Anwendungen – Analysis I (Kap. 1-9)

9.7 Anwendungen

9.7.1 Flächeninhalte

Wir wollen hier nochmals Beispiele für Flächenberechnungen besprechen, welche unter anderem den Namen der Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen erklären.

Beispiel 9.64.

Wir berechnen den Flächeninhalt des Kreises mit Radius $r > 0$ . Dieser ist durch $2 \int_{- r}^{r} \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x$ definiert (wieso?), und gemeinsam mit Bespiel 9.21 ergibt sich daraus

\begin{array}{l} 2 \int_{- r}^{r} \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x = 2 {[\frac{1}{2} r^{2} \arcsin (\frac{x}{r}) + \frac{1}{2} x \sqrt{r^{2} - x^{2}}]}_{- r}^{r} = r^{2} π \end{array}

Beispiel 9.65 (Hyperbolische Umkehrfunktionen).

Wir verwenden die Funktion

\begin{align} t \in ℝ \mapsto (x, y) = (\cosh (t), \sinh (t)) \in ℝ^{2} & (9.22) \end{align}

um die „ positive Hälfte“ der Hyperbel ${(x, y) ∣ x^{2} - y^{2} = 1}$ zu parametrisieren. Wir stellen uns den Parameter $t \in ℝ$ vorerst als Zeit vor. In diesem Sinne beschreibt (9.22) eine Bewegung im $ℝ^{2}$ . Wir wollen den Flächeninhalt des folgenden Gebietes in Rosa zwischen dem Ursprung und einem Teil der Hyperbel berechnen.

$PIC$

Dieser ist der Flächeninhalt $\frac{1}{2} x_{0} y_{0} = \frac{1}{2} \cosh (t_{0}) \sinh (t_{0})$ des eingezeichneten Dreiecks minus dem Flächeninhalt unterhalb der Hyperbel zwischen der $1$ und $x_{0} = \cosh (t_{0})$ in Blau. Letztere Fläche ist durch $\int_{1}^{x_{0}} \sqrt{x^{2} - 1} d x$ gegeben. Um dieses Integral zu berechnen, verwenden wir die hyperbolische Substitution $x = \cosh (t)$ , $d x = \sinh (t) d t$ und erhalten

\begin{array}{l} \int_{1}^{x_{0}} \sqrt{x^{2} - 1} d x & = \int_{0}^{t_{0}} \sinh^{2} (t) d t = \int_{0}^{t_{0}} \frac{e^{2 t} - 2 + e^{- 2 t}}{4} d t = {[\frac{e^{2 t} - e^{- 2 t}}{8} - \frac{1}{2} t]}_{0}^{t_{0}} \\ = {[\frac{1}{4} \sinh (2 t) - \frac{1}{2} t]}_{0}^{t_{0}} = \frac{1}{2} x_{0} y_{0} - \frac{1}{2} t_{0} . \end{array}

Somit ist der Flächeninhalt des gesuchten Gebiets

\begin{array}{l} \frac{1}{2} t_{0} = \frac{1}{2} arcosh (x_{0}) = \frac{1}{2} arsinh (y_{0}) . \end{array}

Dies erklärt die Namen „Areasinus Hyperbolicus“ und „Areakosinus Hyperbolicus“ der Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen (wieso?).

9.7.2 Bogenlänge

Im Folgenden möchten wir einen stetige Funktion $γ : [a, b] \to ℝ^{d}$ für $d \geq 2$ , auch Weg oder Kurve von $γ (a)$ nach $γ (b)$ genannt, betrachten. Dabei fassen wir $t \in [a, b]$ als Zeitparameter und $γ (t)$ als die Position zum Zeitpunkt $t$ auf.

Falls alle Komponenten $γ_{1}, \dots, γ_{d}$ von $γ = {(γ_{1}, \dots, γ_{d})}^{t}$ stetig differenzierbar sind, interpretieren wir für einen Zeitpunkt $t \in [a, b]$ den Ausdruck $∥ \dot{γ} (t) ∥_{2} = \sqrt{{\dot{γ}}_{1} {(t)}^{2} + \dots + {\dot{γ}}_{d} {(t)}^{2}}$ als die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t \in [a, b]$ .

