7.6 Trigonometrische Funktionen

Wir definieren die Sinusfunktion bei $z\in ℂ$ durch

$$\begin{array}{lll}\hfill \sin \left(z\right)=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}& & \hfill \text{(7.11)}\end{array}$$

und die Kosinusfunktion bei $z\in ℂ$ durch

$$\begin{array}{lll}\hfill \cos \left(z\right)=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^n}{\left(2n\right)!}{z}^{2n}.& & \hfill \text{(7.12)}\end{array}$$

Wir sagen, dass eine Funktion $f$ auf $ℂ$ gerade ist, wenn $f(-z)=f\left(z\right)$ für alle $z\in ℂ$ und ungerade ist, wenn $f(-z)=-f\left(z\right)$ für alle $z\in ℂ$. (Diese Begriffe werden analog für Funktionen mit Definitionsbereich $ℝ$ oder Intervallen der Form $[-a,a]$ für $a>0$ verwendet.)

Eine kurze Rechnung (zum Beispiel wie schon in Abschnitt 7.5.1 unter Verwendung des Quotientenkriteriums) zeigt, dass die Reihen (7.11)–(7.12) für alle $z\in ℂ$ konvergieren. Nach Satz 7.56 haben diese Potenzreihen daher unendlichen Konvergenzradius, und Satz 7.56 besagt nun, dass $\sin$ und $\cos$ auf ganz $ℂ$ definiert und stetig sind. Für die Partialsummen $s_n\left(z\right)$ der Reihe in (7.11) gilt $s_n(-z)=-s_n\left(z\right)$ für alle $z\in ℂ$, und daher ist $\sin$ eine ungerade Funktion. Analog ergibt sich, dass $\cos$ eine gerade Funktion definiert. Da die Koeffizienten der Potenzreihen $\sin$ und $\cos$ in $ℝ$ liegen, gilt $\sin \left(ℝ\right)\subseteq ℝ$ und $\cos \left(ℝ\right)\subseteq ℝ$.

Wir beweisen nun den Zusammenhang zur Exponentialabbildung. Für $z\in ℂ$ gilt

$$\begin{array}{lll}\hfill e^{iz}=1+iz-\frac{z^2}{2!}-i\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+i\frac{z^5}{5!}-\dots =\cos \left(z\right)+i\sin \left(z\right)& & \hfill \end{array}$$

und analog

$$\begin{array}{lll}\hfill e^{-iz}=\cos \left(z\right)-i\sin \left(z\right).& & \hfill \end{array}$$

für alle $z\in ℂ$. Lösen wir diese beiden Gleichungen nach $\sin \left(z\right)$ und $\cos \left(z\right)$ auf, so ergeben sich die Formeln im Satz.

7.6.1 Additionsformeln

Wir wollen nun für alle $z,w\in ℂ$ die trigonometrischen Additionsformeln in Satz 7.72 beweisen. Hierzu multiplizieren wir $e^{iz}$ und $e^{iw}$ und erhalten auf Grund der Additionsformel (7.9) für die Exponentialabbildung

$$\begin{array}{llll}\hfill e^{i(z+w)}& =\cos (z+w)+i\sin (z+w)=e^{iz}{e}^{iw}& \hfill & \\ \hfill & =(\cos (z)+i\sin (z\left)\right)(\cos (w)+i\sin (w\left)\right)& \hfill & \\ \hfill & =\cos \left(z\right)\cos \left(w\right)-\sin \left(z\right)\sin \left(w\right)& \hfill & \\ \hfill & +i(\sin (z)\cos (w)+\sin (w)\cos (z\left)\right)& \hfill & \end{array}$$

und ebenso

$$\begin{array}{llll}\hfill e^{-i(z+w)}& =\cos (z+w)-i\sin (z+w)=e^{-iz}{e}^{-iw}& \hfill & \\ \hfill & =(\cos (z)-i\sin (z\left)\right)(\cos (w)-i\sin (w\left)\right)& \hfill & \\ \hfill & =\cos \left(z\right)\cos \left(w\right)-\sin \left(z\right)\sin \left(w\right)& \hfill & \\ \hfill & -i(\sin (z)\cos (w)+\sin (w)\cos (z\left)\right).& \hfill & \end{array}$$

Auf Grund dieser beiden Gleichungen erhalten wir die Formeln (7.13)–(7.14). (Für $z,w\in ℝ$ würde die erste der beiden Gleichungen ausreichen indem wir Real- und Imaginärteile betrachten. Aber für $z,w\in ℂ$ erhalten wir zum Beispiel (7.14) durch Addition obiger Gleichungen.) Dies beendet den Beweis von Satz 7.72.

