Wir werden in diesem Kapitel die Idee von Abschnitt 1.1 aufgreifen und diese mit Hilfe des Supremums und des Infimums (also implizit des Vollständigkeitsaxioms) aus Kapitel 2 und der [latex]\sum[/latex]-Notation aus Kapitel 3 zum Begriff des Riemann-Integrals ausbauen.

Leser fragen sich vielleicht, warum wir hier schon das Integral besprechen, obwohl wir die Ableitung noch nicht besprochen haben. Es gibt viele Wege, die zum Ziel führen, und wir könnten in der Tat ebenso das Integral nach der Ableitung einführen. Für diese Reihenfolge sprechen die folgenden Argumente:

• Flächeninhalte wurden bereits seit der Antike untersucht und (teilweise) berechnet. Die Ableitung hat eine kürzere Geschichte und ist eigentlich ein schwierigeres Konzept als das Integral.
• Auch vom rein mathematischen Gesichtspunkt gesehen, ist das Integral viel einfacher. Wie wir hier sehen werden, erfüllt das Integral einige sehr nette Eigenschaften (zum Beispiel Monotonie und eine verallgemeinerte Dreiecksungleichung), welche keine Entsprechung für die Ableitung haben. Wir werden später diese netten Eigenschaften des Integrals verwenden, um gewisse Aussagen für die Ableitung zu zeigen. Da wir in dieser Vorlesung die Analysis nach ihren inneren Strukturen aufbauen wollen, spricht dies dafür das Integral zuerst zu besprechen.
• Der Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral ist eines der Hauptziele für dieses erste Semester in Analysis. Wir hoffen, dass die frühe Einführung des Integrals die Wichtigkeit dieses Zusammenhangs weiter betont.

4.1 – Treppenfunktionen und deren Integral

Im Folgenden seien [latex]a

4.1.1 – Zerlegungen

Formal gesehen ist eine Zerlegung also eine endliche Teilmenge unseres Intervalls [latex][a,b][/latex], die [latex]a[/latex] und [latex]b[/latex] enthält, gemeinsam mit einer Auflistung ihrer Elemente durch eine streng monotone Funktion [latex]k\in \{ 0,\ldots ,n\} \mapsto x_k[/latex]. (Die Aufzählung ist eindeutig durch die Teilmenge bestimmt, da wir die Forderung [latex]x_0

die fortan implizit in den Diskussionen verwendet wird.

Beispielsweise sind konstante Funktionen auch Treppenfunktionen.

Abbildung 4.1 – Der Graph einer Treppenfunktion auf dem Intervall [latex][a,b][/latex]. Die blauen Punkte deuten die Funktionswerte bei den Punkten [latex]x_0,\ldots ,x_5[/latex] an.

4.1.2 – Das Integral einer Treppenfunktion

Für eine nicht-negative Treppenfunktion [latex]f \geq 0[/latex] interpretieren wir [latex]I(f,\mathfrak {Z})[/latex] als Flächeninhalt der Ordinatenmenge

und im Allgemeinen als vorzeichenbehafteter Nettoflächeninhalt (siehe Bild unten).

Abbildung 4.2 – Die Zahl [latex]I(f,\mathfrak {Z})[/latex] kann die Summe der Flächeninhalten von Rechtecken über der [latex]x[/latex]-Achse oder eine Differenz von Flächeninhalten sein, wenn die Treppenfunktion positive und negative Werte auf den Konstanzintervallen annimmt.

Dieses Lemma wird uns erlauben, den Wert [latex]I(f,\mathfrak {Z})[/latex] als das Integral von [latex]f[/latex] zu definieren.

Nach Lemma 4.5 hängt diese Definition des Integrals nicht von der Wahl der Zerlegung ab.

Wir bemerken auch, dass das Symbol [latex]\int[/latex] für ein stilisiertes [latex]S[/latex] steht und damit an den Zusammenhang zu einer Summe erinnert. Des Weiteren ist die Variable [latex]x[/latex] in der Notation [latex]\int f(x)\thinspace {\rm {d}} x[/latex] eine interne Variable für die Notation des Integrals (genauso wie die Variable [latex]k[/latex] in der Summe [latex]\sum _{k=1}^nc_k\Delta x_k[/latex]), die ausserhalb des Integrals keine Bedeutung hat (und, um vorprogrammierte Verwirrungen zu vermeiden, auch keine haben sollte).

Durch genauere Betrachtung des obigen Beweises oder Lemma 4.5 sieht man sogar, dass die Ungleichung [latex]f \leq g[/latex] auf den durch eine Zerlegung gegebenen offenen Intervallen für die Konklusion [latex]\int _a^b f \thinspace {\rm {d}} x \leq \int _a^b g \thinspace {\rm {d}} x[/latex] ausreichend ist.