Wir möchten nun die Bogenlänge des Weges $γ$ als die gesamte Strecke, die zwischen den Zeiten $a$ und $b$ zurückgelegt wurde, definieren. Dabei soll gelten, dass die zurückgelegte Strecke zwischen gleichen Zeiten $α$ und $α$ Null ist und dass sich Strecken additiv verhalten, also dass die zwischen den Zeiten $α < β$ zurückgelegte Strecke plus die zwischen den Zeiten $β < γ$ zurückgelegte Strecke gerade die zwischen den Zeiten $α < γ$ zurückgelegte Strecke ist. Im Sinne von Definition 4.29 ist die zurückgelegte Strecke also eine additive Intervallfunktion auf $[a, b]$ .

Des Weiteren möchten wir natürlich verlangen, dass die in einem Teilintervall $[α, β] \subseteq [a, b]$ mit $α < β$ zurückgelegte Strecke zwischen $(β - α)$ mal die minimale Geschwindigkeit in $[α, β]$ und $(β - α)$ mal die maximale Geschwindigkeit in $[α, β]$ liegt. Nach Proposition 4.30 ist daher die einzig vernünftige Definition der Bogenlänge des Weges $γ$ der Ausdruck

\begin{array}{l} L (γ) = \int_{a}^{b} ∥ \dot{γ} (t) ∥_{2} d t = \int_{a}^{b} \sqrt{{\dot{γ}}_{1} {(t)}^{2} + \dots + {\dot{γ}}_{d} {(t)}^{2}} d t . \end{array}

Anders formuliert ist also die Länge des zurückgelegten Weges das Integral über die Geschwindigkeitsfunktion.

Beispiel 9.66 (Umfang des Kreises).

Wir betrachten den Weg

\begin{array}{l} γ : t \in [0, 2 π] \mapsto {(\cos (t), \sin (t))}^{t} \in ℝ^{2} . \end{array}

Wegen $γ (0) = γ (2 π) = {(1, 0)}^{t}$ sind der Start- und der Endpunkt von $γ$ gleich (wir sagen auch, dass der Weg $γ$ geschlossen ist). Auch gilt für die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt $t \in [0, 2 π]$

\begin{array}{l} ∥ \dot{γ} (t) ∥_{2} = \sqrt{{\dot{γ}}_{1} {(t)}^{2} + {\dot{γ}}_{2} {(t)}^{2}} = \sqrt{\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)} = 1 . \end{array}

Der Weg (oder die Kurve) $γ$ durchläuft (wegen $\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) = 1$ für alle $t \in ℝ$ ) den Einheitskreis also mit konstanter Geschwindigkeit Eins. Deswegen gilt

\begin{array}{l} L (γ) = \int_{0}^{2 π} \sqrt{{\dot{γ}}_{1} {(t)}^{2} + {\dot{γ}}_{2} {(t)}^{2}} d t = \int_{0}^{2 π} 1 d t = 2 π . \end{array}

Des Weiteren besucht $γ$ jeden Punkt (bis auf den Endpunkt) genau einmal (siehe auch Abschnitt 7.6.4). Einen solchen Weg nennen wir auch einfach. Deswegen lässt sich die Bogenlänge von $γ$ auch als den Umfang des Einheitskreises auffassen, der somit $2 π$ ist. Dies gilt analog für Teilstrecken und definiert den Begriff Winkel als Bogenlänge am Einheitskreis.

Sei $γ : [a, b] \to ℝ^{d}$ ein stetig differenzierbarer Weg ausgehend von einem Intervall $[a, b]$ mit Endpunkten $a < b$ . Eine stetig differenzierbare Reparametrisierung von $γ$ ist ein Weg der Form $γ \circ ψ : [ã, \tilde{b}] \to ℝ^{d}$ , wobei $[ã, \tilde{b}]$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten $ã < \tilde{b}$ ist und $ψ : [ã, \tilde{b}] \to [a, b]$ eine stetig differenzierbare, monoton wachsende, bijektive Funktion ist. Wenn wir uns $γ$ als einen „ Fahrplan eines Autobusses“ vorstellen, dann entspricht $ψ$ einer „ Fahrplanänderung“.