Für $z=w\in ℂ$ ergeben sich insbesondere die Winkelverdoppelungsformeln

$$\begin{array}{llll}\hfill \sin \left(2z\right)& =2\sin \left(z\right)\cos \left(z\right),& \hfill & \\ \hfill \cos \left(2z\right)& ={\cos }^2\left(z\right)-{\sin }^2\left(z\right),& \hfill & \end{array}$$

wobei wir die Notation ${\cos }^2\left(z\right)={(\cos (z\left)\right)}^2$ und ${\sin }^2\left(z\right)={(\sin (z\left)\right)}^2$ für $z\in ℂ$ verwendet haben und auch für andere Funktionen und andere Potenzen des Öfteren verwenden werden. Des Weiteren folgt für $w=-z$ aus (7.14) und der Tatsache, dass der Sinus ungerade und der Kosinus gerade ist, die Kreisgleichung für Sinus und Kosinus

$$\begin{array}{lll}\hfill 1={\cos }^2\left(z\right)+{\sin }^2\left(z\right)& & \hfill \end{array}$$

für alle $z\in ℂ$.

7.6.2 Die Kreiszahl

Wir können nun die Kreiszahl $\pi$ definieren.

Aus den Additionsformeln erhält man folgendes Korollar.

Insbesondere sind die Werte des Sinus und des Kosinus auf $ℝ$ durch die Werte auf dem Intervall $[0,\frac{\pi }{2}]$ eindeutig bestimmt (wieso?). Dieses Prinzip überträgt sich unter anderem auf die Nullstellen von Sinus und Kosinus.

7.6.3 Tangens und Cotangens

Wir definieren die Tangensfunktion $\tan$ durch

$$\begin{array}{lll}\hfill \tan \left(z\right)=\frac{\sin \left(z\right)}{\cos \left(z\right)}& & \hfill \end{array}$$

für alle $z\in ℂ$ mit $\cos \left(z\right)\ne 0$, was nach Übung 7.76 gerade alle $z\in ℂ\setminus (\pi \mathbb{Z}+\frac{\pi }{2})$ sind. Analog ist die Cotangensfunktion $\cot$ durch

$$\begin{array}{lll}\hfill \cot \left(z\right)=\frac{\cos \left(z\right)}{\sin \left(z\right)}& & \hfill \end{array}$$

für alle $z\in ℂ$ mit $\sin \left(z\right)\ne 0$ (oder äquivalent alle $z\in ℂ\setminus \pi \mathbb{Z}$ nach Übung 7.76) definiert.

7.6.4 Polarkoordinaten und Multiplikation auf den komplexen Zahlen

Die Beschreibung eines Punktes $z\in ℂ$ durch Polarkoordinaten besteht aus einem Radius $r\ge 0$ und einem „Winkel“ $𝜃\in ℝ$ mit

$$\begin{array}{lll}\hfill z=r{e}^{i𝜃}=r(\cos (𝜃)+i\sin (𝜃\left)\right).& & \hfill \end{array}$$

Wir bezeichnen hier den reellen Parameter $𝜃$ als Winkel, obwohl wir diesem noch keine geometrische Bedeutung formal zuweisen. Wir werden dies korrigieren, sobald wir die Definition der Bogenlänge einer Kurve kennen.

Ist eine derartige Darstellung von $z\in ℂ$ gegeben, so gilt $r=\left|r\right|=\left|z\right|$ womit $r$ den Abstand von $z$ zum Ursprung darstellt. Die Menge der Elemente mit Absolutbetrag Eins

$$\begin{array}{lll}\hfill {𝕊}^1=\left\{z\in ℂ\mid \left|z\right|=1\right\}=\left\{e^{i𝜃}\mid 𝜃\in ℝ\right\}& & \hfill \end{array}$$

wird als der Einheitskreis in $ℂ$ bezeichnet (wobei ${𝕊}^1$ auch für die $1$-dimensionale Sphäre steht).

