Beispiel 5.12 (Weitere metrische Räume).

(i)

(Diskrete Metriken) Sei $X$ eine Menge und $d_{\mathrm{diskret}}:X\times X\to {ℝ}_{\ge 0}$ definiert durch $$\begin{array}{lll}\hfill d_{\mathrm{diskret}}\left(x_1,x_2\right)=\{\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill \text{falls }{x}_1\ne x_2\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill \text{falls }{x}_1=x_2\hfill \end{array}& & \hfill \end{array}$$

für $x_1,x_2\in X$. Dann ist $(X,d_{\mathrm{diskret}})$ ein metrischer Raum. In der Tat ist $d_{\mathrm{diskret}}$ definit und symmetrisch per Definition. Des Weiteren erfüllt $d$ die Dreiecksungleichung: Seien $x_1,x_2,x_3$ Punkte in $X$. Falls $d(x_1,x_3)=0$ gilt, dann ist $d(x_1,x_3)\le d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)$ trivialerweise erfüllt. Falls $d(x_1,x_3)=1$ gilt, dann ist $x_1\ne x_3$ und $x_2$ ist mindestens von einem Punkt in $\left\{x_1,x_3\right\}$ verschieden und die Dreiecksungleichung gilt ebenso.

Man beachte, dass die diskrete Metrik auf ${ℝ}^d$ für $d\ge 2$ nicht durch eine Norm gegeben ist. In der Tat würde eine Norm $\parallel \cdot \parallel$ mit $\parallel v_2-v_1\parallel =d_{\mathrm{diskret}}(v_1,v_2)$ für alle $v_1,v_2\in {ℝ}^d$ widersprüchlicherweise die Homogenitätseigenschaft in Definition 5.1 nicht erfüllen können.

(ii)

(Manhattanmetrik) Wir setzen $X={[0,1]}^2$ und $$\begin{array}{lll}\hfill d_{\mathrm{NY}}\left(\right(x_1,y_1),(x_2,y_2\left)\right)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|& & \hfill \end{array}$$

für $\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)\in {[0,1]}^2$. In der Tat erfüllt $d_{\mathrm{NY}}$ alle Axiome einer Metrik auf ${[0,1]}^2$, da $d_{\mathrm{NY}}=d_1{|}_{X\times X}$ die Einschränkung der Einsmetrik $d_1$ von ${ℝ}^2$ auf $X={[0,1]}^2$ ist. Die Metrik $d_{\mathrm{NY}}$ wird oft auch Manhattan-Metrik genannt. Grund dafür ist, dass man in schachbrettartig angelegten Orten wie zum Beispiel Manhattan auf folgende Weise von $(x_1,y_1)$ nach $(x_2,y_2)$ gelangt: Man geht zuerst bei gleichbleibender $y$-Koordinate von $(x_1,y_1)$ nach $(x_2,y_1)$ und dann bei gleichbleibender $x$-Koordinate von $(x_2,y_1)$ nach $(x_2,y_2)$, oder umgekehrt von $(x_1,y_1)$ nach $(x_1,y_2)$ und dann von $(x_1,y_2)$ nach $(x_2,y_2)$. Es gäbe zwar noch andere Möglichkeiten, aber wenn alle Strassen in Manhattan von West-Ost oder Nord-Süd verlaufen, dann misst $d_{\mathrm{NY}}$ den relevanten Abstand zwischen zwei Punkten.

(iii)

(Metrik der französischen Eisenbahn) Wir setzen $X=ℂ$ und definieren die SNCF-Metrik $d_{\mathrm{SNCF}}$ auf $X$ durch $$\begin{array}{lll}\hfill d_{\mathrm{SNCF}}\left(z_1,z_2\right)=\{\begin{array}{cc}|z_1-z_2|\hfill & \text{falls }{z}_1,z_2\text{ linear abhängig über }ℝ\text{ sind}\hfill \\ \left|z_1\right|+\left|z_2\right|\hfill & \text{falls }{z}_1,z_2\text{ linear unabhängig über }ℝ\text{ sind}\hfill \end{array}& & \hfill \end{array}$$

für alle $z_1,z_2\in ℂ$. Der Grund für den Namen dieser Metrik (siehe Übung 5.13) ist, dass eine Bahnreise von einer französischen Stadt bei $z_1$ zu einer anderen bei $z_2$ meist über den Ursprung $z=0$ (auch Paris genannt) führt, ausser wenn $z_1$ und $z_2$ auf derselben – von Paris ausgehenden geraden Strecke liegen. Gewissermassen besteht $ℂ$ in dieser Metrik also aus unendlich vielen Halbgeraden, die sich nur im Ursprung treffen.

(iv)

Ein kombinatorischer Graph ist eine endliche Menge von Punkten, die sogenannten Ecken, von welchen einige mit sogenannten Kanten verbunden sind. Diese lassen sich auf natürliche Weise mit mehreren Metriken ausstatten; der Konkretheit halber betrachten wir einen spezifischen Graphen, doch muss ein Graph nicht unbedingt als Teilmenge von ${ℝ}^d$ für $d\ge 2$ gegeben sein.

Man kann nun eine Metrik auf den Ecken (durch $\bullet$ gekennzeichnet) dadurch definieren, dass man benachbarten Ecken die Distanz $1$ zuweist und dies iteriert. Beispielsweise definiert man die Distanz zweier Ecken, die man über zwei aber nicht weniger Kanten erreichen kann, als $2$. Dazu notwendig ist, dass man von einer Ecke zu jeder anderen Ecke über Ablaufen von Kanten gelangen kann (wie bei obigem Graphen) – diese Eigenschaft nennt sich auch Zusammenhang des Graphen.

Des Weiteren ist es auch möglich, eine Metrik auf dem kompletten (kontinuierlichen) Graphen zu definieren, indem man die obige Definition auf folgende Weise erweitert. Fasst man eine Kante als Kopie des Intervalles $[0,1]$ auf, wobei $0$ und $1$ die zwei Ecken der Kante sind, so kann man eine Distanz auf den Kanten über die Distanz $|x-y|$ auf $[0,1]$ definieren. Ähnlich wie oben kann man nun damit eine Metrik auf dem gesamten Graphen (inklusive den Kanten) definieren.

Übung 5.13.

Zeigen Sie, dass die in Beispiel 5.12(iii) definierten Metriken tatsächlich Metriken sind. Führen Sie des Weiteren die Konstruktion der Metriken in (iv) vollständig und formal durch.

Übung 5.15 (Deformation der Metrik).

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass

für $x,y\in X$ zwei Metriken $d_{\frac{1}{2}}$, $\tilde{d}$ auf $X$ definieren.