Integration von Potenzreihen – Analysis I (Kap. 1-9)

7.7 Integration von Potenzreihen

Wir haben in den Abschnitten 7.5 und 7.6 einige sehr wichtige, durch Potenzreihen definierte Funktionen gesehen. Daher drängt sich die Frage auf, ob wir das Riemann-Integral über diese Funktionen berechnen können. Die positive Antwort ist eine direkte Anwendung der Resultate in Abschnitt 7.3.

Satz 7.85 (Integration von Potenzreihen).

Sei $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten ${(c_{n})}_{n \in ℕ_{0}}$ und Konvergenzradius $R$ . Dann definiert $F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n + 1} x^{n + 1}$ eine Potenzreihe mit demselben Konvergenzradius $R$ und es gilt

$\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) \end{array}$

für alle $a, b \in (- R, R)$ .

Man spricht in diesem Zusammenhang auch von gliedweiser Integration der Potenzreihe, da wir einfach jeden Summanden getrennt integrieren und damit das richtige Ergebnis erhalten.

Beweis.

Wir beweisen zuerst die Behauptung über den Konvergenzradius $R$ . Sei $S$ der Konvergenzradius der Reihe $\sum_{ℓ = 1}^{\infty} \frac{c_{ℓ - 1}}{ℓ} x^{ℓ} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n + 1} x^{n + 1}$ . Falls $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ absolut konvergiert, dann konvergiert $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n + 1} x^{n + 1}$ ebenfalls absolut, da

$\begin{array}{l} | \frac{c_{n}}{n + 1} x^{n + 1} | \leq | x | | c_{n} x^{n} | \end{array}$

für alle $n \in ℕ_{0}$ . Dies beweist $S \geq R$ auf Grund der Eigenschaften des Konvergenzradiuses in Satz 7.56.

Falls umgekehrt $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{c_{n}}{n + 1} x^{n + 1}$ konvergiert, dann gibt es ein $M > 0$ mit $| \frac{c_{n}}{n + 1} x^{n} | \leq M$ für alle $n \in ℕ_{0}$ . Für $y \in (- x, x)$ ist dann

$\begin{array}{l} | c_{n} y^{n} | = | \frac{c_{n}}{n + 1} x^{n} | (n + 1) {| \frac{y}{x} |}^{n} \leq M (n + 1) {| \frac{y}{x} |}^{n} \end{array}$

und daher

$\begin{array}{l} \underset{n \to \infty}{limsup} \sqrt[n]{| c_{n} | y^{n}} \leq \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{M (n + 1) {| \frac{y}{x} |}^{n}} = | \frac{y}{x} | < 1 . \end{array}$

Aus dem Wurzelkriterium (Korollar 7.30) folgt daher die Konvergenz von $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} y^{n}$ . Dies beweist die umgekehrte Ungleichung $S \leq R$ (siehe wiederum Satz 7.56). Daher gilt $S = R$ und der erste Teil des Satzes ist bewiesen.

Seien nun $a, b \in (- R, R)$ mit $a < b$ . Wir betrachten die Polynome $f_{N} (x) = \sum_{n = 0}^{N} c_{n} x^{n}$ und verwenden Satz 4.37, um

$\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f_{N} (x) d x = \sum_{n = 0}^{N} \frac{c_{n}}{n + 1} b^{n + 1} - \sum_{n = 0}^{N} \frac{c_{n}}{n + 1} a^{n + 1} \end{array}$

zu erhalten. Auf Grund von Satz 7.56 konvergiert die Funktionenfolge $f_{N} (x)$ der Partialsummen der Potenzreihe gleichmässig gegen $f (x)$ auf $[a, b]$ . Lässt man nun $N$ gegen Unendlich gehen, ergibt sich unter Verwendung von Satz 7.49, dass

$\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f (x) d x = \lim_{N \to \infty} \int_{a}^{b} f_{N} (x) d x = F (b) - F (a) . \end{array}$

■

Wenden wir obigen Satz auf die uns mittlerweile wohlbekannten Potenzreihen an, erhalten wir folgende Formeln.

