Konvergenz von Funktionenfolgen – Analysis I (Kap. 1-9)

7.3 Konvergenz von Funktionenfolgen

7.3.1 Punktweise Konvergenz

Definition 7.40 (Funktionenfolgen und punktweise Konvergenz).

Eine reellwertige (oder komplexwertige) Funktionenfolge auf einer Menge $X$ ist eine Folge ${(f_{n})}_{n}$ von Funktionen $f_{n} : X \to ℝ$ (oder $f_{n} : X \to ℂ$ ). Wir sagen, dass eine Funktionenfolge ${(f_{n})}_{n}$ punktweise gegen eine Funktion $f : X \to ℝ$ (oder $f : X \to ℂ$ ) konvergiert, falls $f_{n} (x) \to f (x)$ für $n \to \infty$ und alle $x \in X$ . Wir bezeichnen die Funktion $f$ als den punktweisen Grenzwert (oder auch Grenzfunktion oder Limes) der Funktionenfolge ${(f_{n})}_{n}$ . In Prädikatenlogik ist punktweise Konvergenz durch

\begin{array}{l} \forall x \in X \forall 𝜀 > 0 \exists N \in ℕ \forall n \in ℕ : (n \geq N \Rightarrow | f_{n} (x) - f (x) | < 𝜀) \end{array}

gegeben.

Übung 7.41 (Eindeutigkeit).

Sei ${(f_{n})}_{n}$ eine Funktionenfolge auf einer Menge $X$ . Zeigen Sie, dass der Grenzwert $f$ einer Funktionenfolge eindeutig bestimmt ist, falls er existiert.

Wir haben in Abschnitt 6.3 bereits ein Beispiel einer punktweise konvergenten Funktionenfolge gesehen, da wir die reelle Exponentialabbildung $\exp$ durch

\begin{array}{l} \exp (x) = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n} \end{array}

für $x \in ℝ$ definiert haben.

Wir betrachten einige weitere Beispiele, die die Nachteile der punktweisen Konvergenz aufzeigen werden.

Beispiel 7.42 (Punktweise konvergent).

Sei $X = [0, 1]$ und $f_{n} : x \in [0, 1] \to x^{n} \in ℝ$ . Dann konvergieren die stetigen Funktionen $f_{n}$ punktweise gegen die Funktion $f : [0, 1] \to ℝ$ gegeben durch

\begin{array}{l} f (x) = 𝟙_{{1}} (x) = \lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = \lim_{n \to \infty} x^{n} = {\begin{matrix} 0 & für x < 1 \\ 1 & für x = 1 \end{matrix} \end{array}

für $x \in [0, 1]$ , die nicht mehr stetig ist.

$PIC$

Beispiel 7.43 (Punktweise konvergent).

Sei wiederum $X = [0, 1]$ und definiere $f_{n} : [0, 1] \to ℝ$ durch

\begin{array}{l} f_{n} (x) = {\begin{matrix} n^{2} x & für x \in [0, \frac{1}{2 n}] \\ n^{2} (\frac{1}{n} - x) & für x \in [\frac{1}{2 n}, \frac{1}{n}] \\ 0 & für x \in [\frac{1}{n}, 1] \end{matrix} \end{array}

für $x \in [0, 1]$ und $n \in ℕ$ . Dann ist $f_{n}$ stetig (und somit auch Riemann-integrierbar) und konvergiert punktweise gegen die stetige Funktion $f : x \in [0, 1] \mapsto \lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = 0$ .

Es gilt jedoch für alle $n \in ℕ$

\begin{array}{l} \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \frac{1}{4} \neq 0 = \int_{0}^{1} f (x) d x . \end{array}

Also ist der Grenzwert der Integrale nicht gleich dem Integral der Limesfunktion, obwohl alle Funktionen stetig sind und die Limesfunktion stetig ist.

$PIC$

Beispiel 7.44 (Punktweise konvergent).

Sei wieder $X = [0, 1]$ und $ℚ \cap [0, 1] = {q_{1}, q_{2}, \dots}$ eine Abzählung. Dann ist für jedes $n \in ℕ$ die charakteristische Funktion

\begin{array}{l} f_{n} = 𝟙_{{q_{1}, \dots, q_{n}}} \end{array}

der ersten $n$ rationalen Zahlen ${q_{1}, \dots, q_{n}}$ in $[0, 1]$ Riemann-integrierbar mit $\int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = 0$ . Die Limesfunktion der Folge ${(f_{n})}_{n}$ ist aber die charakteristische Funktion $𝟙_{ℚ \cap [0, 1]}$ , die nach Beispiel 4.17 nicht Riemann-integrierbar ist.

