6.3 Die Exponentialfunktion

Wir werden jetzt Grenzwerte von Folgen und insbesondere Satz 6.5 anwenden, um die Exponentialfunktion zu definieren und einige ihrer Eigenschaften zu beweisen†† An dieser Stelle wollen wir bemerken, dass die hier verwendete mathematische Exposition nicht unbedingt die effizienteste ist. In der Tat könnte man die Exponentialfunktion etwas formaler direkt mit Potenzreihen einführen – siehe Abschnitt 7.5.. Die Exponentialfunktion $\exp :ℝ\to {ℝ}_{>0}$ ist definiert durch

$$\begin{array}{lll}\hfill \exp \left(x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n>0& & \hfill \text{(6.3)}\end{array}$$

für alle $x\in ℝ$. Des Weiteren ist die Eulersche Zahl definiert als

$$\begin{array}{lll}\hfill e=\exp \left(1\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\in \left[2,3\right].& & \hfill \end{array}$$

Wir wollen zeigen, dass (6.3) Sinn ergibt (also der Grenzwert tatsächlich existiert) und dass dadurch die Abbildung $\exp :ℝ\to {ℝ}_{>0}$ definiert wird. Dies führt uns dann auch zum natürlichen Logarithmus und zu allgemeinen Potenzfunktionen.

Der Beweis der Proposition erfolgt in den Unterabschnitten 6.3.2–6.3.7.

6.3.1 Eine Interpretation

Die Definition (6.3) hat für $x\in (0,1)$ folgende ökonomische Interpretation. Angenommen $x$ steht für den jährlichen Zinssatz in der Bank $1$. Bank $2$ verrechnet die Zinsen halbjährlich und gibt $\frac{x}{2}$ Zinsen in einem halben Jahr, …, die Bank $n$ verrechnet die Zinsen $n$-mal im Jahr und gibt in einem $n$-tel Jahr genau $\frac{x}{n}$ Zinsen. Bei welcher Bank sollte man sein Geld deponieren? Auf Grund des Zinseszinses sollte man wahrscheinlich Kunde der Bank mit dem grössten $n$ werden. Also drängt sich die Vermutung auf, dass $a_n={(1+\frac{x}{n})}^n$ eine monoton wachsende Folge ist. Aber kann man seinen jährlichen Gewinn grenzenlos steigern, in dem man immer weiter sucht und bei einer Bank mit noch grösserem $n$ um ein Konto anfragt? Dies klingt vielleicht ein bisschen zu optimistisch. Es drängt sich also die Vermutung auf, dass ${\left(a_n\right)}_n$ eine beschränkte monoton wachsende Folge ist.

6.3.2 Konvergenz der Folge

Sei $x\in ℝ$ fest gewählt. Falls $x\ge 0$ ist, dann ist

$$\begin{array}{lll}\hfill \frac{x}{(n+1)(n+x)}\le \frac{x+n}{(n+1)(n+x)}\le 1& & \hfill \end{array}$$

und damit

$$\begin{array}{lll}\hfill a_{n,x}=-\frac{x}{(n+1)(n+x)}\ge -1& & \hfill \end{array}$$

für alle $n\in \mathbb{N}$. Ansonsten ist $x<0$ und es gelten obige Ungleichungen zumindest für alle $n\in \mathbb{N}$ mit $n>-x$. Für diese $n\in \mathbb{N}$ können wir die Bernoulli-Ungleichung in Lemma 3.5 verwenden und erhalten

$$\begin{array}{llll}\hfill \frac{(1+\frac{x}{n+1}{)}^{n+1}}{(1+\frac{x}{n}{)}^n}& =\left(1+\frac{x}{n}\right){\left(\frac{1+\frac{x}{n+1}}{1+\frac{x}{n}}\right)}^{n+1}=\frac{n+x}{n}{\left(\frac{(n+1+x)n}{(n+1)(n+x)}\right)}^{n+1}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{n+x}{n}{\left(\frac{n^2+nx+n}{(n+1)(n+x)}\right)}^{n+1}=\frac{n+x}{n}{\left(\frac{(n+1)(n+x)-x}{(n+1)(n+x)}\right)}^{n+1}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{n+x}{n}{\left(1-\frac{x}{(n+1)(n+x)}\right)}^{n+1}=\frac{n+x}{n}{\left(1+a_{n,x}\right)}^{n+1}& \hfill & \\ \hfill & \ge \frac{n+x}{n}\left(1+(n+1)a_{n,x}\right)=\frac{n+x}{n}\left(1-\frac{x}{n+x}\right)=1.& \hfill & \end{array}$$

