Reelle Folgen – Analysis I (Kap. 1-9)

6.1 Reelle Folgen

Wie wir in Korollar 5.45 gesehen haben, lässt sich die Konvergenz von komplexwertigen Folgen auf die Konvergenz von reellwertigen Folgen zurückführen. Unter anderem deswegen möchten wir nun reelle Folgen (also Folgen in $ℝ$ ) genauer betrachten und beginnen damit, das Verhalten von Ungleichungen bei Konvergenz zu untersuchen.

Proposition 6.1 (Grenzwerte und Ungleichungen).

Seien ${(a_{n})}_{n}, {(b_{n})}_{n}$ reelle Folgen mit Grenzwerten $a = \lim_{n \to \infty} a_{n}, b = \lim_{n \to \infty} b_{n}$ .

(i): Falls $a_{n} \leq b_{n}$ für alle $n \in ℕ$ , dann gilt auch $a \leq b$ .
(ii): Falls $a < b$ , dann existiert ein $N \in ℕ$ , so dass $a_{n} < b_{n}$ für alle $n \geq N$ .

Wir möchten noch kurz anmerken, dass die Annahme der strikten Ungleichung in (i) nicht $a < b$ impliziert. In der Tat gilt für die beiden reellen Folgen ${(a_{n})}_{n}, {(b_{n})}_{n}$ mit $a_{n} = 0 < b_{n} = \frac{1}{n}$ , dass die Grenzwerte $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$ übereinstimmen.

Beweis.

Wir beginnen mit der zweiten Behauptung. Angenommen $a < b$ , dann ist $𝜀 = \frac{b - a}{2} > 0$ und es existiert ein $N \in ℕ$ (definiert als ein Maximum), so dass

\begin{array}{l} n \geq N & \Rightarrow a - 𝜀 < a_{n} < a + 𝜀 \\ n \geq N & \Rightarrow b - 𝜀 < b_{n} < b + 𝜀 \end{array}

Da aber $a + 𝜀 = b - 𝜀$ nach Wahl von $𝜀$ , ergibt sich $a_{n} < a + 𝜀 = b - 𝜀 < b_{n}$ für alle $n \geq N$ .

Dies beweist auch die erste Behauptung. Denn falls $a > b$ wäre, dann gäbe es nach obigem Folgenglieder $a_{n}, b_{n}$ mit $a_{n} > b_{n}$ .

■

Sie sollten sich ein Bild zu obigem Beweis überlegen, da das Bild es deutlich einfacher machen sollte, sich diesen Beweis (oder auch ähnliche Beweise) zu merken. Wir können Ungleichungen zwischen verschiedenen Folgen auch dazu verwenden, Konvergenz zu zeigen.

Lemma 6.2 (Sandwich).

Es seien ${(a_{n})}_{n}, {(b_{n})}_{n}, {(c_{n})}_{n}$ drei reelle Folgen, so dass $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ für alle $n \in ℕ$ gilt. Angenommen ${(a_{n})}_{n}$ und ${(c_{n})}_{n}$ sind konvergent und $A = \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} c_{n}$ . Dann ist auch die Folge ${(b_{n})}_{n}$ konvergent und $A = \lim_{n \to \infty} b_{n}$ .

Wichtige Übung 6.3.

Beweisen Sie Lemma 6.2.

Hinweis.

Verwenden Sie, dass $| b_{n} - A | < 𝜀$ zu $A - 𝜀 < b_{n} < A + 𝜀$ äquivalent ist.

Lemma 6.2 ist sehr nützlich um Konvergenz spezifischer Folgen zu zeigen, wie wir in folgendem Beispiel illustrieren wollen.

Beispiel 6.4 (Anwendungen von Lemma 6.2).

(i)

Wir wissen bereits, dass

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 = \lim_{n \to \infty} \frac{- 1}{n}

. Für jedes

n \in ℕ

gilt jedoch

\frac{- 1}{n} \leq \frac{{(- 1)}^{n}}{n} \leq \frac{1}{n}

und somit haben wir auch

\lim_{n \to \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n} = 0

(ii)

Für eine beliebige Zahl

a > 0

definieren wir die Folge

{(a_{n})}_{n}

durch

a_{n} = \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}

. Wir behaupten, dass

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 . \end{array}

Angenommen $a > 1$ . Wir definieren $b_{n} = a_{n} - 1 \geq 0$ für $n \in ℕ$ und wollen zeigen, dass die Folge ${(b_{n})}_{n}$ gegen Null konvergiert. Es gilt

\begin{array}{l} a = {(1 + b_{n})}^{n} \geq 1 + n b_{n} \geq n b_{n} \end{array}

nach der Bernoulli-Ungleichung (Lemma 3.5). Daher ist $0 \leq b_{n} \leq \frac{a}{n}$ für alle $n \in ℕ$ , womit $\lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$ nach Lemma 6.2 und damit $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} b_{n} + 1 = 1$ nach Proposition 5.30.

