8.3 Trigonometrische Funktionen

8.3.1 Sinus und Arkussinus

Nach Übung 8.4 sind $\sin$ und $\cos$ glatt und es gelten die Formeln

$$\begin{array}{lll}\hfill {(\sin (x\left)\right)}^{\prime }=\cos \left(x\right),{(\cos (x\left)\right)}^{\prime }=-\sin \left(x\right).& & \hfill \text{(8.12)}\end{array}$$

Nach Satz 7.74 (genauer Übung 7.76) sind die Nullstellen von $\sin :ℝ\to ℝ$ die Menge $\mathbb{Z}\pi$ der ganzzahligen Vielfachen von $\pi$, womit nach dem Zwischenwertsatz und $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ folgt, dass $\sin \left(x\right)>0$ für alle $x\in (0,\pi )$. In diesem Intervall hat des Weiteren der Kosinus eine Nullstelle in $\frac{\pi }{2}$, ist positiv auf dem Intervall $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ und negativ auf dem Intervall $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$. Verbinden wir dies, Gleichung (8.12) und das Kriterium für Monotonie differenzierbarer Funktion aus Korollar 8.35, so ergibt sich, dass $\sin$ auf dem Intervall $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ streng monoton wachsend ist, auf dem Intervall $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ streng monoton fallend ist und auf dem Intervall $\left[0,\pi \right]$ konkav (also nach unten gekrümmt) ist.

Da der Sinus eine ungerade Funktion ist, ergibt sich des Weiteren, dass der Sinus auf $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ streng monoton wachsend ist. Wir erkennen diese Eigenschaften direkt wieder im Graphen des Sinus.

Die Einschränkung

$$\begin{array}{lll}\hfill \sin {|}_{\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]}:\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]\to \left[-1,1\right],x\mapsto \sin \left(x\right)& & \hfill \end{array}$$

ist also streng monoton wachsend und bijektiv (nach dem Zwischenwertsatz). Die Umkehrfunktion bezeichnen wir mit

$$\begin{array}{lll}\hfill \arcsin :\left[-1,1\right]\to \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]& & \hfill \end{array}$$

und nennen wir den Arkussinus. Nach dem Satz über die Differenzierbarkeit der inversen Funktion (Satz 8.14) ist der Arkussinus bei $s$ differenzierbar, falls die Ableitung des Sinus bei $x=\arcsin \left(s\right)$ nicht Null ist. In der Tat verschwindet die Ableitung des Sinus ${\sin }^{\prime }=\cos$ genau an den Randpunkten $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}$ von $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Für $x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ und $s=\sin \left(x\right)$ ergibt sich nach Satz 8.14

$$\begin{array}{lll}\hfill {\arcsin }^{\prime }\left(s\right)=\frac{1}{\cos \left(x\right)}=\frac{1}{\sqrt{1-s^2}},& & \hfill \end{array}$$

da $\cos \left(x\right)$ positiv ist für $x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ und somit $\cos \left(x\right)=\sqrt{1-\sin {\left(x\right)}^2}=\sqrt{1-s^2}$ unter Verwendung von $\sin {\left(x\right)}^2+\cos {\left(x\right)}^2=1$.

8.3.2 Kosinus und Arkuskosinus

Die obige Diskussion über Monotonie des Sinus kann analog durchgeführt werden für den Kosinus. Es ergibt sich, dass der Kosinus bei $0$ ein lokales Extremum annimmt, auf dem Intervall $\left[0,\pi \right]$ streng monoton fallend ist, auf dem Intervall $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ konkav ist und auf dem Intervall $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ konvex (nach oben gekrümmt) ist. Insbesondere ist die Einschränkung

$$\begin{array}{lll}\hfill \cos {|}_{[0,\pi ]}:[0,\pi ]\to [-1,1]& & \hfill \end{array}$$

bijektiv.

Die Umkehrabbildung heisst Arkuskosinus und wird als

$$\begin{array}{lll}\hfill \arccos :[-1,1]\to [0,\pi ]& & \hfill \end{array}$$

geschrieben.

Ebenso können wir die Ableitungsregeln für die Umkehrabbildung anwenden und erhalten bei $s=\cos \left(x\right)$ für $x\in (0,\pi )$

$$\begin{array}{lll}\hfill {\arccos }^{\prime }\left(s\right)=\frac{1}{-\sin \left(x\right)}=-\frac{1}{\sqrt{1-s^2}},& & \hfill \end{array}$$

da der Sinus auf $(0,\pi )$ positiv ist.

Wir möchten an dieser Stelle daran erinnern, dass sich jede Linearkombination von Sinus und Kosinus als ein Vielfaches des Sinus (oder des Kosinus) schreiben lässt (siehe die entsprechende Übung in Abschnitt 7.9.2).

8.3.3 Das innere Produkt und Winkel

Eine einfache Konsequenz der Existenz einer Umkehrfunktion für die Einschränkung $\cos {|}_{[0,\pi ]}:[0,\pi ]\to [-1,1]$ ist, dass wir den Winkel zwischen je zwei Vektoren im $n$-dimensionalen Euklidschen Vektorraum ${ℝ}^d$ definieren können. Sind $v,w\in {ℝ}^d\setminus \left\{0\right\}$, so lässt sich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung in Proposition 5.3 als die Aussage interpretieren, dass sich das innere Produkt in der Form

$$\begin{array}{lll}\hfill ⟨v,w⟩=\parallel v\parallel \parallel w\parallel \cos \phi & & \hfill \end{array}$$

schreiben lässt, wobei wir $\phi =\arccos \frac{⟨v,w⟩}{\parallel v\parallel \parallel w\parallel }\in [0,\pi ]$ als den Winkel zwischen den Vektoren $v$ und $w$ bezeichnen. Wir empfehlen Ihnen, diese Definition an einigen expliziten Beispielen durchzuspielen und sich davon zu überzeugen, dass diese Definition des Winkels den Ihnen intuitiv bekannten Eigenschaften genügt.

