Grenzwerte von Funktionen – Analysis I (Kap. 1-9)

6.4 Grenzwerte von Funktionen

Wir betrachten jetzt wieder allgemeine Funktionen $f : D \to ℝ$ auf einer allgemeinen Teilmenge $D \subseteq ℝ$ und wollen (eigentliche und uneigentliche) Grenzwerte für den Fall definieren, wenn $x \in D$ gegen ein $x_{0} \in ℝ$ strebt (oder auch wenn $x \in D$ gegen $+ \infty$ oder gegen $- \infty$ divergiert).

6.4.1 Grenzwerte und punktierte Umgebungen

Sei $D \subseteq ℝ$ eine Teilmenge und $x_{0} \in ℝ$ ein Häufungspunkt von $D$ . Wir erinnern daran, dass Letzteres genau dann der Fall ist, wenn

\begin{align} D \cap (x_{0} - δ, x_{0} + δ) ∖ {x_{0}} \neq \emptyset & (6.7) \end{align}

für alle $δ > 0$ , oder äquivalent, wenn es eine Folge in $D ∖ {x_{0}}$ gibt, die gegen $x_{0}$ strebt.

Für eine Funktion $f : D \to ℝ$ ist $A = \lim_{x \to x_{0}} f (x)$ der Grenzwert von $f (x)$ für $x \to x_{0}$ , oder auch der Grenzwert bei $x_{0}$ , falls

\begin{array}{l} \forall 𝜀 > 0 \exists δ > 0 \forall x \in D \cap (x_{0} - δ, x_{0} + δ) ∖ {x_{0}} : | f (x) - A | < 𝜀 . \end{array}

Informell ausgedrückt bedeutet dies, dass die Funktionswerte von $f$ beliebig nahe bei $A$ liegen wenn $x \in D ∖ {x_{0}}$ nahe an $x_{0}$ heranrückt. Der Grenzwert von $f (x)$ für $x \to x_{0}$ muss natürlich nicht existieren; wenn er existiert, ist er aber eindeutig bestimmt (diese Eigenschaft ist der Grund, wieso wir (6.7) angenommen haben, siehe Übung 6.38).

Der Grenzwert erfüllt, analog zu Proposition 5.30, die gewohnten Eigenschaften. Er ist

•

linear (das heisst, falls

\lim_{x \to x_{0}} f (x)

und

\lim_{x \to x_{0}} g (x)

existieren, so existiert auch der Grenzwert

\lim_{x \to x_{0}} f (x) + g (x) = \lim_{x \to x_{0}} f (x) + \lim_{x \to x_{0}} g (x)

und analog für skalare Multiplikation),

•

multiplikativ (das heisst, falls

\lim_{x \to x_{0}} f (x)

und

\lim_{x \to x_{0}} g (x)

existieren, so existiert auch

\lim_{x \to x_{0}} f (x) g (x) = (\lim_{x \to x_{0}} f (x)) (\lim_{x \to x_{0}} g (x))

•

monoton (

f \leq g

impliziert

\lim_{x \to x_{0}} f (x) \leq \lim_{x \to x_{0}} g (x)

, falls die Grenzwerte existieren)

•

und erfüllt ein Sandwich-Lemma.

Übung 6.38 (Erste Eigenschaften).

(i): Beweisen Sie, dass der Grenzwert $\lim_{x \to x_{0}} f (x)$ eindeutig bestimmt ist, falls er existiert.
(ii): Beweisen Sie die drei Eigenschaften linear, multiplikativ und monoton des Grenzwerts von Funktionen auf $D$ für $x \to x_{0}$ .
(iii): Formulieren und beweisen Sie ein Sandwich-Lemma für den Grenzwert von Funktionen auf $D$ für $x \to x_{0}$ .

Lemma 6.39 (Grenzwerte und Stetigkeit).

Sei $D \subseteq ℝ$ eine Teilmenge, $x_{0} \in D$ ein Häufungspunkt von $D$ und $f$ eine reellwertige Funktion auf $D$ . Dann ist $f$ genau dann stetig bei $x_{0}$ , wenn $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ .

Beweis.