In Polarkoordinaten lässt sich die Multiplikation auf $ℂ$ neu interpretieren. Sind $z=r{e}^{i𝜃}$ und $w=s{e}^{i\psi }$ in $ℂ$, dann ist $zw=rs{e}^{i(𝜃+\psi )}$. Multiplikation mit $z$ streckt also um den Faktor $r$ und rotiert um den Winkel $𝜃$, oder anders formuliert bei Multiplikation der Vektoren $z,w\in ℂ$ multiplizieren sich die Längen der Vektoren und addieren sich die Winkel. Diese geometrische Erklärung der Multiplikation hat in der Geschichte der komplexen Zahlen die komplexen Zahlen ausgehend von einem etwas mysteriösen rein algebraischem Objekt zu einem eigenständigen Zahlenbegriff verwandelt. Daraufhin hat dieser Zahlenbegriff schnell Einzug in die weitere Entwicklung der Mathematik gefunden. Wir verweisen hierfür auf einen weiteren BBC Podcast.

Darstellung der Abbildung $z\in ℂ\mapsto z^2\in ℂ$. Wir möchten illustrieren, wie sich die Abbildung $z\in ℂ\mapsto z^2\in ℂ$ auf Kreisen in der komplexen Ebene verhält. Dazu teilen wir die komplexe Ebene in die obere und die untere Halbebene auf und färben die Kreise (hier für Radien in $\left\{\frac{1}{2},1,2\right\}$) entsprechend ein.

Wir betrachten die beiden Hälften nun gesondert. Zusätzlich zu den bestehenden Halbkreisen zeichnen wir von Null ausgehende Strahlen zu verschiedenen Winkeln ein.

Die Abbildung $z\mapsto z^2$ öffnet nun obige Bilder, die an Fächern erinnern, in die eingezeichnete Richtung auf. Genauer werden die Radien quadriert (und liegen somit in $\left\{\frac{1}{4},1,4\right\}$) und die Winkel in die eingezeichnete Richtung verdoppelt. Das erhaltene Bild ist in beiden Fällen dasselbe; das Bild der gesamten Abbildung stellt sich also wie folgt dar. Insbesondere hat also jeder Punkt in ${ℂ}^{\times }$ genau zwei Quadratwurzeln.

Abgesehen von dieser geometrischen Interpretation der Multiplikation können Polarkoordinaten verwendet werden, um Nullstellen von Polynomen zu bestimmen. Dies trifft in einem gewissen Sinn auch für allgemeine Polynome im Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra zu, doch wollen wir hier zuerst nur folgende Spezialfälle betrachten.

7.6.5 Zwei Logarithmen auf der komplexen Zahlenebene

Wir erinnern daran, dass wir den reellen Logarithmus als die inverse Abbildung von der bijektiven Abbildung $\exp :ℝ\to {ℝ}_{>0}$ definierten. Wir wollen dies nun wiederholen und den Logarithmus für komplexe Zahlen definieren. Leider gibt es hier aber ein fundamentales Problem: die Exponentialabbildung ist auf der komplexen Zahlenebene ganz und gar nicht bijektiv, da beispielsweise $\exp (2n\pi i)=1$ für alle $n\in \mathbb{Z}$.

Aus diesem Grund müssen wir die Exponentialabbildung auf eine geeignete Teilmenge $D$ von $ℂ$ einschränken, so dass die eingeschränkte Abbildung $\exp {|}_D:D\to {ℂ}^{\times }$ bijektiv ist. Dies kann durch viele verschiedene Teilmengen erreicht werden. Wir wollen hier zwei Möglichkeiten ansprechen.