Zusammenfassend hat also der Begriff der punktweisen Konvergenz weder für die Stetigkeit noch für das Riemann-Integral besonders gute Eigenschaften. Wir wenden uns deswegen einem neuen Konvergenzbegriff zu.

7.3.2 Gleichmässige Konvergenz

Definition 7.45 (Gleichmässige Konvergenz).

Sei ${(f_{n})}_{n}$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $X$ und $f$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $X$ . Wir sagen, $f_{n}$ strebt gleichmässig gegen $f$ für $n \to \infty$ , oder dass $f$ der gleichmässige Grenzwert der Funktionenfolge ${(f_{n})}_{n}$ ist, falls es zu jedem $𝜀 > 0$ ein $N \in ℕ$ gibt, so dass für alle $n \geq N$ und alle $x \in X$ die Abschätzung

\begin{array}{l} | f_{n} (x) - f (x) | < 𝜀 \end{array}

gilt. In Prädikatenlogik ist gleichmässige Konvergenz durch

\begin{array}{l} \forall 𝜀 > 0 \exists N \in ℕ \forall n \in ℕ : (n \geq N \Rightarrow (\forall x \in X : | f_{n} (x) - f (x) | < 𝜀)) \end{array}

gegeben.

Im Gegensatz zur punktweisen Konvergenz von Funktionenfolgen nimmt man bei der gleichmässigen Konvergenz also an, dass ein $N \in ℕ$ existiert, so dass $| f_{n} (x) - f (x) | < 𝜀$ für alle $x \in X$ und alle natürlichen $n \geq N$ gilt, wobei die Zahl $N$ nicht vom Punkt $x \in X$ abhängt. Gleichmässigkeit bezieht sich meistens (wie hier und zum Beispiel auch bei der gleichmässigen Stetigkeit) auf die Unabhängigkeit einer gewissen Zahl (hier $N$ und bei gleichmässiger Stetigkeit $δ$ ) von der Wahl eines Punktes (hier $x$ ).

Übung 7.46 (Gleichmässige Konvergenz).

Sei ${(f_{n})}_{n}$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $X$ und $f$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $X$ .

(i): Zeigen Sie, dass $f_{n}$ genau dann gleichmässig gegen $f$ konvergiert, wenn $\begin{array}{l} \sup_{x \in X} | f_{n} (x) - f (x) | \to 0 \end{array}$
für $n \to \infty$ .
(ii): Zeigen Sie, dass $f_{n} \to f$ gleichmässig für $n \to \infty$ auch $f_{n} \to f$ punktweise für $n \to \infty$ impliziert.
(iii): Zeigen Sie, dass die punktweise konvergenten Funktionenfolgen aus den Beispielen 7.42, 7.43 und 7.44 nicht gleichmässig konvergieren. Insbesondere ist punktweise Konvergenz eine schwächere Forderung als gleichmässige Konvergenz.

Bemerkung.

Sei $X$ eine Menge und setze für jede beschränkte Funktion $f : [a, b] \to ℂ$

\begin{array}{l} ∥ f ∥_{\infty} = \sup_{x \in X} | f (x) | . \end{array}

Dies ist eine Norm auf dem Vektorraum der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf $X$ ; in Beispiel 5.7 haben wir in einem ähnlichen Kontext bereits eine solche Norm angetroffen. Nach Übung 7.46(i) konvergiert eine Folge ${(f_{n})}_{n}$ beschränkter komplexwertiger Funktionen auf $X$ in $ℝ$ genau dann gleichmässig gegen eine beschränkte Funktion $f : X \to ℂ$ , wenn $∥ f_{n} - f ∥_{\infty} \to 0$ für $n \to \infty$ . In anderen Worten ist der Konvergenzbegriff gegeben durch die Norm $∥ \cdot ∥_{\infty}$ gerade der Begriff der gleichmässigen Konvergenz. Dem entgegengesetzt kann man zeigen, dass keine Norm existiert bezüglich welcher der Konvergenzbegriff gerade durch punktweise Konvergenz gegeben ist.

Für reellwertige Funktionen $f_{n}, f$ , $𝜀 > 0$ und $x$ im Definitionsbereich ist die Abschätzung $| f_{n} (x) - f (x) | < 𝜀$ zu $f (x) - 𝜀 \leq f_{n} (x) \leq f (x) + 𝜀$ äquivalent. Dadurch lässt sich gleichmässige Konvergenz auch durch den Graphen einer Funktionenfolge und deren Limesfunktion beschreiben, wie wir in folgender Figur demonstrieren wollen.

$PIC$

Figur 7.3: Die Funktionenfolge

f_{n}

konvergiert also gleichmässig gegen

f

, wenn für jedes

𝜀 > 0

die Graphen von

f_{n}

für alle hinreichend grossen

n

im „

𝜀

-Schlauch“ rund um

f

(also in dem Bereich zwischen den Graphen von

f - 𝜀

und

f + 𝜀

liegen.

