Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen

3.8 Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen

In diesem Abschnitt möchten wir zeigen, dass stetige Funktionen auf beschränkten, abgeschlossenen Intervallen – sogenannten kompakten Intervallen – besondere Eigenschaften besitzen.

3.8.1 Beschränktheit

Satz 3.69 (Beschränktheit).

Seien $a, b \in ℝ$ zwei reelle Zahlen mit $a < b$ und sei $f : [a, b] \to ℂ$ eine stetige Funktion. Dann ist $f$ beschränkt. Das heisst, es existiert ein $M \in ℝ$ mit $| f (x) | \leq M$ für alle $x \in [a, b]$ .

Beweis.

Wir definieren zuerst die Teilmenge

\begin{array}{l} X = {t \in [a, b] ∣ f |_{[a, t]} ist beschränkt} . \end{array}

Da $[a, a] = {a}$ gilt, liegt $a \in X$ , womit $X \subseteq [a, b]$ eine nicht-leere, beschränkte Teilmenge von $ℝ$ ist. Nach dem Satz über das Supremum (Satz 2.59) existiert daher das Supremum $s_{0} = \sup (X)$ von $X$ . Des Weiteren muss $s_{0} \in [a, b]$ liegen, da zum einen $a \in X$ liegt und zum anderen $X$ in $[a, b]$ enthalten ist und somit $b$ eine obere Schranke ist.

Wir verwenden die Stetigkeit von $f$ bei $s_{0}$ für $𝜀 = 1$ , wonach es ein $δ > 0$ gibt, so dass für alle $x \in [a, b]$ die Implikation

\begin{array}{l} | x - s_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - f (s_{0}) | < 1 \end{array}

gilt. Wir definieren $t_{0} = \max {a, s_{0} - δ}$ und $t_{1} = \min {b, s_{0} + δ}$ , womit

\begin{align} | f (x) | \leq | f (x) - f (s_{0}) | + | f (s_{0}) | < 1 + | f (s_{0}) | & (3.10) \end{align}

für alle $x \in (t_{0}, t_{1})$ .

Da $s_{0} - δ$ keine obere Schranke von $X$ ist, gibt es ein $t \in X$ mit $t > s_{0} - δ$ . Daher ist $f |_{[a, t]}$ beschränkt und es existiert ein $M_{0} > 0$ mit $| f (x) | \leq M_{0}$ für alle $x \in [a, t]$ .

Es gilt $t \geq t_{0} = \max {a, s_{0} - δ}$ und daher $[a, t] \cup (t_{0}, t_{1}) = [a, t_{1})$ . Auf Grund von Gleichung (3.10)und der Wahl von $M_{0}$ gilt somit

\begin{array}{l} | f (x) | \leq \max {M_{0}, 1 + | f (s_{0}) |, | f (t_{1}) |} \end{array}

für alle $x \in [a, t_{1}]$ . Wir schliessen, dass $t_{1} \in X$ liegt und $t_{1} \leq s_{0}$ gilt. Da aber $t_{1} = \min {b, s_{0} + δ}$ per Definition, muss $t_{1} = b$ sein. Also ist $f$ auf $[a, b]$ beschränkt.

■

Es drängt sich bei obiger Beweismethode (die wir bereits das dritte Mal angewendet haben) der Vergleich mit einem Induktionsbeweis auf. Wir wollen dies kurz in Worte fassen auch wenn dies bloss eine Analogie darstellt und keineswegs formal als Ersatz von obiger Beweisführung angesehen werden kann. Wir beginnen das Argument damit zu zeigen, dass $a \in X$ ist, was dem Induktionsanfang entspricht. Danach zeigen wir für $t \in X$ mit $t < b$ , dass es eine grössere Zahl gibt, die ebenso in $X$ liegt. Dies entspricht gewissermassen dem Induktionsschritt. Wir hoffen auf diese Weise $b \in X$ zu beweisen, was den Beweis abschliessen würde. Allerdings ist auf diese Weise nicht erklärt ob wir in endlich vielen Schritten $b$ erreichen können. Deswegen benötigen wir die Existenz des Supremums um den Fall auszuschliessen, dass wir zwar immer grössere Elemente in $X$ finden aber vielleicht irgendwo in $(a, b)$ „steckenbleiben“ und nie nach $b$ gelangen.