4.2 – Definition des Riemann-Integrals

Wie schon im letzten Abschnitt betrachten wir im Folgenden Funktionen auf einem kompakten Intervall [latex][a,b]\subseteq \mathbb {R}[/latex] zu reellen Zahlen [latex]a

Wir bemerken, dass Treppenfunktionen beschränkt sind, da sie endliche Wertemengen haben. Des Weiteren ist eine reellwertige Funktion [latex]f[/latex] genau dann beschränkt, wenn es Treppenfunktionen [latex]u,o \in \mathcal {TF}([a,b])[/latex] gibt, die [latex]u \leq f \leq o[/latex] erfüllen. In der Tat, falls [latex]u\leq f\leq o[/latex] für gewisse Treppenfunktionen [latex]u,o[/latex] gilt, dann ist [latex]f([a,b])[/latex] von oben durch das Maximum von [latex]o([a,b])[/latex] beschränkt und von unten durch das Minimum von [latex]u([a,b])[/latex] beschränkt. (Wieso?). Umgekehrt können wir konstante Treppenfunktionen [latex]u,o \in \mathcal {TF}([a,b])[/latex] verwenden, falls [latex]f[/latex] beschränkt ist.

Für [latex]u,o \in \mathcal {TF}([a,b])[/latex] mit [latex]u \leq f \leq o[/latex] gilt nach Lemma 4.8 auch

Jede Untersumme ist also kleiner gleich jeder Obersumme. Äquivalenterweise ist jede Obersumme [latex]\int _a^b o\ dx[/latex] eine obere Schranke der nicht-leeren Menge der Untersummen und daher ist

da das Supremum die kleinste obere Schranke ist. Insbesondere ist [latex]\sup \mathcal {U}(f)[/latex] eine untere Schranke der Menge der Obersummen [latex]\mathcal {O}(f)[/latex] und es gilt
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:int-unteres int leq oberes int} \sup \mathcal {U}(f) \leq \inf \mathcal {O}(f),\end{aligned}
[/latex]
da das Infimum die grösste untere Schranke ist.

Wir haben hier den Zugang von Darboux für die Definition des Riemann-Integrals gewählt; im nächsten Kapitel werden wir aber auch kurz die sogenannten Riemann-Summen besprechen, die von Riemann als Ausgangspunkt seiner Definition verwendet wurden. Es gibt neben diesen beiden äquivalenten Definitionen noch weitere, die wir nicht besprechen werden.

Falls [latex]f\in \mathcal {F}([a,b])[/latex] nicht-negativ (das heisst, es gilt [latex]f\geq 0[/latex]), beschränkt und Riemann-integrierbar ist, dann interpretieren wir die Zahl [latex]\int _a^b f\thinspace {\rm {d}} x[/latex] als den Flächeninhalt der Menge

Der dritte Punkt in obiger Proposition bedeutet intuitiv, dass [latex]f[/latex] sich zwischen zwei Treppenfunktionen «einquetschen» lässt, so dass deren Differenz im Mittel (geometrisch formuliert, der Flächeninhalt zwischen den beiden Treppenfunktionen) klein ist.

Gut zu wissen ist, dass das Riemann-Integral eine Verallgemeinerung des Integrals von Treppenfunktionen darstellt und in diesem Sinne auch einfach vom Riemann-Integral einer Treppenfunktion gesprochen werden kann.

Die Charakterisierung (iii) in Proposition 4.12 ist unter anderem dann nützlich, wenn man von spezifischen Funktionen die Riemann-Integrierbarkeit zeigen will. Ihre Bedingungen lassen sich sogar noch abschwächen, was wir in folgender Übung diskutieren wollen.

4.3 – Erste Integrationsgesetze

Wie schon zuvor betrachten wir hier Funktionen und den Begriff des Riemann-Integrals auf einem kompakten Intervall [latex][a,b] \subseteq \mathbb {R}[/latex] für [latex]a4.7 und Lemma 4.8) analog sind.

4.3.1 – Linearität

Im Beweis werden wir folgendes allgemeines Prinzip mehrmals anwenden. Falls [latex]A\subseteq B[/latex] nicht-leere Teilmengen von [latex]\mathbb {R}[/latex] sind und [latex]B[/latex] von oben beschränkt ist, dann ist [latex]\sup (B)[/latex] eine obere Schranke von [latex]A[/latex] und daher [latex]\sup (A) \leq \sup (B)[/latex] (nach Definition des Supremums). Analog gilt [latex]\inf (A) \geq \inf (B)[/latex], falls [latex]B[/latex] von unten beschränkt ist.

4.3.2 – Monotonie

Für [latex]f\in \mathcal {F}([a,b])[/latex] definieren wir Funktionen [latex]f^+,f^-,|f| \in \mathcal {F}([a,b])[/latex] durch

für [latex]x \in [a,b][/latex]. Die Funktion [latex]f^+[/latex] ist der Positivteil von [latex]f[/latex], [latex]f^-[/latex] ist der Negativteil von [latex]f[/latex] und [latex]|f|[/latex] ist der Absolutbetrag von [latex]f[/latex].

Wir möchten kurz erklären, wieso sich die Ungleichung in Punkt (iii) des obigen Satzes Dreiecksungleichung nennt. Tatsächlich sieht man kein Dreieck, im Gegensatz zur Dreiecksungleichung

für [latex]z_1,z_2 \in \mathbb {C}[/latex], die geometrisch direkt begründet werden kann (wie?). Es gilt auch die verallgemeinerte Dreiecksungleichung

für [latex]z_1,\ldots ,z_n \in \mathbb {C}[/latex], wie man direkt aus der Dreiecksungleichung und vollständiger Induktion folgern kann (siehe Übung 3.4). Die Aussage (iii) in Satz 4.24 ist eine «kontinuierliche Version» der verallgemeinerten Dreiecksungleichung, weswegen wir von der Dreiecksungleichung für das Riemann-Integral sprechen.