Der Fall $a \in (0, 1)$ folgt auch aus obigem, denn nach Proposition 5.30 ist

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{a^{- 1}}} = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^{- 1}}} = 1 . \end{array}

(iii)

Wir behaupten des Weiteren, dass

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \end{array}

und argumentieren dafür ähnlich, verwenden aber statt der Bernoulli-Ungleichung den Binomialsatz (Satz 3.28). Definiere $b_{n} = \sqrt[n]{n} - 1 \geq 0$ , so dass

\begin{array}{l} n = {(1 + b_{n})}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) b_{n}^{k} \geq (\binom{n}{2}) b_{n}^{2} = \frac{n (n - 1)}{2} b_{n}^{2} \end{array}

für alle $n \geq 2$ . Wir dividieren durch $\frac{n (n - 1)}{2}$ und erhalten

\begin{array}{l} 0 \leq b_{n} \leq \sqrt{\frac{2}{n - 1}} \end{array}

für alle $n \geq 2$ . Da die Wurzelfunktion nach dem Umkehrsatz (Satz 3.64) stetig ist, konvergiert nach Proposition 5.50 die Folge ${(\sqrt{\frac{2}{n}})}_{n}$ gegen Null. Verwenden wir nun die Indexverschiebung (Lemma 5.25) und das Sandwich-Lemma (Lemma 6.2) so erhalten wir $\lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$ und unsere Behauptung folgt.

6.1.1 Monotone Folgen

Für monotone Folgen gibt es folgendes hinreichendes und notwendiges Kriterium, das den Nachweis von Konvergenz deutlich vereinfacht. Dies bringt das erste Mal das Vollständigkeitsaxiom in Beziehung zur Konvergenz einer Folge.

Satz 6.5 (Konvergenz von monotonen Folgen).

Eine monotone reelle Folge ${(a_{n})}_{n}$ konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist. Falls die Folge ${(a_{n})}_{n}$ monoton wachsend ist, gilt

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} a_{n} = \sup {a_{n} ∣ n \in ℕ} . \end{array}

Falls die Folge ${(a_{n})}_{n}$ monoton fallend ist, gilt

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} a_{n} = \inf {a_{n} ∣ n \in ℕ} . \end{array}

Wir illustrieren den Satz an einem Bild.

$PIC$

Figur 6.1: Die (durch

M > 0

) beschränkte, monoton wachsende Folge

{(a_{n})}_{n}

im Bild hat keine andere Wahl als gegen das Supremum

S

der Folgenglieder zu konvergieren. Wenn Sie sich an die charakterisierenden Eigenschaften des Supremums erinnern (was wir Ihnen empfehlen), dann können Sie den Beweis vielleicht schon selbst durchführen.

Beweis.

Falls ${(a_{n})}_{n}$ konvergent ist, ist ${(a_{n})}_{n}$ beschränkt nach Lemma 5.27. Sei also ${(a_{n})}_{n}$ eine beschränkte, reelle Folge. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass ${(a_{n})}_{n}$ monoton wachsend ist (sonst ersetzen wir einfach ${(a_{n})}_{n}$ durch ${(- a_{n})}_{n}$ ). Sei $a = \sup {a_{n} ∣ n \in ℕ}$ . Dann existiert nach der Charakterisierung des Supremums in Satz 2.59 für jedes $𝜀 > 0$ ein $N \in ℕ$ mit $a_{N} > a - 𝜀$ . Für $n \geq N$ folgt damit aus der Monotonie von ${(a_{n})}_{n}$ , dass

\begin{array}{l} a - 𝜀 < a_{N} \leq a_{n} \leq a < a + 𝜀, \end{array}

was zu zeigen war.

■

Übung 6.6 (Eine rekursiv definierte konvergente Folge).

Sei ${(a_{n})}_{n}$ die durch

\begin{array}{l} a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2}{3} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}}) \end{array}

für $n \geq 1$ rekursiv definierte Folge. Zeigen Sie, dass ${(a_{n})}_{n}$ konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

Hinweis.

Finden Sie zuerst unter Betrachtung der Rekursionsformel einen Kandidaten für den Grenzwert.

Übung 6.7 (Gegengerichtete Folgen).

Sei ${(a_{n})}_{n}$ eine monoton wachsende, reelle Folge und ${(b_{n})}_{n}$ eine monoton fallende, reelle Folge mit $a_{n} \leq b_{n}$ für alle $n \in ℕ$ . Zeigen Sie, dass beide Folgen konvergieren und dass $\lim_{n \to \infty} a_{n} \leq \lim_{n \to \infty} b_{n}$ gilt.

Hinweis.

Verwenden Sie den Beweis vom Intervallschachtelungsprinzip (Satz 2.77).