Wichtige Übung 3.70 (Gegenbeispiele).

(i): Finden Sie eine unbeschränkte, stetige Funktion auf einem beschränkten Intervall.
(ii): Finden Sie eine unbeschränkte, stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall.
(iii): Finden Sie eine unbeschränkte Funktion auf einem kompakten Intervall, die nur in einem einzigen Punkt unstetig ist.

3.8.2 Maximum und Minimum

Sei $D \subseteq ℝ$ eine Teilmenge und $f \in ℱ (D)$ eine reellwertige Funktion auf $D$ . Wir sagen, dass $f$ ein Maximum in $x_{\max} \in D$ annimmt, falls $f (x) \leq f (x_{\max})$ für alle $x \in D$ . Analog nimmt $f$ ein Minimum in $x_{\min} \in D$ an, falls $f (x) \geq f (x_{\min})$ für alle $x \in D$ . Wir bezeichnen $f (x_{\max})$ als das Maximum von $f$ (auf $D$ ) und $f (x_{\min})$ als das Minimum von $f$ (auf $D$ ). Wir wollen nun zeigen, dass stetige Funktion auf einem kompaktem Intervall stets ihr Minimum und ihr Maximum annehmen.

Korollar 3.71 (Annahme des Maximums und des Minimums).

Seien $a, b \in ℝ$ zwei reelle Zahlen mit $a < b$ und sei $f : [a, b] \to ℝ$ eine stetige Funktion. Dann nimmt $f$ sowohl ein Maximum als auch ein Minimum an.

Beweis.

Nach Satz 3.69 ist $f$ beschränkt, womit nach Satz 2.59 das Supremum $S = \sup f ([a, b])$ existiert. Wir nehmen nun indirekt an, dass $f (x) < S$ für alle $x \in [a, b]$ gilt, das heisst, dass die Funktion $f$ ihr Maximum nicht annimmt. Dadurch ist

\begin{array}{l} F : [a, b] \to (0, \infty), x \mapsto \frac{1}{S - f (x)} \end{array}

eine wohldefinierte Funktion. Diese ist nach Proposition 3.52 stetig. Nach Satz 3.69 ist $F$ also beschränkt, womit ein $M > 0$ mit

\begin{array}{l} \frac{1}{S - f (x)} = F (x) \leq M \end{array}

für alle $x \in [a, b]$ existiert. Somit gilt

\begin{array}{l} \frac{1}{M} \leq S - f (x) \end{array}

oder anders ausgedrückt

\begin{array}{l} f (x) \leq S - \frac{1}{M} \end{array}

für alle $x \in [a, b]$ . Letzteres widerspricht aber der Definition von $S$ als das Supremum von $f ([a, b])$ . Daher existiert ein $x_{\max} \in [a, b]$ mit $f (x_{\max}) = \sup f ([a, b]) = \max f ([a, b])$ .

Durch Anwendung des obigen Arguments auf $- f$ ergibt sich ebenso, dass das Minimum von $f$ angenommen wird.

■

Übung 3.72.

Nimmt jede stetige Funktion $f$ auf dem offenen Intervall $(0, 1)$ ihr Maximum an?

3.8.3 Gleichmässige Stetigkeit

Ein zweiter, grundlegender Satz über stetige Funktionen auf kompakten Intervallen verwendet folgende Verstärkung des Begriffs der $𝜀$ – $δ$ -Stetigkeit von Definition 3.45.

Definition 3.73 (Gleichmässige Stetigkeit).

