Erste Integrationsgesetze – Analysis I (Kap. 1-9)

4.3 Erste Integrationsgesetze

Wie schon zuvor betrachten wir hier Funktionen und den Begriff des Riemann-Integrals auf einem kompakten Intervall $[a, b] \subseteq ℝ$ für $a < b$ . Wir möchten nun Eigenschaften des Riemann-Integrals nachweisen, die zu den Eigenschaften des Integrals von Treppenfunktionen (genauer Lemma 4.7 und Lemma 4.8) analog sind.

4.3.1 Linearität

Satz 4.19 (Linearität des Riemann-Integrals).

Die Menge

\begin{array}{l} ℛ ([a, b]) = {f \in ℱ ([a, b]) ∣ f ist Riemann-integrierbar} \end{array}

der Riemann-integrierbaren Funktionen auf $[a, b]$ bildet einen Unterraum von $ℱ ([a, b])$ und das Integral ist eine lineare Funktion auf $ℛ ([a, b])$ . Das heisst, für $f_{1}, f_{2}, f \in ℛ ([a, b])$ und $s \in ℝ$ ist $f_{1} + f_{2}, s f \in ℛ ([a, b])$ und

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} (f_{1} + f_{2}) (x) d x & = \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x + \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x, \\ \int_{a}^{b} (s f) (x) d x & = s \int_{a}^{b} f (x) d x . \end{array}

Im Beweis werden wir folgendes allgemeines Prinzip mehrmals anwenden. Falls $A \subseteq B$ nicht-leere Teilmengen von $ℝ$ sind und $B$ von oben beschränkt ist, dann ist $\sup (B)$ eine obere Schranke von $A$ und daher $\sup (A) \leq \sup (B)$ (nach Definition des Supremums). Analog gilt $\inf (A) \geq \inf (B)$ , falls $B$ von unten beschränkt ist.

Beweis.

Aus Übung 4.14 folgt die Inklusion $𝒯 ℱ ([a, b]) \subseteq ℛ ([a, b])$ , sodass $ℛ ([a, b])$ insbesondere nicht-leer ist.

Sei nun $f \in ℛ ([a, b])$ und $s \geq 0$ . Für Treppenfunktionen $u, o \in 𝒯 ℱ ([a, b])$ mit $u \leq f \leq o$ gilt somit $s u \leq s f \leq s o$ . Mit $s \int_{a}^{b} u (x) d x = \int_{a}^{b} s u (x) d x$ und $s \int_{a}^{b} o (x) d x = \int_{a}^{b} s o (x) d x$ nach Lemma 4.7 folgt $s 𝒰 (f) \subseteq 𝒰 (s f)$ und $s 𝒪 (f) \subseteq 𝒪 (s f)$ . In der Tat ist

\begin{array}{l} s 𝒰 (f) & = {s \int_{a}^{b} u (x) d x ∣ u \in 𝒯 ℱ ([a, b]), u \leq f} \\ = {\int_{a}^{b} s u (x) d x ∣ u \in 𝒯 ℱ ([a, b]), s u \leq s f} \end{array}

eine Teilmenge von $𝒰 (s f)$ und analog für $s 𝒪 (f) \subseteq 𝒪 (s f)$ . Aus der Bemerkung vor dem Beweis folgt also

\begin{array}{l} \sup (s 𝒰 (f)) \leq \sup (𝒰 (s f)) = \underset{̲}{I} (s f) \\ \leq \bar{I} (s f) = \inf (𝒪 (s f)) \\ \leq \inf (s 𝒪 (f)) . \end{array}

Nach Proposition 2.62 ist jedoch

\begin{array}{l} s \underset{̲}{I} (f) = s \sup (𝒰 (f)) = \sup (s 𝒰 (f)) \\ \leq \underset{̲}{I} (s f) \leq \bar{I} (s f) \\ \leq \inf (s 𝒪 (f)) = s \inf (𝒪 (f)) = s \bar{I} (f) . \end{array}

Da aber $f$ Riemann-integrierbar ist und somit $\underset{̲}{I} (f) = \bar{I} (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ erfüllt ist, gilt in obiger Abschätzung (wegen Gleichheit der kleinsten und der grössten Zahl) überall Gleichheit und wir schliessen

\begin{array}{l} \underset{̲}{I} (s f) = \bar{I} (s f) = s \int_{a}^{b} f (x) d x . \end{array}

Damit ist $s f$ Riemann-integrierbar mit Integral $s \int_{a}^{b} f (x) d x$ . Ist $s < 0$ , so kehren sich in obigem alle Abschätzungen, die $s$ beinhalten, um (zum Beispiel gilt $s o \leq s f \leq s u$ ) und man erhält vollkommen analog die gewünschte Aussage (siehe Übung 4.20).