Intuitiv ausgedrückt ist eine Reparametrisierung eines Weges also ein Weg mit denselben Endpunkten (da $ψ (ã) = a$ und $ψ (\tilde{b}) = b$ ) und der immer in dieselbe Richtung geht (wegen Monotonie). Anschaulich kann man deswegen erwarten, dass jede Reparametrisierung eines Weges dieselbe Bogenlänge hat. Auch wollen wir zeigen, dass ein nie anhaltender Weg so reparametrisiert werden kann, dass der neue Weg Einheitsgeschwindigkeit hat. Falls $γ : [a, b] \to ℝ^{d}$ nie anhält oder genauer falls $∥ \dot{γ} (t) ∥_{2} > 0$ für alle $t \in [a, b]$ , so nennen wir $γ$ regulär.

Lemma 9.67 (Reparametrisierungen eines Weges).

Sei $γ : [a, b] \to ℝ^{d}$ ein stetig differenzierbarer Weg für $a < b$ . Dann hat jede Reparametrisierung von $γ$ dieselbe Bogenlänge. Falls $γ$ regulär ist, gibt es eine Reparametrisierung von $γ$ mit Einheitsgeschwindigkeit, welche auch die Parametrisierung nach Bogenlänge genannt wird.

In Beispiel 9.66 ist der betrachtete Weg bereits nach Bogenlänge parametrisiert.

Beweis.

Sei $[ã, \tilde{b}]$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten $ã < \tilde{b}$ und $ψ : [ã, \tilde{b}] \to [a, b]$ eine stetig differenzierbare, monoton wachsende, bijektive Funktion. Dann gilt

\begin{array}{l} L (γ \circ ψ) & = \int_{ã}^{\tilde{b}} \sqrt{{(γ_{1} \circ ψ)}^{'} {(s)}^{2} + \dots + {(γ_{d} \circ ψ)}^{'} {(s)}^{2}} d s \\ = \int_{ã}^{\tilde{b}} \sqrt{{\dot{γ}}_{1} {(ψ (s))}^{2} ψ^{'} {(s)}^{2} + \dots + {\dot{γ}}_{d} {(ψ (s))}^{2} ψ^{'} {(s)}^{2}} d s \\ = \int_{ã}^{\tilde{b}} \sqrt{{\dot{γ}}_{1} {(ψ (s))}^{2} + \dots + {\dot{γ}}_{d} {(ψ (s))}^{2}} ψ^{'} (s) d s \\ = \int_{a}^{b} \sqrt{{\dot{γ}}_{1} {(t)}^{2} + \dots + {\dot{γ}}_{d} {(t)}^{2}} d t = L (γ) . \end{array}

Für die zweite Aussage konstruieren wir nun eine geeignete Funktion $ψ$ wie oben. Sei

\begin{array}{l} ϕ : [a, b] \to [0, L (γ)], t \mapsto \int_{a}^{t} \sqrt{{\dot{γ}}_{1} {(s)}^{2} + \dots + {\dot{γ}}_{d} {(s)}^{2}} d s . \end{array}

Wegen $\dot{ϕ} (t) = \sqrt{{\dot{γ}}_{1} {(t)}^{2} + \dots + {\dot{γ}}_{d} {(t)}^{2}} > 0$ für alle $t \in [a, b]$ sowie $ϕ (a) = 0$ und $ϕ (b) = L (γ)$ ist $ϕ : [a, b] \to [0, L (γ)]$ eine streng monoton wachsende, stetig differenzierbare Bijektion. Insbesondere ist $ψ = ϕ^{- 1} : [0, L (γ)] \to [a, b]$ ebenfalls streng monoton wachsend und stetig differenzierbar. Zur Zeit $s \in [0, L (γ)]$ berechnen wir nun die Geschwindigkeit von $γ \circ ψ$ . Ist $t = ψ (s)$ , so gilt wegen $ψ^{'} (s) > 0$ auch