Eine reellwertige Funktion $f$ auf einer nicht-leeren Teilmenge $D \subseteq ℝ$ heisst gleichmässig stetig, falls es für alle $𝜀 > 0$ ein $δ > 0$ gibt, so dass für alle $x, y \in D$ gilt

\begin{array}{l} | x - y | < δ \Rightarrow | f (x) - f (y) | < 𝜀 . \end{array}

In anderen Worten wollen wir genauso wie bei der Definition von Stetigkeit für jedes $𝜀 > 0$ ein $δ > 0$ finden. Diesmal soll jedoch das gewählte $δ > 0$ nur von $𝜀$ abhängen und nicht noch zusätzlich von $x \in D$ . Dies entspricht der Vertauschung eines Allquantors mit einem Existenzquantor. Wie wir in Abschnitt 1.3.2 besprochen haben, ergibt dies im Allgemeinen eine inäquivalente Aussage.

Applet 3.74 (Gleichmässige Stetigkeit).

Wir sehen eine gleichmässig stetige Funktion und können rechts durch getrennte Vergrösserung der Achsen (mit Shift und Maus oder mit zwei Fingern) sowohl $𝜀 > 0$ als auch $δ > 0$ verändern.

Übung 3.75.

Zeigen Sie, dass das Polynom $f (x) = x^{2}$ stetig, aber nicht gleichmässig stetig ist auf $ℝ$ . Verifizieren Sie des Weiteren, dass die Einschränkung von $f$ auf $[0, 1]$ gleichmässig stetig ist.

Applet 3.76 (Keine gleichmässige Stetigkeit).

Wir sehen zwei bekannte aber nicht gleichmässig stetige Funktionen und können rechts durch getrennte Vergrösserung der Achsen (mit Shift und Maus oder mit zwei Finger) sowohl $𝜀 > 0$ als auch $δ > 0$ verändern.

Betrachtet man aber nur stetige Funktionen auf kompakten Intervallen, wie wir es hier tun wollen, so befindet man sich in einer ganz anderen Situation.

Satz 3.77 (Heine, gleichmässige Stetigkeit).

Sei $[a, b]$ ein kompaktes Intervall für $a < b$ und $f : [a, b] \to ℂ$ eine stetige Funktion. Dann ist $f$ gleichmässig stetig.

Wir verwenden im Beweis dieses Satzes nochmals dieselbe Methode wie schon in den Beweisen von dem Satz über die Existenz von Häufungspunkten (Satz 2.75), dem Zwischenwertsatz (Satz 3.58) und dem Satz über die Beschränktheit von stetigen Funktionen auf kompakten Intervallen (Satz 3.69).

Beweis.

Sei $𝜀 > 0$ . Wir definieren die Teilmenge

\begin{array}{l} X = {t \in [a, b] | \exists δ > 0 \forall x_{1}, x_{2} \in [a, t] : | x_{1} - x_{2} | < δ \Rightarrow | f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 𝜀} \end{array}

von $[a, b]$ . In Worten ausgedrückt ist $X$ die Menge der Endpunkte $t \in [a, b]$ , für die ein uniformes $δ > 0$ existiert für die Einschränkung $f |_{[a, t]}$ . Wir möchten also zeigen, dass $b \in X$ liegt.

Wir bemerken zuerst, dass $a \in X$ ist, da für $x_{1}, x_{2} \in [a, a] = {a}$ sogar $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 0$ gilt und somit jedes $δ > 0$ gewählt werden kann. Also ist $X$ nicht-leer. Da $X$ in $[a, b]$ enthalten ist und somit beschränkt ist, existiert nach dem Satz über das Supremum (Satz 2.59) das Supremum $s_{0} = \sup (X)$ von $X$ . Wir bemerken zuerst, dass $t \in X$ und $t^{'} \in [a, t]$ auch $t^{'} \in X$ impliziert (das $δ$ zu $t$ erfüllt auch die nötige Eigenschaft für $t^{'}$ ). Daher gelten die Inklusionen

\begin{align} [a, s_{0}) \subseteq X \subseteq [a, s_{0}] . & (3.11) \end{align}

Wir behaupten nun, dass $s_{0} = b \in X$ gilt.