Falls $f$ bei $x_{0}$ stetig ist, dann existiert zu jedem $𝜀 > 0$ ein $δ > 0$ , so dass für alle $x \in D$ die Implikation $| x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < 𝜀$ gilt. Vergleicht man dies mit der Definition von $\lim_{x \to x_{0}} f (x)$ , erhält man $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ .

Falls umgekehrt $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ gilt, so müssen wir wiederum nur die Definition der Stetigkeit (und die Gleichheit des Grenzwerts mit $f (x_{0})$ ) verwenden, um Stetigkeit von $f$ bei $x_{0}$ zu erhalten.

■

Obiges Lemma hat auch eine Interpretation für den Fall $x_{0} \notin D$ , denn in diesem Fall wäre der Grenzwert $\lim_{x \to x_{0}} f (x)$ (falls dieser existiert) ein guter Kandidat für eine Fortsetzung der Funktion auf die Menge $D \cup {x_{0}}$ , da diese Fortsetzung dann bei $x_{0}$ stetig wird.

Man nennt einen Häufungspunkt $x_{0} \in D$ eine hebbare Unstetigkeitsstelle von $f$ , falls $\lim_{x \to x_{0}} f (x)$ existiert, aber nicht gleich $f (x_{0})$ ist (siehe auch Figur 6.5). In diesem Fall kann man eine neue Funktion $f_{neu} : D \to ℝ$ durch

\begin{array}{l} f_{neu} (x) = {\begin{matrix} f (x) & falls x \in D ∖ {x_{0}} \\ \lim_{x \to x_{0}} f (x) & falls x = x_{0} \end{matrix} \end{array}

für $x \in D$ definieren, die bei $x_{0}$ stetig ist.

Genauso wie in dem Beweis von Proposition 5.50 sieht man nun, dass für eine Folge ${(x_{n})}_{n}$ in $D ∖ {x_{0}}$ mit $x_{n} \to x_{0}$ für $n \to \infty$ die Gleichheit $\lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = \lim_{x \to x_{0}} f (x)$ gilt, falls letzter Grenzwert existiert.

Lemma 6.40 (Grenzwerte mittels Folgen).

Sei $D \subseteq ℝ$ eine Teilmenge, $f : D \to ℝ$ eine Funktion und $x_{0} \in D$ ein Häufungspunkt von $D$ . Dann gilt $A = \lim_{x \to x_{0}} f (x)$ genau dann, wenn für jede Folge ${(a_{n})}_{n}$ in $D ∖ {x_{0}}$ mit $\lim_{n \to \infty} a_{n} = x_{0}$ auch $\lim_{n \to \infty} f (a_{n}) = A$ gilt.

Beweis.

Angenommen $A = \lim_{x \to x_{0}} f (x)$ und ${(a_{n})}_{n}$ ist eine Folge in $D ∖ {x_{0}}$ mit $\lim_{n \to \infty} a_{n} = x_{0}$ . Dann existiert für $𝜀 > 0$ ein $δ > 0$ mit

\begin{array}{l} 0 < | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - A | < 𝜀 \end{array}

für alle $x \in D$ . Des Weiteren existiert ein $N \in ℕ$ mit

\begin{array}{l} n \geq N \Rightarrow 0 < | a_{n} - x_{0} | < δ, \end{array}

was gemeinsam

\begin{array}{l} n \geq N \Rightarrow | f (a_{n}) - A | < 𝜀 \end{array}

ergibt. Die Folge ${(f (a_{n}))}_{n}$ konvergiert also gegen $A$ .

Für die Umkehrung nehmen wir an, dass $A = \lim_{x \to x_{0}} f (x)$ nicht erfüllt ist (also entweder der Grenzwert nicht existiert oder nicht gleich $A$ ist). Dann existiert ein $𝜀 > 0$ , so dass für alle $δ > 0$ ein $x \in D$ existiert mit

\begin{array}{l} 0 < | x - x_{0} | < δ \land | f (x) - A | \geq 𝜀 \end{array}

Wir verwenden dies für $n \in ℕ$ und $δ = \frac{1}{n} > 0$ und finden also ein $a_{n} \in D$ mit

\begin{align} 0 < | a_{n} - x_{0} | < \frac{1}{n} & (6.8) \end{align}

und

\begin{align} | f (a_{n}) - A | \geq 𝜀 . & (6.9) \end{align}

Aus Ungleichung (6.8) schliessen wir, dass die Folge ${(a_{n})}_{n}$ Werte in $D ∖ {x_{0}}$ annimmt und gegen $x_{0}$ konvergiert. Aus Ungleichung (6.9) folgt, dass ${(f (a_{n}))}_{n}$ nicht gegen $A$ konvergiert.

