Wir erweitern in diesem Kapitel den Begriff der Ableitung, um auch Funktionen auf (offenen Teilmengen von) [latex]\mathbb {R}^n[/latex] nach [latex]\mathbb {R}^m[/latex] zu erlauben. Diese sind für verschiedene [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] und auch verschiedene Dimensionen [latex]m\in \mathbb {N}[/latex] des Zielraums von Nützen, weshalb wir in dieser Hinsicht keine Einschränkungen treffen wollen. Ist beispielsweise eine Funktion [latex]f: U \to \mathbb {R}^m[/latex] für [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] und [latex]n,m \geq 1[/latex] gegeben, so könnte man sich für Folgendes interessieren.

• Ist [latex]m = 1[/latex] und [latex]n[/latex] beliebig, so kann man sich zum Beispiel fragen, ob [latex]f[/latex] ein Minimum oder ein Maximum annimmt. Weiter möchte man für [latex]n =2[/latex] manchmal einen Graphen von [latex]f[/latex] zeichnen, der dann eine Fläche im [latex]\mathbb {R}^3[/latex] darstellt. Beispielsweise ist der Graph der Funktion [latex](x,y)^t \in B_1(0) \subseteq \mathbb {R}^2 \mapsto \sqrt {1-x^2-y^2} \in \mathbb {R}[/latex] gerade die obere Hemisphäre der Sphäre [latex]\mathbb {S}^2 = \left \lbrace {(x,y,z) \in \mathbb {R}^3} \mid {x^2+y^2+z^2 = 1}\right \rbrace[/latex].
• Ist [latex]n =1[/latex] und [latex]m[/latex] beliebig, so behandelt man Wege im [latex]\mathbb {R}^m[/latex], zu welchen verschiedene Begriffe von Interesse sind (Geschwindigkeit, Krümmung, Wegintegrale und so weiter).
• Sind [latex]m=n[/latex] beliebig, so lässt sich [latex]f[/latex] als Vektorfeld auffassen. Ein solches Vektorfeld lässt sich beispielsweise als Krafteinwirkung auffassen, womit man sich vielleicht für die Arbeit des Kraftfelds entlang eines Weges interessieren könnte.
• Ist immer noch [latex]m=n[/latex] beliebig, so ist [latex]f[/latex] möglicherweise ein Koordinatenwechsel. Wichtige konkrete Beispiele dafür wären Polarkoordinaten im [latex]\mathbb {R}^2[/latex], Zylinderkoordinaten im [latex]\mathbb {R}^3[/latex] oder sphärische Koordinaten im [latex]\mathbb {R}^3[/latex]. (Wir werden allgemeine derartige glatten Koordinatensysteme im nächsten Kapitel betrachten.)
• Sind [latex]m[/latex] und [latex]n[/latex] beliebig, so kann [latex]f[/latex] ein Gleichungssystem der Form [latex]f(x) = 0[/latex] definieren, zu denen man die Lösungsmenge untersuchen will. Beispielsweise stellen die Lösungen von [latex]f(x) = 0[/latex] für [latex]f: \mathbb {R}^3 \to \mathbb {R}^2, (x,y,z)^t \mapsto (x^2+y^2+z^2 - 1,(x-\frac {3}{2})^2 +y^2+z^2-1)[/latex] einen Kreis im [latex]\mathbb {R}^3[/latex] dar. (Lösungsmengen derartiger glatter Gleichungssysteme ergeben oft Beispiele für den Begriff der Teilmannigfaltigkeit, den wir ebenso im nächsten Kapitel besprechen werden.)

10.1 – Die Ableitung

Wir betrachten im Folgenden Funktionen [latex]f: U \to \mathbb {R}^m[/latex], wobei [latex]m,n\geq 1[/latex] und der Definitionsbereich [latex]U[/latex] eine Teilmenge von [latex]\mathbb {R}^n[/latex] ist. Wir möchten nun kurz die Eigenschaften des Definitionsbereiches [latex]U[/latex] ansprechen, die dieser haben soll oder kann.

10.1.1 – Der Definitionsbereich

Bis auf weiteres wird [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] eine offene Teilmenge sein, wobei wir, wenn nicht spezifisch anders angegeben, sowohl auf [latex]\mathbb {R}^n[/latex] als auch auf [latex]\mathbb {R}^m[/latex] die Euklidsche Norm [latex]\| {\cdot }\| = \| {\cdot }\| _2[/latex] verwenden werden (und verwendet haben). Offenheit von [latex]U[/latex] wird es uns erlauben, Punkte in [latex]U[/latex] von allen Richtungen annähern zu können. Auch wenn es nicht immer explizit erwähnt ist, wird [latex]U[/latex] im Folgenden stets nicht-leer sein.

Zusätzlich zur Annahme, dass [latex]U[/latex] offen ist, werden wir mitunter auch folgende Eigenschaften benötigen.

• [latex]U[/latex] ist zusammenhängend, falls sich [latex]U[/latex] nicht als disjunkte Vereinigung zweier offener, nicht-leerer Teilmengen von [latex]U[/latex] schreiben lässt (siehe Abschnitt 9.2.3).
• [latex]U[/latex] ist wegzusammenhängend, falls es zu je zwei Punkten [latex]x_0,x_1\in U[/latex] einen Weg in [latex]U[/latex] gibt, der [latex]x_0[/latex] und [latex]x_1[/latex] verbindet (siehe Definition 9.46).
• [latex]U[/latex] ist sternförmig, falls es ein Zentrum [latex]z \in U[/latex] gibt, so dass für alle [latex]x \in U[/latex] und [latex]t \in [0,1][/latex] auch [latex](1-t)z + tx \in U[/latex] ist.
• [latex]U[/latex] ist konvex, falls für alle [latex]x_0,x_1 \in U[/latex] und [latex]t \in [0,1][/latex] auch [latex](1-t)x_0 + tx_1 \in U[/latex] ist.

Wir haben bereits in Proposition 9.49 gesehen, dass Zusammenhang und Wegzusammenhang für offene Mengen in [latex]\mathbb {R}^n[/latex] äquivalent sind. Wir bemerken, dass sternförmige Teilmengen von [latex]\mathbb {R}^n[/latex] automatisch wegzusammenhängend sind, da sich je zwei Punkte [latex]x_0,x_1[/latex] durch Aneinanderhängen der Geradensegmente zwischen [latex]x_0[/latex] und einem Zentrum [latex]z[/latex] (wie oben) und zwischen [latex]z[/latex] und [latex]x_1[/latex] verbinden lassen. Weiter ist jede konvexe Teilmenge sternförmig (jeder Punkt in [latex]U[/latex] lässt sich als Zentrum wählen). Umgekehrt braucht eine wegzusammenhängende Menge (auch wenn sie offen ist) nicht sternförmig zu sein und eine sternförmige Menge nicht konvex zu sein (finden Sie hier elementare Beispiele).

In Analogie zu Intervallen sind wir unter anderem an wegzusammenhängenden offenen Mengen interessiert, da wir zeigen werden, dass differenzierbare Funktionen mit Ableitung Null auf einem derartigen Gebiet konstant sind.