Applet 7.47 (Punktweise und Gleichmässige Konvergenz).

Wir betrachten nochmals die Funktionenfolge aus Beispiel 7.42. Versuchen Sie anhand des Applets zu erkennen, dass man durch Einschränkung auf geeignete Teilintervalle $[a, b] \subseteq [0, 1]$ gleichmässige Konvergenz der Funktionenfolge erreichen kann. Können Sie dies auch formal beweisen?

Gleichmässige Konvergenz hat für stetige Funktionen gute Eigenschaften.

Satz 7.48 (Gleichmässige Konvergenz und Stetigkeit).

Sei $D \subseteq ℂ$ und $f_{n} : D \to ℂ$ eine Funktionenfolge stetiger Funktionen. Falls ${(f_{n})}_{n}$ gleichmässig gegen $f : D \to ℂ$ konvergiert, dann ist $f$ ebenso stetig.

🪆Dies ist ein Matrjoschka-Beweis.

Beweis.

Sei $x_{0} \in D$ und $𝜀 > 0$ . Dann existiert ein $n \in ℕ$ , so dass

\begin{array}{l} | f_{n} (x) - f (x) | < 𝜀 \end{array}

für alle $x \in D$ . Da $f_{n}$ bei $x_{0}$ stetig ist, existiert ein $δ > 0$ , so dass

\begin{array}{l} | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f_{n} (x) - f_{n} (x_{0}) | < 𝜀 \end{array}

für alle $x \in D$ gilt. Unter dem Strich gilt nun für alle $x \in D$ mit $| x - x_{0} | < δ$ , dass

\begin{array}{l} | f (x) - f (x_{0}) | \leq | f (x) - f_{n} (x) | + | f_{n} (x) - f_{n} (x_{0}) | + | f_{n} (x_{0}) - f (x_{0}) | < 3 𝜀 . \end{array}

Da $𝜀 > 0$ beliebig war, ist $f$ bei $x_{0}$ stetig. Da $x_{0} \in D$ beliebig war, folgt der Satz.

■

Gleichmässige Konvergenz hat auch für die Integrierbarkeit gute Eigenschaften.

Satz 7.49 (Gleichmässige Konvergenz und Riemann-Integrierbarkeit).

Sei $[a, b]$ ein kompaktes Intervall und $f_{n} : [a, b] \to ℝ$ eine Funktionenfolge Riemann-integrierbarer Funktionen. Falls ${(f_{n})}_{n}$ gleichmässig gegen $f : [a, b] \to ℝ$ konvergiert, dann ist $f$ Riemann-integrierbar und

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} d x = \int_{a}^{b} \lim_{n \to \infty} f_{n} d x = \int_{a}^{b} f d x . & (7.4) \end{align}

Bei gleichmässig konvergenten Folgen Riemann-integrierbarer Funktionen darf man also Integration und Grenzwert vertauschen. Dies gilt analog auch für Integrale von komplexwertigen oder vektorwertigen Funktionen (siehe Abschnitt 6.5.1), doch werden wir hier nur den Fall von reellwertigen Funktionen betrachten.

🪆An und für sich ist dies ein Matrjoschka-Beweis, wenn man sich ein $𝜀 > 0$ Platz lässt.

Beweis.

Sei $𝜀 > 0$ . Dann gibt es ein $N$ mit $| f_{n} (x) - f (x) | < 𝜀$ für alle $n \geq N$ und $x \in [a, b]$ . Da $f_{n}$ nach Annahme Riemann-integrierbar ist, gibt es Treppenfunktionen $u, o$ auf $[a, b]$ mit $u \leq f_{n} \leq o$ und $\int_{a}^{b} (o - u) d x < 𝜀$ . Daraus folgt, dass

\begin{array}{l} u^{'} = u - 𝜀 \leq f_{n} - 𝜀 \leq f \leq f_{n} + 𝜀 \leq o + 𝜀 = o^{'} \end{array}

ist und

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} (o^{'} - u^{'}) d x = \int_{a}^{b} (o - u) d x + 2 𝜀 (b - a) < 𝜀 (2 b - 2 a + 1) \end{array}

ist. Da $𝜀 > 0$ beliebig war, folgt die Riemann-Integrierbarkeit von $f$ aus Proposition 4.12.

