Wir werden nun das Thema der Differentialgleichungen, welches sowohl für vielfältige Anwendungen in den Naturwissenschaften und der Technik als auch für viele weitere mathematische Fragestellungen wichtig ist, ausführlicher besprechen. Dabei werden wir auch die Begriffe und Fragestellungen von Differentialgleichungen wie in Abschnitt 7.5 zu gekoppelten Differentialgleichungssystemen erweitern. Des Weiteren wollen wir die Existenz und Eindeutigkeit für entsprechende Anfangswertprobleme unter sehr schwachen und natürlichen Annahmen beweisen. Hierfür werden wir mittels einer geeigneten Umformulierung des Anfangswertproblems nochmals den Banachschen Fixpunktsatz anwenden.

12.1 – Mehrdeutigkeit der Lösung

Wir wollen hier anhand eines einfachen Beispiels zeigen, dass die Lösung eines Anfangswertproblems wie in Abschnitt 7.5 nicht immer eindeutig bestimmt ist.

Beispiel 12.1: Ein Anfangswertproblem mit überabzählbar vielen Lösungen

Wir betrachten das Anfangswertproblem

[latex]
\begin{aligned}[]y' &= 3 y^{\frac 23}\\ y(0) &= -1,\end{aligned}
[/latex]

wobei wir die Definition [latex]a^{\frac 23} = (a^2)^{\frac {1}{3}}=|a|^{\frac 23}[/latex] für alle [latex]a \in \mathbb {R}[/latex] verwenden. Wir verwenden nochmals die Leibniz-Notation und die Methode der Trennung der Variablen (siehe auch Abschnitt 12.1 für eine allgemeinere Diskussion), um einen Kandidaten für eine Lösung zu finden. Es ergibt sich daraus

[latex]
\begin{aligned}[]\frac {\thinspace {\rm {d}} y}{\thinspace {\rm {d}} x} &= 3 y^\frac 23\\ \frac {\thinspace {\rm {d}} y}{y^\frac 23} &= 3 \thinspace {\rm {d}} x\\ \int \frac {\thinspace {\rm {d}} y}{y^\frac 23} &= 3 \int \thinspace {\rm {d}} x\\ \frac {1}{-\frac 23+1}y^{-\frac 23 + 1} &= 3x + C'\\ y^{\frac {1}{3}} &= x + C\\ y &= (x+ C)^3,\end{aligned}
[/latex]

wobei [latex]C'[/latex] ebenso wie [latex]C= \frac 13 C'[/latex] eine unbekannte Konstante darstellt. Für [latex]x=0[/latex] soll [latex]y(0) = (0+C)^3 = -1 = C^3[/latex] sein, weswegen [latex]C = -1[/latex] ist und wir die Funktion

[latex]
\begin{aligned}[]x\mapsto y_1(x) = (x-1)^3\end{aligned}
[/latex]

erhalten. Obwohl die Schritte der obigen Rechnung nicht unserem Standard für Argumentationen genügen, kann (und soll) man nun schnell überprüfen, dass [latex]y_1[/latex] tatsächlich eine Lösung des Anfangswertproblems darstellt.

Wir möchten jetzt aber für jedes [latex]s \geq 1[/latex] eine Lösung [latex]y_s[/latex] des Anfangswertproblems definieren, so dass [latex]y_s[/latex] für [latex]s=1[/latex], wie die Notation suggeriert, [latex]y_1[/latex] ist, und so dass die [latex]y_s[/latex] jeweils verschieden sind. Somit besitzt dieses Anfangswertproblem überabzählbar viele Lösungen. Zu [latex]s \in (1,\infty ][/latex] setzen wir

[latex]
\begin{aligned}[]x \mapsto y_s(x) = \left \lbrace \begin{array}{ll} (x-1)^3 & \text {falls } x \leq 1 \\ 0 & \text {falls } 1 [/latex]

und zeigen, dass [latex]y_s[/latex] das Anfangswertproblem löst. Es gilt

[latex]
\begin{aligned}[]y_s'(x) &= \left \lbrace \begin{array}{ll} 3(x-1)^2 & \text {falls } x s\end{array} \right . \\ &= 3y_s^{\frac 23}(x)\end{aligned}
[/latex]

für alle [latex]x\in \mathbb {R} \setminus \left \lbrace {1,s} \right \rbrace[/latex]. Bei [latex]x=1[/latex] gilt für die links- respektive rechtseitige Ableitung

[latex]
\begin{aligned}[](y_s)_-'(1) &= 3(1-1)^2 = 0 = 3y_s(1)^{\frac 23},\\ (y_s)_+'(1) &= 0 = 3y_s(1)^{\frac 23} = (y_s)_-'(1)\end{aligned}
[/latex]

und bei [latex]x=s[/latex] gilt

[latex]
\begin{aligned}[](y_s)_-'(s) &= 0 = 3y_s(1)^{\frac 23},\\ (y_s)_+'(s) &= 3(s-s)^2 = 0 = 3y_s(1)^{\frac 23} = (y_s)_-'(s).\end{aligned}
[/latex]

Somit ist [latex]y_s[/latex] stetig differenzierbar und löst das Anfangswertproblem. In der Tat ist der Anfangswert von [latex]y_s[/latex] für alle [latex]s>1[/latex] durch [latex]y_s(0) = (0-1)^3 = -1[/latex] gegeben.

Abbildung 12.1 – Die Differentialgleichung [latex]y' = 3 y^{\frac 23}[/latex] hat «Weichen im Richtungsfeld» entlang der ganzen [latex]x[/latex]-Achse.

Wie wir später sehen werden, ist die Struktur der Funktion [latex](x,y) \mapsto y^{\frac 23}[/latex] für die Mehrdeutigkeit in obigem Beispiel verantwortlich. In der Tat werden wir in Abschnitt 12.4 zeigen, dass Lipschitz-Stetigkeit der Funktion [latex](x,y)\mapsto f(x,y)[/latex] die Eindeutigkeit der Lösung des Anfangwertproblems

impliziert. Die Differentialgleichung in Beispiel 12.1 erfüllt diese Bedingung allerdings in der Nähe der [latex]x[/latex]-Achse nicht und dies ist auch genau der Ort wo die Mehrdeutigkeit der Lösungen entsteht.

