7.32) nicht auch den Limes superior anstelle des Limes verwenden?

Lösung.

In der Tat folgt aus ${limsup}_{n \to \infty} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} < 1$ , dass die Reihe $\sum_{n = 1}^{\infty}$ absolut konvergiert, was ebenso ähnlich wie im Beweis von Satz 7.30 gezeigt werden kann. Doch kann aus ${limsup}_{n \to \infty} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} > 1$ keine Aussage über die Konvergenz der Reihe getroffen werden. Als Beispiel hierzu betrachten wir die Folge

\begin{array}{l} a_{n} = {\begin{matrix} 2^{- n} für ungerades n \in ℕ, \\ 3^{- n} für gerades n \in ℕ . \end{matrix} \end{array}

Für diese Folge gilt

\begin{array}{l} \underset{n \to \infty}{limsup} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = \lim_{k \to \infty} \frac{2^{- (2 k + 1)}}{3^{- 2 k}} \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2} {(\frac{3}{2})}^{2 k} = \infty . \end{array}

Trotzdem ist aber die Reihe $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ konvergent, was unter Verwendung von zwei geometrischen Reihen oder dem Wurzelkriterium schnell folgt.

7.2.2 Umordnen von Reihen

Im Gegensatz zur bedingten Konvergenz in Teilabschnitt 7.1.2 ist absolute Konvergenz sehr robust. Der erste dieser Robustheitssätze ist folgender positive Umordnungssatz.

Satz 7.35 (Umordnen absolut konvergenter Reihen).

Sei $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ eine absolut konvergente Reihe mit komplexen Gliedern. Sei $φ : ℕ \to ℕ$ eine Bijektion. Dann ist $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{φ (n)}$ ebenso absolut konvergent und es gilt

\begin{align} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{φ (n)} . & (7.2) \end{align}

Beweis.

Sei $φ : ℕ \to ℕ$ eine Bijektion und $𝜀 > 0$ . Nach dem Cauchy-Kriterium (Satz 7.26) gibt es ein $N \in ℕ$ , so dass $\sum_{k = m}^{n} | a_{k} | < 𝜀$ für alle natürliche Zahlen $n \geq m \geq N$ . Daher gilt auch nach der Dreiecksungleichung in Proposition 7.28, dass

\begin{array}{l} | \sum_{k = m}^{\infty} a_{k} | \leq \sum_{k = m}^{\infty} | a_{k} | \leq 𝜀 \end{array}

für alle $m \geq N$ . (Es hilft vielleicht für das Folgende diese Abschätzung als „Die Summanden $a_{1}, \dots, a_{N}$ der ursprünglichen Reihe sind wichtig, aber die restlichen Summanden sind weniger wichtig.“ zu interpretieren.)

Wir definieren $M = \max {φ^{- 1} (k) ∣ k \leq N}$ und wählen ein $n \geq M$ . Dann gilt

\begin{array}{l} | \sum_{ℓ = 1}^{n} a_{φ (ℓ)} - \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} | & = | \sum_{ℓ = 1}^{n} a_{φ (ℓ)} - \sum_{k = 1}^{N} a_{k} - \sum_{k = N + 1}^{\infty} a_{k} | \\ \leq | \sum_{ℓ \leq n, φ (ℓ) > N} a_{φ (ℓ)} | + \underset{\leq 𝜀}{\underset{︸}{| \sum_{k = N + 1}^{\infty} a_{k} |}} \\ \leq \sum_{ℓ \leq n, φ (ℓ) > N} | a_{φ (ℓ)} | + 𝜀 < 𝜀 + 𝜀, \end{array}

wobei wir verwendet haben, dass $φ$ eine Bijektion ist. Insbesondere treten damit und wegen $n \geq M$ alle $k \in {1, \dots, N}$ genau einmal als $φ (ℓ)$ für $ℓ \in {1, \dots, n}$ auf und die Differenz $\sum_{ℓ = 1}^{n} a_{φ (ℓ)} - \sum_{k = 1}^{N} a_{k}$ enthält nach Wegstreichen dieser Terme nur mehr eine Summe über gewisse $a_{k}$ mit $k \geq N$ (welche wir im Sinne obiger Interpretation als „weniger wichtig“ betrachten und formal eben insgesamt durch ein $𝜀$ abschätzen können). Da $𝜀 > 0$ beliebig war, zeigt dies die Gleichung (7.2).

