Die (komplexe) Exponentialabbildung – Analysis I (Kap. 1-9)

7.5 Die (komplexe) Exponentialabbildung

Wir haben in Abschnitt 6.3 die reelle Exponentiabbildung gesehen und ihre wichtigsten Eigenschaften gezeigt. Insbesondere haben wir verifiziert, dass

\begin{array}{l} \exp (x) = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} x^{k} \prod_{ℓ = 0}^{k - 1} (1 - \frac{ℓ}{n}) . \end{array}

für alle $x \in ℝ$ . Wir zeigen nun, dass wir die Exponentialabbildung alternativ durch die Potenzreihe

\begin{align} \exp (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} x^{k} & (7.7) \end{align}

mit unendlichem Konvergenzradius definieren können und dadurch auf die gesamte komplexe Ebene fortsetzen können. Die Darstellung der Exponentialabbildung als Potenzreihe (7.7) ist gewissermassen flexibler als die Darstellung als Grenzwert wie in Proposition 6.29. Sie wird uns später in diesem Kapitel beispielsweise dabei helfen, das Riemann-Integral der Exponentialfunktion zu berechnen (siehe Korollar 7.86).

7.5.1 Darstellung durch die Potenzreihe

Für ein festes $z \in ℂ$ gilt

\begin{array}{l} \frac{\frac{1}{(k + 1)!} | z |^{k + 1}}{\frac{1}{k!} | z |^{k}} = \frac{| z |}{k + 1} \to 0 \end{array}

für $k \to \infty$ , was wegen dem Quotientenkriterium beweist, dass die Reihe $\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} z^{k}$ konvergiert. Da $z \in ℂ$ beliebig war, ist der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} z^{k}$ in der Tat unendlich (siehe Satz 7.56).

Sei nun $x \in ℝ$ , $𝜀 > 0$ und $N \in ℕ$ , so dass

\begin{array}{l} \sum_{k = N + 1}^{\infty} \frac{1}{k!} | x |^{k} < 𝜀 . \end{array}

Für dieses $N$ gilt dann

\begin{align} | \sum_{k = 0}^{N} \frac{1}{k!} x^{k} - \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} x^{k} | \leq | \sum_{k = N + 1}^{\infty} \frac{1}{k!} x^{k} | \leq \sum_{k = N + 1}^{\infty} \frac{1}{k!} | x |^{k} < 𝜀 & (7.8) \end{align}

und für $n \geq N$ ebenso

\begin{array}{l} | \sum_{k = 0}^{N} \frac{1}{k!} x^{k} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} x^{k} \prod_{ℓ = 0}^{k - 1} (1 - \frac{ℓ}{n}) | \leq \sum_{k = 0}^{N} \frac{1}{k!} | x |^{k} (1 - \prod_{ℓ = 0}^{k - 1} (1 - \frac{ℓ}{n})) + 𝜀 . \end{array}

Wir fixieren nun $N$ und verwenden $\lim_{n \to \infty} (1 - \prod_{ℓ = 0}^{k - 1} (1 - \frac{ℓ}{n})) = 0$ für alle $k \in {0, \dots, N}$ , woraus folgt, dass

\begin{array}{l} | \sum_{k = 0}^{N} \frac{1}{k!} x^{k} - \exp (x) | \leq 𝜀 . \end{array}

Gemeinsam mit (7.8) erhalten wir

\begin{array}{l} | \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} x^{k} - \exp (x) | \leq 2 𝜀 . \end{array}

Da $𝜀 > 0$ beliebig war, folgt (7.7).

Die Darstellung der Exponentialfunktion als Potenzreihe liefert durch Betrachten von nur endlich vielen Termen eine Approximation von $\exp$ durch Polynome.

$PIC$

7.5.2 Die komplexe Exponentialreihe

Wir verwenden nun die Potenzreihe aus (7.7), um die Exponentialfunktion $\exp : ℂ \to ℂ$ auf der komplexen Zahlenebene zu definieren.

Satz 7.68 (Komplexe Exponentialabbildung).

