Treppenfunktionen und deren Integral – Analysis I (Kap. 1-9)

4.1 Treppenfunktionen und deren Integral

Im Folgenden betrachten wir für zwei reelle Zahlen $a < b$ das kompakte Intervall $[a, b] \subseteq ℝ$ .

4.1.1 Zerlegungen

Definition 4.1 (Zerlegung).

Eine Zerlegung (oder Unterteilung) $ℨ$ von $[a, b]$ ist gegeben durch endlich viele Punkte

\begin{array}{l} a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b \end{array}

mit $n \in ℕ$ . Die Punkte $x_{0}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ werden die Teilungspunkte der Zerlegung genannt. Wir schreiben $ℨ = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b}$ .

Formal gesehen ist eine Zerlegung also eine endliche Teilmenge unseres Intervalls $[a, b]$ , die $a$ und $b$ enthält, gemeinsam mit einer Auflistung ihrer Elemente durch eine streng monotone Funktion $k \in {0, \dots, n} \mapsto x_{k}$ . (Die Aufzählung ist eindeutig durch die Teilmenge bestimmt, da wir die Forderung $x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n}$ stellen). Eine Zerlegung induziert auch eine spezielle Art von Partition, nämlich

\begin{array}{l} 𝒫 (ℨ) = {{a}, (x_{0}, x_{1}), {x_{1}}, \dots, (x_{n - 1}, x_{n}), {b}}, \end{array}

die fortan implizit in den Diskussionen verwendet wird.

Definition 4.2 (Treppenfunktion).

Eine Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ ist eine Treppenfunktion (abgekürzt $𝒯 ℱ$ ), falls es eine Zerlegung $ℨ = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b}$ gibt, so dass es für jedes $k \in {1, \dots, n}$ eine Zahl $c_{k} \in ℝ$ gibt mit

\begin{array}{l} \forall x \in (x_{k - 1}, x_{k}) : f (x) = c_{k} . \end{array}

Eine Treppenfunktion soll also konstant sein auf den Intervallen in der Partition $𝒫 (ℨ)$ . Die Intervalle $(x_{k - 1}, x_{k})$ für $k \in {1, \dots, n}$ heissen auch Konstanzintervalle der Treppenfunktion $f$ und $ℨ$ heisst eine Zerlegung in Konstanzintervalle von $f$ . Die Zahlen $c_{1}, \dots, c_{n}$ nennen wir Konstanzwerte von $f$ bezüglich $ℨ$ .

Beispielsweise sind konstante Funktionen auch Treppenfunktionen.

$PIC$

Figur 4.1: Der Graph einer Treppenfunktion auf dem Intervall

[a, b]

. Die blauen Punkte deuten die Funktionswerte bei den Punkten

x_{0}, \dots, x_{5}

an.

Definition 4.3.

Seien $ℨ, ℨ^{'}$ zwei Zerlegungen von $[a, b]$ . Wir sagen, dass $ℨ^{'}$ feiner als $ℨ$ ist, falls jeder Teilungspunkt von $ℨ$ ein Teilungspunkt von $ℨ^{'}$ ist. Die gemeinsame Verfeinerung zweier Zerlegungen $ℨ$ und $ℨ^{'}$ ist die Zerlegung, deren Menge von Teilungspunkten durch die Vereinigung der Menge der Teilungspunkte von $ℨ$ und von $ℨ^{'}$ gegeben ist.

4.1.2 Das Integral einer Treppenfunktion

Definition 4.4.

Sei $f : [a, b] \to ℝ$ eine Treppenfunktion und $ℨ = {a = x_{0} < \dots < x_{n} = b}$ eine Zerlegung von $[a, b]$ in Konstanzintervalle von $f$ . Seien $c_{1}, \dots, c_{n}$ die Konstanzwerte von $f$ bezüglich $ℨ$ . Dann definieren wir

\begin{array}{l} I (f, ℨ) = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} (x_{k} - x_{k - 1}) = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} Δ x_{k}, \end{array}

wobei $Δ x_{k} = (x_{k} - x_{k - 1})$ für die Länge des $k$ -ten Konstanzintervalls in der Zerlegung $ℨ$ für $k = 1, \dots, n$ steht.