10.1.2 – Lineare Abbildungen

Wir schreiben [latex]e_1,\ldots ,e_m[/latex] für die Standardbasis des [latex]\mathbb {R}[/latex]-Vektorraums [latex]\mathbb {R}^m[/latex], das heisst, für jedes [latex]j \in \left \lbrace {1,\ldots ,m} \right \rbrace[/latex] ist

der Vektor, der in der [latex]j[/latex]-ten Zeile eine Eins und sonst überall nur Nulleinträge besitzt. Wie Sie bereits aus der Linearen Algebra I wissen, sind lineare Abbildungen [latex]A: \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}^m[/latex] durch die Eigenschaft

für alle [latex]a,b \in \mathbb {R}[/latex] und [latex]x,y\in \mathbb {R}^n[/latex] definiert. Des Weiteren können diese eindeutig durch eine Matrix in [latex]\operatorname {Mat}_{m,n}(\mathbb {R})[/latex] beschrieben werden, wobei die [latex]j[/latex]-te Spalte der Matrix gerade [latex]A(e_j)[/latex] ist.

Des Öfteren werden wir nicht so sehr auf die Unterscheidung zwischen der linearen Abbildung und ihrer Matrixdarstellung bestehen und die Abbildung [latex]A: \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}^m[/latex] mit ihrer Darstellungsmatrix [latex]A \in \operatorname {Mat}_{m,n}(\mathbb {R})[/latex] bezüglich der Standardbasis identifizieren.

Der Spezialfall [latex]m = 1[/latex] ist noch erwähnenswert. In diesem Fall lässt sich eine lineare Abbildung [latex]A: \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}[/latex] auch als ein inneres Produkt mit einem fest gewählten Vektor [latex]v \in \mathbb {R}^n[/latex] interpretieren, so dass [latex]A(x) = \left \langle {x}, {v} \right \rangle[/latex] für alle [latex]x \in \mathbb {R}^n[/latex] gilt. Dies erlaubt eine geometrische Interpretation der Abbildung.

10.1.3 – Definitionen

Das Hauptziel bei der Definition der Ableitung für reellwertige Funktionen auf Teilmengen von [latex]\mathbb {R}[/latex] (Definition 7.1) war Funktionen (lokal) durch Geraden — auch affin lineare Funktionen von [latex]\mathbb {R}[/latex] nach [latex]\mathbb {R}[/latex] genannt — approximieren zu können. Genauso möchten wir nun für Funktionen [latex]U \to \mathbb {R}^m[/latex] mit [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] vorgehen. Dabei ist eine affin lineare Funktion [latex]F:\mathbb {R}^n \to \mathbb {R}^m[/latex] durch [latex]F(x) = y_0 + L(x)[/latex] für alle [latex]x \in \mathbb {R}^n[/latex] gegeben, wobei ein Punkt [latex]y_0 \in \mathbb {R}^m[/latex] und eine lineare Abbildung [latex]L:\mathbb {R}^n \to \mathbb {R}^m[/latex] fest gewählt sind.

In diesem Zusammenhang wird, wie schon zuvor, [latex]h = \triangle x[/latex] das Inkrement des Arguments und [latex]\triangle f(x_0,h) = f(x_0+h)-f(x_0)[/latex] das Inkrement der Funktion genannt. Wir bemerken, dass auf Grund der Offenheit von [latex]U[/latex] für [latex]x_0\in U[/latex] und jedes hinreichend kleine [latex]h\in \mathbb {R}^d[/latex] ebenso [latex]x_0+h\in U[/latex] gilt und damit in der Tat [latex]f(x_0+h)[/latex] definiert ist. Es empfiehlt sich, die totale Ableitung als den linearen Teil der besten affinen Approximation [latex]x_0+h\mapsto f(x_0)+\thinspace {\rm {D}}_{x_0}f h[/latex] der Funktion zu sehen. Insbesondere wird dadurch die Analogie zur Differenzierbarkeit einer Funktion auf [latex]\mathbb {R}[/latex] in Definition 7.1 sichtbar (siehe insbesondere (7.2)). Wir bemerken noch, dass Differenzierbarkeit in [latex]x_0[/latex] Stetigkeit in [latex]x_0[/latex] impliziert (wieso?).

Abbildung 10.1 – Für eine Funktion [latex]f:\mathbb {R}^2\to \mathbb {R}[/latex] entspricht die beste affine Approximation der Tangentialebene des Graphen, der wiederum eine Fläche im [latex]\mathbb {R}^3[/latex] darstellt.

Für [latex]v\in \mathbb {R}^m[/latex] hat die konstante Abbildung [latex]f(x)=v\in \mathbb {R}^m[/latex] für alle [latex]x\in \mathbb {R}^n[/latex] bei jedem Punkt die totale Ableitung [latex]0\in \operatorname {Mat}_{m,n}(\mathbb {R})[/latex]. Eine affine Abbildung [latex]f(x)=v+A(x)\in \mathbb {R}^m[/latex] für alle [latex]x\in \mathbb {R}^n[/latex] und eine vorgegebene Matrix [latex]A\in \operatorname {Mat}_{m,n}(\mathbb {R})[/latex] hat hingegen die Ableitung [latex]D_{x}f=A[/latex] für alle [latex]x\in \mathbb {R}^n[/latex] (wieso?).

Wie bereits betont, darf man bei der Bewegung [latex]h \to 0[/latex] im [latex]\mathbb {R}^n[/latex] keinerlei Einschränkungen vornehmen. Schränken wir die Bewegung dennoch auf Geraden ein (so dass das Inkrement des Arguments die Form [latex]h=sv[/latex] für [latex]s\in \mathbb {R}[/latex] und einen festen Vektor [latex]v \in \mathbb {R}^n[/latex] hat), so ergibt sich folgender neuer Begriff.

Die partielle Ableitung (und die Richtungsableitung entlang eines beliebigen Vektors) ist also eine Ableitung nach einer der unabhängigen Variablen, wobei alle anderen Variablen quasi als Konstanten erachtet werden. Zum Beispiel existieren für die Funktion [latex]f: \mathbb {R}^3 \to \mathbb {R}[/latex] mit [latex]f(x,y,z) = x(y^2+\sin (z))[/latex] für [latex]x,y,z \in \mathbb {R}[/latex] die partiellen Ableitungen bezüglich allen Koordinatenrichtungen und sind gegeben durch

für alle [latex](x,y,z)^t \in \mathbb {R}^3[/latex], da wir einfach alle uns bekannten Regeln aus Abschnitt 7.1.2 anwenden können.

Existiert die totale Ableitung, so lässt sich diese mittels folgender Proposition mit partiellen Ableitungen und Ableitung entlang beliebigen Vektoren in Verbindung bringen.

Interessant wäre auch die Umkehrung von Proposition 10.6; unter anderem da a priori nicht klar ist, wie man die Existenz einer totalen Ableitung in konkreten Situationen nachweisen kann. Wie wir sehen werden, existiert unter gewissen, nicht allzu starken Annahmen, eine solche Umkehrung.