Wir zeigen nun Additivität des Integrals. Seien also $f_{1}, f_{2} \in ℛ ([a, b])$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen auf $[a, b]$ und $u_{1}, u_{2}, o_{1}, o_{2} \in 𝒯 ℱ ([a, b])$ Treppenfunktionen mit

\begin{array}{l} u_{1} & \leq f_{1} \leq o_{1}, \\ u_{2} & \leq f_{2} \leq o_{2} . \end{array}

Dann ist auch $u_{1} + u_{2} \leq f_{1} + f_{2} \leq o_{1} + o_{2}$ , was gemäss Lemma 4.7

\begin{aligned} 𝒰 (f_{1}) + 𝒰 (f_{2}) & \subseteq 𝒰 (f_{1} + f_{2}), \\ 𝒪 (f_{1}) + 𝒪 (f_{2}) & \subseteq 𝒪 (f_{1} + f_{2}) \end{aligned}

(4.3)

zur Folge hat. Des Weiteren gilt nach Proposition 2.63, dass

\begin{array}{l} \sup (𝒰 (f_{1}) + 𝒰 (f_{2})) & = \sup (𝒰 (f_{1})) + \sup (𝒰 (f_{2})) \\ = \underset{̲}{I} (f_{1}) + \underset{̲}{I} (f_{2}) \\ = \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x + \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x \end{array}

nach Riemann-Integrierbarkeit von $f_{1}$ und $f_{2}$ und ebenso

\begin{array}{l} \inf (𝒪 (f_{1}) + 𝒪 (f_{2})) & = \inf (𝒪 (f_{1})) + \inf (𝒪 (f_{2})) \\ = \bar{I} (f_{1}) + \bar{I} (f_{2}) \\ = \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x + \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x . \end{array}

Gemeinsam mit der Bemerkung vor dem Beweis ergibt sich nun wiederum

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x + \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x & = \sup (𝒰 (f_{1}) + 𝒰 (f_{2})) \\ \leq \sup (𝒰 (f_{1} + f_{2})) \\ = \underset{̲}{I} (f_{1} + f_{2}) \leq \bar{I} (f_{1} + f_{2}) \\ = \inf (𝒪 (f_{1} + f_{2})) \\ \leq \inf (𝒪 (f_{1})) + \inf (𝒪 (f_{2})) \\ = \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x + \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x \end{array}

Dies zeigt

\begin{array}{l} \underset{̲}{I} (f_{1} + f_{2}) = \bar{I} (f_{1} + f_{2}) = \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x + \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x \end{array}

und insbesondere Riemann-Integrierbarkeit von $f_{1} + f_{2}$ . Wir haben also die Linearität des Riemann-Integrals bewiesen.

■

Übung 4.20 (Negative Vielfache).

Formulieren Sie den Fall $s < 0$ im obigen Beweis aus.

Übung 4.21.

Zeigen Sie, dass Gleichheit in (4.3) (siehe obigen Beweis) nicht erfüllt sein muss.

Hinweis.

Verwenden Sie die Polynome $f_{1} (x) = x^{2}$ und $f_{2} (x) = - x^{2}$ und Übung 4.15.

Übung 4.22 (Ändern bei einem Punkt).

Sei $f \in ℛ ([a, b])$ Riemann-integrierbar. Sei $f^{*} \in ℱ ([a, b])$ eine Funktion, die erhalten wurde, indem der Wert von $f$ an nur einem Punkt in $[a, b]$ abgeändert wurde. Zeigen Sie, dass $f^{*}$ Riemann-integrierbar ist und das gleiche Riemann-Integral wie $f$ hat.

Hinweis.

Verwenden Sie Satz 4.19 und für $x_{0} \in [a, b]$ und $c \in ℝ$ die Treppenfunktion $t \in 𝒯 ℱ ([a, b])$ gegeben durch

\begin{array}{l} t (x) = {\begin{matrix} c & falls x = x_{0} \\ 0 & falls x \neq x_{0} \end{matrix} \end{array}

für $x \in [a, b]$ .

