Hyperbolische Funktionen – Analysis I (Kap. 1-9)

8.4 Hyperbolische Funktionen

Wir möchten in diesem kurzen Abschnitt die zu Abschnitt 8.3 analoge Diskussion für die in Abschnitt 7.7.1 eingeführten hyperbolischen Funktionen durchführen. Wir erinnern daran, dass

\begin{array}{l} \sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, \cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}, \tanh (x) = \frac{\sinh (x)}{\cosh (x)} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} \end{array}

für alle $x \in ℝ$ .

8.4.1 Der Areasinus Hyperbolicus

Nach Übung 8.4 gilt $\sinh^{'} (x) = \cosh (x) > 0$ für alle $x \in ℝ$ . Somit ist also nach Korollar 8.35 der Sinus Hyperbolicus streng monoton wachsend. Da $\lim_{x \to \infty} \sinh (x) = \infty$ und $\lim_{x \to - \infty} \sinh (x) = - \infty$ gilt, erhalten wir nach dem Zwischenwertsatz 3.58, dass

\begin{array}{l} \sinh : ℝ \to ℝ \end{array}

streng monoton wachsend und bijektiv ist. Die Umkehrabbildung

\begin{array}{l} arsinh : ℝ \to ℝ \end{array}

nennen wir den Areasinus Hyperbolicus. Nach dem Satz zur Differenzierbarkeit der inversen Funktion ist $arsinh$ differenzierbar und es gilt für $x \in ℝ$ und $s = \sinh (x)$

\begin{array}{l} {arsinh}^{'} (s) = \frac{1}{\cosh (x)} = \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^{2} (x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + s^{2}}} . \end{array}

Der Areasinus Hyperbolicus besitzt im Gegensatz zu den Umkehrfunktionen $\arcsin, \arccos$ und $\arctan$ eine geschlossene Form. In der Tat gilt

\begin{array}{l} arsinh (s) = \log (s + \sqrt{1 + s^{2}}) \end{array}

für alle $s \in ℝ$ , wobei man beachten sollte, dass der Ausdruck rechts für alle $s \in ℝ$ Sinn ergibt. Kurzes Nachrechnen ergibt für $s \in ℝ$ und $x = \log (s + \sqrt{1 + s^{2}})$

\begin{array}{l} \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = \frac{1}{2} (s + \sqrt{1 + s^{2}} - \frac{1}{s + \sqrt{1 + s^{2}}}) = \frac{1}{2} (s + \sqrt{1 + s^{2}} - \frac{s - \sqrt{1 + s^{2}}}{s^{2} - 1 - s^{2}}) = s \end{array}

wie gewünscht.

8.4.2 Der Areakosinus Hyperbolicus

Der Kosinus Hyperbolicus erfüllt $\cosh^{'} (x) = \sinh (x)$ und $\cosh^{″} (x) = \cosh (x) > 0$ für alle $x \in ℝ$ nach Übung 8.4. Insbesondere ist der Kosinus Hyperbolicus streng konvex nach Korollar 8.42 und hat ein globales Minimum bei $0$ nach Korollar 8.37 (wieso?). Für $x > 0$ gilt $\cosh^{'} (x) > 0$ und somit ist $\cosh$ auf $ℝ_{\geq 0}$ streng monoton wachsend. Da $\cosh (0) = 1$ und $\lim_{x \to \infty} \cosh (x) = + \infty$ , folgt, dass

\begin{array}{l} \cosh : ℝ_{\geq 0} \to ℝ_{\geq 1} \end{array}

streng monoton wachsend und bijektiv ist. Die Umkehrabbildung

\begin{array}{l} arcosh : ℝ_{\geq 1} \to ℝ_{\geq 0} \end{array}

wird der Areakosinus Hyperbolicus genannt, ist auf $ℝ_{> 1}$ differenzierbar und erfüllt

\begin{array}{l} {arcosh}^{'} (s) = \frac{1}{\sinh (x)} = \frac{1}{\sqrt{s^{2} - 1}} \end{array}

für $s > 1$ und $s = \cosh (x)$ mit $x > 0$ . Des Weiteren gilt

\begin{array}{l} arcosh (s) = \log (s + \sqrt{s^{2} - 1}) \end{array}

für alle $s > 1$ . Der Nachweis der obigen Eigenschaften des Areakosinus Hyperbolicus und der noch folgenden Eigenschaften überlassen wir Interessierten.

8.4.3 Der Areatangens Hyperbolicus

Der Areatangens Hyperbolicus ist die Umkehrfunktion

\begin{array}{l} artanh : (- 1, 1) \to ℝ, x \mapsto \frac{1}{2} \log (\frac{1 + x}{1 - x}) \end{array}

der streng monoton wachsenden Bijektion

\begin{array}{l} \tanh : ℝ \to (- 1, 1) . \end{array}

Des Weiteren ist nach dem Satz zur inversen Funktion (Satz 8.14) $artanh$ differenzierbar und es gilt

\begin{array}{l} {artanh}^{'} (s) = \frac{1}{1 - s^{2}} \end{array}

für alle $s \in (- 1, 1)$ .

Übung 8.56.

Verifizieren Sie die oben aufgestellten Behauptungen.

8.4 Hyperbolische Funktionen

8.4.1 Der Areasinus Hyperbolicus

8.4.2 Der Areakosinus Hyperbolicus

8.4.3 Der Areatangens Hyperbolicus

Übung 8.56.

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