6.1.2 Limes superior und Limes inferior

Wir bringen nochmals das Vollständigkeitsaxiom (in der Form der Existenz des Supremums – Satz 2.59) in die Diskussion ein, aber betrachten im Gegensatz zum letzten Teilabschnitt eine allgemeine beschränkte reelle Folge ${(a_{n})}_{n}$ . Wir bemerken, dass für die Definition der Konvergenz der Folge ${(a_{n})}_{n}$ die sogenannten Endabschnitte ${(a_{k})}_{k = n}^{\infty}$ der Folge (formal definiert durch die Einschränkung von $k \mapsto a_{k}$ auf ${k \in ℕ ∣ k \geq n}$ ) eine entscheidende Rolle spielen. Deswegen definieren wir für jedes $n \in ℕ$ das Supremum

\begin{array}{l} S_{n} = \sup {a_{k} ∣ k \geq n} \end{array}

über den Endabschnitt ${a_{k} ∣ k \geq n}$ der Folge. Wir schreiben diese Definition auch in der Kurzform

\begin{array}{l} S_{n} = \sup_{k \geq n} a_{k} . \end{array}

Da ${a_{k} ∣ k \geq n + 1} \subseteq {a_{k} ∣ k \geq n}$ ist, folgt (siehe die Bemerkung direkt nach Satz 4.19), dass $S_{n + 1} \leq S_{n}$ . Die Folge ${(S_{n})}_{n}$ ist also monoton fallend. Da ${(a_{n})}_{n}$ nach Annahme beschränkt ist, existiert ein $M > 0$ mit $| a_{k} | \leq M$ für alle $k \in ℕ$ . Dies impliziert für alle $n \in ℕ$ , dass $S_{n} \leq M$ , da $M$ eine obere Schranke von ${a_{k} ∣ k \geq n}$ ist, und dass $S_{n} \geq - M$ , da $S_{n} \geq a_{n} \geq - M$ . Unter dem Strich ist ${(S_{n})}_{n}$ also eine monoton fallende, beschränkte Folge und muss daher nach Satz 6.5 gegen das Infimum der Folge konvergieren.

Definition 6.8 (Limes superior).

Für eine beschränkte reelle Folge ${(a_{n})}_{n}$ ist der Limes superior definiert durch

\begin{array}{l} \underset{n \to \infty}{\lim^{¯}} a_{n} = \underset{n \to \infty}{limsup} a_{n} = \lim_{n \to \infty} (\sup_{k \geq n} a_{k}) = \inf_{n \in ℕ} (\sup_{k \geq n} a_{k}) . \end{array}

Es ergibt sich beispielsweise für die Folge ${(a_{n})}_{n}$ gegeben durch $a_{n} = {(- 1)}^{n}$ für $n \in ℕ$ unmittelbar $S_{n} = 1$ für alle $n \in ℕ$ und somit ${limsup}_{n \to \infty} {(- 1)}^{n} = 1$ .

Sei ${(a_{n})}_{n}$ eine beschränkte, reelle Folge. Analog zu obiger Diskussion definiert $I_{n} = \inf_{k \geq n} a_{k}$ für $n \in ℕ$ eine monoton wachsende, beschränkte Folge ${(I_{n})}_{n}$ , die nach Satz 6.5 gegen $\sup_{n \in ℕ} I_{n}$ konvergiert.

Definition 6.9 (Limes inferior).

Für eine beschränkte, reelle Folge ${(a_{n})}_{n}$ ist der Limes inferior definiert durch

\begin{array}{l} \underset{n \to \infty}{\lim_{̲}} a_{n} = \underset{n \to \infty}{liminf} a_{n} = \lim_{n \to \infty} (\inf_{k \geq n} a_{k}) = \sup_{n \in ℕ} (\inf_{k \geq n} a_{k}) . \end{array}

Wie zuvor erhält man beispielsweise ${liminf}_{n \to \infty} {(- 1)}^{n} = - 1$ . Wir wollen die Begriffe Limes superior und Limes inferior an einem konkreten Zahlenbeispiel erproben.

Beispiel 6.10.

Sei ${(a_{n})}_{n}$ die reelle Folge definiert durch $a_{n} = {(- 1)}^{n} + \frac{1}{n}$ für $n \in ℕ$ . Wir stellen $a_{n}, S_{n} = \sup_{k \geq n} a_{k}, I_{n} = \inf_{k \geq n} a_{k}$ in folgender Tabelle dar.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$\dots$

$a_{n}$	$- 1 + \frac{1}{1}$	$1 + \frac{1}{2}$	$- 1 + \frac{1}{3}$	$1 + \frac{1}{4}$	$- 1 + \frac{1}{5}$	$1 + \frac{1}{6}$	$- 1 + \frac{1}{7}$	$1 + \frac{1}{8}$	$\dots$

