Weitere Lernmaterialien – Analysis I (Kap. 1-9)

6.7 Weitere Lernmaterialien

6.7.1 Verwendung des Kapitels

Dieses Kapitel stellt die Grundlagen für Konvergenzbetrachtungen bereit, wobei wir auch einige elementare Grenzwerte bereits berechnen konnten. Die Berechnung dieser Grenzwerte erforderte mit unserem derzeitigen Wissen noch sehr viel Geschick, was mit Hilfe der Regel von de l’Hôpital später erheblich einfacher werden wird. Das heisst, dass die wichtigsten Resultate dieses Kapitels nicht durch die konkreten Beispiele oder auch die ersten speziellen Berechnungsmethoden gegeben sind, sondern vielmehr durch die folgenden Sätze:

•

Konvergenzverhalten für monotone Folgen in Satz 6.5.

•

Definition und Eigenschaften von Limes Superior in Satz 6.11 (und analog für Limes Inferior).

•

Die Existenz von konvergenten Teilfolgen in Satz 6.15.

•

Der Begriff der Cauchy-Folge und das Cauchy-Kriterium in Satz 6.26.

•

Sandwich-Lemma für Folgen und Funktionen.

Auch wichtig für spätere Berechnungen wird der Zusammenhang zwischen Folgenkonvergenz und Stetigkeit in Proposition 5.50 des vorherigen Kapitels sein. Wir bemerken noch, dass Limes Superior und Limes Inferior nützliche allgemeine Werkzeuge sind, die mitunter auch im Beweis der Konvergenz einer Folge auftreten können. Denn ${limsup}_{n \to \infty} a_{n} \in \bar{ℝ}$ und ${liminf}_{n \to \infty} a_{n} \in \bar{ℝ}$ können für jede reellwertige Folge ${(a_{n})}_{n}$ betrachtet werden, und das Erfüllen der Gleichung ${limsup}_{n \to \infty} a_{n} = {liminf}_{n \to \infty} a_{n} \in ℝ$ ist nach Korollar 6.14 zur Konvergenz der Folge äquivalent. Dies ist vergleichbar damit, dass (wie zum Beispiel im Beweis von Korollar 3.71 über das Maximum von stetigen Funktionen) das Supremum im Beweis für die Existenz eines Maximums wichtig sein kann.

Wir haben insgesamt $6$ Konvergenzen für Funktionen ausführlich definiert, wobei es aber insgesamt $15$ Kombinationen (wieso?) für reellwertige Funktionen $D \subseteq ℝ$ zu definieren gäbe. Betrachten wir Teilmengen $D \subseteq ℂ$ , reellwertige Funktionen $f : D \to ℝ$ und Punkte $z_{0} \in ℂ$ , so gibt es nochmals drei Möglichkeiten (reelle oder uneigentliche Grenzwerte). Für komplexwertige Funktionen gibt es noch eine weitere Definition für jede der möglichen Bewegungen. Es wäre wohl eher langweilig, all diese Definitionen einzeln auszuformulieren und ihre (jeweils sehr analogen) Eigenschaften aufzulisten. Sie sollten sich aber über die verschiedenen Möglichkeiten und Definitionen bewusst sein, siehe aber folgendes Applet.

Applet 6.54 (40 Definitionen).

Wir fassen alle (und einige weitere) Definitionen für Konvergenz in diesem Applet zusammen. Versuchen Sie die Ähnlichkeiten und Unterschiede der verschiedenen Definitionen zu finden.

Des Weiteren konnten wir die reelle Exponentialfunktion mit einem Grenzwert definieren, welche wir gemeinsam mit der Logarithmusfunktion und allgemeinen Potenzen ab nun mit den gewohnten Eigenschaften verwenden dürfen. Die Definition der Exponentialfunktion hat auch zu der Ungleichung

\begin{array}{l} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} \leq \exp (x) \end{array}

für alle $x \geq 0$ und $n \in ℕ$ (siehe Abschnitt 6.3.2) geführt, welche für einige Grenzwertberechnungen nützlich war.