Wir wollen noch bemerken, dass es je nach Anwendung vielleicht genügt eine Lösung gefunden zu haben. Es könnte aber auch sein, dass in der Anwendung die Mehrdeutigkeit eine spezielle Bedeutung hat. Das Theorem von Picard-Lindelöf (Theorem 12.23) über Existenz und Eindeutigkeit der Lösung (und dessen Annahmen) kann in diesem Sinne auch als Hilfsmittel zur Auffindung der möglichen «Weichen eines Richtungsfeldes» verstanden werden.

12.1.1 – Separierbare Differentialgleichungen: ein Leibniz Kochrezept

Die in Beispiel 12.1 angewandte (und bereits in Abschnitt 7.5.3 für lineare Differentialgleichungen erster Ordnung angedeutete) Methode zur Berechnung von Lösungen gewisser Differentialgleichungen kann allgemeiner wie folgt formuliert werden.

Wie wollen annehmen, dass die Differentialgleichung erster Ordnung die Form
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:sepbarkochen} y'=f(x)g(y)\end{aligned}
[/latex]
annimmt. In diesem Fall nennen wir die Differentialgleichung separierbar und können in der Leibniz-Notation wie folgt die Variablen trennen.

Dabei hoffen wir nun, dass die Integrale auf den beiden Seiten der Gleichung konkret berechnet werden können. In diesem Fall ergibt sich ein Gleichungssystem für [latex]y[/latex], welches man anschliessend versucht nach [latex]y[/latex] aufzulösen (siehe Abschnitt 11.1.1). Wir wollen diese Methode weiter nicht formal begründen, was aber abgesehen von der Möglichkeit, dass [latex]g(y)[/latex] wie in Beispiel 12.1 verschwinden könnte, mittels der Kettenregel möglich ist.

12.2 – Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Wir wollen hier das Verfahren aus Abschnitt 7.5.4 (für den harmonischen Oszillator und ähnliche linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung) nochmals allgemeiner diskutieren. Insbesondere empfiehlt es sich Abschnitte 7.5.3—7.5.4 und das Beispiel der gedämpften Schwingung (mit oder ohne Reibung oder Krafeinwirkung) in Erinnerung zu rufen.

Sei [latex]d\in \mathbb {N}[/latex]. Eine lineare, gewöhnliche Differentialgleichung [latex]d[/latex]-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist eine Differentialgleichung der Form
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:abl-inhom.lin.const.coeff diffglg} y^{(d)}+ a_{d-1} y^{(d-1)}+\ldots +a_0 y^{(0)} = g(x),\end{aligned}
[/latex]
wobei die Koeffizienten [latex]a_{d-1},\ldots ,a_0[/latex] reelle Zahlen und [latex]g:I\to \mathbb {R}[/latex] eine Störfunktion [latex]g[/latex] auf einem Intervall [latex]I\subseteq \mathbb {R}[/latex] ist. Falls [latex]g\neq 0[/latex] ist, so nennt man die Differentialgleichung auch inhomogen. Falls die Störfunktion verschwindet, nimmt die Gleichung die Gestalt
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:abl-hom.lin.const.coeff diffglg} y^{(d)}+ a_{d-1} y^{(d-1)}+\ldots +a_0 y^{(0)} =0\end{aligned}
[/latex]
an und wird homogen genannt.

Das zugehörige Anfangswertproblem hat zusätzlich die Bedingungen
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:lindiffanfbeding} y(x_0) = w_0,\ y'(x_0) = w_1,\ldots ,\ y^{(d-1)}(x_0) = w_{d-1}\end{aligned}
[/latex]
für ein [latex]x_0 \in \mathbb {R}[/latex] (beziehungsweise [latex]x_0\in I[/latex] falls die Störfunktion [latex]g[/latex] nur auf [latex]I\subseteq \mathbb {R}[/latex] definiert ist) und Anfangswerte [latex]w_0,w_1,\ldots ,w_{d-1} \in \mathbb {R}[/latex]. Wie schon für lineare gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung in Abschnitt 7.5.3 lassen sich für obige Differentialgleichungen alle Lösungen der inhomogenen Gleichung (12.2) mit Hilfe einer partikulären Lösungen und der Lösungen der homogenen Gleichung (12.3) bestimmen. Wir erinnern hier daran, dass eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung schlicht eine beliebige Lösung ist (es reicht also, nur eine solche zu finden). Wie wir schon in Abschnitt 7.5.4 gesehen haben ist es von grossem Vorteil, hier nicht nur reellwertige, sondern auch komplexwertige^[1] Lösungen [latex]y[/latex] zu erlauben.

12.2.1 – Die Lösungen für die homogene Gleichung

Um die Lösungen der homogenen Gleichung in (12.3) zu erraten (siehe auch Beispiel 7.65), setzen wir [latex]y = \mathrm {e}^{\alpha x}[/latex] für ein [latex]\alpha \in \mathbb {C}[/latex] und berechnen [latex]y' = \alpha \mathrm {e}^{\alpha x}[/latex], [latex]y'' = \alpha ^2 \mathrm {e}^{\alpha x}[/latex], …, [latex]y^{(d)}= \alpha ^d \mathrm {e}^{\alpha x}[/latex]. Damit ist

Daher ist [latex]y = \mathrm {e}^{\alpha x}[/latex] genau dann eine Lösung der Differentialgleichung (12.3), wenn [latex]\alpha \in \mathbb {C}[/latex] eine Nullstelle des sogenannten charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung (12.3)

ist.

Ist [latex]\alpha[/latex] eine reelle Nullstelle von [latex]p(T)[/latex], dann ist [latex]y= e^{\alpha x}[/latex] eine reellwertige Lösung. Bei reellen Koeffizienten und einer komplexen Nullstelle [latex]\alpha = \beta + \gamma \mathrm {i} \in \mathbb {C}[/latex] mit [latex]\beta ,\gamma \in \mathbb {R}[/latex] ist [latex]\overline {\alpha } = \beta - \gamma \mathrm {i}[/latex] ebenso eine Nullstelle von [latex]p(T)[/latex]. (Wieso?