4.3.2 Monotonie

Für $f \in ℱ ([a, b])$ definieren wir Funktionen $f^{+}, f^{-}, | f | \in ℱ ([a, b])$ durch

\begin{array}{l} f^{+} (x) = \max {0, f (x)}, f^{-} (x) = \max {0, - f (x)}, | f | (x) = \max {f (x), - f (x)} = | f (x) | \end{array}

für $x \in [a, b]$ . Die Funktion $f^{+}$ ist der Positivteil von $f$ , $f^{-}$ ist der Negativteil von $f$ und $| f |$ ist der Absolutbetrag von $f$ .

Übung 4.23 (Eigenschaften vom Positiv- und Negativteil).

Sei $f \in ℱ ([a, b])$ . Zeigen Sie die Gleichungen

\begin{array}{l} f = f^{+} - f^{-}, | f | = f^{+} + f^{-}, f^{+} = \frac{| f | + f}{2}, f^{-} = \frac{| f | - f}{2} . \end{array}

Satz 4.24 (Monotonie des Riemann-Integrals).

Für zwei Funktionen $f_{1}, f_{2} \in ℛ ([a, b])$ gelten folgende Monotonie-Eigenschaften des Riemann-Integrals:

(i): Falls $f_{1} \geq 0$ ist, so gilt $\int_{a}^{b} f_{1} (x) d x \geq 0$ .
(ii): Falls $f_{1} \leq f_{2}$ ist, so gilt $\int_{a}^{b} f_{1} (x) d x \leq \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x$ .
(iii): Die Funktion $| f_{1} |$ ist Riemann-integrierbar auf $[a, b]$ und es gilt die Dreiecksungleichung $\begin{array}{l} | \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x | \leq \int_{a}^{b} | f_{1} (x) | d x . \end{array}$

Wir möchten kurz erklären, wieso sich die Ungleichung in Punkt (iii) des obigen Satzes Dreiecksungleichung nennt. Tatsächlich sieht man kein Dreieck, im Gegensatz zur Dreiecksungleichung

\begin{array}{l} | z_{1} + z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} | \end{array}

für $z_{1}, z_{2} \in ℂ$ , die geometrisch direkt begründet werden kann (wie?). Es gilt auch die verallgemeinerte Dreiecksungleichung

\begin{array}{l} | \sum_{i = 1}^{n} z_{i} | \leq \sum_{i = 1}^{n} | z_{i} | \end{array}

für $z_{1}, \dots, z_{n} \in ℂ$ , wie man direkt aus der Dreiecksungleichung und vollständiger Induktion folgern kann (siehe Übung 3.4). Die Aussage (iii) in Satz 4.24 ist eine „kontinuierliche Version“ der verallgemeinerten Dreiecksungleichung, weswegen wir von der Dreiecksungleichung für das Riemann-Integral sprechen.

$PIC$

Figur 4.3: Wir sehen hier den Graphen einer Funktion

f

links und der entsprechenden Funkton

| f |

rechts. Dabei stellt

\int_{a}^{b} f (x) d x

einen Nettoflächeninhalt und

\int_{a}^{b} | f (x) | d x

einen Flächeninhalt dar.

Beweis.

Für $f_{1} \geq 0$ wie in (i) ist die konstante Funktion $u = 0$ eine Treppenfunktion mit $u \leq f_{1}$ und

\begin{array}{l} 0 = \int_{a}^{b} u (x) d x \leq \sup (𝒰 (f_{1})) = \underset{̲}{I} (f_{1}) = \int_{a}^{b} f (x) d x \end{array}

folgt.

Falls $f_{1} \leq f_{2}$ wie in (ii) gilt, so ist $f_{2} - f_{1} \geq 0$ und

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f_{2} (x) d x - \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x = \int_{a}^{b} f_{2} (x) - f_{1} (x) d x \geq 0 \end{array}

nach Linearität des Riemann-Integrals (Satz 4.19) und Teil (i). Dies zeigt (ii).

