Potenzreihen – Analysis I (Kap. 1-9)

7.4 Potenzreihen

Definition 7.54 (Potenzreihe).

Für jedes $n \in ℕ_{0}$ sei $a_{n} \in ℂ$ . Dann ist der formale Ausdruck

\begin{align} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n} & (7.5) \end{align}

eine Potenzreihe in der Variable $z$ .

Es drängt sich bei obiger Definition ein Vergleich zur Definition eines Polynoms in Definition 3.13 auf. Im Gegensatz zur Diskussion von Polynomen ist aber eine Potenzreihe vorerst nur ein formaler Ausdruck. Es ist nicht klar, bei welchen komplexen Zahlen man eine Potenzreihe auswerten darf. Insbesondere wissen wir (noch) nicht, ob wir diesem formalen Ausdruck überhaupt eine Funktion auf $ℂ$ oder einer bestimmten Teilmenge von $ℂ$ zuordnen können. Diese Frage hängt stark von den Koeffizienten ${(a_{n})}_{n \in ℕ_{0}}$ ab und wird in Satz 7.56 beantwortet.

Wie schon bei Polynomen in Definition 3.11 ist auch hier die Definition (3.2) äusserst sinnvoll, damit die Potenzreihe (7.5)bei $z = 0$ auf jeden Fall konvergiert und den Wert $a_{0}$ hat.

7.4.1 Konvergenzradius

Definition 7.55.

Sei $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten ${(a_{n})}_{n \in ℕ_{0}}$ . Wir definieren den Konvergenzradius durch

\begin{array}{l} R = \frac{1}{\underset{n \to \infty}{limsup} \sqrt[n]{| a_{n} |}}, \end{array}

wobei wir $\frac{1}{+ \infty} = 0$ setzen und hier (aber auch nur hier) die Vereinbarung $\frac{1}{0} = + \infty$ treffen.

Satz 7.56 (Über den Konvergenzradius).

Sei $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ eine Potenzreihe und $R$ ihr Konvergenzradius. Dann konvergiert die Reihe $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ für alle $z \in ℂ$ mit $| z | < R$ absolut und divergiert für alle $z \in ℂ$ mit $| z | > R$ . Weiters konvergiert die Funktionenfolge $\sum_{n = 0}^{N} a_{n} z^{n}$ gleichmässig gegen $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ auf jeder Kreisscheibe der Form $B_{S} (0) = {z \in ℂ ∣ | z | < S}$ für jedes $S \in (0, R)$ . Insbesondere definiert die Potenzreihe die stetige Abbildung

\begin{array}{l} z \in B_{R} (0) \mapsto \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n} \in ℂ . \end{array}

$PIC$

Beweis.

Wir verwenden das Wurzelkriterium aus Korollar 7.30 für ein beliebiges $z \in ℂ$ und die Reihe $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ und berechnen deswegen

\begin{array}{l} \underset{n \to \infty}{limsup} \sqrt[n]{| a_{n} z^{n} |} = \underset{n \to \infty}{limsup} \sqrt[n]{| a_{n} |} | z | = | z | \underset{n \to \infty}{limsup} \sqrt[n]{| a_{n} |} = \frac{| z |}{R} . \end{array}

Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe also absolut für $\frac{| z |}{R} < 1$ und divergiert für $\frac{| z |}{R} > 1$ . Die Fälle $R = 0$ und $R = + \infty$ ergeben sich aus dem gleichen Argument (wieso?).

Sei nun $S \in (0, R)$ . Für den Beweis der gleichmässigen Konvergenz auf $B_{S} (0)$ bemerken wir, dass nach obigem bereits $\sum_{n = 0}^{\infty} | a_{n} | S^{n} < \infty$ gilt. Daher existiert für jedes $𝜀 > 0$ ein $N \in ℕ$ mit $\sum_{n = N}^{\infty} | a_{n} | S^{n} < 𝜀$ . Für alle $z \in B_{S} (0)$ und $n \geq N$ gilt damit

\begin{array}{l} | \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k} - \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k} | = | \sum_{k = n + 1}^{\infty} a_{k} z^{k} | \leq \sum_{k = N}^{\infty} | a_{k} | S^{k} < 𝜀 . \end{array}

Dies beweist die gleichmässige Konvergenz der stetigen Funktionenfolge $\sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k}$ auf $B_{S} (0)$ gegen $\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ und damit die Stetigkeit von $z \in B_{S} (0) \mapsto \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k} \in ℂ$ nach Satz 7.48.

Insbesondere ist die Funktion $z \in B_{R} (0) \mapsto \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n} \in ℂ$ stetig an jedem Punkt, da es zu $z \in B_{R} (0)$ ein $S < R$ gibt, mit $z \in B_{S} (0)$ (wieso zeigt dies die Stetigkeit?). Dies beweist den Satz.

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Beispiel 7.57 (Nicht gleichmässige Konvergenz).