Wie schon im Eindimensionalen gelten auch hier Summen- und Produktregel, wie folgende Übung zeigt.

Landau-Notation: Wir merken an dieser Stelle kurz an, dass keine formale Definition der oben verwendeten Landau-Symbole (siehe zum Beispiel Definition 10.3) gegeben wurde, da dies nur eine kleine Anpassung der Diskussionen in den Abschnitten 5.6 und 8.6.1 darstellt. Beispielsweise ist für eine Funktion [latex]f:U \to \mathbb {R}^m[/latex] auf einer offenen Menge [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] und [latex]x_0 \in U[/latex]

für [latex]x \to x_0[/latex], falls [latex]\frac {\| {f(x)}\| }{\| {x-x_0}\| }[/latex] für [latex]x \to x_0[/latex] gegen Null geht.

10.1.4 – Reduktion der Dimension

Es wäre von Vorteil, wenn wir die Differenzierbarkeit einer Funktion von [latex]\mathbb {R}^n[/latex] nach [latex]\mathbb {R}^m[/latex] auf die Differenzierbarkeit reellwertiger Funktionen von [latex]\mathbb {R}[/latex] nach [latex]\mathbb {R}[/latex] zurückführen könnten. Denn dann würden uns sämtliche Hilfsmittel aus den Kapiteln 7 und 8 zur Verfügung stehen. Hierbei ist die Reduktion der Dimension des Zielraumes auf [latex]m=1[/latex] eine Charakterisierung.

Die Reduktion der Existenz der totalen Ableitungen auf die Existenz der partiellen Ableitung ist etwas schwieriger und im Allgemeinen schlicht nicht möglich. Betrachten wir beispielsweise die Funktion [latex]f: \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R}[/latex] gegeben durch
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:komischefunktion} f(x,y) = \left \lbrace \begin{array}{cl} \frac {xy}{\sqrt {x^2+y^2}} & \text {falls } (x,y)^t \in \mathbb {R}^2 \setminus \left \lbrace {0} \right \rbrace \\ 0 & \text {falls } (x,y)^t = 0\end{array} \right .\end{aligned}
[/latex]
für [latex](x,y)^t \in \mathbb {R}^2[/latex], so existieren beide partiellen Ableitungen [latex]\partial _xf[/latex], [latex]\partial _yf[/latex] auf ganz [latex]\mathbb {R}^2[/latex], aber die totale Ableitung [latex]\thinspace {\rm {D}}_0 f[/latex] existiert trotzdem nicht. Denn für [latex]x = y[/latex] gilt [latex]f(x,y) = \frac {|x|}{\sqrt {2}}[/latex] (wieso impliziert dies, dass die Ableitung nicht existiert?).

Nimmt man jedoch etwas schönere Eigenschaften (als die blosse Existenz) der partiellen Ableitungen an, so erhält man folgende Aussage.

Es empfiehlt sich an dieser Stelle zu überprüfen, dass das Beispiel in (10.1) die Stetigkeitsvoraussetzung des Satzes nicht erfüllt.

Abbildung 10.2 – Illustration des Beweis von Satz 10.10 für [latex]n = 2[/latex]. Der Term [latex]f(x+h)-f(x)[/latex] lässt sich mittels des Hilfspunktes [latex]x+h_2e_2[/latex] als Summe der beiden Ausdrücke [latex]f(x+h)-f(x+h_2e_2)[/latex] und [latex]f(x+h_2e_2)-f(x)[/latex] schreiben. Diese sind aber jeweils Differenzen von Auswertungen von [latex]f[/latex] bei Punkten, die sich jeweils nur in einer Koordinate unterscheiden. Dies erlaubt die Anwendung des Mittelwertsatzes der eindimensionalen Differentialrechnung.

Nach Satz 10.10 und Proposition 10.6 ist [latex]f:U \to \mathbb {R}^m[/latex] genau dann stetig differenzierbar, wenn alle partiellen Ableitungen von [latex]f[/latex] existieren und stetig sind. Kombinieren wir die Aussagen dieses Abschnitts so können wir die Differenzierbarkeit vieler Abbildungen [latex]f[/latex] von [latex]U\subseteq \mathbb {R}^n[/latex] nach [latex]\mathbb {R}^m[/latex] beweisen. Die Ableitung [latex]D_xf[/latex] ist in diesem Fall immer eine lineare Abbildung von [latex]\mathbb {R}^n[/latex] nach [latex]\mathbb {R}^m[/latex], die wir, wie bereits erwähnt, mit der Jacobi-Matrix in [latex]\operatorname {Mat}_{mn}(\mathbb {R})[/latex] (bestehend aus allen partiellen Ableitungen) identifizieren.

10.2 – Die Kettenregel und der Mittelwertsatz

10.2.1 – Verknüpfungen differenzierbarer Funktionen

Wir erinnern daran, dass [latex]\thinspace {\rm {D}}_{f(x_0)}g[/latex] mit einer [latex]k \times m[/latex]-Matrix und [latex]\thinspace {\rm {D}}_{x_0}f[/latex] mit einer [latex]m \times n[/latex]-Matrix identifiziert werden kann, womit die Verknüpfung (10.2) von den Dimensionen her Sinn macht.

Wir betrachten nun den Spezialfall [latex]n=1[/latex] für die Kettenregel. Sei also [latex]\gamma : I \to V \subseteq \mathbb {R}^m[/latex] ein differenzierbarer Weg von einem offenen Intervall [latex]I[/latex] in eine offene Teilmenge [latex]V \subseteq \mathbb {R}^m[/latex]. Sei weiter [latex]f: V \to \mathbb {R}^k[/latex] differenzierbar. Dann ergibt die Kettenregel (Satz 10.13), dass [latex]f \circ \gamma[/latex] differenzierbar ist und die Formel

für alle [latex]t \in I[/latex] gilt. Sollte noch zusätzlich [latex]k=1[/latex] sein, so ist [latex]f \circ \gamma : I \to \mathbb {R}[/latex] und [latex](\thinspace {\rm {D}}_{\gamma (t)}f) \gamma '(t)[/latex] ist für [latex]t \in I[/latex] das Matrixprodukt der [latex]1 \times m[/latex]-Matrix [latex]\thinspace {\rm {D}}_{\gamma (t)}f[/latex] mit der [latex]m \times 1[/latex]-Matrix [latex]\gamma '(t)[/latex] (ein Vektor in [latex]\mathbb {R}^m[/latex]). Wir interpretieren in diesem Fall [latex]\thinspace {\rm {D}}_{x}f[/latex] für [latex]x \in V[/latex] auch als den Spaltenvektor

und nennen dies den Gradienten der Funktion [latex]f[/latex] bei der Stelle [latex]x[/latex]. In dieser Schreibweise erhalten wir die Formel
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:ableitungfmitgamma} (f \circ \gamma )'(t) = \thinspace {\rm {D}}_{\gamma (t)}f \cdot \gamma '(t) = \left \langle {\nabla f (\gamma (t))}, {\gamma '(t)} \right \rangle\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]t \in I[/latex].