Abbildung 4.3 – Wir sehen hier den Graphen einer Funktion [latex]f[/latex] links und der entsprechenden Funkton [latex]|f|[/latex] rechts. Dabei stellt [latex]\int _a^b f(x) \thinspace {\rm {d}} x[/latex] einen Nettoflächeninhalt und [latex]\int _a^b |f(x)| \thinspace {\rm {d}} x[/latex] einen Flächeninhalt dar.

4.3.3 – Teilintervalle

Es seien [latex]a

für [latex]x\in [a,c][/latex] zu definieren. In diesem Sinne entspricht die Funktion [latex]f\in \mathcal {F}([a,c])[/latex] zwei Funktionen [latex]f_1 \in \mathcal {F}([a,b])[/latex], [latex]f_2 \in \mathcal {F}([b,c])[/latex] mit [latex]f_1(b) = f_2(b)[/latex].

Sei [latex][a,b][/latex] ein kompaktes Intervall mit [latex]a [latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:int-ord.tauschen} \int _b^a f\thinspace {\rm {d}} x = - \int _a^b f\thinspace {\rm {d}} x \quad \text {und}\quad \int _a^a f\thinspace {\rm {d}} x = 0.\end{aligned}
[/latex]
Diese Definition vereinfacht die Notation und macht auf Grund der Aussage in folgender Übung Sinn.

4.4 – Anwendungen

4.4.1 – Intervallfunktionen

Wir möchten nun spezielle Abbildungen auf der Menge der Teilintervalle eines Intervalles betrachten, wobei wir Ordnungsvertauschungen im Stile von (4.8) zulassen wollen. Genauer untersuchen wir folgenden Begriff.

Wir wollen hier kurz erklären, woher die Bezeichnung «additive Intervallfunktion» stammt. Ist [latex]\mathcal {I}[/latex] eine additive Intervallfunktion auf einem kompakten Intervall [latex][a,b][/latex], so kann man eine reellwertige Funktion [latex]\mathcal {J}[/latex] auf der Menge der nicht-leeren Teilintervalle von [latex][a,b][/latex] durch [latex]\mathcal {J}([\alpha ,\beta ]) = \mathcal {I}(\alpha ,\beta )[/latex] für [latex][\alpha ,\beta ]\subseteq [a,b][/latex] definieren. Diese hat die Eigenschaften
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:fund-add.intervallfkt} \mathcal {J}([\alpha ,\alpha ]) = 0,\quad \mathcal {J}([\alpha ,\beta ]\cup [\beta ,\gamma ]) = \mathcal {J}([\alpha ,\beta ]) + \mathcal {J}([\beta ,\gamma ])\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]\alpha \leq \beta \leq \gamma[/latex] in [latex][a,b][/latex] (wieso?). Vor allem letztere Eigenschaft begründet die Bezeichnung «additive Intervallfunktion» .

Hat man umgekehrt eine reellwertige Funktion [latex]\mathcal {J}[/latex] auf der Menge der nicht-leeren Teilintervalle von [latex][a,b][/latex] gegeben, die (4.10) genügt, so definiert [latex]\mathcal {I}(\alpha ,\beta ) = \mathcal {J}([\alpha ,\beta ])[/latex] für [latex]\alpha \leq \beta[/latex] und [latex]\mathcal {I}(\alpha ,\beta ) = -\mathcal {J}([\beta ,\alpha ])[/latex] für [latex]\alpha > \beta[/latex] eine additive Intervallfunktion [latex]\mathcal {I}[/latex] auf [latex][a,b][/latex] (wieso?).

Somit haben wir also zwei Arten, wie wir uns additive Intervallfunktionen vorstellen können. Eine grosse Kollektion von Beispielen erhält man mit Satz 4.26 und Übung 4.27, nach welchen die Abbildung
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:fund-add intervfkt durch int} \mathcal {I}: (\alpha ,\beta ) \in [a,b]^2 \mapsto \int _\alpha ^\beta f(x)\thinspace {\rm {d}} x\end{aligned}
[/latex]
für jede Riemann-integrierbare Funktion [latex]f: [a,b] \to \mathbb {R}[/latex] eine additive Intervallfunktion ist. Die folgende Proposition charakterisiert derartige additive Intervallfunktionen.

Wir möchten anmerken, dass jedoch nicht alle additiven Intervallfunktionen von der Form in (4.11) sein müssen.

Man kann Proposition 4.30 als Wegweiser verwenden, um verschiedene Interpretationen des Riemann-Integrals zu finden. Formal gesehen sind diese Anwendungen jeweils Definitionen.

4.4.2 – Flächeninhalt

Die einfachste Anwendung von Proposition 4.30 ist die Interpretation von [latex]\int _a^b f(x) \thinspace {\rm {d}} x[/latex] als Flächeninhalt des Gebietes

unter dem Graphen einer Riemann-integrierbaren Funktion [latex]f:[a,b] \to \mathbb {R}_{\geq 0}[/latex]. Die Argumentation, die zu dieser Definition führt, haben wir bereits in Abschnitt 1.1 besprochen. Formal gesehen erachten wir [latex]\int _a^b f(x) \thinspace {\rm {d}} x[/latex] als Definition des Flächeninhalts des obigen Gebietes.