Für $x\ge 0$ beweist dies die Monotonie der Folge $(1+\frac{x}{n}{)}^n$. Für $x<0$ beweist dies die „schlussendliche“ Monotonie. Genauer formuliert existiert ein $N_x\in \mathbb{N}$ so dass für alle $n\ge N_x$ sowohl $1+\frac{x}{n}>0$ also auch $(1+\frac{x}{n+1}{)}^{n+1}\ge (1+\frac{x}{n}{)}^n$ gilt. Da monoton wachsende, beschränkte Folgen konvergieren (Satz 6.5) und da die ersten paar Glieder der Folge nicht über Konvergenz entscheiden (Lemma 5.25) reicht es für die Konvergenz somit, Beschränktheit zu zeigen.

Für $x\le 0$ gilt ${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n\le 1$. Daher gilt

$$\begin{array}{lll}\hfill \underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n=\sup \left\{{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n\mid n\ge N_x\right\}\in \left(0,1\right],& & \hfill \end{array}$$

wobei $N_x$ wie oben gewählt wurde.

Für $x\ge 0$ verwenden wir

$$\begin{array}{lll}\hfill {\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n{\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n={\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)}^n\le 1,& & \hfill \end{array}$$

woraus für alle $n\ge N_{-x}$ die Abschätzung

$$\begin{array}{lll}\hfill {\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n\le {\left(1-\frac{x}{n}\right)}^{-n}=a_n& & \hfill \end{array}$$

folgt. Da aber die Folge $a_n$ auf Grund von obigem und Proposition 5.30(iii) konvergent und damit beschränkt ist, folgt nun die Beschränktheit der Folge ${\left({\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n\right)}_n$.

Wir wollen ein zweites Argument für die Beschränktheit der Folge für ein $x\ge 0$ skizzieren. Hierfür betrachten wir für ein $n\in \mathbb{N}$ die Umformung

$$\begin{array}{llll}\hfill (1+\frac{x}{n}{)}^n& =\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{n}{k}\right){\left(\frac{x}{n}\right)}^k=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}(\prod _{j=n-k+1}^{n}j)\frac{1}{n^k}{x}^k=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{x}^k\frac{1}{n^k}\prod _{\ell =0}^{k-1}(n-\ell )& \hfill & \\ \hfill & =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{x}^k\prod _{\ell =0}^{k-1}\frac{n-\ell }{n}=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{x}^k\prod _{\ell =0}^{k-1}\left(1-\frac{\ell }{n}\right).& \hfill & \end{array}$$

unter Verwendung des Binomialsatz (Satz 3.28). Damit erhalten wir für $x\in (0,1]$, dass

$$\begin{array}{llll}\hfill (1+\frac{x}{n}{)}^n& =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}(\prod _{\ell =0}^{k-1}\left(1-\frac{\ell }{n}\right))x^k\le \sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\le 1+\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^{k-1}}=1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}\le 3,& \hfill & \end{array}$$

wobei wir $k!\ge 2^{k-1}$ für $k\in \mathbb{N}$ und die geometrische Summenformel (Proposition 3.8) verwendet haben.

Auf Grund von Satz 6.5 ergibt sich daher, dass

$$\begin{array}{lll}\hfill \exp \left(x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n\in {ℝ}_{>0}& & \hfill \end{array}$$

für alle $x\in ℝ$ existiert. Insbesondere für $x=1$ erhalten wir $e=\exp \left(1\right)\in [2,3]$ auf Grund obiger Abschätzungen.

Für ein beliebiges $x\in ℝ$ ist $\frac{x}{n}\ge -1$ für alle hinreichend grossen $n\in \mathbb{N}$ und damit $1+x=1+n\frac{x}{n}\le {(1+\frac{x}{n})}^n$ nach der Bernoulli-Ungleichung (Lemma 3.5). Daraus folgt

$$\begin{array}{lll}\hfill 1+x\le \exp \left(x\right)& & \hfill \text{(6.5)}\end{array}$$

für alle $x\in ℝ$.