Für (iii) wollen wir zuerst zeigen, dass für ein $f \in ℛ ([a, b])$ auch $f^{+}$ Riemann-integrierbar ist. Dazu bemerken wir zuerst, dass für $s, t \in ℝ$ die Ungleichung $s \leq t$ impliziert, dass

\begin{array}{l} s^{+} = \max {0, s} & \leq t^{+} = \max {0, t} und \\ t^{+} - s^{+} & \leq t - s . \end{array}

Dies ergibt sich aus der Unterscheidung der Fälle $s \leq t \leq 0$ , $s \leq 0 < t$ und $0 < s \leq t$ . Falls $s \leq t \leq 0$ dann ist $s^{+} = t^{+} = 0$ und $t^{+} - s^{+} = 0 \leq t - s$ . Falls $s \leq 0 < t$ dann ist $s^{+} = 0$ , $t^{+} = t$ , und damit $t^{+} - s^{+} = t \leq t - s$ . Falls $0 < s \leq t$ , dann ist $s^{+} = s$ , $t^{+} = t$ und $t^{+} - s^{+} = t - s$ . Da $f$ Riemann-integrierbar ist, gibt es nach Proposition 4.12 (iii) zu jedem $𝜀 > 0$ zwei Treppenfunktion $u, o \in 𝒯 ℱ ([a, b])$ mit $u \leq f \leq o$ und $\int_{a}^{b} (o - u) (x) d x < 𝜀$ . Verknüpfen wir diese mit der Funktion $t \in ℝ \mapsto t^{+} \in ℝ$ , so ergibt sich

\begin{array}{l} u^{+} \leq f^{+} \leq o^{+}, o^{+} - u^{+} \leq o - u \end{array}

und daher nach (ii) auch

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} (o^{+} - u^{+}) (x) d x \leq \int_{a}^{b} (o - u) (x) d x < 𝜀 . \end{array}

Allerdings sind $u^{+}, o^{+}$ wieder Treppenfunktionen. Nach der dritten Charakterisierung in Proposition 4.12 ergibt sich somit, dass $f^{+}$ Riemann-integrierbar ist, da $𝜀 > 0$ beliebig war.

Mittels Satz 4.19 erhalten wir, dass $| f | = 2 f^{+} - f$ auch Riemann-integrierbar ist. Aus $f \leq | f |$ und $- f \leq | f |$ folgt aus (ii) nun

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} | f (x) | d x, \int_{a}^{b} - f (x) d x \leq \int_{a}^{b} | f (x) | d x, \end{array}

was zur Dreiecksungleichung äquivalent ist.

■

Übung 4.25 (Modifizierte Dirichlet- oder Riemann-Funktion).

Zeigen Sie, dass die Funktion

\begin{array}{l} g : [0, 1] \to [0, 1], x \mapsto {\begin{matrix} 0 & falls x irrational \\ \frac{1}{q} & falls x = \frac{p}{q} mit p, q teilerfremd \end{matrix} \end{array}

Riemann-integrierbar ist. Als Hilfestellung stellen wir den Graphen dar, aber überlassen Ihnen die Interpretation des Graphen und die sich daraus ergebenden Überlegungen.

4.3.3 Teilintervalle

Es seien $a < b < c$ drei reelle Zahlen. Dann definiert eine Funktion $f$ auf dem Intervall $[a, c]$ die Funktion $f_{1} = f |_{[a, b]}$ auf $[a, b]$ und die Funktion $f_{2} = f |_{[b, c]}$ auf $[b, c]$ . Dabei gilt $f_{1} (b) = f (b) = f_{2} (b)$ . Umgekehrt können wir Funktionen $f_{1} \in ℱ ([a, b])$ und $f_{2} \in ℱ ([b, c])$ mit $f_{1} (b) = f_{2} (b)$ verwenden, um eine Funktion $f \in ℱ ([a, c])$ durch

\begin{array}{l} f (x) = {\begin{matrix} f_{1} (x) & falls x \in [a, b] \\ f_{2} (x) & falls x \in (b, c] \end{matrix} \end{array}

für $x \in [a, c]$ zu definieren. In diesem Sinne entspricht die Funktion $f \in ℱ ([a, c])$ zwei Funktionen $f_{1} \in ℱ ([a, b])$ , $f_{2} \in ℱ ([b, c])$ mit $f_{1} (b) = f_{2} (b)$ .

Satz 4.26 (Additionseigenschaft bezüglich Intervallen).