) Damit sind (nach Übung 12.4) alle Linearkombinationen von

oder auch von

Lösungen von (12.3). Man beachte, dass [latex]\mathrm {e}^{\alpha x}[/latex] und [latex]\mathrm {e}^{\overline {\alpha } x}[/latex] über [latex]\mathbb {C}[/latex] den gleichen Unterraum von Lösungen zu (12.3) aufspannen wie [latex]\mathrm {e}^{\beta x} \cos (\gamma x)[/latex] und [latex]\mathrm {e}^{\beta x} \sin (\gamma x)[/latex]. (Wieso?)

Wir werden in der folgenden allgemeinen Diskussion diesen Wechsel von den Exponentialfunktionen zu Produkten von Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen nicht mehr durchführen, wollen dies aber meist in konkreten Beispielen machen um am Ende die allgemeine Lösung mittels reellwertige Funktionen zu beschreiben. Hat [latex]p(T)[/latex] genau [latex]d[/latex] verschiedene Nullstellen über [latex]\mathbb {C}[/latex], dann ergibt obige Diskussion [latex]d[/latex] linear unabhängige Lösungen auf ganz [latex]\mathbb {R}[/latex].

Wir möchten nun den Fall, wo eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung (12.3) mehrfach erscheint, allgemeiner thematisieren. Dazu beginnen wir, Funktionen des Typs [latex]x^n \mathrm {e}^{\alpha x}[/latex], wie wir sie im letzten Fall von Beispiel 7.67 gesehen hatten, genauer zu untersuchen.

Wir bezeichnen die lineare Hülle dieser Funktionen als

da die Elemente von [latex]\operatorname {PE}_\mathbb {C}(\mathbb {R})[/latex] aus Polynomen und der Exponentialabbildung konstruiert werden. Für [latex]\alpha \in \mathbb {C}[/latex] definieren wir des Weiteren den Teilraum

Die Ableitung definiert eine lineare Abbildung

die des Weiteren [latex]D( \operatorname {PE}_\mathbb {C}^\alpha (\mathbb {R}))\subseteq \operatorname {PE}_\mathbb {C}^\alpha (\mathbb {R})[/latex] für alle [latex]\alpha \in \mathbb {C}[/latex] erfüllt. In der Tat ist
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:abl-derivative on PE_C^alpha} D(\mathrm {e}^{\alpha x}) = \alpha \mathrm {e}^{\alpha x},\quad D(x^{n}\mathrm {e}^{\alpha x}) = n x^{n-1}\mathrm {e}^{\alpha x} + \alpha x^n \mathrm {e}^{\alpha x}\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] und [latex]\alpha \in \mathbb {C}[/latex]. Für die Funktion [latex]f:x \mapsto p(x) \mathrm {e}^{\alpha x}[/latex] zu [latex]p(t) \in \mathbb {C}[t][/latex] bezeichnen wir [latex]\deg (p)[/latex] als den Grad von [latex]f[/latex] und [latex]\alpha[/latex] als den Exponenten von [latex]f[/latex]. Nach Obigem ist für [latex]f \in \operatorname {PE}_\mathbb {C}^\alpha (\mathbb {R})[/latex] mit Exponenten [latex]\alpha \neq 0[/latex] der Grad von [latex]D(f)[/latex] gleich dem Grad von [latex]f[/latex].

Für ein Polynom [latex]p(T) = \sum _{k=0}^d a_k T^k \in \mathbb {C}[T][/latex] definieren wir die lineare Abbildung

wobei [latex]D^0=I[/latex] die Identitätsabbildung auf [latex]\operatorname {PE}_\mathbb {C}(\mathbb {R})[/latex] darstellt (wir haben [latex]f^{(0)}[/latex] als [latex]f[/latex] definiert). Die homogene Differentialgleichung (siehe auch (12.3))

lässt sich mit dem Differentialoperator [latex]p(D)[/latex] auch in der angenehm kurzen Form

schreiben. Die Abbildung [latex]p \in \mathbb {C}[T] \mapsto p(D)[/latex] ist linear. Des Weiteren gilt für zwei Polynome [latex]p(T)= \sum _{k=0}^m a_k T^k[/latex], [latex]q(T) = \sum _{\ell =0}^n b_\ell T^\ell[/latex] und der Konvention [latex]a_k = 0 = b_\ell[/latex] für [latex]k > m[/latex] und [latex]\ell > n[/latex], dass

Somit gilt die multiplikative Eigenschaft

für alle [latex]f \in \operatorname {PE}_\mathbb {C}(\mathbb {R})[/latex] oder kurz [latex]p(D)q(D) = (pq)(D)[/latex]. Diese Eigenschaft macht die Auswertungsabbildung [latex]p\in \mathbb {C}[T] \mapsto p(D)[/latex] zu einem sogenannten Ringhomomorphismus.

Mit der oben eingeführten Abstraktion können wir nun Lösungen zu linearen homogenen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten auf zufriedenstellende Art und Weise angeben.

Wir bemerken, dass nach dem Fundamentalsatz der Algebra (Theorem 9.81) jedes Polynom über [latex]\mathbb {C}[/latex] in Linearfaktoren zerfällt und somit die Annahme an [latex]p[/latex] in obiger Proposition keine Einschränkung ist. Des Weiteren werden wir später sehen, dass die Lösungsmenge der Gleichung [latex]p(D)y = 0[/latex] genau [latex]d[/latex]-dimensional ist. Somit haben wir mit obigem Resultat eine Basis des Lösungsraumes der Differentialgleichung [latex]p(D)y=0[/latex] erhalten.

12.2.2 – Eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

Wir wenden uns nun dem inhomogenen Problem zu. Für eine Störfunktion [latex]g \in \operatorname {PE}_\mathbb {C}(\mathbb {R})[/latex] gibt es ein einfaches Rezept, wie man eine partikuläre Lösung [latex]y_{\operatorname {part}}[/latex] der inhomogenen Differentialgleichung

wobei [latex]p(T) \in \mathbb {C}[T][/latex], finden kann.