$S_{n}$	$1 + \frac{1}{2}$	$1 + \frac{1}{2}$	$1 + \frac{1}{4}$	$1 + \frac{1}{4}$	$1 + \frac{1}{6}$	$1 + \frac{1}{6}$	$1 + \frac{1}{8}$	$1 + \frac{1}{8}$	$\dots$

$I_{n}$	$- 1$	$- 1$	$- 1$	$- 1$	$- 1$	$- 1$	$- 1$	$- 1$	…

Man beachte dabei, dass $S_{n} = a_{n}$ ist, wenn $n$ gerade ist und sonst $S_{n} = a_{n + 1}$ . Daher ist ${limsup}_{n \to \infty} ({(- 1)}^{n} + \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} ({(- 1)}^{2 n} + \frac{1}{2 n}) = 1$ . Weiters ist wegen $\lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = - 1$ das Infimum $I_{n} = - 1$ für alle $n \in ℕ$ (wieso?), womit ${liminf}_{n \to \infty} ({(- 1)}^{n} + \frac{1}{n}) = - 1$ .

$PIC$

Satz 6.11 (Eigenschaften des Limes superior).

Für eine reelle, beschränkte Folge ${(a_{n})}_{n}$ erfüllt der Limes superior ${limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ die folgenden Eigenschaften:

•

Für alle

𝜀 > 0

gibt es nur endlich viele Folgenglieder

a_{n}

mit

a_{n} > {limsup}_{n \to \infty} a_{n} + 𝜀

•

Für alle

𝜀 > 0

gibt es unendlich viele Folgenglieder

a_{n}

mit

a_{n} > {limsup}_{n \to \infty} a_{n} - 𝜀

Intuitiv bleibt die Folge also nicht lange weit über dem Limes superior und nähert sich immer wieder dem Limes superior. Wir empfehlen Ihnen zur Veranschaulichung die Aussagen des Satzes im Beispiel 6.10 direkt zu überprüfen und im Bild dazu zu veranschaulichen.

Beweis.

Zur ersten Aussage: Sei $𝜀 > 0$ und $S = {limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ . Da $S_{n} = \sup_{k \geq n} a_{k}$ gegen $S$ konvergiert für $n \to \infty$ , gibt es ein $N \in ℕ$ , so dass $S_{N} < S + 𝜀$ . Damit ist $a_{k} \leq S_{N} < S + 𝜀$ für alle $k \geq N$ , was die erste Eigenschaft von $S = {limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ beweist.

Für die zweite Aussage sei $𝜀 > 0$ und wieder $S = {limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ . Sei $N \in ℕ$ . Dann gilt $S_{N} \geq S = \inf_{n \geq 1} S_{n}$ . Nach Definition von $S_{N} = \sup_{k \geq N} a_{k}$ und Satz 2.59 existiert ein $k \geq N$ mit $a_{k} > S_{N} - 𝜀 \geq S - 𝜀$ . Da $N \in ℕ$ beliebig war, beweist dies die zweite Eigenschaft des Limes superior.

■

Übung 6.12 (Charakterisierung des Limes Superior).

Formulieren Sie beide Aussagen von Satz 6.11 in Prädikatenlogik.

Zeigen Sie auch, dass die beiden Eigenschaften in Satz 6.11 den Limes superior einer beschränkten, reellen Folge eindeutig charakterisieren.

Hinweis.

Die beiden Aussagen in Satz 6.11 haben in Prädikantenlogik die Form:

\begin{array}{l} \forall 𝜀 > 0 \exists N \in ℕ \forall n \geq N : a_{n} < \underset{n \to \infty}{limsup} a_{n} + 𝜀 \\ \forall 𝜀 > 0 \forall N \in ℕ \exists n \geq N : a_{n} > \underset{n \to \infty}{limsup} a_{n} - 𝜀 \end{array}

Der Limes Inferior hat zu dem Limes Superior analoge Eigenschaften (siehe Übung 6.13).

Übung 6.13 (Limes superior und Limes inferior).

Sei ${(a_{n})}_{n}$ eine beschränkte reelle Folge.

(i): Beweisen Sie $\begin{array}{l} \underset{n \to \infty}{limsup} (- a_{n}) = - \underset{n \to \infty}{liminf} a_{n} . \end{array}$
(ii): Verwenden Sie diese Gleichheit, um eine analoge Version von Satz 6.11 für den Limes inferior zu formulieren und zu beweisen.
(iii): Zeigen Sie ${liminf}_{n \to \infty} a_{n} \leq {limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ .
(iv): Zeigen Sie, dass der Limes superior als Abbildung definiert auf dem Unterraum der beschränkten Folgen in $ℝ^{ℕ}$ mit Zielraum $ℝ$ nicht linear ist. Genauer: Verifizieren Sie, dass sich der Limes superior weder unter Addition noch unter skalarer Multiplikation geeignet verhält.

Korollar 6.14 (Charakterisierung der Konvergenz).