Nach Stetigkeit von $f$ bei $s_{0} \in [a, b]$ existiert ein $δ_{1} > 0$ , so dass für alle $x \in [a, b]$ die Implikation

\begin{array}{l} | x - s_{0} | < δ_{1} \Rightarrow | f (x) - f (s_{0}) | < \frac{𝜀}{2} \end{array}

gilt. Für $x_{1}, x_{2} \in [a, b] \cap (s_{0} - δ_{1}, s_{0} + δ_{1})$ gilt damit nach der Dreiecksungleichung

\begin{align} | f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq | f (x_{1}) - f (s_{0}) | + | f (s_{0}) - f (x_{2}) | < \frac{𝜀}{2} + \frac{𝜀}{2} = 𝜀 & (3.12) \end{align}

Auf Grund von (3.11) liegt $t_{0} = \max {a, s_{0} - \frac{1}{2} δ_{1}}$ in $X$ und daher existiert ein $δ_{0} > 0$ mit

\begin{align} \forall x_{1}, x_{2} \in [a, t_{0}] : | x_{1} - x_{2} | < δ_{0} \Rightarrow | f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 𝜀 . & (3.13) \end{align}

Wir definieren $t_{1} = \min {b, s_{0} + \frac{1}{2} δ_{1}}$ sowie $δ = \min {δ_{0}, \frac{1}{2} δ_{1}}$ und behaupten, dass für diese Zahlen

\begin{align} \forall x_{1}, x_{2} \in [a, t_{1}] : | x_{1} - x_{2} | < δ \Rightarrow | f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 𝜀 & (3.14) \end{align}

gilt.

Für den Beweis dieser Behauptung nehmen wir also Punkte $x_{1}, x_{2} \in [a, t_{1}]$ mit $| x_{1} - x_{2} | < δ$ . Nun unterscheiden wir zwei Fälle.

•

Angenommen

| x_{1} - s_{0} | \leq \frac{1}{2} δ_{1}

oder

| x_{2} - s_{0} | \leq \frac{1}{2} δ_{1}

. Wir gehen ohne Beschränkung der Allgemeinheit von ersterem aus. Dann gilt nach der Dreiecksungleichung

\begin{array}{l} | x_{2} - s_{0} | \leq | x_{2} - x_{1} | + | x_{1} - s_{0} | < δ + \frac{1}{2} δ_{1} \leq \frac{1}{2} δ_{1} + \frac{1}{2} δ_{1} = δ_{1} \end{array}

und somit $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 𝜀$ nach (3.12).

•

Angenommen

| x_{1} - s_{0} | > \frac{1}{2} δ_{1}

und

| x_{2} - s_{0} | > \frac{1}{2} δ_{1}

. Da auch

x_{j} \leq t_{1} \leq s_{0} + \frac{1}{2} δ_{1}

für

j \in {1, 2}

gilt, folgt

x_{j} \leq s_{0} - \frac{1}{2} δ_{1} \leq t_{0}

für

j \in {1, 2}

und insbesondere

x_{1}, x_{2} \in [a, t_{0}]

. Nach Gleichung (3.13) gilt also auch in diesem Fall

| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 𝜀

Dies beweist die Behauptung, womit auch $t_{1} \in X$ gilt. Da aber $s_{0}$ das Supremum von $X$ ist und kleiner gleich $t_{1} = \min {b, s_{0} + \frac{1}{2} δ_{1}}$ ist, muss $t_{1} = s_{0}$ sein. Dies ist per Definition von $t_{1}$ aber nur dann möglich, wenn $s_{0} = b$ ist, womit wir $b = s_{0} = t_{1} \in X$ gezeigt haben. Das heisst, für $𝜀 > 0$ existiert ein $δ > 0$ , welches für alle $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ die Implikation

\begin{array}{l} | x_{1} - x_{2} | < δ \Rightarrow | f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 𝜀 \end{array}

erfüllt. Da $𝜀 > 0$ beliebig war, beweist dies die gleichmässige Stetigkeit von $f$ .

■

Übung 3.78.

Gilt die Aussage von Satz 3.77 auch für stetige Funktionen auf dem offenen Intervall $(0, 1)$ ?

Hinweis.

Betrachten Sie die Funktion $x \in (0, 1) \mapsto \frac{1}{x} \in ℝ$ .