Der Begriff der Richtungsableitung und der Fall der Gleichheit in der Cauchy-Schwarz-Ungleichung erlauben es uns auch, eine geometrische Interpretation des Gradienten einer Funktion anzugeben. Ist [latex]f: U \to \mathbb {R}[/latex] eine differenzierbare Funktion auf einer offenen Teilmenge [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] und ist [latex]v \in \mathbb {R}^n[/latex] ein Vektor der Länge [latex]1[/latex], so gilt nach Proposition 10.6 und vorherigem bei [latex]x \in U[/latex]

Angenommen [latex]\nabla f(x) \neq 0[/latex]. Nach der Ungleichung von Cauchy-Schwarz (Proposition 5.86) ist obiger Ausdruck genau dann maximal (das heisst, gleich [latex]\| {\nabla f(x)}\|[/latex]), wenn [latex]v[/latex] in dieselbe Richtung wie [latex]\nabla f(x)[/latex] zeigt (mit positivem skalarem Vielfachen — also [latex]v = \frac {1}{\| {\nabla f(x)}\| }\nabla f(x)[/latex]). In Worten ausgedrückt heisst dies, dass der Gradient von [latex]f[/latex] an jedem Punkt in die Richtung der grössten Richtungsableitung zeigt, das heisst, die Richtung des grössten Anstiegs um [latex]x[/latex] kennzeichnet. Des Weiteren gibt [latex]\| {\nabla f(x)}\|[/latex] die Steigung in dieser Richtung an.

10.2.2 – Geometrische Interpretation der mehrdimensionalen Kettenregel

Für [latex]x \in \mathbb {R}^n[/latex] definieren wir den Tangentenraum [latex]\mathrm {T}_x \mathbb {R}^n[/latex] von [latex]\mathbb {R}^n[/latex] bei [latex]x[/latex] durch

wobei wir Elemente von [latex]\mathrm {T}_x \mathbb {R}^n[/latex] als Vektoren mit Fusspunkt [latex]x[/latex] visualisieren. Via

für [latex](x,v),(x,w)\in \mathrm {T}_x \mathbb {R}^n[/latex] und [latex]\alpha \in \mathbb {R}[/latex] statten wir den Tangentenraum [latex]\mathrm {T}_x \mathbb {R}^n[/latex] bei [latex]x[/latex] mit einer natürlichen Vektorraumstruktur aus, bezüglich der Vektoren wie üblich addiert und skaliert werden, aber der Ort hierbei unverändert bleibt.

Die disjunkte Vereinigung aller Tangentenräume ist das sogenannte Tangentenbündel

von [latex]\mathbb {R}^n[/latex], welches man sich auch als Phasenraum vorstellen kann. Da wir für das Tangentenbündel verschiedene Fusspunkte betrachten, gibt es keine natürliche Weise, auf diesem eine Vektorraumstruktur zu definieren (wir möchten nur «Vektoren» und nicht Fusspunkte addieren).

Weiter definieren wir für eine offene Teilmenge [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] genau gleich den Tangentenraum von [latex]U[/latex] bei [latex]x \in U[/latex] als

welcher sich wie zuvor als Vektorraum aller möglichen Ableitungen [latex]\gamma '(0)[/latex] für differenzierbare Wege [latex]\gamma[/latex] mit Werten in [latex]U[/latex], die [latex]\gamma (0)=x[/latex] erfüllen, auffassen lässt. Des Weiteren ist das Tangentenbündel von [latex]U[/latex] durch

definiert.

In diesem Kontext können wir zum Beispiel die Ableitung zur Zeit [latex]t[/latex] eines differenzierbaren Weges [latex]\gamma : I \to U[/latex] als

interpretieren, wobei [latex]\gamma (t)[/latex] als der Ort zum Zeitpunkt [latex]t[/latex] und [latex]\gamma '(t)[/latex] als die gerichtete Geschwindigkeit zum Zeitpunkt [latex]t[/latex] aufgefasst wird. Der Vorteil dieses Gesichtspunktes ist gewissermassen, dass man gleichzeitig beide interessanten «Daten» Ort und Geschwindigkeit zur Verfügung hat.

Wir definieren nun auch für allgemeine differenzierbare Abbildungen [latex]f:U \to V[/latex] und [latex]g: V \to \mathbb {R}^k[/latex] auf offenen Teilmengen [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] und [latex]V \subseteq \mathbb {R}^m[/latex] die Ableitungen als die Abbildungen

und

die wiederum sowohl eine Ort- als auch eine Geschwindigkeitskomponente betrachten. Dann nimmt die Kettenregel auf ganz [latex]U[/latex] die einfachere Form

an. In der Tat gilt für [latex](x,v) \in \mathrm {T} U[/latex] nach der Kettenregel

Diese Unterscheidung zwischen Ort und Tangentenvektor macht aus vielerlei Sicht Sinn. Betrachten wir zum Beispiel die offene Menge [latex]U[/latex] als unser Universum, so lassen wir natürlich nur Wege in [latex]U[/latex] zu, womit alle möglichen Ableitungen eines differenzierbaren Weges Tangentenvektoren zu Punkten in [latex]U[/latex] sind. Des Weiteren hat das Verdoppeln eines Tangenvektors in [latex]T_x\mathbb {R}^n[/latex] bei [latex]x[/latex] die klare physikalische Interpretation einer Verdoppelung der Geschwindigkeit eines Weges durch [latex]x[/latex], doch hat das Verdoppeln der Ortskoordinaten keine natürliche Interpretation, da es keinen physikalisch sinnvollen Ursprung des Koordinatensystems gibt. Wir werden diese Sichtweise nicht sehr oft für offene Teilmengen des Euklidschen Raum [latex]\mathbb {R}^n[/latex] aber später für Teilmannigfaltigkeiten von [latex]\mathbb {R}^n[/latex] verwenden.

10.2.3 – Der Mittelwertsatz

Wir formulieren nun den Mittelwertsatz für reellwertige differenzierbare Funktionen auf einer offenen Menge in [latex]\mathbb {R}^n[/latex], der eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes für Funktionen auf [latex]\mathbb {R}[/latex] darstellt (Theorem 7.29). Dazu betrachten wir eine gegebene Funktion [latex]f[/latex] entlang eines Geradenstücks in der offenen Menge.

In Worten ausgedrückt existiert also entlang des geraden Weges zwischen [latex]x_0[/latex] und [latex]x_0+h[/latex] ein Punkt, wo die Ableitung entlang des durch den geraden Weg gegebenen Vektors gerade die Differenz der Funktionswerte an den Randpunkten des Weges ist.

10.3 – Höhere Ableitungen und Taylor-Approximation

10.3.1 – Definition und Eigenschaften der höheren partiellen Ableitungen

Auf Grund von Satz 10.10 über die Existenz der totalen Ableitung werden wir im Folgenden eigentlich immer die Stetigkeit der partiellen Ableitungen (das heisst, stetige Differenzierbarkeit) verlangen. Wie wir hier sehen werden, ist diese Annahme auch für «höhere Ableitungen» von Bedeutung.

