Wir beginnen in diesem Kapitel «Bewegungen» zu untersuchen, indem wir Grenzwerte von Folgen und allgemeineren Funktionen diskutieren. Dies wird uns insbesondere erlauben, die Exponentialabbildung zu definieren. Wir werden auch den Zusammenhang zwischen dem Riemann-Integral und Riemann-Summen als eine Art von Grenzwertprozess untersuchen.

Wir haben in den letzten beiden Kapiteln wiederholt Supremum und Infimum als wichtigste Hilfsmittel für den Aufbau der Theorie verwendet. Allerdings haben diese die fundamentale Einschränkung, nur für die reellen Zahlen sinnvoll zu sein. Wir werden hier bedeutende alternative Hilfsmittel, nämlich den Begriff der Cauchy-Folgen und die Existenz von konvergenten Teilfolgen einführen. Wie wir zum Teil in diesem Kapitel aber in grösserem Ausmass im zweiten Semester sehen werden sind diese Hilfsmittel auch im [latex]\mathbb {R}^d[/latex] für [latex]d\geq 2[/latex] sinnvoll und nützlich.

5.1 – Konvergenz von Folgen

Wir werden vorerst nur Folgen in [latex]\mathbb {C}[/latex] betrachten. Diese bilden, wie wir in den Abschnitten 3.4 und 3.5.1 gesehen haben, einen Vektorraum ([latex]\mathbb {C}^\mathbb {N} = F_\mathbb {C}(\mathbb {N})[/latex]) mit den Verknüpfungen

für [latex]\alpha \in \mathbb {C}[/latex] und Folgen [latex](a_n)_{n},(b_n)_{n} \in \mathbb {C}^\mathbb {N}[/latex].

Für eine schliesslich konstante Folge [latex](a_n)_n[/latex] ist [latex]A\in \mathbb {C}[/latex] mit [latex]a_n=A[/latex] für alle hinreichend grossen [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] eine besondere Zahl, die wir mit der schliesslich konstanten Folge assoziieren können. Wir wollen diese Assoziation verallgemeinern, wobei wir eine beliebig kleine Fehlerschranke [latex]\varepsilon >0[/latex] erlauben und wiederum ein [latex]A\in \mathbb {C}[/latex] suchen, so dass für alle hinreichend grossen [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] das Folgenglied [latex]a_n[/latex] — bis auf einen Fehler kleiner als [latex]\varepsilon[/latex] — gleich [latex]A[/latex] sein soll. Wir formalisieren diesen Begriff wie folgt.

Nochmals anders formuliert ist eine Folge [latex](a_n)_{n}[/latex] nach [latex]A[/latex] konvergent, falls hinreichend späte Folgenglieder der Zahl [latex]A[/latex] beliebig nahe kommen müssen — siehe folgendes Bild:

In Prädikatenlogik ist Konvergenz gegen [latex]A[/latex] durch

gegeben. Wir bemerken noch, dass eine Folge [latex](a_n)_n[/latex] in [latex]\mathbb {C}[/latex] genau dann gegen [latex]A \in \mathbb {C}[/latex] konvergiert, wenn die Folge [latex](|a_n-A|)_n[/latex] gegen Null konvergiert.

Wir empfehlen Ihnen, sich ein Bild zu obigem Beweis zu zeichnen. Falls [latex]A=\lim _{n\to \infty }a_n[/latex] für eine Folge [latex](a_n)_n[/latex], dann schreibt man oft auch [latex]a_n\to A[/latex] für [latex]n\to \infty[/latex].

Oft werden wir anstelle von Folgen in [latex]\mathbb {C}[/latex] auch Folgen in [latex]\mathbb {R}[/latex] betrachten. Ist eine solche Folge konvergent, so liegt ihr Grenzwert in [latex]\mathbb {R}[/latex], wie wir in folgender Übung zeigen.

Eine Folge [latex](a_n)_{n}[/latex] heisst beschränkt, falls es ein [latex]M > 0[/latex] gibt, so dass [latex]|a_n|\leq M[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex]. Wie in Übung 3.39 kann man zeigen, dass die Menge der beschränkten Folgen in [latex]\mathbb {C}^\mathbb {N}[/latex] einen Unterraum bildet.

Wie schon bei der Stetigkeit von Funktionen möchten wir auch hier nicht jedesmal «von Hand» mit [latex]\varepsilon >0[/latex] und [latex]N\geq 1[/latex] Grenzwerte berechnen müssen. Dazu ist folgende Proposition hilfreich.

Eine konvergente Folge mit Grenzwert Null wird auch eine Nullfolge genannt.

5.1.1 – Zusammenhang zur Stetigkeit

Stetigkeit lässt sich auch mit Hilfe von Folgen charakterisieren, wie wir in folgender Proposition diskutieren wollen.

Sehr intuitiv ausgedrückt ist eine Funktion also stetig, wenn sie konvergente Folgen auf konvergente Folgen (mit dem richtigen Grenzwert) abbildet. Dies bezeichnet man auch als Folgenstetigkeit. Diese Eigenschaft kann für Grenzwertberechnungen von Folgen verwendet werden, indem man eine gegebene Folge als Bild einer Folge (deren Grenzwert idealerweise schon bekannt ist) unter einer stetigen Funktion darstellt.

Nach Proposition 5.17 verfügen wir nun über zwei Varianten, wie wir Stetigkeit (oder Nicht-Stetigkeit) einer Funktion nachweisen können: mit der Definition (dem [latex]\varepsilon ,\delta[/latex]-Spiel) oder mit Konvergenz von Folgen. Letztere Variante kann unter anderem sehr nützlich sein, wenn man Nicht-Stetigkeit einer Funktion zeigen will, da man demnach bloss eine spezielle Folge konstruieren muss, die auf eine nicht-konvergente Folge abgebildet wird.

5.1.2 – Teilfolgen

Oft möchte man anstelle einer Folge [latex](a_n)_n[/latex] nur einen «Teil» der Folge betrachten, wobei wir im Gegensatz zur Indexverschiebung in Lemma 5.11 manchmal auch unendlich viele Folgenglieder wegstreichen wollen. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn die Folge nicht konvergiert.

Liegt eine Teilfolge einer konvergenten Folge vor, so konvergiert diese gegen denselben Grenzwert wie die Folge.

Eine Folge kann konvergente Teilfolgen besitzen, ohne selbst zu konvergieren. Beispielsweise hat die Folge [latex]n \in \mathbb {N} \mapsto \ (-1)^n \in \mathbb {R}[/latex] die konvergente (konstante) Teilfolge [latex]n \in \mathbb {N} \mapsto (-1)^{2n}\in \mathbb {R}[/latex], konvergiert aber nicht, wie wir schon gesehen haben. In der Tat haben wir mit Lemma 5.20 jetzt ein kürzeres Argument. Falls die Folge [latex](a_n)_n = ((-1)^n)[/latex] gegen [latex]A\in \mathbb {R}[/latex] konvergieren würde, so müssten die beiden konstanten Folgen [latex](a_{2n})_n[/latex], [latex](a_{2n+1})_n[/latex] auch gegen [latex]A[/latex] konvergieren. Dies ist natürlich nicht möglich, da die eine gegen [latex]1[/latex] und die andere gegen [latex]-1[/latex] konvergiert.

In gewissen Situationen lässt sich aus dem Konvergenzverhalten von Teilfolgen trotzdem etwas über das Konvergenzverhalten der gesamten Folge sagen.

5.1.3 – Cauchy-Folgen

Wir führen eine weitere Eigenschaft von Folgen ein.

Intuitiv ausgedrückt ist eine Cauchy-Folge also eine Folge, deren Folgenglieder für grosse Indizes immer näher beieinanderliegen. In dieser Formulierung macht die Aussage folgender Übung Sinn.

Ein Ziel dieses Kapitels ist die Umkehrung zu zeigen, also dass jede Cauchy-Folge selbst bereits einen Grenzwert besitzt. Dies ist nützlich, da wir für den Beweis der Konvergenz nach Definition eigentlich den Grenzwert bereits kennen müssen. Wollen wir hingegen zeigen, dass eine Folge eine Cauchy-Folge ist, so müssen wir nur die Folgenglieder der Folge betrachten. Damit werden wir im nächsten Kapitel viele neue Funktionen definieren können.^[1]

Um Konvergenz einer Cauchy-Folge zu zeigen, kann man folgendes nützliches Kriterium verwenden.

5.1.4 – Reduktion auf reelle Folgen

Anstelle von Folgen in [latex]\mathbb {C}[/latex] ist es meistens ausreichend, Folgen in [latex]\mathbb {R}[/latex] zu betrachten.

5.2 – Reelle Folgen

Wie wir im letzten Abschnitt gesehen haben, lässt sich die Konvergenz von komplexwertigen Folgen auf die Konvergenz von reellwertigen Folgen zurückführen. Unter anderem deswegen möchten wir nun reelle Folgen (also Folgen in [latex]\mathbb {R}[/latex]) genauer betrachten und beginnen damit, das Verhalten von Ungleichungen bei Konvergenz zu untersuchen.

Wir möchten noch kurz anmerken, dass die Annahme der strikten Ungleichung in (i) nicht [latex]a

Sie sollten sich ein Bild zu obigem Beweis überlegen, da das Bild es deutlich einfacher machen sollte, sich diesen Beweis (oder auch ähnliche Beweise) zu merken. Wir können Ungleichungen zwischen verschiedenen Folgen auch dazu verwenden, Konvergenz zu zeigen.

Lemma 5.31 ist sehr nützlich um Konvergenz spezifischer Folgen zu zeigen, wie wir in folgendem Beispiel illustrieren wollen.

5.2.1 – Monotone Folgen

Für monotone Folgen gibt es folgendes hinreichendes und notwendiges Kriterium, das den Nachweis von Konvergenz deutlich vereinfacht. Dies bringt das erste Mal das Vollständigkeitsaxiom in Beziehung zur Konvergenz einer Folge.

Wir illustrieren den Satz an einem Bild.

Abbildung 5.1 – Die (durch [latex]M > 0[/latex]) beschränkte, monoton wachsende Folge [latex](a_n)_n[/latex] im Bild hat keine andere Wahl als gegen das Supremum [latex]S[/latex] der Folgenglieder zu konvergieren. Wenn Sie sich an die charakterisierenden Eigenschaften des Supremums erinnern (was wir Ihnen empfehlen), dann können Sie den Beweis vielleicht schon selbst durchführen.

