Ziffernentwicklungen und fraktale Konstruktionen*

7.8 Ziffernentwicklungen und fraktale Konstruktionen*

Für jede natürliche Zahl $p \geq 2$ und jede reelle positive Zahl $x > 0$ gibt es eine Ziffernentwicklung zur Basis $p$ . Genauer formuliert existiert ein $ℓ \in ℤ$ mit $x < p^{- ℓ + 1}$ und eine Folge ${(d_{n})}_{n \geq ℓ}$ mit $d_{n} \in {0, 1, \dots, p - 1}$ , so dass

$\begin{align} x = \sum_{n = ℓ}^{\infty} d_{n} p^{- n} . & (7.15) \end{align}$

Um dies zu sehen, nehmen wir, da die Ziffernentwicklung auf $ℕ_{0}$ ja bereits bekannt ist (siehe Übung 3.7), ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $ℓ = 1$ und also $x = x_{0} \in (0, 1)$ . Wir können dann die rekursiv definierten Zahlen

$\begin{array}{l} d_{1} & = ⌊ p x_{0} ⌋ \in {0, 1, 2, \dots, p - 1}, x_{1} = {p x_{0}} \in (0, 1) \\ d_{2} & = ⌊ p x_{1} ⌋ \in {0, 1, 2, \dots, p - 1}, x_{2} = {p x_{1}} \in (0, 1) \end{array}$

und weiter

$\begin{array}{l} d_{n + 1} & = ⌊ p x_{n} ⌋ \in {0, 1, 2, \dots, p - 1}, x_{n + 1} = {p x_{n}} \in (0, 1) \end{array}$

für jedes $n \in ℕ$ betrachten. Insbesondere ist $p x_{n} = d_{n + 1} + x_{n + 1}$ für alle $n \in ℕ$ und damit ergibt sich mittels Induktion

$\begin{array}{l} x - \sum_{n = 1}^{N} d_{n} p^{- n} = p^{- N} x_{N} \end{array}$

für alle $N \in ℕ$ . Daraus folgt die Fehlerabschätzung

$\begin{array}{l} | x - \sum_{n = 1}^{N} d_{n} p^{- n} | \leq p^{- N} | x_{N} | < p^{- N} . \end{array}$

und mit dem Grenzübergang $N \to \infty$ auch (7.15) . Wir möchten an dieser Stelle erwähnen, dass obiges Vorgehen eine explizite Variante (einen Algorithmus) liefert, um die Ziffernentwicklung einer Zahl zur Basis $p$ zu finden.

Übung 7.90.

Finden Sie eine Ziffernentwicklung von $\frac{1}{7}$ zur Basis $3$ .

In den meisten, aber nicht allen Fällen ist die Ziffernentwicklung eindeutig. Es ist zum Beispiel

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} (p - 1) p^{- n} = \frac{p - 1}{p} \sum_{n = 0}^{\infty} p^{- n} = \frac{p - 1}{p} \frac{1}{1 - p^{- 1}} = 1 . \end{array}$

Im Spezialfall $p = 10$ kennt man dies in der Form $0 . \dot{9} = 1$ .

Wir behaupten, dass diese Rechnung gewissermassen der einzige Grund für eine Zweideutigkeit in der Ziffernentwicklung sein kann. Angenommen

$\begin{array}{l} x = \sum_{n = ℓ}^{\infty} d_{n} p^{- n} = \sum_{n = ℓ^{'}}^{\infty} d_{n}^{'} p^{- n} \end{array}$

sind zwei verschiedene Ziffernentwicklungen einer Zahl $x > 0$ zur Basis $p$ . Dann können wir, notfalls unter Hinzufügen von Nullen, annehmen, dass $ℓ = ℓ^{'}$ ist. Falls $k > ℓ$ die kleinste Zahl ist mit $d_{n} = d_{n}^{'}$ für $ℓ \leq n < k$ und $d_{k} \neq d_{k}^{'}$ , dann können wir die endliche Summe $\sum_{n = ℓ}^{k} d_{n} p^{- n}$ von $x$ abziehen. Daher genügt es den Fall $d_{ℓ} < d_{ℓ}^{'}$ zu betrachten. Dann gilt