■

Proposition 6.41 (Grenzwerte und Verknüpfung mit stetigen Funktionen).

Seien $D, E \subseteq ℝ$ , $x_{0}$ ein Häufungspunkt von $D$ , $f : D \to E$ eine Funktion, $y_{0} = \lim_{x \to x_{0}} f (x) \in E$ , und $g : E \to ℝ$ eine bei $y_{0}$ stetige Funktion. Dann gilt $\lim_{x \to x_{0}} g (f (x)) = g (y_{0})$ .

🪆Dies ist ein Matrjoschka-Beweis.

Beweis.

Sei ${(a_{n})}_{n}$ eine Folge in $D ∖ {x_{0}}$ mit $\lim_{n \to \infty} a_{n} = x_{0}$ . Nach Lemma 6.40 gilt dann $\lim_{n \to \infty} f (a_{n}) = \lim_{x \to x_{0}} f (x) = y_{0}$ . Die Stetigkeit von $g$ bei $y_{0}$ impliziert nun gemeinsam mit Proposition 5.50, dass $\lim_{n \to \infty} g (f (a_{n})) = g (y_{0})$ . Da ${(a_{n})}_{n}$ eine beliebige Folge in $D ∖ {x_{0}}$ mit $\lim_{n \to \infty} a_{n} = x_{0}$ war, folgt wiederum aus Lemma 6.40, dass $\lim_{x \to x_{0}} g (f (x)) = g (y_{0})$ .

■

Diese Eigenschaften von Grenzwerten können bereits für die Berechnung von vielen Grenzwerten verwendet werden.

Weiters können wir uneigentliche Grenzwerte definieren. Wir sagen zum Beispiel, dass $f (x)$ gegen $+ \infty$ für $x \to x_{0}$ divergiert und schreiben $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty$ , falls

\begin{array}{l} \forall 𝜀 > 0 \exists δ > 0 \forall x \in D \cap (x_{0} - δ, x_{0} + δ) ∖ {x_{0}} : f (x) > 𝜀^{- 1} . \end{array}

Wir nennen die Menge ${\dot{U}}_{δ} (x_{0}) = (x_{0} - δ, x_{0} + δ) ∖ {x_{0}}$ die punktierte $δ$ -Umgebung um $x_{0}$ , und bemerken, dass diese Mengen implizit in der Definition des Grenzwerts aufgetreten sind.

6.4.2 Links- und rechtsseitige Grenzwerte

Angenommen $D \subseteq ℝ$ ist eine Teilmenge und $x_{0} \in ℝ$ hat die Eigenschaft $D \cap (x_{0}, x_{0} + δ) \neq \emptyset$ für alle $δ > 0$ . Intuitiv hat der Punkt $x_{0}$ also die Eigenschaft, dass ihm $D$ von rechts beliebig nahe kommt, was also eine stärkere Forderung ist als (6.7). Einen solchen Punkt $x_{0}$ wollen wir einen rechtsseitigen Häufungspunkt von $D$ nennen. Für eine Funktion $f : D \to ℝ$ ist $A = \lim_{x ↘ x_{0}} f (x)$ (alternativ $\lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ oder auch $\lim_{x \to x_{0}, x > x_{0}} f (x)$ ) der rechtsseitige Grenzwert von $f (x)$ bei $x_{0}$ , falls

\begin{array}{l} \forall 𝜀 > 0 \exists δ > 0 \forall x \in D \cap (x_{0}, x_{0} + δ) : | f (x) - A | < 𝜀 . \end{array}

Wir schreiben $\lim_{x ↘ x_{0}} f (x) = + \infty$ , falls

\begin{array}{l} \forall 𝜀 > 0 \exists δ > 0 \forall x \in D \cap (x_{0}, x_{0} + δ) : f (x) > \frac{1}{𝜀} \end{array}

und $\lim_{x ↘ x_{0}} f (x) = - \infty$ , falls

\begin{array}{l} \forall 𝜀 > 0 \exists δ > 0 \forall x \in D \cap (x_{0}, x_{0} + δ) : f (x) < - \frac{1}{𝜀} . \end{array}

Falls $x_{0}$ die Eigenschaft $D \cap (x_{0} - δ, x_{0}) \neq \emptyset$ für alle $δ > 0$ hat ( $x_{0}$ ist ein linksseitiger Häufungspunkt), können wir ebenso den linksseitigen Grenzwert $\lim_{x ↗ x_{0}} f (x)$ (alternativ $\lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ oder auch $\lim_{x \to x_{0}, x < x_{0}} f (x)$ ) definieren.

