Übung.

Finden Sie eine differenzierbare Funktion auf einem offenen Intervall $I$, so dass ein Punkt $x_0\in I$ mit $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ existiert, aber $f$ in $x_0$ kein lokales Extremum annimmt.

Übung (Vielfachheit von Nullstellen).

Sei $f\in ℝ\left[T\right]$ ein Polynom und sei $k\in \mathbb{N}$. Wir erinnern daran, dass eine $k$-fache Nullstelle von $f$ ein $z\in ℂ$ ist mit der Eigenschaft, dass ${(T-z)}^k$ das Polynom $f$ teilt, aber ${(T-z)}^{k+1}$ das Polynom $f$ nicht teilt. Zeigen Sie, dass folgende Eigenschaften für einen Punkt $x_0\in ℝ$ äquivalent sind:

(i)

$x_0$ ist eine $k$-fache Nullstelle von $f$.

(ii)

$f^{\left(\ell \right)}\left(x_0\right)=0$ für alle $\ell \in {\mathbb{N}}_0$ mit $\ell \le k-1$ und $f^{\left(k\right)}\left(x_0\right)\ne 0$.

Daraus folgt beispielsweise, dass eine $k$-fache Nullstelle von $f$ eine $k-1$-fache Nullstelle von $f^{\prime }$ ist (wieso?). Die zweite Eigenschaft (ii) lässt sich direkt auf beliebige, glatte Funktionen $f:ℝ\to ℝ$ erweitern. Mit etwas mehr stimmt dies auch für (i) und man erhält wiederum eine äquivalente Charakterisierung.

Allerdings muss nicht jede Nullstelle einer von Null verschiedenen, glatten Funktion $f:ℝ\to ℝ$ eine endliche Vielfachheit besitzen. Finden Sie ein nicht-triviales Beispiel einer solchen Funktion. Das heisst, finden Sie eine glatte Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit einer Nullstelle $x_0\in ℝ$, so dass $f^{\left(k\right)}\left(x_0\right)=0$ für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$, aber $f{|}_U\ne 0$ für alle Umgebungen $U$ von $x_0$.

Übung (Satz von Darboux).

Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten $a<b$ und sei $f:[a,b]\to ℝ$ eine differenzierbare Funktion. Dann nimmt $f^{\prime }$ zwischen $a$ und $b$ alle Werte zwischen $f^{\prime }\left(a\right)$ und $f^{\prime }\left(b\right)$ an.

Gehen Sie wie folgt vor, um einen Beweis zu erhalten.

(i)

Sei $c$ zwischen $f^{\prime }\left(a\right)$ und $f^{\prime }\left(b\right)$. Betrachten Sie die Funktion $x\in [a,b]\mapsto f\left(x\right)-cx\in ℝ$ um zu argumentieren, dass man ohne Beschränkung der Allgemeinheit $f^{\prime }\left(a\right)\le 0$, $f^{\prime }\left(b\right)\ge 0$ sowie $c=0$ annehmen kann.

(ii)

Verwenden Sie nun den Extremwertsatz (Korollar 3.71) und Proposition 8.17 um zu zeigen, dass ein Punkt $x\in [a,b]$ mit $f^{\prime }\left(x\right)=0$ existiert.

Übung.

Zeigen Sie, dass die Funktion

glatt ist.

Übung.

Sei $f:D\to ℂ$ eine Funktion auf einer Teilmenge $D\subseteq ℝ$ und sei $a\in D$ Häufungspunkt. Wir erinnern daran, dass $f$ bei $a$ differenzierbar ist, falls der Grenzwert $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$ existiert. Zeigen Sie, dass $f$ genau dann bei $a$ differenzierbar ist, wenn $\mathrm{Re}\left(f\right)$ und $\mathrm{Im}\left(f\right)$ bei $a$ differenzierbar sind.

Übung (Challenge).

In dieser Übung möchten wir eine differenzierbare Funktion $f$ auf $[0,1]$ konstruieren, deren Ableitung an allen (und insbesondere überabzählbar vielen) Punkten in der Cantor-Menge nicht stetig ist. Als Ausgangspunkt betrachten wir dazu die Funktion

Zeigen Sie, dass $\phi$ differenzierbar ist, aber dass ${\phi }^{\prime }$ bei $0$ und $1$ nicht stetig ist.

Sei $C$ die Cantor-Menge. Wir verwenden die Notation $x_{+},x_{-}$ zu $x\in [0,1]\setminus C$ aus Abschnitt 7.8.2 und definieren damit $f:[0,1]\to ℝ$ durch $f\left(x\right)=0$ für $x\in C$ und

für $x\in [0,1]\setminus C$. Zeigen Sie, dass $f$ differenzierbar ist und dass $f^{\prime }$ bei keinem Punkt in $C$ stetig ist.

Übung.

Eine irrationale reelle Zahl $\alpha \in ℝ$ ist eine Liouville-Zahl, falls für jedes $n\in \mathbb{N}$ eine rationale Zahl $\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$ existiert mit

In einem gewissen Sinne ist eine Liouville-Zahl also eine irrationale Zahl, die sich sehr gut durch rationale Zahlen approximieren lässt.

