Reellwertige Funktionen – Analysis I (Kap. 1-9)

3.4 Reellwertige Funktionen

Für eine beliebige, nicht-leere Menge $D$ definieren wir die Menge der $ℝ$ -wertigen oder reellwertigen Funktionen auf $D$ als

\begin{array}{l} ℱ (D) = ℝ^{D} = {f ∣ f : D \to ℝ} . \end{array}

Die Menge $ℱ (D)$ bildet einen Vektorraum über $ℝ$ , wobei Addition und skalare Multiplikation punktweise gegeben sind durch

\begin{array}{l} (f_{1} + f_{2}) (x) & = f_{1} (x) + f_{2} (x), \\ (α f_{1}) (x) & = α f_{1} (x) \end{array}

für $f_{1}, f_{2} \in ℱ (D)$ , $α \in ℝ$ und alle $x \in D$ . Funktionen in $ℱ (D)$ lassen sich sogar multiplizieren und zwar durch

\begin{array}{l} (f_{1} f_{2}) (x) = f_{1} (x) f_{2} (x) \end{array}

für alle $f_{1}, f_{2} \in ℱ (D)$ und $x \in D$ . (Die Menge $ℱ (D)$ bildet einen kommutativen Ring mit Eins.) Wir sagen, dass $x \in D$ eine Nullstelle von $f \in ℱ (D)$ ist, falls $f (x) = 0$ gilt. Die Nullstellenmenge von $f$ ist durch ${x \in D ∣ f (x) = 0}$ definiert.

Übung 3.35 (Nullstellenmenge eines Produkts).

Seien $N_{1}, N_{2} \subseteq D$ die Menge der Nullstellen von $f_{1} \in ℱ (D)$ beziehungsweise $f_{2} \in ℱ (D)$ . Was ist die Nullstellenmenge von $f_{1} f_{2}$ ?

Wir definieren auch eine Relation $\leq$ (tatsächlich eine Ordnung) auf $ℱ (D)$ durch

\begin{array}{l} f_{1} \leq f_{2} \Leftrightarrow \forall x \in D : f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \end{array}

für $f_{1}, f_{2} \in ℱ (D)$ . Wir sagen, dass $f \in ℱ (D)$ nicht-negativ ist, falls $f \geq 0$ gilt

Übung 3.36 (Ordnung auf $ℱ (D)$ ).

Zeigen Sie, dass die oben definierte Relation $\leq$ eine Ordnung ist und dass diese Ordnung genau dann linear ist, wenn $D$ aus genau einem Punkt besteht.

3.4.1 Beschränktheit

In diesem und im nächsten Abschnitt möchten wir jeweils einen wichtigen Begriff zu reellwertigen Funktionen einführen.

Definition 3.37 (Beschränktheit von Funktionen).

Sei $D$ eine nicht-leere Menge und sei $f : D \to ℝ$ eine Funktion. Wir sagen, dass die Funktion $f$

•

von oben beschränkt ist, falls das Bild

f (D)

von oben beschränkt ist,

•

von unten beschränkt ist, falls das Bild

f (D)

von unten beschränkt ist,

•

beschränkt ist, falls

f

von oben und von unten beschränkt ist.

Wir bemerken, dass eine Teilmenge $A \subseteq ℝ$ genau dann beschränkt ist, wenn es ein $M \in ℝ$ gibt, so dass $| y | \leq M$ für alle $y \in A$ . Daher ist eine Funktion $f \in ℱ (D)$ genau dann beschränkt, wenn es ein $M \in ℝ$ gibt, so dass für alle $x \in D$ gilt $| f (x) | \leq M$ .

Übung 3.38 (Der Unterraum der beschränkten Funktionen).

Sei $D$ eine nicht-leere Menge und sei $ℬ (D) \subseteq ℱ (D)$ die Menge der beschränkten Funktionen von $D$ nach $ℝ$ . Zeigen Sie, dass $ℬ (D)$ ein Unterraum von $ℱ (D)$ bildet und dass zu $f_{1}, f_{2} \in ℬ (D)$ auch $f_{1} \cdot f_{2} \in ℬ$ liegt.