5.2.2 – Limes superior und Limes inferior

Wir bringen nochmals das Vollständigkeitsaxiom (in der Form der Existenz des Supremums — Satz 2.60) in die Diskussion ein, aber betrachten im Gegensatz zum letzten Teilabschnitt eine allgemeine beschränkte reelle Folge [latex](a_n)_n[/latex]. Wir bemerken, dass für die Definition der Konvergenz der Folge [latex](a_n)_n[/latex] die sogenannten Endabschnitte [latex](a_k)_{k=n}^\infty[/latex] der Folge (formal definiert durch die Einschränkung von [latex]k \mapsto a_k[/latex] auf [latex]\left \lbrace {k \in \mathbb {N}} \mid {k \geq n}\right \rbrace[/latex]) eine entscheidende Rolle spielen. Deswegen definieren wir für jedes [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] das Supremum

über den Endabschnitt [latex]\left \lbrace {a_k} \mid {k\geq n}\right \rbrace[/latex] der Folge. Wir schreiben diese Definition auch in der Kurzform

Da [latex]\left \lbrace {a_k} \mid {k \geq n+1}\right \rbrace \subseteq \left \lbrace {a_k} \mid {k \geq n}\right \rbrace[/latex] ist, folgt (siehe die Bemerkung direkt nach Satz 4.19), dass [latex]S_{n+1}\leq S_n[/latex]. Die Folge [latex](S_n)_n[/latex] ist also monoton fallend. Da [latex](a_n)_n[/latex] nach Annahme beschränkt ist, existiert ein [latex]M > 0[/latex] mit [latex]|a_k| \leq M[/latex] für alle [latex]k \in \mathbb {N}[/latex]. Dies impliziert für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex], dass [latex]S_n \leq M[/latex], da [latex]M[/latex] eine obere Schranke von [latex]\left \lbrace {a_k} \mid {k \geq n}\right \rbrace[/latex] ist, und dass [latex]S_n \geq -M[/latex], da [latex]S_n \geq a_n \geq -M[/latex]. Unter dem Strich ist [latex](S_n)_n[/latex] also eine monoton fallende, beschränkte Folge und muss daher nach Satz 5.34 gegen das Infimum der Folge konvergieren.

Es ergibt sich beispielsweise für die Folge [latex](a_n)_n[/latex] gegeben durch [latex]a_n = (-1)^n[/latex] für [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] unmittelbar [latex]S_n=1[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] und somit [latex]\limsup _{n\to \infty }(-1)^n = 1[/latex].

Sei [latex](a_n)_n[/latex] eine beschränkte, reelle Folge. Analog zu obiger Diskussion definiert [latex]I_n = \inf _{k \geq n}a_k[/latex] für [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] eine monoton wachsende, beschränkte Folge [latex](I_n)_n[/latex], die nach Satz 5.34 gegen [latex]\sup _{n\in \mathbb {N}}I_n[/latex] konvergiert.

Wie zuvor erhält man beispielsweise [latex]\liminf _{n\to \infty }(-1)^n = -1[/latex]. Wir wollen die Begriffe Limes superior und Limes inferior an einem konkreten Zahlenbeispiel erproben.

Beispiel 5.39

Sei [latex](a_n)_n[/latex] die reelle Folge definiert durch [latex]a_n = (-1)^n + \frac {1}{n}[/latex] für [latex]n\in \mathbb {N}[/latex]. Wir stellen [latex]a_n,\ S_n = \sup _{k \geq n}a_k,\ I_n = \inf _{k \geq n}a_k[/latex] in folgender Tabelle dar.

[latex]
\begin{aligned}[]\begin{array}{c|ccccccccc} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & \ldots \\ \hline a_n & -1 + \tfrac {1}{1} & 1+\tfrac {1}{2} & -1+\tfrac {1}{3} & 1+\tfrac {1}{4} & -1+\tfrac {1}{5} & 1+\tfrac {1}{6} & -1+\tfrac {1}{7} & 1+\tfrac {1}{8} & \ldots \\ \hline S_n & 1+\tfrac {1}{2} & 1+\tfrac {1}{2} & 1+\tfrac {1}{4} & 1+\tfrac {1}{4} & 1+\tfrac {1}{6} & 1+\tfrac {1}{6} & 1+\tfrac {1}{8} & 1+\tfrac {1}{8} & \ldots \\ \hline I_n & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & \ldots \end{array}\end{aligned}
[/latex]

Man beachte dabei, dass [latex]S_n = a_n[/latex] ist, wenn [latex]n[/latex] gerade ist und sonst [latex]S_n = a_{n+1}[/latex]. Daher ist [latex]\limsup _{n \to \infty }((-1)^n+\frac {1}{n}) = \lim _{n\to \infty }((-1)^{2n}+\frac {1}{2n}) = 1[/latex]. Weiters ist wegen [latex]\lim _{n\to \infty }a_{2n+1}=-1[/latex] das Infimum [latex]I_n=-1[/latex] für alle [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] (wieso?), womit [latex]\liminf _{n \to \infty } ((-1)^n+\frac {1}{n})=-1[/latex].

Intuitiv bleibt die Folge also nicht lange weit über dem Limes superior und nähert sich immer wieder dem Limes superior. Wir empfehlen Ihnen zur Veranschaulichung die Aussagen des Satzes im Beispiel 5.39 direkt zu überprüfen und im Bild dazu zu veranschaulichen.

Der Limes Inferior hat zu dem Limes Superior analoge Eigenschaften (siehe Übung 5.42).

5.2.3 – Konvergente Teilfolgen

Wir betrachten wiederum eine beschränkte, reelle Folge [latex](a_n)_n[/latex] und wollen die Konvergenz von Teilfolgen von [latex](a_n)_n[/latex] untersuchen.

Betrachtet man die Folge [latex](a_n)_n[/latex] mit [latex]a_n = (-1)^n[/latex] für [latex]n \in \mathbb {N}[/latex], so erfüllt beispielsweise die Teilfolge [latex](a_{2k})_k[/latex], dass [latex]\lim _{k \to \infty }a_{2k} = \limsup _{n \to \infty } a_n = 1[/latex], und die Teilfolge [latex](a_{2k+1})_k[/latex], dass [latex]\lim _{k \to \infty }a_{2k+1} = \liminf _{n \to \infty } a_n = -1[/latex], wie wir schon gesehen haben.

Wir wollen noch einen zweiten Beweis der Existenz von konvergenten Teilfolgen unter Verwendung des Intervallschachtelungsprinzips andeuten. Sei [latex](a_n)_n[/latex] eine reelle, beschränkte Folge und [latex]c_1,d_1\in \mathbb {R}[/latex], so dass [latex]c_1 \leq a_n \leq d_1[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex]. Wir definieren [latex]n_1 = 1[/latex]. Als nächsten Schritt teilen wir das Intervall [latex][c_1,d_1][/latex] in zwei Hälften

auf und erkennen, dass zumindest eine der beiden Hälften unendlich viele Folgenglieder enthalten muss. Wir definieren [latex]c_2 = c_1[/latex], [latex]d_2 = \frac {c_1+d_1}{2}[/latex], falls [latex]a_n \in [c_1,\frac {c_1+d_1}{2}][/latex] für unendlich viele [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] und ansonsten [latex]c_2 = \frac {c_1+d_1}{2}[/latex], [latex]d_2 = d_1[/latex]. Insbesondere existiert ein [latex]n_2>n_1[/latex] mit [latex]a_{n_2} \in [c_2,d_2][/latex]. Wiederum teilen wir [latex][c_2,d_2][/latex] in zwei Hälften auf und wählen eine Hälfte [latex][c_3,d_3][/latex] aus, die unendlich viele Folgenglieder [latex]a_n[/latex] enthält. Auch wählen wir [latex]n_3>n_2[/latex] mit [latex]a_{n_3} \in [c_3,d_3][/latex].

Iterieren wir dieses Argument, so erhalten wir zwei weitere Folgen [latex](c_k)_k,(d_k)_k[/latex] und eine Teilfolge [latex](a_{n_k})_k[/latex] von [latex](a_n)_n[/latex], so dass

für alle [latex]k \in \mathbb {N}[/latex]. Nach Satz 2.78 (wo ebenso wie in Satz 5.44 die Existenz von Supremum und Infimum verwendet wurde) gibt es ein [latex]A\in \bigcap _{k\in \mathbb {N}} [c_k,d_k][/latex]. Aus [latex]c_k \leq A \leq d_k[/latex] und [latex]c_k \leq a_{n_k}\leq d_k[/latex] folgt

für alle [latex]k \in \mathbb {N}[/latex]. Nach Lemma 5.31 und Beispiel 5.13 gilt nun [latex]\lim _{k \to \infty }a_{n_k}= A[/latex]. Dieses Argument beweist die Existenz von konvergenten Teilfolgen, ohne diese aber in Zusammenhang mit dem Limes Superior und dem Limes Inferior wie in Satz 5.44 zu bringen.

Für eine beschränkte, reelle Folge [latex](a_n)_n[/latex] liegen nach Satz 5.44 alle Häufungspunkte zwischen [latex]\liminf _{n\to \infty }a_n[/latex] und [latex]\limsup _{n \to \infty }a_n[/latex] und diese beiden Punkte sind Häufungspunkte von [latex](a_n)_n[/latex]. Lässt man die Annahme der Beschränktheit fallen, so muss eine Folge nicht unbedingt Häufungspunkte besitzen. Ein Beispiel einer Folge ohne Häufungspunkte ist [latex](n)_n[/latex].

Wir möchten auch anmerken, dass die Menge der Häufungspunkte einer Folge [latex](a_n)_n[/latex] in [latex]\mathbb {R}[/latex] nicht gleich den Häufungspunkten der Teilmenge [latex]\left \lbrace {a_n} \mid {n \in \mathbb {N}}\right \rbrace[/latex] (siehe Definition 2.74) sein muss. Beispielsweise hat die Folge [latex](a_n)_n[/latex] gegeben durch [latex]a_n = (-1)^n[/latex] für [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] die beiden Häufungspunkte [latex]-1[/latex] und [latex]1[/latex] und die Menge [latex]\left \lbrace {-1,1} \right \rbrace[/latex] hat aber keine Häufungspunkte.

Zu jeder natürlichen Zahl [latex]K[/latex] lässt sich eine Folge konstruieren, die [latex]K[/latex] Häufungspunkte hat. Die Folge [latex](a_n)_n[/latex] definiert für [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] durch [latex]a_n = j[/latex] falls [latex]K|n-j[/latex] und [latex]j \in \left \lbrace {1,\ldots , K} \right \rbrace[/latex] ist ein Beispiel dafür. Es lassen sich auch Folgen mit abzählbar vielen Häufungspunkten konstruieren. In folgender Übung zeigt sich, dass auch Folgen existieren, deren Häufungspunkte ein ganzes abgeschlossenes Intervall bilden.

Wir wollen noch einen wichtigen topologischen Begriff einführen, welchen wir im zweiten Semester genauer untersuchen wollen. Eine Teilmenge [latex]K\subseteq \mathbb {R}[/latex] heisst folgenkompakt falls jede Folge in [latex]K[/latex] eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in [latex]K[/latex] besitzt. Wir bemerken, dass für [latex]a5.44 hat jede Folge in [latex][a,b][/latex] eine konvergente Teilfolge, für welche wegen Proposition 5.30 der Grenzwert wieder in [latex][a,b][/latex] liegt.

5.2.4 – Reelle Cauchy-Folgen

Wir haben Cauchy-Folgen bereits in Abschnitt 5.1.3 eingeführt und bemerkt, dass wir, um Konvergenz einer solchen Folge zu zeigen, nur eine konvergente Teilfolge finden müssen. In der Zwischenzeit haben wir Methoden gelernt, um genau dies zu erreichen und können deswegen nun folgenden Satz beweisen.

Der Begriff der Cauchy-Folge gemeinsam mit Satz 5.48 haben gegenüber der Definition der Konvergenz den entscheidenden Vorteil, dass wir den Grenzwert nicht kennen müssen, um zu zeigen, dass eine Folge eine Cauchy-Folge ist (und damit nach Satz 5.48 einen Grenzwert besitzt). Dies ist zum Beispiel dann wichtig, wenn man eine Zahl (die man nicht konkret kennt) als Grenzwert einer Folge definieren will (die man kennt). Des Weiteren hat Satz 5.48 gegenüber Satz 5.34 den Vorteil, dass er nicht nur für spezielle Folgen anwendbar ist.