$\begin{array}{l} x = \sum_{n = ℓ}^{\infty} d_{n} p^{- n} \leq d_{ℓ} p^{- ℓ} + \sum_{n = ℓ + 1}^{\infty} (p - 1) p^{- n} = (d_{ℓ} + 1) p^{- ℓ} \leq \sum_{n = ℓ}^{\infty} d_{n}^{'} p^{- n} = x, \end{array}$

was aber $d_{ℓ} + 1 = d_{ℓ}^{'}$ , $d_{n} = p - 1$ und $d_{n}^{'} = 0$ für alle $n \geq ℓ + 1$ impliziert (wieso?). Insbesondere sind somit die Zahlen mit nicht eindeutiger Ziffernentwicklung genau jene (rationale Zahlen), die eine abbrechende Ziffernentwicklung besitzen.

Übung 7.91 (Zahlen mit schliesslich periodischer Ziffernentwicklung).

Eine Folge ${(d_{n})}_{n \geq ℓ}$ für $ℓ \in ℕ$ heisst periodisch, falls ein $N$ existiert mit $d_{n + N} = d_{n}$ für alle $n \geq ℓ$ . Sie heisst schliesslich periodisch, falls es ein $k \geq ℓ$ und ein $N \in ℕ$ gibt mit $d_{n + N} = d_{n}$ für alle $n \geq k$ . Wir wollen hier zeigen, dass die Zahlen mit einer schliesslich periodischen Ziffernentwicklung gerade die rationalen Zahlen sind. Sei $x > 0$ eine reelle und $p \geq 2$ eine natürliche Zahl. Unterscheiden Sie folgende Fälle:

(a): Angenommen $x$ hat eine schliesslich periodische Ziffernentwicklung. Zeigen Sie, dass $x$ rational ist.
(b): Zeigen Sie, dass $x$ genau dann eine abbrechende (und damit schliesslich periodische) Ziffernentwicklung hat, wenn $x$ von der Form $\frac{n}{p^{k}}$ für $k, n \in ℕ_{0}$ ist (und damit rational ist).
(c): Angenommen $x \in ℚ$ hat keine abbrechende Ziffernentwicklung. Dann ist insbesondere die Ziffernentwicklung von $x$ eindeutig bestimmt. Sei o.B.d.A. $x \in (0, 1)$ und seien $x_{k}, d_{k}$ für $k \in ℕ$ wie in der Konstruktion der Ziffernentwicklung nach (7.15). Nach Annahme ist $x = \frac{m}{n}$ für $(m, n) \in ℕ^{2}$ teilerfremd und $m \leq n$ . Zeigen Sie nun, dass $x_{k} \in {\frac{1}{n}, \dots, \frac{n - 1}{n}}$ ist für alle $k \in ℕ$ und wenden Sie das Schubfachprinzip an.

Übung 7.92 (Mächtigkeit der reellen Zahlen).

Zeigen Sie $[0, 1] \sim 𝒫 (ℕ)$ sowie $ℝ \sim 𝒫 (ℕ)$ .

Hinweis.

Verwenden Sie die Ziffernentwicklung zur Basis $2$ und die Abbildung $x \in [0, 1] \mapsto {(d_{n})}_{n} \in {0, 1}^{ℕ}$ , wobei $d_{1}, d_{2}, \dots$ definiert sind wie in der Konstruktion nach (7.15). Bei abzählbar vielen Punkten im Definitionsbereich und Wertebereich verwenden Sie am besten eine andere Bijektion.

7.8.1 Die Cantor-Menge

Wir haben die Cantor-Menge bereits in Abschnitt 2.6.5 kurz besprochen. Wir möchten nun die Cantor-Menge neu, jetzt deutlich einfacher, mit Hilfe der Ziffernentwicklung zur Basis $3$ charakterisieren. Die Cantor-Menge ist

$\begin{array}{l} C = {x \in [0, 1] ∣ es gibt {(d_{n})}_{n} \in {0, 2}^{ℕ} mit x = \sum_{n = 1}^{\infty} d_{n} 3^{- n}} . \end{array}$

Übung 7.93 (Cantor-Menge in Basis 3).

Zeigen Sie, dass diese Beschreibung der Cantor-Menge zutrifft.

Insbesondere hat jeder Punkt $x \in C$ eine eindeutig bestimmte Ziffernentwicklung zur Basis $3$ mit Ziffern in ${0, 2}$ . Jede Ziffernentwicklung ${(d_{n})}_{n} \in {0, 2}^{ℕ}$ bestimmt einen eindeutig bestimmten Punkt $x \in C$ .