Wir möchten an dieser Stelle anmerken, dass wir ab jetzt oft nur [latex]\mathbb {R}[/latex]-wertige statt [latex]\mathbb {R}^m[/latex]-wertige Funktionen betrachten werden. Viele der folgenden Aussagen übertragen sich allerdings wegen der Reduktionseigenschaft in Lemma 10.8 auch auf den Fall [latex]m > 1[/latex].

Beweis

Es genügt den Fall [latex]n=2[/latex] und [latex]j=1[/latex], [latex]k=2[/latex] zu betrachten, der allgemeine Fall ist nur in der Notation schwieriger und folgt auch aus dem betrachteten Spezialfall. Für [latex]x \in U[/latex] und ein genügend kleines [latex]h >0[/latex] (so dass [latex](x_1+t_1h,x_2+t_2h)\in U[/latex] für alle [latex]t_1,t_2\in [0,1][/latex]) definieren wir eine Funktion [latex]F[/latex] durch

[latex]
\begin{aligned}[]F(h) = f(x_1+h,x_2+h) - f(x_1+h,x_2)-f(x_1,x_2+h) + f(x_1,x_2).\end{aligned}
[/latex]

Weiter betrachten wir für ein genügend kleines aber festes [latex]h \in (0,1)[/latex] die nach der Kettenregel differenzierbare Funktion [latex]t \in [0,1] \mapsto \varphi (t) = f(x_1+th,x_2+h) - f(x_1+th,x_2)[/latex] und erhalten

[latex]
\begin{aligned}[]F(h) = \varphi (1)- \varphi (0) = \varphi '(\xi _1) = \big (\partial _1 f(x_1+ \xi _1 h,x_2+h) - \partial _1 f (x_1+\xi _1h,x_2)\big ) h\end{aligned}
[/latex]

für ein [latex]\xi _1 \in (0,1)[/latex] nach dem eindimensionalen Mittelwertsatz (Theorem 7.29) angewendet auf die Hilfsfunktion [latex]\varphi[/latex].

Abbildung 10.3 – Die Funktion [latex]h \mapsto F(h)[/latex] ist eine vorzeichenbehaftete Summe von Funktionswerten von [latex]f[/latex] bei den Ecken eines Quadrats (hier gekennzeichnet durch eine durchgezogene Linie). Die Funktion [latex]t \mapsto \varphi (t)[/latex] entspricht der Differenz der Funktionswerte auf einer vertikalen Strecke durch das Quadrat.

Eine nochmalige Anwendungen des eindimensionalen Mittelwertsatzes auf die Funktion [latex]\psi : t \in [0,1] \mapsto \partial _1 f(x_1+\xi _1h,x_2+th)[/latex] ergibt (gemeinsam mit der Kettenregel)

[latex]
\begin{aligned}[]F(h) &= \big (\partial _1 f(x_1+ \xi _1 h,x_2+h) - \partial _1 f (x_1+\xi _1h,x_2)\big ) h\\ &= \partial _2\partial _1f(x_1+\xi _1h,x_2+\xi _2h)h^2\end{aligned}
[/latex]

für einen Zwischenpunkt [latex]\xi _2 \in (0,1)[/latex].

Da aber in der Funktion [latex]h \mapsto F(h)[/latex] die beiden Komponenten symmetrisch verwendet wurden, können wir das Argument auch mit vertauschten Rollen der ersten und zweiten Komponenten durchführen. Dies ergibt analog gewisse [latex]\xi _1',\xi _2' \in (0,1)[/latex] mit

[latex]
\begin{aligned}[]F(h) = \partial _1\partial _2f(x_1+\xi _1'h,x_2+\xi _2'h)h^2.\end{aligned}
[/latex]

Wir dividieren nun durch [latex]h^2 >0[/latex] und erhalten

[latex]
\begin{aligned}[]\partial _2\partial _1f(x_1+\xi _1h,x_2+\xi _2h) = \partial _1\partial _2f(x_1+\xi _1'h,x_2+\xi _2'h).\end{aligned}
[/latex]

Des Weiteren gilt wegen [latex]\xi _1,\xi _2,\xi _1',\xi _2'\in (0,1)[/latex], dass [latex](\xi _1h,\xi _2h)[/latex] und [latex](\xi _1'h,\xi _2'h)[/latex] beide gegen [latex](0,0)[/latex] streben wenn [latex]h\searrow 0[/latex]. Also folgt auf Grund der Stetigkeit beider partiellen Ableitungen [latex]\partial _2\partial _1f(x) = \partial _1\partial _2f(x)[/latex] wie gewünscht. ∎

Wir bemerken, dass die Annahme der Stetigkeit im Satz von Schwarz notwendig ist — siehe die entsprechende Übung in Abschnitt 10.8.2.

Die Hesse-Matrix [latex]H(x) = (H_{ij}(x))_{ij}\in \operatorname {Mat}_{n,n}(\mathbb {R})[/latex] bei [latex]x\in U[/latex] einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion [latex]f:U\to \mathbb {R}[/latex] ist gegeben durch

für [latex]i,j \in \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace[/latex]. Der Satz von Schwarz (Satz 10.20) besagt nun genau [latex]H_{ij}(x) = H_{ji}(x)[/latex] für alle [latex]i,j \in \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace[/latex], also dass [latex]H(x)[/latex] eine symmetrische Matrix ist.

Eine direkte Konsequenz und Verallgemeinerung des Satzes von Schwarz (Satz 10.20) ist das folgende Korollar.

Die höheren partiellen Ableitungen einer stetig differenzierbaren Funktion [latex]f:U\to \mathbb {R}^m[/latex] auf einer offenen Teilmenge [latex]U\subseteq \mathbb {R}^n[/latex] können also alle in die Form

gebracht werden, wobei die einzelnen Komponenten von [latex]\boldsymbol {\alpha }\in \mathbb {N}_0^n[/latex] angeben wie oft wir nach den einzelnen Koordinatenrichtungen abgeleitet haben (und [latex]\partial _j^0f=f[/latex] für alle [latex]j=1,\ldots ,n[/latex]). Der Satz von Schwarz nimmt in dieser Notation die Form

für [latex]\boldsymbol {\alpha },\boldsymbol {\beta }\in \mathbb {N}_0^n[/latex] an, wobei [latex]f[/latex] auf [latex]U[/latex] als [latex]\| {\boldsymbol {\alpha }+\boldsymbol {\beta }}\| _1[/latex]-oft stetig differenzierbar vorausgesetzt wird. Wir bezeichnen in diesem Zusammenhang [latex]\boldsymbol {\alpha } = (\alpha _1,\ldots ,\alpha _n) \in \mathbb {N}_0^n[/latex] als einen Multiindex.