Die Aussage von Satz 5.48 ist fundamental für die Analysis und ist das, was man in einem allgemeineren Kontext unter Vollständigkeit der reellen Zahlen versteht (siehe auch Kapitel 9). In anderen Worten ist Satz 5.48 zum Vollständigkeitsaxiom äquivalent im Sinne der folgenden Übung.

5.2.5 – Uneigentliche Grenzwerte

Folgende Erweiterung des Konvergenzbegriffs ist für uns auch wichtig.

Man beachte, dass eine divergente Folge (oder auch eine unbeschränkte Folge) nicht gegen [latex]\infty[/latex] oder [latex]-\infty[/latex] divergieren muss. Zum Beispiel ist die Folge [latex](a_n)_n[/latex] definiert durch

divergent, aber sie divergiert nicht gegen [latex]\infty[/latex]. Es gilt jedoch folgende Aussage.

Wir können auch uneigentliche Grenzwerte verwenden, um den Limes superior und den Limes inferior für unbeschränkte Folgen zu definieren. In der Tat, falls die reellwertige Folge [latex](a_n)_n[/latex] nicht von oben beschränkt ist, dann gilt [latex]\sup _{k\geq n}a_k=\infty[/latex] für alle [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] (siehe Abschnitt 2.5.3) und wir setzen [latex]\limsup _{n\to \infty }a_n=\infty[/latex]. Falls [latex](a_n)_n[/latex] zwar von oben, aber nicht von unten beschränkt ist, dann setzen wir [latex]\limsup _{n\to \infty }a_n=\lim _{n\to \infty }\bigl (\sup _{k\geq n}a_k\bigr )[/latex] (wobei aber [latex]\sup _{k\geq n}a_k[/latex] möglicherweise gegen [latex]-\infty[/latex] divergiert). Diese Erweiterungen der Definitionen gelten analog für den Limes inferior.

5.2.6 – Ein Diagramm für die Zusammenhänge der Begriffe und Sätze

Wir fassen obiges Wissen über reelle Folgen in folgendem Diagramm zusammen und empfehlen Ihnen sich zu überlegen, was genau die einzelnen Pfeile bedeuten und welche Sätze sie andeuten.

Abbildung 5.2 – Einige wichtige Eigenschaften von reellen Folgen und wichtige Sätze, die diese Eigenschaften in Verbindung bringen.

5.3 – Die Exponentialfunktion

Wir werden jetzt Grenzwerte von Folgen und insbesondere Satz 5.34 anwenden, um die Exponentialfunktion zu definieren und einige ihrer Eigenschaften zu beweisen. Die Exponentialfunktion [latex]\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}_{>0}[/latex] ist definiert durch
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:folg-expdef} \exp (x) = \lim _{n \to \infty } \left (1+\frac {x}{n}\right )^n >0\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]x\in \mathbb {R}[/latex]. Des Weiteren ist die Eulersche Zahl definiert als

Wir wollen zeigen, dass (5.5) Sinn ergibt (also der Grenzwert tatsächlich existiert) und dass dadurch die Abbildung [latex]\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}_{>0}[/latex] definiert wird. Dies führt uns dann auch zum natürlichen Logarithmus und zu allgemeinen Potenzfunktionen.

Der Beweis der Proposition erfolgt in den Unterabschnitten 5.3.2—5.3.7.

5.3.1 – Eine Interpretation

Die Definition (5.5) hat für [latex]x\in (0,1)[/latex] folgende ökonomische Interpretation. Angenommen [latex]x[/latex] steht für den jährlichen Zinssatz in der Bank [latex]1[/latex]. Bank [latex]2[/latex] verrechnet die Zinsen halbjährlich und gibt [latex]\frac {x}{2}[/latex] Zinsen in einem halben Jahr, …, die Bank [latex]n[/latex] verrechnet die Zinsen [latex]n[/latex]-mal im Jahr und gibt in einem [latex]n[/latex]-tel Jahr genau [latex]\frac {x}{n}[/latex] Zinsen. Bei welcher Bank sollte man sein Geld deponieren? Auf Grund des Zinseszinses sollte man wahrscheinlich Kunde der Bank mit dem grössten [latex]n[/latex] werden. Also drängt sich die Vermutung auf, dass [latex]a_n = (1+\frac {x}{n})^n[/latex] eine monoton wachsende Folge ist. Aber kann man seinen jährlichen Gewinn grenzenlos steigern, in dem man immer weiter sucht und bei einer Bank mit noch grösserem [latex]n[/latex] um ein Konto anfragt? Dies klingt vielleicht ein bisschen zu optimistisch. Es drängt sich also die Vermutung auf, dass [latex](a_n)_n[/latex] eine beschränkte monoton wachsende Folge ist.

5.3.2 – Konvergenz der Folge

Sei [latex]x\in \mathbb {R}[/latex] fest gewählt. Falls [latex]x\geq 0[/latex] ist, dann ist

und damit

für alle [latex]n\in \mathbb {N}[/latex]. Ansonsten ist [latex]x-x[/latex]. Für diese [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] können wir die Bernoulli-Ungleichung in Lemma 3.5 verwenden und erhalten

Für [latex]x\geq 0[/latex] beweist dies die Monotonie der Folge [latex]\big (1+\frac {x}{n }\big )^{n}[/latex]. Für [latex]x0[/latex] also auch [latex]\big (1+\frac {x}{n+1}\big )^{n+1}\geq \big (1+\frac {x}{n }\big )^{n}[/latex] gilt. Da monoton wachsende, beschränkte Folgen konvergieren (Satz 5.34) und da die ersten paar Glieder der Folge nicht über Konvergenz entscheiden (Lemma 5.11) reicht es für die Konvergenz somit, Beschränktheit zu zeigen.

Für [latex]x \leq 0[/latex] gilt [latex]\left (1+\frac {x}{n}\right )^n \leq 1[/latex]. Daher gilt

wobei [latex]N_x[/latex] wie oben gewählt wurde.

Für [latex]x\geq 0[/latex] verwenden wir

woraus für alle [latex]n\geq N_{-x}[/latex] die Abschätzung

folgt. Da aber die Folge [latex]a_n[/latex] auf Grund von obigem und Proposition 5.7(iii) konvergent und damit beschränkt ist, folgt nun die Beschränktheit der Folge [latex]\left (\left (1+\frac {x}{n}\right )^n\right )_n[/latex].

Wir wollen ein zweites Argument für die Beschränktheit der Folge für ein [latex]x\geq 0[/latex] skizzieren. Hierfür betrachten wir für ein [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] die Umformung

unter Verwendung des Binomialsatz (Satz 3.28). Damit erhalten wir für [latex]x \in (0,1][/latex], dass

wobei wir [latex]k! \geq 2^{k-1}[/latex] für [latex]k \in \mathbb {N}[/latex] und die geometrische Summenformel (Proposition 3.8) verwendet haben.

Auf Grund von Satz 5.34 ergibt sich daher, dass

für alle [latex]x\in \mathbb {R}[/latex] existiert. Insbesondere für [latex]x=1[/latex] erhalten wir [latex]\mathrm {e}=\exp (1)\in [2,3][/latex] auf Grund obiger Abschätzungen.

Für ein beliebiges [latex]x\in \mathbb {R}[/latex] ist [latex]\frac {x}{n}\geq -1[/latex] für alle hinreichend grossen [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] und damit [latex]1+x \leq 1+n\frac {x}{n} \leq (1+\frac {x}{n})^n[/latex] nach der Bernoulli-Ungleichung (Lemma 3.5). Daraus folgt
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:folg-exp(x)geq 1+x} 1+x\leq \exp (x)\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]x \in \mathbb {R}[/latex].

5.3.3 – Inversionsformel

Wir behaupten nun, dass
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:folg-expbeiminusxistinvers} \exp (-x)=\exp (x)^{-1}\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]x\in \mathbb {R}[/latex]. Es gilt

Wir betrachten also die Folge [latex](b_n)_n[/latex] definiert durch [latex]b_n = \big (1-\frac {x^2}{n^2}\big )^n[/latex]. Nach der Bernoulli-Ungleichung gilt für [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] mit [latex]n \geq |x|[/latex] (und damit [latex]-\frac {x^2}{n^2}\geq -1[/latex])

was gemeinsam mit dem Sandwich-Lemma (Lemma 5.31) [latex]\lim _{n\to \infty }\big (1-\frac {x^2}{n^2}\big )^n =1[/latex] zur Folge hat und Gleichung (5.8) zeigt.

5.3.4 – Additionsformel

Seien [latex]x,y \in \mathbb {R}[/latex]. Für [latex]x=0[/latex] oder [latex]y=0[/latex] ist die Additionsformel (5.6) gültig (wieso?). Wir wollen den verbleibenden Fall ([latex]x\neq 0[/latex] und [latex]y\neq 0[/latex]) durch ein ähnliches Argument wie oben beweisen. Deswegen berechnen wir zuerst für [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] das Produkt

wobei die konvergente reelle Folge [latex](c_n)_n[/latex] durch

gegeben ist. Damit erhalten wir

wegen (5.8). Wir zeigen nun, dass [latex]\lim _{n\to \infty } \left (1+\frac {c_n}{n^2}\right )^n[/latex] gleich [latex]1[/latex] ist. Da [latex]xy\frac {x+y}{n} \to 0[/latex] für [latex]n \to \infty[/latex], erhalten wir [latex]c_n\to -(x^2+y^2)-xy[/latex] für [latex]n \to \infty[/latex]. Weiters ist [latex]-(x^2+y^2)-xy

und daher gilt [latex]\lim _{n\to \infty } \left (1+\frac {c_n}{n^2}\right )^n = 1[/latex]. Dies beweist die Additionsformel (5.6).

5.3.5 – Stetigkeit

Wir zeigen zuerst die Stetigkeit von [latex]\exp : \mathbb {R} \to \mathbb {R}_{>0}[/latex] bei [latex]0 \in \mathbb {R}[/latex]. Sei also [latex]\varepsilon >0[/latex] und wähle [latex]\delta = \min \left \lbrace {\varepsilon ,1-\frac {1}{1+\varepsilon }} \right \rbrace[/latex] (womit [latex]\delta 5.7) an und erhalten

(also insbesondere [latex]|\exp (x)-\exp (0)|

Um Stetigkeit bei jedem [latex]x_0 \in \mathbb {R}[/latex] zu zeigen, verwenden wir die Additionseigenschaft. Denn es gilt für alle [latex]x\in \mathbb {R}[/latex]

wodurch wir [latex]\exp (x)[/latex] als Verknüpfung der Abbildungen

schreiben können, wobei [latex]h[/latex] bei [latex]x_0[/latex], [latex]g[/latex] bei [latex]0=h(x_0)[/latex], beziehungsweise [latex]f[/latex] bei [latex]1=g(0)[/latex] stetig sind. Es folgt die Stetigkeit von [latex]\exp[/latex] bei [latex]x_0[/latex] aus Proposition 3.53.

5.3.6 – Strenge Monotonie

Für [latex]x>0[/latex] gilt [latex]\exp (0) = 1 5.7). Falls [latex]x 0[/latex] und [latex]\exp (y-x)>1[/latex] mit der Additionsformel (5.6), dass

Daher ist [latex]\exp : \mathbb {R} \to \mathbb {R}_{>0}[/latex] streng monoton wachsend und insbesondere injektiv.