• Falls [latex]g(x) = q(x) \mathrm {e}^{\alpha x}[/latex] für ein Polynom [latex]q(T)[/latex] vom Grad [latex]n[/latex] und [latex]\alpha \in \mathbb {C}[/latex] mit [latex]p(\alpha ) \neq 0[/latex], dann definiert man [latex]y_{\operatorname {part}} = Q(x) \mathrm {e}^{\alpha x}[/latex], wobei [latex]Q(T)[/latex] ein Polynom vom Grad [latex]n[/latex] mit noch zu bestimmenden Koeffizienten ist. Nun berechnet man [latex]p(D)y_{\operatorname {part}}[/latex], setzt dies gleich [latex]g[/latex] und verwendet diese Gleichung, um die Koeffizienten von [latex]Q[/latex] zu bestimmen.
• Falls [latex]g(x) = q(x) \mathrm {e}^{\alpha x}[/latex] für ein Polynom [latex]q(T)[/latex] vom Grad [latex]n[/latex] und [latex]\alpha \in \mathbb {C}[/latex] mit [latex]p(\alpha ) = 0[/latex], dann wiederholt man obiges Verfahren, allerdings mit dem Ansatz [latex]y_{\operatorname {part}} = Q(x)x^\ell \mathrm {e}^{\alpha x}[/latex], wobei [latex]\ell[/latex] die Vielfachheit der Nullstelle [latex]\alpha[/latex] von [latex]p(T)[/latex] angibt.
• Ein allgemeines [latex]g \in \operatorname {PE}_\mathbb {C}(\mathbb {R})[/latex] lässt sich als Linearkombination von Ausdrücken wie oben darstellen. Auf Grund der Linearität von [latex]p(D)[/latex] kann man also obiges Verfahren für Summanden der Form [latex]q(x) \mathrm {e}^{\alpha x}[/latex] in [latex]g[/latex] anwenden und dann die resultierenden Funktionen addieren.
• Falls [latex]\alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R}[/latex] ist und wir an reellwertigen Lösungen einer Differentialgleichung mit reellen Koeffizienten interessiert sind, dann kann man [latex]\mathrm {e}^{\alpha x},\mathrm {e}^{\overline { \alpha }x}[/latex] in obigen Diskussionen durch [latex]\mathrm {e}^{\beta x}\cos (\gamma x)[/latex], [latex]\mathrm {e}^{\beta x}\sin (\gamma x)[/latex] für [latex]\beta ,\gamma \in \mathbb {R}[/latex] mit [latex]\alpha = \beta + \gamma \mathrm {i}[/latex] ersetzen.

12.2.3 – Lösen des Anfangswertproblems

Die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung ergibt sich nun wiederum als die Summe einer partikulären Lösung und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung (siehe Übung 12.4). Anschliessend kann man die Anfangsbedingungen eines Anfangswertproblems (siehe (12.4)) verwenden, um die Lösung näher zu bestimmen.

Wir wollen das Verfahren zur Lösung eines Anfangswertproblems für eine inhomogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten nochmals an einem Beispiel erklären, welches etwas komplexer ist, damit wir eben einige der verschiedenen Möglichkeiten sehen können. Wir überspringen allerdings das Lösen der sich ergebenden linearen Gleichungssysteme.

12.3 – Differentialgleichungsysteme

Wir wollen hier den Begriff der Differentialgleichung auf vektorwertige Funktionen oder (äquivalenterweise) auf mehrere, verschiedene Funktionen mit Querbeziehungen verallgemeinern. Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall, [latex]U \subseteq I \times \mathbb {R}^d[/latex] offen und [latex]f: U \to \mathbb {R}^d[/latex] eine stetige Funktion. Dann heisst die Gleichung

für eine unbekannte (gesuchte) Funktion (Kurve) [latex]x[/latex] ein [latex]d[/latex]-dimensionales Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Dabei ist der Definitionsbereich einer Lösung [latex]x[/latex] möglicherweise nur ein Teilintervall von [latex]I[/latex] (insbesondere muss ja [latex](t,x(t))\in U[/latex] für alle [latex]t[/latex] im Definitionsbereich von [latex]x[/latex] gelten). Die Funktion [latex]f[/latex] wird oft auch die rechte Seite genannt. Des Weiteren nennen wir zu [latex](t_0,x_0) \in U[/latex] die Gleichungen

ein Anfangswertproblem zum Anfangswert [latex]x_0[/latex] bei [latex]t_0 \in I[/latex].

Die Differentialgleichung ist autonom (sich selbst überlassen), falls [latex]f[/latex] zeitunabhängig ist, das heisst, falls [latex]f(t,x) = f(t',x)[/latex] für alle [latex](t,x),(t',x) \in U[/latex]. Wie schon zuvor nennen wir die Funktion [latex]f[/latex] ein Vektorfeld, selbst wenn dieses zeitabhängig ist. Das Vektorfeld gibt bei [latex](t,x) \in U[/latex] die Richtung und die Geschwindigkeit des gesuchten Weges [latex]t\mapsto x(t)[/latex] an. Eine praktische Applikation zur Darstellung von Vektorfeldern (und der Lösungen von Anfangswertproblemen dazu) können Sie hier finden.

12.3.1 – Umwandlung einer Differentialgleichung höherer Ordnung

Es stellt sich die Frage, warum wir oben (und auch im Folgenden) nur Differentialgleichungssysteme erster Ordnung besprechen. Der Grund dafür ist die folgende Konstruktion.

Angenommen
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:diffglg-redhoeherauferster1} y^{(d)}(t) = f\bigl (t,y(t),\dot y(t),\ldots ,y^{(d-1)}(t)\bigr )\end{aligned}
[/latex]
ist eine explizite Differentialgleichung der Ordnung [latex]d[/latex] und [latex]f:U \to \mathbb {R}[/latex] ist eine stetige Funktion auf einer offenen Teilmenge [latex]U\subseteq \mathbb {R}^{d+1}[/latex]. Dann können wir diese Differentialgleichung in ein [latex]d[/latex]-dimensionales Differentialgleichungssystem erster Ordnung umwandeln, indem wir

und
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:diffglg-redhoeherauferster2} \left \lbrace \begin{array}{c} \dot x_0(t) = x_1(t) \\ \dot x_1(t) = x_2(t) \\ \vdots \\ \dot x_{d-1}(t) = f(t,x_0(t),\ldots ,x_{d-1}(t))\end{array} \right .\end{aligned}
[/latex]
setzen. In der Tat sind mit [latex]y(t) = x_0(t)[/latex] die Gleichungen (12.6) und (12.7) äquivalent. Die in (12.7) definierte (stetige) rechte Seite [latex]\tilde {f}:U \to \mathbb {R}^d[/latex] «erbt» des Weiteren die meisten Eigenschaften von [latex]f[/latex]. Ist beispielsweise [latex]f[/latex] differenzierbar, so ist auch [latex]\tilde {f}[/latex] differenzierbar und selbiges gilt unter anderem für Lipschitz-Stetigkeit (siehe die Annahmen von Theorem 12.23 wieter unten).