Für $z \in ℂ$ definieren wir

\begin{array}{l} \exp (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} z^{k}, \end{array}

womit eine stetige Erweiterung $\exp : ℂ \to ℂ$ der reellen Exponentialabbildung definiert wird. Des Weiteren gilt für alle $z, w \in ℂ$ die Additionsformel

\begin{align} \exp (z + w) = \exp (z) \exp (w) & (7.9) \end{align}

und die Formel

\begin{align} | \exp (z) | = \exp (Re (z)) & (7.10) \end{align}

für den Absolutbetrag. Insbesondere gilt $| \exp (i y) | = 1$ für alle $y \in ℝ$ .

Auf Grund der Diskussion in Abschnitt 7.5.1 ist der Konvergenzradius der Reihe $\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} z^{k}$ unendlich. Wiederum nach Satz 7.56 ist damit $\exp : ℂ \to ℂ$ eine stetige Funktion, welche wegen Abschnitt 7.5.1 die reelle Exponentialfunktion erweitert. (Wir verwenden zwar das gleiche Symbol $\exp$ für die reelle und komplexe Exponentialfunktion, doch müssen wir diese unterscheiden, wenn wir Eigenschaften von Funktionen wie zum Beispiel Injektivität besprechen wollen.)

Für eine positive Basis $a \in ℝ_{> 0}$ und $z \in ℂ$ setzen wir des Weiteren

\begin{array}{l} a^{z} = \exp (z \log (a)), \end{array}

was wegen obigem mit der in Abschnitt 6.3.8 eingeführten Notation kompatibel ist. Insbesondere gilt $e^{z} = \exp (z)$ für alle $z \in ℂ$ .

Übung 7.69 (Grenzwertformel).

Zeigen Sie, dass

\begin{array}{l} \exp (z) = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{z}{n})}^{n} \end{array}

für alle $z \in ℂ$ .

7.5.3 Die Additionsformel

Wir wollen nun die Additionsformel (7.9) beweisen. In der Tat folgt für beliebige $z, w \in ℂ$ aus der Cauchy-Produktformel (Korollar 7.37), dass

\begin{array}{l} \exp (z) \exp (w) & = (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} z^{n}) (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} w^{n}) \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \frac{1}{(n - k)!} z^{k} w^{n - k} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{k! (n - k)!} z^{k} w^{n - k} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) z^{k} w^{n - k} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(z + w)}^{n} = \exp (z + w) . \end{array}

7.5.4 Der Absolutbetrag der Exponentialabbildung

Es verbleibt für den Beweis von Satz 7.68 die Formel (7.10) für den Absolutbetrag zu beweisen. In der Tat gilt, da die Konjugation auf $ℂ$ stetig ist (wieso?), dass

\begin{array}{l} \bar{\exp (z)} = \bar{\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} z^{k}} = \lim_{n \to \infty} \bar{\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} z^{k}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} {\bar{z}}^{k} = \exp (\bar{z}) . \end{array}

Insbesondere ist nach der Additionsformel

\begin{array}{l} {| \exp (z) |}^{2} = \exp (z) \bar{\exp (z)} = \exp (z) \exp (\bar{z}) = \exp (z + \bar{z}) = \exp (2 Re (z)) = \exp {(Re (z))}^{2} \end{array}

womit die Formel $| \exp (z) | = \exp (Re (z))$ nach Wurzelziehen folgt.

Übung 7.70.

Zeigen Sie für alle $z \in ℂ$ mit $| z | < 1$ die Abschätzung $| \exp (z) | \leq \frac{1}{1 - Re (z)}$ .

Applet 7.71 (Komplexe Exponentialabbildung).

Wir stellen die komplexe Exponentialabbildung dar. Da der Graph dieser in $ℂ^{2}$ liegt, können wir den Graph wohl kaum auf dem Bildschirm darstellen. Stattdessen visualisieren wir die Abbildung anhand eines bewegbaren Punktes $z = s + φ i \in ℂ$ und dessen Bildpunkt $\exp (z) = e^{s} \exp (φ i) \in ℂ$ .