5.3.7 – Surjektivität

Wir verwenden (5.7) und den Zwischenwertsatz (Satz 3.59) um [latex]\exp (\mathbb {R}) = \mathbb {R}_{>0}[/latex] zu zeigen. Sei also [latex]y>0[/latex]. Dann gilt [latex]y5.7). Weiters ist [latex]\frac 1y3.59), dass es ein [latex]x \in \mathbb {R}[/latex] (zwischen den Punkten [latex]-\frac {1}{y}[/latex] und [latex]y[/latex]) mit [latex]\exp (x) = y[/latex] gibt. Dies beendet den Beweis von Proposition 5.54.

5.3.8 – Der Logarithmus und Potenzen

Zusammenfassend haben wir also gezeigt, dass [latex]\exp :\mathbb {R}\to \mathbb {R}_{>0}[/latex] eine bijektive, streng monoton wachsende stetige Funktion darstellt, so dass die Additionsformel [latex]\exp (x+y)=\exp (x)\exp (y)[/latex] für alle [latex]x,y\in \mathbb {R}[/latex] gilt.

Die Umkehrfunktion der bijektiven Abbildung [latex]\exp : \mathbb {R} \to \mathbb {R}_{>0}[/latex] nennen wir den (natürlichen) Logarithmus [latex]\log : \mathbb {R}_{>0} \to \mathbb {R}[/latex]. Aus dem Umkehrsatz (Satz 3.65) folgt nun folgendes Korollar.

Wir bemerken, dass die letzte Aussage in obigem Korollar aus der Additionsformel der Exponentialabbildung folgt wenn wir [latex]x=\log a[/latex] und [latex]y=\log b[/latex] setzen.

Abbildung 5.3 – Die Graphen der Exponentialfunktion und des Logarithmus [latex]\log[/latex].

Der Logarithmus und die Exponentialabbildung können wir verwenden, um allgemeinere Potenzen zu definieren. Für eine positive Basis [latex]x >0[/latex] und beliebige Exponenten [latex]a\in \mathbb {R}[/latex] setzen wir

Insbesondere gilt [latex]\mathrm {e}^x = \exp (x\log (\mathrm {e})) = \exp (x)[/latex] für alle [latex]x\in \mathbb {R}[/latex].

Abbildung 5.4 – Die Graphen von [latex]x\in \mathbb {R}_{>0} \mapsto x^a\in \mathbb {R}_{>0}[/latex] für verschiedene (hier irrationale) [latex]a\in \mathbb {R}[/latex].

5.4 – Grenzwerte von Funktionen

Wir betrachten jetzt wieder allgemeine Funktionen [latex]f:D \to \mathbb {R}[/latex] auf einer allgemeinen Teilmenge [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex] und wollen (eigentliche und uneigentliche) Grenzwerte für den Fall definieren, wenn [latex]x \in D[/latex] gegen ein [latex]x_0 \in \mathbb {R}[/latex] strebt (oder auch wenn [latex]x\in D[/latex] gegen [latex]+\infty[/latex] oder gegen [latex]-\infty[/latex] divergiert). Da es mit allen Kombinationen viele verschiedene Möglichkeiten gibt, wollen wir einige konkrete Fälle definieren und dann ein allgemeines Schema für solche Definitionen betrachten.

5.4.1 – Grenzwerte und punktierte Umgebungen

Sei [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex] eine Teilmenge und [latex]x_0 \in \mathbb {R}[/latex]. Wir erinnern daran, dass [latex]x_0[/latex] ein Häufungspunkt ist falls
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:folg-haufungspkt} D \cap (x_0-\delta ,x_0 + \delta )\setminus \{ x_0\} \neq \emptyset\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]\delta > 0[/latex]. Wir bemerken, dass [latex]x_0[/latex] genau dann ein Häufungspunkt ist, wenn es eine Folge in [latex]D\setminus \{ x_0\}[/latex] gibt, die gegen [latex]x_0[/latex] strebt.

Für eine Funktion [latex]f: D \to \mathbb {R}[/latex] ist [latex]A= \lim _{x \to x_0}f(x)[/latex] der Grenzwert von [latex]f(x)[/latex] für [latex]x\to x_0[/latex], oder auch der Grenzwert bei [latex]x_0[/latex], falls

Informell ausgedrückt bedeutet dies, dass die Funktionswerte von [latex]f[/latex] beliebig nahe bei [latex]A[/latex] liegen wenn [latex]x\in D\setminus \{ x_0\}[/latex] nahe an [latex]x_0[/latex] heranrückt. Der Grenzwert von [latex]f(x)[/latex] für [latex]x\to x_0[/latex] muss natürlich nicht existieren; wenn er existiert, ist er aber eindeutig bestimmt (diese Eigenschaft ist der Grund, wieso wir (5.9) angenommen haben, siehe Übung 5.63).

Der Grenzwert erfüllt, analog zu Proposition 5.7, die gewohnten Eigenschaften. Er ist

• linear (das heisst, falls [latex]\lim _{x\to x_0}f(x)[/latex] und [latex]\lim _{x\to x_0}g(x)[/latex] existieren, so existiert auch der Grenzwert [latex]\lim _{x\to x_0}f(x)+g(x) = \lim _{x\to x_0}f(x) + \lim _{x\to x_0}g(x)[/latex] und analog für skalare Multiplikation),
• multiplikativ (das heisst, falls [latex]\lim _{x\to x_0}f(x)[/latex] und [latex]\lim _{x\to x_0}g(x)[/latex] existieren, so existiert auch [latex]\lim _{x\to x_0}f(x)g(x) = (\lim _{x\to x_0}f(x) )(\lim _{x\to x_0}g(x))[/latex]),
• monoton ([latex]f \leq g[/latex] impliziert [latex]\lim _{x\to x_0}f(x) \leq \lim _{x\to x_0}g(x)[/latex], falls die Grenzwerte existieren)
• und erfüllt ein Sandwich-Lemma.

Obiges Lemma hat auch eine Interpretation für den Fall [latex]x_0 \not \in D[/latex], denn in diesem Fall wäre der Grenzwert [latex]\lim _{x\to x_0}f(x)[/latex] (falls dieser existiert) ein guter Kandidat für eine Fortsetzung der Funktion auf die Menge [latex]D\cup \left \lbrace {x_0} \right \rbrace[/latex], da diese Fortsetzung dann bei [latex]x_0[/latex] stetig wird.

Man nennt einen Häufungspunkt [latex]x_0\in D[/latex] eine hebbare Unstetigkeitsstelle von [latex]f[/latex], falls [latex]\lim _{x \to x_0} f(x)[/latex] existiert, aber nicht gleich [latex]f(x_0)[/latex] ist (siehe auch Figur 5.5). In diesem Fall kann man eine neue Funktion [latex]f_{\text {neu}}:D \to \mathbb {R}[/latex] durch

für [latex]x \in D[/latex] definieren, die bei [latex]x_0[/latex] stetig ist.

Genauso wie in dem Beweis von Proposition 5.17 sieht man nun, dass für eine Folge [latex](x_n)_n[/latex] in [latex]D\setminus \{ x_0\}[/latex] mit [latex]x_n \to x_0[/latex] für [latex]n\to \infty[/latex] die Gleichheit [latex]\lim _{n \to \infty }f(x_n) = \lim _{x \to x_0} f(x)[/latex] gilt, falls letzter Grenzwert existiert.

Diese Eigenschaften von Grenzwerten können bereits für die Berechnung von vielen Grenzwerten verwendet werden.

Weiters können wir uneigentliche Grenzwerte definieren. Wir sagen zum Beispiel, dass [latex]f(x)[/latex] gegen [latex]+\infty[/latex] für [latex]x \to x_0[/latex] divergiert und schreiben [latex]\lim _{x\to x_0}f(x)=+\infty[/latex], falls

Wir nennen die Menge [latex]\dot {U}_{\delta }(x_0)=(x_0-\delta ,x_0 + \delta )\setminus \left \lbrace {x_0} \right \rbrace[/latex] die punktierte [latex]\delta[/latex]-Umgebung um [latex]x_0[/latex], und bemerken, dass diese Mengen implizit in der Definition des Grenzwerts aufgetreten sind.

5.4.2 – Links- und rechtsseitige Grenzwerte

Angenommen [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex] ist eine Teilmenge und [latex]x_0 \in \mathbb {R}[/latex] hat die Eigenschaft [latex]D \cap (x_0,x_0 + \delta ) \neq \emptyset[/latex] für alle [latex]\delta > 0[/latex]. Intuitiv hat der Punkt [latex]x_0[/latex] also die Eigenschaft, dass ihm [latex]D[/latex] von rechts beliebig nahe kommt, was also eine stärkere Forderung ist als (5.9). Einen solchen Punkt [latex]x_0[/latex] wollen wir einen rechtsseitigen Häufungspunkt von [latex]D[/latex] nennen. Für eine Funktion [latex]f: D \to \mathbb {R}[/latex] ist [latex]A = \lim _{x \searrow x_0} f(x)[/latex] (alternativ [latex]\lim _{x \to x_0^+} f(x)[/latex] oder auch [latex]\lim _{x \to x_0,\ x > x_0} f(x)[/latex]) der rechtsseitige Grenzwert von [latex]f(x)[/latex] bei [latex]x_0[/latex], falls

Wir schreiben [latex]\lim _{x \searrow x_0} f(x) = +\infty[/latex], falls

und [latex]\lim _{x \searrow x_0} f(x) = -\infty[/latex], falls

Falls [latex]x_0[/latex] die Eigenschaft [latex]D \cap (x_0-\delta ,x_0) \neq \emptyset[/latex] für alle [latex]\delta >0[/latex] hat ([latex]x_0[/latex] ist ein linksseitiger Häufungspunkt), können wir ebenso den linksseitigen Grenzwert [latex]\lim _{x \nearrow x_0}f(x)[/latex] (alternativ [latex]\lim _{x \to x_0^-} f(x)[/latex] oder auch [latex]\lim _{x \to x_0,\ x

Falls [latex]x_0[/latex] ein links- und rechtsseitiger Häufungspunkt ist, dann existiert der Grenzwert [latex]\lim _{x \to x_0} f(x)[/latex] genau dann, wenn die links- und rechtseitigen Grenzwerte von [latex]f(x)[/latex] bei [latex]x_0[/latex] existiert und [latex]\lim _{x \nearrow x_0}f(x) = \lim _{x \searrow x_0}f(x)[/latex] erfüllt ist.

Beispiele von links- und rechtsseitigen Grenzwerten sind

5.4.3 – Einseitige Stetigkeit und Sprungstellen

Sei [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex] eine Teilmenge, [latex]x_0 \in D[/latex] ein rechtseitiger Häufungspunkt von [latex]D[/latex] und [latex]f:~D~\to ~\mathbb {R}[/latex] eine Funktion. Falls [latex]\lim _{x \searrow x_0} f(x)[/latex] existiert und gleich [latex]f(x_0)[/latex] ist, dann sagen wir, dass [latex]f[/latex] rechtsseitig stetig bei [latex]x_0[/latex] ist. Ist [latex]x_0 \in D[/latex] ein linksseitiger Häufungspunkt von [latex]D[/latex], dann sagen wir analog, dass [latex]f[/latex] linksseitig stetig bei [latex]x_0[/latex] ist, falls [latex]\lim _{x \nearrow x_0} f(x)[/latex] existiert und gleich [latex]f(x_0)[/latex] ist.

Abbildung 5.5 – Der Graph einer Funktion, die eine hebbare Unstetigkeitsstelle bei [latex]x_1[/latex] hat, bei [latex]x_2[/latex] linksseitig stetig (aber nicht rechtseitig stetig) ist und bei [latex]x_3[/latex] rechtsseitig stetig ist.