Selbiges Verfahren, leicht angepasst, liefert zu einer Differentialgleichungen höherer Ordnung in vektorwertigen Funktionen ebenfalls eine äquivalentes Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Die gleiche Diskussion trifft auf die Übertragung von Anfangswerten zu.

Obige Äquivalenz erklärt, wieso wir in den Diskussionen weiter unten uns meist auf Differentialgleichungen (oder Differentialgleichungssysteme) erster Ordnung einschränken werden. Wir überlassen es dabei den Leserinnen und Lesern, die Resultate (siehe vor allem Theorem 12.23) auf Differentialgleichungen höherer Ordnung übertragen.

12.3.2 – Lineare autonome Differentialgleichungssysteme

Wir betrachten hier den Fall eines linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Auf Grund der Konstruktion aus Abschnitt 12.3.1 gibt Proposition 12.15 auch eine Lösungsmethode für lineare Differentialgleichungen [latex]d[/latex]-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten wie in (12.3) an (siehe auch den Beweis von Korollar 12.18 unten). Hier möchten wir andeuten, wie sich solche Differentialgleichungen als Differentialgleichungssystem erster Ordnung schreiben lassen. Sei also die Differentialgleichung

für [latex]a_0,\ldots ,a_{d-1} \in \mathbb {R}[/latex] gegeben. Wandelt man dies in Differentialgleichungssystem erster Ordnung um, so ergibt sich (siehe (12.7)) die Gleichung [latex]\dot {x}(t) = Ax(t)[/latex] für

Dies ist auch die Begleitmatrix des charakteristischen Polynoms der obigen Differentialgleichung — siehe folgende Übung.

Die Aussage von Proposition 12.15 «konkurriert» gewissermassen mit der Aussage von Proposition 12.8, weswegen man sich fragen könnte, ob die Exponentialabbildung für Matrizen auch für Differentialgleichungen wie Proposition 12.8 entsprechende Lösungen liefert. Dafür möchten wir auf Übung 12.21 verweisen.

Vergleicht man den Beweis des obigen Korollars mit der (auf einem Ansatz beruhenden) Diskussion in Abschnitt 12.2 so ergibt sich, dass die Exponentialabbildung für Matrizen (gemeinsam mit der Jordan-Normalform von Matrizen) die Struktur der in Proposition 12.8 gefunden Lösungen sehr gut erklärt (siehe auch Übung 12.21).

12.3.3 – Beispiele linearer autonomer Differentialgleichungssysteme

Beispiel 12.19: Rotation

Wir betrachten das gekoppelte Differentialgleichungssystem

[latex]
\begin{aligned}[]\dot {x}_1 = -x_2,\quad \dot {x}_2 = x_1,\end{aligned}
[/latex]

welches sich auch kurz als

[latex]
\begin{aligned}[]\dot {x} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} x\end{aligned}
[/latex]

schreiben lässt. Auf Grund der Zeitunabhängigkeit der rechten Seite ist dieses autonom. Das Vektorfeld lässt sich wie in folgendem Bild darstellen.

Weiter ist die eindeutig bestimmte Lösung [latex]x[/latex] zum Anfangswertproblem mit einem beliebigen Anfangswert [latex]x_0 \in \mathbb {R}^2[/latex] durch

[latex]
\begin{aligned}[]x(t) = \exp \left (\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}t\right ) x_0 = \begin{pmatrix}\cos (t) & -\sin (t) \\ \sin (t) & \cos (t)\end{pmatrix} x_0\end{aligned}
[/latex]

gegeben. (Wieso?

Für die Matrix [latex]A[/latex] in der obigen Differentialgleichung [latex]\dot {x}=Ax[/latex] sind die Potenzen gegeben durch [latex]A^0=I,A,-I,-A,I,A,\ldots[/latex] und für die Exponentialreihe [latex]\exp (At)[/latex] treten die geraden Potenzen von [latex]At[/latex] nur in der Diagonal und die ungeraden Potenzen von [latex]At[/latex] nur in den anderen beiden Matrixeintragungen in Erscheinung. Des Weiteren alternieren die Vorzeichen und es ergeben sich die Potenzreihe von [latex]\cos t[/latex] und [latex]\sin t[/latex].

). Startet man also beispielsweise bei [latex](1,0)^t[/latex], so bewegt man sich entlang des Einheitskreises mit Geschwindigkeit [latex]1[/latex], wobei man stets den oben illustrierten Pfeilen folgt, die den Kreis tangential berühren.

Beispiel 12.20: Spirale

Wir betrachten das gekoppelte, autonome Differentialgleichungssystem

[latex]
\begin{aligned}[]\dot {x}_1 = x_1-x_2,\quad \dot {x}_2 = x_1+x_2,\end{aligned}
[/latex]

welches sich auch kurz als

[latex]
\begin{aligned}[]\dot {x} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} x\end{aligned}
[/latex]

schreiben lässt. Wir stellen das Vektorfeld wieder in einer Grafik dar.

Die eindeutig bestimmte Lösung [latex]x[/latex] zum Anfangswertproblem mit einem beliebigen Anfangswert [latex]x_0 \in \mathbb {R}^2[/latex] ist durch

[latex]
\begin{aligned}[]x(t) &= \exp \left (\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}t\right ) x_0 = \exp \left (\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}t\right )\exp \left (\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}t\right ) x_0 \\ &= \begin{pmatrix}\mathrm {e}^t\cos (t) & -\mathrm {e}^t\sin (t) \\ \mathrm {e}^t\sin (t) & \mathrm {e}^t\cos (t)\end{pmatrix} x_0\end{aligned}
[/latex]

gegeben. (Wieso?