3.4.2 Monotonie

In Folgendem wollen wir annehmen, dass die Menge $D$ (der Definitionsbereich der Funktionen, die wir betrachten wollen) eine nicht-leere Teilmenge von $ℝ$ ist.

Definition 3.39 (Monotonieeigenschaften).

Eine Funktion $f : D \to ℝ$ ist

•

monoton wachsend, falls

\forall x, y \in D : x \leq y \Rightarrow f (x) \leq f (y)

•

streng monoton wachsend, falls

\forall x, y \in D : x < y \Rightarrow f (x) < f (y)

•

monoton fallend, falls

\forall x, y \in D : x \leq y \Rightarrow f (x) \geq f (y)

•

streng monoton fallend, falls

\forall x, y \in D : x < y \Rightarrow f (x) > f (y)

•

monoton, falls

f

monoton wachsend oder monoton fallend ist,

•

streng monoton, falls

f

streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist.

Eine streng monotone Funktion ist per Definition auch monoton; die Bezeichnung „streng“ ist also passend. Wir betrachten nun ein paar elementare Beispiele.

Beispiel 3.40.

•

Die Funktion

x \in ℝ_{\geq 0} \mapsto x^{2} \in ℝ

ist streng monoton wachsend. Die Funktion

x \in ℝ_{\leq 0} \mapsto x^{2} \in ℝ

ist jedoch streng monoton fallend und

x \in ℝ \mapsto x^{2} \in ℝ

hat keine Monotonieeigenschaft. Dies zeigt, dass Monotonie vom Definitionsbereich abhängt.

•

Die Funktion

x \in ℝ \mapsto x^{3} \in ℝ

ist streng monoton wachsend.

•

Allgemeiner gilt: Für ein

n \in ℕ

ist die Funktion

x \in ℝ \mapsto x^{n} \in ℝ

ist genau dann (streng) monoton, wenn

n

ungerade ist.

•

Die Abrundungsfunktion

x \in ℝ \mapsto ⌊ x ⌋ \in ℝ

ist monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend (wieso?).

•

Eine konstante Funktion

x \in ℝ \mapsto c \in ℝ

für ein (festes)

c \in ℝ

ist sowohl monoton fallend als auch monoton wachsend.

Übung 3.41.

Beweisen Sie die Behauptungen in Beispiel 3.40.

Eine streng monotone Funktion ist stets injektiv. Sie braucht jedoch nicht surjektiv zu sein. Beispielsweise ist die Funktion

\begin{array}{l} ℝ \to ℝ, x \mapsto {\begin{matrix} x + 1 & falls x > 0 \\ x & falls x \leq 0 \end{matrix} \end{array}

streng monoton wachsend, aber nicht surjektiv ( $\frac{1}{2}$ liegt nicht im Bild).

$PIC$

Verlangt man jedoch von einer streng monotonen Funktion, dass sie „nicht springt“, so kann man in vielen Fällen Surjektivität zeigen. Wir haben bereits ein Beispiel dafür gesehen als wir die Existenz der Wurzelfunktion zeigten (siehe Übung 2.11). Den dazu notwendigen Begriff des „Nicht-Springens“ besprechen wir im nächsten Abschnitt.

Übung 3.42 (Alternative Charakterisierung von Monotonie und strenger Monotonie).

Sei $D \subseteq ℝ$ eine Teilmenge mit $| D | \geq 3$ und $f : D \to ℝ$ eine Funktion. Betrachten Sie die folgenden Aussagen über $f$ , beschreiben Sie ihre Bedeutung in Worten, und geben Sie einen Beweis von drei Ihrer Behauptungen.