Man könnte denken, dass Satz 7.56 eigentlich sagt, dass die Partialsummen $\sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k}$ der Potenzreihe auf ganz $B_{R} (0)$ gleichmässig gegen die durch die Potenzreihe definierte Funktion $z \in B_{R} (0) \mapsto \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} z^{k}$ streben, da ja $S < R$ beliebig ist. Dies ist aber nicht immer so (siehe auch Übung 7.50), wie wir hier kurz anhand der geometrischen Reihe zeigen wollen.

Für $\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}$ ist der Konvergenzradius $R = 1$ und die mittels der Potenzreihe definierte Funktion ist $z \in B_{1} (0) \mapsto \frac{1}{1 - z}$ . Falls die Konvergenz auf ganz $B_{1} (0)$ gleichmässig wäre, dann gäbe es für $𝜀 = 1$ ein $N$ so dass für alle $n \geq N$ und $z \in B_{1} (0)$ die Abschätzung

\begin{array}{l} | \sum_{k = 0}^{n} z^{k} - \frac{1}{1 - z} | < 1 \end{array}

gelten würde. Wir setzen $n = N$ und erhalten mittels der Dreiecksungleichung daraus

\begin{array}{l} | \frac{1}{1 - z} | < 1 + | \sum_{k = 0}^{N} z^{k} | \leq 2 + N \end{array}

für alle $z \in B_{1} (0)$ . Dies ist aber ein Widerspruch, da

\begin{array}{l} \lim_{x ↗ 1} \frac{1}{1 - x} = + \infty . \end{array}

Übung 7.58 (Konvergenzradien).

Finden Sie für jedes $R \in [0, \infty) \cup {\infty}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R$ .

Hinweis.

Für $R = 0$ müssen Sie eine Potenzreihe mit sehr schnell wachsenden Koeffizienten verwenden.

Übung 7.59.

Berechnen Sie den Konvergenzradius $R$ der Potenzreihe

\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(\sqrt{n^{2} + n} - \sqrt{n^{2} + 1})}^{n}}{n^{2}} x^{n} \end{array}

und zeigen Sie Konvergenz der Potenzreihe bei den Punkten $- R, R \in ℝ$ .

Lemma 7.60 (Konvergenzradius via Quotientenkriterium).

Sei $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ eine Potenzreihe mit $a_{n} \neq 0$ für alle $n \in ℕ$ . Der Konvergenzradius $R$ ist gegeben durch

\begin{array}{l} R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |}} = \lim_{n \to \infty} \frac{| a_{n} |}{| a_{n + 1} |} \end{array}

falls dieser Grenzwert existiert.

Übung 7.61.

Zeigen Sie Lemma 7.60.

Hinweis.

Wiederholen Sie den Beweis von Satz 7.56.

7.4.2 Addition und Multiplikation

Proposition 7.62 (Summen und Produkte).

Seien $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ und $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} z^{n}$ zwei Potenzreihen mit Konvergenzradius $R_{a}$ respektive $R_{b}$ . Dann gilt für alle $z \in ℂ$ mit $| z | < \min {R_{a}, R_{b}}$

\begin{array}{l} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n} + \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} z^{n} & = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} + b_{n}) z^{n} \\ (\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}) (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} z^{n}) & = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} b_{k}) z^{n} . \end{array}

Insbesondere ist der Konvergenzradius der Potenzreihen auf der rechten Seite mindestens $\min {R_{a}, R_{b}}$ .

Beweis.

Die erste Eigenschaft folgt aus Linearität des Grenzwerts. Die zweite verwendet noch Korollar 7.37.

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Beispiel 7.63.

Falls $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ mindestens Konvergenzradius $1$ hat, so gilt

\begin{align} \frac{1}{1 - z} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_{0} + \dots + a_{n}) z^{n} . & (7.6) \end{align}

für alle $z \in ℂ$ mit $| z | < 1$ . In der Tat hat die Potenzreihe $\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}$ Konvergenzradius $1$ und für $z \in ℂ$ mit $| z | < 1$ gilt $\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} = \frac{1}{1 - z}$ , womit (7.6)aus Proposition 7.62 folgt.

Übung 7.64.

Berechnen Sie $\sum_{n = 1}^{\infty} n 2^{- n}$ .

Hinweis.

Der Wert von $\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n}$ für alle $q \in ℂ$ mit $| q | < 1$ ist bereits bekannt.

7.4.3 Stetigkeit bei Randpunkten

Wir wollen nun eine Potenzreihe $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ betrachten, wobei wir $a_{n} \in ℂ$ für $n \in ℕ$ erlauben, aber nur reelle Zahlen $x$ einsetzen wollen. Nach Satz 7.56 existiert ein $R \geq 0$ , so dass die Funktion

\begin{array}{l} f : x \in (- R, R) \mapsto \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} \in ℂ \end{array}

wohldefiniert und stetig ist, aber $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ für alle $x \in ℝ$ mit $| x | > R$ divergiert. Wir nehmen nun weiter an, dass $R \in (0, \infty)$ und $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} R^{n}$ ebenfalls konvergiert. Satz 7.56 sagt in diesem Fall überhaupt nichts über die erweiterte Funktion

\begin{array}{l} \bar{f} : x \in (- R, R] \mapsto \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} \in ℂ \end{array}

aus.

