Willkommen an der ETH Zürich (oder zumindest zu Ihrem Studium dieses Vorlesungsskripts der ETH Zürich). Dieses Skript wurde erstmals im Studienjahr 2016/2017 für den Vorlesungszyklus Analysis I und II der Studiengänge Interdisziplinäre Naturwissenschaften Bachelor, Physik Bachelor und Mathematik Bachelor erstellt. Im zweiten Jahr der Entwicklung dieses Skripts werden wir vermehrt interaktive Inhalte in der eSkript-Version dieses Textes einsetzen.
Die Analysis I/II und Lineare Algebra I/II Vorlesungen bilden gemeinsam das Fundament der Mathematik, wie sie an der ETH und auch an anderen Universitäten unterrichtet wird. Die allermeisten weiteren Mathematik- und Physik-Vorlesungen werden auf diesen vier Vorlesungen aufbauen und deren Themengebiete erweitern — ohne aber die Zeit zu haben, diese grosszügig zu wiederholen. Damit dieser «theoretische Turm» , in dem eine Vorlesung auf die nächste aufbaut, stabil bleibt, muss das Fundament umso stabiler sein. Für die Analysis I/II-Vorlesung und für dieses Skript bedeutet das unter anderem, dass mathematische Exaktheit gross geschrieben wird.
Wie wir sehen werden, enthalten die Analysis I/II-Vorlesungen viele Themen rund um die und insbesondere auch die Differential- und Integralrechnung. Manche dieser Themen kennen Sie wahrscheinlich schon aus dem Gymnasium; wir werden trotzdem kein grosses Vorwissen voraussetzen (abgesehen von einem intuitiven Verständnis von Variablen und einer gewissen Übung für algebraische Umformungen). Auch werden Sie einen wichtigen Unterschied bemerken: obwohl wir versuchen werden, so viele Themen wie möglich mit Beispielen zu belegen, werden diese viel weniger im Mittelpunkt stehen, als Sie dies wahrscheinlich gewohnt sind. Ebenso ist das Einüben der erlernten Algorithmen und Rechenmethoden nicht der Fokus unserer Vorlesung und wird Ihnen überlassen. Vielmehr werden die Beispiele auch für Sie unübliche Formen annehmen, wenn mitunter das Beispiel darin besteht, die Existenz der Exponentialfunktion zu zeigen oder die Stirling-Formel für das asymptotische Verhalten von [latex]n![/latex] zu bestimmen. Im Mittelpunkt steht vielmehr der Aufbau der mathematischen Theorie, die notwendig ist, um Themen wie Differentialgleichungen und mehrdimensionale Integralsätze zu erreichen und zu verstehen.
Wie bereits erwähnt, hat diese eSkript-Version des Skripts weitere Funktionalitäten.
- (Applets) Viele der Themen werden anschaulicher wenn die Objekte nicht nur in einem Bild dargestellt werden, sondern wenn sich dieses Bild auch verändern lässt. Wir setzten hierfür GeoGebra ein um in mehreren Applets die Theorie anschaulicher darzustellen.
Hier war es uns ein Anliegen, dass die Bedienung sowohl auf einem PC als auch auf mobilen Geräten uneingeschränkt möglich ist. Leider haben wir es noch nicht geschafft, dass die Verwendung dieser Applets innerhalb des eSkripts auf allen Geräten ohne Probleme abläuft. Wenn Sie beim Laden eines Applets innerhalb des eSkripts zum Beispiel auf einem mobilen Gerät auf Probleme stossen, dann können sie stattdessen das Wort «Applet» anklicken, womit das Applet auf einer eigenen Webseite geladen wird und besser funktionieren sollte. Des Weiteren ist das PDF an der gleichen Stelle auch mit dem Applet verlinkt und der Link erlaubt Ihnen, dass Sie mit dem GeoGebra-Applet weiter experimentieren oder dieses verändern können.
Wir wollen aber auch erwähnen, dass diese Hilfen zwar den Einstieg erleichtern sollen, aber das Ziel sein sollte, dass Sie anschliessend auch weitere Theorien ohne derartige Applets verstehen und sich vorstellen können. Das beste Verständnis eines Themas erhält man, wenn man sich die Beweise aneignet und sich ein eigenes Bild davon macht, was in dem Beweis eigentlich passiert.
- (Annotation) Mit Hilfe des Servers hypothes.is können alle Studenten der Analysis-Vorlesung Kommentare am Rand des eSkripts anbringen. Diese Funktionalität versteckt sich meist rechts oben. Wir empfehlen Ihnen gleich nach Erhalt des Zugangscodes für die hypothesis-groups einen Account anzulegen, damit Sie Zugang zu allen Diskussionen haben. Es kann sein, dass Sie einige Zeit nach Erstellen des Accounts Probleme haben, sich bei Ihrem Account einzuloggen (zum Beispiel auf Safari). Grund dafür kann sein, dass in den Privacy-Settings Cookies nur für besuchte Webseiten erlaubt sind. In diesem Fall entweder die Privacy-Settings ändern oder die Seite hypothes.is kurz besuchen, anschliessend klappt der login auch innerhalb des eSkripts wieder für einige Zeit. Es gibt mehrere Arten von Kommentaren:
- (public) Kommentare, die für jeden sichtbar sind. Für fachliche Fragen an andere Studenten, Assistenten und die Professoren. hypothes.is unterstützt ein etwas eingeschränktes «latex» , das heisst, dass Sie kleinere Formeln ohne grosse Probleme in den Diskussionen am Rand eingeben können.
