Erste Konsequenzen der Vollständigkeit

2.6 Erste Konsequenzen der Vollständigkeit

Wir haben in Abschnitt 2.1 unter Verwendung des Vollständigkeitsaxiom die Wurzelfunktion eingeführt und in Abschnitt 2.5 bereits das Vollständigkeitsaxiom verwendet um die Existenz des Supremums zu beweisen. Letzteres kann aber auch bloss als eine Umformulierung des Vollständigkeitsaxiom betrachtet werden. In diesem Abschnitt werden wir eine bereits bekannte Fragestellung und einige weitere Themen betrachten und erkennen wie nützlich das Vollständigkeitsaxiom sein kann.

2.6.1 Das Archimedische Prinzip

Mit Hilfe der Existenz des Supremums können wir nun das Archimedische Prinzip beweisen.

Satz 2.68 (Das Archimedische Prinzip).

Es gelten folgende Aussagen:

(i): Jede nicht-leere, von oben beschränkte Teilmenge von $ℤ$ hat ein Maximum.
(ii): Für jedes $x \in ℝ$ existiert genau ein $n \in ℤ$ mit $n \leq x < n + 1$ .
(iii): Für jedes $𝜀 > 0$ existiert ein $n \in ℕ$ mit $\frac{1}{n} < 𝜀$ .

Wir können das Archimedische Prinzip beispielsweise verwenden, um folgende Funktionen zu definieren.

•

Der ganzzahlige Anteil

⌊ x ⌋

einer Zahl

x \in ℝ

ist die nach Satz 2.68 eindeutig bestimmte ganze Zahl

n \in ℤ

mit

n \leq x < n + 1

. Wir erhalten also die Funktion

x \in ℝ \mapsto ⌊ x ⌋ \in ℤ

, die auch Abrundungsfunktion genannt wird.

•

Der gebrochene Anteil (oder auch Nachkommaanteil) ist

{x} = x - ⌊ x ⌋ \in [0, 1)

und wir erhalten eine Funktion

x \in ℝ \mapsto {x} \in [0, 1)

mit

x = ⌊ x ⌋ + {x}

für alle

x \in ℝ

Beweis von Satz 2.68.

Zu (i): Sei $E \subseteq ℤ$ eine nicht-leere und (als Teilmenge von $ℝ$ ) von oben beschränkte Teilmenge. Nach Satz 2.59 existiert das Supremum $s_{0} = \sup (E)$ . Da $s_{0}$ die kleinste obere Schranke von $E$ ist, existiert ein $n_{0} \in E$ mit $s_{0} - 1 < n_{0} \leq s_{0}$ (sonst wäre $s_{0} - 1$ eine kleinere obere Schranke). Es folgt $s_{0} < n_{0} + 1$ und für jedes $m \in E$ gilt dann $m \leq s_{0} < n_{0} + 1$ , woraus $m \leq n_{0}$ folgt (nach Lemma 2.18 und Übung 2.26). Daher ist $n_{0}$ das Maximum von $E$ wie in (i) behauptet.

Zu (ii): Sei $x \geq 0$ eine reelle Zahl. Dann ist $E = {n \in ℤ ∣ n \leq x}$ eine von oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge von $ℤ$ (nicht-leer, da $0 \in E$ – hier verwenden wir $x \geq 0$ ). Nach obigem hat $E$ ein Maximum, das heisst, es gibt ein maximales $n \in ℤ$ mit $n \leq x$ . Daraus folgt $x < n + 1$ wie in (ii).

Falls $x < 0$ ist, dann können wir obigen Fall auf $- x$ anwenden und finden ein $ℓ \in ℤ$ mit $ℓ \leq - x < ℓ + 1$ . Daraus folgt, dass es auch ein $k \in {ℓ, ℓ + 1} \subseteq ℤ$ mit $k - 1 < - x \leq k$ gibt. Für $n = - k \in ℤ$ erhalten wir schliesslich $n \leq x < n + 1$ . Damit ist die Existenz in (ii) bewiesen.

Für den Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, dass $n_{1}, n_{2} \in ℤ$ die Ungleichungen $n_{1} \leq x < n_{1} + 1$ und $n_{2} \leq x < n_{2} + 1$ gelten. Daraus folgt $n_{1} \leq x < n_{2} + 1$ und damit $n_{1} \leq n_{2}$ . Analog folgt $n_{2} \leq n_{1}$ , was $n_{1} = n_{2}$ impliziert.

Zu (iii): Sei $𝜀 > 0$ eine reelle Zahl. Dann gilt auch $\frac{1}{𝜀} > 0$ und es gibt nach Teil (ii) ein $n \in ℕ$ mit $\frac{1}{𝜀} < n$ . Für dieses $n$ gilt aber auch $\frac{1}{n} < 𝜀$ , wie in (iii) behauptet wurde.

■

Übung 2.69 (Supremum von Bildmengen).

Sei $A$ eine nicht-leere Teilmenge von $ℝ$ . Zeigen Sie, dass im Allgemeinen $\sup (⌊ A ⌋) = ⌊ \sup (A) ⌋$ nicht gilt. Hierbei ist $⌊ A ⌋$ das Bild von $A$ unter der Abrundungsfunktion $⌊ \cdot ⌋ : ℝ \to ℝ$ .