Unter Verwendung obiger Notation gilt, dass $f \in ℱ ([a, c])$ genau dann Riemann-integrierbar ist, wenn $f_{1}$ und $f_{2}$ Riemann-integrierbar sind. In diesem Fall ist

\begin{array}{l} \int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f_{1} (x) d x + \int_{b}^{c} f_{2} (x) d x . \end{array}

Beweis.

Wir verifizieren zuerst die behauptete Formel für Treppenfunktionen. Dazu betrachten wir eine Treppenfunktion $t$ auf $[a, c]$ und eine Zerlegung in Konstanzintervalle von $t$

\begin{array}{l} ℨ = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = c} . \end{array}

Dabei dürfen wir wegen Lemma 4.5 ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $x_{m} = b$ für ein $m \in {1, \dots, n - 1}$ . Für $k \in {1, \dots, n}$ sei $c_{k}$ der Konstanzwert von $t$ auf $(x_{k - 1}, x_{k})$ . Dann gilt

\begin{align} \int_{a}^{c} t (x) d x & = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} Δ x_{k} & (4.4) \\ = \sum_{k = 1}^{m} c_{k} Δ x_{k} + \sum_{k = m + 1}^{n} c_{k} Δ x_{k} \\ = \int_{a}^{b} t |_{[a, b]} (x) d x + \int_{b}^{c} t |_{[b, c]} (x) d x & (4.5) \end{align}

Sei $f \in ℱ ([a, c])$ eine Funktion und definiere $f_{1} = f |_{[a, b]}$ , $f_{2} = f |_{[b, c]}$ . Gegeben $u \in 𝒯 ℱ ([a, c])$ mit $u \leq f$ kann man ebenso $u_{1} = u |_{[a, b]}$ , $u_{2} = u |_{[b, c]}$ definieren. Es gilt $u_{1} \leq f_{1}$ und $u_{2} \leq f_{2}$ . Wegen Gleichung (4.4) erhalten wir, dass

\begin{align} \int_{a}^{c} u (x) d x = \int_{a}^{b} u_{1} (x) d x + \int_{b}^{c} u_{2} (x) d x, & (4.6) \end{align}

was wiederum $𝒰 (f) \subseteq 𝒰 (f_{1}) + 𝒰 (f_{2})$ zur Folge hat. Umgekehrt kann man, gegeben Treppenfunktionen $u_{1}, u_{2}$ mit $u_{1} \leq f_{1}$ , $u_{2} \leq f_{2}$ eine Treppenfunktion $u$ auf $[a, c]$ definieren, die ebenso $u \leq f$ und Gleichung (4.6) erfüllt. Wegen Lemma 4.5 spielt der Funktionswert einer Treppenfunktion bei einem einzelnen Wert keine Rolle. Deswegen können wir beispielsweise die Funktion $u$ definiert durch $u (x) = u_{1} (x)$ für $x \in [a, b)$ und $u (x) = u_{2} (x)$ für $x \in [b, c]$ verwenden. Dadurch ist

\begin{array}{l} 𝒰 (f) = 𝒰 (f_{1}) + 𝒰 (f_{2}) \end{array}

und wegen der Additionseigenschaft des Supremums in Proposition 2.63 gilt

\begin{align} \underset{̲}{I} (f) = \underset{̲}{I} (f_{1}) + \underset{̲}{I} (f_{2}) . & (4.7) \end{align}

Analog zeigt man, dass

\begin{align} \bar{I} (f) = \bar{I} (f_{1}) + \bar{I} (f_{2}) . & (4.8) \end{align}

Ist nun $f$ Riemann-integrierbar, dann ist

\begin{array}{l} \underset{̲}{I} (f_{1}) + \underset{̲}{I} (f_{2}) = \underset{̲}{I} (f) = \bar{I} (f) = \bar{I} (f_{1}) + \bar{I} (f_{2}) \geq \bar{I} (f_{1}) + \underset{̲}{I} (f_{2}) \geq \underset{̲}{I} (f_{1}) + \underset{̲}{I} (f_{2}) . \end{array}

Überall in dieser Kette von Ungleichungen gilt also Gleichheit. Somit ist $\bar{I} (f_{1}) = \underset{̲}{I} (f_{1})$ und dadurch auch $\bar{I} (f_{2}) = \underset{̲}{I} (f_{2})$ . Das heisst, dass $f_{1}$ und $f_{2}$ Riemann-integrierbar sind und Gleichung (4.7) wird zur gewünschten Additionseigenschaft für das Riemann-Integral.