Korollar 7.86.

Für alle $a, b \in ℝ$ gelten die Integrationsformeln

$\begin{array}{l} \int_{a}^{b} \exp (x) d x & = {[\exp (x)]}_{a}^{b} = \exp (b) - \exp (a) \\ \int_{a}^{b} \sin (x) d x & = {[- \cos (x)]}_{a}^{b} = - \cos (b) + \cos (a) \\ \int_{a}^{b} \cos (x) d x & = {[\sin (x)]}_{a}^{b} = \sin (b) - \sin (a) . \end{array}$

Beweis.

Wir verwenden Satz 7.85 und erhalten zum Beispiel

$\begin{array}{l} \int_{a}^{b} \exp (x) d x & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\frac{1}{n!}}{n + 1} b^{n + 1} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\frac{1}{n!}}{n + 1} a^{n + 1} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(n + 1)!} b^{n + 1} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(n + 1)!} a^{n + 1} = \exp (b) - \exp (a) . \end{array}$

Die Beweise der anderen beiden Formeln sind ähnlich (siehe Übung 7.87).

■

Übung 7.87.

Beweisen Sie die letzten beiden Formeln in Korollar 7.86.

Applet 7.88 (Integration von transzendenten Funktionen).

Wir stellen obige Integrationsgesetze (und jene vom nächsten Unterabschnitt) grafisch dar.

7.7.1 Die hyperbolischen Funktionen

In Analogie zu den Winkelfunktionen sind manchmal auch folgende Funktionen, die in engem Zusammenhang mit der Hyperbel ${(x, y) \in ℝ^{2} ∣ x^{2} - y^{2} = 1}$ stehen, nützlich. Wir definieren den Sinus Hyperbolicus durch

$\begin{array}{l} \sinh (z) = \frac{e^{z} - e^{- z}}{2} = z + \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{5}}{5!} + \dots = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 k + 1)!} z^{2 k + 1} \end{array}$

für alle $z \in ℂ$ , den Kosinus Hyperbolicus durch

$\begin{array}{l} \cosh (z) = \frac{e^{z} + e^{- z}}{2} = 1 + \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{4}}{4!} + \dots = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 k)!} z^{2 k} \end{array}$

für alle $z \in ℂ$ und den Tangens Hyperbolicus durch

$\begin{array}{l} \tanh (z) = \frac{\sinh (z)}{\cosh (z)} = \frac{e^{z} - e^{- z}}{e^{z} + e^{- z}} \end{array}$

für alle $z \in ℂ$ .

Die Funktionen $\sinh$ und $\tanh$ sind ungerade und $\cosh$ ist gerade. Es gelten die Additionsformeln

$\begin{array}{l} \sinh (z + w) & = \sinh (z) \cosh (w) + \cosh (z) \sinh (w), \\ \cosh (z + w) & = \cosh (z) \cosh (w) + \sinh (z) \sinh (w) \end{array}$

für alle $z, w \in ℂ$ und weiters

$\begin{array}{l} \cosh^{2} (z) - \sinh^{2} (z) = 1, \\ \cosh (z) + \sinh (z) = e^{z} \end{array}$

für alle $z \in ℂ$ .

Auf Grund der Definitionen von Sinus und Kosinus Hyperbolicus und Korollar 7.86 ergibt sich nun

$\begin{array}{l} \int_{a}^{b} \sinh (x) d x & = {[\cosh (x)]}_{a}^{b} = \cosh (b) - \cosh (a) \\ \int_{a}^{b} \cosh (x) d x & = {[\sinh (x)]}_{a}^{b} = \sinh (b) - \sinh (a) . \end{array}$

Übung 7.89.

Beweisen Sie ausgehend von den Definitionen des hyperbolischen Sinus und des hyperbolischen Kosinus die obigen Formeln.

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