\begin{array}{l} \sqrt{{(γ_{1} \circ ψ)}^{'} {(s)}^{2} + \dots + {(γ_{d} \circ ψ)}^{'} {(s)}^{2}} & = \sqrt{{\dot{γ}}_{1} {(t)}^{2} ψ^{'} {(s)}^{2} + \dots + {\dot{γ}}_{d} {(t)}^{2} ψ^{'} {(s)}^{2}} \\ = ψ^{'} (s) \sqrt{{\dot{γ}}_{1} {(t)}^{2} + \dots + {\dot{γ}}_{d} {(t)}^{2}} \\ = \frac{1}{\dot{ϕ} (t)} \sqrt{{\dot{γ}}_{1} {(t)}^{2} + \dots + {\dot{γ}}_{d} {(t)}^{2}} = 1 . \end{array}

Somit hat die Reparametrisierung $γ \circ ψ$ die gewünschte Eigenschaft.

■

Übung 9.68 (Eindeutigkeit der Parametrisierung).

In Lemma 9.67 wird bereits von der Parametrisierung nach Bogenlänge gesprochen. Wir wollen dies hier begründen. Sei $γ : [a, b] \to ℝ^{d}$ ein stetig differenzierbarer, regulärer Weg. Nach Lemma 9.67 dürfen wir annehmen, dass $γ$ Einheitsgeschwindigkeit hat. Zeigen Sie, dass es keine weitere Reparametrisierung von $γ$ mit Einheitsgeschwindigkeit gibt.

Übung 9.69 (Totale Variation des Weges).

In dieser Übung wollen wir noch eine weitere Begründung für die Definition der Bogenlänge eines Weges $γ : [a, b] \to ℝ^{d}$ geben. Hierfür interpretieren wir $d (v, w) = ∥ v - w ∥_{2}$ als den Abstand zweier Punkte $v, w \in ℝ^{d}$ . Die totale Variation von $γ : [a, b] \to ℝ^{d}$ ist definiert als

V (γ) = \sup_{ℨ} \sum_{k = 1}^{n} ∥ γ (x_{k}) - γ (x_{k - 1}) ∥,

wobei das Supremum über alle Zerlegungen $ℨ = {x_{0} = a < x_{1} < \dots < x_{n} = b}$ von $[a, b]$ genommen wird. Nehmen Sie nun an, dass $γ$ stetig differenzierbar ist und zeigen Sie $V (γ) = L (γ)$ .

Hinweis.

Verwenden Sie den Mittelwertsatz für jede Komponente von $γ_{j}$ in jedem Intervall $[x_{k - 1}, x_{k}]$ für $j = 1, \dots, d$ und $k = 1, \dots, n$ gemeinsam mit gleichmässiger Stetigkeit der Funktion $t \in [a, b] \mapsto {(γ_{1}^{'} (t), \dots, γ_{d}^{'} (t))}^{t}$ .

Für einen Weg $γ : [a, b] \to ℝ^{d}$ und eine stetige Funktion $f : ℝ^{d} \to ℝ$ kann ein Integral der Form

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f (γ (t)) ∥ \dot{γ} (t) ∥_{2} d t \end{array}

auch physikalische Bedeutung haben. Zum Beispiel kann der Weg einen verbogenen Draht (mit konstanter Dichte $1 k g ∕ m$ ) beschreiben. In diesem Fall gibt

\begin{array}{l} \frac{1}{L (γ)} \int_{a}^{b} γ_{j} (t) ∥ \dot{γ} (t) ∥_{2} d t \end{array}

die $j$ -te Koordinate des Schwerpunktes des Drahtes an, wobei $j \in {1, \dots, d}$ .