Da die Identitätsmatrix [latex]I[/latex] mit der Matrix [latex]A[/latex] aus Beispiel 12.19 kommutiert, können wir [latex]\exp (It+At)=\exp (It)\exp (At)=\exp (t)\exp (At)[/latex] verwenden (siehe den Beweis von Proposition 12.15).

)

12.3.4 – Ein Beispiel eines nicht-linearen Systems

Wir betrachten das nicht-lineare autonome Differentialgleichungssystem
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:diffglg-nonlinearode} \begin{array}{c} \dot {x} = x-y-(x^2+y^2) x\\ \dot {y} = x+y-(x^2+y^2) y\end{array}\end{aligned}
[/latex]
Das involvierte Vektorfeld lässt sich dann wie in folgendem Bild darstellen.

Wir möchten zuerst zwei spezielle Fälle betrachten:

1. Wir suchen die konstanten Lösungen der Differentialgleichung (12.8). Seien also [latex]x,y[/latex] definiert (und differenzierbar) auf einem Intervall mit
   [latex]
   \begin{aligned}[]\begin{array}{c} 0 = x-y-(x^2+y^2) x\\ 0 = x+y-(x^2+y^2) y\end{array} .\end{aligned}
   [/latex]

   Insbesondere ist dann

   [latex]
   \begin{aligned}[]0 &= \big (x-y-(x^2+y^2) x\big )\cdot y - \big (x+y-(x^2+y^2) y\big )\cdot x \\ &= -x^2 -y^2\end{aligned}
   [/latex]

   und somit [latex]x=y=0[/latex].

2. Wir betrachten nun das Anfangwertproblem zu (12.8) mit einem Anfangswert [latex](x_0,y_0)^t[/latex] auf dem Einheitskreis. Das obige Bild lässt dann vermuten, dass die Lösung aus Beispiel 12.19 auch hier eine Lösung darstellt;
   [latex]
   \begin{aligned}[](x(t),y(t))^t = \begin{pmatrix}\cos (t) & -\sin (t) \\ \sin (t) & \cos (t)\end{pmatrix} (x_0,y_0)^t.\end{aligned}
   [/latex]

   In der Tat bewegt sich diese Kurve auf dem Einheitskreis, womit [latex]x^2 + y^2 = 1[/latex] stets erfüllt ist und somit die zu lösende Gleichung (12.8) zur Gleichung aus Beispiel 12.19 äquivalent ist (welche ja von [latex](x(t),y(t))^t[/latex] gelöst wird).

Um nun die Differentialgleichung (12.8) allgemeiner behandeln zu können, betrachten wir Polarkoordinaten und hoffen, dass in diesen (12.8) gelöst werden kann. Das heisst, wir schreiben [latex]r(t)^2 = x(t)^2+ y(t)^2[/latex] und

für eine geeignete Funktion [latex]t\mapsto \varphi (t) \in \mathbb {R}[/latex].

Wir betrachten zuerst den Radius [latex]r[/latex] und finden eine Differentialgleichung für diesen. Man berechnet

und somit, da [latex](r^2)^{\mathbf {\dot {}}} = 2 r \dot {r}[/latex], erhält man

Eine Lösung davon lässt sich mit der Trennung der Variablen aus Abschnitt 12.1.1 ermitteln; man erhält

für eine passend zum Anfangswert gewählte Konstante [latex]C_1[/latex]. Der Radius verhält sich also wie in folgendem Bild.

Insbesondere kommt die Lösung dem Einheitskreis also immer näher, wie man es schon aus der obigen Illustration des Vektorfelds erahnen könnte.

Wir versuchen nun ein ähnliches Vorgehen, um eine Formel für den Winkel [latex]\varphi[/latex] zu finden. Intuitiv gesehen könnte man ein ähnliches Verfahren wie oben für [latex]x^2+y^2[/latex] auf beispielsweise [latex]\frac {x}{y}[/latex] anwenden, was zwar auf das richtige Resultat führt, aber nur dann zulässig ist, wenn [latex]y(t)[/latex] für kein [latex]t[/latex] verschwindet. Wir wollen dies aber nicht voraussetzen. Stattdessen berechnen wir mit der Kettenregel

Es gilt jedoch gemeinsam mit [latex]\dot {r}=(1-r^2)r[/latex] ebenso

und damit [latex]-y \dot {\varphi } = -y[/latex]. Analog zeigt man [latex]x \dot {\varphi } = x[/latex]. Unter dem Strich ist also entweder [latex]x = y = 0[/latex] (was der konstanten Lösung entspricht) oder [latex]\dot {\varphi } = 1[/latex] und somit [latex]\varphi (t) = t + C_2[/latex] für eine passend zum Anfangswert gewählte Konstante [latex]C_2[/latex]. Wie man also aus der Darstellung des Vektorfelds hätte vermuten können, bilden die Lösungen Spiralen, die sich dem Einheitskreis annähern.

Wir bemerken noch, dass die Lösung [latex]x(t)[/latex] des Anfangwertproblems mit [latex]\| {x_0}\| > 1[/latex] (das heisst, [latex]C_1 12.8) für [latex]\| {(x,y)^t}\| \to \infty[/latex] sehr schnell anwächst.

12.4 – Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf

Wie wir bereits in Abschnitt 12.1 gesehen haben, muss die Lösung eines Anfangswertproblems (selbst für eine relativ einfache Differentialgleichung wie [latex]y' = 3 y^{\frac {2}{3}}[/latex]) nicht immer eindeutig bestimmt sein. Wenn man hingegen zu einem Differentialgleichungssystem

eine etwas stärkere Annahme an das Vektorfeld [latex]f[/latex] verlangt, so erhält man sowohl Existenz als auch Eindeutigkeit der Lösung nach folgendem fundamentalen Satz (siehe auch ^[2]).

