Definition 6.1: Reihen

Sei [latex](a_k)_k[/latex] eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir wollen die (unendliche) Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex] betrachten, wobei [latex]a_k[/latex] für [latex]k \in \mathbb {N}[/latex] das [latex]k[/latex]-te Glied oder der [latex]k[/latex]-te Summand der Reihe genannt wird. Für [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] ist die [latex]n[/latex]-te Partialsumme der Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex] durch [latex]s_n = \sum _{k=1}^n a_k[/latex] gegeben. Wir nennen die Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex] konvergent, falls der Grenzwert

in [latex]\mathbb {C}[/latex] existiert, wobei wir diesen dann als Wert der Reihe bezeichnen. Ansonsten nennen wir die Reihe divergent.

Proposition 6.2: Nullfolgen

Falls die Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex] konvergiert, dann ist die Folge [latex](a_n)_n[/latex] eine Nullfolge, das heisst [latex]\lim _{n \to \infty }a_n =0[/latex].

Beispiel 6.3: Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe [latex]\sum _{n=0}^\infty q^n[/latex] zu [latex]q \in \mathbb {R}[/latex] (oder [latex]\mathbb {C}[/latex]) konvergiert genau dann, wenn [latex]|q|

In der Tat impliziert Konvergenz der Reihe mittels Proposition 6.2, dass [latex]|q|3.8 und der Konvergenz der geometrischen Folge in Beispiel 5.13, dass

für [latex]n \to \infty[/latex].

Beispiel 6.4: Harmonische Reihe

Die Umkehrung von Proposition 6.2 gilt nicht. Beispielsweise ist die harmonische Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty \frac {1}{k}[/latex] divergent.

Wir beweisen die Divergenz mit einer konkreten Abschätzung. Sei [latex]n=2^\ell[/latex], dann erfüllt die Partialsumme der harmonischen Reihe für [latex]n[/latex] die Abschätzung

Da [latex]\ell \in \mathbb {N}[/latex] beliebig war, erkennen wir, dass die Partialsummen nicht beschränkt sind, und daher ist die harmonische Reihe divergent.

Beispiel 6.5: Harmonischer Springturm

Wir wollen am Rande des Zürichsees einen Springturm bauen, der aus einzelnen quaderförmigen Bausteinen (von gleicher Form und gleichem Material) besteht und möglichst weit in den See hineinragen soll. Wie weit können wir kommen, ohne die Bausteine aneinander oder an das ebene, äusserst stabile, am Uferrand liegende Fundament zu befestigen? Wir wollen [latex]n[/latex] Bausteine von 2 Metern Länge verwenden und rechnen von oben weg jeweils aus, wie weit die Bausteine zueinander verschoben sein dürfen, ohne dass der Turm einstürzt. Für [latex]n=1[/latex] sehen wir in Figur 6.1, dass der Baustein [latex]1m[/latex] in den See ragen kann.

Abbildung 6.1 – Der Schwerpunkt [latex]s[/latex] des Bausteins muss oberhalb des Ufers liegen, denn sonst kippt der Stein in den See. Wir wollen im Folgenden immer den Grenzfall, wo der Schwerpunkt genau über dem Uferrand liegt, ebenso als stabil erklären.

Wir schieben jetzt einen Baustein von unten ein und wollen beide Bausteine soweit wie möglich in den See schieben.

Abbildung 6.2 – Bei beiden Steinen gibt es jetzt auch zwei Punkte, bei denen der Turm kippen und zumindest teilweise in den See stürzen könnte. Der obere Kipppunkt ist kein Problem, da wir beide Steine gemeinsam verschoben haben und somit den Schwerpunkt des oberen Steins genau am Rand des unteren liegt.

Um zu bestimmen, wie weit man beide Steine in Richtung See schieben darf, berechnen wir den Schwerpunkt der beiden Steine gemeinsam. Hierfür verwenden wir ein geeignetes Koordinatensystem; nämlich messen wir nach rechts vom Uferrand (also der linken Kante des unteren Steins) aus — siehe dazu das linke Bild in Figur 6.2. Der Schwerpunkt des oberen Steins hat in diesem Koordinatensystem die Koordinate [latex]0[/latex], der untere die Koordinate [latex]1[/latex] und damit beide zusammen die Koordinate [latex]\frac {1}{2} = \frac {0+1}{2}[/latex]. Also können wir beide [latex]\frac {1}{2}m[/latex] in Richtung See verschieben und kommen somit total [latex]1m+\frac {1}{2}m = \frac {3}{2}m[/latex] in den See hinein.

Wir heben jetzt diese beiden an und fügen einen weiteren Stein so hinzu, dass die linke Kante genau unter dem Schwerpunkt der ersten zwei und damit am Uferrand zu liegen kommt. Wir müssen also wieder den gemeinsamen Schwerpunkt dieser drei Steine bestimmen. Die oberen beiden haben den gemeinsamen Schwerpunkt [latex]0[/latex], der untere hat die Koordinate [latex]1[/latex] und somit haben alle drei zusammen den Schwerpunkt [latex]\frac {1}{3} = \frac {2\cdot 0 + 1 \cdot 1}{3}[/latex]. Wir verschieben also alle drei um [latex]\frac {1}{3}m[/latex] in Richtung See, was eine totale Verschiebung von [latex]1m+\frac {1}{2}m + \frac {1}{3}m[/latex] ergibt, und wiederholen den Vorgang so oft wie wir wollen. Da aber die Partialsummen der harmonischen Reihe unbeschränkt sind, können wir damit beliebig weit in den See hineinbauen. Eine interaktive Darstellung dieses Vorgehens findet man unter diesem Link und ein Video unter diesem.

Für die Praxis ist diese Methode kaum zu empfehlen, zum einen haben wir das Gewicht des Turmspringers ignoriert, und weiters haben wir nicht beschrieben, wie hoch der Turm wirklich wird, wenn wir auch nur [latex]10m[/latex] in den See hineinreichen wollen (da in diesem Fall [latex]n=12367[/latex] Bausteine notwendig sind).

Lemma 6.6: Linearität

Seien [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex], [latex]\sum _{k=1}^\infty b_k[/latex] konvergente Reihen und [latex]\alpha \in \mathbb {C}[/latex]. Dann sind die Reihen [latex]\sum _{k=1}^\infty (a_k+b_k)[/latex], [latex]\sum _{k=1}^\infty (\alpha a_k)[/latex] konvergent und es gilt

Also bilden konvergente Reihen einen Vektorraum über [latex]\mathbb {C}[/latex] und der Wert der Reihe stellt eine lineare Abbildung auf diesem Vektorraum nach [latex]\mathbb {C}[/latex] dar.

Übung 6.7

Beweisen Sie Lemma 6.6.

Lemma 6.8: Indexverschiebung für Reihen

Sei [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex] eine Reihe. Für jedes [latex]N \in \mathbb {N}[/latex] ist die Reihe [latex]\sum _{k=N}^\infty a_k = \sum _{\ell =1}^\infty a_{\ell +N-1}[/latex] genau dann konvergent, wenn die Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex] konvergent ist. In diesem Fall gilt

Lemma 6.9: Zusammenfassen von benachbarten Gliedern

Sei [latex]\sum _{n=1}^\infty a_n[/latex] eine konvergente Reihe und [latex](n_k)_k[/latex] eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen. Definiere [latex]A_{1} = a_1 + \cdots + a_{n_1}[/latex] und [latex]A_k = a_{n_{k-1}+1}+\cdots +a_{n_k}[/latex] für [latex]k \geq 2[/latex]. Dann gilt

Beispiel 6.10

Die Umkehrung von Lemma 6.9 gilt im Allgemeinen nicht. Beispielsweise ist die Reihe [latex]\sum _{n=1}^\infty (-1)^n[/latex] nach Proposition 6.2 divergent, aber die Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty ((-1)^{2k-1}+(-1)^{2k})[/latex], die aus zusammengefügten Gliedern von [latex]\sum _{n=1}^\infty (-1)^n[/latex] besteht, ist konvergent, da jedes Glied Null ist.