9.7.3 Wegintegrale von Vektorfeldern

Wir kommen nun zu einem weiteren Typ von Wegintegralen, der sowohl für die Physik als auch für die weitere Analysis wichtig sein wird. Hierfür betrachten wir nochmals reelle Zahlen $a < b$ und einen stetig differenzierbaren Weg $γ : [a, b] \to ℝ^{d}$ . Wir interpretierten $∥ \dot{γ} (t) ∥_{2}$ ja bereits als Geschwindigkeit (in $m ∕ s$ ) des Weges zum Zeitpunkt $t \in [a, b]$ (in $s$ ) und wollen analog dazu die Ableitung $\dot{γ} (t)$ als den Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt $t$ interpretieren (mit jeder Koordinate in $m ∕ s$ ), der eben nicht nur die augenblickliche Geschwindigkeit als eindimensionale Grösse angibt, sondern auch die Richtung der Bewegung beschreibt.

Sei $f : ℝ^{d} \to ℝ^{d}$ eine stetige Funktion (siehe Abschnitt 5.4.1), welche wir als ein Kraftfeld interpretieren und bei jedem Punkt $v \in ℝ^{d}$ die Richtung und Stärke einer Krafteinwirkung zum Beispiel auf Grund von Wind angibt (mit jeder Koordinate in $N$ ). Wir nennen in diesem Zusammenhang $f$ auch ein Vektorfeld und visualisieren für $d = 2$ (und etwas schwieriger auch für $d = 3$ ) dieses durch eine Ansammlung von Vektoren bei mehreren Punkten im Definitionsbereich, siehe folgendes Bild.

$PIC$

Das innere Produkt $⟨ f (γ (t)), \dot{γ} (t) ⟩$ gibt damit die Leistung (in $W = N m ∕ s$ ) an, die bei Bewegung mit vorgeschriebener Geschwindigkeit von der Krafteinwirkung zum Zeitpunkt $t$ geleistet wird. Hierbei kann es vorkommen, dass Krafteinwirkung und Geschwindigkeit ähnliche Richtungen haben und das innere Produkt positiv ist. Ebenso kann es aber vorkommen, dass Krafteinwirkung und Geschwindigkeit entgegengesetzt sind und das innere Produkt negativ ist. In diesem Sinne (siehe auch Abschnitt 4.4.4) berechnet das sogenannte Wegintegral

\begin{array}{l} \int_{γ} f \cdot d s = \int_{a}^{b} ⟨ f (γ (t)), \dot{γ} (t) ⟩ d t \end{array}

die Arbeit, die von der Krafteinwirkung insgesamt geleistet wurde.

Wir werden im zweiten Semester derartige Integrale nochmals genauer untersuchen und dann zum Beispiel folgende Frage beantworten können: Wie kann man einem Kraftfeld $f$ ansehen, ob das Wegintegral nur von Anfangspunkt $γ (a)$ und Endpunkt $γ (b)$ abhängt und nicht von der Wahl des konkreten Weges von $γ (a)$ nach $γ (b)$ ?

Beispiel 9.70 (Abhängigkeit von der Wahl des Weges).

Sei $f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ definiert durch $f (x, y) = (\begin{matrix} y \\ x^{2} \end{matrix})$ . Wir betrachten den Weg $γ : [0, 1] \to ℝ^{2}$ definiert durch $γ (t) = (\begin{matrix} t \\ t^{2} \end{matrix})$ für $t \in [0, 1]$ . Dann ist das Wegintegral von $f$ über den Weg $γ$ von $γ (0) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$ nach $γ (1) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ durch

\begin{array}{l} \int_{0}^{1} ⟨ (\begin{matrix} t^{2} \\ t^{2} \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 2 t \end{matrix}) ⟩ d t = \int_{0}^{1} (t^{2} + 2 t^{3}) d t = \frac{1}{3} + \frac{2}{4} = \frac{5}{6} \end{array}

gegeben. Verwenden wir allerdings den Weg $η : [0, 1] \to ℝ^{2}$ definert durch $η (t) = (\begin{matrix} t^{2} \\ t \end{matrix})$ für $t \in [0, 1]$ , so sind zwar Anfangs- und Endpunkte unverändert, doch ist das Wegintegral durch

\begin{array}{l} \int_{0}^{1} ⟨ (\begin{matrix} t \\ t^{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 t \\ 1 \end{matrix}) ⟩ d t = \int_{0}^{1} (2 t^{2} + t^{4}) d t = \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{13}{15} \end{array}

gegeben.