Falls $x_{0}$ ein links- und rechtsseitiger Häufungspunkt ist, dann existiert der Grenzwert $\lim_{x \to x_{0}} f (x)$ genau dann, wenn die links- und rechtseitigen Grenzwerte von $f (x)$ bei $x_{0}$ existiert und $\lim_{x ↗ x_{0}} f (x) = \lim_{x ↘ x_{0}} f (x)$ erfüllt ist.

Beispiele von links- und rechtsseitigen Grenzwerten sind

\begin{array}{l} \lim_{x ↘ 0} \frac{1}{x} = + \infty, \lim_{x ↗ 0} \frac{1}{x} = - \infty, \lim_{x ↘ 0} \log (x) = - \infty, \lim_{x ↘ 0} \sqrt{x} = \lim_{x \to 0} \sqrt{x} = 0 . \end{array}

6.4.3 Einseitige Stetigkeit und Sprungstellen

Sei $D \subseteq ℝ$ eine Teilmenge, $x_{0} \in D$ ein rechtseitiger Häufungspunkt von $D$ und $f : D \to ℝ$ eine Funktion. Falls $\lim_{x ↘ x_{0}} f (x)$ existiert und gleich $f (x_{0})$ ist, dann sagen wir, dass $f$ rechtsseitig stetig bei $x_{0}$ ist. Ist $x_{0} \in D$ ein linksseitiger Häufungspunkt von $D$ , dann sagen wir analog, dass $f$ linksseitig stetig bei $x_{0}$ ist, falls $\lim_{x ↗ x_{0}} f (x)$ existiert und gleich $f (x_{0})$ ist.

$PIC$

Figur 6.5: Der Graph einer Funktion, die eine hebbare Unstetigkeitsstelle bei

x_{1}

hat, bei

x_{2}

linksseitig stetig (aber nicht rechtseitig stetig) ist und bei

x_{3}

rechtsseitig stetig ist.

Sei nun $D \subseteq ℝ$ und $x_{0} \in D$ ein links- und rechtsseitiger Häufungspunkt von $D$ (insbesondere ein Häufungspunkt von $D$ ). Für eine Funktion $f : D \to ℝ$ heisst $x_{0}$ eine Sprungstelle, falls die einseitigen Grenzwerte $\lim_{x ↗ x_{0}} f (x)$ und $\lim_{x ↘ x_{0}} f (x)$ existieren, aber verschieden sind.

Applet 6.42 (Grenzwerte einer Funktion).

Wir sehen eine Funktion mit Definitionsbereich $D = {0} \cup (\frac{1}{2}, 2) \cup (2, 5) \cup (5, 8) \cup (8, 11]$ , und betrachten verschiedene Bewegungen im Definitionsbereich und Grenzwerte für diese Funktion.

6.4.4 Die Bewegung nach Unendlich

Angenommen $D \subseteq ℝ$ ist eine nicht von oben beschränkte Teilmenge (das heisst, für alle $δ > 0$ gilt $(\frac{1}{δ}, \infty) \cap D \neq \emptyset$ ) und $f : D \to ℝ$ ist eine Funktion. Wir sagen, dass $f$ gegen $A \in ℝ$ strebt für $x \to \infty$ , und schreiben $\lim_{x \to \infty} f (x) = A$ , falls

\begin{array}{l} \forall 𝜀 > 0 \exists δ > 0 \forall x \in (\frac{1}{δ}, \infty) \cap D : | f (x) - A | < 𝜀 . \end{array}

Übung 6.43 (Beispiele für uneigentliche Grenzwerte).

