Weitere Lernmaterialien – Analysis I (Kap. 1-9)

5.5 Weitere Lernmaterialien

5.5.1 Verwendung des Kapitels

Den Konvergenzbegriff, den wir hier eingeführt haben, gehört zu den Grundpfeilern der Analysis und wird uns fast ständig begegnen. Weiter werden wir im Folgenden stets von Konvergenz einer Folge in $ℝ^{d}$ oder $ℂ^{d}$ sprechen, ohne dabei die Norm zu spezifieren. In Proposition 5.44 haben wir zum Teil gesehen, wieso dies zulässig ist; auf ein genaueres Argument werden wir im nächsten Semester eingehen.

Zur Definition der Konvergenz benötigten wir den Begriff des Abstands. Für $x, y \in ℝ$ ist dieser natürlich $| x - y |$ . Für $v, w \in ℝ^{d}$ verwenden wir meist eine Norm $∥ \cdot ∥$ um den Abstand $∥ v - w ∥$ zu definieren. Im Allgemeinen verwenden wir die Metrik $d (\cdot, \cdot)$ auf einem metrischen Raum $X$ um den Abstand $d (x, y)$ von $x, y \in X$ zu bestimmen. Anfangs mag diese Unterscheidung verwirrend sein, doch sollte sich die Verwirrung jeweils auflösen wenn man sich an den betrachten Rahmen der Diskussion erinnert. Also zum Beispiel wollen wir nicht $d (x, y)$ schreiben, wenn $x, y \in ℝ$ nur reelle Zahlen sind. Umgekehrt macht $| v - w |$ einfach keinen Sinn wenn $v, w$ Ecken in einem kombinatorischen Graphen wie in Beispiel 5.12(iv) sind.

Des Weiteren haben wir den Begriff der Stetigkeit aus Kapitel 3 auf allgemeine metrische Räume verallgemeinert und verschiedene Charakterisierungen angegeben (Proposition 5.50). Insbesondere steht uns also frei, die Charakterisierung unserer Wahl zu verwenden, wenn wir Stetigkeit einer spezifischen Funktion zeigen wollen. Im nächsten Semester werden uns weitere Charakterisierungen (mit Hilfe der sogenannten Topologie) begegnen.

5.5.2 Weitere Übungen

Übung (Hexagon-Metrik).

Finden Sie eine Norm auf $ℝ^{2}$ , so dass der Einheitsball $B_{1} (0)$ bezüglich der induzierten Metrik das reguläre Hexagon mit Eckpunkt $(1, 0)$ ist. Gibt es eine Norm auf $ℝ^{2}$ , so dass der Einheitsball durch ein reguläres Pentagon gegeben ist?

Übung (Ultrametriken).

Eine Ultrametrik auf einer Menge $X$ ist eine Abbildung $d : X \times X \to ℝ_{\geq 0}$ , die die gleichen Eigenschaften wie eine Metrik hat, abgesehen davon, dass sie anstelle der Dreiecksungleichung die Ungleichung

\begin{array}{l} d (x_{1}, x_{3}) \leq \max {d (x_{1}, x_{2}), d (x_{2}, x_{3})} \end{array}

für alle $x_{1}, x_{2}, x_{3} \in X$ erfüllt.

(i)

Zeigen Sie, dass jede Ultrametrik eine Metrik ist.

(ii)

(

p

-adische Metrik auf

ℤ

) Sei

p \in ℤ

eine Primzahl. Wir definieren

\begin{array}{l} ν_{p} (x) = \max {k ∣ p^{k} teilt x} \end{array}

für $x \in ℤ ∖ {0}$ und $d_{p} : ℤ \times ℤ \to ℝ_{\geq 0}$ durch

\begin{array}{l} d_{p} (x, y) = {\begin{matrix} p^{- ν_{p} (x - y)} & falls x \neq y \\ 0 & falls x = y \end{matrix} . \end{array}

für $x, y \in ℤ$ . Zeigen Sie, dass $d_{p}$ eine Ultrametrik auf $ℤ$ definiert und beschreiben Sie die Bälle in dieser Metrik.

(iii)

Sei

X

eine Menge und

d

eine Ultrametrik. Zeigen Sie, dass für alle

r > 0

x_{0} \in X

und

x \in B_{r} (x_{0})

der Ball von Radius

r

x

gleich

B_{r} (x_{0})

ist. In anderen Worten ist jeder Punkt in einem Ball Zentrum dieses Balles.

Übung (Rangmetrik).

Sei $𝕂$ ein Körper und $X$ die Menge der $m \times n$ -Matrizen über $𝕂$ . Wir definieren $d (A, B) = rang (A - B)$ für $A, B \in X$ . Zeigen Sie, dass $d$ eine Metrik auf $X$ ist.

Hinweis.

Für die Dreiecksungleichung reicht es $rang (A + B) \leq rang (A) + rang (B)$ für alle $A, B \in X$ zu beweisen.

Übung (Beschränktheit konvergenter Folgen).

Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und sei $x_{0} \in X$ . Wir nennen eine Teilmenge $A \subseteq X$ beschränkt, falls ein $M > 0$ existiert mit $d (x, x_{0}) < M$ für alle $x \in A$ .

(i): Zeigen Sie, dass obiger Beschränktheitsbegriff nicht von der Wahl des Punktes $x_{0}$ abhängt.
(ii): Sei ${(x_{n})}_{n}$ eine konvergente Folge in $X$ . Zeigen Sie, dass ${x_{n} : n \in ℕ} \subseteq X$ beschränkt ist.

Diese Übung verallgemeinert Lemma 5.27.

Übung.

Sei $X$ eine Menge und seien $d_{1}, d_{2}$ zwei Metriken auf $X$ .

(i): Angenommen es gibt eine Konstante $C > 0$ mit $\begin{align} \frac{1}{C} d_{1} (x, y) \leq d_{2} (x, y) \leq C d_{1} (x, y) . & (5.4) \end{align}$
Zeigen Sie, dass eine Folge genau dann bezüglich $d_{1}$ konvergent ist, wenn sie bezüglich $d_{2}$ konvergent ist, und dass in diesem Fall die Grenzwerte übereinstimmen.
(ii): Finden Sie zwei Metriken auf $X = ℝ$ , deren Konvergenzbegriffe in obigem Sinne übereinstimmen und für welche keine Konstante wie in (5.4) existiert.
Hinweis.
Siehe Übung 5.15.