Kapitel 4
Das Riemann-Integral
Wir werden in diesem Kapitel die Idee von Abschnitt 1.1 aufgreifen und diese mit Hilfe des Supremums und des Infimums (also implizit des Vollständigkeitsaxioms) aus Kapitel 2 und der -Notation aus Kapitel 3 zum Begriff des Riemann-Integrals ausbauen.
Leser fragen sich vielleicht, warum wir hier schon das Integral besprechen, obwohl wir die Ableitung noch nicht besprochen haben. Es gibt viele Wege, die zum Ziel führen, und wir könnten in der Tat ebenso das Integral nach der Ableitung einführen. Für diese Reihenfolge sprechen die folgenden Argumente:
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Flächeninhalte wurden bereits seit der Antike untersucht und (teilweise) berechnet. Die Ableitung hat eine kürzere Geschichte und ist eigentlich ein schwierigeres Konzept als das Integral.
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Auch vom rein mathematischen Gesichtspunkt gesehen, ist das Integral viel einfacher. Wie wir hier sehen werden, erfüllt das Integral einige sehr nette Eigenschaften (zum Beispiel Monotonie und eine verallgemeinerte Dreiecksungleichung), welche keine Entsprechung für die Ableitung haben. Wir werden später diese netten Eigenschaften des Integrals verwenden, um gewisse Aussagen für die Ableitung zu zeigen. Da wir in dieser Vorlesung die Analysis nach ihren inneren Strukturen aufbauen wollen, spricht dies dafür das Integral zuerst zu besprechen.
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Der Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral ist eines der Hauptziele für dieses erste Semester in Analysis. Wir hoffen, dass die frühe Einführung des Integrals die Wichtigkeit dieses Zusammenhangs weiter betont.