Definieren Sie für $D$ wie oben und eine Funktion $f : D \to ℝ$ die uneigentlichen Grenzwerte $\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ , $\lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty$ und finden Sie je eine Funktion $f$ auf $(0, \infty)$ mit $\lim_{x \to \infty} f (x) = 1$ , $\lim_{x \to \infty} f (x) = + \infty$ und $\lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty$ .

6.4.5 Einige Rechenbeispiele

Wir werden bei Rechnungen wie den folgenden oft davon ausgehen, dass ein Formelausdruck eine Funktion mit dem maximalen für den Formelausdruck sinnvollen Definitionsbereich definiert.

Beispiel 6.44.

Wir wollen hier $\lim_{x \to 0} x^{x} = \lim_{x ↘ 0} x^{x}$ berechnen, und müssen für dies zwei weitere Grenzwerte berechnen.

•

Wir behaupten zuerst

\begin{align} \lim_{y \to \infty} y \exp (- y) = 0 . & (6.10) \end{align}

In der Tat gilt $\exp (y) \geq {(1 + \frac{y}{2})}^{2}$ für $y \geq 0$ auf Grund der Monotonie der Folge ${(1 + \frac{y}{n})}^{n}$ , die in Abschnitt 6.3 für die Definition der Exponentialabbildung verwendet wurde. Daraus ergibt sich $0 \leq y \exp (- y) \leq \frac{y}{{(1 + \frac{y}{2})}^{2}} \leq \frac{4}{y}$ , was wegen dem Sandwich-Lemma (Lemma B.6) eben (6.10) impliziert.

•

Als nächstes wollen wir

\begin{align} \lim_{x \to 0} x \log x = 0 & (6.11) \end{align}

zeigen. Sei also $𝜀 > 0$ . Dann gibt es wegen (6.10) ein $δ > 0$ so dass $| y \exp (- y) | < 𝜀$ für alle $y > \frac{1}{δ}$ . Sei nun $x \in (0, \exp (- \frac{1}{δ}))$ und $y = - \log x$ , dann ist $y > \frac{1}{δ}$ auf Grund der strengen Monotonie der Logarithmus-Abbildung und damit $| x \log x | = | \exp (- y) y | < 𝜀$ , was zu zeigen war.

•

Auf Grund von Proposition 6.41 und da die Exponentialabbildung stetig ist, ergibt sich aus (6.11)nun

\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} x^{x} = \lim_{x \to 0} \exp (x \log x) = \exp (0) = 1 . \end{array}

Hieraus ergibt sich auch ein weiterer Beweis für Beispiel 6.4 (iii). (Wieso?Nach Lemma 6.40 folgt aus obigem $\lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{n})}^{\frac{1}{n}} = 1$ . Nimmt man nun den Kehrwert so erhalten wir mit Proposition 5.30 (iii) den Grenzwert $\lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} = 1$ .)

Übung 6.45.

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte (falls sie existieren)

\begin{array}{l} \lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - x - 2}{x - 2}, \lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{2 x} + e^{x} + 1}{2 e^{2 x} - 1}, \lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{a}}, \lim_{x \to \infty} \frac{\log (x)}{x^{a}} \end{array}

für ein $a \in ℝ$ . Beschreiben Sie weiters, wie man die Grenzwerte

\begin{array}{l} \lim_{x \to \infty} p (x), \lim_{x \to \infty} \frac{p (x)}{q (x)} \end{array}

für zwei Polynome $p, q \in ℝ [x]$ mit $q \neq 0$ berechnet.

6.4 Grenzwerte von Funktionen

6.4.1 Grenzwerte und punktierte Umgebungen

Übung 6.38 (Erste Eigenschaften).

Lemma 6.39 (Grenzwerte und Stetigkeit).

Lemma 6.40 (Grenzwerte mittels Folgen).

Proposition 6.41 (Grenzwerte und Verknüpfung mit stetigen Funktionen).

6.4.2 Links- und rechtsseitige Grenzwerte

6.4.3 Einseitige Stetigkeit und Sprungstellen

Applet 6.42 (Grenzwerte einer Funktion).

6.4.4 Die Bewegung nach Unendlich

Übung 6.43 (Beispiele für uneigentliche Grenzwerte).

6.4.5 Einige Rechenbeispiele

Beispiel 6.44.

Übung 6.45.

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