Für eine reelle, beschränkte Folge ${(a_{n})}_{n}$ gilt ${liminf}_{n \to \infty} a_{n} = {limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ genau dann wenn ${(a_{n})}_{n}$ konvergent ist.

Beweis.

Angenommen $A = {liminf}_{n \to \infty} a_{n} = {limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ und $𝜀 > 0$ . Dann existiert nach Satz 6.11 ein $N$ so dass $a_{n} \leq A + 𝜀 ∕ 2$ für alle $n \geq N$ (auf Grund der Eigenschaften des Limes Superior) und $a_{n} \geq A - 𝜀 ∕ 2$ für alle $n \geq N$ (auf Grund der Eigenschaften des Limes Inferior). Zusammen erhalten wir $| a_{n} - A | < 𝜀$ für alle $n \geq N$ , was zu beweisen war.

Wir nehmen nun an, dass $A = \lim_{n \to \infty} a_{n}$ existiert. Sei $𝜀 > 0$ . Dann existiert ein $N$ so dass $A - 𝜀 < a_{n} < A + 𝜀$ für alle $n \geq N$ . Aus $I_{n} = \inf {a_{k} ∣ k \geq n}$ und $S_{n} = \sup {a_{k} ∣ k \geq n}$ folgt nun

\begin{array}{l} A - 𝜀 \leq I_{N} \leq I_{n} \leq S_{n} \leq S_{N} \leq A + 𝜀 \end{array}

für alle $n \geq N$ , und daher

\begin{array}{l} A - 𝜀 \leq \underset{n \to \infty}{liminf} a_{n} \leq \underset{n \to \infty}{limsup} a_{n} \leq A + 𝜀 . \end{array}

Da dies für alle $𝜀 > 0$ gilt, folgt daraus $A = {liminf}_{n \to \infty} a_{n} = {limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ .

■

6.1.3 Konvergente Teilfolgen

Wir betrachten wiederum eine beschränkte, reelle Folge ${(a_{n})}_{n}$ und wollen die Konvergenz von Teilfolgen von ${(a_{n})}_{n}$ untersuchen.

Satz 6.15 (Konvergenz von Teilfolgen).

Für jede konvergente Teilfolge ${(a_{n_{k}})}_{k}$ einer beschränkten, reellen Folge ${(a_{n})}_{n}$ gilt

\begin{array}{l} \lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} \in [\underset{n \to \infty}{liminf} a_{n}, \underset{n \to \infty}{limsup} a_{n}] . \end{array}

Des Weiteren existiert eine konvergente Teilfolge ${(a_{n_{k}})}_{k}$ mit $\lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} = {limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ und eine konvergente Teilfolge ${(a_{m_{k}})}_{k}$ mit $\lim_{k \to \infty} a_{m_{k}} = {liminf}_{n \to \infty} a_{n}$ .

Betrachtet man die Folge ${(a_{n})}_{n}$ mit $a_{n} = {(- 1)}^{n}$ für $n \in ℕ$ , so erfüllt beispielsweise die Teilfolge ${(a_{2 k})}_{k}$ , dass $\lim_{k \to \infty} a_{2 k} = {limsup}_{n \to \infty} a_{n} = 1$ , und die Teilfolge ${(a_{2 k + 1})}_{k}$ , dass $\lim_{k \to \infty} a_{2 k + 1} = {liminf}_{n \to \infty} a_{n} = - 1$ , wie wir schon gesehen haben.

Beweis von Satz 6.15.

Sei ${(a_{n_{k}})}_{k}$ eine konvergente Teilfolge von ${(a_{n})}_{n}$ , $I = {liminf}_{n \to \infty} a_{n}$ , $S = {limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ und $𝜀 > 0$ . Dann gibt es nach der ersten Eigenschaft in Satz 6.11 ein $N \in ℕ$ , so dass

\begin{align} a_{n} \leq S + 𝜀 & (6.1) \end{align}

für alle $n \geq N$ . Wenn nötig können wir $N$ noch grösser wählen, so dass ebenso gilt

\begin{align} a_{n} \geq I - 𝜀 & (6.2) \end{align}

für alle $n \geq N$ (siehe auch Übung 6.13). Insbesondere gelten (6.1) und (6.2) auch für $a_{n_{k}}$ und genügend grosse $k$ (zum Beispiel $k \geq N$ , da dann $n_{k} \geq k \geq N$ ). Für den Limes der Folge ${(a_{n_{k}})}_{k}$ ergibt sich daraus

\begin{array}{l} I - 𝜀 \leq \lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} \leq S + 𝜀 . \end{array}

(siehe Proposition 6.1 und Lemma 5.25). Da $𝜀 > 0$ beliebig war und $\lim_{k \to \infty} a_{n_{k}}$ nicht von $𝜀$ abhängt, ergibt sich daraus $I \leq \lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} \leq S$ , wie im Satz behauptet wurde.