Zusammenfassend hat jedes Anfangswertproblem für ein (im Ort lokal) Lipschitz-stetiges Vektorfeld eine eindeutige Lösung. Des Weiteren lässt sich diese entweder beliebig lange fortsetzen ([latex]b=\infty[/latex]) oder solange, bis sie «explodiert» , das heisst, in endlicher Zeit den Definitionsbereich [latex]U[/latex] der Differentialgleichung verlässt (siehe auch Übung 12.28 für eine schärfere Formulierung dieser Behauptung). Wir werden (wie bereits oben) hier häufig [latex]x(\cdot )[/latex] für eine Funktion auf einem Intervall schreiben (welche möglicherweise unser Anfangswertproblem löst), um etwaige Verwirrungen mit dem Anfangspunkt [latex]x_0=x(t_0)\in \mathbb {R}^d[/latex] zu vermeiden.

Mit Hilfe der mehrdimensionalen Differentialrechnung (Korollar 10.17) sehen wir, dass stetig differenzierbare Funktionen lokal Lipschitz-stetig. Insbesondere lässt sich das obige Theorem auf eine grosse Klasse von Vektorfeldern [latex]f[/latex] anwenden.

Für den Beweis des Theorems werden wir folgende lokale Version zuerst beweisen.

Wie wir sehen werden, besteht der Beweis der obigen Proposition aus dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung (siehe Abschnitt 8.1) und dem Banachschen Fixpunktsatz (siehe Satz 9.54), welcher ja ebenfalls eine eindeutige Existenz behauptet. Der Beweis des Theorems von Picard-Lindelöf wird die Aussage der obigen Proposition jeweils lokal anwenden und eine Lösung dann geeignet «zusammenstückeln» . Bei dem ersten Lesen der Beweise kann es helfen sich den Fall [latex]d=1[/latex] vorzustellen, an der Beweisidee geht dabei nichts verloren.

Wir wollen noch kurz erwähnen, wie man obigen Existenz- und Eindeutigkeitssatz (Theorem 12.23) auch auf die Differentialgleichung [latex]y'=|y|^{\frac 23}[/latex] in Beispiel 12.1 anwenden kann. Da dies unser Beispiel für Mehrdeutigkeit ist, können die Vorraussetzungen des Satzes nicht erfüllt sein. In der Tat ist [latex]f(y)=|y|^{\frac 23}[/latex] bei [latex]y=0[/latex] nicht lokal Lipschitz-stetig (wieso?). Wenn man allerdings den Definitionsbereich der Differentialgleichung als [latex]U=\mathbb {R}\times (\mathbb {R}\setminus \{ 0\} )[/latex] definiert, dann sind alle Vorraussetzungen erfüllt (überprüfen Sie dies) und die eindeutige Existenz der Lösungen der zugehörigen Anfangswertprobleme garantiert. Dies ist kein Widerspruch, da die Lösungen in Beispiel 12.1 abseits der «Weiche entlang der horizontalen Achse» eindeutig sind, aber bei der Weiche (das heisst ausserhalb von [latex]U[/latex]) eben länger oder weniger lang verbleiben können.

12.4.1 – Mögliches Verhalten in der Nähe eines Fixpunktes*

Wir nehmen hier, nebst den Annahmen in des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes von Picard-Lindelöf, an, dass die Differentialgleichung [latex]\dot {x} = f(x)[/latex] autonom und in einer offenen Umgebung [latex]U \subseteq \mathbb {R}^2[/latex] von [latex]0\in \mathbb {R}^2[/latex] definiert ist. Des Weiteren setzen wir voraus, dass [latex]f(0) = 0[/latex] ist. Das heisst, dass die konstante Funktion [latex]t \in \mathbb {R} \mapsto x(t) = 0[/latex] das Anfangswertproblem [latex]\dot {x} = f(x)[/latex], [latex]x(0) = 0[/latex] löst. Wir wollen das Verhalten von Lösungen zu einem Anfangswert nahe bei der [latex]0[/latex] in verschiedenen Situationen untersuchen.

12.4.2 – Stetige Abhängigkeit*

Wir wollen hier den Existenz- und Eindeutigkeitssatz (Theorem 12.23) in einigen Übungen erweitern.

Wir möchten nun genauer untersuchen, was geschieht, wenn man an den «Angaben» in Theorem 12.23 etwas «rüttelt» . Wir beginnen damit, den Anfangswert leicht zu ändern und fragen also, wie stark sich die eindeutige Lösung (welche nach Theorem 12.23 existiert) ändert.

Tatsächlich lässt sich beweisen, dass die Lösung gewissermassen «differenzierbar» vom Anfangswert abhängt. Wir skizzieren den Beweis der obigen Proposition in folgenden Übung.

Wir erwähnen noch, dass man genauso wie am Anfangswert man auch an dem Vektorfeld leicht «rütteln» kann, ohne dass man dabei die Lösung stark verändert. Der Beweis dafür kann ebenfalls durch eine genaue Analyse der Beweise des Banachschen Fixpunktsatzes (Satz 9.54) und des lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes (Proposition 12.25) erbracht werden. Wir wollen dies aber hier nicht weiter verfolgen.

12.4.3 – Ein weiteres Beispiel: der rotierende Tropfen*

Wir wollen hier das nicht-lineare, autonome Differentialgleichungssystem
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:diffglg-nl2-dgl} \begin{array}{l} \dot {x} = -y + x^2+y^2 \\ \dot {y} = x + 2xy\end{array}\end{aligned}
[/latex]
betrachten. Im Gegensatz zu dem Beispiel in Abschnitt 12.3.4 werden wir dieses System qualitativ untersuchen und die verschiedenen Lösungen in Kategorien unterteilen ohne diese zu berechnen. In der Tat da wir (abgesehen von drei speziellen Lösungen) keine konkreten Formeln angeben werden, beziehen wir unsere Lösungen einzig und allein aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf (Theorem 12.23).

Um die Lösungen der verschiedenen Anfangswertprobleme zu (12.13) zu verstehen, bedienen wir uns unter anderem der Darstellung des Vektorfeld (genauer, der Strömungslinien) im folgenden Bild.

Abbildung 12.2 – Visualisierung des Vektorfelds der Differentialgleichung (12.13)

Aus dem Bild entnimmt man mehrere Vermutungen, die wir in verschiedenen Schritten überprüfen wollen.

Das Verhalten der weiteren Lösungen erfordert nebst kleinen Rechnungen auch weitere Argumente.

