8.5 Erste Differentialgleichungen

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung der Form $F(y^{\prime },y,x)=0$, die eine reellwertige Funktion $y=y\left(x\right)$, ihre Ableitung $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$ und die unabhängige Variable $x$ mittels einer reellwertigen Abbildung $F$ auf einer offenen Teilmenge von ${ℝ}^3$ verknüpft. Gesucht sind die Funktionen $y:I\to ℝ$, die die Gleichung $F\left(y^{\prime }\right(x),y(x),x)=0$ für alle $x\in I$ erfüllen, wobei der Definitionsbereich $I$ der gesuchten Funktion $y$ ein Intervall $I\subseteq ℝ$ sein soll.

Da es normalerweise mehrere Lösungen gibt, verlangt man üblicherweise noch etwas mehr Information, nämlich den Wert der Funktion $y\left(x_0\right)=y_0$ bei einem fest gewählten Ausgangspunkt $x_0\in I$. Eine Differentialgleichung $F(y^{\prime },y,x)=0$ gemeinsam mit der Bedingung $y\left(x_0\right)=y_0$ wird ein Anfangswertproblem genannt.

Um genau zu sein, nennt man eine Differentialgleichung $F(y^{\prime },y,x)=0$ eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung. Hier steht „gewöhnlich“ dafür, dass wir nur eine unabhängige Variable verwenden. „Erster Ordnung“ steht dafür, dass nur die erste (und keine höheren Ableitungen) der gesuchten Lösung in der durch $F$ gegebenen Gleichung erscheint. Wir werden häufig Differentialgleichungen der expliziten Form $y^{\prime }=f(y,x)$ betrachten, wobei dann $f$ eine reellwertige Funktion darstellt, die auf einer offenen Teilmenge von ${ℝ}^2$ definiert sein soll.

Ein Beispiel einer solchen gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung ist die Gleichung $y^{\prime }=\frac{x}{y}$. Durch Anstarren der Gleichung lässt sich eine Lösung dieser Differentialgleichung erraten, nämlich $y=x$. Wir stellen aber fest, dass es ausgehend von dieser Lösung nicht klar ist, ob es andere Lösungen gibt und wie solche aussehen könnten. Auch unklar ist, wie viele Lösungen vor und nach Angabe eines Anfangswert existieren (und ob überhaupt welche existieren). Wir begnügen uns in diesem Abschnitt mit der Betrachtung von einigen Spezialfällen und werden gegen Ende des zweiten Semesters nochmals ausführlicher auf das Thema der Differentialgleichungen eingehen.

Wir möchten kurz anmerken, dass gewöhnliche Differentialgleichungen (erster Ordnung und höherer Ordnungen) in vielen Gebieten der Mathematik und der Naturwissenschaften auftreten. Beispielsweise hat das Zerfallsgesetz der Physik, mit dem (unter anderem) die Anzahl $N$ Teilchen in einem radioaktiven Stoff beschrieben werden können, eine natürliche Beschreibung in der Differentialgleichung $Ṅ=\frac{dN}{dt}=-\lambda N$ (für einen physikalischen Parameter $\lambda >0$).†† Das macht exakt gesehen kaum Sinn, denn die Anzahl sollte ja eigentlich eine natürliche Zahl sein und eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall mit Werten in $\mathbb{N}$ ist konstant. Da aber die Anzahl sehr gross und die Änderung der Anzahl in einer kleinen Zeitspanne relativ gesehen klein ist, macht es aus praktischen Gründen doch Sinn, dies als Differentialgleichung aufzufassen.

