• • I – Inhaltsverzeichnis
  • II – Vorwort
• • 1 – Einführung*
    • 1.1 – Quadratur der Parabel
    • 1.2 – Einige Tipps
    • 1.3 – Logische Begriffe
    • 1.3.1 – Aussagenlogik und die Boolesche Algebra
    • 1.3.2 – Prädikatenlogik
    • 1.4 – Mengenlehre und Abbildungen
    • 1.4.1 – Naive Mengenlehre
    • 1.4.2 – Abbildungen
    • 1.4.3 – Relationen
    • 1.4.4 – Mächtigkeit
    • 1.5 – Zahlenmengen
    • 1.5.1 – Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen
    • 1.5.2 – Teilbarkeit und Kongruenzen
    • 1.6 – Beweise
    • 1.6.1 – Widerspruchsbeweise
    • 1.6.2 – Kontraposition
    • 1.6.3 – Induktionsbeweise
    • 1.6.4 – Das Schubfachprinzip
    • 1.6.5 – Weitere Methoden
    • 1.6.6 – Beweise finden
    • 1.6.7 – Beweise aufschreiben
    • 1.6.8 – Beweise lesen
    • 1.6.9 – Prädikatenlogik vs Umgangssprache
    • 1.7 – Weitere Lernmaterialien
    • 1.7.1 – Verwendung des Kapitels
    • 1.7.2 – Flächeninhalt
    • 1.7.3 – Logik
    • 1.7.4 – Funktionen und Relationen
    • 1.7.5 – Beweismethoden
    • 1.7.6 – Geometrische Probleme
    • 1.7.7 – Übungen zu Primzahlen
    • 1.7.8 – Lernkarten
  • 2 – Die reellen Zahlen
    • 2.1 – Die Axiome der reellen Zahlen
    • 2.1.1 – Körperaxiome
    • 2.1.2 – Angeordnete Körper
    • 2.1.3 – Das Vollständigkeitsaxiom
    • 2.1.4 – Eine erste Anwendung der Vollständigkeit
    • 2.1.5 – Verwendung der reellen Zahlen und der Axiome
    • 2.2 – Die natürlichen Zahlen
    • 2.2.1 – Definition der natürlichen Zahlen und vollständige Induktion
    • 2.2.2 – Die ganzen Zahlen
    • 2.2.3 – Die rationalen Zahlen
    • 2.2.4 – Division mit Rest und Anfänge der Zahlentheorie*
    • 2.2.5 – Verwendung der ganzen Zahlen und deren Eigenschaften
    • 2.3 – Die komplexen Zahlen
    • 2.3.1 – Verwendung der komplexen Zahlen
    • 2.4 – Intervalle und der Absolutbetrag
    • 2.4.1 – Intervalle
    • 2.4.2 – Der Absolutbetrag auf den reellen Zahlen
    • 2.4.3 – Der Absolutbetrag auf den komplexen Zahlen
    • 2.5 – Maximum und Supremum
    • 2.5.1 – Maximum und Minimum
    • 2.5.2 – Supremum und Infimum
    • 2.5.3 – Uneigentliche Werte, Suprema und Infima
    • 2.5.4 – Verwendung des Supremums und des Infimums
    • 2.6 – Konsequenzen der Vollständigkeit
    • 2.6.1 – Das Archimedische Prinzip
    • 2.6.2 – Häufungspunkte einer Menge
    • 2.6.3 – Intervallschachtelungsprinzip
    • 2.6.4 – Überabzählbarkeit
    • 2.6.5 – Die Cantor-Menge*
    • 2.7 – Modelle und Eindeutigkeit der Menge der reellen Zahlen*
    • 2.7.1 – Ebene Geometrie und die Zahlengerade
    • 2.7.2 – Dezimalbrüche
    • 2.7.3 – Dedekind-Schnitte
    • 2.7.4 – Vervollständigung der rationalen Zahlen
    • 2.7.5 – Definition mittels Steigungen
    • 2.7.6 – Eindeutigkeit
    • 2.8 – Weitere Lernmaterialien
    • 2.8.1 – Verwendung des Kapitels