Auch haben wir gesehen, dass das Riemann-Integral sich als ein Grenzwert der sogenannten Riemann-Summen auffassen lässt, was auch zu einer Definition eines vektorwertigen Riemann-Integrals geführt hat.

6.7.2 Übungen

Übung (Stetige Fortsetzung).

Seien $f_{1}, f_{2} : ℝ \to ℝ$ stetige Funktionen mit der Eigenschaft, dass $f_{1} |_{ℚ} = f_{2} |_{ℚ}$ . Zeigen Sie, dass $f_{1} = f_{2}$ gilt.

Übung (Eine Umkehrung des Zwischenwertsatzes).

Sei $I = [a, b] \subseteq ℝ$ ein Intervall zu $a < b$ und sei $f : [a, b] \to ℝ$ eine Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:

(i): Für alle $y \in ℝ$ ist das Urbild $f^{- 1} ({y})$ abgeschlossen.
(ii): $f$ erfüllt den Zwischenwertsatz, das heisst, für alle $x_{1} < x_{2}$ in $I$ und für alle $c \in ℝ$ zwischen $f (x_{1})$ und $f (x_{2})$ gibt es ein $x \in [x_{1}, x_{2}]$ mit $f (x) = c$ .

Zeigen Sie, dass $f$ stetig ist.

Übung.

Zeigen Sie die Ungleichung $e^{1 - n} \leq \frac{n!}{n^{n}}$ für alle $n \in ℕ$ . In der Tat werden wir später eine explizite Form der Asymptotik von $\frac{n!}{n^{n}}$ (das Gesetz von Stirling) sehen, welche diese Ungleichung verschärft.

Hinweis.

Verwenden Sie Induktion und die Tatsache, dass die Folge ${(a_{n})}_{n}$ gegeben durch $a_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ monoton wachsend ist.

Übung (Häufungspunkte).

Sei $A \subseteq ℝ$ und $x_{0} \in ℝ$ . Zeigen Sie, dass folgende drei Aussagen äquivalent sind.

(i): $x_{0}$ ist ein Häufungspunkt der Menge $A$ .
(ii): $x_{0}$ ist ein Häufungspunkt einer injektiven Folge ${(a_{n})}_{n}$ mit Folgengliedern $a_{n} \in A$ für alle $n \in ℕ$ .
(iii): $x_{0}$ ist der Grenzwert einer injektiven Folge ${(a_{n})}_{n}$ mit Folgengliedern $a_{n} \in A$ für alle $n \in ℕ$ .

Übung (Abgeschlossene Menge der Häufungspunkte).

Zeigen Sie, dass die Menge der Häufungspunkte einer reellwertigen Folge (oder einer Teilmenge $A \subseteq ℝ$ ) eine abgeschlossene Teilmenge von $ℝ$ bildet.

Übung (Landau Notation).

Begründen Sie, inwiefern die Gleichungen zu $k, ℓ \in ℕ$

\begin{array}{l} o (x^{k}) + o (x^{ℓ}) = o (x^{\max {k, ℓ}}), o (x^{k}) o (x^{ℓ}) = o (x^{k + ℓ}) \end{array}

für $x \to \infty$ Sinn ergeben. Verwenden Sie dies, um die Asymptotik für $x \to \infty$ von

\begin{array}{l} \frac{3 x^{4} - 5 x + 2}{5 x^{2} + 2 x - 13} + \frac{x^{5} - 3 x^{3} + 7 x + 17}{3 x^{2} + 2 x - 18} \end{array}

sowie

\begin{array}{l} \frac{3 x^{4} - 5 x + 2}{5 x^{4} + 5 x^{2} + 2 x - 13} + \frac{x^{5} - 3 x^{3} + 7 x + 17}{3 x^{5} + 2 x - 18} \end{array}

zu beschreiben.

Übung (Gross- und Klein-Omega).