6.3.3 Inversionsformel

Wir behaupten nun, dass

$$\begin{array}{lll}\hfill \exp \left(-x\right)=\exp {\left(x\right)}^{-1}& & \hfill \text{(6.6)}\end{array}$$

für alle $x\in ℝ$. Es gilt

$$\begin{array}{lll}\hfill \exp \left(x\right)\exp \left(-x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{x}{n}{)}^n\underset{n\to \infty }{\lim }(1-\frac{x}{n}{)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }(1-\frac{x^2}{n^2}{)}^n& & \hfill \end{array}$$

Wir betrachten also die Folge ${\left(b_n\right)}_n$ definiert durch $b_n=(1-\frac{x^2}{n^2}{)}^n$. Nach der Bernoulli-Ungleichung gilt für $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge \left|x\right|$ (und damit $-\frac{x^2}{n^2}\ge -1$)

$$\begin{array}{lll}\hfill 1-\frac{x^2}{n}=1+n\left(-\frac{x^2}{n^2}\right)\le {\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)}^n=b_n\le 1,& & \hfill \end{array}$$

was gemeinsam mit dem Sandwich-Lemma (Lemma 6.2) $\underset{n\to \infty }{\lim }(1-\frac{x^2}{n^2}{)}^n=1$ zur Folge hat und Gleichung (6.6) zeigt.

6.3.4 Additionsformel

Seien $x,y\in ℝ$. Für $x=0$ oder $y=0$ ist die Additionsformel (6.4) gültig (wieso?). Wir wollen den verbleibenden Fall ($x\ne 0$ und $y\ne 0$) durch ein ähnliches Argument wie oben beweisen. Deswegen berechnen wir zuerst für $n\in \mathbb{N}$ das Produkt

$$\begin{array}{llll}\hfill \left(1-\frac{x}{n}\right)\left(1-\frac{y}{n}\right)\left(1+\frac{x+y}{n}\right)& =\left(1-\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2}\right)\left(1+\frac{x+y}{n}\right)& \hfill & \\ \hfill & =1-\frac{{(x+y)}^2}{n^2}+\frac{xy}{n^2}\left(1+\frac{x+y}{n}\right)=1+\frac{c_n}{n^2},& \hfill & \end{array}$$

wobei die konvergente reelle Folge ${\left(c_n\right)}_n$ durch

$$\begin{array}{llll}\hfill c_n=-{(x+y)}^2+xy\left(1+\frac{x+y}{n}\right)& =-(x^2+y^2)-2xy+xy+xy\frac{x+y}{n}& \hfill & \\ \hfill & =-(x^2+y^2)-xy+xy\frac{x+y}{n}& \hfill & \end{array}$$

gegeben ist. Damit erhalten wir

$$\begin{array}{llll}\hfill \exp (x+y)& =\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x+y}{n}\right)}^n& \hfill & \\ \hfill & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(1+\frac{c_n}{n^2}\right)}^n}{{\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n{\left(1-\frac{y}{n}\right)}^n}=\exp \left(x\right)\exp \left(y\right)\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{c_n}{n^2}\right)}^n& \hfill & \end{array}$$

wegen (6.6) . Wir zeigen nun, dass $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{c_n}{n^2}\right)}^n$ gleich $1$ ist. Da $xy\frac{x+y}{n}\to 0$ für $n\to \infty$, erhalten wir $c_n\to -(x^2+y^2)-xy$ für $n\to \infty$. Weiters ist $-(x^2+y^2)-xy<0$ (unter Verwendung von $\max \left\{\left|x\right|,\left|y\right|\right\}<\sqrt{x^2+y^2}$ wegen $x\ne 0$ und $y\ne 0$), womit wir $c_n<0$ und $\frac{c_n}{n^2}\ge -1$ für hinreichend grosse $n$ erhalten. Aus der Bernoulli-Ungleichung folgt nun

$$\begin{array}{lll}\hfill 1+\frac{c_n}{n}=1+n\frac{c_n}{n^2}\le {\left(1+\frac{c_n}{n^2}\right)}^n\le 1& & \hfill \end{array}$$

und daher gilt $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{c_n}{n^2}\right)}^n=1$. Dies beweist die Additionsformel (6.4).

6.3.5 Stetigkeit

Wir zeigen zuerst die Stetigkeit von $\exp :ℝ\to {ℝ}_{>0}$ bei $0\in ℝ$. Sei also $𝜀>0$ und wähle $\delta =\min \left\{𝜀,1-\frac{1}{1+𝜀}\right\}$ (womit $\delta <1$ und auch $\frac{1}{1-\delta }\le 1+𝜀$ nach einer kurzen Rechnung). Für $x\in (-\delta ,0]$ wenden wir (6.5) an und erhalten

$$\begin{array}{lll}\hfill 1-𝜀\le 1-\delta <1+x\le \exp \left(x\right)\le 1& & \hfill \end{array}$$

(also insbesondere $|\exp (x)-\exp (0\left)\right|<𝜀$). Für $x\in [0,\delta )$ wenden wir obiges Argument für $-x$ an und erhalten $1-\delta \le \exp (-x)\le 1$ oder äquivalenterweise $1\le \exp \left(x\right)\le \frac{1}{1-\delta }<1+𝜀$ nach Wahl von $\delta$ (und dadurch wiederum $|\exp (x)-\exp (0\left)\right|<𝜀$).