- (privat) Ihre eigenen Kommentare, die für den Rest der Welt unsichtbar sind.
- (spoiler) Wenn Sie Lösungen zu einer Übung präsentieren wollen, oder Hinweise weiter ausbauen wollen, so sollten Sie dies hier machen. Denn viele Studenten wollen vielleicht selber zuerst über ein Problem nachdenken (was zu empfehlen ist) bevor sie eine Lösung sehen wollen.
- (tippfehler) Für Rückmeldungen zu Tippfehler (von fachlichen Fehler bis zu Rechtschreibfehler) im Skript.
- (technik) Für Meldungen, wenn Formeln falsch oder gar nicht angezeigt werden, Applets auf gewissen Platformen nicht laufen, oder andere technische Probleme, die weder Tippfehlern sind noch mit dem Inhalt des Skripts zu tun haben. Zum Beispiel wollten wir, dass man in einem Applet nur die relevanten Punkte bewegen kann und nicht jedes einzelne Objekt. Wenn Sie etwas finden, dass man bewegen kann obwohl dies inhaltlich keinen Sinn macht oder sogar bis zum Neustart der Webseite das Applet zerstört, bitte hier melden.
Allgemein gilt, dass Sie Besitzer Ihrer Kommentare sind und wir diese nicht löschen können. Technisch/rechtlich die einzige Möglichkeit für uns ist ein kompletter Neustart der Webseite unter einer anderen Addresse, was alle Kommentare unabhängig vom Inhalt löscht. Da dies während des akademischen Jahres nicht erwünschenswert ist, bitten wir Sie ihre Kommentare höflich zu formulieren und auf das Fach zu beschränken.
- (Aufgaben und Multiple Choice) Im Skript werden auch einige Übungsaufgaben und Fragen gestellt, die Sie zur Beschäftigung mit den besprochenen Themen anregen sollen. Manchmal haben die Übungsaufgaben auch Lösungen, meist nur Hinweise, aber die Fragen vom Typ Multiple Choice haben immer die richtige Antwort und eine kurze Erklärung. Da der Lernerfolg sich aber nur dann einstellen kann, wenn Sie sich vor dem Lesen der Lösung, des Hinweises oder der Antwort mit der Aufgabe beschäftigen und versuchen diese eigenständig zu lösen, finden Sie diese Hilfen nur im eSkript nach einem zusätzlichen Freiklicken des entsprechenden Texts.
Wir möchten uns bei Menny Akka für viele Vorschläge von Beispielen für die ersten Kapitel des Skripts sowie bei Manuel Lüthi, Roland Prohaska und Philipp Wirth für zahlreiche Korrektur- und Verbesserungsvorschläge bedanken. Des Weiteren wollen wir uns bei Carina Heiss, Anh Huy Truong und Anian Altherr für die Erstellung der verschiedenen geogebra-Applets bedanken. Unser Dank gilt auch den Kommentaren der folgenden Studentinnen und Studenten, Hilfsassistentinnen und Hilfsassistenten der Analysis-Vorlesung: Donior Akhmedov, Samet Armagan, Theodor Batel, Joel Beimler, Vladislav Bunkin, Chiara Caduff, Leon Carl, Maximilian Daschner, Janek Denzler, Till Dieminger, Marc Dollmann, Charlotte Dombrowsky, Alessandro Fasse, Rainer Feichtinger, Atsuhiro Funatsu, Maxim Gerspach, James Golub, Marcel Graetz, Oliver Gräub, Sebastián Guerrero Soriano, Anna Gütl, Jenny Held, Johannes Hruza, Ivan Ilak, Marco Isele, Erik Jahn, Richard Karl, Oriel Kiss, Can Knaut, Benedikt König, Thea Kosche, Raphael Leu, Clemens Macho, Nadine Merk, Marco Moldenhauer, Andreas Mono, Chrishon Nilanthan, Helena Obrist, Mak Planincic, Oliver Rietmann, Quentin Roubaty, Luca Rüegg, Katharina Sauder, Pascal Schmuki, Janik Schüttler, Tolga Sevim, Nicole Sieber, Alexander Smirnow, Felix Sefzig, Taro Spirig, Vinzenz Stampf, Lidia Stocker, Martin Stoller, Stephan Tornier, Moritz Wittmer, Benjamin Zayton und David Zollikofer.