Wir können uns die rechte Seite der Differentialgleichung $y^{\prime }=f(y,x)$ auch als Richtungsfeld vorstellen, welches bei jedem Punkt $(x,y)$ eine vorgegebene Steigung der gesuchten Lösung der Differentialgleichung angibt. Dieses Richtungsfeld können wir mit kleinen Strichen in der richtigen Steigung in einem Bild visualisieren; die gesuchte Lösung sollte dann einen Graphen besitzen, der bei jedem Punkt des Graphen den vorgegebenen Strich bei dem Punkt als Tangente besitzt. Noch umgangssprachlicher formuliert, gibt das Richtungsfeld unendlich viele bereits fertig verlegte Schienen in der Ebene an und die gesuchte Lösung eines Anfangswertproblems zeigt uns, wohin der Zug fährt, wenn er in einem bestimmten Punkt wegfährt und den vorgegebenen Schienen folgt. In dieser Formulierung können wir fragen, ob wir immer angeben können, wohin der Zug fährt oder ob es nicht vielleicht auch „Weichen im Richtungsfeld“ geben könnte.

     Figur 8.8: Das Richtungsfeld zur Differentialgleichung $y^{\prime }=\frac{x}{y}$.     

Wir bemerken noch, dass das Lösen der Differentialgleichung, also das Auffinden der Lösung $y=y\left(x\right)$, mitunter schwierig ist, doch das Nachprüfen, ob eine Lösung vorliegt, auf Grund unserer Ableitungsregeln aus Abschnitt 8.1 meist sehr einfach ist.

8.5.1 Differenzengleichungen

Ein diskretes Analogon der Differentialgleichung $y^{\prime }=F(y,x)$ ist die Differenzengleichung

für eine gesuchte Funktion $y$ auf ${\mathbb{N}}_0$ und eine gegebene Funktion $F$ auf $ℝ\times {\mathbb{N}}_0$. Für diese Gleichung kann man rekursiv eine Lösung $y$ bestimmen, wenn man eine Anfangswertbedingung $y\left(0\right)=y_0\in ℝ$ gegeben hat (siehe die Besprechung der Rekursion in Abschnitt 2.2). In der Tat können wir

setzen und erhalten eine rekursiv bestimmte Lösung. Man beachte dabei, dass die Lösung eindeutig bestimmt ist (wieso?).

Die Differentialgleichung $y^{\prime }=F(y,x)$ sollte als eine kontinuierliche Version der Differenzengleichung $△y\left(n\right)=F\left(y\right(n),n)$ aufgefasst werden. Diese Analogie ist wohlgemerkt nicht ausschliesslich oberflächlich, sondern kann sowohl in der Praxis als auch in der Theorie zu wichtigen Ergebnissen führen.

Es kann zum Beispiel sein, dass man eigentlich an einem diskreten Problem interessiert ist, aber die einzelnen Schritte näherungsweise einer kleinen Zeitspanne $△x$ in einem kontinuierlichen Problem entsprechen. In diesem Fall ist es manchmal einfacher, anstelle des diskreten Problems die entsprechende Differentialgleichung zu betrachten.

Umgekehrt kann es sein, dass ein Anfangswertproblem $y^{\prime }=F(y,x)$, $y\left(0\right)=y_0$ auf dem Intervall $I=[0,\infty )$ gegeben ist, aber die Funktion $F$ zu kompliziert ist, um dieses mittels Standardfunktionen zu lösen. Stattdessen kann man in diesem Fall die Differentialgleichung in eine Differenzengleichung verwandeln. Sei also $△x=h>0$ eine kleine positive Zahl. Dann kann man eine Funktion $ỹ$ auf ${\mathbb{N}}_{0}h$ durch

definieren. Dabei hofft man, dass die gesuchte Lösung der Differentialgleichung $y$ und die Lösung obiger Differenzengleichung $ỹ$ einander wegen

ähnlich sind.

Diese Beschreibung ist natürlich bloss eine Heuristik (das Zeichen $\approx$ sollte dies ersichtlich machen). Sie kann jedoch in gewissen Fällen zu einer approximativen numerischen Lösung oder gar zu einem Beweis der Existenz einer Lösung führen.

     Figur 8.9: Vergleich der rekursiv definierten approximativen Lösung $ỹ$ (rote Punkte) mit linearer Interpolation (ebenfalls in Rot) zur Lösung $y$ in Blau. Das betrachtete Anfangswertproblem ist dabei $y^{\prime }=\frac{x}{y}$, $y\left(0\right)=1$, welches von $y=\sqrt{x^2+1}$ gelöst wird.     