Sei nun [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex] und [latex]x_0 \in D[/latex] ein links- und rechtsseitiger Häufungspunkt von [latex]D[/latex] (insbesondere ein Häufungspunkt von [latex]D[/latex]). Für eine Funktion [latex]f:D\to \mathbb {R}[/latex] heisst [latex]x_0[/latex] eine Sprungstelle, falls die einseitigen Grenzwerte [latex]\lim _{x\nearrow x_0}f(x)[/latex] und [latex]\lim _{x\searrow x_0}f(x)[/latex] existieren, aber verschieden sind.

5.4.4 – Die Bewegung nach Unendlich

Angenommen [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex] ist eine nicht von oben beschränkte Teilmenge (das heisst, für alle [latex]\delta > 0[/latex] gilt [latex](\frac {1}{\delta },\infty ) \cap D \neq \emptyset[/latex]) und [latex]f: D \to \mathbb {R}[/latex] ist eine Funktion. Wir sagen, dass [latex]f[/latex] gegen [latex]A \in \mathbb {R}[/latex] strebt für [latex]x \to \infty[/latex], und schreiben [latex]\lim _{x \to \infty } f(x) = A[/latex], falls

5.4.5 – Umgebungsfilter und Konvergenz entlang eines Filters*

*Alle natürlich auftretenden Konvergenzbegriffe (siehe Applet) sind auch Prüfungsstoff, doch der allgemeine Rahmen der Filterkonvergenz wird nicht bei der Prüfung vorkommen.

Wir haben oben insgesamt [latex]6[/latex] Konvergenzen ausführlich definiert, wobei es aber insgesamt [latex]15[/latex] Kombinationen (wieso?) für reellwertige Funktionen [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex] zu definieren gäbe. Betrachten wir Teilmengen [latex]D \subseteq \mathbb {C}[/latex], reellwertige Funktionen [latex]f: D \to \mathbb {R}[/latex] und Punkte [latex]z_0\in \mathbb {C}[/latex], so gibt es nochmals drei Möglichkeiten (reelle oder uneigentliche Grenzwerte). Für komplexwertige Funktionen gibt es noch eine weitere Definition für jede der möglichen Bewegungen. Es wäre wohl eher langweilig, all diese Definitionen einzeln auszuformulieren und ihre (jeweils sehr analogen) Eigenschaften zu besprechen (siehe aber folgendes Applet).

Stattdessen analysieren wir kurz die Struktur der Definition. In allen Fällen der obigen Definitionen verschiedener Typen von Konvergenz werden gewisse Teilmengen des Definitionsbereichs (zum Beispiel punktierte oder einseitige Umgebungen) gemeinsam mit [latex]\varepsilon[/latex]-Umgebungen des vermeintlichen Grenzwerts [latex]A[/latex] verwendet, um Konvergenz zu definieren.

Wir erinnern daran, dass für [latex]\varepsilon > 0[/latex] die [latex]\varepsilon[/latex]-Umgebung von [latex]A \in \mathbb {R}[/latex] das offene Intervall

ist. Für das Symbol [latex]+\infty[/latex] definieren wir die [latex]\varepsilon[/latex]-Umgebung durch [latex]U_\varepsilon (\infty ) = (\frac {1}{\varepsilon },\infty )[/latex] und für [latex]-\infty[/latex] analog [latex]U_\varepsilon (-\infty ) = (-\infty ,-\frac {1}{\varepsilon })[/latex]. Für [latex]A \in \mathbb {C}[/latex] ist die [latex]\varepsilon[/latex]-Umgebung durch den offenen Ball [latex]U_\varepsilon (A) = \left \lbrace {z\in \mathbb {C}} \mid {|z-A|

Eine Menge ist eine Umgebung von [latex]A[/latex] (wobei [latex]A \in \mathbb {R}[/latex], [latex]A = \pm \infty[/latex] oder [latex]A \in \mathbb {C}[/latex]), falls sie die [latex]\varepsilon[/latex]-Umgebung [latex]U_\varepsilon (A)[/latex] für ein [latex]\varepsilon >0[/latex] enthält. Dies motiviert die folgende Definition.

Intuitiv ausgedrückt enthält jede Filtermenge alle wesentlichen Punkte für die durch den Filter beschriebene Bewegung. Zum Beispiel enthalten die Filtermengen [latex]U[/latex] im Filter auf [latex]\mathbb {N}[/latex] gegeben durch

immer einen ganzen «Endabschnitt von [latex]\mathbb {N}[/latex]» und damit alle Punkte, die relevant sind für die Bewegung in [latex]\mathbb {N}[/latex] gegen unendlich (Folgenkonvergenz). Wir definieren also die «Bewegung» indirekt mittels dem Begriff «Filter» , welcher beschreibt in welchen Mengen man schlussendlich liegen muss.

Für komplexwertige Funktionen verwendet man auf die gleiche Weise den Umgebungsfilter von möglichen Grenzwerten [latex]A \in \mathbb {C}[/latex] für die Definition der Konvergenz entlang des Filters. Alle oben besprochenen Konvergenzen lassen sich nun mit diesem Begriff von Konvergenz entlang von Filtern auffassen. Es gilt zum Beispiel

jeweils unter geeigneten Annahmen an [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex], [latex]x_0 \in \mathbb {R}[/latex] und [latex]f:D \to \mathbb {R}[/latex]. Sie sollten nun zum Beispiel die nicht besprochenen Definitionen von [latex]\lim _{x\nearrow x_0}f(x)=A\in \mathbb {C}[/latex] für eine komplexwertige Funktion oder [latex]\lim _{x\to -\infty }f(x)=+\infty[/latex] für eine reellwertige Funktion als Spezialfälle obiger Definition sehen. Der Grenzwert entlang eines Filters ist nach folgender Übung eindeutig, womit man sinnvoll von dem Grenzwert sprechen kann.

Um die Nützlichkeit der vereinheitlichten Herangehensweise via Filter noch stärker hervorzuheben, wollen wir das Analogon von Lemma 5.31 und Übung 5.63(iii) für alle diskutierten Grenzwerte von Funktionen in folgendem Lemma beweisen.

5.4.6 – Einige Rechenbeispiele

Wir werden bei Rechnungen wie den folgenden oft davon ausgehen, dass ein Formelausdruck eine Funktion mit dem maximalen für den Formelausdruck sinnvollen Definitionsbereich definiert.

5.5 – Riemann-Summen

Riemann gab [latex]1854[/latex] eine formale Definition des Integrals mit Hilfe sogenannter Riemann-Summen und eines Grenzübergangs, welchen wir hier besprechen wollen. Wie zuvor sei [latex]f[/latex] eine reellwertige Funktion auf einem kompakten Intervall [latex][a,b][/latex] mit [latex]a

Das heisst, wir betrachten beliebige Punkte [latex]z_k \in [x_{k-1},x_k][/latex], die Funktionswerte [latex]f(z_k)[/latex] an diesen Punkten und hoffen, dass diese halbwegs repräsentativ für die Funktionswerte von [latex]f|_{[x_{k-1},x_k]}[/latex] sind. Diese Hoffnung mag zwar nicht in allen Teilintervallen immer zutreffen, trotzdem ist die Riemann-Summe eine Approximation des Riemann-Integrals in folgendem Sinne.

Die Idee des Beweises ist einfach formuliert, denn eigentlich sollten die Untersummen untere Schranken und die Obersummen obere Schranken für die Riemann-Summen darstellen. Doch gibt es hierbei mehrere technische Probleme, die mit den Endpunkten (welche bei den Unter- und Obersummen ignoriert werden und bei den Riemann-Summen erlaubt sind) zu tun haben. Wir müssen also im korrekten Beweis die quantitativen Auswirkung dieser Endpunkte untersuchen und abschätzen.

Beweis von Satz 5.79

Sei [latex]\varepsilon > 0[/latex]. Dann existieren nach Proposition 4.12 Treppenfunktionen [latex]u,o \in TF([a,b])[/latex] mit [latex]u \leq f \leq o[/latex],[latex]\int _a^b (o-u) \thinspace {\rm {d}} x

[latex]
\begin{aligned}[]\mathfrak {Z}_0 = \left \lbrace {a = y_0 [/latex]

eine Zerlegung von [latex][a,b][/latex] in gemeinsame Konstanzintervalle für [latex]u[/latex] und [latex]o[/latex] und seien

[latex]
\begin{aligned}[]u|_{(x_{\ell -1},x_\ell )}&=c_\ell ,\\ o|_{(x_{\ell -1},x_\ell )}&=d_\ell\end{aligned}
[/latex]

die Konstanzwerte von [latex]u[/latex] und [latex]o[/latex] für [latex]\ell \in \{ 1,\ldots ,N\}[/latex]. Da [latex]f,u,o[/latex] beschränkt sind, existiert auch ein [latex]M> 0[/latex] mit [latex]|f(x)|,|u(x)|,|o(x)|\leq M[/latex] für alle [latex]x \in [a,b][/latex].

Wir wollen [latex]\delta >0[/latex] wie im Satz erst später definieren, doch versprechen wir bereits, [latex]\delta[/latex] nur abhängig von [latex]\mathfrak {Z}_0[/latex] und [latex]M[/latex] zu definieren.

Sei nun [latex]\mathfrak {Z} = \left \lbrace {a = x_0 0[/latex] und [latex]\mathbf {{z}}\in [a,b]^n[/latex] eine erlaubte Wahl von Zwischenpunkten (so dass [latex]z_k \in [x_{k-1},x_k][/latex] für [latex]k \in \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace[/latex]). Wir werden folgendes Bild im Beweis verwenden.

Abbildung 5.6 – Wir haben die Zerlegung [latex]\mathfrak {Z}_0[/latex] (in Abhängigkeit von [latex]\varepsilon >0[/latex]) fix gewählt und werden sie auch nicht ändern, während wir [latex]\delta >0[/latex] verkleinern und damit [latex]\mathfrak {Z}[/latex] komplizierter machen. In diesem Sinne ist es am besten sich vorzustellen, dass [latex]\mathfrak {Z}_0[/latex] eine Zerlegung in wenige (hier im Bild [latex]N=4[/latex]) Punkte ist. Viele der Zerlegungsintervalle [latex](x_{k-1},x_k)[/latex] von [latex]\mathfrak {Z}[/latex] sind dann in einem Zerlegungsintervall [latex](y_{\ell -1},y_\ell )[/latex] von [latex]\mathfrak {Z}_0[/latex] enthalten, die Ausnahmen (höchstens [latex]2N[/latex]) sind markiert.