    • 2.8.2 – Weitere Übungsaufgaben
    • 2.8.3 – Multiple-Choice Fragen
    • 2.8.4 – Lernkarten
  • 3 – Funktionen und die reellen Zahlen
    • 3.1 – Summen und Produkte
    • 3.1.1 – Rechenregeln für die Summe
    • 3.1.2 – Rechenregeln für das Produkt
    • 3.1.3 – Die geometrische Summe
    • 3.2 – Polynome
    • 3.2.1 – Polynomdivision
    • 3.2.2 – Nullstellen und Interpolation
    • 3.2.3 – Algebraische und transzendente Zahlen
    • 3.3 – Die Fakultät und der Binomialsatz
    • 3.3.1 – Fakultät
    • 3.3.2 – Binomialkoeffizienten
    • 3.3.3 – Der binomische Lehrsatz
    • 3.3.4 – Eine Summe von Binomialkoeffizienten*
    • 3.4 – Reellwertige Funktionen
    • 3.4.1 – Beschränktheit
    • 3.4.2 – Monotonie
    • 3.5 – Stetigkeit
    • 3.5.1 – Komplex-wertige Funktionen
    • 3.6 – Der Zwischenwertsatz
    • 3.7 – Der Satz über die Umkehrabbildung
    • 3.7.1 – Wurzeln aus natürlichen Zahlen
    • 3.8 – Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen
    • 3.8.1 – Beschränktheit
    • 3.8.2 – Maximum und Minimum
    • 3.8.3 – Gleichmässige Stetigkeit
    • 3.9 – Weitere Lernmaterialien
    • 3.9.1 – Verwendung des Kapitels
    • 3.9.2 – Weitere Übungsaufgaben
    • 3.9.3 – Lernkarten
  • 4 – Das Riemann-Integral
    • 4.1 – Treppenfunktionen und deren Integral
    • 4.1.1 – Zerlegungen
    • 4.1.2 – Das Integral einer Treppenfunktion
    • 4.2 – Definition des Riemann-Integrals
    • 4.3 – Erste Integrationsgesetze
    • 4.3.1 – Linearität
    • 4.3.2 – Monotonie
    • 4.3.3 – Teilintervalle
    • 4.4 – Anwendungen
    • 4.4.1 – Intervallfunktionen
    • 4.4.2 – Flächeninhalt
    • 4.4.3 – Masse, Momente und Schwerpunkt
    • 4.4.4 – Geleistete Arbeit
    • 4.4.5 – Vorteil des Integralbegriffs
    • 4.5 – Integrierbarkeit monotoner Funktionen
    • 4.6 – Integration von Polynomen
    • 4.7 – Integrierbarkeit stetiger Funktionen
    • 4.8 – Weitere Lernmaterialien
    • 4.8.1 – Verwendung des Kapitels
    • 4.8.2 – Weitere Übungsaufgaben
    • 4.8.3 – Multiple-Choice Fragen
    • 4.8.4 – Lernkarten
    • 4.9 – Einschub: Mehrdimensionale Integrale*
    • 4.9.1 – Definition mittels Treppenfunktionen
    • 4.9.2 – Iterierte Integrale
    • 4.9.3 – Schwerpunkt eines Körpers
    • 4.9.4 – Polarkoordinaten
    • 4.9.5 – Kugelkoordinaten
    • 4.9.6 – Zusammenfassung
  • 5 – Folgen und Grenzwerte
    • 5.1 – Konvergenz von Folgen
    • 5.1.1 – Zusammenhang zur Stetigkeit
    • 5.1.2 – Teilfolgen
    • 5.1.3 – Cauchy-Folgen
    • 5.1.4 – Reduktion auf reelle Folgen
    • 5.2 – Reelle Folgen
    • 5.2.1 – Monotone Folgen
    • 5.2.2 – Limes superior und Limes inferior
    • 5.2.3 – Konvergente Teilfolgen
    • 5.2.4 – Reelle Cauchy-Folgen
    • 5.2.5 – Uneigentliche Grenzwerte
    • 5.2.6 – Ein Diagramm für die Zusammenhänge der Begriffe und Sätze
    • 5.3 – Die Exponentialfunktion