Proposition 6.11: Monotone Partialsummen

Für eine Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex] mit nicht-negativen Gliedern [latex]a_k \geq 0[/latex] für alle [latex]k \in \mathbb {N}[/latex] bilden die Partialsummen [latex]s_n = \sum _{k=1}^n a_k[/latex] eine monoton wachsende Folge. Falls diese Folge der Partialsummen beschränkt ist, dann konvergiert die Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex]. Ansonsten gilt

Korollar 6.12: Vergleichssatz

Seien [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex], [latex]\sum _{k=1}^\infty b_k[/latex] zwei Reihen mit der Eigenschaft [latex]0 \leq a_k \leq b_k[/latex] für alle [latex]k\in \mathbb {N}[/latex]. Dann gilt [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k\leq \sum _{k=1}^\infty b_k[/latex] und insbesondere gelten die Implikationen

Diese beiden Implikationen treffen auch dann zu, wenn [latex]0 \leq a_n \leq b_n[/latex] nur für alle hinreichend grossen [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] gilt.

Übung 6.13

Zeigen Sie, dass die Annahme in Korollar 6.12, dass die Reihen [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex], [latex]\sum _{k=1}^\infty b_k[/latex] nicht-negative Glieder haben, notwendig ist.

Beispiel 6.14: Reihe der Kehrwerte der Quadratzahlen

Die Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty \frac {1}{k^2}[/latex] ist konvergent. Tatsächlich gilt [latex]a_k = \frac {1}{k^2}\leq \frac {1}{k(k-1)} =b_k[/latex] für [latex]k \geq 2[/latex] und die Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty b_k[/latex] ist konvergent, da deren [latex]n[/latex]-te Partialsumme unter Auflösen einer Teleskopsumme (siehe Abschnitt 3.1.1) durch

gegeben ist.

Beispiel 6.15: Reihenkonvergenz und Folgenasymptotik

Wir betrachten die Reihe

und wollen zeigen, dass diese konvergiert. Für dies bemerken wir, dass [latex]a_n=\frac {2n-1}{n^3-10n+100}[/latex] im Wesentlichen sich wie [latex]\frac 1{n^2}[/latex] verhalten sollte. Genauer formuliert gilt [latex]a_n=O(\frac {1}{n^2})[/latex] für [latex]n\to \infty[/latex] (siehe Abschnitt 5.6) da

Daher gibt es ein [latex]M>0[/latex] mit [latex]a_n\leq \frac {M}{n^2}[/latex] für alle [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] (wieso?) und ein [latex]N\in \mathbb {N}[/latex] mit [latex]0\leq a_n[/latex] für alle [latex]n\geq N[/latex]. Verwenden wir nun Korollar 6.12 und Beispiel 6.14 ergibt sich die Konvergenz von [latex]\sum _{n=1}^\infty \frac {2n-10}{n^3-10n+100}[/latex].

Proposition 6.16: Verdichtung

Eine Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex] mit nicht-negativen, monoton abnehmenden Gliedern [latex]a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq 0[/latex] ist genau dann konvergent, wenn [latex]\sum _{k=1}^\infty 2^k a_{2^k}[/latex] konvergent ist.

Beispiel 6.17: [latex]p[/latex]-Test

Die Reihe [latex]\sum _{n=1}^\infty \frac {1}{n^p}[/latex] für [latex]p \in \mathbb {R}[/latex] konvergiert genau dann, wenn [latex]p > 1[/latex]. Für [latex]p \leq 0[/latex] ist [latex]\frac {1}{n^p} \geq 1[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] und die Reihe nach Proposition 6.2 somit divergent. Für [latex]p \leq 1[/latex] gilt [latex]\frac {1}{n}\leq \frac {1}{n^p}[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] und die Reihe divergiert nach Korollar 6.12, da die harmonische Reihe divergiert. Wir wenden nun Proposition 6.16 an. Für [latex]p \geq 0[/latex] ist [latex]\big (\frac {1}{n^p}\big )_n[/latex] eine monoton abnehmende Folge und wir erhalten aus Proposition 6.16, dass [latex]\sum _{n=1}^\infty \frac {1}{n^p}[/latex] genau dann konvergiert, wenn

konvergiert. Diese geometrische Reihe konvergiert aber nach Beispiel 6.3 genau dann, wenn [latex]p > 1[/latex] ist.

Übung 6.18

1. Zeigen Sie für [latex]p \in \mathbb {R}[/latex], dass die Reihe [latex]\sum _{n=2}^\infty \frac {1}{n \log (n)^p}[/latex] genau dann konvergiert, wenn [latex]p>1[/latex] ist.
2. Ist die Reihe [latex]\sum _{n=3}^\infty \frac {1}{n \log (n)\log (\log (n))}[/latex] konvergent oder divergent?

Übung 6.19: q-äre Darstellungen

Sei [latex]q \in \mathbb {N}[/latex], [latex]q>1[/latex]. In Übung 3.7 haben wir gezeigt, dass jede ganze Zahl eine Ziffernentwicklung zur Basis [latex]q[/latex] besitzt. In dieser Übung wollen wir die analoge Aussage für reelle Zahlen formulieren und beweisen. Sei [latex]x \in \mathbb {R}[/latex]. Wegen Übung 3.7 wollen wir sogar annehmen, dass [latex]x \in [0,1)[/latex]. Zeigen Sie, dass eine Folge von Ziffern [latex](\alpha _k)_k[/latex] mit [latex]\alpha _k \in \left \lbrace {1,\ldots ,q-1} \right \rbrace[/latex] für alle [latex]k \in \mathbb {N}[/latex] existiert, so dass die Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty \alpha _k q^k[/latex] konvergiert und [latex]x[/latex] darstellt im Sinne von

Sind die Ziffern [latex](\alpha _k)_k[/latex] zu [latex]x\in \mathbb {R}[/latex] wie oben eindeutig bestimmt?

Beispiel 6.20: Alternierende harmonische Reihe

Wir wollen zuerst zeigen, dass die alternierende harmonische Reihe

bedingt konvergiert. Nach Beispiel 6.4 divergiert die harmonische Reihe

(nach unendlich). Wir müssen also nur noch Konvergenz der alternierenden Reihe beweisen. Wir betrachten zuerst zu [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] die [latex]2n[/latex]-te Partialsumme

Die Folge [latex](s_{2n})_n[/latex] ist somit monoton wachsend und beschränkt (wegen Beispiel 6.14) und konvergiert damit. Wegen [latex]s_{2n-1} = s_{2n}-\frac {1}{2n}[/latex] konvergiert aber ebenso die Folge [latex](s_{2n-1})_n[/latex] und gegen den gleichen Limes.^[2] Also konvergiert die Reihe [latex]\sum _{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n+1}}{n}[/latex] (wieso?). Des Weiteren folgt [latex]\sum _{n=1}\frac {(-1)^{n+1}}n\geq \frac 12[/latex], da nach obigem Argument die Partialsumme [latex]s_{2n}[/latex] als Summe von positiven Summanden geschrieben werden kann, wovon der erste Term gleich [latex]\frac 12[/latex] ist.

Satz 6.21: Riemannscher Umordnungssatz

Sei [latex]\sum _{n=1}^\infty a_n[/latex] eine bedingt konvergente Reihe mit reellen Gliedern. Dann gibt es zu jedem [latex]A \in \mathbb {R}[/latex] eine bijektive Funktion (eine Umordnung) [latex]\varphi : \mathbb {N} \to \mathbb {N}[/latex], so dass die Reihe [latex]\sum _{n=1}^\infty a_{\varphi (n)}[/latex] bedingt konvergiert und [latex]\sum _{n=1}^\infty a_{\varphi (n)} = A[/latex] ist. Weiters gibt es eine Umordnung der Reihe, die divergiert.