Um Stetigkeit bei jedem $x_0\in ℝ$ zu zeigen, verwenden wir die Additionseigenschaft. Denn es gilt für alle $x\in ℝ$

$$\begin{array}{lll}\hfill \exp \left(x\right)=\exp (x-x_0+x_0)=\exp (x-x_0)\exp \left(x_0\right),& & \hfill \end{array}$$

wodurch wir $\exp \left(x\right)$ als Verknüpfung der Abbildungen

$$\begin{array}{llll}\hfill h:x\in ℝ& \mapsto x-x_0\in ℝ& \hfill & \\ \hfill g:y\in ℝ& \mapsto \exp \left(y\right)\in ℝ& \hfill & \\ \hfill f:a\in ℝ& \mapsto a\exp \left(x_0\right)& \hfill & \end{array}$$

schreiben können, wobei $h$ bei $x_0$, $g$ bei $0=h\left(x_0\right)$, beziehungsweise $f$ bei $1=g\left(0\right)$ stetig sind. Es folgt die Stetigkeit von $\exp$ bei $x_0$ aus Proposition 3.52.

6.3.6 Strenge Monotonie

Für $x>0$ gilt $\exp \left(0\right)=1<1+x\le \exp \left(x\right)$ wegen (6.5). Falls $x<y$, dann folgt aus $\exp \left(x\right)>0$ und $\exp (y-x)>1$ mit der Additionsformel (6.4), dass

$$\begin{array}{lll}\hfill \exp \left(y\right)=\exp \left(x\right)\exp (y-x)>\exp \left(x\right).& & \hfill \end{array}$$

Daher ist $\exp :ℝ\to {ℝ}_{>0}$ streng monoton wachsend und insbesondere injektiv.

6.3.7 Surjektivität

Wir verwenden (6.5) und den Zwischenwertsatz (Satz 3.58) um $\exp \left(ℝ\right)={ℝ}_{>0}$ zu zeigen. Sei also $y>0$. Dann gilt $y<\exp \left(y\right)$ nach (6.5). Weiters ist $\frac{1}{y}<\exp \left(\frac{1}{y}\right)$ auf Grund desselben Arguments und damit $\exp \left(-\frac{1}{y}\right)<y<\exp \left(y\right)$. Da $\exp$ auf ganz $ℝ$ stetig ist, ergibt sich aus dem Zwischenwertsatz (Satz 3.58), dass es ein $x\in ℝ$ (zwischen den Punkten $-\frac{1}{y}$ und $y$) mit $\exp \left(x\right)=y$ gibt. Dies beendet den Beweis von Proposition 6.29.

6.3.8 Der Logarithmus und Potenzen

Zusammenfassend haben wir also gezeigt, dass $\exp :ℝ\to {ℝ}_{>0}$ eine bijektive, streng monoton wachsende stetige Funktion darstellt, so dass die Additionsformel $\exp (x+y)=\exp \left(x\right)\exp \left(y\right)$ für alle $x,y\in ℝ$ gilt.

Die Umkehrfunktion der bijektiven Abbildung $\exp :ℝ\to {ℝ}_{>0}$ nennen wir den (natürlichen) Logarithmus $\log :{ℝ}_{>0}\to ℝ$. Aus dem Umkehrsatz (Satz 3.64) folgt nun folgendes Korollar.

Wir bemerken, dass die letzte Aussage in obigem Korollar aus der Additionsformel der Exponentialabbildung folgt wenn wir $x=\log a$ und $y=\log b$ setzen.

Der Logarithmus und die Exponentialabbildung können wir verwenden, um allgemeinere Potenzen zu definieren. Für eine positive Basis $x>0$ und beliebige Exponenten $a\in ℝ$ setzen wir

$$\begin{array}{lll}\hfill x^a:=\exp (a\log (x\left)\right).& & \hfill \end{array}$$

Insbesondere gilt $e^x=\exp (x\log (e\left)\right)=\exp \left(x\right)$ für alle $x\in ℝ$.