Falls $f_{1}, f_{2}$ Riemann-integrierbar sind, dann gilt $\bar{I} (f_{1}) = \underset{̲}{I} (f_{1})$ und $\bar{I} (f_{2}) = \underset{̲}{I} (f_{2})$ . Dies impliziert gemeinsam mit den Gleichungen (4.7), (4.8) auch $\underset{̲}{I} (f) = \bar{I} (f)$ und die Additionseigenschaft.

■

Sei $[a, b]$ ein kompaktes Intervall mit $a < b$ . Ist $f$ eine Funktion, die auf einer grösseren Menge als $[a, b]$ definiert ist, so werden wir anstelle von $\int_{a}^{b} f |_{[a, b]} d x$ trotzdem meist $\int_{a}^{b} f d x$ schreiben, wenn $f |_{[a, b]}$ Riemann-integrierbar ist. Auch definieren wir die folgende Erweiterung des Riemann-Integrals

\begin{align} \int_{b}^{a} f d x = - \int_{a}^{b} f d x und \int_{a}^{a} f d x = 0 . & (4.9) \end{align}

Diese Definition vereinfacht die Notation und macht auf Grund der Aussage in folgender Übung Sinn.

Wichtige Übung 4.27 (Intervalladditivität).

Sei $I = [a_{0}, b_{0}]$ für $a_{0} < b_{0}$ ein kompaktes Intervall und sei $f \in ℛ (I)$ . Zeigen Sie die Additionseigenschaft in Satz 4.26 für alle $a, b, c \in I$ .

Lösung.

Wir unterscheiden Fälle abhängig von der Anordnung der Punkte $a, b, c$ im Intervall $I$ und zeigen jeweils, dass

\begin{align} \int_{a}^{c} f d x = \int_{a}^{b} f d x + \int_{b}^{c} f d x . & (4.10) \end{align}

gilt wie gewünscht.

1.: Angenommen $a < b < c$ . Dann ist (4.10) genau die Additionseigenschaft aus Satz 4.26.
2.: Angenommen $a = b$ . Dann ist $\int_{a}^{b} f (x) d x = 0$ per Definition und es gilt $\begin{array}{l} \int_{a}^{c} f d x = \int_{b}^{c} f d x = \int_{a}^{b} f d x + \int_{b}^{c} f d x . \end{array}$
3.: Falls $b = c$ gilt, so geht man wie in vorherigem Fall vor.
4.: Angenommen es gilt $b < a < c$ . Dann ist nach Satz 4.26 $\begin{array}{l} \int_{b}^{c} f d x = \int_{b}^{a} f d x + \int_{a}^{c} f d x . \end{array}$
Somit gilt nach den Definitionen vor dieser Übung
$\begin{array}{l} \int_{a}^{c} f d x = \int_{b}^{c} f d x - \int_{b}^{a} f d x = \int_{b}^{c} f d x + \int_{a}^{b} f d x . \end{array}$
5.: Die Fälle $a < c < b$ , $c < a < b$ , $b < c < a$ und $c < b < a$ werden ähnlich behandelt.

Übung 4.28 (Stetigkeit des partikulären Integrals).

Sei $a < b$ und $f : [a, b] \to ℝ$ eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeigen Sie, dass das sogenannte partikuläre Integral

x \in [a, b] \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t

eine stetige reellwertige Funktion auf $[a, b]$ definiert. Ist diese Funktion auch gleichmässig oder Lipschitz-stetig (siehe Übung 3.80 für letzteren Begriff)?

4.3 Erste Integrationsgesetze

4.3.1 Linearität

Satz 4.19 (Linearität des Riemann-Integrals).

Übung 4.20 (Negative Vielfache).

Übung 4.21.

Übung 4.22 (Ändern bei einem Punkt).

4.3.2 Monotonie

Übung 4.23 (Eigenschaften vom Positiv- und Negativteil).

Satz 4.24 (Monotonie des Riemann-Integrals).

Übung 4.25 (Modifizierte Dirichlet- oder Riemann-Funktion).

4.3.3 Teilintervalle

Satz 4.26 (Additionseigenschaft bezüglich Intervallen).

Wichtige Übung 4.27 (Intervalladditivität).

Übung 4.28 (Stetigkeit des partikulären Integrals).

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