Mit Hilfe des Archimedischen Prinzips können wir auch den geometrischen Zusammenhang zwischen $ℚ$ und $ℝ$ im folgenden Korollar beschreiben. (Ein Korollar ist eine Folgerung aus einer Proposition, einem Satz oder einem Theorem.)

Korollar 2.70 (Dichtheit von $ℚ$ in $ℝ$ ).

Zwischen je zwei reellen Zahlen $a, b \in ℝ$ mit $a < b$ gibt es ein $r \in ℚ$ mit $a < r < b$ .

Beweis.

Nach dem Archimedischen Prinzip (Satz 2.68 (iii)) existiert ein $m \in ℕ$ mit $\frac{1}{m} < b - a$ . Ebenso gibt es nach dem Archimedischen Prinzip (Satz 2.68 (ii)) ein $n \in ℤ$ mit $n - 1 \leq m a < n$ oder äquivalenterweise $\frac{n - 1}{m} \leq a < \frac{n}{m}$ . Insbesondere gilt $\frac{n}{m} \leq a + \frac{1}{m}$ , was mit $\frac{1}{m} < b - a$ gerade

\begin{array}{l} a < \frac{n}{m} \leq a + \frac{1}{m} < a + b - a = b \end{array}

und damit das Korollar impliziert, wobei $r = \frac{n}{m}$ gewählt wird.

■

Anders formuliert zeigt obiges Korollar, dass $ℚ$ jede Umgebung $I$ einer reellen Zahl schneidet (das heisst, $I \cap ℚ \neq \emptyset$ ), oder auch, dass wir jede reelle Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren können. Die Eigenschaft wird auch als $ℚ$ ist dicht in $ℝ$ bezeichnet und wird uns später in einem allgemeineren Kontext wiederbegegnen.

Übung 2.71 (Jede reelle Zahl ist ein Supremum einer Menge von rationalen Zahlen).

Zeigen Sie, dass für jedes $x \in ℝ$ das Supremum von ${r \in ℚ ∣ r < x}$ gerade $x$ ist.

Lösung.

Nach Definition ist $x \in ℝ$ eine obere Schranke von $X = {r \in ℚ ∣ r < x}$ . Sei nun $𝜀 > 0$ , dann existiert nach Korollar 2.70 ein $r \in ℚ$ mit $x - 𝜀 < r < x$ . Demnach ist $r \in X$ und $r > x - 𝜀$ . Da $𝜀 > 0$ beliebig war, folgt $x = \sup X$ aus der Charakterisierung des Supremums in Satz 2.59.

Übung 2.72 (Etwas Diophantische Approximation).

Sei $a \in ℝ$ eine reelle, irrationale Zahl. Betrachtet man den Beweis von Korollar 2.70 nochmals, so realisiert man, dass die Existenz einer rationalen Zahl $\frac{p}{q} \in ℚ$ mit

\begin{array}{l} | a - \frac{p}{q} | \leq \frac{1}{q} \end{array}

gezeigt wird. Fragen zu Approximation von reellen Zahlen mit rationalen sind Fragestellungen der Diophantischen Approximation. Wir wollen hier auf elementare Weise ein stärkeres Resultat (Dirichlet’s Approximationssatz) zeigen. Sei $Q \in ℕ$ eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass $p \in ℤ$ und $q \in ℕ$ mit $1 \leq q \leq Q$ existieren, die

\begin{array}{l} | a - \frac{p}{q} | < \frac{1}{q Q} \end{array}

und insbesondere $| a - \frac{p}{q} | < \frac{1}{q^{2}}$ erfüllen.

Hinweis.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man $a \in [0, 1)$ annehmen (wieso?). Betrachten Sie die Zerlegung in $Q$ „Schubfächer“ $[0, 1) = ⨆_{i = 0}^{Q - 1} [\frac{i}{Q}, \frac{i + 1}{Q})$ und die Zahlen ${n α}$ für $n \in {0, . . ., Q}$ und wenden Sie das Schubfachprinzip an. Sie finden also ${m α}, {n α}$ im gleichen Schubfach für zwei verschiedene Zahlen $m, n \in {0, . . ., Q}$ mit $m < n$ . Zeigen Sie, dass $q = n - m$ und $p = ⌊ n α ⌋ - ⌊ m α ⌋$ die nötigen Eigenschaften haben.

2.6.2 Häufungspunkte einer Menge

Wie oben bereits erwähnt, kann jeder Punkt in $ℝ$ durch Punkte in $ℚ$ approximiert werden. Allgemeiner möchten wir nun zu einer Menge $A \subseteq ℝ$ jene Punkte betrachten, denen $A$ „von aussen“ beliebig nahe kommt.

Definition 2.73 (Häufungspunkte von Mengen).

Sei $A \subseteq ℝ$ und $x_{0} \in ℝ$ . Wir sagen, dass $x_{0}$ ein Häufungspunkt der Menge $A$ ist, falls es für jedes $𝜀 > 0$ ein $a \in A$ gibt mit $0 < | a - x_{0} | < 𝜀$ .