Für [latex]\ell \in \left \lbrace {1,\ldots ,N} \right \rbrace[/latex] definieren wir [latex]y_{\ell -1}^+[/latex] als das kleinste [latex]x_k[/latex] in [latex]\mathfrak {Z}[/latex] mit [latex]x_k>y_{\ell -1}[/latex]. Wegen [latex]|\mathfrak {Z}|5.6). Analog definieren wir die Zahl [latex]y_{\ell }^-[/latex] für [latex]\ell \in \left \lbrace {1,\ldots ,N} \right \rbrace[/latex] als das grösste [latex]x_k[/latex] in [latex]\mathfrak {Z}[/latex] mit [latex]x_k

[latex]
\begin{aligned}[]y_{\ell }^- - y_{\ell -1}^+ > y_\ell - \delta - y_{\ell -1}-\delta = y_\ell -y_{\ell -1} - 2 \delta > 0,\end{aligned}
[/latex]

was die Abfolge der Punkte

[latex]
\begin{aligned}[]y_0[/latex]

wie in Figur 5.6 bestätigt. Wir verkleinern nun die Intervalle [latex][y_{\ell -1},y_\ell ][/latex] zu den Intervallen [latex][y_{\ell -1}^+,y_{\ell }^-][/latex], definieren

[latex]
\begin{aligned}[]U' = \sum _{\ell =1}^N c_\ell (y_\ell ^- - y_{\ell -1}^+)\end{aligned}
[/latex]

und erhalten wegen [latex]|u(x)|\leq M[/latex] für alle [latex]x \in [a,b][/latex]

[latex]
\begin{aligned}[]\Big | \int _a^b u(x) \thinspace {\rm {d}} x - U' \Big | = \Big | \sum _{\ell =1}^N c_\ell (y_\ell - y_\ell ^- + y_{\ell -1}^+ - y_{\ell -1}) \Big | \leq 2NM\delta .\end{aligned}
[/latex]

Ebenso gilt für [latex]O' = \sum _{\ell =1}^N d_{\ell }(y_\ell ^- - y_{\ell -1}^+)[/latex], dass [latex]\Big | \int _a^b o(x) \thinspace {\rm {d}} x - O' \Big | \leq 2NM\delta[/latex].

Für [latex]\ell \in \left \lbrace {1,\ldots ,N} \right \rbrace[/latex] wollen wir den Teil der Riemann-Summe über die Teilintervalle der Zerlegung [latex]\mathfrak {Z}[/latex], die in [latex](y_{\ell -1},y_\ell )[/latex] enthalten sind, als [latex]R_\ell[/latex] bezeichnen. Genauer formuliert ist

[latex]
\begin{aligned}[]R_{\ell } = \sum _{k:[x_{k-1},x_k] \subseteq (y_{\ell -1},y_\ell )} f(z_k) (x_k-x_{k-1}).\end{aligned}
[/latex]

Summieren wir über [latex]\ell \in \left \lbrace {1,\ldots ,N} \right \rbrace[/latex], so erhalten wir [latex]R' = \sum _{\ell =1}^N R_\ell[/latex], wobei sich [latex]R'[/latex] von [latex]R(f,\mathfrak {Z},\mathbf {{z}})[/latex] um höchstens [latex]2N[/latex] Summanden unterscheidet. (Falls [latex]\mathfrak {Z}[/latex] feiner ist als [latex]\mathfrak {Z}_0[/latex], dann sind es in der Tat [latex]2N[/latex] Summanden, sonst weniger.) Daher ist

[latex]
\begin{aligned}[]|R' - R(f,\mathfrak {Z},\mathbf {{z}})| \leq 2NM\delta .\end{aligned}
[/latex]

Für [latex]\ell \in \left \lbrace {1,\ldots ,N} \right \rbrace[/latex] und [latex]k \in \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace[/latex] mit [latex][x_{k-1},x_k] \subseteq (y_{\ell -1},y_\ell )[/latex] folgt aus [latex]u \leq f \leq o[/latex] und [latex]z_k \in [x_{k-1},x_k]\subseteq (y_{\ell -1},y_\ell )[/latex], dass

[latex]
\begin{aligned}[]c_\ell =u(z_k) \leq f(z_k) \leq o(z_k)=d_\ell\end{aligned}
[/latex]

(da [latex]u[/latex] und [latex]o[/latex] auf [latex](y_{\ell -1},y_\ell )[/latex] konstant sind). Wir multiplizieren diese Ungleichung mit [latex](x_k-x_{k-1})[/latex] und summieren über jene [latex]k \in \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace[/latex] mit [latex][x_{k-1},x_k] \subseteq (y_{\ell -1},y_\ell )[/latex]. Es ergibt sich dank zwei Teleskopsummen

[latex]
\begin{aligned}[]c_\ell (y_{\ell }^- - y_{\ell -1}^+) \leq R_\ell \leq d_\ell (y_{\ell }^- - y_{\ell -1}^+).\end{aligned}
[/latex]

Summiert man jetzt über [latex]\ell \in \left \lbrace {1,\ldots ,N} \right \rbrace[/latex], so erhält man
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:folg-proof rint ueber rsum1} U'\leq R'\leq O'.\end{aligned}
[/latex]
Zusammenfassend haben wir also gezeigt, dass man durch Entfernen von höchstens [latex]2N[/latex] Teilintervallen die Untersumme [latex]\int _a^b u(x) \thinspace {\rm {d}} x[/latex], die Obersumme [latex]\int _a^bo(x)\thinspace {\rm {d}} x[/latex] und die Riemann-Summe [latex]R(f,\mathfrak {Z},\mathbf {{z}})[/latex] um jeweils höchstens [latex]2NM\delta[/latex] verändern und dann (5.14) erreichen kann. Kombinieren wir dies mit

[latex]
\begin{aligned}[]\int _a^b f(x) \thinspace {\rm {d}} x - \varepsilon \leq \int _a^b u(x) \thinspace {\rm {d}} x \leq \int _a^b f(x) \thinspace {\rm {d}} x \leq \int _a^b o(x) \thinspace {\rm {d}} x \leq \int _a^b f(x) \thinspace {\rm {d}} x + \varepsilon ,\end{aligned}
[/latex]

so erhalten wir

[latex]
\begin{aligned}[]R(f,\mathfrak {Z},\mathbf {{z}}) \leq R' + 2MN\delta \leq O' + 2MN\delta \leq \int _a^b o(x) \thinspace {\rm {d}} x + 4MN\delta \leq \int _a^b f(x) \thinspace {\rm {d}} x + 4MN\delta +\varepsilon\end{aligned}
[/latex]

und

[latex]
\begin{aligned}[]R(f,\mathfrak {Z},\mathbf {{z}}) \geq R' -2MN\delta \geq U' - 2MN\delta \geq \int _a^b u(x) \thinspace {\rm {d}} x - 4MN\delta \geq \int _a^b f(x) \thinspace {\rm {d}} x - 4MN\delta - \varepsilon .\end{aligned}
[/latex]

Wir setzen [latex]\delta = \min \left \lbrace {\frac {\varepsilon }{MN},\frac {1}{3} (y_1-y_0),\ldots ,\frac 13 (y_N-y_{N-1})} \right \rbrace[/latex] und erhalten

[latex]
\begin{aligned}[]\Big |R(f,\mathfrak {Z},\mathbf {{z}})-\int _a^bf(x)\thinspace {\rm {d}} x\Big |\leq 5\varepsilon .\end{aligned}
[/latex]

Da [latex]\varepsilon > 0[/latex], die Zerlegung [latex]\mathfrak {Z}[/latex] mit Maschenweite kleiner [latex]\delta[/latex] und die erlaubt Wahl der Zwischenpunkte [latex]\mathbf {{z}}[/latex] beliebig waren, folgt der Satz. ∎

5.6 – Landau Notation

Wir führen nun zwei geläufige Notationen ein, die das asymptotische Verhalten einer Funktion mit dem asymptotischen Verhalten einer anderen Funktion vergleichen — also ein relatives asymptotisches Verhalten beschreiben.

Sei [latex]D\subseteq \mathbb {R}[/latex] eine Teilmenge und [latex]x_0\in \overline {\mathbb {R}}[/latex] ein Häufungspunkt (also mit [latex]\dot U_\delta (x_0) \cap D \neq \emptyset[/latex] für alle [latex]\delta >0[/latex]). Seien [latex]f,g: D \to \mathbb {R}[/latex] Funktionen. Wir schreiben

falls ein [latex]\delta > 0[/latex] und eine Konstante [latex]M > 0[/latex] existieren, so dass [latex]|f(x)| \leq M |g(x)|[/latex] für alle [latex]x \in D \cap \dot U_\delta (x_0)[/latex]. In anderen Worten, [latex]f[/latex] ist «Gross-O» von [latex]g[/latex] für [latex]x\to x_0[/latex], falls in einer punktierten Umgebung von [latex]x_0[/latex] die Funktion [latex]f[/latex] durch eine Konstante mal [latex]|g|[/latex] beschränkt werden kann. Obwohl dies für obige Defintion nicht notwendig ist, werden wir eigentlich immer vorraussetzen, dass [latex]g(x)\neq 0[/latex] für alle [latex]x\in D[/latex] oder zumindest für alle [latex]x\in \dot {U}_{\delta _0}(x_0)[/latex] für ein [latex]\delta _0>0[/latex]. In diesem Fall ist [latex]f[/latex] genau dann Gross-O von [latex]g[/latex], wenn [latex]\frac {f}{g}[/latex] in einer [latex]\delta[/latex]-Umgebung von [latex]x_0[/latex] beschränkt ist. Nochmals in anderen Worten ist [latex]f=O(g)[/latex] gleichbedeutend damit, dass [latex]f[/latex] nicht viel grösser als [latex]g[/latex] ist wenn [latex]x[/latex] in der Nähe von [latex]x_0[/latex] liegt. Zum Beispiel gilt

• [latex]\frac {x}{x+1}=O(1)[/latex] für [latex]x\to \infty[/latex],
• für jedes [latex]x_0\in \mathbb {R}[/latex] gilt [latex]x^2=O(x)[/latex] für [latex]x\to x_0[/latex], und insbesondere auch
• [latex]x^2=O(x)[/latex] für [latex]x\to 0[/latex], aber
• [latex]x^2[/latex] ist nicht gleich [latex]O(x)[/latex] für [latex]x\to \infty[/latex] da [latex]\frac {x^2}x=x[/latex] in keiner Umgebung von [latex]\infty[/latex] beschränkt ist.

Der Vorteil der Notation ist, dass wir den Namen (oben [latex]M[/latex]) für die obere Schranke nicht einführen. Falls uns diese Konstante nicht besonders interessiert, dann können wir uns dadurch bei Rechnungen von einer Zeile zur nächsten auf das Wesentlich konzentrieren. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der impliziten Konstante, falls diese nach einigen Rechenschritten doch erwähnt werden muss.

Wenn [latex]f[/latex] nicht nur durch [latex]g[/latex] beschränkt ist, sondern asymptotisch gegenüber [latex]g[/latex] vernachlässigbar ist, dann sagen wir, dass [latex]f[/latex] «Klein-o» von [latex]g[/latex] ist für [latex]x\to x_0[/latex]. Genauer formuliert, wir schreiben

falls für jedes [latex]\varepsilon >0[/latex] ein [latex]\delta >0[/latex] existiert mit [latex]|f(x)|\leq \varepsilon |g(x)|[/latex] für alle [latex]x \in D \cap \dot U_\delta (x_0)[/latex]. Wie zuvor wollen wir meist [latex]g(x)\neq 0[/latex] auf [latex]D[/latex] annehmen. In diesem Fall gilt [latex]f(x) = o(g(x))[/latex] für [latex]x \to x_0[/latex] genau dann, wenn

Man beachte, dass, falls die eigentlichen Grenzwerte [latex]\lim _{x \to x_0}f(x)[/latex] und [latex]\lim _{x \to x_0}g(x)[/latex] existieren und nicht Null sind, sicherlich [latex]f(x) = O(g(x))[/latex] für [latex]x \to x_0[/latex] erfüllt ist, aber die stärkere Aussage [latex]f(x) = o(g(x))[/latex] für [latex]x \to x_0[/latex] falsch ist. Beide Notationen sind also vor allem dann interessant, wenn die Grenzwerte entweder null oder unendlich sind. Zum Beispiel gilt

• [latex]x=o(x^2)[/latex] für [latex]x\to \infty[/latex] (aber nicht umgekehrt) und
• [latex]x^2=o(x)[/latex] für [latex]x\to 0[/latex] (aber nicht umgekehrt).