Für eine nicht-negative Treppenfunktion $f \geq 0$ interpretieren wir $I (f, ℨ)$ als Flächeninhalt der Ordinatenmenge

\begin{array}{l} {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f (x)} \end{array}

und im Allgemeinen als vorzeichenbehafteter Nettoflächeninhalt (siehe Bild unten).

$PIC$

Figur 4.2: Die Zahl

I (f, ℨ)

kann die Summe der Flächeninhalten von Rechtecken über der

x

-Achse oder eine Differenz von Flächeninhalten sein, wenn die Treppenfunktion positive und negative Werte auf den Konstanzintervallen annimmt.

Lemma 4.5 (Unabhängigkeit von Zerlegung in Konstanzintervalle).

Sei $f : [a, b] \to ℝ$ eine Treppenfunktion und $ℨ = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b}$ eine Zerlegung in Konstanzintervalle von $f$ . Dann hängt $I (f, ℨ)$ nicht von den Funktionswerten $f (x_{k})$ für $k \in {0, \dots, n}$ und nicht von der Wahl der Zerlegung $ℨ$ in Konstanzintervalle der Funktion $f$ ab.

Dieses Lemma wird uns erlauben, den Wert $I (f, ℨ)$ als das Integral von $f$ zu definieren.

Beweis.

Seien $f, f^{'}$ zwei Treppenfunktionen auf $[a, b]$ mit derselben Zerlegung in Konstanzintervalle $ℨ = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b}$ . Falls nun $f (x) = c_{k} = f^{'} (x)$ für alle $x \in (x_{k - 1}, x_{k})$ und alle $k \in {1, \dots, n}$ , dann gilt

\begin{array}{l} I (f, ℨ) = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} (x_{k} - x_{k - 1}) = I (f^{'}, ℨ) \end{array}

und die erste Behauptung im Lemma folgt.

Sei nun $f$ eine Treppenfunktion auf $[a, b]$ und sowohl $ℨ$ als auch $ℨ^{'}$ Zerlegungen in Konstanzintervalle von $f$ . Die zweite Behauptung des Lemmas besagt $I (f, ℨ) = I (f, ℨ^{'})$ . (Zum Beispiel könnte $ℨ = {x_{0} = a < x_{1} < x_{2} < x_{4} < x_{5} = b}$ und $ℨ^{'} = {x_{0} = a < x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} = b}$ wie in Figur 4.1 sein.)

Wir beweisen diese Behauptung in drei Schritten. Im ersten Schritt nehmen wir an, dass $ℨ^{'}$ feiner als $ℨ = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b}$ ist und bloss einen zusätzlichen Trennungspunkt $y \in (x_{ℓ - 1}, x_{ℓ})$ für ein $ℓ \in {1, \dots, n}$ hat. Unter Verwendung der Abkürzung $Δ x_{k} = (x_{k} - x_{k - 1})$ für die Länge des $k$ -ten Teilintervalls von $ℨ$ für $k \in {1, \dots, n}$ erhalten wir

\begin{array}{l} I (f, ℨ) & = \sum_{k = 1}^{ℓ - 1} c_{k} Δ x_{k} + c_{ℓ} (x_{ℓ} - x_{ℓ - 1}) + \sum_{k = ℓ + 1}^{n} c_{k} Δ x_{k} \\ = \sum_{k = 1}^{ℓ - 1} c_{k} Δ x_{k} + c_{ℓ} (x_{ℓ} - y) + c_{ℓ} (y - x_{ℓ - 1}) + \sum_{k = ℓ + 1}^{n} c_{k} Δ x_{k} \\ = I (f, ℨ^{'}), \end{array}

da $f (x) = c_{ℓ}$ für alle $x \in (x_{ℓ - 1}, y) \cup (y, x_{ℓ}) \subseteq (x_{ℓ - 1}, x_{ℓ})$ .

Mittels vollständiger Induktion nach $| ℨ^{'} ∖ ℨ |$ folgt aus obigem Fall, dass $I (f, ℨ) = I (f, ℨ^{'})$ , falls $ℨ^{'}$ feiner als $ℨ$ ist. In der Tat kann man eine Liste von Zerlegungen finden, die mit $ℨ$ beginnt, mit $ℨ^{'}$ endet, und in der die nächste jeweils einen Punkt mehr besitzt als die vorhergehende Zerlegung in der Liste.