Beispiel 6.22: Umordnen der alternierenden harmonischen Reihe

Wir ordnen die alternierende harmonische Reihe um und erhalten

Wir bemerken, dass die so erhaltene Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe konvergiert und den halben Wert der alternierenden harmonischen Reihe annimmt. Hierbei sind die Klammern als Hilfestellung gedacht, denn rechnet man die Klammern aus, so erhält man die Reihe in der jeder Summand genau die Hälfte der Summanden der alternierenden harmonischen Reihe ausmacht. Lässt man hingegen die Klammern weg, so erhält man die umgeordnete Reihe der alternierenden harmonischen Reihe. Des Weiteren weiss man für diese Reihe, dass die Teilfolge [latex](s_{3n})_n[/latex] der Partialsummen konvergiert. Da aber [latex]s_{3n+1}-s_{3n}[/latex] und [latex]s_{3n+2}-s_{3n}[/latex] Nullfolgen sind, können wir daraus schliessen, dass die umgeordnete Reihe konvergiert und den halben Wert der ursprünglichen Reihe hat.

Übung 6.23

Füllen Sie die unterlassenen Schritte am Ende der obigen Beweisskizze ein, um einen vollständigen Beweis von Satz 6.21 zu erhalten.

Applet 6.24: Drei Reihen

Wir stellen in diesem Applet die harmonische Reihe, die alternierende harmonische Reihe und die Reihe mit den reziproken Quadratzahlen gegenüber und sehen drei unterschiedliche Verhaltensweisen. Erklären Sie diese Unterschiede. Wie nennen wir diese Verhaltensweisen?

Proposition 6.25: Leibniz-Kriterium

Gegeben sei eine monoton fallende Folge [latex](a_n)_n[/latex] positiver Zahlen, die gegen Null konvergiert. Dann konvergiert die zugehörige alternierende Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty (-1)^{k+1} a_k[/latex] und es gilt, dass
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-leibniz fehler} \bigg | \sum _{k=1}^\ell (-1)^{k+1} a_k - \sum _{k=1}^\infty (-1)^{k+1} a_k \bigg | \leq a_{\ell +1}.\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]\ell \in \mathbb {N}[/latex]. Weiters ist

für alle [latex]n\in \mathbb {N}[/latex].

Satz 6.26: Cauchy-Kriterium

Die Reihe [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex] konvergiert genau dann, wenn es zu jedem [latex]\varepsilon > 0[/latex] ein [latex]N \in \mathbb {N}[/latex] gibt, so dass für [latex]n \geq m \geq N[/latex]

erfüllt ist.

Beispiel 6.27: Harmonische Reihe

Um die Divergenz der harmonischen Reihe zu sehen, können wir auch das Cauchy-Kriterium verwenden. Wir setzen dazu [latex]\varepsilon = \frac 12[/latex]. Für ein beliebiges [latex]N \in \mathbb {N}[/latex] gilt dann

was wegen dem Cauchy-Kriterium für Reihen (Satz 6.26) die Divergenz impliziert.

Proposition 6.28: Absolute Konvergenz

Eine absolut konvergente Reihe [latex]\sum _{n=1}^\infty a_n[/latex] ist auch konvergent und es gilt die verallgemeinerte Dreiecksungleichung

Korollar 6.29: Majorantenkriterium von Weierstrass

Sei [latex](a_n)_n[/latex] eine komplexe und [latex](b_n)_n[/latex] eine reelle Folge mit [latex]|a_n|\leq b_n[/latex] für alle hinreichend grossen [latex]n \in \mathbb {N}[/latex]. Falls [latex]\sum _{n=1}^\infty b_n[/latex] konvergiert, dann ist [latex]\sum _{n=1}^\infty a_n[/latex] absolut konvergent und daher auch konvergent.

Korollar 6.30: Cauchy-Wurzelkriterium

Sei [latex](a_n)_n[/latex] eine Folge komplexer Zahlen und

Dann gilt

Beispiel 6.31: Der Fall [latex]\alpha =1[/latex] in Korollar 6.30

Sei [latex](a_n)_n[/latex] eine Folge komplexer Zahlen und [latex]\alpha = \limsup _{n \to \infty }\sqrt [n]{|a_n|}[/latex] wie im Wurzelkriterium (Korollar 6.30). Falls [latex]\alpha =1[/latex], dann kann anhand des Wurzelkriteriums keine Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz der Reihe [latex]\sum _{n=1}^\infty a_n[/latex] getroffen werden.

• Ist [latex]a_n = \frac {1}{n}[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex], dann gilt [latex]\sqrt [n]{|a_n|} = \frac {1}{\sqrt [n]{n}} \to 1[/latex] für [latex]n \to \infty[/latex] wegen Beispiel 5.33 und wegen Beispiel 6.4 divergiert die Reihe [latex]\sum _{n=1}^\infty \frac {1}{n}[/latex] gegen Unendlich.
• Ist [latex]a_n= \frac {1}{n^2}[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex], dann gilt [latex]\sqrt [n]{|a_n|} = \frac {1}{\sqrt [n]{n}^2} \to 1[/latex] für [latex]n \to \infty[/latex] und [latex]\sum _{n=1}^\infty \frac {1}{n^2}[/latex] konvergiert nach Beispiel 6.14.

Korollar 6.32: D’Alemberts Quotientenkriterium

Sei [latex](a_n)_n[/latex] eine Folge komplexer Zahlen mit [latex]a_n \neq 0[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex], so dass

existiert. Dann gilt

Wichtige Übung 6.33

Beweisen Sie Korollar 6.32.

Übung 6.34

Wieso kann man im Quotientenkriterium (Korollar 6.32) nicht auch den Limes superior anstelle des Limes verwenden?

Satz 6.35: Umordnen absolut konvergenter Reihen

Sei [latex]\sum _{n=1}^\infty a_n[/latex] eine absolut konvergente Reihe mit komplexen Gliedern. Sei [latex]\varphi :\mathbb {N}\to \mathbb {N}[/latex] eine Bijektion. Dann ist [latex]\sum _{n=1}^\infty a_{\varphi (n)}[/latex] ebenso absolut konvergent und es gilt
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq;umordnenvonabsolutisto.k.} \sum _{n=1}^\infty a_{n} = \sum _{n=1}^\infty a_{\varphi (n)}.\end{aligned}
[/latex]

Satz 6.36: Produktsatz

Seien [latex]\sum _{n=1}^\infty a_n[/latex] und [latex]\sum _{n=1}^\infty b_n[/latex] zwei absolut konvergente Reihen und [latex]\varphi : \mathbb {N} \to \mathbb {N} \times \mathbb {N}[/latex] eine bijektive Abbildung. Dann ist

eine absolut konvergente Reihe, wobei [latex]\varphi (n) = (\varphi (n)_1,\varphi (n)_2)[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex]. Weiters gilt
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-produktsatz} \sum _{n=1}^\infty a_{\varphi (n)_1} b_{\varphi (n)_2} = \bigg ( \sum _{n=1}^\infty a_n\bigg )\bigg ( \sum _{n=1}^\infty b_n\bigg ).\end{aligned}
[/latex]

Korollar 6.37: Cauchy-Produkt

Falls [latex]\sum _{n=0}^\infty a_n[/latex] und [latex]\sum _{n=0}^\infty b_n[/latex] absolut konvergente Reihen mit komplexen Gliedern sind, dann gilt

wobei die Reihe [latex]\sum _{n=0}^\infty \big ( \sum _{k=0}^n a_{n-k}b_k \big )[/latex] absolut konvergent ist.

Beispiel 6.38

Sei [latex]q\in \mathbb {C}[/latex] mit [latex]|q|

Auf diese Weise erhalten wir auch eine Summenformel für

wobei wir die Indexverschiebung [latex]k=n-1[/latex] durchgeführt haben.

Übung 6.39

Formal lässt sich auch für bedingt konvergente Reihen [latex]\sum _{n=0}^\infty a_n[/latex] und [latex]\sum _{n=0}^\infty b_n[/latex] das Cauchy-Produkt [latex]\sum _{n=0}^\infty \big ( \sum _{k=0}^n a_{n-k}b_k \big )[/latex] bilden. Es muss jedoch nicht mehr konvergent sein: Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkts der bedingt konvergenten Reihe

mit sich selbst divergiert.