(i)

Zeigen Sie, dass ${\sum }_{n=0}^{\infty }10^{-n!}$ eine Liouville-Zahl ist. Verwenden Sie die Ziffernentwicklung zur Basis $10$ und Übung 7.91.

Wir wollen nun zeigen, dass jede Liouville-Zahl (und damit auch ${\sum }_{n=0}^{\infty }10^{-n!}$) transzendent ist. Dazu behaupten wir, dass es für jede algebraische Zahl $\beta$ eine Konstante $A>0$ und ein $n\in \mathbb{N}$ gibt, so dass

für alle $\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$.

(ii)

Sei $f\in \mathbb{Q}\left[x\right]$ mit $f\left(\beta \right)=0$ und Grad $n\ge 1$. Sei weiters $\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}\cap \left[\beta -1,\beta +1\right]$ keine Nullstelle von $f$. Zeigen Sie, dass $\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|\ge \frac{1}{q^n}$.

(iii)

Argumentieren Sie mit dem Mittelwertsatz, dass $\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|=\left|f^{\prime }\left(\xi \right)\right|\left|\beta -\frac{p}{q}\right|$ für ein $\xi$ zwischen $\beta$ und $\frac{p}{q}$. Schliessen Sie, dass es ein $a>0$ gibt mit $\left|f^{\prime }\right(x\left)\right|\le a$ für alle $x\in [\beta -1,\beta +1]$ und folgern Sie (8.19).

(iv)

Zeigen Sie, dass jede Liouville-Zahl transzendent ist.

Übung (Konvexität und Mittelpunktseigenschaft).

Sei $I\subseteq ℝ$ ein Intervall und $f:I\to ℝ$ eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn für alle $x,y\in I$ die Ungleichung

gilt. Begründen Sie auch intuitiv, wieso letztere Ungleichung implizit in (8.6) enthalten ist und somit (zumindest auf den ersten Blick) die schwächere Annahme ist. Sie können dazu mit einem Bild arbeiten. Zeigen Sie unter Verwendung obiger Charakterisierung, dass $x\in ℝ\mapsto \left|x\right|$ eine konvexe Funktion ist.

Übung.

In dieser Übung möchten wir zeigen, dass konvexe Funktionen fast überall differenzierbar sind. Sei $I\subseteq ℝ$ ein nicht-leeres Intervall und sei $f:I\to ℝ$ konvex.

(i)

Zeigen Sie, dass die links- und rechtsseitigen Ableitungen $f_{-}^{\prime }\left(x\right)\le f_{+}^{\prime }\left(x\right)$ von $f$ bei jedem $x\in I$ ausser vielleicht bei den Endpunkten von $I$ existieren.

(ii)

Zeigen Sie, dass $f$, möglicherweise abgesehen von den Endpunkten von $I$, stetig ist.

(iii)

Zeigen Sie, dass es eine höchstens abzählbare Ausnahmemenge $A\subseteq I$ gibt, so dass $f$ bei jedem $x\in I\setminus A$ differenzierbar ist.

Hinweis: Für (i) können Sie Lemma 8.39 verwenden, um eine Monotonie der Differenzenquotienten zu zeigen. Für (ii) können Sie folgendes Bild als Hinweis verwenden.

Für (iii) verwenden Sie Übung 3.81 für $f_{-}^{\prime },f_{+}^{\prime }$.

Übung (Newton-Verfahren für konvexe Funktionen).

Seien $a<b$ zwei reelle Zahlen und sei $f:[a,b]\to ℝ$ eine differenzierbare, konvexe Funktion mit $f\left(a\right)>0$ und $f\left(b\right)<0$.

(i)

Zeigen Sie, dass $f$ eine eindeutig bestimmte Nullstelle $z$ in $[a,b]$ besitzt.

Wir betrachten nun das Newton-Verfahren zur numerischen Bestimmung von Nullstellen. Sei $x_0=a$ und $x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime }\left(x_n\right)}$ für $n\in {\mathbb{N}}_0$. Dabei ist $x_{n+1}$ die Nullstelle der Tangente an $f$ durch $x_n$ für jedes $n\in \mathbb{N}$; siehe dazu folgendes Bild.

Nun wollen wir zeigen, dass die Folge ${\left(x_n\right)}_n$ gegen $z$ konvergiert.

b)

Zeigen Sie, dass die Folge ${\left(x_n\right)}_n$ Grenzwert $z$ hat, falls sie konvergiert.

c)

Zeigen Sie, dass die Folge ${\left(x_n\right)}_n$ monoton wachsend ist und dass $x_n\le z$ und somit auch $x_n\in [a,b]$ für alle $n\in \mathbb{N}$ erfüllt ist. Schliessen Sie damit auf die Konvergenz des Newton-Verfahrens mit Startpunkt $a$.

Wir werden später mit Hilfe zusätzlicher Werkzeuge das Newton-Verfahren in einem allgemeineren Kontext besprechen können – siehe Beispiel 9.53.