Wir wollen nun eine konvergente Teilfolge von ${(a_{n})}_{n}$ mit Grenzwert ${limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ finden. In anderen Worten wollen wir also zeigen, dass ${limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ ein Häufungspunkt der Folge ${(a_{n})}_{n}$ ist. Wir bedienen uns dabei der zweiten äquivalenten Bedingung in Proposition 5.42. Sei also $𝜀 > 0$ und $N \in ℕ$ . Dann existiert ein $M \geq N$ mit $S \leq S_{M} < S + 𝜀$ , da

\begin{array}{l} S = \lim_{n \to \infty} S_{n} = \inf {S_{n} ∣ n \in ℕ} . \end{array}

Auf Grund der Definition des Supremums existiert damit ein $n \geq M \geq N$ mit

\begin{array}{l} S - 𝜀 \leq S_{M} - 𝜀 < a_{n} < S_{M} < S + 𝜀 . \end{array}

Der Beweis der Existenz einer Teilfolge mit Grenzwert ${liminf}_{n \to \infty} a_{n}$ ist analog.

■

Wir wollen noch einen zweiten Beweis der Existenz von konvergenten Teilfolgen unter Verwendung des Intervallschachtelungsprinzips andeuten. Sei ${(a_{n})}_{n}$ eine reelle, beschränkte Folge und $c_{1}, d_{1} \in ℝ$ , so dass $c_{1} \leq a_{n} \leq d_{1}$ für alle $n \in ℕ$ . Wir definieren $n_{1} = 1$ . Als nächsten Schritt teilen wir das Intervall $[c_{1}, d_{1}]$ in zwei Hälften

\begin{array}{l} [c_{1}, d_{1}] = [c_{1}, \frac{c_{1} + d_{1}}{2}] \cup [\frac{c_{1} + d_{1}}{2}, d_{1}] \end{array}

auf und erkennen, dass zumindest eine der beiden Hälften unendlich viele Folgenglieder enthalten muss. Wir definieren $c_{2} = c_{1}$ , $d_{2} = \frac{c_{1} + d_{1}}{2}$ , falls $a_{n} \in [c_{1}, \frac{c_{1} + d_{1}}{2}]$ für unendlich viele $n \in ℕ$ und ansonsten $c_{2} = \frac{c_{1} + d_{1}}{2}$ , $d_{2} = d_{1}$ . Insbesondere existiert ein $n_{2} > n_{1}$ mit $a_{n_{2}} \in [c_{2}, d_{2}]$ . Wiederum teilen wir $[c_{2}, d_{2}]$ in zwei Hälften auf und wählen eine Hälfte $[c_{3}, d_{3}]$ aus, die unendlich viele Folgenglieder $a_{n}$ enthält. Auch wählen wir $n_{3} > n_{2}$ mit $a_{n_{3}} \in [c_{3}, d_{3}]$ .

Iterieren wir dieses Argument, so erhalten wir zwei weitere Folgen ${(c_{k})}_{k}, {(d_{k})}_{k}$ und eine Teilfolge ${(a_{n_{k}})}_{k}$ von ${(a_{n})}_{n}$ , so dass

\begin{array}{l} c_{k} \leq a_{n_{k}} \leq d_{k}, d_{k} - c_{k} = \frac{d_{1} - c_{1}}{2^{k - 1}}, [c_{k + 1}, d_{k + 1}] \subseteq [c_{k}, d_{k}] \end{array}

für alle $k \in ℕ$ . Nach Satz 2.77 (wo ebenso wie in Satz 6.15 die Existenz von Supremum und Infimum verwendet wurde) gibt es ein $A \in ⋂_{k \in ℕ} [c_{k}, d_{k}]$ . Aus $c_{k} \leq A \leq d_{k}$ und $c_{k} \leq a_{n_{k}} \leq d_{k}$ folgt

\begin{array}{l} A - \frac{d_{1} - c_{1}}{2^{k - 1}} \leq a_{n_{k}} \leq A + \frac{d_{1} - c_{1}}{2^{k - 1}} \end{array}

für alle $k \in ℕ$ . Nach Lemma 6.2 und Beispiel 5.34 gilt nun $\lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} = A$ . Dieses Argument beweist die Existenz von konvergenten Teilfolgen, ohne diese aber in Zusammenhang mit dem Limes Superior und dem Limes Inferior wie in Satz 6.15 zu bringen.

Für eine beschränkte, reelle Folge ${(a_{n})}_{n}$ liegen nach Satz 6.15 alle Häufungspunkte zwischen ${liminf}_{n \to \infty} a_{n}$ und ${limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ und diese beiden Punkte sind Häufungspunkte von ${(a_{n})}_{n}$ . Lässt man die Annahme der Beschränktheit fallen, so muss eine Folge nicht unbedingt Häufungspunkte besitzen. Ein Beispiel einer Folge ohne Häufungspunkte ist ${(n)}_{n}$ .

