7.7 Integration von Potenzreihen
Wir haben in den Abschnitten 7.5 und 7.6 einige sehr wichtige, durch Potenzreihen definierte Funktionen gesehen. Daher drängt sich die Frage auf, ob wir das Riemann-Integral über diese Funktionen berechnen können. Die positive Antwort ist eine direkte Anwendung der Resultate in Abschnitt 7.3.
Satz 7.85 (Integration von Potenzreihen).
Sei f(x)=∑∞n=0cnxnf(x)=∑∞n=0cnxn eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten (cn)n∈ℕ0 und Konvergenzradius R. Dann definiert F(x)=∑∞n=0cnn+1xn+1 eine Potenzreihe mit demselben Konvergenzradius R und es gilt
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)für alle a,b∈(−R,R).
Man spricht in diesem Zusammenhang auch von gliedweiser Integration der Potenzreihe, da wir einfach jeden Summanden getrennt integrieren und damit das richtige Ergebnis erhalten.
Beweis.
Wir beweisen zuerst die Behauptung über den Konvergenzradius R. Sei S der Konvergenzradius der Reihe ∑∞ℓ=1cℓ−1ℓxℓ=∑∞n=0cnn+1xn+1. Falls ∑∞n=0cnxn absolut konvergiert, dann konvergiert ∑∞n=0cnn+1xn+1 ebenfalls absolut, da
|cnn+1xn+1|≤|x||cnxn|für alle n∈ℕ0. Dies beweist S≥R auf Grund der Eigenschaften des Konvergenzradiuses in Satz 7.56.
Falls umgekehrt ∑∞n=0cnn+1xn+1 konvergiert, dann gibt es ein M>0 mit |cnn+1xn|≤M für alle n∈ℕ0. Für y∈(−x,x) ist dann
|cnyn|=|cnn+1xn|(n+1)|yx|n≤M(n+1)|yx|nund daher
limsupn→∞n√|cn|yn≤limn→∞n√M(n+1)|yx|n=|yx|<1.Aus dem Wurzelkriterium (Korollar 7.30) folgt daher die Konvergenz von ∑∞n=0cnyn. Dies beweist die umgekehrte Ungleichung S≤R (siehe wiederum Satz 7.56). Daher gilt S=R und der erste Teil des Satzes ist bewiesen.
Seien nun a,b∈(−R,R) mit a<b. Wir betrachten die Polynome fN(x)=∑Nn=0cnxn und verwenden Satz 4.37, um
∫bafN(x)dx=∑Nn=0cnn+1bn+1−∑Nn=0cnn+1an+1zu erhalten. Auf Grund von Satz 7.56 konvergiert die Funktionenfolge fN(x) der Partialsummen der Potenzreihe gleichmässig gegen f(x) auf [a,b]. Lässt man nun N gegen Unendlich gehen, ergibt sich unter Verwendung von Satz 7.49, dass
∫baf(x)dx=limN→∞∫bafN(x)dx=F(b)−F(a).Wenden wir obigen Satz auf die uns mittlerweile wohlbekannten Potenzreihen an, erhalten wir folgende Formeln.
Korollar 7.86.
Für alle a,b∈ℝ gelten die Integrationsformeln
∫baexp(x)dx=[exp(x)]ba=exp(b)−exp(a)∫basin(x)dx=[−cos(x)]ba=−cos(b)+cos(a)∫bacos(x)dx=[sin(x)]ba=sin(b)−sin(a).Übung 7.87.
Beweisen Sie die letzten beiden Formeln in Korollar 7.86.
Applet 7.88 (Integration von transzendenten Funktionen).
Wir stellen obige Integrationsgesetze (und jene vom nächsten Unterabschnitt) grafisch dar.
7.7.1 Die hyperbolischen Funktionen
In Analogie zu den Winkelfunktionen sind manchmal auch folgende Funktionen, die in engem Zusammenhang mit der Hyperbel {(x,y)∈ℝ2∣x2−y2=1} stehen, nützlich. Wir definieren den Sinus Hyperbolicus durch
sinh(z)=ez−e−z2=z+z33!+z55!+…=∑∞k=01(2k+1)!z2k+1für alle z∈ℂ, den Kosinus Hyperbolicus durch
cosh(z)=ez+e−z2=1+z22!+z44!+…=∑∞k=01(2k)!z2kfür alle z∈ℂ und den Tangens Hyperbolicus durch
tanh(z)=sinh(z)cosh(z)=ez−e−zez+e−zfür alle z∈ℂ.
Die Funktionen sinh und tanh sind ungerade und cosh ist gerade. Es gelten die Additionsformeln
sinh(z+w)=sinh(z)cosh(w)+cosh(z)sinh(w),cosh(z+w)=cosh(z)cosh(w)+sinh(z)sinh(w)für alle z,w∈ℂ und weiters
cosh2(z)−sinh2(z)=1,cosh(z)+sinh(z)=ezfür alle z∈ℂ.
Auf Grund der Definitionen von Sinus und Kosinus Hyperbolicus und Korollar 7.86 ergibt sich nun
∫basinh(x)dx=[cosh(x)]ba=cosh(b)−cosh(a)∫bacosh(x)dx=[sinh(x)]ba=sinh(b)−sinh(a).Übung 7.89.
Beweisen Sie ausgehend von den Definitionen des hyperbolischen Sinus und des hyperbolischen Kosinus die obigen Formeln.