Wenden wir dasselbe Argument wie oben auf die Reihe $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{φ (n)} |$ an, ergibt sich auch die absolute Konvergenz von $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{φ (n)}$ .

■

7.2.3 Produkte

Wir zeigen nun, dass wir absolut konvergente Reihen gliedweise ausmultiplizieren können.

Satz 7.36 (Produktsatz).

Seien $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ und $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ zwei absolut konvergente Reihen und $φ : ℕ \to ℕ \times ℕ$ eine bijektive Abbildung. Dann ist

\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{φ {(n)}_{1}} b_{φ {(n)}_{2}} \end{array}

eine absolut konvergente Reihe, wobei $φ (n) = (φ {(n)}_{1}, φ {(n)}_{2})$ für alle $n \in ℕ$ . Weiters gilt

\begin{align} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{φ {(n)}_{1}} b_{φ {(n)}_{2}} = (\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}) (\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}) . & (7.3) \end{align}

Informell ausgedrückt kann man schreiben

\begin{array}{l} (\sum_{m = 1}^{\infty} a_{m}) (\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}) = \sum_{m = 1}^{\infty} (\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}) a_{m} = \sum_{(m, n) \in ℕ^{2}} a_{m} b_{n} . \end{array}

Die beiden (internen) Indices $(m, n)$ würde man nun gerne anders ausdrücken, damit aus der Doppelsumme auf der rechten Seite (die wir eigentlich nicht definiert haben) eine einfache Summe wird. Wählt man eine Bijektion $φ : ℕ \to ℕ \times ℕ$ , so durchläuft $φ (k)$ alle $(m, n)$ und somit wird aus der Doppelsumme eine einfache Summe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{φ {(k)}_{1}} b_{φ {(k)}_{2}}$ . Satz 7.36 besagt nun, dass diese Reihe effektiv konvergiert und gleich dem gewünschten Produkt ist.

Beweis.

Wir wählen zuerst die Bijektion $φ : ℕ \to ℕ^{2}$ so dass

\begin{array}{l} {φ (1), φ (2), \dots, φ (n^{2})} = {1, 2, \dots, n} \times {1, 2, \dots, n} \end{array}

für alle $n \in ℕ$ . Zum Beispiel könnte $φ$ wie im folgenden Bild definiert sein.† Wir verwenden hier das Bild um uns eine sonst eher langweilige formale Definition der Abbildung $φ$ zu ersparen. Sie sollten sich aber davon überzeugen, dass man diese Definition durchaus formal machen kann oder einfach formal mittels Induktion nach $n$ die Existenz einer Bijektion mit der gewünschten Eigenschaft zeigen kann. Wir verwenden hier also das Bild als eine Abkürzung für einen formalen Beweis und nicht als einen Ersatz.

$PIC$

Für jedes $n \in ℕ$ gilt dann für die Partialsumme bis $n^{2}$ der gliedweise multiplizierten Reihe der Absolutbeträge das (endliche verallgemeinerte) Distributivgesetz

\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n^{2}} | a_{φ {(k)}_{1}} | | b_{φ {(k)}_{2}} | = (\sum_{ℓ = 1}^{n} | a_{ℓ} |) (\sum_{m = 1}^{n} | b_{m} |) . \end{array}

Insbesondere folgt also

\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n^{2}} | a_{φ {(k)}_{1}} | | b_{φ {(k)}_{2}} | \leq (\sum_{ℓ = 1}^{\infty} | a_{ℓ} |) (\sum_{m = 1}^{\infty} | b_{m} |) \end{array}

für alle $n \in ℕ$ . Da aber für eine Reihe mit nicht-negativen Termen die Folge die Partialsummen monoton wachsend sind, folgt daraus dass die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{φ {(k)}_{1}} | | b_{φ {(k)}_{2}} |$ konvergiert und damit die Reihe $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{φ {(k)}_{1}} b_{φ {(k)}_{2}}$ absolut konvergent ist.