Übung 7.94 („Gesamtlänge“ der Cantor-Menge).

Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion $𝟙_{C}$ der Cantor-Menge auf $[0, 1]$ Riemann-integrierbar ist und $\int_{0}^{1} 𝟙_{C} d x = 0$ ist. In diesem Sinne hat $C$ sozusagen „ Gesamtlänge“ $0$ und $[0, 1] ∖ C$ hat „ Gesamtlänge“ $1$ .

7.8.2 Cantors Teufelstreppe

Wir wollen hier kurz die Cantor Funktion $f : [0, 1] \to [0, 1]$ besprechen, die monoton wachsend und surjektiv ist. Der Graph von $f$ wird auch die Teufelstreppe genannt und ist unten im Bild dargestellt.

$PIC$

Die teuflische Eigenheit dieser Funktion ist die Tatsache, dass jeder Punkt in $[0, 1] ∖ C$ eine Umgebung besitzt, auf der $f$ konstant ist und $[0, 1] ∖ C$ in einem gewissen Sinne fast das ganze Intervall ausmacht (siehe Übung 7.94). Trotzdem schafft es die Cantor Funktion auf stetige Weise von $0$ zu $1$ anzuwachsen.

Wir definieren $f$ zuerst auf der Cantormenge $C$ und beschreiben dann, wie $f$ von $C$ auf ganz $[0, 1]$ fortgesetzt werden kann. Wie in Abschnitt 7.8.1 beschrieben wurde, hat jede Zahl $x \in C$ eine eindeutig bestimmte Ziffernentwicklung $x = \sum_{n = 1}^{\infty} d_{n} 3^{- n}$ zur Basis $3$ mit $d_{n} \in {0, 2}$ für alle $n \in ℕ$ . Auf dem Punkt $x$ definieren wir nun den Wert von $f$ mittels der Ziffernentwicklung als

$\begin{array}{l} f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{d_{n}}{2} 2^{- n} . \end{array}$

Das heisst, wir ersetzen jede Ziffer $2$ durch die Ziffer $1$ und ersetzen die Basis $3$ durch die Basis $2$ . Daraus folgt, dass $f : C \to [0, 1]$ surjektiv ist, da jede Zahl $y \in [0, 1]$ eine Ziffernentwicklung $y = \sum_{n = 1}^{\infty} e_{n} 2^{- n}$ zur Basis $2$ hat und wir durch $d_{n} = 2 e_{n}$ für alle $n \in ℕ$ und $x = \sum_{n = 1}^{\infty} d_{n} 3^{- n}$ einen Punkt mit $f (x) = y$ finden können.

Per Definition ist $f : C \to [0, 1]$ monoton wachsend. Des Weiteren ist $f$ nicht streng monoton wachsend (wieso?), aber da eine Zahl in $[0, 1]$ höchstens zwei verschiedene Ziffernentwicklungen zur Basis $2$ besitzt, gibt es zu $x \in C$ höchstens einen weiteren Punkt $x^{'} \in C$ mit $f (x^{'}) = f (x)$ .

Um $f$ auf ganz $[0, 1]$ zu definieren, finden wir zu einem Punkt $x \notin C$ den grössten Punkt $x_{-}$ links von $x$ in der Cantormenge und den kleinsten Punkt $x_{+}$ rechts von $x$ in der Cantormenge. Wir werden unten zeigen, dass die Punkte $x_{-}$ und $x_{+}$ eindeutig durch $x$ bestimmt sind und $f (x_{-}) = f (x_{+})$ gilt. Nun definieren wir $f (x) = f (x_{-}) = f (x_{+})$ . Dies erweitert also $f$ zu einer Abbildung $[0, 1] \to [0, 1]$ . Des Weiteren ist $f$ für jedes $x \in [0, 1] ∖ C$ konstant in der Umgebung $[x_{-}, x_{+}]$ von $x$ (und damit auch stetig auf $(x_{-}, x_{+})$ ).