Wir möchten auch anmerken, dass die Menge der Häufungspunkte einer Folge ${(a_{n})}_{n}$ in $ℝ$ nicht gleich den Häufungspunkten der Teilmenge ${a_{n} ∣ n \in ℕ}$ (siehe Definition 2.73) sein muss. Beispielsweise hat die Folge ${(a_{n})}_{n}$ gegeben durch $a_{n} = {(- 1)}^{n}$ für $n \in ℕ$ die beiden Häufungspunkte $- 1$ und $1$ und die Menge ${- 1, 1}$ hat aber keine Häufungspunkte.

Übung 6.16 (Häufungspunkte).

(i): Finden Sie eine Folge ${(a_{n})}_{n}$ , so dass jede reelle Zahl $A$ ein Häufungspunkt der Folge ${(a_{n})}_{n}$ ist.
(ii): Sei ${(a_{n})}_{n}$ eine Folge in $ℝ$ . Zeigen Sie, dass ein Häufungspunkt der Menge ${a_{n} ∣ n \in ℕ}$ auch ein Häufungspunkt der Folge ${(a_{n})}_{n}$ ist.
(iii): Sei ${(a_{n})}_{n}$ eine Folge in $ℝ$ und nehmen Sie an, dass $n \in ℕ \mapsto a_{n}$ injektiv ist. Zeigen Sie, dass ein Häufungspunkt der Folge ${(a_{n})}_{n}$ in diesem Fall auch ein Häufungspunkt der Menge ${a_{n} ∣ n \in ℕ}$ ist.

Hinweis für (i).

$ℚ$ ist abzählbar.

Übung 6.17 (Mischung von drei Folgen).

Seien ${(a_{n})}_{n}, {(b_{n})}_{n}, {(c_{n})}_{n}$ konvergente reelle Folgen und seien $A = \lim_{n \to \infty} a_{n}$ , $B = \lim_{n \to \infty} b_{n}$ , $C = \lim_{n \to \infty} c_{n}$ . Betrachten Sie die reelle Folge ${(x_{n})}_{n}$ definiert durch

\begin{array}{l} x_{n} = {\begin{matrix} a_{n} & falls 3 | n \\ b_{n} & falls 3 | n - 1 \\ c_{n} & falls 3 | n - 2 \end{matrix} \end{array}

für $n \in ℕ$ und berechnen Sie ${limsup}_{n \to \infty} x_{n}$ , ${liminf}_{n \to \infty} x_{n}$ und die Menge der Häufungspunkte von ${(x_{n})}_{n}$ .

Zu jeder natürlichen Zahl $K$ lässt sich eine Folge konstruieren, die $K$ Häufungspunkte hat. Die Folge ${(a_{n})}_{n}$ definiert für $n \in ℕ$ durch $a_{n} = j$ falls $K | n - j$ und $j \in {1, \dots, K}$ ist ein Beispiel dafür. Es lassen sich auch Folgen mit abzählbar vielen Häufungspunkten konstruieren. In folgender Übung zeigt sich, dass auch Folgen existieren, deren Häufungspunkte ein ganzes abgeschlossenes Intervall bilden.

Übung 6.18 (Folgen mit vielen Häufungspunkten).

(i): Angenommen ${(a_{n})}_{n}$ ist eine beschränkte reelle Folge mit $\lim_{n \to \infty} (a_{n + 1} - a_{n}) = 0$ . Sei $I = {liminf}_{n \to \infty} a_{n}$ und $S = {limsup}_{n \to \infty} a_{n}$ . Dann ist die Menge der Häufungspunkte gegeben durch $[I, S]$ .
(ii): Konstruieren Sie ein Beispiel einer Folge wie in a) mit $[I, S] = [0, 1]$

Hinweis für (i)): Für jedes $L \in (I, S)$ , $𝜀 > 0$ und $N \in ℕ$ mit $| a_{k + 1} - a_{k} | < 𝜀$ für alle $k \geq N$ gibt es ein $n \geq N$ mit $a_{n} > S - 𝜀 > L - 𝜀$ . Zeigen Sie, dass es auch ein $n \geq N$ gibt mit $a_{n} \in (L - 𝜀, L + 𝜀)$ .

Hinweis für (ii)): Setzen Sie $a_{1} = 0$ , $a_{2} = 1$ , $a_{3} = 1$ , $a_{4} = \frac{1}{2}$ , $a_{5} = 0$ , $a_{6} = 0$ , $a_{7} = \frac{1}{3}$ , $a_{8} = \frac{2}{3}$ , $a_{9} = 1$ , $a_{10} = 1$ , $a_{11} = \frac{3}{4}$ , …geeignet zu einer Folge fort.