8.5.2 Stammfunktionen

Eine der einfachsten Differentialgleichungen ist eine Gleichung der Form

für eine gegebene Funktion $f:I\to ℝ$ auf einem Intervall $I\subseteq ℝ$. Eine Lösung $F:I\to ℝ$, das heisst, eine differenzierbare Funktion $F:I\to ℝ$ mit $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ für alle $x\in I$, wird eine Stammfunktion von $f$ genannt. Wir schreiben auch

falls $F^{\prime }=f$, wobei $C\in ℝ$ eine unbestimmte Konstante – die Integrationskonstante – ist. Wir bemerken, dass $F\left(x\right)+C$ auch ${\left(F\right(x)+C)}^{\prime }=f\left(x\right)$ erfüllt, falls $F$ eine Stammfunktion und $C\in ℝ$ eine Konstante ist. Wir bezeichnen $\int f\left(x\right)dx$ als das unbestimmte Integral. Dabei ist es noch nicht klar, inwiefern das unbestimmte Integral von der Wahl einer Stammfunktion von $f$ abhängt, und was die Integraldarstellung mit dem Riemann-Integral zu tun hat. Die Notation wird zum Teil in folgendem Lemma (und vollständig in Kapitel 9) erklärt.

Das unbestimmte Integral bezeichnet per Definition die Umkehroperation zur Differentiation und die Integrationskonstante deutet an, dass wir jede weitere Stammfunktion erhalten können, indem wir zu einer bekannten Stammfunktion eine beliebige Konstante addieren.

Da wir bereits viele Ableitungsregeln (siehe Abschnitte 8.1 und 8.3) kennen, können wir diese rückwärts als Integrationsregeln (zur Bestimmung des unbestimmten Integrals) lesen. Wir werden dies systematisch im nächsten Kapitel besprechen und wollen hier nur einige erste Regeln ansprechen. Zum Beispiel gilt für $s\in ℝ$ (oder sogar für $s\in ℂ$)

nach Beispiel 8.15,

nach Beispiel 8.3(iii), Übung 8.4(ii) und den Abschnitten 8.3–8.4.

Wir begnügen uns vorerst mit dieser Liste und besprechen im nächsten Kapitel weitere Methoden der Berechnung des unbestimmten Integrals, aber erst nachdem wir die Frage „Was hat das so definierte unbestimmte Integral mit dem Riemann-Integral zu tun?“ beantwortet haben und dadurch noch mehr Motivation für die Betrachtung des unbestimmten Integral erhalten haben.

8.5.3 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Der nächst einfache Typ einer Differentialgleichung besteht aus den linearen Differentialgleichungen erster Ordnung, welche von der Form

für zwei gegebene Funktionen $f,g$ besteht. In der Gleichung $y^{\prime }+f\left(x\right)y=g\left(x\right)$ wird die Funktion $g$ auch die Störfunktion genannt. Falls die Störfunktion Null ist, nennen wir (8.13) homogen und sonst inhomogen.

Die Bezeichnung „linear“ entstammt der Tatsache, dass sich Gleichung (8.13) in der Tat als ein lineares Gleichungssystem auf geeigneten Vektorräumen auffassen lässt. Informell sieht man schnell, dass die Abbildung $y\mapsto y^{\prime }+f\left(x\right)y$ linear ist. Welche Vektorräume man dabei jedoch betrachten soll, hängt stark von den Eigenschaften der Funktionen $f$ und $g$ ab. Wir werden später etwas genauer auf diese Fragestellung eingehen, wenn wir allgemeiner Lösbarkeit von Differentialgleichungen diskutieren. Nun möchten wir aber eine Lösung von (8.13) finden, wobei wir zuerst den homogenen Fall thematisieren.