Formal können wir dies wie folgt beschreiben. Sei

$\begin{array}{l} x = \sum_{n = 1}^{k - 1} d_{n} 3^{- n} + 1 \cdot 3^{- k} + \sum_{n = k + 1}^{\infty} d_{n} 3^{- n} \notin C, \end{array}$

wobei $k \in ℕ$ die kleinste Zahl mit $d_{k} = 1$ ist. Dann setzen wir

$\begin{array}{l} x_{-} & = \sum_{n = 1}^{k - 1} d_{n} 3^{- n} + 1 \cdot 3^{- k} = \sum_{n = 1}^{k - 1} d_{n} 3^{- n} + \sum_{n = k + 1}^{\infty} 2 \cdot 3^{- n} \in C \\ x_{+} & = \sum_{n = 1}^{k - 1} d_{n} 3^{- n} + 2 \cdot 3^{- k} \in C, \end{array}$

womit $x_{-} \leq x \leq x_{+}$ erfüllt ist. Damit gilt

$\begin{array}{l} f (x_{-}) = \sum_{n = 1}^{k - 1} \frac{d_{n}}{2} 2^{- n} + \sum_{n = k + 1}^{\infty} 2^{- n} = \sum_{n = 1}^{k - 1} \frac{d_{n}}{2} 2^{- n} + 2^{- k} = f (x_{+}) \end{array}$

wie gewünscht.

Übung 7.95 (Cantor-Funktion).

Zeigen Sie, dass die Cantor-Funktion $f : [0, 1] \to [0, 1]$ monoton wachsend und stetig ist.

7.8.3 Peanos raumfüllende Kurve

Wir wollen nun dem ursprünglichen Argument von Peano ([Pea90]) folgend eine stetige, surjektive Funktion (die sogenannte Peano-Kurve)

$\begin{array}{l} f : [0, 1] \to {[0, 1]}^{2} \end{array}$

konstruieren. Dabei werden wir von der Cantormenge ausgehen.

Für $x = \sum_{n = 1}^{\infty} d_{n} (x) 3^{- n} \in C$ mit $d_{n} (x) \in {0, 2}$ für alle $n \in ℕ$ definieren wir

$\begin{align} f C (x) = {(f_{1} (x), f_{2} (x))}^{t} = {(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{d_{2 n - 1} (x)}{2} 2^{- n}, \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{d_{2 n} (x)}{2} 2^{- n})}^{t} . & (7.16) \end{align}$

Wir behaupten nun, dass die Abbildung $f C : C \to {[0, 1]}^{2}$ surjektiv ist. Für ${(y_{1}, y_{2})}^{t} \in {[0, 1]}^{2}$ existiert eine Ziffernentwicklung der Komponenten $y_{j} = \sum_{n = 1}^{\infty} e_{j, n} 2^{- n}$ für $j \in {1, 2}$ zur Basis $2$ , wobei $e_{j, n} \in {0, 1}$ für alle $n \in ℕ$ und $j \in {1, 2}$ . Wir definieren nun $d_{2 n - 1} = 2 e_{1, n}$ und $d_{2 n} = 2 e_{2, n}$ für alle $n \in ℕ$ , womit $d_{n} \in {0, 2}$ für alle $n \in ℕ$ gilt. Sei $x = \sum_{n = 1}^{\infty} d_{n} 3^{- n} \in C$ das Element der Cantormenge mit diesen Ziffern. Dann gilt ${(y_{1}, y_{2})}^{t} = f C (x) \in f C (C)$ wie gewünscht. Da ${(y_{1}, y_{2})}^{t} \in {[0, 1]}^{2}$ beliebig war, ist $f C$ surjektiv.

Lemma 7.96 (Stetigkeit).

Für jedes $n \in ℕ$ ist die Abbildung $x \in C \mapsto d_{n} (x) \in {0, 2}$ stetig. Insbesondere ist die Abbildung $f C : C \to {[0, 1]}^{2}$ stetig.

Beweis.

Für $n = 1$ , $x, y \in C$ und $| x - y | < \frac{1}{3}$ folgt $d_{1} (x) = d_{1} (y)$ , siehe folgendes Bild.

$PIC$

Figur 7.4: Zwei Punkte

$x, y \in C$ mit

$| x - y | < \frac{1}{3}$ sind entweder beide links (und erfüllen also

$d_{1} (x) = d_{2} (x) = 0$ ) oder beide rechts (und erfüllen

$d_{1} (x) = d_{2} (x) = 1$ ) in der Cantormenge.