Wie bereits das Bild 12.2 zeigt, ist das Verhalten der Lösungen für [latex]y_0 > -\frac {1}{2}[/latex] interessanter (das heisst, schwieriger zu verstehen). Es sieht so aus, als ob es geschlossene (periodische) Lösungen rund um den Ursprung gäbe. Aber wie wir bereits in Übung 12.30 gesehen haben, genügt es dafür nicht, nur den linearen Anteil der rechten Seite der Differentialgleichung rund um den Ursprung zu betrachten. Es könnte also immer noch sein, dass die Lösungen entlang von Spiralen nach [latex]0[/latex] streben oder umgekehrt von [latex]0[/latex] ausgehend (vielleicht sogar in endlicher Zeit) nach Unendlich streben. Wir wollen dies ausschliessen und auch die Existenz der «Tropfenfunktion» [latex]t \mapsto (x(t),y(t))^t[/latex] mit

zeigen.

Nun teilen wir [latex]\mathbb {R}^2[/latex] in mehrere Gebiete auf und untersuchen auf diesen die Vorzeichen von [latex]\dot {x}[/latex] und [latex]\dot {y}[/latex].

Wir faktorisieren [latex]\dot {y} = x +2xy = x (1+2y)[/latex] und erhalten eine Unterteilung von [latex]\mathbb {R}^2[/latex] in [latex]4[/latex] Quadrate, wo [latex]\dot {y}[/latex] jeweils dasselbe Vorzeichen besitzt; siehe folgendes Bild.

Weiter erhalten wir durch quadratische Ergänzung [latex]\dot {x} = -y+x^2+y^2 = x^2 + (y-\frac {1}{2})^2 - \frac {1}{4}[/latex]. Dies ergibt für das Vorzeichen von [latex]\dot {x}[/latex] eine Unterteilung von [latex]\mathbb {R}^2[/latex] in einen Kreis mit Mittelpunkt [latex](0,\frac {1}{2})^t[/latex] und Radius [latex]\frac {1}{2}[/latex]; siehe folgendes Bild.

Wenn wir diese beiden Unterteilungen von [latex]\mathbb {R}^2[/latex] gemeinsam betrachten, erhalten wir die schematische Darstellung in Entsprechung zum Bild 12.2.

Wir wollen nun die Lösung des Anfangswertproblems (12.13) mit Anfangswerten [latex]x(0) = 0[/latex], [latex]y(0) = y_0 \in (0,1)[/latex] untersuchen. Da [latex]\dot {x}(0) = (y_0-\frac {1}{2})^2 - \frac {1}{4} 0[/latex]. Für diese [latex]t[/latex] gilt weiter [latex]\dot {y} 0[/latex] (minimal gewählt) [latex](x(t_1),y(t_1))^t \in \mathbb {S}[/latex] gilt. In der Tat ist [latex]x(t) \leq x(\delta )

Ab dem Zeitpunkt [latex]t_1[/latex] bewegt sich die Lösung nach unten und nach rechts. Wir wollen als nächstes den minimalen Zeitpunkt [latex]t_2 > t_1[/latex] finden, bei dem [latex]y(t_2) = 0[/latex] ist. Da [latex]y(t_1) > 0[/latex] ist und [latex]\dot {y}(t) = x(t) (1+2y(t))

Es gibt ein [latex]\eta > 0[/latex] mit [latex]x(t) t_2[/latex] gibt mit [latex]x(t_3) = 0[/latex].

Die Argumente bis jetzt haben eigentlich nur das Vorzeichen von gewissen Ableitungen verwendet und sind sehr allgemein einsetzbar. Doch können diese den vermuteten Zufall, dass es periodische Punkte um den Ursprung gibt, nicht erklären. Für diesen Zufall benötigen wir ein globales Argument wie in folgender Übung.

Aus obiger Übung und Eindeutigkeit der Lösung folgt, dass die von uns untersuchte Lösung zu dem Anfangswert [latex]x_0 = 0[/latex], [latex]y_0 \in (0,1)[/latex] die Gleichungen [latex]x(-t) = -x(t)[/latex] und [latex]y(-t) = y(t)[/latex] für alle [latex]t[/latex] erfüllt. Insbesondere gilt [latex]x(-t_3) = 0 = x(t_3)[/latex] und [latex]y(-t_3) = y(t_3)[/latex], womit die Lösung tatsächlich periodisch ist.

Wir bewegen nun die Koordinate [latex]y_0[/latex] unseres Anfangswertes [latex](0,y_0)^t[/latex] nach [latex]1[/latex], womit [latex]t_1[/latex] unbeschränkt grösser wird aber [latex]t_2-t_1[/latex] und [latex]t_3-t_2[/latex] beschränkt bleiben (wieso?). Die Punkte [latex](x(t_3),y(t_3))^t[/latex] in [latex]\left \lbrace {0} \right \rbrace \times (0,-\frac {1}{2})[/latex] besitzen einen Grenzwert [latex](x_1,y_1)^t \in \left \lbrace {0} \right \rbrace \times (0,-\frac {1}{2}][/latex] (wieso?). Die Lösung zum Anfangswert [latex](x_1,y_1)^t[/latex] ist die gesuchte Tropfenfunktion (wieso?).

12.5 – Lineare Differentialgleichungssysteme*

12.6 – Weitere Lernmaterialien

12.6.1 – Verwendung des Kapitels

Wie bereits erwähnt ist die Untersuchung von Differentialgleichungen für Anwendungen in vielfältigen Themenbereichen von grosser Bedeutung. Falls aber die betrachtete Differentialgleichung nicht konkret durch bekannte Formeln gelöst werden kann, so muss man sich mitunter mit numerischen Methoden helfen. Für diese oder auch eine theoretische Untersuchung der Lösung ist aber von grosser Wichtigkeit zu wissen, dass es eine Lösung gibt. Denn erst dann kann man versuchen, die Lösung mit weiteren Überlegungen besser zu verstehen oder auch zu verstehen wie nahe die numerische Lösung der eigentlichen Lösung kommt. Der Existenz- und Endeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf (Theorem 12.23) ist also aus praktischen und theoretischen Gründen sehr wichtig.

12.6.2 – Übungen

12.6.3 – Lernkarten

Sie können wiederum die Lernkarten oder den Graphen für Ihre Wiederholung der Themen des Kapitels verwenden.

<!– post meta –>