Applet 9.71 (Wegintegral).

Wir stellen sowohl das Vektorfeld $f$ , einen verschiebbaren Weg $γ$ mit animiertem Punkt $γ (t)$ , die Ableitung $γ^{'} (t)$ und darunter den Graph der Funktion $t \in [0, 1] \mapsto ⟨ f (γ (t)), γ^{'} (t) ⟩$ dar.

9.7.4 Volumen von Rotationskörpern*

Sei $[a, b] \subseteq ℝ$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten $a < b$ und $f : [a, b] \to ℝ_{\geq 0}$ stetig. Wir betrachten das Gebiet

\begin{array}{l} G = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ a \leq x \leq b, 0 \leq y \leq f (x)} \end{array}

und den zugehörigen Körper

\begin{array}{l} K = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ a \leq x \leq b, 0 \leq \sqrt{y^{2} + z^{2}} \leq f (x)}, \end{array}

der sich aus Rotation von $G$ um die $x$ -Achse ergibt. Sind die beiden Zylinder $Z_{1}, Z_{2}$ mit Radius $\min_{x \in [a, b]} f (x)$ respektive $\max_{x \in [a, b]} f (x)$ um die $x$ -Achse gegeben, so will man wegen den Enthaltungen $Z_{1} \subseteq K \subseteq Z_{2}$ , dass das Volumen von $K$ zwischen $π {(\min_{x \in [a, b]} f (x))}^{2} (b - a)$ und $π {(\max_{x \in [a, b]} f (x))}^{2} (b - a)$ liegt. Wir halten dies in folgendem Bild fest, wo gemeinsam mit dem Rotationskörper eine von vielen „ Scheiben“, die zusammen den Körper approximieren, dargestellt werden.

$PIC$

Deswegen (siehe auch Übung 9.73) definieren wir das Volumen des Rotationskörpers $K$ durch

\begin{align} π \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x . & (9.23) \end{align}

Beispiel 9.72 (Volumen der Kugel).

Sei $K = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq r^{2}}$ für $r > 0$ die Kugel mit Radius $r$ . Die Kugel $K$ lässt sich auch als Rotationskörper mittels der Funktion $f : x \in [- r, r] \mapsto \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ auffassen. Ihr Volumen ist deswegen durch

\begin{array}{l} π \int_{- r}^{r} {(\sqrt{r^{2} - x^{2}})}^{2} d x = π \int_{- r}^{r} (r^{2} - x^{2}) d x = π {[r^{2} x - \frac{x^{3}}{3}]}_{- r}^{r} & = π (r^{3} - \frac{r^{3}}{3} + r^{3} - \frac{r^{3}}{3}) \\ = \frac{4 π}{3} r^{3} \end{array}

gegeben.

Übung 9.73.

Motivieren Sie die Definition des Volumen eines Rotationskörpers mit mehr Details in Analogie zu Abschnitt 9.7.2 unter Verwendung von Proposition 4.30.

9.7.5 Oberflächen von Rotationskörpern*

Obwohl Proposition 4.30 oft ein guter Wegweiser für das Auffinden einer geeigneten Definition darstellt, müssen oder können wir diese nicht immer als Grundlage wählen. Manchmal begnügen wir uns mit geometrischer Intuition als Motivation der Definition.† Man kann die Sinnhaftigkeit einer Definition zwar hinterfragen, doch kann man eine Definition ohnehin nicht beweisen.

Wir betrachten $a < b$ in $ℝ$ , eine stetig differenzierbare Funktion $f : [a, b] \to ℝ_{\geq 0}$ und den Rotationskörper

\begin{array}{l} K = {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ a \leq x \leq b, 0 \leq \sqrt{y^{2} + z^{2}} \leq f (x)} \end{array}

wie im letzten Abschnitt.