Dies zeigt die Stetigkeit von $d_{1} : C \to {0, 2}$ ( $δ = \frac{1}{3}$ tut’s für jedes $𝜀 > 0$ ). Mittels Induktion folgt damit, dass für $n > 1$ die Abbildung

$\begin{array}{l} x \mapsto d_{n} (x) = d_{1} (3^{n - 1} (x - (d_{1} (x) 3^{- 1} + \dots + d_{n - 1} (x) 3^{- (n - 1)}))) \end{array}$

als Verknüpfung von stetigen Funktionen wiederum stetig ist (siehe Proposition 3.50 und Proposition 3.52). Für jedes $N \in ℕ$ sind die Abbildungen

$\begin{array}{l} x \in C \mapsto \sum_{n = 1}^{N} \frac{d_{2 n - 1} (x)}{2} 2^{- n}, x \in C \mapsto \sum_{n = 1}^{N} \frac{d_{2 n} (x)}{2} 2^{- n} \end{array}$

als Verknüpfung von stetigen Funktionen stetig. Wegen

$\begin{array}{l} | \sum_{n = 1}^{N} \frac{d_{2 n - 1} (x)}{2} 2^{- n} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{d_{2 n - 1} (x)}{2} 2^{- n} | = | \sum_{n = N + 1}^{\infty} \frac{d_{2 n - 1} (x)}{2} 2^{- n} | \leq \sum_{n = N + 1}^{\infty} 2^{- n} = 2^{- N} \end{array}$

für alle $x \in C$ , konvergieren die Abbildungen $x \in C \mapsto \sum_{n = 1}^{N} \frac{d_{2 n - 1} (x)}{2} 2^{- n}$ gleichmässig gegen $f_{1} : C \to [0, 1]$ . Damit folgt aus Satz 7.48, dass $f_{1}$ stetig ist. Analog zeigt man, dass $f_{2}$ stetig ist und somit ist auch $f C$ stetig.

■

Wir wollen nun $f C$ zu einer stetigen Abbildung $f P : [0, 1] \to {[0, 1]}^{2}$ fortsetzen, wobei wir stückweise affine Abbildungen auf $[0, 1] ∖ C$ verwenden wollen. Das heisst, für $x \in C$ definieren wir $f P (x) = f C (x)$ und für $x \notin C$ setzen wir $f P (x)$ wie folgt fest. Ist $x_{-} \in C$ der eindeutige Punkt in der Cantormenge links neben $x$ und $x_{+} \in C$ der eindeutige Punkt in der Cantormenge rechts neben $x$ wie in Abschnitt 7.8.2, so setzen wir $s (x) = \frac{x - x_{-}}{x_{+} - x_{-}} \in (0, 1)$ und

$\begin{align} f P (x) & = f C (x_{-}) + s (x) (f C (x_{+}) - f C (x_{-})) & (7.17) \\ = {(x_{+} - x_{-})}^{- 1} ((x_{+} - x) f C (x_{-}) + (x - x_{-}) f C (x_{+})) \end{align}$

unter Verwendung von $x = x_{-} + s (x) (x_{+} - x_{-})$ .

Proposition 7.97 (Existenz einer raumfüllenden Kurve).

Die Abbildung $f P : [0, 1] \to {[0, 1]}^{2}$ ist stetig und surjektiv.

Beweis.

Da $f C : C \to {[0, 1]}^{2}$ surjektiv ist und $f P |_{C} = f C$ gilt, ist auch $f P$ surjektiv. Daher müssen wir nur noch die Stetigkeit von $f P$ überprüfen.

Für Punkte, die nicht in $C$ liegen, ist dies einfacher zu sehen. Intuitiv ausgedrückt liegt dies daran, dass die Funktionen $x \mapsto x_{+}$ und $x \mapsto x_{-}$ auf dem Komplement von $C$ „lokal konstant“ sind. Nun genauer. Sei also $x_{0} \notin [0, 1] ∖ C$ und seien $x_{0, -}, x_{0, +} \in C$ wie oben. Dann gilt $(x_{0, -}, x_{0, +}) \subseteq [0, 1] ∖ C$ , wie in Abschnitt 7.8.2 erklärt wurde. Für alle $x \in (x_{0, -}, x_{0, +})$ erfüllen $x_{0, -}$ und $x_{0, +}$ dieselbe Rolle für $x$ wie für $x_{0}$ , das heisst $x_{-} = x_{0, -}$ und $x_{+} = x_{0, +}$ . Damit ist $x \mapsto s (x) = \frac{x - x_{-}}{x_{+} - x_{-}} = \frac{x - x_{0, -}}{x_{0, +} - x_{0, -}}$ stetig auf dem Intervall $(x_{0, -}, x_{0, +})$ . Es folgt die Stetigkeit von $f P$ bei $x_{0}$ .