10.3.2 – Mehrdimensionale Taylor-Approximation

Dabei bezeichnet [latex]\partial _h^k f[/latex] die [latex]k[/latex]-fache Ableitung von [latex]f[/latex] entlang des Vektors [latex]h[/latex]. Wir erinnern daran, dass

Auch die höheren Ableitungen [latex]\partial _h^k f[/latex] lassen sich als Linearkombinationen partieller Ableitungen der Ordnung [latex]k[/latex] auffassen, wenn man die Potenz formal ausmultipliziert. Zum Beispiel gilt für den quadratischen Term bei [latex]x \in U[/latex]
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:partialhesse} \begin{aligned}\left [\partial _h^2 f\right ](x) &=\left [\partial _h(h_1 \partial _1 f+ \ldots + h_n \partial _nf) \right ](x)\\ &=\sum _{j=1}^nh_j\partial _h(\partial _jf)(x)=\sum _{i,j=1}^nh_ih_j\partial _i\partial _jf(x)= h^t H(x) h\end{aligned}\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]h\in \mathbb {R}^n[/latex], wobei [latex]H(x)[/latex] wieder die Hesse-Matrix der zweiten Ableitungen bei [latex]x[/latex] bezeichnet.

Wie im eindimensionalen Fall wollen wir die Approximation in Gleichung (10.5) (oder auch (10.6)) die Taylor-Approximation [latex]d[/latex]-ter Ordnung nennen.

Um zu veranschaulichen, wieso Satz 10.22 gerade die mehrdimensionale Version von Theorem 8.58 ist, wollen wir diesen hier in Multiindexnotation darstellen. Wir setzen für [latex]\boldsymbol {\alpha }\in \mathbb {N}_0^n[/latex] und [latex]h \in \mathbb {R}^n[/latex]

sowie [latex]\boldsymbol {\alpha }! = \alpha _1 ! \cdots \alpha _n![/latex]. Sei [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] offen und [latex]f:U \to \mathbb {R}[/latex] eine [latex](d+1)[/latex]-mal stetig differenzierbare Funktion. Sei [latex]x \in U[/latex] und [latex]h \in \mathbb {R}^n[/latex], so dass [latex]x+th \in U[/latex] für alle [latex]t \in [0,1][/latex]. Dann gilt
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:mehrdiff-taylor3} f(x+h) = \sum _{\pmb {\alpha } \in \mathbb {N}_0^n: \| {\pmb {\alpha }}\| _1 \leq d} \frac {1}{\boldsymbol {\alpha }!} \partial ^{\pmb {\alpha }} f(x) h^{\pmb {\alpha }} + R_{x,d}^f(h)\end{aligned}
[/latex]
wobei
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:mehrdiff-taylor4} R_{x,d}^f(h) = (d+1)\sum _{\pmb {\alpha } \in \mathbb {N}_0^n: \| {\pmb {\alpha }}\| _1 = d+1}h^{\pmb {\alpha }} \int _0^1 \frac {(1-t)^d}{\boldsymbol {\alpha }!} \partial ^{\pmb {\alpha }}f (x+th) \thinspace {\rm {d}} t.\end{aligned}
[/latex]
Spricht man von Taylor-Approximation (insbesondere in der Literatur), so ist meistens die Form in (10.10), (10.11) anstelle von (10.5), (10.6) gemeint.

Wir bemerken an dieser Stelle ebenfalls, dass der Hauptterm auf der rechten Seite von (10.10) genau wie in der eindimensionalen Taylor-Approximation ein Polynom darstellt — diesmal allerdings in [latex]d[/latex] Variablen.

Wir werden die mehrdimensionale Taylor-Approximation meist nur für [latex]d=1,2[/latex] wie im folgenden Korollar benötigen.

Glücklicherweise ist nicht immer notwendig alle partiellen Ableitungen zu berechnen. Stattdessen kann man auch auf bekannte Reihendarstellungen zurückgreifen. Wir möchten dies an einem Beispiel illustrieren.

10.4 – Extremwerte

In Satz 9.66 haben wir bereits gesehen, dass stetige Funktionen auf kompakten metrischen Räumen beide Extremwerte (also Maximum und Minimum) besitzen. Des Weiteren wissen wir wegen dem Satz von Heine-Borel (Satz 9.70), dass dies insbesondere für abgeschlossene und beschränkte Teilmengen in [latex]\mathbb {R}^n[/latex] anwendbar ist. Die Methoden dieses Kapitels sind aber eher für offene Teilmengen des [latex]\mathbb {R}^n[/latex] relevant. Für abgeschlossene Teilmengen des [latex]\mathbb {R}^n[/latex] mit «glatten Rändern» werden wir die hier behandelten Methoden im nächsten Kapitel weiter verfeinern.

Der Beweis dieser Proposition ist weitgehend analog zum Beweis im eindimensionalen Fall (siehe Proposition 7.17).

Wie schon für Funktionen auf Intervallen in [latex]\mathbb {R}[/latex] (zum Beispiel für [latex]x \in \mathbb {R} \mapsto x^3 \in \mathbb {R}[/latex]) ist das Verschwinden der Ableitung aber keine hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines Extremwerts. Trotzdem ist Proposition 10.29 in der Praxis sehr nützlich, um die Kandidaten für lokale Extrema aufzuspüren. In der Tat sind die Kandidaten jene Punkte, bei denen die Ableitung entweder nicht existiert oder verschwindet.

Für die Untersuchung, ob bei einem kritischen Punkt ein lokales Extremum angenommen wird, benötigen wir weitere Begriffe aus der Linearen Algebra.

Der Begriff der Definitheit erlaubt es uns nun wie in Korollar 7.37 zu entscheiden, ob bei einem kritischen Punkt ein lokales Maximum angenommen wird oder nicht.

Um sich die obigen Aussagen merken zu können, empfiehlt sich die folgenden einfachen Beispiele im Gedächnis zu behalten.

• [latex]f(x,y) = x^2+y^2[/latex] hat ein lokales Minimum bei [latex]0[/latex].
• [latex]f(x,y) = -x^2-y^2[/latex] hat ein lokales Maximum bei [latex]0[/latex].
• [latex]f(x,y) = x^2-y^2[/latex] hat kein lokales Extremum bei [latex]0[/latex]. Allerdings ist [latex]0[/latex] ein kritischer Punkt von [latex]f[/latex].

In dem indefiniten Fall spricht man auch von einem Sattelpunkt, siehe folgendes Bild.

Auf Grund von Korollar 10.32 sind wir daran interessiert, für eine gegebene Matrix entscheiden zu können, ob sie positiv definit, negativ definit oder indefinit ist. Folgendes Kriterium aus der Linearen Algebra ist dafür sehr nützlich.

Der Beweis dieses Satzes verwendet nur Methoden der Linearen Algebra und wird deswegen in den nächsten Teilabschnitt ausgelagert. Selbstverständlich existieren weitere, nützliche Charakterisierungen von Definitheit (beispielsweise via der Eigenwerte).

10.4.1 – Beweis des Kriteriums für Definitheit*

Wie angekündigt beweisen wir hier Satz 10.33.