In anderen Worten gibt es für einen Häufungspunkt $x_{0}$ in jeder Umgebung abgesehen von $x_{0}$ Punkte in $A$ (wobei es keine Rolle spielt ob $x_{0}$ in $A$ liegt oder nicht). Die Menge $A$ kommt also ihren Häufungspunkten „von aussen“ beliebig nahe.

Übung 2.74 (Endliche Mengen haben keine Häufungspunkte).

Zeigen Sie, dass eine endlichen Teilmenge $A \subseteq ℝ$ keine Häufungspunkte besitzt.

Hinweis.

Betrachten Sie für ein $x_{0} \in ℝ$ die Zahl $𝜀 = \min {| a - x_{0} | ∣ a \in A ∖ {x_{0}}}$ (oder $𝜀 = 1$ falls $A = {x_{0}}$ ).

Ebenso gibt es unendliche Mengen ohne Häufungspunkte. Zum Beispiel hat $A = ℤ$ keine Häufungspunkte. In der Tat gibt es für $x_{0} \in ℤ$ kein $n \in ℤ$ mit $0 < | n - x_{0} | < 1$ (auf Grund der Anordnung in Lemma 2.18 und Übung 2.26). Des Weiteren ist für jedes $x_{0} \in ℝ ∖ ℤ$ die Zahl $𝜀 = \min {x_{0} - ⌊ x_{0} ⌋, ⌊ x_{0} ⌋ + 1 - x_{0}}$ positiv und erfüllt $| n - x_{0} | \geq 𝜀$ für alle $n \in ℤ$ . Für beschränkte unendliche Mengen ist die Situation aber besser wie folgender Satz zeigt.

Satz 2.75 (Existenz von Häufungspunkten).

Sei $A \subseteq ℝ$ eine beschränkte unendliche Teilmenge. Dann existiert ein Häufungspunkt von $A$ in $ℝ$ .

$PIC$

Figur 2.1: Wir möchten in diesem Bild die Idee des Beweises von Satz 2.75 erläutern. Wir betrachten das „grösste“

x_{0} \in ℝ

, für welches links von

x_{0}

(im Bild in rot) nur endliche viele Punkte von

A

(im Bild in grün) liegen. Um genau zu sein, muss ein solches

x_{0}

nicht existieren, weswegen wir

x_{0}

als das Supremum über alle

x

mit dieser Eigenschaft nehmen. Schiebt man dieses

x_{0}

nun um ein kleines

𝜀 > 0

nach rechts auf

x_{0} + 𝜀

, so müssen unendlich viele Elemente von

A

links von

x_{0} + 𝜀

liegen. Umgekehrt kann man

x_{0}

etwas nach links nach

x_{0} - 𝜀

schieben, womit nur endlich viele Elemente von

A

links von

x_{0} - 𝜀

liegen können. Also befinden sich unendlich viele Elemente von

A

zwischen

x_{0} - 𝜀

und

x_{0} + 𝜀

. Da aber

𝜀

beliebig war, muss

x_{0}

ein Häufungspunkt von

A

sein.

Beweis.

Angenommen $m, M \in ℝ$ erfüllen $A \subseteq [m, M]$ . Wir definieren

X = {x \in ℝ ∣ | A \cap (- \infty, x] | < \infty} .

Dann ist $m \in X$ da $| A \cap (- \infty, m] | \leq 1$ . Des Weiteren gilt $x < M$ für jedes $x \in X$ , denn für $x \geq M$ ist $A \cap (- \infty, x] = A \cap (- \infty, M] = A$ eine unendliche Menge nach Annahme im Satz. Daher ist $X$ eine beschränkte, nicht-leere Teilmenge von $ℝ$ , womit das Supremum $x_{0} = \sup (X)$ nach Satz 2.59 existiert.

Sei nun $𝜀 > 0$ . Dann existiert ein $x \in X$ mit $x > x_{0} - 𝜀$ , was zeigt, dass $A \cap (- \infty, x_{0} - 𝜀]$ eine endliche Menge ist, da

A \cap (- \infty, x_{0} - 𝜀] \subseteq A \cap (- \infty, x]

gilt. Des Weiteren gilt $x_{0} + 𝜀 \notin X$ auf Grund der Definition von $x_{0}$ . Damit ist die Kardinalität von $A \cap (- \infty, x_{0} + 𝜀]$ unendlich. Es folgt, dass

A \cap (x_{0} - 𝜀, x_{0} + 𝜀] = (A \cap (- \infty, x_{0} + 𝜀]) ∖ (A \cap (- \infty, x_{0} - 𝜀])

eine unendliche Menge ist und abgesehen von möglicherweise $x_{0}, x_{0} + 𝜀$ noch weitere Punkte besitzen muss. Da $𝜀 > 0$ beliebig war, sehen wir, dass $x_{0}$ ein Häufungspunkt der Menge $A$ ist.

■

Insbesondere erkennen wir im Beweis eine stärkere Aussage für den gefundenen Häufungspunkt $x_{0}$ der Menge $A$ , nämlich dass für alle $𝜀 > 0$ der Durchschnitt $A \cap (x_{0} - 𝜀, x_{0} + 𝜀)$ unendlich ist. Dies stellt eine alternative Definition des Begriffs dar.

Übung 2.76 (Alternative Charakterisierung von Häufungspunkten).