Sei nun $x_{0} \in C$ . Falls $x_{0}$ ein „rechter Endpunkt“ von $C$ ist, also von der Form $x_{0} = y_{-}$ für ein $y \in [0, 1] ∖ C$ ist, dann gilt

$\begin{array}{l} f P (x) = {(y_{+} - y_{-})}^{- 1} ((y_{+} - x) f C (x_{0}) + (x - x_{0}) f C (y_{+})) \end{array}$

für alle $x \in (x_{0}, y_{+})$ . Daraus folgt gemeinsam mit $f P (x_{0}) = f C (x_{0})$ die rechtsseitige Stetigkeit von $f P$ bei $x_{0}$ .

Sei also nun $x_{0}$ kein rechter Endpunkt von $C$ , womit eine streng monoton fallende Folge ${(x_{n})}_{n}$ in $C$ existiert, die gegen $x_{0}$ konvergiert. Sei $𝜀 > 0$ , dann gibt es wegen der Stetigkeit von $f C$ ein $δ > 0$ , so dass für alle $y \in C$

$\begin{array}{l} | y - x | < δ \Rightarrow | f C (y) - f C (x) | < 𝜀 \end{array}$

gilt. Weiter gibt es ein $x_{n} \in C \cap (x_{0}, x_{0} + δ)$ . Für $x \in (x_{0}, x_{n})$ unterscheiden wir zwei Fälle. Wenn $x$ in $C$ liegt, gilt $| f P (x) - f P (x_{0}) | = | f C (x) - f C (x_{0}) | < 𝜀$ . Wenn $x$ nicht in $C$ liegt, dann gilt $x_{,} x_{+} \in (x_{0}, x_{n}]$ und

$\begin{array}{l} | f P (x) - f P (x_{0}) | & = | {(x_{+} - x_{-})}^{- 1} ((x_{+} - x) f C (x_{-}) + (x - x_{-}) f C (x_{+})) - f C (x_{0}) | \\ = \frac{1}{x_{+} - x_{-}} | (x_{+} - x) f C (x_{-}) + (x - x_{-}) f C (x_{+}) - (x_{+} - x_{-}) f C (x_{0}) | \\ = \frac{1}{x_{+} - x_{-}} | (x_{+} - x) (f C (x_{-}) - f C (x_{0})) + (x - x_{-}) (f C (x_{+}) - f C (x_{0})) | \\ < \frac{1}{x_{+} - x_{-}} ((x_{+} - x) 𝜀 + (x - x_{-}) 𝜀) = 𝜀 . \end{array}$

Somit gilt nun $| f P (x) - f P (x_{0}) | < 𝜀$ für alle $x \in (x_{0}, x_{n})$ und da $𝜀 > 0$ beliebig war, ist $f P$ rechsseitig stetig bei $x_{0}$ . Das Argument für die linksseitige Stetigkeit ist analog.

■

Bemerkung (Approximative Darstellung der Peano-Kurve).

Auf Grund der Surjektivität der Kurve $f P$ macht es wenig Sinn, diese darstellen zu wollen. Stattdessen stellt man eine Approximation der Peano-Kurve dar. Für $N \in ℕ$ setzt man

$\begin{array}{l} f_{C}^{(N)} (x) = {(f_{1}^{(N)} (x), f_{2}^{(N)} (x))}^{t} = {(\sum_{n : 2 n - 1 \leq N} \frac{d_{2 n - 1} (x)}{2} 2^{- n}, \sum_{n : 2 n \leq N} \frac{d_{2 n} (x)}{2} 2^{- n})}^{t} \end{array}$

für alle $x \in C$ und erweitert anschliessend die Funktion $f_{C}^{(N)} : C \to {[0, 1]}^{2}$ zu einer stetigen Funktion $f P : [0, 1] \to {[0, 1]}^{2}$ in Analogie zu (7.17) . Die Funktionenfolge ${(f_{C}^{(N)})}_{N}$ konvergiert, wie man zeigen kann, gleichmässig gegen $f C$ .