    • 5.3.1 – Eine Interpretation
    • 5.3.2 – Konvergenz der Folge
    • 5.3.3 – Inversionsformel
    • 5.3.4 – Additionsformel
    • 5.3.5 – Stetigkeit
    • 5.3.6 – Strenge Monotonie
    • 5.3.7 – Surjektivität
    • 5.3.8 – Der Logarithmus und Potenzen
    • 5.4 – Grenzwerte von Funktionen
    • 5.4.1 – Grenzwerte und punktierte Umgebungen
    • 5.4.2 – Links- und rechtsseitige Grenzwerte
    • 5.4.3 – Einseitige Stetigkeit und Sprungstellen
    • 5.4.4 – Die Bewegung nach Unendlich
    • 5.4.5 – Umgebungsfilter und Konvergenz entlang eines Filters*
    • 5.4.6 – Einige Rechenbeispiele
    • 5.5 – Riemann-Summen
    • 5.6 – Landau Notation
    • 5.7 – Normen und Konvergenz auf Vektorräumen
    • 5.7.1 – Die euklidsche Norm
    • 5.7.2 – Normäquivalenz
    • 5.7.3 – Folgenkonvergenz
    • 5.7.4 – Konvergenz in endlich dimensionalen Vektorräumen
    • 5.7.5 – Stetigkeit
    • 5.7.6 – Vektorwertige Integrale
    • 5.8 – Weitere Lernmaterialien
    • 5.8.1 – Verwendung des Kapitels
    • 5.8.2 – Übungen
    • 5.8.3 – Lernkarten
  • 6 – Reihen, Funktionenfolgen und Potenzreihen
    • 6.1 – Reihen
    • 6.1.1 – Reihen mit nicht-negativen Gliedern
    • 6.1.2 – Bedingte Konvergenz
    • 6.1.3 – Alternierende Reihen
    • 6.1.4 – Das Cauchy-Kriterium
    • 6.2 – Absolute Konvergenz
    • 6.2.1 – Hinreichende Kriterien für absolute Konvergenz
    • 6.2.2 – Umordnen von Reihen
    • 6.2.3 – Produkte
    • 6.3 – Konvergenz von Funktionenfolgen
    • 6.3.1 – Punktweise Konvergenz
    • 6.3.2 – Gleichmässige Konvergenz
    • 6.4 – Potenzreihen
    • 6.4.1 – Konvergenzradius
    • 6.4.2 – Addition und Multiplikation
    • 6.4.3 – Stetigkeit bei Randpunkten
    • 6.5 – Die (komplexe) Exponentialabbildung
    • 6.5.1 – Darstellung durch die Potenzreihe
    • 6.5.2 – Die komplexe Exponentialreihe
    • 6.5.3 – Die Additionsformel
    • 6.5.4 – Der Absolutbetrag der Exponentialabbildung
    • 6.6 – Trigonometrische Funktionen
    • 6.6.1 – Additionsformeln
    • 6.6.2 – Die Kreiszahl
    • 6.6.3 – Tangens und Cotangens
    • 6.6.4 – Polarkoordinaten und Multiplikation auf den komplexen Zahlen
    • 6.6.5 – Zwei Logarithmen auf der komplexen Zahlenebene
    • 6.7 – Integration von Potenzreihen
    • 6.7.1 – Die hyperbolischen Funktionen
    • 6.8 – Ziffernentwicklungen und fraktale Konstruktionen*
    • 6.8.1 – Die Cantor-Menge
    • 6.8.2 – Cantors Teufelstreppe
    • 6.8.3 – Peanos raumfüllende Kurve
    • 6.9 – Weitere Lernmaterialien
    • 6.9.1 – Verwendung des Kapitels
    • 6.9.2 – Übungen
    • 6.9.3 – Lernkarten
  • 7 – Differentialrechnung
    • 7.1 – Die Ableitung
    • 7.1.1 – Definition und geometrische Interpretation
    • 7.1.2 – Beispiele und Ableitungsregeln
    • 7.1.3 – Extremwerte
    • 7.1.4 – Stetige Differenzierbarkeit