Falls nun $ℨ, ℨ^{'}$ beliebige Zerlegungen in Konstanzintervalle von $f$ sind, dann können wir die gemeinsame Verfeinerung $ℨ^{″}$ betrachten und erhalten aus dem vorherigen Fall

\begin{array}{l} I (f, ℨ) = I (f, ℨ^{″}) = I (f, ℨ^{'}), \end{array}

was den Beweis des Lemmas abschliesst.

■

Definition 4.6.

Für eine Treppenfunktion $f : [a, b] \to ℝ$ definieren wir das Integral der Treppenfunktion $f$ als

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f d x = I (f, ℨ), \end{array}

wobei $ℨ$ eine Zerlegung in Konstanzintervalle von $f$ ist.

Nach Lemma 4.5 hängt diese Definition des Integrals nicht von der Wahl der Zerlegung ab.

Wir bemerken auch, dass das Symbol $\int$ für ein stilisiertes $S$ steht und damit an den Zusammenhang zu einer Summe erinnert. Des Weiteren ist die Variable $x$ in der Notation $\int f (x) d x$ eine interne Variable für die Notation des Integrals (genauso wie die Variable $k$ in der Summe $\sum_{k = 1}^{n} c_{k} Δ x_{k}$ ), die ausserhalb des Integrals keine Bedeutung hat (und, um vorprogrammierte Verwirrungen zu vermeiden, auch keine haben sollte).

Lemma 4.7 (Linearität des Integrals von Treppenfunktionen).

Die nicht-leere Menge

\begin{array}{l} 𝒯 ℱ ([a, b]) = {f \in ℱ ([a, b]) ∣ f ist eine Treppenfunktion} \end{array}

der Treppenfunktionen auf dem Intervall $[a, b]$ ist ein Unterraum des Vektorraums $ℱ ([a, b])$ der reellwertigen Funktionen auf $[a, b]$ . Des Weiteren ist die Abbildung $\int : 𝒯 ℱ ([a, b]) \to ℝ$ linear. Das heisst, für alle $f, g \in 𝒯 ℱ ([a, b])$ und $s \in ℝ$ ist $f + g \in 𝒯 ℱ ([a, b])$ , $s f \in 𝒯 ℱ ([a, b])$ und es gilt

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} (f + g) d x & = \int_{a}^{b} f d x + \int_{a}^{b} g d x, \\ \int_{a}^{b} (s f) d x & = s \int_{a}^{b} f d x . \end{array}

Beweis.

Falls $ℨ_{f}$ eine Zerlegung in Konstanzintervalle von $f$ und $ℨ_{g}$ eine Zerlegung in Konstanzintervalle von $g$ ist, dann existiert eine gemeinsame Verfeinerung

\begin{array}{l} ℨ = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b} \end{array}

von $ℨ_{f}$ und $ℨ_{g}$ . Dies ist eine Zerlegung in Konstanzintervalle von $f$ und $g$ . Seien $c_{1}, \dots, c_{n}$ respektive $d_{1}, \dots, d_{n} \in ℝ$ die Konstanzwerte von $f$ respektive $g$ bezüglich der Zerlegung $ℨ$ , das heisst, es gilt

\begin{align} \forall x \in (x_{k - 1}, x_{k}) : f (x) = c_{k} und g (x) = d_{k} & (4.1) \end{align}

für alle $k \in {1, \dots, n}$ . Insbesondere ergibt dies für alle $k \in {1, \dots, n}$

\begin{array}{l} \forall x \in (x_{k - 1}, x_{k}) : f (x) + g (x) = c_{k} + d_{k} und (s f) (x) = s c_{k} \end{array}

und wir erhalten $f + g, s f \in 𝒯 ℱ ([a, b])$ . Des Weiteren gilt

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} (f + g) d x & = I (f + g, ℨ) = \sum_{k = 1}^{n} (c_{k} + d_{k}) Δ x_{k} \\ = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} Δ x_{k} + \sum_{k = 1}^{n} d_{k} Δ x_{k} \\ = I (f, ℨ) + I (g, ℨ) \\ = \int_{a}^{b} f d x + \int_{a}^{b} g d x \end{array}

und ebenso

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} (s f) d x & = I (s f, ℨ) = \sum_{k = 1}^{n} s c_{k} Δ x_{k} \\ = s \sum_{k = 1}^{n} c_{k} Δ x_{k} = s I (f, ℨ) = s \int_{a}^{b} f d x . \end{array}

■

Lemma 4.8 (Monotonie des Integrals von Treppenfunktionen).