Definition 6.40: Funktionenfolgen und punktweise Konvergenz

Eine reellwertige (oder komplexwertige) Funktionenfolge auf einer Menge [latex]X[/latex] ist eine Folge [latex](f_n)_n[/latex] von Funktionen [latex]f_n: X \to \mathbb {R}[/latex] (oder [latex]f_n: X \to \mathbb {C}[/latex]). Wir sagen, dass eine Funktionenfolge [latex](f_n)_n[/latex] punktweise gegen eine Funktion [latex]f: X \to \mathbb {R}[/latex] (oder [latex]f: X \to \mathbb {C}[/latex]) konvergiert, falls [latex]f_n(x) \to f(x)[/latex] für [latex]n \to \infty[/latex] und alle [latex]x \in X[/latex]. Wir bezeichnen die Funktion [latex]f[/latex] als den punktweisen Grenzwert (oder auch Grenzfunktion oder Limes) der Funktionenfolge [latex](f_n)_n[/latex]. In Prädikatenlogik ist punktweise Konvergenz durch

gegeben.

Übung 6.41: Eindeutigkeit

Sei [latex](f_n)_n[/latex] eine Funktionenfolge auf einer Menge [latex]X[/latex]. Zeigen Sie, dass der Grenzwert [latex]f[/latex] einer Funktionenfolge eindeutig bestimmt ist, falls er existiert.

Beispiel 6.42: Punktweise konvergent

Sei [latex]X = [0,1][/latex] und [latex]f_n:x \in [0,1] \to x^n\in \mathbb {R}[/latex]. Dann konvergieren die stetigen Funktionen [latex]f_n[/latex] punktweise gegen die Funktion [latex]f: [0,1] \to \mathbb {R}[/latex] gegeben durch

für [latex]x \in [0,1][/latex], die nicht mehr stetig ist.

Beispiel 6.43: Punktweise konvergent

Sei wiederum [latex]X= [0,1][/latex] und definiere [latex]f_n: [0,1] \to \mathbb {R}[/latex] durch

für [latex]x\in [0,1][/latex] und [latex]n \in \mathbb {N}[/latex]. Dann ist [latex]f_n[/latex] stetig (und somit auch Riemann-integrierbar) und konvergiert punktweise gegen die stetige Funktion [latex]f:x \in [0,1] \mapsto \lim _{n \to \infty }f_n(x) =0[/latex].

Es gilt jedoch für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex]

Also ist der Grenzwert der Integrale nicht gleich dem Integral der Limesfunktion, obwohl alle Funktionen stetig sind und die Limesfunktion stetig ist.

Beispiel 6.44: Punktweise konvergent

Sei wieder [latex]X = [0,1][/latex] und [latex]\mathbb {Q} \cap [0,1] = \left \lbrace {q_1,q_2,\ldots } \right \rbrace[/latex] eine Abzählung. Dann ist für jedes [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] die charakteristische Funktion

der ersten [latex]n[/latex] rationalen Zahlen [latex]\left \lbrace {q_1,\ldots ,q_n} \right \rbrace[/latex] in [latex][0,1][/latex] Riemann-integrierbar mit [latex]\int _0^1 f_n(x) \thinspace {\rm {d}} x = 0[/latex]. Die Limesfunktion der Folge [latex](f_n)_n[/latex] ist aber die charakteristische Funktion [latex]\mathds {1}_{\mathbb {Q} \cap [0,1]}[/latex], die nach Beispiel 4.17 nicht Riemann-integrierbar ist.

Definition 6.45: Gleichmässige Konvergenz

Sei [latex](f_n)_n[/latex] eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge [latex]X[/latex] und [latex]f[/latex] eine weitere komplexwertige Funktion auf [latex]X[/latex]. Wir sagen, [latex]f_n[/latex] strebt gleichmässig gegen [latex]f[/latex] für [latex]n \to \infty[/latex], oder dass [latex]f[/latex] der gleichmässige Grenzwert der Funktionenfolge [latex](f_n)_n[/latex] ist, falls es zu jedem [latex]\varepsilon > 0[/latex] ein [latex]N\in \mathbb {N}[/latex] gibt, so dass für alle [latex]n \geq N[/latex] und alle [latex]x \in X[/latex] die Abschätzung

gilt. In Prädikatenlogik ist gleichmässige Konvergenz durch

gegeben.

Übung 6.46: Gleichmässige Konvergenz

Sei [latex](f_n)_n[/latex] eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge [latex]X[/latex] und [latex]f[/latex] eine weitere komplexwertige Funktion auf [latex]X[/latex].

1. Zeigen Sie, dass [latex]f_n[/latex] genau dann gleichmässig gegen [latex]f[/latex] konvergiert, wenn
   [latex]
   \begin{aligned}[]\sup _{x \in X} |f_n(x) - f(x)| \to 0\end{aligned}
   [/latex]

   für [latex]n \to \infty[/latex].

2. Zeigen Sie, dass [latex]f_n \to f[/latex] gleichmässig für [latex]n \to \infty[/latex] auch [latex]f_n \to f[/latex] punktweise für [latex]n \to \infty[/latex] impliziert.
3. Zeigen Sie, dass die punktweise konvergenten Funktionenfolgen aus den Beispielen 6.42, 6.43 und 6.44 nicht gleichmässig konvergieren. Insbesondere ist punktweise Konvergenz eine schwächere Forderung als gleichmässige Konvergenz.

Applet 6.47: Punktweise und Gleichmässige Konvergenz

Wir betrachten nochmals die Funktionenfolge aus Beispiel 6.42. Versuchen Sie anhand des Applets zu erkennen, dass durch Einschränkung auf geeignete Teilintervalle [latex][a,b]\subseteq [0,1][/latex] man gleichmässige Konvergenz der Funktionenfolge erreichen kann. Können Sie dies auch formal beweisen?

Satz 6.48: Gleichmässige Konvergenz und Stetigkeit

Sei [latex]D \subseteq \mathbb {C}[/latex] und [latex]f_n:D \to \mathbb {C}[/latex] eine Funktionenfolge stetiger Funktionen. Falls [latex](f_n)_n[/latex] gleichmässig gegen [latex]f:D \to \mathbb {C}[/latex] konvergiert, dann ist [latex]f[/latex] ebenso stetig.

Satz 6.49: Gleichmässige Konvergenz und Riemann-Integrierbarkeit

Sei [latex][a,b][/latex] ein kompaktes Intervall und [latex]f_n:[a,b] \to \mathbb {R}[/latex] eine Funktionenfolge Riemann-integrierbarer Funktionen. Falls [latex](f_n)_n[/latex] gleichmässig gegen [latex]f:[a,b] \to \mathbb {R}[/latex] konvergiert, dann ist [latex]f[/latex] Riemann-integrierbar und
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-intvsgrenzwert} \lim _{n\to \infty } \int _a^b f_n\thinspace {\rm {d}} x = \int _a^b \lim _{n\to \infty }f_n\thinspace {\rm {d}} x = \int _a^b f\thinspace {\rm {d}} x.\end{aligned}
[/latex]

Übung 6.50: Gleichmässige Konvergenz auf Teilmengen

Sei [latex](f_n)_n[/latex] eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge [latex]X[/latex] und [latex]f[/latex] eine weitere komplexwertige Funktion auf [latex]X[/latex].

1. Angenommen [latex]X=X_1\cup X_2[/latex] für zwei Teilmengen, [latex]f_n|_{X_1}[/latex] strebt gleichmässig gegen [latex]f|_{X_1}[/latex] für [latex]n\to \infty[/latex] und [latex]f_n|_{X_2}[/latex] strebt gleichmässig gegen [latex]f|_{X_2}[/latex] für [latex]n\to \infty[/latex]. Zeigen Sie, dass dann auch [latex]f_n[/latex] gleichmässig gegen [latex]f[/latex] strebt für [latex]n\to \infty[/latex].
2. Zeigen Sie, dass sich Teil (i) im Allgemeinen nicht für unendliche Vereinigungen [latex]X=\bigcup _{k\in \mathbb {N}} X_k[/latex] verallgemeinern lässt.

Übung 6.51: Funktionenkonvergenz und Beschränktheit

Sei [latex](f_n)_n[/latex] eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge [latex]X[/latex] und [latex]f[/latex] eine weitere komplexwertige Funktion auf [latex]X[/latex]. Wir nehmen nun an, dass die Funktionen [latex]f_n[/latex] für jedes [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] beschränkt ist.

