2.4 Intervalle und der Absolutbetrag

2.4.1 Intervalle

Wie bereits erwähnt, stellen wir $ℝ$ als die Zahlengerade dar. In diesem Bild entsprechen folgende Teilmengen Strecken auf dieser Geraden, wobei wir vier Möglichkeiten haben, je nachdem, ob man die Endpunkte in der Teilmenge haben will oder nicht.

Wir möchten an dieser Stelle anmerken, dass beispielsweise die Intervalle $(a,b],[a,b),(a,b)$ für $a,b\in ℝ$ nicht-leer sind genau dann, wenn $a<b$, und $[a,b]$ nicht-leer ist genau dann, wenn $a\le b$. Intervalle der Art $[a,b]$, $(a,b]$, $[a,b)$, $(a,b)$ für $a,b\in ℝ$ werden auch endliche oder beschränkte Intervalle genannt, wenn wir sie von folgenden Intervallen unterscheiden wollen.

Statt runden Klammern werden manchmal auch umgedrehte eckige Klammern verwendet, um offene und halboffene Intervalle zu bezeichnen. Zum Beispiel findet man anstelle von $(a,b)$ für $a,b\in ℝ$ oft auch $]a,b[$ in der Literatur. Wir werden hier stets runde Klammern verwenden.

Der folgende Begriff wird für uns später sehr bedeutsam sein.

Beispielsweise wäre also $\mathbb{Q}\cup [-1,1]$ eine Umgebung von $0\in ℝ$. Falls ein $y\in ℝ$ in einer $\delta$-Umgebung eines Punktes $x\in ℝ$ liegt für ein „ kleines“ $\delta >0$, so sagt man auch, dass $y$ „$\delta$-nahe“ an $x$ ist.

2.4.2 Der Absolutbetrag auf den reellen Zahlen

Wir betrachten zuerst einige Konsequenzen dieser Definition.

Für alle $x\in ℝ$ gilt $x=\mathrm{sgn}\left(x\right)\left|x\right|$, wobei $\mathrm{sgn}\left(x\right)$ das Vorzeichen (oder Signum) von $x$ ist, welches durch

$$\begin{array}{lll}\hfill \mathrm{sgn}:ℝ\to \left\{-1,0,1\right\},x\mapsto \{\begin{array}{cc}1\hfill & \text{falls }x>0\hfill \\ 0\hfill & \text{falls }x=0\hfill \\ -1\hfill & \text{falls }x<0\hfill \end{array}& & \hfill \end{array}$$

definiert ist. Das Vorzeichen einer Zahlen ist also genau dann $1$ (respektive $-1$), wenn die Zahl positiv (respektive negativ) ist. Die Zahl $0$ ist weder positiv noch negativ und deswegen weist man ihr das „Vorzeichen Null“ zu.

Wir bemerken noch, dass für $\delta >0$ und $x\in ℝ$ die $\delta$-Umgebung von $x$ (siehe Definition 2.43) durch $\left\{y\in ℝ\mid |x-y|<\delta \right\}$ gegeben ist. Wir werden $|x-y|$ als den Abstand von $x$ zu $y$ interpretieren. Im Sinne des Wortes „Abstand“ kann man ein paar der obigen Folgerungen neu intuitiver ausdrücken. Zum Beispiel besagt (b), dass für $x,y\in ℝ$ die Gleichheit $|x-y|=|y-x|$ erfüllt ist, was also bedeutet, dass der Abstand von $x$ zu $y$ dem Abstand von $y$ zu $x$ gleich ist (wie man sich wünschen könnte). Des Weiteren werden Umgebungen einer reellen Zahl $x\in ℝ$ auch Nachbarschaften von $x$ genannt.

Intuitiv ausgedrückt ist eine Teilmenge offen, wenn für jeden Punkt $x$ in der Menge alle Punkte, die nahe genug an $x$ sind, wieder in der Menge liegen. Wir kennen bereits Beispiele von offenen Mengen:

2.4.3 Der Absolutbetrag auf den komplexen Zahlen

Wir möchten nun den Absolutbetrag auf $ℂ$ so definieren, so dass dieser möglichst viele Eigenschaften des Absolutbetrags auf $ℝ$ hat und mit diesem kompatibel ist. Wir verwenden dazu die Wurzelfunktion, die in Übung 2.11 eingeführt wurde.

An dieser Stelle bemerken wir, dass für $z=x+yi\in ℂ$ die Summe der Quadrate $x^2+y^2$ gerade gleich $z\overline{z}$ ist, denn

$$\begin{array}{lll}\hfill (x+yi)(x-yi)=x^2+y^2+(xy-xy)i=x^2+y^2.& & \hfill \end{array}$$

Somit gilt für alle $z\in ℂ$

$$\begin{array}{lll}\hfill \left|z\right|=\sqrt{z\overline{z}}.& & \hfill \end{array}$$

Des Weiteren möchten wir anmerken, dass für ein $x\in ℝ$ der zu Beginn von Abschnitt 2.4.2 definierte Absolutbetrag $\left|x\right|$ und der Absolutbetrag von $x$ als Element von $ℂ$ übereinstimmen, da $\sqrt{x\overline{x}}=\sqrt{x^2}=\left|x\right|$ (vergleiche Übung 2.47). Insbesondere ist die neu eingeführte Notation nicht widersprüchlich und wir haben den Absolutbetrag von $ℝ$ auf $ℂ$ erweitert.

Wir fassen nun einige Eigenschaften des Absolutbetrags auf $ℂ$ zusammen:

Genauso wie auf $ℝ$ wollen wir mit Hilfe des Absolutbetrags den Abstand zweier Punkte $z,w\in ℂ$ als die nicht-negative Zahl $|z-w|$ auffassen. Wir bemerken noch, dass Definition 2.51 dem Satz von Pythagoras (siehe die entsprechende Übung in Abschnitt 1.9.6) entspricht. Doch haben wir dies als Definition des Absolutbetrages von $z=x+yi$ gewählt, womit es (abgesehen von obigen Eigenschaften) nichts zu beweisen gibt.

Wie vorhin lässt sich mit Hilfe des Absolutbetrags ein Begriff von Offen- und Abgeschlossenheit einführen. Für die Definition von offenen Mengen in $ℝ$ wurden die symmetrisch um einen zuvor fixierten Punkt liegenden offenen Intervalle verwendet. In Analogie dazu definieren wir folgende Teilmengen von $ℂ$.

Der offene Ball $B_r\left(z\right)$ zu $r>0$ und $z\in ℂ$ besteht also gerade aus jenen Punkten, die Abstand (strikt) kleiner $r$ von $z$ haben. Offene Bälle in $ℂ$ und offene Intervalle in $ℝ$ sind in folgendem Sinne kompatibel: Ist $x\in ℝ$ und $r>0$, so ist der Schnitt des offenen Balles $B_r\left(x\right)\subseteq ℂ$ mit $ℝ$ gerade das offene, symmetrisch um $x$ liegende Intervall $(x-r,x+r)$ (wieso?).

Nach Übung 2.53 sind beispielsweise alle Bälle offen.

Es gibt, abgesehen von den offenen Bällen, noch viele weitere, offene Teilmengen von $ℂ$. Beispielsweise ist jede Vereinigung von offenen Teilmengen offen. Zum Studium der offenen Mengen und damit verwandten Begriffen werden wir in deutlicher grösserer Allgemeinheit im zweiten Semester zurückkehren. Insbesondere wollen wir uns hier noch nicht auf eine ausführliche Diskussion einlassen.