4.4.3 – Masse, Momente und Schwerpunkt

Es gibt natürlich auch viele physikalische Beispiele für die Bedeutung des Riemann-Integrals. Sei zum Beispiel [latex]a4.30, dass wir [latex]m=\int _a^b\rho (x)\thinspace {\rm {d}} x[/latex] als das Gesamtmasse (in [latex]kg[/latex]) interpretieren sollten. (Wieso?)

Wir erinnern daran, dass bei einem Hebel das Moment (in [latex]Nm[/latex]) einer Krafteinwirkung durch das Produkt der Krafteinwirkung (in Newton [latex]N[/latex]) und des Weges (in [latex]m[/latex]) definiert ist. Wir stellen uns vor, dass [latex]a=0

erfüllt, woraus sich für das entsprechende Moment [latex]M(\alpha ,\beta )[/latex] die Ungleichung

ergibt. Diese Eigenschaft von [latex]M[/latex] unterscheidet sich zwar formal von (4.12) doch lässt sich mit Hilfe der Stetigkeit von [latex]x\in [a,b]\mapsto x[/latex] der Beweis von Proposition 4.30 anpassen. Ebenso ist es physikalisch sinnvoll die Additivität dieser Momentfunktion anzunehmen, dadurch erhalten wir die Definition

für das Gesamtmoment des Stabes.

Der Schwerpunkt des Stabes ist definiert als die [latex]x[/latex]-Koordinate [latex]x_0[/latex], so dass eine Punktmasse bei [latex]x_0[/latex] mit derselben Masse wie der Stab auch dasselbe Moment besitzt. Also ist

der Schwerpunkt des Stabes.

Die Annahme [latex]a=0[/latex] ist für diese Diskussion (abgesehen von der Vorstellung dass der Stab am Ursprung gehalten wird) nicht notwendig, falls [latex]a

4.4.4 – Geleistete Arbeit

Wenn [latex]a Energie oder vom Stromnetz eingespeiste Arbeit (in Joule [latex]J=Ws[/latex]) zwischen den Zeitpunkten [latex]t=a[/latex] und [latex]t=b[/latex] (in Sekunden [latex]s[/latex]). Diese Interpretation ergibt sich wiederum aus Proposition 4.30 und der Definition, dass Arbeit gleich Leistung mal Zeitdauer ist. Hier ist es ebenso physikalisch sinnvoll, Funktionen mit positiven und negativen Werten zuzulassen, wenn zum Beispiel das Hausdach mit einer Solaranlage ausgestattet ist, die bei Schönwetter etwaige Energieüberschüsse des Hauses ins Stromnetz zurückspeist. Das Vorzeichen des Integrals entscheidet in diesem Fall, ob insgesamt innerhalb der Zeitspanne [latex][a,b][/latex] das Haus ein Energieverbraucher oder Energielieferant war.

4.4.5 – Vorteil des Integralbegriffs

Wir haben das Integral abstrakt mittels der Definition 4.6 des Integrals einer Treppenfunktion und der Definition 4.11 des Integrals einer Riemann-integrierbaren Funktion eingeführt. Bei Besprechung dieser Definitionen haben wir uns zwar von einer geometrischen Interpretation des Integrals als (vorzeichenbehafteter) Flächeninhalt leiten lassen, doch war diese Vorstellung formal nicht notwendig für unsere Diskussionen. Wir hoffen, dass der Vorteil dieses abstrakten Zugang nun ersichtlich ist: Das Integral hat je nach Zusammenhang verschiedene (zum Beispiel physikalische) Bedeutungen. Wenn unsere Definition des Integrals «der Flächeninhalt unter der Kurve» gewesen wäre, dann wäre es nicht klar, was genau der Zusammenahng zwischen einem Flächeninhalt und einer Momentberechnung sein sollte.^[1] In diesem Sinne ist unser abstrakter Zugang nicht Selbstzweck, sondern geradezu notwendig auf Grund der vielfältigen Anwendungen des Integralbegriffs.

4.5 – Integrierbarkeit monotoner Funktionen

Wir betrachten wie zuvor ein kompaktes Intervall [latex][a,b]\subseteq \mathbb {R}[/latex] für reelle Zahlen [latex]a,b[/latex] mit [latex]a

Beweis

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir eine monoton wachsende Funktion [latex]f\in \mathcal {F}([a,b])[/latex] betrachten (ansonsten ersetzt man [latex]f[/latex] mit [latex]-f[/latex] und wendet Satz 4.19 an). Wir möchten die dritte Charakterisierung in Proposition 4.12 anwenden. Das heisst, wir wollen für ein gegebenes [latex]\varepsilon >0[/latex] zwei Treppenfunktionen [latex]u,o \in \mathcal {TF}([a,b])[/latex] finden, so dass [latex]u \leq f \leq o[/latex] und [latex]\int _a^b (o-u)(x)\thinspace {\rm {d}} x