Sei $A \subseteq ℝ$ und $x_{0} \in ℝ$ . Zeigen Sie, dass $x_{0}$ genau dann ein Häufungspunkt der Menge $A$ ist, wenn für jedes $𝜀 > 0$ der Durchschnitt von $A$ mit der $𝜀$ -Umgebung $(x_{0} - 𝜀, x_{0} + 𝜀)$ unendlich viele Punkte enthält.

Die Existenz eines Häufungspunkt in Satz 2.75 kann man als ein Schubfachprinzip der Analysis auffassen: Anstatt einer echten Übereinstimmung wie im regulären Schubfachprinzip für endliche Mengen (wie in Abschnitt 1.8.4) erlauben wir näherungsweise Übereinstimmungen wie in der Definition eines Häufungspunktes und haben einen Punkt gefunden mit dem unendlich viele Punkte der Menge „fast übereinstimmen“. Wir werden noch andere Sätze kennenlernen, bei denen ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall ähnliche Eigenschaften wie eine endliche Menge haben wird.

2.6.3 Intervallschachtelungsprinzip

Der Durchschnitt von ineinander geschachtelten, nicht-leeren Intervallen, das heisst, Intervallen $I_{1} \supseteq I_{2} \supseteq I_{3} \supseteq \dots$ in $ℝ$ , die kleiner werden, kann durchaus leer sein. Zum Beispiel gilt

\begin{array}{l} ⋂_{n = 1}^{\infty} [n, \infty) & = \emptyset, \\ ⋂_{n = 1}^{\infty} (0, \frac{1}{n}) & = \emptyset \end{array}

auf Grund des Archimedischen Prinzip in Satz 2.68. Für abgeschlossene und beschränkte Intervalle ist die Situation aber deutlich besser. Dies ist nochmals eine Konsequenz des Vollständigkeitsaxioms.

Satz 2.77 (Intervallschachtelungsprinzip).

Sei für jedes $n \in ℕ$ ein nicht-leeres, abgeschlossenes, beschränktes Intervall $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ gegeben, so dass für alle natürlichen Zahlen $m \leq n$ die Inklusion $I_{m} \supseteq I_{n}$ oder äquivalenterweise die Ungleichungen $a_{m} \leq a_{n} \leq b_{n} \leq b_{m}$ gelten. Dann ist der Durchschnitt

\begin{array}{l} ⋂_{n = 1}^{\infty} I_{n} = [\sup {a_{n} ∣ n \in ℕ}, \inf {b_{n} ∣ n \in ℕ}] \end{array}

nicht-leer.

Sollte die Aussage verwirrend sein, überzeugen Sie sich doch zuerst davon, dass

[a_{1}, b_{1}] \cap [a_{2}, b_{2}] = [\max {a_{1}, a_{2}}, \min {b_{1}, b_{2}}]

für beliebige $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in ℝ$ gilt.

Beweis von Satz 2.77.

Nach Annahme gilt für natürliche Zahlen $ℓ, m, n$ mit $ℓ \leq m \leq n$ die Ungleichung

\begin{array}{l} a_{ℓ} \leq a_{m} \leq a_{n} \leq b_{n} \leq b_{m} \leq b_{ℓ} . \end{array}

Insbesondere ist $b_{m}$ eine obere Schranke von ${a_{k} ∣ k \in ℕ}$ , woraus

\begin{array}{l} \sup {a_{k} ∣ k \in ℕ} \leq b_{m} \end{array}

folgt. Da $m \in ℕ$ beliebig war, sehen wir nun, dass $\bar{a} = \sup {a_{k} ∣ k \in ℕ} \in ℝ$ eine untere Schranke von ${b_{m} ∣ m \in ℕ}$ ist. Daher hat letztere Menge ein Infimum $\bar{b} \in ℝ$ und wir erhalten

\begin{array}{l} \bar{a} = \sup {a_{k} ∣ k \in ℕ} \leq \inf {b_{m} ∣ m \in ℕ} = \bar{b} . \end{array}

Insbesondere ist der Schnitt $⋂_{n = 1}^{\infty} I_{n}$ nicht-leer, da er zum Beispiel $\bar{a}$ enthält. Für $x \in ℝ$ gilt nun die Abfolge von Äquivalenzen

\begin{array}{l} x \in ⋂_{n = 1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}] & \Leftrightarrow \forall n \in ℕ : a_{n} \leq x \leq b_{n} \\ \Leftrightarrow (\forall n \in ℕ : a_{n} \leq x) \land (\forall n \in ℕ : x \leq b_{n}) \\ \Leftrightarrow \bar{a} \leq x \land x \leq \bar{b}, \end{array}

womit $⋂_{n = 1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}] = [ā, \bar{b}]$ gilt und der Satz folgt.

■

Applet 2.78 (Intervallschachtelung).

Bei Vergrösserung sehen wir, dass die Intervalle immer wieder weitere Intervalle enthalten. Man kann sich vorstellen, wie dies unbeschränkt weitergeht und der Durchschnitt in dem betrachteten Fall aus der Menge mit nur einem Punkt besteht. (Allerdings können wir dies hier nicht unbeschränkt beobachten, da geogebra nach einigen Vergrösserungen auf die Grenzen der Rechengenauigkeit stösst.)