Lemma 8.61 ist natürlich nur dann interessant, wenn eine partikuläre Lösung bekannt ist. Ein nützlicher Trick, um eine solche zu finden, ist die Variation der Konstanten. Hierbei nimmt man an, dass in der Lösung $y_{\mathrm{hom}}\left(x\right)=A\exp (-F(x\left)\right)$ der homogenen Gleichung $A=A\left(x\right)$ eine differenzierbare Funktion der Variable $x$ statt einer Konstante ist. Das heisst, wir setzen $y\left(x\right)=A\left(x\right)\exp (-F(x\left)\right)$ für alle $x\in I$, berechnen

und wollen also $A^{\prime }\left(x\right)\exp (-F(x\left)\right)=g\left(x\right)$ lösen. Dies führt zu $A^{\prime }\left(x\right)=g\left(x\right)\exp \left(F\right(x\left)\right)$ und

Zusammenfassend kann man also eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $y^{\prime }+fy=g$ finden, indem man eine Stammfunktion $A\left(x\right)$ von $g\left(x\right)\exp \left(F\right(x\left)\right)$ findet und dann

setzt.

Die allgemeine Lösung $y_{\mathrm{inhom}}$ der inhomogenen Differentialgleichung $y^{\prime }+fy=g$ enthält nach Lemma 8.61 eine unbekannte Konstante (die in einer Lösung der homogenen Gleichung versteckt ist). Wenn nun zusätzlich ein Anfangswert $y\left(x_0\right)=y_0$ für $x_0\in I$ gegeben ist, dann kann man diesen zur Bestimmung der Konstante verwenden und dadurch das Anfangswertproblem lösen.

Um sich obiges Verfahren für das Anfangswertproblem $y^{\prime }+fy=g$, $y\left(x_0\right)=y_0$ zu merken, kann man auch folgendes „Kochrezept“ durchlaufen, die zum Teil die Leibniz-Notation verwenden und wegen obiger Diskussion zum richtigen Resultat führen.

Wir bemerken allerdings, dass der erste Schritt obiges Kochrezepts eigentlich nicht alle Lösungen lieferte. In der Tat haben wir zur Vereinfachung der Notation $A=\pm e^C\ne 0$ gesetzt, dann aber einfach von der Konstante $A\in ℝ$ gesprochen, wodurch wir die triviale Lösung der homogenen Differentialgleichung $y=0$ wiedergewonnen haben. Dieses und auch ähnliche Kochrezepte sind später sehr nützlich um Lösungen zu finden. Einmal gefunden, ist es normalerweise auch ein leichtes zu überprüfen, ob eine Funktion eine Lösung darstellt (und dies wird üblicherweise auch der Fall sein). Doch sollten wir uns bewusst sein, dass das Kochrezept möglicherweise nicht alle Lösungen liefert.

8.5.4 Zweite Ordnung

Wir wollen in diesem Unterabschnitt den einfachsten Typ einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung betrachten, nämlich lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Hierbei wird für vorgegebene $a_0,a_1\in ℂ$ die Gleichung

als homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten bezeichnet. Für eine vorgegebene Funktion $g$ wird

als inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und Störfunktion $g$ bezeichnet.

Bevor wir das allgemeine Verfahren zur Berechnung der Lösungen dieser Differentialgleichungen vorstellen, wollen wir zuerst einige Spezialfälle betrachten, welche auch als Motivation für das allgemeine Verfahren betrachtet werden sollten.

Obige Beispiele legen den Ansatz $y=\exp \left(\alpha x\right)$ für die Lösungen der Differentialgleichung nahe, wobei man $\alpha \in ℂ$ noch bestimmen muss (und dies nicht unbedingt alle Lösungen liefert). In der Tat das allgemeine Kochrezept für die Lösung der homogenen Differentialgleichung in (8.14) besteht darin, dass wir die Koeffizienten der Differentialgleichung als Koeffizienten des sogenannten charakteristischen Polynoms

verwenden. Anschliessend müssen die Nullstellen der Gleichung $p\left(T\right)=0$ berechnet werden.