Diese Notationen machen analog Sinn für andere Bewegungen wie zum Beispiel [latex]x\searrow x_0[/latex], allgemeine Filter, und können insbesondere auch für Folgen verwendet werden.

Die Landau Notation wird in vielen Situationen auch als Platzhalter verwendet, um beispielsweise auszudrücken, dass ein Term in einer Summe schneller anwächst oder abfällt als die anderen. In einem Ausdruck der Form

steht der Term [latex]o(g(x))[/latex] für eine implizite Funktion [latex]h:D\to \mathbb {R}[/latex] mit der Eigenschaft

also soll [latex]\tilde {f}(x) = f(x) + o(f(x))[/latex] die Asymptotik [latex]\tilde {f}(x)-f(x) =h(x)= o(g(x))[/latex] für [latex]x\to x_0[/latex] erfüllen. Dies gilt analog ebenso für die Gross-O Notation.

Beispielsweise schreibt man (nach Polynomdivision mit Rest)

und erinnert sich auf der rechten Seite somit nur an jene Terme, die den Hauptteil der Bewegung [latex]x\to \infty[/latex] ausmacht. Es mag vielleicht überraschen, dass im obigen Beispiel alle drei Formeln zutreffen oder nützlich sein könnten. Doch folgen diese Behauptungen direkt aus der Polynomdivision und je nach Zusammenhang will man vielleicht die etwas genauere Aussage mit Fehler [latex]o(1)[/latex] oder die gröbere Aussage mit Hilfe des Fehlers [latex]o(x)[/latex] verwenden.

Derartige asymptotische Aussagen helfen in komplizierteren Argumenten und Berechnungen den Fokus auf die wesentlichen Teile einer Berechnungen zu lenken. Doch liegen in diesem Verstecken von gewissen Ausdrücken auch Risiken für Fehler, zum Beispiel wenn wir die Fehlerterme unbeschränkt oft addieren wollen oder die Fehlerterme von weiteren Parametern abhängen und diese Abhängigkeit auf Grund der Notation vergessen wird. Wir werden die Landau Notation sporadisch aber doch immer wieder einmal einsetzen um das Wesentliche an einer Aussage zu betonen.

5.7 – Normen und Konvergenz auf Vektorräumen

In Kapitel 2 haben wir bereits gesehen, wie man Distanzen auf [latex]\mathbb {R}[/latex] oder [latex]\mathbb {C}[/latex] messen kann. In Analogie dazu möchten wir hier verschiedene Varianten von Normen definieren, welche die Rolle des Absolutbetrags übernehmen und Abstände in Vektorräumen messen werden. Da wir im zweiten Semester auf das Konzept einer Norm nochmals zu sprechen kommen werden, werden wir uns hier vor allem auf die Vektorräume [latex]\mathbb {R}^d[/latex] oder [latex]\mathbb {C}^d[/latex] konzentrieren. Wir fixieren für den ganze Abschnitt eine Dimension [latex]d\in \mathbb {N}[/latex] (wobei wir eigentlich an den Fall [latex]d\geq 2[/latex] interessiert sind). Wir schreiben Vektoren in [latex]\mathbb {R}^d[/latex] oder [latex]\mathbb {C}^d[/latex] in der Form

wobei [latex]t[/latex] die «Transposition» des platzsparenden Zeilenvektors zu einem Spaltenvektor bezeichnet.

5.7.1 – Die euklidsche Norm

Sei [latex]d \in \mathbb {N}[/latex]. Wir möchten nun eine für die sogenannte «Euklidische Geometrie» natürliche Norm auf [latex]V=\mathbb {C}^d[/latex] definieren und besprechen. Das Euklidische innere Produkt (oder Skalarprodukt) von

ist definiert durch

Dieses erfüllt folgende Eigenschaften:

• (Sesquilinearität) Für alle [latex]\mathbf {{v}}_1,\mathbf {{v}}_2,\mathbf {{v}},\mathbf {{w}}_1,\mathbf {{w}}_2,\mathbf {{w}} \in V[/latex] und [latex]\alpha _1,\alpha _2\in \mathbb {C}[/latex] gilt
  [latex]
  \begin{aligned}[]\left \langle {\alpha _1 \mathbf {{v}}_1+ \alpha _2 \mathbf {{v}}_2}, {\mathbf {{w}}} \right \rangle &= \alpha _1 \left \langle {\mathbf {{v}}_1}, {\mathbf {{w}}} \right \rangle + \alpha _2 \left \langle {\mathbf {{v}}_2}, {\mathbf {{w}}} \right \rangle \\ \left \langle {\mathbf {{v}}}, {\alpha _1 \mathbf {{w}}_1+\alpha _2 \mathbf {{w}}_2} \right \rangle &= \overline {\alpha }_1 \left \langle {\mathbf {{v}}}, {\mathbf {{w}}_1} \right \rangle + \overline {\alpha }_2 \left \langle {\mathbf {{v}}}, {\mathbf {{w}}_2} \right \rangle .\end{aligned}
  [/latex]
• (Symmetrie) Für alle [latex]\mathbf {{v}},\mathbf {{w}}\in V[/latex] gilt [latex]\left \langle {\mathbf {{v}}}, {\mathbf {{w}}} \right \rangle = \overline {\left \langle {\mathbf {{w}}}, {\mathbf {{v}}} \right \rangle }[/latex].
• (Definitheit) Für [latex]\mathbf {{v}} \in V[/latex] gilt [latex]\left \langle {\mathbf {{v}}}, {\mathbf {{v}}} \right \rangle \geq 0[/latex] und [latex]\left \langle {\mathbf {{v}}}, {\mathbf {{v}}} \right \rangle =0[/latex] genau dann, wenn [latex]\mathbf {{v}} = 0[/latex] ist.

Wir bemerken, dass das Wort «sesqui» für eineinhalb steht: das innere Produkt ist linear im ersten Argument und «halblinear» im zweiten Argument. Das reelle innere Produkt auf [latex]\mathbb {R}^d[/latex] ist durch dieselbe Formel definiert und erfüllt an Stelle der Sesquilinearität die Bilinearität, also die Linearität in beiden Argumenten (bei festgehaltenem anderem Argument).

Den Beweis der Sesquilinearität und der Symmetrie überlassen wir als Übung. Wir beweisen Definitheit. Sei also [latex]\mathbf {{v}} = (v_1,\ldots ,v_d)^t \in V=\mathbb {C}^d[/latex]. Dann gilt

Wenn [latex]\mathbf {{v}}= 0[/latex] ist, dann ist auch [latex]\left \langle {\mathbf {{v}}}, {\mathbf {{v}}} \right \rangle = 0[/latex]. Wenn [latex]\left \langle {\mathbf {{v}}}, {\mathbf {{v}}} \right \rangle = \sum _{k=1}^n |v_k|^2 = 0[/latex] ist, dann muss jeder Summand verschwinden. Also gilt [latex]v_k=0[/latex] für alle [latex]k \in \left \lbrace {1,\ldots ,d} \right \rbrace[/latex] und damit [latex]\mathbf {{v}}=0[/latex].

Unter Verwendung der obigen Eigenschaften des Euklidschen inneren Produkts lässt sich nun eine Norm definieren. Die Euklidsche Norm auf [latex]V=\mathbb {C}^d[/latex] ist gegeben durch

für alle [latex]\mathbf {{v}}= (v_1,\ldots ,v_d)^t \in \mathbb {C}^d[/latex]. Sie wird auch die 2-Norm genannt und dementsprechend als [latex]\| {\cdot }\| _2[/latex] geschrieben.

Wir möchten im Folgenden zeigen, dass die Euklidsche Norm in der Tat eine Norm ist. Definitheit und Homogenität des Euklidschen Norm folgen direkt aus den Eigenschaften des Euklidschen inneren Produkts (wieso?). Um die Dreiecksungleichung zu beweisen, benötigen wir folgende fundamentale Abschätzung.

Das innere Produkt zweier Vektoren lässt sich also durch die «Normen» der beiden Vektoren auf eine konkrete Art und Weise kontrollieren. Wir merken an, dass der folgende Beweis nur die «Axiome» des inneren Produktes Sesquilinearität, Symmetrie und Definitheit und nicht die konkrete Formel in der Definition des Euklidschen inneren Produktes verwendet.

Alternativ lässt sich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auch wie folgt beweisen.

Durch Einschränkung auf [latex]\mathbb {R}^d \subseteq \mathbb {C}^d[/latex] erhalten wir auch das Euklidische innere Produkt und die Euklidische Norm auf [latex]\mathbb {R}^d[/latex]. Alle oben bewiesenen Aussagen gelten analog für [latex]\mathbb {R}^d[/latex].

5.7.2 – Normäquivalenz

Sei [latex]d\in \mathbb {N}[/latex]. Auf [latex]\mathbb {R}^d[/latex] haben wir soweit [latex]3[/latex] verschiedene Normen kennengelernt: die [latex]1[/latex]-Norm [latex]\| {\cdot }\| _1[/latex] (siehe Beispiel 5.85), die obige [latex]2[/latex]-Norm [latex]\| {\cdot }\| _2[/latex] (die Euklidsche Norm) und die Maximumsnorm (siehe Beispiel 5.85). Um diese zu vergleichen ist folgender Begriff nützlich.

In der Tat sind die [latex]1[/latex]-Norm, die euklidische Norm und die Maximumsnorm äquivalent. Denn es gelten die Ungleichungen

für alle [latex]\mathbf {{v}} \in \mathbb {R}^d[/latex]. In der Tat behauptet die erste Ungleichung bloss, dass der maximale Absolutbetrag kleiner gleich der Summe der Absolutbeträge, und die Summe der Absolutbeträge kleiner gleich [latex]d[/latex] mal dem maximalen Absolutbetrages ist. Der erste Teil der zweiten Ungleichung ergibt sich analog und der zweite Teil folgt aus der Cauchy-Schwarz Ungleichung indem man den Vektor

definiert und damit

beweist.

Daher sind also die [latex]1[/latex]-, die [latex]2[/latex]– und die Maximumsnorm auf [latex]\mathbb {R}^d[/latex] äquivalent. (Tatsächlich werden wir im zweiten Semester zeigen, dass alle Normen auf [latex]\mathbb {R}^d[/latex] äquivalent sind.)

5.7.3 – Folgenkonvergenz

Wir möchten nun damit beginnen, Folgen und vor allem den Konvergenzbegriff für diese zu untersuchen. In Analogie zu Definition 5.2 führen wir folgenden Konvergenzbegriff ein.

Genauso wie in Lemma 5.3 kann man nun zeigen, dass ein Grenzwert einer Folge eindeutig bestimmt ist, wenn er existiert. Man kann also wieder von dem Grenzwert sprechen.

Wir untersuchen nun die Abhängigkeit des Konvergenzbegriffes von der Wahl der Norm.