    • 7.1.5 – Ableitungen höherer Ordnung
    • 7.2 – Zentrale Sätze der Differentialrechnung
    • 7.2.1 – Der Mittelwertsatz
    • 7.2.2 – Korollare des Mittelwertsatzes und Kurvendiskussion
    • 7.2.3 – Konvexität
    • 7.2.4 – Mittelwertsatz nach Cauchy
    • 7.2.5 – Regel von de l'Hôpital
    • 7.3 – Trigonometrische Funktionen
    • 7.3.1 – Sinus und Arkussinus
    • 7.3.2 – Kosinus und Arkuskosinus
    • 7.3.3 – Tangens und Arkustangens
    • 7.3.4 – Kotangens und Arkuskotangens
    • 7.3.5 – Ein physikalisches Beispiel*
    • 7.3.6 – Verwendung der trigonometrischen Funktionen
    • 7.4 – Hyperbolische Funktionen
    • 7.4.1 – Der Areasinus Hyperbolicus
    • 7.4.2 – Der Areakosinus Hyperbolicus
    • 7.4.3 – Der Areatangens Hyperbolicus
    • 7.5 – Erste Differentialgleichungen
    • 7.5.1 – Differenzengleichungen
    • 7.5.2 – Stammfunktionen
    • 7.5.3 – Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
    • 7.5.4 – Zweite Ordnung
    • 7.6 – Weitere Lernmaterialien
    • 7.6.1 – Verwendung des Kapitels
    • 7.6.2 – Übungen
    • 7.6.3 – Lernkarten
  • 8 – Die Ableitung und das Riemann-Integral
    • 8.1 – Der Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung
    • 8.1.1 – Differentiation von Potenzreihen
    • 8.1.2 – Die alternierende harmonische Reihe
    • 8.1.3 – Die Leibniz-Reihe
    • 8.2 – Integrationsmethoden
    • 8.2.1 – Partielle Integration
    • 8.2.2 – Substitution
    • 8.2.3 – Integration rationaler Funktionen
    • 8.2.4 – Trigonometrische Substitution
    • 8.2.5 – Weitere Integrationsmethoden
    • 8.2.6 – Neue Funktionen
    • 8.2.7 – Das bestimmte Integral
    • 8.2.8 – Leibniz-Notation
    • 8.3 – Anwendungen
    • 8.3.1 – Flächeninhalte
    • 8.3.2 – Bogenlänge
    • 8.3.3 – Wegintegrale von Vektorfeldern
    • 8.3.4 – Volumen von Rotationskörpern
    • 8.3.5 – Oberflächen von Rotationskörpern
    • 8.4 – Das uneigentliche Integral
    • 8.4.1 – Uneigentliche Integrationsgrenzen
    • 8.4.2 – Das Integral über unbeschränkte Funktionen
    • 8.4.3 – Die Gamma-Funktion*
    • 8.5 – Taylor Approximation
    • 8.5.1 – Analytische Funktionen
    • 8.5.2 – Konvergenzgeschwindigkeit des Newton-Verfahrens*
    • 8.6 – Numerische Integration
    • 8.6.1 – Landau-Notation II
    • 8.7 – Drei asymptotische Formeln
    • 8.7.1 – Das Wallissche Produkt
    • 8.7.2 – Stirling-Formel
    • 8.7.3 – Asymptotik der harmonischen Reihe*
    • 8.8 – Weitere Lernmaterialien
    • 8.8.1 – Verwendung des Kapitels
    • 8.8.2 – Übungen
    • 8.8.3 – Lernkarten
  • 9 – Metrische Räume
    • 9.1 – Konvergenz in metrischen Räumen
    • 9.1.1 – Definition und erste Beispiele
    • 9.1.2 – Konvergenz von Folgen
    • 9.1.3 – Der Raum der stetigen Funktionen
    • 9.1.4 – Ein kurzer Überblick
    • 9.1.5 – Euklidische Norm
    • 9.1.6 – Wie sehen metrische Räume aus?