Wir konstruieren [latex]u[/latex] und [latex]o[/latex] mittels einer natürlichen Zahl [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] (die wir später wählen werden) und der Zerlegung

[latex]
\begin{aligned}[]\mathfrak {Z} = \left \lbrace {a = x_0 [/latex]

von [latex][a,b][/latex] gegeben durch [latex]x_k = a + \frac {b-a}{n} k[/latex] für [latex]k \in \left \lbrace {0,\ldots ,n} \right \rbrace[/latex]. Seien [latex]u,o[/latex] gegeben durch

[latex]
\begin{aligned}[]u(x) = \left \lbrace \begin{array}{ll} f(x_{k-1}) & \text {falls } x \in [x_{k-1},x_k) \text { für ein } k \in \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace \\ f(b) & \text {falls } x=b\end{array} \right .\end{aligned}
[/latex]

respektive

[latex]
\begin{aligned}[]o(x) = \left \lbrace \begin{array}{ll} f(a) & \text {falls } x=a \\ f(x_{k}) & \text {falls } x \in (x_{k-1},x_k] \text { für ein } k \in \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace \end{array} \right .\end{aligned}
[/latex]

für alle [latex]x\in [a,b][/latex]. Da [latex]f[/latex] monoton wachsend ist, gilt [latex]u \leq f \leq o[/latex]. In der Tat ist für [latex]x\in [a,b][/latex] entweder [latex]x=b[/latex], womit [latex]u(x) = f(x)[/latex], oder es gibt ein [latex]k\in \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace[/latex] mit [latex]x\in [x_{k-1},x_k)[/latex]. In letzterem Fall erhalten wir [latex]u(x) = f(x_{k-1}) \leq f(x)[/latex] und somit gilt [latex]u \leq f[/latex]. Ein analoges Argument liefert [latex]f \leq o[/latex]. Des Weiteren gilt

[latex]
\begin{aligned}[]\int _a^b (o-u)(x)\thinspace {\rm {d}} x &= \sum _{k=1}^n (f(x_k)-f(x_{k-1})) (x_k-x_{k-1}) = \sum _{k=1}^n (f(x_k)-f(x_{k-1})) \frac {b-a}{n}\\ &=\frac {b-a}{n}\sum _{k=1}^n (f(x_k)-f(x_{k-1})) = \frac {b-a}{n} (f(b)-f(a))\end{aligned}
[/latex]

nach Vereinfachen der Teleskopsumme. Nach dem Archimedischen Prinzip können wir nun ein [latex]n[/latex] wählen, so dass [latex]\int _a^b (o-u)(x)\thinspace {\rm {d}} x 4.12 (iii) folgt somit, dass [latex]f[/latex] Riemann-integrierbar ist. ∎

Übung 4.32: Kreisfunktion

Zeigen Sie, dass die Funktion [latex]x \in [0,1] \mapsto \sqrt {1-x^2} \in \mathbb {R}[/latex] Riemann-integrierbar ist.

Mit Hilfe der Additionseigenschaft in Satz 4.26 lässt sich die Aussage von Satz 4.31 auf Funktionen erweitern, die nur stückweise monoton sind.

Jede monotone Funktion ist stückweise monoton (man braucht dazu nur die Zerlegung [latex]\mathfrak {Z} = \left \lbrace {a

Insbesondere sind also alle Monome auf einem abgeschlossenen, beschränkten, nicht-leeren Intervall [latex]I[/latex] Riemann-integrierbar. Mit der Linearität des Riemann-Integrals folgt nun mittels vollständiger Induktion, dass alle Polynome auf [latex]I[/latex] Riemann-integrierbar sind.

Übung 4.36: Gauss-Abbildung

Zeigen Sie, dass die sogenannte Gauss-Abbildung

[latex]
\begin{aligned}[]g: x \in [0,1] \mapsto \left \lbrace \begin{array}{ll} \left \lbrace {\frac {1}{x}} \right \rbrace & \text {falls } x>0 \\ 0 & \text {falls } x=0\end{array} \right .\end{aligned}
[/latex]

Riemann-integrierbar ist, wobei [latex]\left \lbrace {\cdot } \right \rbrace[/latex] den gebrochenen Anteil bezeichnet (siehe Abschnitt 2.6.1).

Hinweis.

Beschreiben Sie [latex]g[/latex] auf den Intervallen [latex](\frac {1}{2},1),\ (\frac {1}{3},\frac 12 ),\ (\frac 14,\frac 13),\ldots[/latex] und zeigen Sie, dass [latex]g[/latex] auf diesen Riemann-integrierbar ist.

4.6 – Integration von Polynomen

Wir betrachten wiederum ein Intervall [latex][a,b][/latex] mit Endpunkten [latex]a

Beweis

Dass Polynomfunktionen eingeschränkt auf [latex][a,b][/latex] Riemann-integrierbar sind, folgt, wie schon diskutiert, aus der Linearität des Riemann-Integrals (Satz 4.19) und der Riemann-Integrierbarkeit von stückweise monotonen Funktionen (Korollar 4.34). Die zweite Aussage behandeln wir hier nur im Spezialfall [latex]0= a 4.26 (siehe Übung 4.38).