1. Zeigen Sie, dass falls [latex]f_n[/latex] gleichmässig gegen [latex]f[/latex] strebt für [latex]n\to \infty[/latex], dann ist auch [latex]f[/latex] eine beschränkte Funktion.
2. Finden Sie ein Beispiel für [latex]X[/latex] und beschränkte Funktionen, die punktweise gegen [latex]f[/latex] streben für [latex]n\to \infty[/latex], so dass [latex]f[/latex] nicht beschränkt ist.

Übung 6.52: Funktionenkonvergenz und Auswertung entlang einer konvergenten Folge

Sei [latex]D\subseteq \mathbb {C}[/latex] und [latex]f_n:D\to \mathbb {C}[/latex] für [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] eine Funktionenfolge stetiger Funktionen und [latex]f:D\to \mathbb {C}[/latex] eine weitere Funktion. Sei [latex]z_0\in D[/latex] und [latex]z_n\in D[/latex] eine Folge mit [latex]z_n\to z_0[/latex] für [latex]n\to \infty[/latex].

1. Zeigen Sie [latex]f_n(z_n)\to f(z_0)[/latex] für [latex]n\to \infty[/latex] unter der Annahme, dass [latex]f_n[/latex] gleichmässig gegen [latex]f[/latex] konvergiert für [latex]n\to \infty[/latex].
2. Finden Sie ein Beispiel, wo zwar [latex]f_n[/latex] punktweise gegen [latex]f[/latex] konvergiert für [latex]n\to \infty[/latex], aber [latex]f_n(z_n)[/latex] nicht gegen [latex]f(z_0)[/latex] konvergiert für [latex]n\to \infty[/latex].

Übung 6.53: Gleichmässige Konvergenz und gleichmässige Stetigkeit

Sei [latex]D\subseteq \mathbb {C}[/latex] und [latex]f_n:D\to \mathbb {C}[/latex] für [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] eine Funktionenfolge, die für [latex]n\to \infty[/latex] gleichmässig gegen [latex]f:D\to \mathbb {C}[/latex] strebt. Angenommen [latex]f_n[/latex] ist gleichmässig stetig für alle [latex]n\in \mathbb {N}[/latex]. Zeigen Sie, dass [latex]f[/latex] ebenso gleichmässig stetig ist.

Definition 6.54: Potenzreihe

Für jedes [latex]n \in \mathbb {N}_0[/latex] sei [latex]a_n \in \mathbb {C}[/latex]. Dann ist der formale Ausdruck
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-def potenzreihe} \sum _{n=0}^\infty a_nz^n\end{aligned}
[/latex]
eine Potenzreihe in der Variable [latex]z[/latex].

Definition 6.55

Sei [latex]\sum _{n=0}^\infty a_nz^n[/latex] eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten [latex](a_n)_{n\in \mathbb {N}_0}[/latex]. Wir definieren den Konvergenzradius durch

wobei wir [latex]\frac {1}{+\infty } = 0[/latex] setzen und hier (aber auch nur hier) die Vereinbarung [latex]\frac {1}{0} = + \infty[/latex] treffen.

Satz 6.56: Über den Konvergenzradius

Sei [latex]\sum _{n=0}^\infty a_nz^n[/latex] eine Potenzreihe und [latex]R[/latex] ihr Konvergenzradius. Dann konvergiert die Reihe [latex]\sum _{n=0}^\infty a_nz^n[/latex] für alle [latex]z \in \mathbb {C}[/latex] mit [latex]|z|R[/latex]. Weiters konvergiert die Funktionenfolge [latex]\sum _{n=0}^N a_nz^n[/latex] gleichmässig gegen [latex]\sum _{n=0}^\infty a_nz^n[/latex] auf jeder Kreisscheibe der Form [latex]B_S(0) = \left \lbrace {z \in \mathbb {C}} \mid {|z|

Beispiel 6.57: Nicht gleichmässige Konvergenz

Man könnte denken, dass Satz 6.56 eigentlich sagt, dass die Partialsummen [latex]\sum _{k=0}^na_kz^k[/latex] der Potenzreihe auf ganz [latex]B_R(0)[/latex] gleichmässig gegen die durch die Potenzreihe definierte Funktion [latex]z\in B_R(0)\mapsto \sum _{k=0}^\infty a_kz^k[/latex] streben, da ja [latex]S6.50), wie wir hier kurz anhand der geometrischen Reihe zeigen wollen.

Für [latex]\sum _{n=0}^\infty z^n[/latex] ist der Konvergenzradius [latex]R=1[/latex] und die mittels der Potenzreihe definierte Funktion ist [latex]z\in B_1(0)\mapsto \frac 1{1-z}[/latex]. Falls die Konvergenz auf ganz [latex]B_1(0)[/latex] gleichmässig wäre, dann gäbe es für [latex]\varepsilon =1[/latex] ein [latex]N[/latex] so dass für alle [latex]n\geq N[/latex] und [latex]z\in B_1(0)[/latex] die Abschätzung

gelten würde. Wir setzen [latex]n=N[/latex] und erhalten mittels der Dreiecksungleichung daraus

für alle [latex]z\in B_1(0)[/latex]. Dies ist aber ein Widerspruch, da

Übung 6.58: Konvergenzradien

Finden Sie für jedes [latex]R \in [0,\infty ) \cup \left \lbrace {\infty } \right \rbrace[/latex] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius [latex]R[/latex].

Übung 6.59

Berechnen Sie den Konvergenzradius [latex]R[/latex] der Potenzreihe

und zeigen Sie Konvergenz der Potenzreihe bei den Punkten [latex]-R,R\in \mathbb {R}[/latex].

Lemma 6.60: Konvergenzradius via Quotientenkriterium

Sei [latex]\sum _{n=0}^\infty a_n z^n[/latex] eine Potenzreihe mit [latex]a_n \neq 0[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex]. Der Konvergenzradius [latex]R[/latex] ist gegeben durch

falls dieser Grenzwert existiert.

Übung 6.61

Zeigen Sie Lemma 6.60.

Proposition 6.62: Summen und Produkte

Seien [latex]\sum _{n=0}^\infty a_nz^n[/latex] und [latex]\sum _{n=0}^\infty b_nz^n[/latex] zwei Potenzreihen mit Konvergenzradius [latex]R_a[/latex] respektive [latex]R_b[/latex]. Dann gilt für alle [latex]z \in \mathbb {C}[/latex] mit [latex]|z|

Insbesondere ist der Konvergenzradius der Potenzreihen auf der rechten Seite mindestens [latex]\min \left \lbrace {R_a,R_b} \right \rbrace[/latex].

Beispiel 6.63

Falls [latex]\sum _{n=0}^\infty a_nz^n[/latex] mindestens Konvergenzradius [latex]1[/latex] hat, so gilt
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-anwendungcauchyprod} \frac {1}{1-z}\sum _{n=0}^\infty a_nz^n = \sum _{n=0}^\infty (a_0 + \ldots + a_n) z^n.\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]z\in \mathbb {C}[/latex] mit [latex]|z|6.6) aus Proposition 6.62 folgt.

Übung 6.64

Berechnen Sie [latex]\sum _{n=1}^\infty n2^{-n}[/latex].

Satz 6.65: Abelscher Grenzwertsatz

Unter obigen Annahmen ist auch [latex]\bar {f}[/latex] stetig. Das heisst,

Eine analoge Aussage gilt, falls [latex]\sum _{n=0}^\infty a_n (-R)^n[/latex] konvergiert.

Beispiel 6.66: Zwei alternierende Potenzreihen

1. Für [latex]a_0 = 0[/latex] und [latex]a_n = \frac {(-1)^{n+1}}{n}[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] ist der Konvergenzradius der Potenzreihe [latex]\sum _{n=0}^\infty a_n z^n[/latex] durch [latex]R=1[/latex] gegeben und [latex]\sum _{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n+1}}{n}[/latex] konvergiert, womit der Abelsche Grenzwertsatz (Satz 6.65) angewendet werden kann (sobald wir die Funktion [latex]f(x)=\sum _{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n+1}}{n}x^n[/latex] für [latex]|x|
2. Für [latex]a_n = (-1)^n[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}_0[/latex] ist [latex]R=1[/latex] und der Abelsche Grenzwertsatz (Satz 6.65) kann nicht angewendet werden, da [latex]\sum _{n=0}^\infty (-1)^n[/latex] divergiert.