8.3.4 Tangens und Arkustangens

Da $\sin (x+\pi )=-\sin \left(x\right)$ und $\cos (x+\pi )=-\cos \left(x\right)$ für alle $x\in ℝ$ gilt, ergibt sich, dass $\tan (x+\pi )=\tan \left(x\right)$ für alle $x\in ℝ\setminus \left(\mathbb{Z}\pi +\frac{\pi }{2}\right)$. Des Weiteren ist

$$\begin{array}{lll}\hfill {\tan }^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}\right)}^{\prime }=\frac{\cos \left(x\right)\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)(-\sin (x\left)\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}=\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}& & \hfill \end{array}$$

für alle $x\in ℝ\setminus \left(\mathbb{Z}\pi +\frac{\pi }{2}\right)$ nach der Quotientenregel in Korollar 8.11, Gleichung (8.12) und der trigonometrischen Identität ${\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)=1$. Insbesondere ist der Tangens auf jedem Intervall der Form $\left(n\pi -\frac{\pi }{2},n\pi +\frac{\pi }{2}\right)$ für $n\in \mathbb{Z}$ streng monoton wachsend.

Des Weiteren gilt

$$\begin{array}{lll}\hfill \underset{x\nearrow \frac{\pi }{2}}{\lim }\tan \left(x\right)=\underset{x\nearrow \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}=+\infty & & \hfill \end{array}$$

wegen $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$, $\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ und $\cos \left(x\right)>0$ für $x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, und

$$\begin{array}{lll}\hfill \underset{x\searrow -\frac{\pi }{2}}{\lim }\tan \left(x\right)=\underset{x\searrow -\frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}=-\infty & & \hfill \end{array}$$

wegen $\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$. Wie zuvor folgt nun aus dem Zwischenwertsatz, dass die Einschränkung

$$\begin{array}{lll}\hfill \tan {|}_{\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)}:\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\to ℝ& & \hfill \end{array}$$

bijektiv ist.

Die Umkehrabbildung

$$\begin{array}{lll}\hfill \arctan :ℝ\to \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)& & \hfill \end{array}$$

wird als der Arkustangens bezeichnet.

Nach Satz 8.14 ist der Arkustangens differenzierbar und es gilt bei $x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ und $s=\tan \left(x\right)$

$$\begin{array}{lll}\hfill {\arctan }^{\prime }\left(s\right)=\frac{1}{\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}}={\cos }^2\left(x\right).& & \hfill \end{array}$$

Des Weiteren gilt

$$\begin{array}{lll}\hfill 1+s^2=1+\frac{{\sin }^2\left(x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}=\frac{{\cos }^2\left(x\right)+{\sin }^2\left(x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}=\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}.& & \hfill \end{array}$$

Daraus folgt schlussendlich, dass für alle $s\in ℝ$

$$\begin{array}{lll}\hfill {\arctan }^{\prime }\left(s\right)=\frac{1}{1+s^2}& & \hfill \end{array}$$

gilt.

8.3.5 Kotangens und Arkuskotangens

Der Kotangens respektive seine Umkehrfunktion, der Arkuskotangens, zeigen sehr ähnliches Verhalten gegenüber des Tangens respektive gegenüber des Arkustangens. Die Einschränkung $\cot {|}_{(0,\pi )}:(0,\pi )\to ℝ$ ist streng monoton fallend und bijektiv. Die Umkehrabbildung

$$\begin{array}{lll}\hfill \mathrm{arccot}:ℝ\to (0,\pi )& & \hfill \end{array}$$

wird Arkuskotangens genannt und hat die Ableitung

$$\begin{array}{lll}\hfill {\mathrm{arccot}}^{\prime }\left(s\right)=-\frac{1}{1+s^2}& & \hfill \end{array}$$

für alle $s\in ℝ$.

8.3.6 Ein physikalisches Beispiel

8.3.7 Verwendung der trigonometrischen Funktionen

Ab jetzt werden wir die trigonometrischen Funktionen und all ihre Monotonieeigenschaften, ihre Ableitungen und auch die Ableitungen ihrer Umkehrabbildungen meist ohne Referenz auf diesen Abschnitt verwenden. Deswegen wollen wir die Ableitungsregeln hier nochmals zusammenfassen. Es gilt

$$\begin{array}{llll}\hfill {\sin }^{\prime }\left(x\right)=\cos \left(x\right),& {\cos }^{\prime }\left(x\right)=-\sin \left(x\right),& \hfill & \\ \hfill {\tan }^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)},& {\cot }^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{{\sin }^2\left(x\right)},& \hfill & \\ \hfill {\arcsin }^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},& {\arccos }^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},& \hfill & \\ \hfill {\arctan }^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{1+x^2},& {\mathrm{arccot}}^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{1+x^2}& \hfill & \end{array}$$

für $x$ im jeweiligen Definitionsbereich der betrachteten Funktion.