Satz 7.65 (Abelscher Grenzwertsatz).

Unter obigen Annahmen ist auch $\bar{f}$ stetig. Das heisst,

\begin{array}{l} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} R^{n} = \bar{f} (R) = \lim_{x ↗ R} \bar{f} (x) = \lim_{x ↗ R} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} \end{array}

Eine analoge Aussage gilt, falls $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(- R)}^{n}$ konvergiert.

Beispiel 7.66 (Zwei alternierende Potenzreihen).

(i): Für $a_{0} = 0$ und $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n}$ für alle $n \in ℕ$ ist der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ durch $R = 1$ gegeben und $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n}$ konvergiert, womit der Abelsche Grenzwertsatz (Satz 7.65) angewendet werden kann. Sobald wir die Funktion $f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} x^{n}$ für $| x | < 1$ kennen, können wir damit auch $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n}$ berechnen.
(ii): Für $a_{n} = {(- 1)}^{n}$ für alle $n \in ℕ_{0}$ ist $R = 1$ und der Abelsche Grenzwertsatz (Satz 7.65) kann nicht angewendet werden, da $\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n}$ divergiert.

Bemerkung.

Hierzu eine historische Anmerkung: Euler (1707-1783) und seine Zeitgenossen hatten noch einen anderen Zugang zu Reihen und wiesen auf Grund der Gleichung $\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} x^{n} = \frac{1}{1 + x}$ für $| x | < 1$ der Reihe $\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} = 1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ den Wert $\frac{1}{2}$ zu, was aber unserem modernerem Konvergenzbegriff (und insbesondere Proposition 7.2) widerspricht.

Beweis des Abelschen Grenzwertsatzes.

Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass der Konvergenzradius $1$ ist (sonst ersetzt man $a_{n}$ mit $a_{n} R^{n}$ für alle $n$ ). Nach Beispiel 7.63 gilt

\begin{array}{l} \frac{1}{1 - x} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_{0} + \dots + a_{n}) x^{n} . \end{array}

für alle $x \in (- 1, 1)$ . Wir definieren $A_{n} = a_{0} + \dots + a_{n}$ , $A = \lim_{n \to \infty} A_{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ (was nach Annahme existiert) und erhalten mit $b_{n} = A_{n} - A$ für $n \in ℕ$ die Gleichung

\begin{array}{l} f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} & = (1 - x) \sum_{n = 0}^{\infty} A_{n} x^{n} \\ = (1 - x) \sum_{n = 0}^{\infty} (b_{n} + A) x^{n} \\ = (1 - x) \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n} + A \end{array}

für alle $x \in (- 1, 1)$ . Obige Formelmanipulationen mögen vielleicht vom Himmel gefallen sein; ab jetzt wird das Argument jedoch wenig Überraschungen bieten. Sei $𝜀 > 0$ . Dann existiert ein $N \in ℕ$ mit $| b_{n} | < 𝜀$ für alle $n \geq N$ . Daraus folgt für $x \in [0, 1)$ , dass

\begin{array}{l} | f (x) - A | & = | (1 - x) \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n} | \\ \leq | (1 - x) \sum_{n = 0}^{N} b_{n} x^{n} | + (1 - x) 𝜀 \sum_{n = N + 1}^{\infty} x^{n} \\ \leq | (1 - x) \sum_{n = 0}^{N} b_{n} x^{n} | + 𝜀 . \end{array}

Da aber das Polynom $(1 - x) \sum_{n = 0}^{N} b_{n} x^{n}$ auf $ℝ$ stetig ist und bei $1$ verschwindet, gibt es weiters ein $δ > 0$ , so dass

\begin{array}{l} x \in (1 - δ, 1) \Rightarrow | (1 - x) \sum_{n = 0}^{N} b_{n} x^{n} | < 𝜀 . \end{array}

Daher gilt $| f (x) - A | < 2 𝜀$ für alle $x \in (1 - δ, 1)$ und der Satz folgt.

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Übung 7.67.

Wo wurde im obigen Beweis verwendet, dass $x$ reell ist?

Hinweis.

Für $z \in B_{1} (0)$ ist mitunter $1 - | z |$ kleiner als $| 1 - z |$ , doch gilt $1 - x = | 1 - x | = 1 - | x |$ für $x \in (0, 1)$ .

7.4 Potenzreihen

Definition 7.54 (Potenzreihe).

7.4.1 Konvergenzradius

Definition 7.55.

Satz 7.56 (Über den Konvergenzradius).

Beispiel 7.57 (Nicht gleichmässige Konvergenz).

Übung 7.58 (Konvergenzradien).

Übung 7.59.

Lemma 7.60 (Konvergenzradius via Quotientenkriterium).

Übung 7.61.

7.4.2 Addition und Multiplikation

Proposition 7.62 (Summen und Produkte).

Beispiel 7.63.

Übung 7.64.

7.4.3 Stetigkeit bei Randpunkten

Satz 7.65 (Abelscher Grenzwertsatz).

Beispiel 7.66 (Zwei alternierende Potenzreihen).

Bemerkung.

Übung 7.67.

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