Da [latex]x\in [0,b] \mapsto x^d \in \mathbb {R}[/latex] monoton wachsend ist, können wir dieselbe Methode wie im Beweis von Satz 4.24 (und daher auch wie in Proposition 1.1) verwenden. Sei also [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] und [latex]u,o[/latex] Treppenfunktionen auf [latex][0,b][/latex] mit Zerlegung in Konstanzintervalle

[latex]
\begin{aligned}[]\mathfrak {Z} = \left \lbrace {0= x_0 [/latex]

wobei [latex]x_k = \frac {k}{n}b[/latex] für [latex]k \in \left \lbrace {1,\ldots , n} \right \rbrace[/latex], und Konstanzwert [latex]x_{k-1}^d[/latex] respektive [latex]x_k^d[/latex] auf [latex](x_{k-1},x_k)[/latex] für [latex]k \in \left \lbrace {1,\ldots , n} \right \rbrace[/latex] (siehe Beweis von Satz 4.24). Es ergibt sich

[latex]
\begin{aligned}[]\sum _{k=0}^{n-1} \left (\frac {k}{n}b\right )^d \frac {b}{n} \leq \int _0^b x^d\thinspace {\rm {d}} x \leq \sum _{k=1}^{n} \left (\frac {k}{n}b\right )^d \frac {b}{n}\end{aligned}
[/latex]

oder äquivalent
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:int-intpoly proof1} \frac {b^{d+1}}{n^{d+1}} \sum _{k=1}^{n-1} k^d \leq \int _0^b x^d\thinspace {\rm {d}} x \leq \frac {b^{d+1}}{n^{d+1}} \sum _{k=1}^{n} k^d\end{aligned}
[/latex]
Nach Proposition 3.31 gilt

[latex]
\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^{n} k^d = \frac {n^{d+1}}{d+1} + c_dn^d+ c_{d-1}n^{d-1} +\ldots + c_0\end{aligned}
[/latex]

für gewisse Koeffizienten [latex]c_d,\ldots ,c_0 \in \mathbb {Q}[/latex]. Damit möchten wir die linke und die rechte Summe in (4.13) nach unten respektive nach oben abschätzen. Wir erhalten für die Summe auf der rechten Seite

[latex]
\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^{n} k^d \leq \frac {n^{d+1}}{d+1} + |c_d|n^d +|c_{d-1}|n^{d-1} +\ldots + |c_0| \leq \frac {n^{d+1}}{d+1} + (|c_d|+|c_{d-1}|+\ldots +|c_0|)n^d.\end{aligned}
[/latex]

Für die Summe auf der linken Seite von (4.13) erhalten wir analog

[latex]
\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^{n-1} k^d &= \sum _{k=1}^{n} k^d - n^d = \frac {n^{d+1}}{d+1} + (c_d-1)n^d+ c_{d-1}n^{d-1} +\ldots + c_0 \\ &\geq \frac {n^{d+1}}{d+1} -|c_d-1|n^d- |c_{d-1}|n^{d-1} -\ldots - |c_0|\\ &\geq \frac {n^{d+1}}{d+1} -(|c_d-1|+|c_{d-1}|+\ldots +|c_0|) n^d\end{aligned}
[/latex]

Wir definieren

[latex]
\begin{aligned}[]c_- = (|c_d-1|+|c_{d-1}|+\ldots +|c_0|),\quad c_+ = (|c_d|+|c_{d-1}|+\ldots +|c_0|)\end{aligned}
[/latex]

und setzen die oben erhaltenen Ungleichungen mit (4.13) zusammen. Wir erhalten
[latex]
\begin{aligned}[]\label{lastinequalityforintegrationpolys} \frac {b^{d+1}}{d+1} - \frac {c_- b^{d+1}}{n} \leq \int _0^b x^d\thinspace {\rm {d}} x \leq \frac {b^{d+1}}{d+1} +\frac {c_+ b^{d+1}}{n}.\end{aligned}
[/latex]
Aus dem Archimedischen Prinzip (Satz 2.69) folgt nun, dass [latex]\int _0^b x^d\thinspace {\rm {d}} x = \frac {b^{d+1}}{d+1}[/latex]. ∎

Übung 4.38: Allgemeine Grenzen

Beweisen Sie Satz 4.26 für [latex]a

Applet 4.39: Integral eines Polynoms

Wir betrachten nochmals das partikuläre Integral, wobei wir diesmal mit einer Polynomfunktion beginnen und dadurch Satz 4.37 anwenden können.

Beispiel 4.40

Als Anwendung von Satz 4.37 berechnen wir

[latex]
\begin{aligned}[]\int _1^2(x^4+5x^2-x+1)\thinspace {\rm {d}} x&=\int _1^2x^4\thinspace {\rm {d}} x+5\int _1^2x^2\thinspace {\rm {d}} x-\int _1^2x\thinspace {\rm {d}} x+1\\ &=\left [\frac {x^5}5\right ]_1^2+5\left [\frac {x^3}3\right ]_1^2-\left [\frac {x^2}2\right ]_1^2+1\\ &=\frac {2^5-1}5+5\frac {2^3-1}3-\frac {2^2-1}2+1\\ &=\frac {521}{30},\end{aligned}
[/latex]

wobei wir für eine Funktion [latex]f[/latex], deren Definitionsbereich [latex][a,b][/latex] enthalten sollte, die Notation [latex][f(x)]_a^b=f(b)-f(a)[/latex] verwendet haben.