Übung 2.79 (Charakterisierung von Intervallen).

(i): Zeigen Sie, dass eine Teilmenge $I \subseteq ℝ$ genau dann ein Intervall ist, wenn für alle $x, y \in I$ und alle $z \in ℝ$ die Implikation $(x \leq z \leq y) \Rightarrow z \in I$ gilt.
(ii): Schliessen Sie daraus, dass ein beliebiger Schnitt $⋂_{I \in ℐ} I$ von Intervallen $I \in ℐ$ ein Intervall ist.

Übung 2.80 (Zusammenziehende Intervalle).

Seien $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ für $n \in ℕ$ wie im Satz 2.77 und nehmen Sie zusätzlich an, dass $\inf {b_{n} - a_{n} | n \in ℕ} = 0$ . Intuitiv heisst dies also, dass die betrachteten Intervalle immer kürzer werden. Zeigen Sie, dass in diesem Fall $⋂_{n = 1}^{\infty} I_{n}$ aus nur einem Punkt besteht.

2.6.4 Überabzählbarkeit

In diesem Teilabschnitt möchten wir eine klassische Anwendung des Intervallschachtelungsprinzips präsentieren, nämlich den Beweis für die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen.

Korollar 2.81 (Überabzählbarkeit von $ℝ$ ).

Die Teilmenge $[0, 1] \subseteq ℝ$ (und daher auch $ℝ$ ) ist überabzählbar.

Wir bemerken, dass wir im nächsten Unterabschnitt noch eine andere Formulierung von der Beweisidee besprechen werden.

Beweis.

Wir wollen den Beweis in der Form eines Spiels zwischen den Spielern Alice und Bob darstellen. Bob behauptet (fälschlicherweise), dass $[0, 1]$ abzählbar ist und darf in jedem seiner Züge (von abzählbar vielen Spielzügen) ein weiteres Element auflisten und Alice glaubt ihm nicht. Er hat das Ziel alle Elemente von $[0, 1]$ am Ende aufgelistet zu haben und Alice hat das Ziel ein Element zu finden, das Bob nicht aufgelistet hat. Als Gegenzug zur Wahl des jeweiligen Elements von Bob, darf Alice ihr zuletzt konstruiertes Intervall (beginnend mit $[0, 1]$ ) verkleinern. Wir beschreiben eine Gewinnstrategie für Alice, die bei Befolgung und Anwendung von Satz 2.77 zu einem neuen Element in $[0, 1]$ führt, welches von Bob nicht aufgelistet wurde. Das heisst, Alice kann das Spiel immer gewinnen, was beweist, dass Bob nicht Recht hat.

Sei $n \in ℕ \mapsto x_{n} \in [0, 1]$ eine beliebige Funktion, die die Züge von Bob vollständig beschreibt. Wir beschreiben nun die Strategie von Alice, die rekursiv Intervalle $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ definiert, so dass diese $x_{n} \notin I_{n}$ erfüllen und den Bedingungen in Satz 2.77 genügen. Für $n = 1$ definiert Alice $I_{1}$ durch Fallunterscheidung mittels

\begin{array}{l} I_{1} = [a_{1}, b_{1}] = {\begin{matrix} [\frac{2}{3}, 1] & falls x_{1} \in [0, \frac{1}{2}], \\ [0, \frac{1}{3}] & falls x_{1} \in (\frac{1}{2}, 1] . \end{matrix} \end{array}

Dies stellt sicher, dass $I_{1}$ ein abgeschlossenes Intervall ist, dass $x_{1}$ nicht enthält. Grob gesagt wählt Alice also $I_{1}$ als das linke Drittel von $[0, 1]$ , wenn $x_{1}$ in der rechten Hälfte liegt, und als das rechte Drittel, wenn $x_{1}$ in der linken Hälfte liegt.

Angenommen Alice hat bereits $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ für ein $n \in ℕ$ definiert und Bob hat in seinem darauffolgenden Spielzug das Element $x_{n + 1} \in [0, 1]$ gewählt. Alice definiert nun

\begin{array}{l} I_{n + 1} = [a_{n + 1}, b_{n + 1}] = {\begin{matrix} I_{n} & falls x_{n + 1} \notin I_{n}, \\ [b_{n} - \frac{1}{3} (b_{n} - a_{n}), b_{n}] & falls x_{n + 1} \in [a_{n}, a_{n} + \frac{1}{2} (b_{n} - a_{n})], \\ [a_{n}, a_{n} + \frac{1}{3} (b_{n} - a_{n})] & falls x_{n + 1} \in (a_{n} + \frac{1}{2} (b_{n} - a_{n}), b_{n}] \end{matrix} \end{array}

das heisst, sie verwendet also das vorherige Intervall $I_{n}$ , wenn es $x_{n + 1}$ nicht enthält und das rechte (resp. linke) Drittel von $I_{n}$ , wenn $x_{n + 1}$ in der linken (resp. rechten) Hälfte von $I_{n}$ liegt. Per Konstruktion ist insbesondere $I_{n + 1} \subseteq I_{n}$ und $x_{n + 1} \notin I_{n + 1}$ erfüllt.