Obiges Distributivgesetz gilt auch in der Form

\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n^{2}} a_{φ {(k)}_{1}} b_{φ {(k)}_{2}} = (\sum_{ℓ = 1}^{n} a_{ℓ}) (\sum_{m = 1}^{n} b_{m}) . \end{array}

für alle $n \in ℕ$ . Mit Hilfe des Grenzwertübergangs $n \to \infty$ erhalten wir daraus

\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{\infty} a_{φ {(k)}_{1}} b_{φ {(k)}_{2}} = (\sum_{ℓ = 1}^{\infty} a_{ℓ}) (\sum_{m = 1}^{\infty} b_{m}) . \end{array}

Betrachten wir eine beliebige Bijektion $ψ : ℕ \to ℕ^{2}$ , so ist $φ^{- 1} \circ ψ : ℕ \to ℕ$ eine Bijektion und die Formel

\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{\infty} a_{ψ {(k)}_{1}} b_{ψ {(k)}_{2}} = (\sum_{ℓ = 1}^{\infty} a_{ℓ}) (\sum_{m = 1}^{\infty} b_{m}) . \end{array}

folgt aus obigem und dem Umordnungssatz (Satz 7.35).

■

Wie wir in Abschnitt 3.2 gesehen haben, lassen sich Polynome mittels der Regel

\begin{array}{l} (\sum_{n = 0}^{N} a_{n} x^{n}) (\sum_{n = 0}^{N} b_{n} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{2 N} (\sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} b_{k}) x^{k} \end{array}

multiplizieren, wobei wir $a_{N + 1} = \dots = a_{2 N} = b_{N + 1} = \dots = b_{2 N} = 0$ setzen. Setzt man $x = 1$ , erhält man insbesondere

\begin{array}{l} (\sum_{n = 0}^{N} a_{n}) (\sum_{n = 0}^{N} b_{n}) = \sum_{n = 0}^{2 N} (\sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} b_{k}) . \end{array}

Diese Identität trifft, wie sich herausstellt, analog für Reihen zu, was wir im folgenden Korollar des Produktsatzes (Satz 7.36) festhalten wollen.

Korollar 7.37 (Cauchy-Produkt).

Falls $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ und $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$ absolut konvergente Reihen mit komplexen Gliedern sind, dann gilt

\begin{array}{l} \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} b_{k}) = (\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}) (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}), \end{array}

wobei die Reihe $\sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} b_{k})$ absolut konvergent ist.

Beweis.

Dies folgt, indem wir die Abzählung $φ$ von $ℕ_{0} \times ℕ_{0}$ aus dem Bild unten auf den Produktsatz (Satz 7.36) anwenden und dann Glieder zusammenfassen (Lemma 7.9).

$PIC$

Die absolute Konvergenz folgt ebenso aus Satz 7.36 und

\begin{array}{l} \sum_{n = 0}^{\infty} | \sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} b_{k} | \leq \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} | a_{n - k} b_{k} | < \infty . \end{array}

■

Beispiel 7.38.

Sei $q \in ℂ$ mit $| q | < 1$ . Dann konvergiert $\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n}$ absolut. Wenden wir das Cauchy-Produkt auf diese Reihe und sich selbst an, so erhalten wir

\begin{array}{l} \frac{1}{{(1 - q)}^{2}} & = {(\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n})}^{2} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} q^{n - k} q^{k} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) q^{n} . \end{array}

Auf diese Weise erhalten wir auch eine Summenformel für

\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} n q^{n} = q \sum_{n = 1}^{\infty} n q^{n - 1} = q \sum_{k = 0}^{\infty} (k + 1) q^{k} = \frac{q}{{(1 - q)}^{2}}, \end{array}

wobei wir die Indexverschiebung $k = n - 1$ durchgeführt haben.

Übung 7.39.

Formal lässt sich auch für bedingt konvergente Reihen $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ und $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$ das Cauchy-Produkt $\sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} b_{k})$ bilden. Es muss jedoch nicht mehr konvergent sein: Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt der bedingt konvergenten Reihe

\begin{array}{l} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{\sqrt{n + 1}} \end{array}

mit sich selbst divergiert.

7.2 Absolute Konvergenz

Proposition 7.28 (Absolute Konvergenz).

7.2.1 Hinreichende Kriterien für absolute Konvergenz

Korollar 7.29 (Majorantenkriterium von Weierstrass).

Korollar 7.30 (Cauchy-Wurzelkriterium).

Beispiel 7.31 (Der Fall α = 1 in Korollar 7.30).

Korollar 7.32 (D’Alemberts Quotientenkriterium).

Wichtige Übung 7.33.

Übung 7.34.

7.2.2 Umordnen von Reihen

Satz 7.35 (Umordnen absolut konvergenter Reihen).

7.2.3 Produkte

Satz 7.36 (Produktsatz).

Korollar 7.37 (Cauchy-Produkt).

Beispiel 7.38.

Übung 7.39.

License

Beispiel 7.31 (Der Fall $α = 1$ in Korollar 7.30).