Übung 4.41: Integration der Wurzelfunktion

Sei [latex][a,b][/latex] ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall mit [latex]0\leq a 0[/latex] die Zerlegung von [latex][0,1][/latex] aus dem Beweis von Satz 4.24 und die dort definierten Treppenfunktionen [latex]u,o[/latex] für das Polynom [latex]x^m[/latex].

1. Finden Sie von [latex]u[/latex] respektive [latex]o[/latex] ausgehend eine Treppenfunktion [latex]o'[/latex] respektive eine Treppenfunktion [latex]u'[/latex] mit [latex]u'(x) \leq x^\frac {1}{m}\leq o'(x)[/latex] für [latex]x \in [0,1][/latex] und
   [latex]
   \begin{aligned}[]\int _0^1 u(x)\thinspace {\rm {d}} x + \int _0^1 o'(x)\thinspace {\rm {d}} x = 1,\ \int _0^1 o(x)\thinspace {\rm {d}} x + \int _0^1 u'(x)\thinspace {\rm {d}} x = 1.\end{aligned}
   [/latex]
2. Zeigen Sie, dass
   [latex]
   \begin{aligned}[]\int _0^1 x^m\thinspace {\rm {d}} x+\int _0^1 x^\frac {1}{m}\thinspace {\rm {d}} x = 1\end{aligned}
   [/latex]

   und berechnen Sie damit das Integral [latex]\int _0^1 x^\frac {1}{m}\thinspace {\rm {d}} x[/latex].

Hinweis.

Betrachten Sie den Graphen von [latex]x^m[/latex] auf [latex][0,1][/latex] und spiegeln Sie ihn an der Diagonalen. Die so erhaltene Funktion ist gerade die Funktion [latex]x \in [0,1]\mapsto x^\frac {1}{m} \in \mathbb {R}[/latex], deren Fläche unter dem Graphen vor Spiegelung also durch folgendes Bild gegeben ist.

Versuchen Sie insbesondere bei (i) zuerst informell vorzugehen und sich an obigem Bild zu veranschaulichen, was die Zuweisungen [latex]u[/latex] nach [latex]o'[/latex] und [latex]o[/latex] nach [latex]u'[/latex] sein sollten.

4.7 – Integrierbarkeit stetiger Funktionen

Aus Abschnitt 4.6 wissen wir bereits, dass Polynomfunktionen integrierbar sind. In diesem Abschnitt möchten wir nun unter Verwendung der Beschränktheit und der gleichmässigen Stetigkeit stetiger Funktionen auf kompakten Intervallen (Satz 3.70 respektive Satz 3.78) folgendes allgemeines Resultat beweisen.

4.8 – Weitere Lernmaterialien

4.8.1 – Verwendung des Kapitels

Im Folgenden werden wir meist nicht direkt auf die Definition des Riemann-Integrals mit Hilfe von Treppenfunktionen zurückgreifen, sondern stattdessen die hier besprochenen Eigenschaften verwenden, um weitere Integrationsgesetze und Integrationsformeln für noch zu findende, weitere Funktionen zu beweisen. Trotzdem ist es wichtig sich an die Definition des Riemann-Integrals und die Vorraussetzungen an Funktion und Integrationsbereich zu erinnern, damit der Unterschied zu etwaigen späteren Verallgemeinerungen klar wird. Das Verständnis der Definition des Riemann-Integrals ist auch wichtig, da wir dieses im zweiten Semester zu einem mehrdimensionalen Integral verallgemeinern wollen und dabei analog vorgehen werden (siehe auch Abschnitt 4.9). Die Berechnung von Riemann-Integralen wird uns später mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung erheblich einfacher fallen.

Bei einigen Beweisen dieses Kapitels waren Sie vielleicht versucht, den Grenzübergang für [latex]n\to \infty[/latex] oder [latex]\varepsilon \searrow 0[/latex] zu verwenden. Unsere bisherigen Argumente haben diesen Begriff nicht verwendet, aber wir führen Grenzwerte im nächsten Kapitel ein und Sie dürfen daher demnächst die Beweise von Satz 4.31, Satz 4.37 oder Satz 4.42 umformulieren und zum Beispiel in (4.14) den Grenzwert für [latex]n\to \infty[/latex] nehmen.

4.8.2 – Weitere Übungsaufgaben

4.8.3 – Multiple-Choice Fragen

4.8.4 – Lernkarten

Sie können wiederum die Lernkarten oder den Graphen für Ihre Wiederholung der Themen des Kapitels verwenden.

4.9 – Einschub: Mehrdimensionale Integrale*

*Dieser Abschnittes existiert als Hilfestellung für die Physik I-Vorlesung, wo diese Begriffe bereits auftauchten. Der Abschnitt kann natürlich beim Lernen übersprungen werden, da alles sowieso nochmals kommt. Doch könnte eine ungenaue aber knappe Darstellung auch beim Lernen helfen, weswegen dieser Abschnitt kein * bekommt.