Bemerkung

Hierzu eine historische Anmerkung: Euler (1707-1783) und seine Zeitgenossen hatten noch einen anderen Zugang zu Reihen und wiesen auf Grund der Gleichung [latex]\sum _{n=0}^\infty (-1)^n x^n = \frac {1}{1+x}[/latex] für [latex]|x| 6.2) widerspricht.

Übung 6.67

Wo wurde im obigen Beweis verwendet, dass [latex]x[/latex] reell ist?

Satz 6.68: Komplexe Exponentialabbildung

Für [latex]z \in \mathbb {C}[/latex] definieren wir

womit eine stetige Erweiterung [latex]\exp :\mathbb {C}\to \mathbb {C}[/latex] der reellen Exponentialabbildung definiert wird. Des Weiteren gilt für alle [latex]z,w\in \mathbb {C}[/latex] die Additionsformel
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq;additionexpaufC} \exp (z+w) = \exp (z)\exp (w)\end{aligned}
[/latex]
und die Formel
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:expabsolutbet} |\exp (z)| = \exp (\operatorname {Re}(z))\end{aligned}
[/latex]
für den Absolutbetrag. Insbesondere gilt [latex]|\exp (\mathrm {i} y)| = 1[/latex] für alle [latex]y \in \mathbb {R}[/latex].

Übung 6.69: Grenzwertformel

Zeigen Sie, dass

für alle [latex]z\in \mathbb {C}[/latex].

Übung 6.70

Zeigen Sie für alle [latex]z \in \mathbb {C}[/latex] mit [latex]|z|

Applet 6.71: Komplexe Exponentialabbildung

Wir stellen die komplexe Exponentialabbildung dar. Da der Graph dieser in [latex]\mathbb {C}^2[/latex] liegt, können wir den Graph wohl kaum auf dem Bildschirm darstellen. Stattdessen visualisieren wir die Abbildung anhand eines bewegbaren Punktes [latex]z=s+\varphi \mathrm {i}\in \mathbb {C}[/latex] und dessen Bildpunkt [latex]\exp (z)=\mathrm {e}^s\exp (\varphi \mathrm {i})\in \mathbb {C}[/latex].

Satz 6.72: Sinus- und Kosinusfunktionen

Die Potenzreihe (6.11) definiert die ungerade stetige Sinusfunktion [latex]\sin :\mathbb {C}\to \mathbb {C}[/latex] und die Potenzreihe (6.12) definiert die gerade stetige Kosinusfunktion [latex]\cos :\mathbb {C}\to \mathbb {C}[/latex]. Die Einschränkungen dieser Funktionen auf [latex]\mathbb {R}[/latex] sind reellwertig und werden ebenso also Sinusfunktion und Kosinusfunktion bezeichnet. Des Weiteren bestehen für alle [latex]z\in \mathbb {C}[/latex] die Beziehungen

zu der Exponentialfunktion und es gelten die trigonometrischen Additionsformeln
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-sin addformel} \sin (z+w) &= \sin (z)\cos (w) + \cos (z) \sin (w)\\ \label{eq:reihe-cos addformel} \cos (z+w) &= \cos (z) \cos (w) - \sin (z) \sin (w)\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]z,w\in \mathbb {C}[/latex].

Applet 6.73: Potenzreihen

Wir betrachten die ersten Partialsummen der Potenzreihen, welche [latex]\exp[/latex], [latex]\sin[/latex] und [latex]\cos[/latex] (beziehungsweise [latex]\sinh[/latex], [latex]\cosh[/latex] vom nächsten Abschnitt) definieren. Durch Vergrössern des Ausschnittes können Sie die Qualität der Annäherungen der Partialsummen überprüfen. Bei den trigonometrischen Funktionen kann man auch im Bild gut erkennen, dass die Potenzreihe alternierende Reihen bilden.

Satz 6.74: Pi

Es gibt genau eine Zahl [latex]\pi \in (0,4)[/latex] mit [latex]\sin (\pi ) =0[/latex]. Für diese Zahl gilt weiters

Korollar 6.75: Periodizität

Es gelten

und [latex]\cos (z) = \sin \big (z+ \frac {\pi }{2}\big )[/latex] für alle [latex]z \in \mathbb {C}[/latex].

Wichtige Übung 6.76: Nullstellen von [latex]\sin[/latex] und [latex]\cos[/latex]

Zeigen Sie, dass die Nullstellen von [latex]\sin[/latex] genau die Punkte in [latex]\pi \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {C}[/latex] sind und dass die Nullstellen von [latex]\cos[/latex] genau die Punkte in [latex]\pi \mathbb {Z}+ \frac {\pi }{2}[/latex] sind.

Übung 6.77: Monotonie von Sinus

Zeigen Sie die Formel

für alle [latex]z,w\in \mathbb {C}[/latex]. Verwenden Sie dies, um zu zeigen, dass der eingeschränkte Sinus

strikt monoton wachsend und bijektiv ist.

Übung 6.78

Zeigen Sie, dass die Zahl [latex]\cos \big (\frac {\pi }{7}\big )[/latex] algebraisch ist.

Übung 6.79: Abschätzungen für [latex]\pi[/latex]

Zeigen Sie [latex]\pi \in (3,4)[/latex] oder sogar [latex]3.1

Übung 6.80: Additionsformel für den (Co-)Tangens

Zeigen Sie, dass für [latex]z,w \in \mathbb {C}[/latex] die Additionsformel

gilt, wo definiert. Finden und beweisen Sie eine analoge Additionsformel für den Cotangens.

Lemma 6.81: Existenz von Polarkoordinaten

Für alle [latex]z \in \mathbb {C}[/latex] existiert ein eindeutig bestimmtes [latex]r\geq 0[/latex] und ein Winkel [latex]\theta \in [0,2\pi )[/latex] mit [latex]z = r \mathrm {e}^{\mathrm {i}\theta }[/latex]. Des Weiteren ist der Winkel [latex]\theta[/latex] eindeutig bestimmt, falls [latex]z \neq 0[/latex].

Applet 6.82: Geometrische Bedeutung der Komplexen Zahlen

Wir können anhand der eingezeichneten Polarkoordinatenlinien die geometrische Bedeutung der Multiplikation von komplexen Zahlen und der Inversen und der Wurzeln einer vorgegebenen Zahl erkennen. Bei Bewegung von [latex]z[/latex] um den Ursprung im Wurzelmodus ist ersichtlich, warum eine stetige Definition von Wurzelfunktionen nicht möglich ist.

Übung 6.83: Wurzeln

Sei [latex]w = r\mathrm {e}^{\mathrm {i}\theta }[/latex]. Zeigen Sie, dass die Nullstellen des Polynoms [latex]p(z) = z^n-w[/latex] (die [latex]n[/latex]-ten Wurzeln von [latex]w[/latex]) gerade durch

gegeben sind und dass diese paarweise verschieden sind. Die [latex]n[/latex]-ten Wurzeln von [latex]1[/latex] nennen sich die [latex]n[/latex]-ten Einheitswurzeln.

Zeigen Sie des Weiteren für alle natürlichen Zahlen [latex]n\geq 2[/latex] die Identität

Übung 6.84: Quadratische Formel

Verallgemeinern Sie Übung 3.18 und zeigen Sie, dass jedes komplexe Polynom vom Grad [latex]2[/latex] als Produkt zweier komplexen Polynomen mit Grad [latex]1[/latex] geschrieben werden kann.

Satz 6.85: Integration von Potenzreihen

Sei [latex]f(x) = \sum _{n=0}^\infty c_n x^n[/latex] eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten [latex](c_n)_{n\in \mathbb {N}_0}[/latex] und Konvergenzradius [latex]R[/latex]. Dann definiert [latex]F(x) = \sum _{n=0}^\infty \frac {c_n}{n+1}x^{n+1}[/latex] eine Potenzreihe mit demselben Konvergenzradius [latex]R[/latex] und es gilt

für alle [latex]a,b \in (-R,R)[/latex].