Nach dem Intervallschachtelungsprinzip ist der Durchschnitt $I = ⋂_{n = 1}^{\infty} I_{n} \subseteq [0, 1]$ nicht-leer, sagen wir $x \in I$ . Dann ist $x \neq x_{n}$ für alle $n \in ℕ$ , da $x_{n} \notin I_{n}$ nach Konstruktion von $I_{n}$ und $x \in I \subseteq I_{n}$ . Alice hat also ein neues Element von $[0, 1]$ gefunden, das von Bob nicht aufgelistet wurde.

Formal gesehen, zeigt obiges Argument, dass eine beliebige Abbildung $ℕ \to [0, 1]$ nicht surjektiv sein kann. Lemma 1.80 zeigt nun auch, dass auch $ℝ$ überabzählbar sein muss.

■

2.6.5 Die Cantor-Menge*

†Dieser Unterabschnitt wird für den weiteren Aufbau der Analysis nicht zwingend benötigt. Wir definieren rekursiv Teilmengen des Intervalles $[0, 1]$ durch

\begin{array}{l} C_{0} = [0, 1], C_{n + 1} = \frac{1}{3} C_{n} \cup (\frac{1}{3} C_{n} + \frac{2}{3}) . \end{array}

für $n \in ℕ_{0}$ . Beispielsweise gilt also

\begin{array}{l} C_{1} & = \frac{1}{3} [0, 1] \cup (\frac{1}{3} [0, 1] + \frac{2}{3}) = [0, \frac{1}{3}] \cup ([0, \frac{1}{3}] + \frac{2}{3}) = [0, \frac{1}{3}] ⊔ [\frac{2}{3}, 1] \\ C_{2} & = [0, \frac{1}{9}] ⊔ [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}] \cup (([0, \frac{1}{9}] ⊔ [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}]) + \frac{2}{3}) \\ = [0, \frac{1}{9}] ⊔ [\frac{2}{9}, \frac{3}{9}] ⊔ [\frac{6}{9}, \frac{7}{9}] ⊔ [\frac{8}{9}, 1] . \end{array}

Definition 2.82 (Cantor-Menge).

Die Cantor-Menge ist der Durchschnitt $C = ⋂_{n = 0}^{\infty} C_{n}$ .

Ziel dieses Teilabschnitts ist es, die Cantor-Menge und ihre schönen „fraktalen“ Eigenschaften auszukundschaften. Dazu wollen wir zuerst die Mengen $C_{n}$ besser verstehen. Grob gesagt wollen wir die für folgendes Bild notwendigen Aussagen treffen:

$PIC$

Erste Feststellungen.

(i): (Abfallende Mengen) Für jedes $n \in ℕ_{0}$ gilt $C_{n + 1} \subseteq C_{n}$ . Dies folgt aus einem kurzen Induktionsargument. Für $n = 0$ wurde die Aussage oben bewiesen. Angenommen, dass $C_{n + 1} \subseteq C_{n}$ für ein $n \in ℕ_{0}$ . Dann gilt $\begin{array}{l} \frac{1}{3} C_{n + 1} \subseteq \frac{1}{3} C_{n} \subseteq C_{n + 1}, \frac{1}{3} C_{n + 1} + \frac{2}{3} \subseteq \frac{1}{3} C_{n} + \frac{2}{3} \subseteq C_{n + 1} \end{array}$
und also $C_{n + 2} \subseteq C_{n + 1}$ . Somit folgt die Aussage per vollständiger Induktion.
(ii): (Disjunktheit) Die Mengen $\frac{1}{3} C_{n}$ und $(\frac{1}{3} C_{n} + \frac{2}{3})$ sind disjunkt für jedes $n \in ℕ_{0}$ . Insbesondere gilt $C_{n + 1} = \frac{1}{3} C_{n} ⊔ (\frac{1}{3} C_{n} + \frac{2}{3})$ für jedes $n \in ℕ_{0}$ . Bei genauerer Betrachtung sieht man sogar, dass $\frac{1}{3} C_{n}$ in $[0, \frac{1}{3}]$ und $(\frac{1}{3} C_{n} + \frac{2}{3})$ in $[\frac{2}{3}, 1]$ liegt. Dies impliziert die behauptete Disjunktheit und folgt sofort aus $C_{n} \subseteq [0, 1]$ .
(iii): (Zerlegung in Intervalle) Für $n \in ℕ_{0}$ besteht $C_{n + 1}$ aus genau doppelt so vielen disjunkten, abgeschlossenen Intervallen wie $C_{n}$ . Dies folgt aus (ii).
(iv): (Von der Zerlegung von $C_{n}$ zur Zerlegung von $C_{n + 1}$ ) Sei $I$ eines der Intervalle in der Zerlegung von $C_{n}$ und schreibe $I = [a, b]$ . Dann sind $[a, a + \frac{b - a}{3}]$ und $[b - \frac{b - a}{3}, b]$ zwei Intervalle in der Zerlegung von $C_{n + 1}$ und $\begin{array}{l} [a, b] \cap C_{n + 1} = [a, a + \frac{b - a}{3}] ⊔ [b - \frac{b - a}{3}, b] \end{array}$
Insbesondere ist die Länge eines Intervalles in $C_{n + 1}$ ein Drittel der Länge eines Intervalles in $C_{n}$ . Für $n = 0$ (und auch $n = 1$ ) haben wir dies bereits direkt nachgerechnet. Wenn dies bereits für $C_{n}$ und $C_{n + 1}$ bekannt ist, dann gilt die Aussage auch für die verkleinerten Versionen $\frac{1}{3} C_{n + 1} \subseteq \frac{1}{3} C_{n}$ und $(\frac{1}{3} C_{n + 1} + \frac{2}{3}) \subseteq (\frac{1}{3} C_{n} + \frac{2}{3})$ , was wiederum die Aussage für $C_{n + 1}$ und $C_{n + 2}$ ergibt.