Für die zweite Aussage sei wiederum $𝜀 > 0$ und $N \in ℕ$ , so dass $f - 𝜀 \leq f_{n} \leq f + 𝜀$ für alle $n \geq N$ gilt. Aus der Monotonie des Riemann-Integrals in Satz 4.24 folgt nun

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f d x - 𝜀 (b - a) = \int_{a}^{b} (f - 𝜀) d x \leq \int_{a}^{b} f_{n} d x \leq \int_{a}^{b} (f + 𝜀) d x = \int_{a}^{b} f d x + 𝜀 (b - a), \end{array}

was zu

\begin{array}{l} | \int_{a}^{b} f d x - \int_{a}^{b} f_{n} d x | \leq 𝜀 (b - a) \end{array}

äquivalent ist. Dies beweist die Konvergenz in Gleichung (7.4) und damit den Satz.

■

Übung 7.50 (Gleichmässige Konvergenz auf Teilmengen).

Sei ${(f_{n})}_{n}$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $X$ und $f$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $X$ .

(i): Angenommen $X = X_{1} \cup X_{2}$ für zwei Teilmengen, $f_{n} |_{X_{1}}$ strebt gleichmässig gegen $f |_{X_{1}}$ für $n \to \infty$ und $f_{n} |_{X_{2}}$ strebt gleichmässig gegen $f |_{X_{2}}$ für $n \to \infty$ . Zeigen Sie, dass dann auch $f_{n}$ gleichmässig gegen $f$ strebt für $n \to \infty$ .
(ii): Zeigen Sie, dass sich Teil (i) im Allgemeinen nicht für unendliche Vereinigungen $X = ⋃_{k \in ℕ} X_{k}$ verallgemeinern lässt.

Übung 7.51 (Funktionenkonvergenz und Beschränktheit).

Sei ${(f_{n})}_{n}$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $X$ und $f$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $X$ . Wir nehmen nun an, dass die Funktionen $f_{n}$ für jedes $n \in ℕ$ beschränkt ist.

(i): Zeigen Sie, dass falls $f_{n}$ gleichmässig gegen $f$ strebt für $n \to \infty$ , dann ist auch $f$ eine beschränkte Funktion.
(ii): Finden Sie ein Beispiel für $X$ und beschränkte Funktionen, die punktweise gegen $f$ streben für $n \to \infty$ , so dass $f$ nicht beschränkt ist.

Übung 7.52 (Funktionenkonvergenz und Auswertung entlang einer konvergenten Folge).

Sei $D \subseteq ℂ$ und $f_{n} : D \to ℂ$ für $n \in ℕ$ eine Funktionenfolge stetiger Funktionen und $f : D \to ℂ$ eine weitere Funktion. Sei $z_{0} \in D$ und $z_{n} \in D$ eine Folge mit $z_{n} \to z_{0}$ für $n \to \infty$ .

(i): Zeigen Sie $f_{n} (z_{n}) \to f (z_{0})$ für $n \to \infty$ unter der Annahme, dass $f_{n}$ gleichmässig gegen $f$ konvergiert für $n \to \infty$ .
(ii): Finden Sie ein Beispiel, wo zwar $f_{n}$ punktweise gegen $f$ konvergiert für $n \to \infty$ , aber $f_{n} (z_{n})$ nicht gegen $f (z_{0})$ konvergiert für $n \to \infty$ .

Übung 7.53 (Gleichmässige Konvergenz und gleichmässige Stetigkeit).

Sei $D \subseteq ℂ$ und $f_{n} : D \to ℂ$ für $n \in ℕ$ eine Funktionenfolge, die für $n \to \infty$ gleichmässig gegen $f : D \to ℂ$ strebt. Angenommen $f_{n}$ ist gleichmässig stetig für alle $n \in ℕ$ . Zeigen Sie, dass $f$ ebenso gleichmässig stetig ist.

7.3 Konvergenz von Funktionenfolgen

7.3.1 Punktweise Konvergenz

Definition 7.40 (Funktionenfolgen und punktweise Konvergenz).

Übung 7.41 (Eindeutigkeit).

Beispiel 7.42 (Punktweise konvergent).

Beispiel 7.43 (Punktweise konvergent).

Beispiel 7.44 (Punktweise konvergent).

7.3.2 Gleichmässige Konvergenz

Definition 7.45 (Gleichmässige Konvergenz).

Übung 7.46 (Gleichmässige Konvergenz).

Bemerkung.

Applet 7.47 (Punktweise und Gleichmässige Konvergenz).

Satz 7.48 (Gleichmässige Konvergenz und Stetigkeit).

Satz 7.49 (Gleichmässige Konvergenz und Riemann-Integrierbarkeit).

Übung 7.50 (Gleichmässige Konvergenz auf Teilmengen).

Übung 7.51 (Funktionenkonvergenz und Beschränktheit).

Übung 7.52 (Funktionenkonvergenz und Auswertung entlang einer konvergenten Folge).

Übung 7.53 (Gleichmässige Konvergenz und gleichmässige Stetigkeit).

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