Seien zwei Funktionen $f, g : D \to ℝ$ auf einer Teilmenge $D \subseteq ℝ$ gegeben und sei $x_{0} \in \bar{ℝ}$ ein Häufungspunkt von $D$ . Definieren Sie in Analogie zur Definition von Gross-O und Klein-o die Beziehungen

\begin{array}{l} f (x) = Ω (g (x)) für x \to x_{0} \end{array}

und

\begin{array}{l} f (x) = ω (g (x)) für x \to x_{0}, \end{array}

welche zum Ausdruck bringen, dass $g$ in der Nähe von $x_{0}$ durch ein positives Vielfaches von $| f |$ beschränkt ist respektive dass $\frac{g (x)}{f (x)}$ gegen Null geht für $x \to x_{0}$ .

Wir wollen in der nächsten Übung den Zusammenhang zwischen „unseren axiomatisch eingeführten reellen Zahlen“ und den „reellen Zahlen als Steigung von quasi-linearen Abbildungen“ von Abschnitt A.2.5 besprechen.

Übung (Steigungen von quasi-linearen Abbildungen).

(i): Sei $f : ℤ \to ℤ$ eine quasi-lineare Abbildung wie in Abschnitt A.2.5. Zeigen Sie, dass $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \frac{f (n)}{n} \end{array}$
in $ℝ$ existiert.
(ii): Sei nun $𝒬$ die additive Gruppe der quasi-linearen Abbildungen. Zeigen Sie, dass die Abbildung $\begin{array}{l} Ψ : f \in 𝒬 \mapsto \lim_{n \to \infty} \frac{f (n)}{n} \in ℝ \end{array}$
ein Homomorphismus ist und $Ψ (𝒦) = {0}$ .
(iii): Konstruieren Sie zu jedem $a \in ℝ$ eine quasi-lineare Abbildung $f \in 𝒬$ so dass $Ψ (f) = a$ ist.
(iv): Sei $f \in 𝒬$ quasi-linear so dass $Ψ (f) = 0$ . Zeigen Sie, dass $f \in 𝒦$ nur endlich viele Werte annimmt.

Zusammen sehen wir also in der Tat, dass $𝒬 ∕ 𝒦$ als abelsche Gruppe isomorph zu $ℝ$ ist. Mit etwas mehr Arbeit lässt sich beweisen, dass in der Tat ein Körperisomorphismus vorliegt.

Übung (Cauchy-Folgen).

Zeigen Sie direkt, dass eine Folge im $ℝ^{d}$ genau dann eine Cauchy-Folge ist, wenn für jedes $j \in {1, \dots, d}$ die reelle Folge der $j$ -ten Komponenten eine Cauchy-Folge ist.

Übung (Bilder von Cauchy-Folgen).

Sei $D \subseteq ℝ$ eine Teilmenge und $f : D \to ℝ$ eine gleichmässig stetige Funktion. Zeigen Sie, dass $f$ Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen abbildet (für jede Cauchy-Folge ${(x_{n})}_{n}$ in $[a, b]$ ist auch ${(f (x_{n}))}_{n}$ eine Cauchy-Folge). Gilt dies auch für Funktionen, die stetig, aber nicht gleichmässig stetig sind?

Unter Verwendung von Folgen und Satz 6.15 lassen sich viele Aussagen aus Kapitel 3 anders beweisen, was wir in den folgenden Übung illustrieren möchten.

Übung (Beschränktheit mit Hilfe von Folgen).

Sei $f : [a, b] \to ℝ$ eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall $[a, b]$ zu $a < b$ . Wir wollen zeigen, dass $f$ beschränkt ist.

(i): Gehen Sie per Widerspruch vor und finden Sie eine Folge ${(x_{n})}_{n}$ in $[a, b]$ mit $| f (x_{n}) | > n$ für alle $n \in ℕ$ .
(ii): Wenden Sie nun Satz 6.15 an.

Übung (Gleichmässige Stetigkeit mit Hilfe von Folgen).

Sei $f : [a, b] \to ℝ$ eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall $[a, b]$ zu $a < b$ . Gehen Sie nach einem ähnlichen Prinzip vor wie in obiger Übung, um zu zeigen, dass $f$ gleichmässig stetig ist.