Wir wenden uns nun der Cantor-Menge $C$ zu. Wir möchten einem Punkt in $C$ eine Art „ Adresse“ zuweisen. Dazu definieren wir rekursiv die Adresse eines Punktes $x \in C$ wie folgt. Setze

\begin{array}{l} a_{1} (x) = {\begin{matrix} L & falls x \in [0, \frac{1}{3}], \\ R & falls x \in [\frac{2}{3}, 1], \end{matrix} I_{1} (x) = {\begin{matrix} [0, \frac{1}{3}] & falls a_{1} (x) = L, \\ [\frac{2}{3}, 1] & falls a_{1} (x) = R . \end{matrix} \end{array}

Wir weisen $x$ also die erste Adresse $L$ zu, falls $x$ im linken Drittel von $[0, 1]$ liegt und $R$ , falls $x$ im rechten Drittel von $[0, 1]$ liegt. Kennen wir die erste Adresse $a_{1} (x)$ von $x$ , so ist $I_{1} (x)$ das entsprechende Intervall, in dem $x$ liegt. Wir fahren genauso fort: Die zweite Adresse von $x$ ist definiert durch

\begin{array}{l} a_{2} (x) = {\begin{matrix} L & falls x im linken Drittel von I_{1} (x) liegt \\ R & falls x im rechten Drittel von I_{1} (x) liegt \end{matrix} \end{array}

Des Weiteren ist $I_{2} (x)$ das linke Drittel von $I_{1} (x)$ , wenn $a_{2} (x) = L$ , und sonst das rechte Drittel. Genauso fährt man fort, um für jedes $k \in ℕ_{0}$ die $k$ -te Adresse $a_{k} (x)$ von $x$ zu erhalten. Wir erhalten somit eine Liste von Adressen oder genauer eine Abbildung

\begin{array}{l} a (x) : ℕ_{0} \to {L, R}, k \mapsto a_{k} (x) . \end{array}

Die Menge der Abbildung $ℕ_{0} \to {L, R}$ schreiben wir als ${L, R}^{ℕ_{0}}$ . Unter dem Strich haben wir also die Funktion

\begin{array}{l} f : x \in C \mapsto a (x) \in {L, R}^{ℕ_{0}} \end{array}

konstruiert, die einem Element in der Cantor-Menge ihre Adressen zuweist. Folgende Beschreibung der Cantor-Menge folgt aus dem Intervallschachtelungsprinzip (Satz 2.77).

Korollar 2.83 (Cantor-Menge).

Die oben konstruierte Abbildung $f : C \to {L, R}^{ℕ_{0}}$ ist eine Bijektion. Insbesondere sind die Cantor-Menge $C$ und damit auch $ℝ$ überabzählbar.

Beweis.

Wir zeigen zuerst, dass $f$ surjektiv ist. Sei also $a \in {L, R}^{ℕ_{0}}$ eine Liste von Adressen. Um Verwirrungen zu vermeiden schreiben wir $a_{k}$ anstelle von $a (k)$ für $k \in ℕ_{0}$ . Genau wie oben (und ähnlich wie im Beweis von Korollar 2.81) diktieren diese Adressen eine Liste von Intervalle $I_{1} \supseteq I_{2} \supseteq . . .$ . Präziser formuliert ist

\begin{array}{l} I_{1} = {\begin{matrix} [0, \frac{1}{3}] & falls a_{1} = L, \\ [\frac{2}{3}, 1] & falls a_{1} = R \end{matrix} \end{array}

und rekursiv ist $I_{n + 1}$ das linke Teilintervall von $I_{n} \cap C_{n + 1}$ falls $a_{n + 1} = L$ und ansonsten das rechte Teilintervall. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip (Satz 2.77) ist $⋂_{k = 1}^{\infty} I_{k}$ nicht-leer und nach Konstruktion in der Cantor-Menge enthalten. Ist $x$ ein Element dieses Schnittes, dann gilt $I_{k} (x) = I_{k}$ und insbesondere $a_{k} (x) = a_{k}$ für alle $k \in ℕ_{0}$ . Also ist $a (x) = a$ und $f$ ist surjektiv.

Zur Injektivität von $f$ . Seien $x, y \in C$ mit $a (x) = a (y)$ . Dann gilt also auch $I_{k} (x) = I_{k} (y)$ für alle $k \in ℕ_{0}$ . Die Punkte $x, y$ liegen beide im Schnitt $⋂_{k = 1}^{\infty} I_{k} (x) = ⋂_{k = 1}^{\infty} I_{k} (y)$ . Wir behaupten, dass die Länge von einem Intervall $I_{n}$ in der Zerlegung von $C_{n}$ kleiner gleich $\frac{1}{n}$ ist. Nach dem Archimendischen Prinzip in Satz 2.68 und Übung 2.80 besteht also $⋂_{k = 1}^{\infty} I_{k} (x)$ aus einem Punkt und somit gilt $x = y$ .