Zum Beispiel könnten wir die Teilmenge

$$\begin{array}{lll}\hfill D_{\mathrm{Polar}}=ℝ\times [0,2\pi )=\left\{x+yi\mid x\in ℝ,y\in [0,2\pi )\right\}& & \hfill \end{array}$$

betrachten. In diesem Fall entsprechen $x\in ℝ$ und $y\in [0,2\pi )$ mit $\exp (x+yi)=z\in {ℂ}^{\times }$ der Polarkoordinatendarstellung von $z=r{e}^{𝜃i}\in {ℂ}^{\times }$ in Lemma 7.81 mit $r=\exp \left(x\right)$ und $𝜃=y$. Da die Polarkoordinatendarstellung von jedem $z\in {ℂ}^{\times }$ eindeutig bestimmt ist, ist die Einschränkung $\exp {|}_{D_{\mathrm{Polar}}}:D_{\mathrm{Polar}}\to {ℂ}^{\times }$ bijektiv. Der Nachteil dieser Abbildung ist, dass die entsprechende Umkehrabbildung bei jeder positiven Zahl in $(0,\infty )$ unstetig ist (wieso?).

Die Unstetigkeit des komplexen Logarithmus lässt sich zwar nicht vermeiden (zumindest dann nicht, wenn man Bijektivität der Logarithmusabbildung bewahren will), doch können wir diese mit der anderen Wahl $D$ “etwas besser verstecken”. Wir definieren

$$\begin{array}{lll}\hfill D_{\mathrm{Haupt}}=ℝ\times (-\pi ,\pi ]=\left\{x+yi\mid x\in ℝ,y\in (-\pi ,\pi ]\right\}.& & \hfill \end{array}$$

Man sieht auf die gleiche Weise wie oben, dass

$$\begin{array}{lll}\hfill \exp {|}_{D_{\mathrm{Haupt}}}:D_{\mathrm{Haupt}}\to {ℂ}^{\times }& & \hfill \end{array}$$

bijektiv ist. In der Tat entspricht dies leicht veränderten Polarkoordinaten, wo wir einen Winkel $𝜃\in [0,\pi ]$ unverändert lassen aber einen Winkel $𝜃\in (\pi ,2\pi )$ durch $𝜃-2\pi \in (-\pi ,0)$ ersetzen (welcher wegen $e^{(𝜃-2\pi )i}=e^{𝜃i}$ den gleichen Zweck wie $𝜃$ erfüllt). Die entsprechende Umkehrabbildung wird der Hauptzweig des Logarithmus

$$\begin{array}{lll}\hfill \log :{ℂ}^{\times }\to D_{\mathrm{Haupt}}=\left\{x+yi\mid x\in ℝ,y\in (-\pi ,\pi ]\right\}& & \hfill \end{array}$$

genannt. Er ist auf der negativen Halbachse ${ℝ}_{<0}$ unstetig, aber auf ${ℂ}^{\times }\setminus {ℝ}_{<0}$ stetig. (Diese Stetigkeitsbehauptungen kann man auch jetzt schon zeigen, werden aber klarer sein, wenn wir die trigonometrischen Umkehrfunktionen besprochen haben.)

Wir bemerken noch, dass wir keine Potenzen $z^w$ mit komplexer (oder auch nur negativer) Basis $z$ und komplexen (oder auch nur reellen) Exponenten $w$ definieren. Der Grund dafür ist, dass diese Definition von einer Wahl eines geeigneten Logarithmus abhängen würde und aus diesem Grunde nicht natürlich wäre.

Die Abbildung $\exp {|}_{D_{\mathrm{Polar}}}$ in Bildern Wir stellen zuerst die Teilmenge $D_{\mathrm{polar}}$ dar.

In obigem Bild sind die blauen Linien bei $y\in \left\{0,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{2\pi }{5},\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3},\frac{7\pi }{4}\right\}$ eingezeichnet. Wir wenden nun auf der $x$-Koordinate die Exponentialabbildung an und erhalten folgendes Bild in den Koordinaten $r=e^x,𝜃=y$.

Man beachte, dass die grüne Linie von der Abbildung nicht getroffen wird. Jetzt weisen wir jedem Punkt mit Koordinaten $(r,𝜃)$ die komplexe Zahl zu, die diese Polarkoordinaten hat. Die blaue Linie beim Wert $𝜃$ wird damit auf den von $0$ ausgehenden Strahl mit Winkel $𝜃$ abgebildet. Die rote Linie beim Wert $r$ wird auf den Kreis mit Radius $r$ abgebildet. Die grüne Linie wird auf den Punkt $0$ kollabiert.