    • 9.2 – Topologische Grundbegriffe
    • 9.2.1 – Offene und abgeschlossene Teilmengen
    • 9.2.2 – Häufungspunkte und Dichtheit
    • 9.2.3 – Zusammenhang
    • 9.3 – Stetigkeit
    • 9.3.1 – Definition und Charakterisierungen
    • 9.3.2 – Zwei stärkere Stetigkeitsbegriffe
    • 9.3.3 – Konstruktion von stetigen Funktionen
    • 9.3.4 – Eine Bemerkung zur Stetigkeit
    • 9.3.5 – Stetigkeit und Zusammenhang
    • 9.4 – Vollständigkeit
    • 9.4.1 – Der Banachsche Fixpunktsatz
    • 9.4.2 – Wahrscheinlichkeitsmatrizen*
    • 9.5 – Kompaktheit
    • 9.5.1 – Definitionen
    • 9.5.2 – Äquivalenzen
    • 9.5.3 – Endlich-dimensionale Vektorräume
    • 9.5.4 – Bilder von kompakten Mengen
    • 9.5.5 – Operatornorm von Matrizen
    • 9.5.6 – Gleichmässige Stetigkeit und Oszillation
    • 9.6 – Fundamentalsatz der Algebra
    • 9.7 – Der Raum der stetigen Funktionen
    • 9.8 – Konstruktion der reellen Zahlen*
    • 9.9 – Weitere Lernmaterialien
    • 9.9.1 – Verwendung des Kapitels
    • 9.9.2 – Weitere Normen und Metriken
    • 9.9.3 – Weitere Übungen
    • 9.9.4 – Lernkarten
  • 10 – Mehrdimensionale Differentialrechnung
    • 10.1 – Die Ableitung
    • 10.1.1 – Der Definitionsbereich
    • 10.1.2 – Lineare Abbildungen
    • 10.1.3 – Definitionen
    • 10.1.4 – Reduktion der Dimension
    • 10.2 – Die Kettenregel und der Mittelwertsatz
    • 10.2.1 – Verknüpfungen differenzierbarer Funktionen
    • 10.2.2 – Geometrische Interpretation der mehrdimensionalen Kettenregel
    • 10.2.3 – Der Mittelwertsatz
    • 10.3 – Höhere Ableitungen und Taylor-Approximation
    • 10.3.1 – Definition und Eigenschaften der höheren partiellen Ableitungen
    • 10.3.2 – Mehrdimensionale Taylor-Approximation
    • 10.4 – Extremwerte
    • 10.4.1 – Beweis des Kriteriums für Definitheit*
    • 10.5 – Parameterintegrale
    • 10.5.1 – Die Bessel-Differentialgleichung*
    • 10.6 – Wegintegrale
    • 10.6.1 – Skalare Wegintegrale
    • 10.6.2 – Wegintegrale von Vektorfeldern
    • 10.7 – Konservative Vektorfelder
    • 10.7.1 – Integrabilitätsbedingungen
    • 10.8 – Weitere Lernmaterialien
    • 10.8.1 – Verwendung des Kapitels
    • 10.8.2 – Übungen
    • 10.8.3 – Lernkarten
  • 11 – Anfänge der Differentialgeometrie
    • 11.1 – Sätze zur impliziten Funktion und zur inversen Abbildung
    • 11.1.1 – Satz zur impliziten Funktion
    • 11.1.2 – Satz zur inversen Abbildung
    • 11.1.3 – Polar- und Zylinderkoordinaten
    • 11.1.4 – Kugelkoordinaten
    • 11.2 – Teilmannigfaltigkeiten des Euklidschen Raumes
    • 11.2.1 – Definition und Beispiele
    • 11.2.2 – Niveaumengen als Teilmannigfaltigkeiten