Mit Hilfe der Ableitungsregeln lässt sich nun überprüfen, dass dieses Verfahren in der Tat Lösungen liefert. Hierfür ist der wichtigste Schritt die folgende Rechnung. Angenommen $a_0,a_1,\alpha \in ℂ$ sind Konstanten, welche wir verwenden, um das Polynom $p\left(T\right)=T^2+a_{1}T+a_0$ und die Funktion $y:x\in ℝ\mapsto y\left(x\right)=\exp \left(\alpha x\right)$ zu definieren. Dann gilt $y^{\prime }=\alpha y$, $y^{″}={\alpha }^{2}y$ und deshalb $y^{″}+a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=p\left(\alpha \right)y\left(x\right)$, was den Zusammenhang zwischen den Nullstellen des charakteristischen Polynom und den Lösungen der homogenen Differentialgleichung erklärt.

Wir behandeln nun ein wichtiges Beispiel aus der Physik.

Beispiel 8.67 (Gedämpfte Schwingung).

Wir bringen ein Gewicht an einer elastischen Feder an und wählen das Koordinatensystem, so dass $y=0$ dem Ruhezustand (wo sich das Gewicht nicht bewegt) entspricht.

Wir wollen die Position $y\left(t\right)$ des Gewichts als Funktion der Zeit $t$ betrachten. Nach den Newtonschen Grundgesetzen der Bewegung ist die zweite Ableitung $ÿ$ (nach der Zeit) multipliziert mit der Masse $m$ des Gewichts gleich der Kraft, die auf das Gewicht wirkt. Eine Komponente dieser Kraft entsteht durch die Ausdehnung der Feder und orientiert sich in Richtung Ruhezustand. Nach dem Hookeschen Gesetz ist diese Kraft durch $-ky$ gegeben, wobei $k>0$ die Federkonstante genannt wird. Weiter wirken üblicherweise Reibungkräfte auf die Bewegung. Wir nehmen an, dass die entsprechende Krafteinwirkung durch $-dẏ$ gegeben ist, wobei $d\ge 0$ die Dämpfungskonstante ist. Die Differentialgleichung, die die Bewegung $y\left(t\right)$ der Masse beschreibt, ist somit

$$\begin{array}{llll}\hfill mÿ& =-dẏ-ky& \hfill & \\ \hfill ÿ+\frac{d}{m}ẏ+\frac{k}{m}y& =0,& \hfill & \end{array}$$

was also eine gewöhnliche lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung ist. Wir setzen zur Vereinfachung der Notation $m=1$. Das charakteristische Polynom obiger Differentialgleichung ist

$$\begin{array}{lll}\hfill p\left(T\right)=T^2+dT+k& & \hfill \end{array}$$

mit Nullstellen

$$\begin{array}{lll}\hfill \alpha =-\frac{d}{2}\pm \sqrt{\frac{d^2}{4}-k}.& & \hfill \end{array}$$

Für $\frac{d^2}{4}-k<0$ sind dies komplex konjugierte Nullstellen $\alpha =\beta \pm \gamma i$, wobei $\beta =-\frac{d}{2}$ und $\gamma =\sqrt{|\frac{d^2}{4}-k|}$. In diesem Fall erhält man somit Lösungen von der Form

$$\begin{array}{lll}\hfill e^{-\frac{d}{2}t}\left(A\sin \left(\gamma t\right)+B\cos \left(\gamma t\right)\right),& & \hfill \end{array}$$

siehe auch folgendes Bild.

     Figur 8.10: Die ungedämpfte Schwingung links (mit $d=0$) und eine gedämpfte Schwingung (mit $d>0$ und $\frac{d^2}{4}-k<0$) rechts.     

Falls die Reibung stark ist und $\frac{d^2}{4}-k>0$ ist, dann wird die Schwingung zerstört – dies kann mit einem Türschliess-Mechanismus verglichen werden. Die Lösungen sind dann von der Form $A{e}^{{\alpha }_{1}t}+B{e}^{{\alpha }_{2}t}$, wobei ${\alpha }_1=-\frac{d}{2}+\sqrt{\frac{d^2}{4}-k}<0$ und ${\alpha }_2=-\frac{d}{2}-\sqrt{\frac{d^2}{4}-k}<0$. Es gibt also in diesem Fall zwei potenziell sehr verschiedene Lösungen, die unterschiedlich schnell zum Ruhezustand der Feder (also $y=0$) streben.