Es gibt weitere, interessante Beweise von Satz 3.77. In der folgenden Übung möchten wir illustrieren, wie Satz 3.77 mit einer stetigen Wahl von $δ$ zusammenhängen kann und dass eine solche Wahl (unabhängig vom Definitionsbereich in $ℝ$ ) existiert.

Übung 3.79.

Sei $D \subseteq ℝ$ eine Teilmenge und sei $f : D \to ℝ$ eine stetige Funktion. Sei $𝜀 > 0$ . Nach Definition der Stetigkeit gibt es für jedes $x_{0} \in D$ ein $δ_{x_{0}} > 0$ , so dass

\begin{align} | x - x_{0} | < δ_{x_{0}} \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < 𝜀 . & (3.15) \end{align}

für alle $x \in D$ gilt. Wir möchten nun eine Funktion $δ : D \to ℝ_{> 0}, x_{0} \mapsto δ_{x_{0}}$ konstruieren, welche stetig ist. Für jeden Punkt $x_{0} \in D$ definieren wir dazu

\begin{array}{l} δ_{x_{0}} = \sup {δ^{'} \in (0, 1] ∣ \forall x, y \in (x_{0} - δ^{'}, x_{0} + δ^{'}) : | f (x) - f (y) | < 𝜀} . \end{array}

(i): Zeigen Sie, dass die Menge rechts in obiger Gleichung nicht-leer ist und $δ_{x_{0}}$ somit wohldefiniert ist.
(ii): Zeigen Sie, dass die Abbildung $x_{0} \in D \mapsto δ_{x_{0}} \in (0, 1]$ stetig ist und dass für jedes $x_{0} \in D$ die Zahl $δ_{x_{0}}$ die Implikation (3.15) erfüllt.

Sei nun $D = [a, b]$ . Verwenden Sie die oben konstruierte Funktion $x_{0} \in [a, b] \mapsto δ_{x_{0}} \in (0, 1]$ und Korollar 3.71, um Satz 3.77 zu beweisen.

Nach Satz 3.77 bildet jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ein Beispiel einer gleichmässig stetigen Funktion. Weitere Beispiele (auch auf allgemeineren Teilmengen von $ℝ$ ) kann man mittels folgendem Begriff finden.

Übung 3.80 (Lipschitz-Stetigkeit).

In dieser Übung möchten wir einen weiteren Stetigkeitsbegriff diskutieren.

a): Sei $D \subseteq ℝ$ eine Teilmenge. Wir nennen eine reellwertige Funktion $f$ auf $D$ Lipschitz-stetig, falls ein $L \geq 0$ existiert mit $| f (x) - f (y) | \leq L | x - y |$ für alle $x, y \in D$ . Geben Sie ein, zwei Beispiele von Lipschitz-stetigen Funktionen und zeigen Sie, dass eine Lipschitz-stetige Funktion auch gleichmässig stetig ist.
b): Zeigen Sie, dass die Wurzelfunktion $x \in [0, 2] \mapsto \sqrt{x}$ zwar gleichmässig stetig, aber nicht Lipschitz-stetig ist.
c): Zeigen Sie, dass die Wurzelfunktion $x \in [1, \infty) \mapsto \sqrt{x}$ Lipschitz-stetig und gleichmässig stetig ist.
d): Folgern Sie, dass die Wurzelfunktion $x \in [0, \infty) \mapsto \sqrt{x}$ gleichmässig stetig ist.

3.8 Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen

3.8.1 Beschränktheit

Satz 3.69 (Beschränktheit).

Wichtige Übung 3.70 (Gegenbeispiele).

3.8.2 Maximum und Minimum

Korollar 3.71 (Annahme des Maximums und des Minimums).

Übung 3.72.

3.8.3 Gleichmässige Stetigkeit

Definition 3.73 (Gleichmässige Stetigkeit).

Applet 3.74 (Gleichmässige Stetigkeit).

Übung 3.75.

Applet 3.76 (Keine gleichmässige Stetigkeit).

Satz 3.77 (Heine, gleichmässige Stetigkeit).

Übung 3.78.

Übung 3.79.

Übung 3.80 (Lipschitz-Stetigkeit).

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