Korollar 6.86

Für alle [latex]a,b\in \mathbb {R}[/latex] gelten die Integrationsformeln

Übung 6.87

Beweisen Sie die letzten beiden Formeln in Korollar 6.86.

Applet 6.88: Integration von transzendenten Funktionen

Wir stellen obige Integrationsgesetze (und jene vom nächsten Unterabschnitt) grafisch dar.

Übung 6.89

Beweisen Sie ausgehend von den Definitionen des hyperbolischen Sinus und des hyperbolischen Kosinus die obigen Formeln.

Übung 6.90

Finden Sie eine Ziffernentwicklung von [latex]\frac {1}{7}[/latex] zur Basis [latex]3[/latex].

Übung 6.91: Zahlen mit schliesslich periodischer Ziffernentwicklung

Eine Folge [latex](d_n)_{n \geq \ell }[/latex] für [latex]\ell \in \mathbb {N}[/latex] heisst periodisch, falls ein [latex]N[/latex] existiert mit [latex]d_{n+N} = d_n[/latex] für alle [latex]n \geq \ell[/latex]. Sie heisst schliesslich periodisch, falls es ein [latex]k\geq \ell[/latex] und ein [latex]N\in \mathbb {N}[/latex] gibt mit [latex]d_{n+N} = d_n[/latex] für alle [latex]n \geq k[/latex]. Wir wollen hier zeigen, dass die Zahlen mit einer schliesslich periodischen Ziffernentwicklung gerade die rationalen Zahlen sind. Sei [latex]x>0[/latex] eine reelle und [latex]p\geq 2[/latex] eine natürliche Zahl. Unterscheiden Sie folgende Fälle:

1. Angenommen [latex]x[/latex] hat eine schliesslich periodische Ziffernentwicklung. Zeigen Sie, dass [latex]x[/latex] rational ist.
2. Zeigen Sie, dass [latex]x[/latex] genau dann eine abbrechende (und damit schliesslich periodische) Ziffernentwicklung hat, wenn [latex]x[/latex] von der Form [latex]\frac {n}{p^k}[/latex] für [latex]k,n\in \mathbb {N}_0[/latex] ist (und damit rational ist).
3. Angenommen [latex]x\in \mathbb {Q}[/latex] hat keine abbrechende Ziffernentwicklung. Dann ist insbesondere die Ziffernentwicklung von [latex]x[/latex] eindeutig bestimmt. Sei o.B.d.A. [latex]x\in (0,1)[/latex] und seien [latex]x_k,d_k[/latex] für [latex]k \in \mathbb {N}[/latex] wie in der Konstruktion der Ziffernentwicklung nach (6.14). Nach Annahme ist [latex]x = \frac {m}{n}[/latex] für [latex](m,n)\in \mathbb {N}^2[/latex] teilerfremd und [latex]m\leq n[/latex]. Zeigen Sie nun, dass [latex]x_k \in \left \lbrace {\frac {1}{n},\ldots ,\frac {n-1}{n}} \right \rbrace[/latex] ist für alle [latex]k\in \mathbb {N}[/latex] und wenden Sie das Schubfachprinzip an.

Übung 6.92: Mächtigkeit der reellen Zahlen

Zeigen Sie [latex][0,1]\sim \mathcal {P}(\mathbb {N})[/latex] sowie [latex]\mathbb {R}\sim \mathcal {P}(\mathbb {N})[/latex].

Übung 6.93: Cantor-Menge in Basis 3

Zeigen Sie, dass diese Beschreibung der Cantor-Menge zutrifft.

Übung 6.94: «Gesamtlänge» der Cantor-Menge

Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion der Cantor-Menge [latex]\mathds {1}_C[/latex] auf [latex][0,1][/latex] Riemann-integrierbar ist und [latex]\int _0^1\mathds {1}_C\thinspace {\rm {d}} x = 0[/latex] ist. In diesem Sinne hat [latex]C[/latex] sozusagen «Gesamtlänge» [latex]0[/latex] und [latex][0,1]\setminus C[/latex] hat «Gesamtlänge» [latex]1[/latex].

Übung 6.95: Cantor-Funktion

Zeigen Sie, dass die Cantor-Funktion [latex]f:[0,1]\to [0,1][/latex] monoton wachsend und stetig ist.

Lemma 6.96: Stetigkeit

Für jedes [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] ist die Abbildung [latex]x \in C \mapsto d_n(x) \in \left \lbrace {0,2} \right \rbrace[/latex] stetig. Insbesondere ist die Abbildung [latex]\mathbf {{f}}_C: C \to [0,1]^2[/latex] stetig.

Proposition 6.97: Existenz einer raumfüllenden Kurve

Die Abbildung [latex]\mathbf {{f}}_P: [0,1] \to [0,1]^2[/latex] ist stetig und surjektiv.

Bemerkung: Approximative Darstellung der Peano-Kurve

Auf Grund der Surjektivität der Kurve [latex]\mathbf {{f}}_P[/latex] macht es wenig Sinn, diese darstellen zu wollen. Stattdessen stellt man eine Approximation der Peano-Kurve dar. Für [latex]N \in \mathbb {N}[/latex] setzt man

für alle [latex]x \in C[/latex] und erweitert anschliessend die Funktion [latex]\mathbf {{f_C^{(N)}}}:C \to [0,1]^2[/latex] zu einer stetigen Funktion [latex]\mathbf {{f}}_P:[0,1]\to [0,1]^2[/latex] in Analogie zu (6.16). Die Funktionenfolge [latex](\mathbf {{f_C^{(N)}}})_N[/latex] konvergiert, wie man zeigen kann, gleichmässig gegen [latex]\mathbf {{f}}_C[/latex].

Abbildung 6.5 – Das Bild der approximativen Peano-Kurven [latex]\mathbf {{f_C^{(N)}}}[/latex] für [latex]N \in \left \lbrace {6,8,10} \right \rbrace[/latex].

Übung 6.98: Kein Homöomorphismus

Wir wollen hier zeigen, dass es keine stetige und bijektive Funktion von [latex][0,1][/latex] nach [latex][0,1]^2[/latex] gibt. Wir nehmen indirekt an, dass [latex]\mathbf {{f}}: [0,1] \to [0,1]^2[/latex] stetig und bijektiv sei.

1. Wir wissen bereits, dass [latex]\mathbf {{f}}[/latex] konvergente Teilfolgen auf konvergente Teilfolgen abbildet. Zeigen Sie, dass [latex]\mathbf {{f}}^{-1}:[0,1]^2 \to [0,1][/latex] dies ebenfalls tut.
   
   Hinweis.

   Sei [latex](x_n)_n[/latex] eine Folge in [latex][0,1][/latex], so dass [latex](\mathbf {{f}}(x_n))_n[/latex] gegen [latex]f(x)[/latex] konvergiert. Zeigen Sie, dass jede konvergente Teilfolge von [latex](x_n)_n[/latex] gegen [latex]x[/latex] konvergieren muss. Schliessen Sie daraus, dass [latex](x_n)_n[/latex] konvergiert.
   

2. Finden Sie eine stetige Abbildung (eine Kurve) [latex]\mathbf {{g}}:[0,1] \to [0,1]^2\setminus \left \lbrace {\mathbf {{f}}(\frac 12)} \right \rbrace[/latex] mit [latex]\mathbf {{g}}(0) = \mathbf {{f}}(\frac 14)[/latex] und [latex]\mathbf {{g}}(1) = \mathbf {{f}}(\frac 34)[/latex].
3. Zeigen Sie, dass die Abbildung [latex]\mathbf {{f}}^{-1}\circ \mathbf {{g}}: [0,1] \to [0,1]\setminus \{ \frac 12\}[/latex] stetig ist und schliessen Sie mit dem Zwischenwertsatz auf einen Widerspruch.

Übung 6.99: Stetiges Füllen der Ebene

Finden Sie eine stetige, surjektive Funktion [latex]f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}^2[/latex].