Der Grenzfall $\frac{d^2}{4}-k=0$ ist nochmals anders, da wir in diesem Fall bis jetzt nur eine eindimensionale Lösungsmenge bestehend aus allen Vielfachen von $y_1=e^{-\frac{d}{2}t}$ gefunden haben. Mit obiger Anleitung erhält man eine weitere Lösung $y_2\left(t\right)=t{e}^{-\frac{d}{2}t}$, die linear unabhängig zu $y_1$ ist (wieso?). In der Tat gilt

$$\begin{array}{llll}\hfill {ẏ}_2\left(t\right)& =e^{-\frac{d}{2}t}-\frac{d}{2}t{e}^{-\frac{d}{2}t}& \hfill & \\ \hfill {ÿ}_2\left(t\right)& =-d{e}^{-\frac{d}{2}t}+t\left(\frac{d^2}{4}\right)e^{-\frac{d}{2}t}& \hfill & \end{array}$$

und somit

$$\begin{array}{lll}\hfill {ÿ}_2\left(t\right)+d{ẏ}_2\left(t\right)+\frac{d^2}{4}{y}_2\left(t\right)=-d{e}^{-\frac{d}{2}t}+\frac{d^2}{4}t{e}^{-\frac{d}{2}t}+d{e}^{-\frac{d}{2}t}-\frac{d^2}{2}t{e}^{-\frac{d}{2}t}+\frac{d^2}{4}t{e}^{-\frac{d}{2}t}=0.& & \hfill \end{array}$$

für alle $t\in ℝ$.

Wir wenden uns nun dem inhomogenen Problem zu, wobei wir annehmen wollen, dass die Störfunktion $g$ sich als Summe von Produkten von Polynomen und Exponentialabbildungen (oder auch dem Sinus und Kosinus) schreiben lässt. In diesen Fällen können wir spezifische Ansätze verwenden, um eine erste Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

zu finden. Diese Lösung nennen wir auch die partikuläre Lösung $y_{\mathrm{part}}$. Die allgemeine Lösung (mit zwei unbekannten Konstanten) der inhomogenen Differentialgleichung lässt sich dann auf Grund der Linearität als Summe der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung (mit zwei unbekannten Konstanten) und der partikulären Lösung schreiben. Wir beschreiben das Rezept zur Berechnung der partikulären Lösung, wobei $p\left(T\right)$ wiederum das charakteristische Polynom der homogenen Differentialgleichung darstellt:

Wie bereits erwähnt ergibt sich die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung dann als die Summe einer partikulären Lösung und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Falls zusätzlich Anfangsbedingungen in der Form $y\left(x_0\right)=y_0$ und $y^{\prime }\left(x_0\right)=y_1$ bekannt sind, so lässt sich nun die Lösung des Anfangswertproblems mit Hilfe eines Gleichungssystems in den unbekannten Konstanten lösen. Wir erproben dieses Verfahren im folgenden Beispiel.

Beispiel 8.69 (Gedämpfte Schwingung mit periodischer Krafteinwirkung).

Wir verändern die homogene Differentialgleichung

$$\begin{array}{lll}\hfill ÿ+dẏ+ky=0& & \hfill \end{array}$$

der gedämpften Schwingung aus Beispiel 8.67, indem wir eine periodische Krafteinwirkung der Form $a\sin \left(t\right)$ für ein $a\in ℝ$ dem System hinzufügen, wodurch wir die inhomogene Differentialgleichung $ÿ+dẏ+ky=a\sin \left(t\right)$ erhalten. Wir wollen nun eine Lösung des Anfangswertproblems

$$\begin{array}{llll}\hfill ÿ+dẏ+ky& =a\sin \left(t\right)& \hfill & \\ \hfill y\left(0\right)=0,& y^{\prime }\left(0\right)=0& \hfill & \end{array}$$

finden, wobei die Anfangsbedingungen der unbewegten Ruhelage am Anfang entspricht.

Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung haben wir bereits in Beispiel 8.67 diskutiert. Wir möchten hier jedoch nur den Fall $\frac{d^2}{4}-k<0$ besprechen. In diesem Fall ist die allgemeine Lösung

$$\begin{array}{lll}\hfill y_{\mathrm{hom}}\left(t\right)=e^{-\frac{d}{2}t}\left(A\sin \left(\gamma t\right)+B\cos \left(\gamma t\right)\right),& & \hfill \end{array}$$

wobei $\gamma =\sqrt{|\frac{d^2}{4}-k|}$.

Für die partikuläre Lösung machen wir den Ansatz $y_{\mathrm{part}}\left(t\right)=-C\sin \left(t\right)+D\cos \left(t\right)$ und erhalten

$$\begin{array}{llll}\hfill {ẏ}_{\mathrm{part}}& =-C\cos \left(t\right)-D\sin \left(t\right)& \hfill & \\ \hfill {ÿ}_{\mathrm{part}}& =C\sin \left(t\right)-D\cos \left(t\right).& \hfill & \end{array}$$

Wir möchten also $C,D$ so bestimmen, dass

$$\begin{array}{lll}\hfill {ÿ}_{\mathrm{part}}+d{ẏ}_{\mathrm{part}}+k{y}_{\mathrm{part}}=(C-Dd-Ck)\sin \left(t\right)+(-D-Cd+Dk)\cos \left(t\right)=a\sin \left(t\right),& & \hfill \end{array}$$

oder nach Vergleich der Koeffizienten (wieso geht das?), dass

$$\begin{array}{lll}\hfill \left(\begin{array}{cc}\hfill 1-k\hfill & \hfill -d\hfill \\ \hfill d\hfill & \hfill 1-k\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\hfill C\hfill \\ \hfill D\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill a\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)& & \hfill \end{array}$$

in Matrixschreibweise. Falls die Determinante ${(1-k)}^2+d^2$ nicht Null ist, sehen wir nach Inversion, dass die Lösung des Gleichungssystems durch

$$\begin{array}{lll}\hfill \left(\begin{array}{c}\hfill C\hfill \\ \hfill D\hfill \end{array}\right)=\frac{1}{{(1-k)}^2+d^2}\left(\begin{array}{cc}\hfill 1-k\hfill & \hfill d\hfill \\ \hfill -d\hfill & \hfill 1-k\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\hfill a\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)=\frac{a}{{(1-k)}^2+d^2}\left(\begin{array}{c}\hfill 1-k\hfill \\ \hfill -d\hfill \end{array}\right)& & \hfill \end{array}$$

gegeben ist, wodurch

$$\begin{array}{lll}\hfill y_{\mathrm{part}}\left(t\right)=-\frac{a(1-k)}{{(1-k)}^2+d^2}\sin \left(t\right)-\frac{ad}{{(1-k)}^2+d^2}\cos \left(t\right).& & \hfill \end{array}$$

Wir addieren zu $y_{\mathrm{part}}$ die allgemeine Lösung $y_{\mathrm{hom}}$ der homogenen Differentialgleichung, um eine Lösung $y$ zu erhalten. Nun setzen wir $t=0$ sowohl in der Lösung $y$ als auch ihrer Ableitung und erhalten gemeinsam mit den Anfangsbedingungen

$$\begin{array}{llll}\hfill y\left(0\right)& =-\frac{ad}{{(1-k)}^2+d^2}\cdot 1+1\cdot B\cdot 1=0& \hfill & \\ \hfill y^{\prime }\left(0\right)& =-\frac{a(1-k)}{{(1-k)}^2+d^2}\cdot 1-\frac{d}{2}\cdot 1\cdot B+1\cdot A\cdot \gamma =0.& \hfill & \end{array}$$