5.7.4 – Konvergenz in endlich dimensionalen Vektorräumen

Lemma 5.92 und die Diskussion in Abschnitt 5.7.2 zeigen, dass in [latex]\mathbb {R}^d[/latex] Konvergenzbegriffe bezüglich den Normen [latex]\| {\cdot }\| _1[/latex], [latex]\| {\cdot }\| _2[/latex] und [latex]\| {\cdot }\| _\infty[/latex] äquivalent sind. Wie schon erwähnt, ist dies in der Tat für jede Norm auf [latex]\mathbb {R}^d[/latex] der Fall, da alle Normen auf [latex]\mathbb {R}^d[/latex] äquivalent sind (was wir im zweiten Semester beweisen werden). Insbesondere werden wir bei Konvergenz einer Folge in [latex]\mathbb {R}^d[/latex] jeweils nicht dazusagen, ob wir die Konvergenz bezüglich [latex]\| {\cdot }\| _1[/latex], bezüglich [latex]\| {\cdot }\| _2[/latex] oder bezüglich [latex]\| {\cdot }\| _\infty[/latex] betrachten.

Sei [latex]X[/latex] eine beliebige nicht-leere Menge und [latex]V[/latex] ein normierter reeller oder komplexer Vektorraum mit Norm [latex]\| {\cdot }\|[/latex]. Wir sagen, dass eine Funktion [latex]f:X\to V[/latex] beschränkt ist, falls es eine reelle Zahl [latex]M>0[/latex] gibt so dass [latex]\| {f(x)}\| \leq M[/latex] für alle [latex]x\in X[/latex]. Diese Definition macht insbesondere für [latex]V=\mathbb {R}^d[/latex] Sinn, wobei wir wiederum nicht angeben müssen, welche der äquivalenten Normen [latex]\| {\cdot }\| _1[/latex], [latex]\| {\cdot }\| _2[/latex] oder [latex]\| {\cdot }\| _\infty[/latex] wir betrachten. Falls [latex]X=\mathbb {N}[/latex] erhalten wir den Begriff der Beschränktheit für Folgen.

Der Begriff der Folgenkompaktheit lässt sich nun ohne Probleme auf Teilmengen von [latex]\mathbb {R}^d[/latex] erweitern. Eine Teilmenge [latex]K\subseteq \mathbb {R}^d[/latex] heisst folgenkompakt, falls jede Folge in [latex]K[/latex] eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in [latex]K[/latex] besitzt. Die Aussage von Theorem 5.94 zeigt dann unter Verwendung dieses Begriffes, dass zum Beispiel Teilmengen von [latex]\mathbb {R}^d[/latex] der Form [latex][-M,M]^d[/latex] für [latex]M > 0[/latex] folgenkompakt sind.

In Analogie zu Definition 5.24 nennen wir eine Folge [latex](\mathbf {{v}}_n)_n[/latex] in einem normierten Vektorraum [latex](V,\| {\cdot }\| )[/latex] eine Cauchy-Folge, falls für alle [latex]\varepsilon > 0[/latex] eine [latex]N \in \mathbb {N}[/latex] existiert, so dass

für alle [latex]m,n\geq N[/latex] gilt. Sind zwei Normen [latex]\| {\cdot }\|[/latex], [latex]\| {\cdot }\| '[/latex] äquivalent, so ist eine Folge genau dann eine Cauchy-Folge bezüglich [latex]\| {\cdot }\|[/latex], wenn sie bezüglich [latex]\| {\cdot }\| '[/latex] eine Cauchy-Folge ist. Dies kann man wie in Lemma 5.92 verifizieren. Insbesondere können wir schlicht von Cauchy-Folgen im [latex]\mathbb {R}^d[/latex] sprechen und werden die Norm nicht angeben.

Wie in Übung 5.50 erklärt, ist die Aussage von Satz 5.48 («alle Cauchy-Folgen in [latex]\mathbb {R}[/latex] sind konvergent» ) äquivalent zum Vollständigkeitsaxiom. Wir möchten diese Aussage nun auf höherdimensionale Vektorräume erweitern.

Die wesentliche Idee des Beweises ist zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge beschränkt sein muss und damit nach dem Satz von Heine-Borel eine konvergente Teilfolge haben muss. Da aber eine Cauchy-Folge genau dann konvergiert, wenn sie eine konvergente Teilfolge hat, sind alle Cauchy-Folgen konvergent.

5.7.5 – Stetigkeit

Da wir später in grösserer Allgemeinheit auf den Stetigkeitsbegriff zurückkehren werden, wollen wir uns hier ausschliesslich mit stetigen Funktionen auf einem Intervall [latex][a,b][/latex] mit Werten in [latex]\mathbb {R}^d[/latex] befassen. Solche Funktionen werden wir später auch Wege nennen. Ist [latex]f:[a,b] \to \mathbb {R}^d[/latex] stetig so können wir die Komponenten [latex]f_1,\ldots ,f_d:[a,b] \to \mathbb {R}[/latex] von [latex]f[/latex] definieren durch [latex]f_j = \pi _j \circ f[/latex] für [latex]j=1,\ldots ,d[/latex], wobei [latex]\pi _j[/latex] wieder die Projektion auf die [latex]j[/latex]-te Koordinate bezeichnet. Die Komponenten von [latex]f[/latex] beschreiben [latex]f[/latex] vollständig, da für alle [latex]x \in [a,b][/latex] gilt

Auch die Stetigkeit von [latex]f[/latex] lässt sich mit ihren Komponenten charakterisieren.

5.7.6 – Vektorwertige Integrale

Unsere ursprüngliche Definition des Riemann-Integrals in Kapitel 4 verwendete die Ungleichung [latex]\leq[/latex] in [latex]\mathbb {R}[/latex] in zentraler Weise und kann deswegen nicht auf diese Weise für vektorwertige Funktionen verallgemeinert werden. Riemann-Summen lassen sich hingegen leicht verallgemeinern. Für [latex]\mathbf {{f}}:[a,b] \to \mathbb {R}^d[/latex], [latex]\mathfrak {Z} = \left \lbrace {a = x_0 5.78 setzen wir wie zuvor

Des Weiteren sagen wir, dass [latex]\mathbf {{f}}:[a,b] \to \mathbb {R}^d[/latex] Riemann-integrierbar ist, falls

für alle [latex]x \in [a,b][/latex], und die Komponentenfunktionen [latex]f_j: [a,b]\to \mathbb {R}[/latex] für [latex]j=1,\ldots ,d[/latex] Riemann-integrierbar sind (man vergleiche dies zu Lemma 5.97). Das Riemann-Integral wird dann komponentenweise definiert durch

Satz 5.79 gilt nun analog für Riemann-integrierbare Funktionen von [latex][a,b][/latex] nach [latex]\mathbb {R}^d[/latex]. In der Tat gilt [latex]\| {\int _a^b \mathbf {{f}}(x) \thinspace {\rm {d}} x-R(\mathbf {{f}},\mathfrak {Z},z)}\| _\infty 5.79 für genügend kleine Maschenweiten von [latex]\mathfrak {Z}[/latex] erzielen können.

Des Weiteren gilt auch die Dreiecksungleichung (vergleiche zu Satz 4.24) für vektorwertige Integrale: Für eine stetige Funktion [latex]\mathbf {{f}}:[a,b]\to \mathbb {R}^d[/latex] ist [latex]\| {\mathbf {{f}}}\| _2: [a,b] \to \mathbb {R}[/latex] Riemann-integrierbar (da stetig) und es gilt
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:triangineq-vk} \Big \| \int _a^b \mathbf {{f}}(x) \thinspace {\rm {d}} x\Big \| _2 \leq \int _a^b \| {\mathbf {{f}}(x)}\| _2 \thinspace {\rm {d}} x.\end{aligned}
[/latex]
Die analoge Ungleichung gilt auch für andere Normen.

Obige Diskussion enthält mit [latex]d=2[/latex] auch den Fall von komplexwertigen Funktionen

welche also genau dann Riemann-integrierbar sind, wenn [latex]\operatorname {Re}(f)[/latex] und [latex]\operatorname {Im}(f)[/latex] Riemann-integrierbar sind. Das Riemann-Integral ist in diesem Fall gegeben durch

5.8 – Weitere Lernmaterialien

5.8.1 – Verwendung des Kapitels

Dieses Kapitel stellt die Grundlagen für Konvergenzbetrachtungen bereit, wobei wir auch einige elementare Grenzwerte bereits berechnen konnten. Die Berechnung dieser Grenzwerte erforderte mit unserem derzeitigen Wissen noch sehr viel Geschick, was mit Hilfe der Regel von de l’Hôpital später erheblich einfacher werden wird. Das heisst, dass die wichtigsten Resultate dieses Kapitels nicht durch die konkreten Beispiele oder auch die ersten speziellen Berechnungsmethoden gegeben sind, sondern vielmehr durch die folgenden Sätze:

• Zusammenhang zwischen Folgenkonvergenz und Stetigkeit in Proposition 5.17, da dies für die Berechnung von Grenzwerten auch später oft notwendig sein wird.
• Konvergenzverhalten für monotone Folgen in Satz 5.34.
• Definition und Eigenschaften von Limes Superior in Satz 5.40 (und analog für Limes Inferior).
• Die Existenz von konvergenten Teilfolgen in Satz 5.44 und der mehrdimensionalen Verallgemeinerung in Theorem 5.94.
• Der Begriff der Cauchy-Folge und das Cauchy-Kriterium in Satz 5.48.
• Sandwich-Lemma für Folgen und Funktionen.

Wir bemerken noch, dass Limes Superior und Limes Inferior nützliche allgemeine Werkzeuge sind, die mitunter auch im Beweis der Konvergenz einer Folge auftreten können. Denn [latex]\limsup _{n\to \infty }a_n\in \overline {\mathbb {R}}[/latex] und [latex]\liminf _{n\to \infty } a_n\in \overline {\mathbb {R}}[/latex] können für jede reellwertige Folge [latex](a_n)_n[/latex] betrachtet werden, und das Erfüllen der Gleichung [latex]\limsup _{n\to \infty }a_n=\liminf _{n\to \infty } a_n\in \mathbb {R}[/latex] ist nach Korollar 5.43 zur Konvergenz der Folge äquivalent. Dies ist vergleichbar damit, dass (wie zum Beispiel im Beweis von Korollar 3.72 über das Maximum von stetigen Funktionen) das Supremum im Beweis für die Existenz eines Maximums wichtig sein kann.

Des Weiteren konnten wir die reelle Exponentialfunktion mit einem Grenzwert definieren, welche wir gemeinsam mit der Logarithmusfunktion und allgemeinen Potenzen ab nun mit den gewohnten Eigenschaften verwenden dürfen. Die Definition der Exponentialfunktion hat auch zu der Ungleichung

für alle [latex]x\geq 0[/latex] und [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] (siehe Abschnitt 5.3.2) geführt, welche für einige Grenzwertberechnungen nützlich war.

Auch haben wir gesehen, dass das Riemann-Integral sich als ein Grenzwert der sogenannten Riemann-Summen auffassen lässt, was auch zu einer Definition eines vektorwertigen Riemann-Integrals geführt hat.

Schlussendlich haben wir gesehen, dass sich die Begriffe der Stetigkeit und der Konvergenz auf Vektorräume übertragen lassen. Letzteres werden wir im zweiten Semester zu einer vollständigeren Theorie weiter ausbauen.

5.8.2 – Übungen

Wir wollen in der nächsten Übung den Zusammenhang zwischen «unseren axiomatisch eingeführten reellen Zahlen» und den «reellen Zahlen als Steigung von quasi-linearen Abbildungen» von Abschnitt 2.7.5 besprechen.

Unter Verwendung von Folgen und Satz 5.44 lassen sich viele Aussagen aus Kapitel 3 anders beweisen, was wir in den folgenden Übung illustrieren möchten.

5.8.3 – Lernkarten

Sie können wiederum die Lernkarten oder den Graphen für Ihre Wiederholung der Themen des Kapitels verwenden.

<!– post meta –>