Integrierbarkeit monotoner Funktionen

4.5 Integrierbarkeit monotoner Funktionen

Wir betrachten wie zuvor ein kompaktes Intervall $[a, b] \subseteq ℝ$ für reelle Zahlen $a, b$ mit $a < b$ .

Satz 4.31 (Integrierbarkeit monotoner Funktionen).

Jede monotone Funktion in $ℱ ([a, b])$ ist Riemann-integrierbar.

Beweis.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir eine monoton wachsende Funktion $f \in ℱ ([a, b])$ betrachten (ansonsten ersetzt man $f$ mit $- f$ und wendet Satz 4.19 an). Wir möchten die dritte Charakterisierung in Proposition 4.12 anwenden. Das heisst, wir wollen für ein gegebenes $𝜀 > 0$ zwei Treppenfunktionen $u, o \in 𝒯 ℱ ([a, b])$ finden, so dass $u \leq f \leq o$ und $\int_{a}^{b} (o - u) (x) d x < 𝜀$ gilt.

$PIC$

Wir konstruieren $u$ und $o$ mittels einer natürlichen Zahl $n \in ℕ$ (die wir später wählen werden) und der Zerlegung

\begin{array}{l} ℨ = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b} \end{array}

von $[a, b]$ gegeben durch $x_{k} = a + \frac{b - a}{n} k$ für $k \in {0, \dots, n}$ . Seien $u, o$ gegeben durch

\begin{array}{l} u (x) = {\begin{matrix} f (x_{k - 1}) & falls x \in [x_{k - 1}, x_{k}) für ein k \in {1, \dots, n} \\ f (b) & falls x = b \end{matrix} \end{array}

respektive

\begin{array}{l} o (x) = {\begin{matrix} f (a) & falls x = a \\ f (x_{k}) & falls x \in (x_{k - 1}, x_{k}] für ein k \in {1, \dots, n} \end{matrix} \end{array}

für alle $x \in [a, b]$ . Da $f$ monoton wachsend ist, gilt $u \leq f \leq o$ . In der Tat ist für $x \in [a, b]$ entweder $x = b$ , womit $u (x) = f (x)$ , oder es gibt ein $k \in {1, \dots, n}$ mit $x \in [x_{k - 1}, x_{k})$ . In letzterem Fall erhalten wir $u (x) = f (x_{k - 1}) \leq f (x)$ und somit gilt $u \leq f$ . Ein analoges Argument liefert $f \leq o$ . Des Weiteren gilt

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} (o - u) (x) d x & = \sum_{k = 1}^{n} (f (x_{k}) - f (x_{k - 1})) (x_{k} - x_{k - 1}) = \sum_{k = 1}^{n} (f (x_{k}) - f (x_{k - 1})) \frac{b - a}{n} \\ = \frac{b - a}{n} \sum_{k = 1}^{n} (f (x_{k}) - f (x_{k - 1})) = \frac{b - a}{n} (f (b) - f (a)) \end{array}

nach Vereinfachen der Teleskopsumme. Nach dem Archimedischen Prinzip können wir nun ein $n$ wählen, so dass $\int_{a}^{b} (o - u) (x) d x < 𝜀$ ist. Aus Proposition 4.12 (iii) folgt somit, dass $f$ Riemann-integrierbar ist.

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Übung 4.32 (Kreisfunktion).

Zeigen Sie, dass die Funktion $x \in [0, 1] \mapsto \sqrt{1 - x^{2}} \in ℝ$ Riemann-integrierbar ist.

Mit Hilfe der Additionseigenschaft in Satz 4.26 lässt sich die Aussage von Satz 4.31 auf Funktionen erweitern, die nur stückweise monoton sind.

Definition 4.33 (Stückweise Monotonie).

Sei $I = [a, b]$ ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall mit $a < b$ . Eine Funktion $f \in ℱ ([a, b])$ heisst stückweise monoton, falls es eine Zerlegung

\begin{array}{l} ℨ = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b} \end{array}

von $[a, b]$ gibt, so dass $f |_{(x_{k - 1}, x_{k})}$ monoton ist für alle $k \in {1, \dots, n}$ .

Jede monotone Funktion ist stückweise monoton (man braucht dazu nur die Zerlegung $ℨ = {a < b}$ zu betrachten). Ein besseres Beispiel einer stückweise monotonen Funktion ist das Polynom $x^{2}$ auf einem Intervall $I = [a, b]$ für $a < b$ . Falls $a \geq 0$ oder $b \leq 0$ ist diese, wie wir schon wissen, monoton. Gilt $a < 0 < b$ , so betrachtet man die Zerlegung $ℨ = {a < 0 < b}$ und sieht, dass $x^{2}$ auf den beiden Abschnitten $(a, 0)$ und $(0, b)$ monoton ist. Genau gleich sieht man, dass alle Monome stückweise monoton sind.

Korollar 4.34 (Riemann-Integrierbarkeit von stückweise monotonen Funktionen).

Sei $I = [a, b]$ ein kompaktes Intervall mit $a < b$ . Jede stückweise monotone, beschränkte Funktion in $ℱ ([a, b])$ ist Riemann-integrierbar.

Übung 4.35 (Riemann-Integrierbarkeit von stückweise monotonen Funktionen).

Beweisen Sie Korollar 4.34 unter Verwendung der Sätze 4.31 und 4.26 und der Übung 4.22.

Insbesondere sind also alle Monome auf einem abgeschlossenen, beschränkten, nicht-leeren Intervall $I$ Riemann-integrierbar. Mit der Linearität des Riemann-Integrals folgt nun mittels vollständiger Induktion, dass alle Polynome auf $I$ Riemann-integrierbar sind.

Übung 4.36 (Gauss-Abbildung).

Zeigen Sie, dass die sogenannte Gauss-Abbildung

\begin{array}{l} g : x \in [0, 1] \mapsto {\begin{matrix} {\frac{1}{x}} & falls x > 0 \\ 0 & falls x = 0 \end{matrix} \end{array}

Riemann-integrierbar ist, wobei ${\cdot}$ den gebrochenen Anteil bezeichnet (siehe Abschnitt 2.6.1).