Wir wollen noch einen wichtigen topologischen Begriff einführen, welchen wir im zweiten Semester genauer untersuchen wollen. Eine Teilmenge $K \subseteq ℝ$ heisst folgenkompakt falls jede Folge in $K$ eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $K$ besitzt. Wir bemerken, dass für $a < b$ in $ℝ$ das kompakte Intervall $[a, b]$ tatsächlich folgenkompakt ist. Denn nach Satz 6.15 hat jede Folge in $[a, b]$ eine konvergente Teilfolge, für welche wegen Proposition 6.1 der Grenzwert wieder in $[a, b]$ liegt.

6.1.4 Uneigentliche Grenzwerte

Folgende Erweiterung des Konvergenzbegriffs ist für uns auch wichtig.

Definition 6.19 (Uneigentliche Grenzwerte).

Eine reelle Folge ${(a_{n})}_{n}$ divergiert gegen $\infty$ , wenn für jedes $𝜀 > 0$ ein $N \in ℕ$ existiert, so dass $a_{n} \geq 𝜀^{- 1}$ gilt für alle $n \geq N$ . In diesem Fall schreiben wir $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ . Genauso sagen wir, dass ${(a_{n})}_{n}$ gegen $- \infty$ divergiert, falls für jedes $𝜀 > 0$ ein $N \in ℕ$ existiert, so dass $a_{n} \leq - 𝜀^{- 1}$ für alle $n \geq N$ . In letzterem Fall schreiben wir $\lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$ . In beiden Fällen spricht man auch von uneigentlicher Konvergenz und uneigentlichen Grenzwerten.

Man beachte, dass eine divergente Folge (oder auch eine unbeschränkte Folge) nicht gegen $\infty$ oder $- \infty$ divergieren muss. Zum Beispiel ist die Folge ${(a_{n})}_{n}$ definiert durch

\begin{array}{l} a_{n} = {\begin{matrix} 1 & falls n gerade \\ n & falls n ungerade \end{matrix} \end{array}

divergent, aber sie divergiert nicht gegen $\infty$ . Es gilt jedoch folgende Aussage.

Übung 6.20 (Teilfolgen von unbeschränkten Folgen).

Sei ${(a_{n})}_{n}$ eine unbeschränkte, reelle Folge. Zeigen Sie, dass eine Teilfolge existiert, die gegen $\infty$ oder $- \infty$ divergiert.

Wir können auch uneigentliche Grenzwerte verwenden, um den Limes superior und den Limes inferior für unbeschränkte Folgen zu definieren. In der Tat, falls die reellwertige Folge ${(a_{n})}_{n}$ nicht von oben beschränkt ist, dann gilt $\sup_{k \geq n} a_{k} = \infty$ für alle $n \in ℕ$ (siehe Abschnitt 2.5.3) und wir setzen ${limsup}_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ . Falls ${(a_{n})}_{n}$ zwar von oben, aber nicht von unten beschränkt ist, dann setzen wir ${limsup}_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} (\sup_{k \geq n} a_{k})$ (wobei aber $\sup_{k \geq n} a_{k}$ möglicherweise gegen $- \infty$ divergiert). Diese Erweiterungen der Definitionen gelten analog für den Limes inferior.

Übung 6.21 (Sandwich für uneigentlich Grenzwerte).

Beweisen Sie folgende uneigentliche Sandwich-Lemmata für zwei reelle Folgen ${(a_{n})}_{n}$ und ${(b_{n})}_{n}$ mit $a_{n} \leq b_{n}$ für alle $n \in ℕ$ :

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty & \Rightarrow \lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty \\ \lim_{n \to \infty} b_{n} = - \infty & \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty . \end{array}

6.1 Reelle Folgen

Proposition 6.1 (Grenzwerte und Ungleichungen).

Lemma 6.2 (Sandwich).

Wichtige Übung 6.3.

Beispiel 6.4 (Anwendungen von Lemma 6.2).

6.1.1 Monotone Folgen

Satz 6.5 (Konvergenz von monotonen Folgen).

Übung 6.6 (Eine rekursiv definierte konvergente Folge).

Übung 6.7 (Gegengerichtete Folgen).

6.1.2 Limes superior und Limes inferior

Definition 6.8 (Limes superior).

Definition 6.9 (Limes inferior).

Beispiel 6.10.

Satz 6.11 (Eigenschaften des Limes superior).

Übung 6.12 (Charakterisierung des Limes Superior).

Übung 6.13 (Limes superior und Limes inferior).

Korollar 6.14 (Charakterisierung der Konvergenz).

6.1.3 Konvergente Teilfolgen

Satz 6.15 (Konvergenz von Teilfolgen).

Übung 6.16 (Häufungspunkte).

Übung 6.17 (Mischung von drei Folgen).

Übung 6.18 (Folgen mit vielen Häufungspunkten).

6.1.4 Uneigentliche Grenzwerte

Definition 6.19 (Uneigentliche Grenzwerte).

Übung 6.20 (Teilfolgen von unbeschränkten Folgen).

Übung 6.21 (Sandwich für uneigentlich Grenzwerte).

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