Sind $f, g \in 𝒯 ℱ ([a, b])$ zwei Treppenfunktionen mit $f \leq g$ . Dann gilt

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f d x \leq \int_{a}^{b} g d x . \end{array}

Insbesondere impliziert $f \in 𝒯 ℱ ([a, b])$ und $f \geq 0$ , dass $\int_{a}^{b} f d x \geq 0$ .

Beweis.

Wie schon im Beweis des letzten Lemmas können wir für $f, g \in 𝒯 ℱ ([a, b])$ eine gemeinsame Zerlegung $ℨ = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b}$ in Konstanzintervalle finden. Wir schreiben wieder $c_{1}, \dots, c_{n}, d_{1}, \dots, d_{n}$ für die Konstanzwerte von $f$ resp. $g$ bezüglich $ℨ$ (wie in Gleichung (4.1)). Falls nun $f \leq g$ (also $f (x) \leq g (x)$ für alle $x \in [a, b]$ ) ist, dann ist $c_{k} \leq d_{k}$ für alle $k \in {1, \dots, n}$ und wir erhalten

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f d x = I (f, ℨ) = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} Δ x_{k} \leq \sum_{k = 1}^{n} d_{k} Δ x_{k} = I (g, ℨ) = \int_{a}^{b} g d x . \end{array}

Die zweite Aussage folgt aus der ersten angewendet auf $0$ und $f$ .

■

Durch genauere Betrachtung des obigen Beweises oder Lemma 4.5 sieht man sogar, dass die Ungleichung $f \leq g$ auf den durch eine Zerlegung gegebenen offenen Intervallen für die Konklusion $\int_{a}^{b} f d x \leq \int_{a}^{b} g d x$ ausreichend ist.

Übung 4.9 (Integral von „zusammengeklebten“ Treppenfunktionen).

Seien $[a, b], [b, c]$ zwei beschränkte und abgeschlossene Intervalle und sei $f_{1} \in 𝒯 ℱ ([a, b])$ und $f_{2} \in 𝒯 ℱ ([b, c])$ . Zeigen Sie, dass die Funktion

\begin{array}{l} f : [a, c] \to ℝ, x \mapsto {\begin{matrix} f_{1} (x) & falls x \in [a, b) \\ f_{2} (x) & falls x \in [b, c] \end{matrix} \end{array}

eine Treppenfunktion auf $[a, c]$ ist und geben Sie eine Zerlegung in Konstanzintervalle von $f$ an. Beweisen Sie anschliessend, dass das Integral von $f$ gegeben ist durch

\begin{array}{l} \int_{a}^{c} f d x = \int_{a}^{b} f_{1} d x + \int_{b}^{c} f_{2} d x . \end{array}

Zeigen Sie des Weiteren, dass jede Treppenfunktion auf $[a, c]$ von obiger Form ist.

Hinweis.

Die Notation $ℨ_{1} = {a = x_{1, 0} < x_{1, 1} < \dots < x_{1, m} = b}$ für die Zerlegung in Konstanzintervalle von $f_{1}$ und $ℨ_{2} = {b = x_{2, 0} < x_{2, 1} < \dots < x_{2, n} = c}$ für die Zerlegung in Konstanzintervalle von $f_{2}$ könnte hilfreich sein.

4.1 Treppenfunktionen und deren Integral

4.1.1 Zerlegungen

Definition 4.1 (Zerlegung).

Definition 4.2 (Treppenfunktion).

Definition 4.3.

4.1.2 Das Integral einer Treppenfunktion

Definition 4.4.

Lemma 4.5 (Unabhängigkeit von Zerlegung in Konstanzintervalle).

Definition 4.6.

Lemma 4.7 (Linearität des Integrals von Treppenfunktionen).

Lemma 4.8 (Monotonie des Integrals von Treppenfunktionen).

Übung 4.9 (Integral von „zusammengeklebten“ Treppenfunktionen).

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