Die Behauptung gilt sicherlich für $n = 0$ , da $I_{1} = [0, 1]$ Länge $1 = \frac{1}{1}$ hat. Angenommen sie gilt für $n \in ℕ_{0}$ . Dann hat ein Intervall $I_{n + 1}$ in der Zerlegung von $C_{n + 1}$ ein Drittel der Länge eines Intervalles in der Zerlegung von $C_{n}$ und es gilt

\begin{array}{l} Länge (I_{n + 1}) \leq \frac{1}{3 n} \leq \frac{1}{n + 1} . \end{array}

Dies schliesst den Beweis der Behauptung ab und impliziert somit die erste Aussage im Satz.

Wir beweisen nun, dass ${L, R}^{ℕ_{0}}$ überabzählbar ist. Der folgende Beweis ist eine Instanz des Cantorschen Diagonalarguments – siehe auch Übung 1.83. Wir nehmen per Widerspruch an, dass es eine bijektive Abbildung $ϕ : ℕ \to {L, R}^{ℕ_{0}}$ gibt. Sei $ω \in {L, R}^{ℕ_{0}}$ definiert durch

\begin{array}{l} ω_{k} = {\begin{matrix} L & if ϕ {(k + 1)}_{k} = R \\ R & if ϕ {(k + 1)}_{k} = L \end{matrix} . \end{array}

Dann ist $ω \neq ϕ (k)$ für jedes $k \in ℕ$ , da $ω_{k - 1} \neq ϕ {(k)}_{k - 1}$ . Somit ist $ϕ$ nicht surjektiv, was einen Widerspruch darstellt.

Da $C$ überabzählbar ist und $C \subseteq ℝ$ ist, folgt aus Lemma 1.80, dass auch $ℝ$ überabzählbar sein muss.

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Übung 2.84.

Zeigen Sie, dass eine Bijektion zwischen ${0, 1}^{ℕ_{0}}$ und $𝒫 (ℕ_{0})$ existiert.

Wir stellen die Cantor-Menge im folgenden Applet dar und werden sie einige Male am Rande für weitere „ fraktale“ Konstruktionen verwenden. Unser Hauptinteresse wird aber bei „glatten“ Objekten und weniger bei derartigen „fraktalen“ Objekten liegen.

Applet 2.85 (Selbstähnlichkeit der Cantor-Menge).

Wir stellen hier die Cantor-Menge dar, wobei Sie die Cantor-Menge vergrössern und verschieben können. Sie werden bemerken, dass die Cantor-Menge selbstähnlich ist, da sie den Vergrösserungsfaktor nur an der Beschriftung nicht aber an der Form der dargestellten Teilmenge feststellen können.

Hinweis.

Es scheint unmöglich direkt die Darstellung von überabzählbar vielen Punkten zu programmieren. Deswegen werden hier eigentlich nur sehr viele kleine Teilintervalle von $C_{n}$ für ein geeignetes $n$ dargestellt, doch werden $n$ und die Teilintervalle dem Vergrösserungsfaktor angepasst. Dies ergibt die gewünschte Darstellung trotz beschränkter Genauigkeit des Computers und des Bildschirms, denn auf Grund von Satz 2.83 und dessen Beweis enthält jedes Teilintervall von $C_{n}$ tatsächlich Punkte von $C$ .

2.6 Erste Konsequenzen der Vollständigkeit

2.6.1 Das Archimedische Prinzip

Satz 2.68 (Das Archimedische Prinzip).

Übung 2.69 (Supremum von Bildmengen).

Korollar 2.70 (Dichtheit von ℚ in ℝ).

Übung 2.71 (Jede reelle Zahl ist ein Supremum einer Menge von rationalen Zahlen).

Übung 2.72 (Etwas Diophantische Approximation).

2.6.2 Häufungspunkte einer Menge

Definition 2.73 (Häufungspunkte von Mengen).

Übung 2.74 (Endliche Mengen haben keine Häufungspunkte).

Satz 2.75 (Existenz von Häufungspunkten).

Übung 2.76 (Alternative Charakterisierung von Häufungspunkten).

2.6.3 Intervallschachtelungsprinzip

Satz 2.77 (Intervallschachtelungsprinzip).

Applet 2.78 (Intervallschachtelung).

Übung 2.79 (Charakterisierung von Intervallen).

Übung 2.80 (Zusammenziehende Intervalle).

2.6.4 Überabzählbarkeit

Korollar 2.81 (Überabzählbarkeit von ℝ).

2.6.5 Die Cantor-Menge*

Definition 2.82 (Cantor-Menge).

Erste Feststellungen.

Korollar 2.83 (Cantor-Menge).

Übung 2.84.

Applet 2.85 (Selbstähnlichkeit der Cantor-Menge).

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Korollar 2.70 (Dichtheit von $ℚ$ in $ℝ$ ).

Korollar 2.81 (Überabzählbarkeit von $ℝ$ ).