(i): $\forall x, y \in D : x < y \Leftrightarrow f (x) < f (y)$
(ii): $\forall x, y \in D : x \leq y \Leftrightarrow f (x) \leq f (y)$
(iii): $\forall x, y, z \in D : x < y < z \Rightarrow (f (x) < f (y) < f (z) \lor f (x) > f (y) > f (z))$
(iv): $\forall x, y, z \in D : x < y < z \Rightarrow (f (x) \leq f (y) \leq f (z) \lor f (x) \geq f (y) \geq f (z))$
(v): $\forall x, y, z \in D : x \leq y \leq z \Rightarrow (f (x) < f (y) < f (z) \lor f (x) > f (y) > f (z))$
(vi): $\forall x, y, z \in D : x \leq y \leq z \Rightarrow (f (x) \leq f (y) \leq f (z) \lor f (x) \geq f (y) \geq f (z))$

Teillösung.

Die Aussagen in (i) und (ii) beschreiben beide, dass $f$ streng monoton wachsend ist. Dies mag bei (ii) etwas überraschen und liegt daran, dass für eine Funktion $f$ mit der Eigenschaft in (ii) und für $x, y \in D$ mit $f (x) = f (y)$ sowohl $x \leq y$ als auch $y \leq x$ folgt.

Die Aussage in (iii) beschreibt, dass $f$ streng monoton ist. Für den Beweis, dass (iii) strenge Monotonie impliziert, wählen Sie am besten zuerst zwei feste Elemente $x_{0} < y_{0}$ von $D$ . Da es einen dritten Punkt in $D$ gibt, muss entweder $f (x_{0}) < f (y_{0})$ oder $f (x_{0}) > f (y_{0})$ gelten. Wir nehmen $f (x_{0}) < f (y_{0})$ an und werden zeigen, dass $f$ streng monoton wachsend ist. (Der Beweis im zweiten Fall ergibt sich hieraus durch Betrachten von $- f$ .) Für beliebige Element $a, b \in D$ folgt daraus:

•

a < x_{0} \Rightarrow f (a) < f (x_{0})

, wenn wir

x = a

y = x_{0}

und

z = y_{0}

setzen und die Vorraussetzung in (iii) anwenden (wobei die zweite Möglichkeit durch

f (x_{0}) < f (y_{0})

ausgeschlossen ist).

•

x_{0} < a \Rightarrow f (x_{0}) < f (a)

, denn für

a = y_{0}

ist dies unsere Annahme, ansonsten können wir

x = x_{0}

y = a

und

z = y_{0}

setzen falls

a < y_{0}

, aber

x = x_{0}

y = y_{0}

z = a

falls

y_{0} < a

und wiederum (iii) anwenden.

•

a < b \Rightarrow f (a) < f (b)

, denn für

a = x_{0}

oder

b = x_{0}

ist dies auf Grund der ersten beiden Punkte bereits bekannt und ansonsten können wir

x < y < z

eindeutig so definieren, dass

{x, y, z} = {a, b, x_{0}}

und durch Anwendung von (iii) ergibt sich die gewünschte Aussage.

Die Aussage in (iv) und auch in (vi) beschreibt Monotonie von $f$ . Die Aussage in (v) ist hingegen unsinnig und trifft auf keine Funktion zu, denn aus $x = y = z$ muss natürlich $f (x) = f (y) = f (z)$ folgen.

Übung 3.43 (Monotonie unter Summen und Produkten).

Sei $D \subseteq ℝ$ eine Teilmenge und seien $f, f_{1}, f_{2} \in ℱ (D)$ streng monoton wachsend. Zeigen Sie, dass $f_{1} + f_{2} \in ℱ (D)$ streng monoton wachsend ist und dass für $a \in ℝ$ die Funktion $a f \in ℱ (D)$ streng monoton wachsend ist falls $a > 0$ , und streng monoton fallend ist falls $a < 0$ . Zeigen Sie, dass $f_{1} f_{2}$ streng monoton wachsend ist, falls $f_{1} (x), f_{2} (x) > 0$ für alle $x \in D$ .

Applet 3.44 (Monotonie von Einschränkungen).

Bei vielen aber nicht allen Funktion $f$ (definiert auf Teilmengen von $ℝ$ ) erhält man eine monotone Funktion mittels Einschränkung von $f$ auf kleinere Intervalle.