10.5 – Parameterintegrale

Seien [latex]a

welches von einer oder mehreren Variablen [latex]x[/latex] abhängt, wird als Parameterintegral bezeichnet.

10.5.1 – Die Bessel-Differentialgleichung*

Als Anwendung der obigen, allgemeinen Theorie zu Parameterintegralen möchten wir diese hier verwenden, um eine Differentialgleichung zu lösen. Für einen Parameter [latex]n\geq 0[/latex] heisst die Differentialgleichung
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:mehrdiff-besseldiffglg} x^2 J_n''(x) +x J_n'(x) + (x^2-n^2)J_n(x) =0\end{aligned}
[/latex]
auf [latex](0,\infty )[/latex] die Bessel-Differentialgleichung. Diese ist linear, homogen von zweiter Ordnung und tritt in mehreren Anwendungen innerhalb und ausserhalb der Mathematik auf.

Aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf (welchen wir gegen Ende des Semesters beweisen werden) folgt, dass (10.13) gemeinsam mit zwei beliebigen Anfangswerten [latex]J_n(x_0) = a[/latex] und [latex]J_n'(x_0) = b[/latex] für [latex]x_0>0[/latex] und [latex]a,b\in \mathbb {R}[/latex] eine eindeutig bestimmte Lösung auf [latex](0,\infty )[/latex] besitzt. Wir wollen hier ein Fundamentalsystem der Lösungen beschreiben oder in anderen Worten zwei linear unabhängige Lösungen angeben, mit denen sich alle weiteren Lösungen als Linearkombinationen ausdrücken lassen. Hierfür nehmen wir [latex]n \in \mathbb {N}_0[/latex] an. Obwohl die Bedeutung dieser Annahmen in (10.13) unklar ist, werden die von uns betrachteten Lösungen diese Annahme benützen.

Das Parameterintegral
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:mehrdiff-besselfct1} J_n(x) = \frac {1}{\pi }\int _0^{\pi } \cos (x\sin (t)-nt)\thinspace {\rm {d}} t\end{aligned}
[/latex]
wird Bessel-Funktion erster Gattung genannt und löst die Differentialgleichung (10.13), was wir mit Hilfe von Differentiation unter dem Integral (Satz 10.36) nachrechnen können. In der Tat gilt für beliebige [latex]t\in [0,\pi ][/latex]

und daher

und analog

Für den Ausdruck [latex]x^2J_n''(x) + (x^2-n^2) J_n(x)[/latex] erhalten wir daraus

auf Grund von partieller Integration und der Annahme [latex]n \in \mathbb {N}_0[/latex]. Daher erfüllt (10.14) die Differentialgleichung (10.13).

Die Bessel-Funktion zweiter Gattung ist durch das uneigentliche Integral

für [latex]x \in (0,\infty )[/latex] definiert. Wir möchten kurz annehmen, dass [latex]Y_n[/latex] die Differentialgleichung (10.13) ebenfalls löst. Dann kann man die gesuchte Lösung eines Anfangswertproblems zu (10.13) in Anwendungen oft bereits mit nur einem Anfangswert [latex]f(x_0) = a[/latex] bestimmen. Denn falls bekannt ist, dass [latex]f[/latex] auf dem Intervall [latex](0,x_0][/latex] beschränkt ist, so muss [latex]f[/latex] ein Vielfaches der Bessel-Funktion [latex]J_n[/latex] der ersten Gattung sein. In der Tat gilt

nach Satz 10.36 und
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:besselzweiasymp} \lim _{x \searrow 0} Y_n(x) = -\infty .\end{aligned}
[/latex]
Dies schliesst unter den Annahme, dass die gesuchte Lösung auf [latex](0,x_0][/latex] beschränkt ist, die Funkion [latex]Y_n[/latex] oder auch Linearkombinationen [latex]\alpha J_n +\beta Y_n[/latex] mit [latex]\beta \neq 0[/latex] aus. Interessanterweise müssen wir aber [latex]Y_n[/latex] wie oben kennen, nur um dann zu sagen, dass die gesuchte Lösung doch ein Vielfaches von [latex]J_n[/latex] sein muss.

10.6 – Wegintegrale

10.6.1 – Skalare Wegintegrale

Sei [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] eine offene Teilmenge und [latex]\gamma :[a,b] \to U[/latex] ein stetig differenzierbarer Weg. Wie wir bereits in Abschnitt 8.3.2 gesehen haben, kann man die Länge von [latex]\gamma[/latex] durch

definieren und berechnen. In Lemma 8.32 haben wir auch gesehen, dass man den Weg oft so reparametrisieren kann, dass [latex]\| {\gamma '(s)}\| = 1[/latex] für alle [latex]s\in [a,b][/latex] gilt, womit [latex]s[/latex] bereits die Bedeutung der Bogenlänge entlang des Weges annimmt (was ist die Länge des Weges bis zu Zeitpunkt [latex]t[/latex], falls [latex]\| {\gamma '(s)}\| = 1[/latex] für alle [latex]s[/latex] gilt?).

Der obige Begriff der Länge eines Weges lässt sich auf eine etwas grössere Klasse erweitern.

Es gibt auch Situationen, wo das skalare Wegintegral einer stetigen reellwertigen Funktion [latex]f: U \to \mathbb {R}[/latex] entlang eines stetigen differenzierbaren Weges [latex]\gamma :[a,b] \to U[/latex]

von Bedeutung ist. Wie zuvor die Weglänge lässt sich dieser Begriff auf stückweise differenzierbare Wege erweitern.

Zum Beispiel könnte für [latex]f:U \to (0,\infty )[/latex] der Wert [latex]f(x)[/latex] das Inverse der erlaubten Höchstgeschwindigkeit im Punkt [latex]x \in U[/latex] angeben. In der Tat falls [latex]\mathfrak {Z} = \left \lbrace {a=s_0

als die Gesamtdauer der Reise entlang des Weges [latex]\gamma[/latex], wenn man immer mit erlaubter Höchstgeschwindigkeit (von [latex]f[/latex] angegeben) reist. Damit kann man nun die minimale Reisedauer (streng genommen als Infimum definierte, nicht unterschreitbare Reisedauer) als eine natürliche Metrik auf [latex]U[/latex] einführen, die von der gewählten inversen Höchstgeschwindigkeit (Dichte des Verkehrs) [latex]f[/latex] abhängt. Falls [latex]f[/latex] die Dichte eines Mediums beschreibt, so hat dies wiederum eine mögliche physikalische Interpretation wie in Beispiel 7.54.

10.6.2 – Wegintegrale von Vektorfeldern

Für viele weitere Anwendungen ist hingegen ein anderer Begriff des Wegintegrals von Bedeutung.