$PIC$

Figur 7.5: Das Bild der approximativen Peano-Kurven

$f_{C}^{(N)}$ für

$N \in {6, 8, 10}$ .

Wir bemerken noch, dass eine stetige, surjektive Funktion $f : [0, 1] \to {[0, 1]}^{2}$ nie injektiv sein kann. Dies ist eine Manifestation der Tatsache, dass $[0, 1]$ und ${[0, 1]}^{2}$ geometrisch verschiedene Objekte sind. Aussagen dieser Form sind Teil der (algebraischen) Topologie, doch der vorliegende konkrete Fall benötigt keine allzu grosse Theorie (siehe Übung 7.98).

Übung 7.98 (Kein Homöomorphismus).

Wir wollen hier zeigen, dass es keine stetige und bijektive Funktion von $[0, 1]$ nach ${[0, 1]}^{2}$ gibt. Wir nehmen indirekt an, dass $f : [0, 1] \to {[0, 1]}^{2}$ stetig und bijektiv sei.

(i): Wir wissen bereits, dass $f$ konvergente Teilfolgen auf konvergente Teilfolgen abbildet. Zeigen Sie, dass $f - 1 : {[0, 1]}^{2} \to [0, 1]$ dies ebenfalls tut.
(ii): Finden Sie eine stetige Abbildung (eine Kurve) $g : [0, 1] \to {[0, 1]}^{2} ∖ {f (\frac{1}{2})}$ mit $g (0) = f (\frac{1}{4})$ und $g (1) = f (\frac{3}{4})$ .
(iii): Zeigen Sie, dass die Abbildung $f - 1 \circ g : [0, 1] \to [0, 1] ∖ {\frac{1}{2}}$ stetig ist und schliessen Sie mit dem Zwischenwertsatz auf einen Widerspruch.

Hinweis für (i).

Sei ${(x_{n})}_{n}$ eine Folge in $[0, 1]$ , so dass ${(f (x_{n}))}_{n}$ gegen $f (x)$ konvergiert. Zeigen Sie, dass jede konvergente Teilfolge von ${(x_{n})}_{n}$ gegen $x$ konvergieren muss. Schliessen Sie daraus, dass ${(x_{n})}_{n}$ konvergiert.

Übung 7.99 (Stetiges Füllen der Ebene).

Finden Sie eine stetige, surjektive Funktion $f : ℝ \to ℝ^{2}$ .

Hinweis.

Überdecken Sie $ℝ$ mit abgeschlossenen Intervallen der Form $[n, n + 1]$ für $n \in ℤ$ und $ℝ^{2}$ mit Quadraten der Form $[n, n + 1] \times [m, m + 1]$ für $n, m \in ℤ$ .

Die hier besprochene Konstruktion einer fraktalen raumfüllenden Kurve mag auf dem ersten Blick unnatürlich und auf jeden Fall weltfremd anmuten. Doch enthält die mathematischen Modellierung der Brownschen Bewegung ähnliche fraktale Kurven, die typischerweise nicht raumfüllend aber genauso wie die Peano-Kurve stetig und “sehr zittrig” sind. Wie man das Gegenteil “schön glatt” von “sehr zittrig” mathematisch formulieren kann, besprechen wir im nächsten Kapitel.

7.8 Ziffernentwicklungen und fraktale Konstruktionen*

Übung 7.90.

Übung 7.91 (Zahlen mit schliesslich periodischer Ziffernentwicklung).

Übung 7.92 (Mächtigkeit der reellen Zahlen).

7.8.1 Die Cantor-Menge

Übung 7.93 (Cantor-Menge in Basis 3).

Übung 7.94 („Gesamtlänge“ der Cantor-Menge).

7.8.2 Cantors Teufelstreppe

Übung 7.95 (Cantor-Funktion).

7.8.3 Peanos raumfüllende Kurve

Lemma 7.96 (Stetigkeit).

Proposition 7.97 (Existenz einer raumfüllenden Kurve).

Bemerkung (Approximative Darstellung der Peano-Kurve).

Übung 7.98 (Kein Homöomorphismus).

Übung 7.99 (Stetiges Füllen der Ebene).

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