Weitere Lernmaterialien – Analysis I (Kap. 1-9)

4.8 Weitere Lernmaterialien

4.8.1 Verwendung des Kapitels

Im Folgenden werden wir meist nicht direkt auf die Definition des Riemann-Integrals mit Hilfe von Treppenfunktionen zurückgreifen, sondern stattdessen die hier besprochenen Eigenschaften verwenden, um weitere Integrationsgesetze und Integrationsformeln für noch zu findende, weitere Funktionen zu beweisen. Trotzdem ist es wichtig sich an die Definition des Riemann-Integrals und die Vorraussetzungen an Funktion und Integrationsbereich zu erinnern, damit der Unterschied zu etwaigen späteren Verallgemeinerungen klar wird. Das Verständnis der Definition des Riemann-Integrals ist auch wichtig, da wir dieses im zweiten Semester zu einem mehrdimensionalen Integral verallgemeinern wollen und dabei analog vorgehen werden (siehe auch Abschnitt 4.9). Die Berechnung von Riemann-Integralen wird uns später mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung erheblich einfacher fallen.

Bei einigen Beweisen dieses Kapitels waren Sie vielleicht versucht, den Grenzübergang für $n \to \infty$ oder $𝜀 ↘ 0$ zu verwenden. Unsere bisherigen Argumente haben diesen Begriff nicht verwendet, aber wir führen Grenzwerte im nächsten Kapitel ein und Sie dürfen daher demnächst die Beweise von Satz 4.31, Satz 4.37 oder Satz 4.42 umformulieren und zum Beispiel in (4.15) den Grenzwert für $n \to \infty$ nehmen.

4.8.2 Weitere Übungsaufgaben

Übung (Maximum und Minimum).

Charakterisieren Sie die Riemann-integrierbaren Funktionen, für welche sowohl bei den Untersummen als auch bei den Obersummen ein Maximum beziehungsweise ein Minimum in der Definition des Riemann-Integrals angenommen wird.

Hinweis.

Zeigen Sie, dass in diesem Fall die Funktion selbst eine Treppenfunktion ist.

Übung (Nicht umkehrbar).

Finden Sie eine Funktion $f$ auf einem kompakten Intervall $[a, b]$ für $a < b$ , so dass $f$ nicht Riemann-integrierbar ist, aber $| f |$ Riemann-integrierbar ist.

Hinweis.

Manipulieren Sie die Funktion $f$ aus Beispiel 4.17.

Übung (Verhalten unter Verknüpfung).

Wir möchten in dieser Übung zeigen, dass Verknüpfungen von Riemann-integrierbaren Funktionen im Allgemeinen nicht Riemann-integrierbar sind. Dazu betrachten wir die Riemann-integrierbare Funktion $g : [0, 1] \to [0, 1]$ aus Übung 4.25. Finden Sie eine Riemann-integrierbare Funktion $f : [0, 1] \to ℝ$ , so dass $f \circ g$ die nicht-Riemann-integrierbar ist.

Hinweis.

Wählen Sie $f$ so, dass $f \circ g$ die Funktion aus Beispiel 4.17 ist.

Übung (Definitheit).

Sei $f \in C ([a, b])$ eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall $[a, b]$ zu $a < b$ , so dass $f \geq 0$ ist (das heisst, $f$ ist nicht-negativ). Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i): Es gilt $f (x) = 0$ für alle $x \in [a, b]$ .
(ii): Es gilt $\int_{a}^{b} f (x) d x = 0$ .

Übung (Sandwich mit Riemann-integrierbaren Funktionen).

Sei $f \in ℱ ([a, b])$ eine Funktion auf einem kompakten Intervall $[a, b]$ mit $a < b$ . Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i): Die Funktion $f$ ist Riemann-integrierbar.
(ii): Für jedes $𝜀 > 0$ existieren Riemann-integrierbare Funktionen $f_{𝜀, -}, f_{𝜀, +} : [a, b] \to ℝ$ mit $f_{𝜀, -} \leq f \leq f_{𝜀, +}$ sowie $\int_{a}^{b} f_{𝜀, +} - f_{𝜀, -} d x < 𝜀$ .

Übung (Funktionen beschränkter Variation).

Sei $I = [a, b]$ ein kompaktes Intervall mit $a < b$ . Eine Funktion hat beschränkte Variation, falls

\begin{array}{l} \sup {\sum_{i = 1}^{n} | f (x_{i}) - f (x_{i - 1}) | ∣ ℨ = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b}} < \infty \end{array}

In dieser Übung möchten wir zeigen, dass sich jede Funktion $f \in ℱ ([a, b])$ mit beschränkter Variation als Differenz von zwei monotonen Funktionen schreiben lässt und daher auch Riemann-integrierbar ist. Sei also $f \in ℱ ([a, b])$ mit beschränkter Variation und sei

\begin{array}{l} V (f) (x) = \sup {\sum_{i = 1}^{n} | f (x_{i}) - f (x_{i - 1}) | ∣ ℨ_{x} = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = x}} . \end{array}

für $x \in [a, b]$ . Zeigen Sie, dass für $x, x^{'}$ mit $a \leq x < x^{'} \leq b$ gilt

\begin{array}{l} | f (x^{'}) - f (x) | + V (f) (x) \leq V (f) (x^{'}), \end{array}

indem Sie von einer beliebigen Zerlegung von $[a, x]$ ausgehen und diese geeignet zu einer Zerlegung von $[a, x^{'}]$ erweitern. Schliessen Sie damit, dass die Funktionen $V (f)$ und $V (f) - f$ monoton wachsend sind.

4.8 Weitere Lernmaterialien

4.8.1 Verwendung des Kapitels

4.8.2 Weitere Übungsaufgaben

Übung (Maximum und Minimum).

Übung (Nicht umkehrbar).

Übung (Verhalten unter Verknüpfung).

Übung (Definitheit).

Übung (Sandwich mit Riemann-integrierbaren Funktionen).

Übung (Funktionen beschränkter Variation).

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