Eine von vielen physikalischen Interpretationen ist die Berechnung der Arbeit entlang eines Weges [latex]\gamma[/latex]. Angenommen [latex]f(x)[/latex] gibt die Richtung und die Stärke einer Krafteinwirkung auf einen Körper an der Stelle [latex]x \in U[/latex] an. Dann ist [latex]\left \langle {f(\gamma (s_k))}, {\gamma (s_k)-\gamma (s_{k-1})} \right \rangle[/latex] näherungsweise die verrichtete Arbeit auf einem Teilintervall [latex][s_{k-1},s_k][/latex] einer Zerlegung [latex]\mathfrak {Z} = \left \lbrace {a = s_0 8.3 führen dann zur Interpretation von [latex]\int _\gamma f \cdot \thinspace {\rm {d}} {s}[/latex] als die geleistete Arbeit für die Reise entlang des Weges [latex]\gamma[/latex] von [latex]\gamma (a)[/latex] nach [latex]\gamma (b)[/latex]. Diese Gesamtarbeit hängt im Allgemeinen vom gewählten Weg und nicht nur vom Anfangsort [latex]\gamma (a)[/latex] und vom Zielort [latex]\gamma (b)[/latex] ab (siehe Beispiel 10.45 unten). Die geleistete Arbeit hängt aber nicht von der gewählten Parametrisierung des Weges ab (vergleiche Lemma 8.32).

10.7 – Konservative Vektorfelder

Eine Schlaufe in einer offenen Teilmenge [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] ist ein Weg mit gleichem Anfangs- und Endpunkt (das heisst, ein Weg [latex]\gamma :[a,b] \to U[/latex] mit [latex]\gamma (a) = \gamma (b)[/latex]). Ob ein Vektorfeld konservativ ist oder nicht, lässt sich auch mit Schlaufen charakterisieren.

Die differenzierbare Funktion [latex]F[/latex] in obigem Satz übernimmt die Rolle der Stammfunktion im Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung und wird auch das zum Vektorfeld [latex]f[/latex] assoziierte Potential (Potentialfunktion) genannt. Diese Funktion existiert aber nicht für alle, sondern nur für gewisse (eben konservative) Vektorfelder.

10.7.1 – Integrabilitätsbedingungen

Wie wir in Satz 10.49 gezeigt haben, stellen die partiellen Differentialgleichungen
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:mehrdiff-intbed} \partial _k f_j = \partial _j f_k\end{aligned}
[/latex]
für [latex]j,k \in \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace[/latex] zu einem stetig differenzierbaren Vektorfeld [latex]f[/latex] auf einem Gebiet eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Potentials zu [latex]f[/latex] dar. Wir nennen diese die Integrabilitätsbedingungen und wollen hier diskutieren, inwiefern sie auch hinreichend sind.

Wir haben bereits einige Male zuvor gesehen, dass Eigenschaften von Funktionen auf verschiedenen Definitionsgebieten unterschiedlich zusammenhängen, und Konservativität und die Integrabilitätsbedingungen bilden ein weiteres Beispiel dafür: Für gewisse Gebiete reicht es tatsächlich, die Integrabilitätsbedingungen zu überprüfen, um entscheiden zu können, ob ein Potential existiert oder nicht; allerdings nicht für alle Gebiete, wie folgendes Beispiel zeigt.

In der Tat misst das Wegintegral in obigen Beispiel die Änderung des Winkels beim Ursprung, doch lässt sich der Winkel als Potential nicht stetig auf ganz [latex]\mathbb {R}^2\setminus \{ 0\}[/latex] definieren (was mit der Nicht-Existenz eines Logarithmus auf der komplexen Ebene äquivalent ist). Wie wir jetzt aber zeigen werden, sind für gewisse Gebiete die Integrabilitätsbedingungen dennoch hinreichend.

10.8 – Weitere Lernmaterialien

10.8.1 – Verwendung des Kapitels

Dieses Kapitel stellt die Grundlagen für die restlichen Themen des Semesters zur Verfügung. In der Tat ist der Begriff der totalen Ableitung für alle weiteren Diskussionen wie zum Beispiel rund um Teilmannigfaltigkeiten im nächsten Kapitel oder auch der mehrdimensionalen Substitutionsregel von fundamentaler Bedeutung. Für die mehrdimensionalen Integralsätze werden wir allerdings noch weitere Ableitungsbegriffe kennenlernen, die allerdings ohne ein gutes Verständnis der Ableitung im Sinne von Definition 10.3 schwer verständlich sein werden. Der Begriff der partiellen Ableitung ist für die Theorie aber vor allem für alle praktischen Berechnungen unabdingbar und stellt einen direkten Zusammenhang zu allen Sätzen und Regeln der eindimensionalen Differentialrechnung her.

Des Weiteren sind Wegintegrale für die Anwendungen (zum Beispiel in der Physik) aber auch für den weiteren Aufbau der mehrdimensionalen Analysis notwendig. Dies haben wir bereits bei der Besprechung der konservativen Vektorfelder gesehen. Die Sätze rund um diesen Begriff zeigen ebenso, dass die mehrdimensionale Analysis deutlich komplexer als die eindimensionale Analysis ist: Im Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung haben wir gesehen, dass in der eindimensionalen Analysis jede stetige Funktion auf einem Intervall als Ableitung einer Funktion (Stammfunktion) auftritt. Doch ein Vektorfeld auf einer offenen Teilmengen in [latex]\mathbb {R}^n[/latex] ist nicht immer eine Ableitung einer Potentialfunktion. Selbst die notwendigen Integrabilitätsbedingungen (welche sich aus dem Satz von Schwarz ergeben) stellen keine Charakterisierung der Konservativität dar, da die Gestalt des Definitionsbereiches einen weiteren Einfluss auf den Begriff hat. Wir werden diesen Problemen etwas allgemeiner im Zusammenhang der mehrdimensionalen Integralsätze nochmals begegnen.

Das Berechnen von höheren Ableitungen von reellwertigen Funktionen auf offenen Teilmengen von [latex]\mathbb {R}^n[/latex] ist zwar prinzipiell nicht schwierig, ist aber ab der dritten Ableitung kaum mehr praktisch. In der Tat hat bereits die dritte totale Ableitung [latex]\binom {n}3+n(n-1)+n[/latex] verschiedene Komponenten (da manche der [latex]n^3[/latex] iterierten partiellen Ableitungen nach dem Satz von Schwarz übereinstimmen). Für [latex]n=3[/latex] sind dies [latex]1+6+3=10[/latex] und für [latex]n=4[/latex] bereits [latex]4+12+4=18[/latex] Komponenten. Aus diesem Grund beschränkt man sich meist auf die erste und zweite Ableitung, welche durch den Gradienten und die Hesse-Matrix gegeben sind. Sollte die Berechnung einer höheren Taylor-Approximation gewünscht sein, so ist es einfacher diese mittels der Definition der gegebenen Funktion aus eindimensionalen Taylor-Approximationen zu berechnen. Die Hesse-Matrix und die Begriffe der positiv und negativ definiten Matrizen sind hingegen sehr nützlich, da wir diese zur Bestimmung von lokalen Extremwerten benötigen.

10.8.2 – Übungen

10.8.3 – Lernkarten

Sie können wiederum die Lernkarten für Ihre Wiederholung der Themen des Kapitels verwenden.

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