    • 11.2.3 – Tangentialraum und Tangentialbündel
    • 11.3 – Extremwertprobleme
    • 11.3.1 – Extrema auf kompakten Teilmengen
    • 11.3.2 – Extrema mit Nebenbedingungen und Lagrange-Multiplikatoren
    • 11.3.3 – Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen*
    • 11.3.4 – Eine hinreichende Bedingung für Lagrange-Multi­pli­katoren*
    • 11.4 – Weitere Lernmaterialien
    • 11.4.1 – Verwendung des Kapitels
    • 11.4.2 – Übungen
    • 11.4.3 – Lernkarten
  • 12 – Gewöhnliche Differentialgleichungssysteme
    • 12.1 – Mehrdeutigkeit der Lösung
    • 12.1.1 – Separierbare Differentialgleichungen: ein Leibniz Kochrezept
    • 12.2 – Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
    • 12.2.1 – Die Lösungen für die homogene Gleichung
    • 12.2.2 – Eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
    • 12.2.3 – Lösen des Anfangswertproblems
    • 12.3 – Differentialgleichungsysteme
    • 12.3.1 – Umwandlung einer Differentialgleichung höherer Ordnung
    • 12.3.2 – Lineare autonome Differentialgleichungssysteme
    • 12.3.3 – Beispiele linearer autonomer Differentialgleichungssysteme
    • 12.3.4 – Ein Beispiel eines nicht-linearen Systems
    • 12.4 – Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    • 12.4.1 – Mögliches Verhalten in der Nähe eines Fixpunktes*
    • 12.4.2 – Stetige Abhängigkeit*
    • 12.4.3 – Ein weiteres Beispiel: der rotierende Tropfen*
    • 12.5 – Lineare Differentialgleichungssysteme*
    • 12.6 – Weitere Lernmaterialien
    • 12.6.1 – Verwendung des Kapitels
    • 12.6.2 – Übungen
    • 12.6.3 – Lernkarten
• • A – Christmas-Special: Ein Crash-Kurs zu Fourier-Reihen*
    • A..1 – Faltung auf dem Torus
    • A..2 – Bezug zu weiteren Themen
  • B – Summer-Special 2018: Dynamische Systeme auf Teilmannigfaltigkeiten*
    • B.1 – Vektorfelder und Flüsse auf einer Teilmannigfaltigkeit
    • B.2 – Geodätischer Fluss auf dem Tangentenbündel
    • B.3 – Physikalisch relevante Modifikationen
    • B.4 – Dynamische Systeme
    • B.4.1 – Existenz minimaler Teilmengen
    • B.5 – Der geodätische Fluss auf (Quotienten) der Ebene
    • B.6 – Ein Quotient einer nicht-euklidschen Ebene
  • C – Summer-Special 2017: Der Igelsatz und der Brouwersche Fixpunktsatz*
    • C.1 – Der Satz des gekämmten Igels
    • C.2 – Der Brouwersche Fixpunktsatz
    • C.3 – Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes via dem Igelsatz
    • C.4 – Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes via dem Divergenzsatz im Zwei- und Dreidimensionalen
    • C.5 – Beweis des Igelsatzes
    • C.6 – Erweiterungen und Anwendungen

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