$PIC$

In einem kleinen Teilintervall $[x_{k - 1}, x_{k}] \subseteq [a, b]$ der Länge $△ x_{k}$ ist die Funktion $y = f (x)$ der Tangente $y - f (ξ) = f^{'} (ξ) (x - ξ)$ für ein $ξ \in [x_{k - 1}, x_{k}]$ sehr nahe. Ausserdem wird die Oberfläche des Anteils von $K$ , der dem Intervall $[x_{k - 1}, x_{k}]$ entspricht, sehr gut durch die Aussenoberfläche des Kegelstumpfs beschrieben, der entsteht, wenn man obiges Tangentenstück zwischen $x_{k - 1}$ und $x_{k}$ um die $x$ -Achse rotiert. Die Aussenoberfläche eines Kegelstumpfs ist näherungsweise $ℓ \cdot U$ , wobei $ℓ$ die Länge der Aussenkante des Kegelstumpfs und $U$ der Umfang einer der beiden Kreise darstellt (wieso?).

Die Oberfläche sollte also näherungsweise durch

\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{{(△ x_{k})}^{2} + {(△ y_{k})}^{2}} \cdot 2 π f (x_{k}) & = 2 π \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{1 + {(\frac{△ y_{k}}{△ x_{k}})}^{2}} f (x_{k}) △ x_{k} \\ = 2 π \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{1 + f^{'} {(ξ_{k})}^{2}} f (x_{k}) (x_{k} - x_{k - 1}) \end{array}

gegeben sein, wobei $ξ_{k} \in [x_{k - 1}, x_{k}]$ für jedes $k \in {1, \dots, n}$ einen Zwischenpunkt darstellt. Deswegen definieren wir nun die Oberfläche des Rotationskörpers $K$ als

\begin{array}{l} 2 π \int_{a}^{b} \sqrt{1 + f^{'} {(x)}^{2}} f (x) d x . \end{array}

Beispiel 9.74 (Kugeloberfläche).

Wie in Beispiel 9.72 betrachten wir zu $r > 0$ die Funktion $x \in [- r, r] \mapsto \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ , deren Rotationskörper gerade die Kugel von Radius $r$ ist. Für alle $x \in [- r, r]$ ist

\begin{array}{l} f^{'} (x) = - \frac{x}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}} . \end{array}

Damit ist die Kugeloberfläche gleich

\begin{array}{l} 2 π \int_{- r}^{r} \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{r^{2} - x^{2}}} \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x = 2 π \int_{- r}^{r} \sqrt{r^{2}} d x = 2 π r {[x]}_{- r}^{r} = 4 π r^{2} . \end{array}

Übung 9.75 (Eine lange Nadel).

Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche des „uneigentlichen Rotationskörpers“, der entsteht, wenn man das Gebiet unter dem Graphen der Funktion $x \in [1, \infty) \mapsto \frac{1}{x}$ um die $x$ -Achse rotiert.

9.7 Anwendungen

9.7.1 Flächeninhalte

Beispiel 9.64.

Beispiel 9.65 (Hyperbolische Umkehrfunktionen).

9.7.2 Bogenlänge

Beispiel 9.66 (Umfang des Kreises).

Lemma 9.67 (Reparametrisierungen eines Weges).

Übung 9.68 (Eindeutigkeit der Parametrisierung).

Übung 9.69 (Totale Variation des Weges).

9.7.3 Wegintegrale von Vektorfeldern

Beispiel 9.70 (Abhängigkeit von der Wahl des Weges).

Applet 9.71 (Wegintegral).

9.7.4 Volumen von Rotationskörpern*

Beispiel 9.72 (Volumen der Kugel).

Übung 9.73.

9.7.5 Oberflächen von Rotationskörpern*

Beispiel 9.74 (Kugeloberfläche).

Übung 9.75 (Eine lange Nadel).

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