Übung

Sei [latex]\sum _{k=1}^\infty a_k[/latex] eine konvergente Reihe. Falls [latex](a_k)_k[/latex] eine monoton fallende Folge ist, so ist nicht nur [latex](a_k)_k[/latex], sondern auch [latex](ka_k)_k[/latex] eine Nullfolge. Beweisen Sie dies.

Übung

Sei [latex]f: \mathbb {N} \to \mathbb {N}[/latex] eine bijektive Abbildung. Konvergiert die Reihe [latex]\sum _{n=1}^\infty \frac {f(n)}{n^2}[/latex]?

Übung: Raabes Quotientenkriterium

Sei [latex](a_n)_n[/latex] eine Folge komplexer Zahlen mit [latex]a_n \neq 0[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex], so dass [latex]\lim _{n \to \infty } \frac {|a_{n+1}|}{|a_n|} = 1[/latex] und

existiert. Zeigen Sie, dass die Reihe [latex]\sum _{n=1}^\infty a_n[/latex] konvergiert, falls [latex]Q > 1[/latex]. (J. Raabe war einer der ersten Mathematikprofessoren an der ETH Zürich.)

Hinweis: Finden Sie ein [latex]p>1[/latex], so dass für alle bis auf endlich viele [latex]n[/latex]

gilt. Verwenden Sie die kontinuierliche Bernoulli-Ungleichung aus Übung 5.61, um zu zeigen, dass

Schliessen Sie nun auf die Aussage unter Verwendung von Korollar 6.29 und Beispiel 6.17.

Übung: Vertauschung der Summationsreihenfolge

Wie schon vor dem Beweis des Produktsatzes (Satz 6.36) angedeutet, ist der Produktsatz stark mit Vertauschbarkeit von Summationsreihenfolge verwandt. Wir wollen dies hier genauer formulieren. Dazu betrachten wir eine doppelt indizierte Folge [latex](a_{(m,n)})_{(m,n)\in \mathbb {N}^2}[/latex].

1. Um zu sehen, dass die Vertauschbarkeit der Summationsreihenfolge für Reihen nicht immer gilt, definieren wir
   [latex]
   \begin{aligned}[]a_{(m,n)} = \left \lbrace \begin{array}{ll} 1 & \text {falls } m=n\\ -1 & \text {falls } m+1 =n \\ 0 & \text {sonst }.\end{array} \right .\end{aligned}
   [/latex]

   für alle [latex](m,n)\in \mathbb {N}^2[/latex]. Zeigen Sie, dass die Doppelreihen

   [latex]
   \begin{aligned}[]\sum _{m=1}^\infty \bigg (\sum _{n=1}^\infty a_{(m,n)}\bigg ),\quad \sum _{n=1}^\infty \bigg (\sum _{m=1}^\infty a_{(m,n)}\bigg )\end{aligned}
   [/latex]

   konvergieren, aber verschieden sind.

2. Angenommen [latex](a_{(m,n)})_{(m,n)\in \mathbb {N}^2}[/latex] erfüllt [latex]\sum _{m=1}^\infty \big (\sum _{n=1}^\infty |a_{(m,n)}|\big )

Übung: Zerlegung in gerade und ungerade Funktionen

Sei [latex]f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}[/latex] eine Funktion. Zeigen Sie, dass sich [latex]f[/latex] als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben lässt.

Übung

Seien [latex]a,b \in \mathbb {R}[/latex] . Zeigen Sie, dass es ein [latex]\theta \in \mathbb {R}[/latex] gibt, so dass

für alle [latex]\varphi \in \mathbb {R}[/latex].

Übung: Irrationalität der Eulerschen Zahl

Zeigen Sie, dass [latex]\mathrm {e} = \sum _{k=0}^\infty \frac {1}{k!}[/latex] irrational. Nehmen Sie indirekt an, dass [latex]\mathrm {e}[/latex] rational ist und verwenden Sie die Exponentialreihe.

Übung

Wir wollen einen (spielsüchtigen) Kasinobesucher und ein unübliches, den Spieler bevorzugendes, Spiel betrachten. Das Spiel besteht aus einem einfachen Münzwurf mit zwei möglichen gleich wahrscheinlichen Ergebnissen, nämlich Kopf und Zahl. Bei Kopf gewinnt das Kasino den Einsatz des Spielers und bei Zahl gewinnt der Spieler das Vierfache seines Einsatzes. Wir wollen die verschiedenen Ergebnisse des iterierten Spieles anhand einer Funktion auf [latex][0,1][/latex] beschreiben. Hierbei verwenden wir die binäre Zifferndarstellung reeller Zahlen, wobei wir die Nichteindeutigkeit einfach ignorieren, da diese für sich gesehen extrem unwahrscheinlichen Ergebnissen des iterierten Spieles entsprechen.^[6] Wir interpretieren die Ziffer [latex]0[/latex] als Kopf und die Ziffer [latex]1[/latex] als Zahl, womit die reelle Zahl [latex]0.100101\ldots[/latex] für die wiederholten Würfe der Münze mit den Ergebnissen Zahl-Kopf-Kopf-Zahl-Kopf-Zahl und so weiter steht (und die Null vor dem Komma ignoriert wird).

1. Bestimmen Sie eine Funktion [latex]f_n:[0,1]\to \mathbb {R}[/latex], die den Gewinn nach [latex]n[/latex] Wiederholungen des Spiels beschreibt, wobei der Spieler mit einem Franken das Spiel beginnt und bei Gewinn jeweils sein Gesamtvermögen im nächsten Spiel wieder einsetzt.
2. Bestimmen Sie den Erwartungswert für den Spieler, wenn dieser das Spiel [latex]n[/latex] mal wiederholt (also das Integral von [latex]f_n[/latex]).
3. Wir nehmen nun an, dass der Spieler spielsüchtig ist und auch bei Gewinn von wirklich grossen Summen nicht aufhören kann zu spielen. Bestimmen Sie die Funktion, die den Gewinn des Spielers beschreibt. Sie sollten bemerken, dass dies der punktweise Grenzwert der Funktion [latex]f_n[/latex] ist.
4. Bestimmen Sie den Erwartungswert des unbeschränkt langen Spiels für den spielsüchtigen Spieler.

Übung: Der Fall der absoluten Konvergenz am Rand

Sei [latex]\sum _{n=0}^\infty a_nz^n[/latex] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius [latex]R\in (0,\infty )[/latex]. Sei des Weiteren [latex]\sum _{n=0}^\infty |a_n|R^n

wohldefiniert und stetig ist.

Übung: Bestimmte Divergenz am Rand

Sei [latex]\sum _{n=0}^\infty a_nx^n[/latex] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius [latex]R\in (0,\infty )[/latex] und nicht-negativen Koeffizienten [latex]a_n\geq 0[/latex] für alle [latex]n\in \mathbb {N}[/latex]. Sei des Weiteren [latex]\sum _{n=0}^\infty a_nR^n=\infty[/latex]. Zeigen Sie, dass in diesem Fall

Übung: Challenge

Wir betrachten das Gitter [latex]\mathbb {N}^2[/latex] in der Ebene [latex]\mathbb {R}^2[/latex] und fixieren uns ein Quadrat darin, [latex]Q = [1,15]^2 \cap \mathbb {N}^2[/latex]. Auf den Punkten [latex](1,1)[/latex], [latex](2,1)[/latex], [latex](3,1)[/latex], [latex](1,2)[/latex], [latex](2,2)[/latex], [latex](1,3)[/latex] platzieren wir nun jeweils eine Münze und beginnen dann folgendes Spiel. Sie als Spieler dürfen jeweils eine der Münzen entfernen, worauf Sie eine Münze oberhalb und eine Münze rechts von der entfernten Münze platzieren. Dieser Zug ist aber nur dann erlaubt, wenn die Plätze rechts und oberhalb der zu entfernenden Münze noch frei sind. Ihre Aufgabe besteht nun darin, nach endlich vielen Zügen keine Münzen mehr innerhalb des Quadrat [latex]Q[/latex] liegen zu haben. Ist das möglich?