Somit wählen wir die Konstanten $A,B$ als

$$\begin{array}{llll}\hfill B& =\frac{ad}{{(1-k)}^2+d^2},& \hfill & \\ \hfill A& =\frac{Bd}{2\gamma }+\frac{a(1-k)}{\gamma ({(1-k)}^2+d^2)}=\frac{a}{\gamma ({(1-k)}^2+d^2)}\left(\frac{d^2}{2}+\left(1-k\right)\right).& \hfill & \end{array}$$

Die Lösung des Anfangswertproblems ist somit gegeben durch

$$\begin{array}{llll}\hfill y\left(t\right)& =y_{\mathrm{part}}\left(t\right)+y_{\mathrm{hom}}\left(t\right)& \hfill & \\ \hfill & =-\frac{a(1-k)}{{(1-k)}^2+d^2}\sin \left(t\right)-\frac{ad}{{(1-k)}^2+d^2}\cos \left(t\right)& \hfill & \\ \hfill & +e^{-\frac{d}{2}t}\left(\frac{a}{\gamma ({(1-k)}^2+d^2)}\left(\frac{d^2}{2}+\left(1-k\right)\right)\sin \left(\gamma t\right)+\frac{ad}{{(1-k)}^2+d^2}\cos \left(\gamma t\right)\right).& \hfill & \end{array}$$

Man kann in diesem einfachen Modell bereits einige physikalische Beobachtungen wiedererkennen.

•

Bei positiver Dämpfung $d>0$ strebt die Lösung gegen eine Schwingung mit Frequenz der vorgegebenen Krafteinwirkung. Die Amplitude dieser Schwingung ist durch $\frac{a}{\sqrt{{(1-k)}^2+d^2}}$ gegeben (siehe die entsprechende Übung in Abschnitt 7.9.2) und hängt also linear von der vorgegeben Amplitude der Krafteinwirkung ab. Sie wird grösser, wenn $k$ nahe bei $1$ und $d$ nahe bei $0$ ist.

•

Bei verschwindender Dämpfung $d=0$ ergibt sich eine Lösung, die eine Überlagerung der „Eigenschwingung“ des Systems und der „vorgegebenen Schwingung“ der Krafteinwirkung ist. Falls $k\ne 1$ nahe bei $1$ ist, dann können sich diese Schwingungen manchmal gleichzeitig verstärken und manchmal fast auslöschen, siehe folgendes Bild.

•

Bei $d=0$ und $k=1$ gilt obige Diskussion nicht mehr. In diesem Fall ist eine partikuläre Lösung durch $y_{\mathrm{part}}\left(t\right)=-\frac{a}{2}t\cos \left(t\right)$ gegeben (wieso?) und eine Lösung des Anfangswertproblems durch $y\left(t\right)=-\frac{a}{2}t\cos \left(t\right)+\frac{a}{2}\sin \left(t\right)$. Diese Lösung ist also unbeschränkt (unabhängig davon wie klein $a\ne 0$ auch sein mag). Physikalisch begründet sich dies mit der Tatsache, dass die Krafteinwirkung mit dem System im gleichen Takt ist und die Schwingung (bei Abwesenheit von Reibung) aufschaukelt.

Die Phänomene in diesem Beispiel werden als Resonanz bezeichnet und können in verschiedenen Situationen beobachtet werden. Zum Beispiel kann sich die Schwingung von einer Saite einer Gitarre auf die gleiche Saite einer anderen Gitarre übertragen, ohne dass diese sich berühren müssen. Denn durch Anzupfen der Saite auf der ersten Gitarre erzeugt man einen Ton, der als Schwingung der Luft in einer gewissen Frequenz definiert werden kann. Diese Schwingung breitet sich aus und übt auf die gleiche Saite der zweiten Gitarre in der richtigen Frequenz eine Kraft aus, die zwar sehr klein ist, aber in der Frequenz mit der Eigenschwingung der Saite der zweiten Gitarre übereinstimmt. Aus diesen Grund beginnt die Saite der zweiten Gitarre sichtbar zu schwingen. (Zur Not kann man dies auch nur mit einer Gitarre beobachten, aber hierzu muss man auf zwei Saiten die gleiche Note greifen.)