Wir wollen hier unseren vollständigen Aufbau der Analysis kurz unterbrechen und anwendungsbezogen mehrdimensionale Integrale besprechen. Insbesondere werden wir die vorgestellten Methoden informell begründen, aber nicht vollständig erklären oder beweisen können — wir werden dies erst im zweiten Semester nachholen. Der Grund für den Einschub ist einfach zu erklären: Sie werden ein intuitives Verständnis für diese Themen und die wichtigsten Rechenmethoden in den Vorlesungen Physik I und Physik II benötigen.

4.9.1 – Definition mittels Treppenfunktionen

Wir beginnen unsere Diskussionen damit, die Definition eines mehrdimensionalen Integrals anzudeuten. Für diese Definition sollten wir Funktionen [latex]f[/latex] auf einem [latex]d[/latex]-dimensionalen Quader [latex][a_1,b_1]\times \cdots \times [a_d,b_d][/latex] betrachten, wobei [latex]d\geq 1[/latex] die Dimension des Quaders angibt und die Zahlen [latex]a_1

Eine Treppenfunktion [latex]t\in \mathcal {TF}(Q)[/latex] ist in diesem Zusammenhang eine Funktion, so dass man [latex]Q[/latex] in Teilrechtecke zerlegen kann und [latex]t[/latex] auf den einzelnen Teilrechtecken jeweils konstant ist. Genauer sollte die Zerlegung rasterförmig von der Form

sein, wobei

zwei beliebige Zerlegung der Kanten [latex][a_1,b_1][/latex] und [latex][a_2,b_2][/latex] des Rechtecks [latex]Q[/latex] sind und die Vereinigung über alle Paare [latex](j,k)[/latex] läuft mit [latex]j\in \{ 1,\ldots ,m\}[/latex] und [latex]k\in \{ 1,\ldots ,n\}[/latex]. Die Menge [latex]N[/latex] besteht hier aus den Rändern der einzelnen Rechtecke und wird im folgenden einfach ignoriert (da dies eine sogenannte Nullmenge darstellt). Falls nun die Treppenfunktion [latex]t[/latex] für jedes Tupel [latex](j,k)[/latex] auf dem entsprechenden Teilrechteck den Konstanzwert [latex]c_{j,k}[/latex] annimmt, dann definieren wir das Integral der Treppenfunktion durch
[latex]
\begin{aligned}[]\label{def:int2dimeinschub} \int _Q t\, \mathrm {dvol}=\sum _{j,k} c_{j,k}(x_j-x_{j-1})(y_k-y_{k-1}).\end{aligned}
[/latex]

Wir nehmen an, dass [latex]f:Q\to \mathbb {R}[/latex] beschränkt ist. Dies impliziert wiederum, dass es Treppenfunktionen [latex]u,o\in \mathcal {TF}(Q)[/latex] gibt, die [latex]u\leq f\leq o[/latex] erfüllen. Wir bezeichnen [latex]\int u\, \mathrm {dvol}[/latex] beziehungsweise [latex]\int o\, \mathrm {dvol}[/latex] als Untersumme und Obersumme zu [latex]f[/latex]. Das untere Integral [latex]\underline{I}(f)[/latex] ist nun als Supremum der Untersummen und das obere Integral [latex]\overline {I}(f)[/latex] als Infimum der Obersummen definiert. Wenn diese beiden Zahlen übereinstimmen, dann definieren diese das Riemann-Integral

Wir wollen dies auch im folgenden Applet erklären, wobei wir das zwei-dimensionale Integral als Volumen des Körpers in Figur 4.4 interpretieren.

Auch dreidimensionale Integrale können konkrete physikalische Bedeutungen besitzen. Falls zum Beispiel [latex]Q=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times [a_3,b_3][/latex] ein drei-dimensionaler Quader mit Abmessungen [latex]b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3>0[/latex] (in [latex]m[/latex]) ist und [latex]\rho (x,y,z)[/latex] die vom Punkt [latex](x,y,z)\in Q[/latex] abhängige Dichte des Quaders (in [latex]kg/m^3[/latex]) angibt, so gibt das drei-dimensionale Integral

die Gesamtmasse des Quaders an. Dies ergibt sich durch Verallgemeinerung der Diskussion in Abschnitt 4.4.3.

4.9.2 – Iterierte Integrale

In der Definition des Begriffes «Integral einer Treppenfunktion» [latex]t:Q\to \mathbb {R}[/latex] haben wir über alle Paare [latex](j,k)[/latex] mit [latex]j\in \{ 1,\ldots ,m\}[/latex] und [latex]k\in \{ 1,\ldots ,n\}[/latex] summiert (siehe Definition 4.15). Wollen wir dies genauer mittels der Summennotation aus Abschnitt 3.1 formulieren, so haben wir die zwei äquivalenten Möglichkeiten

Da das mehrdimensionale Integral gewissermassen ein kontinuierliches Analog zu derartigen Doppelsummen darstellt, könnte man erwarten, dass das mehrdimensionale Integral einer Riemann-integrierbaren Funktion [latex]f:Q\to \mathbb {R}[/latex] analog

erfüllt, wobei die inneren Integrale (oben das Integral bezüglich [latex]y[/latex]) die äussere Integrationsvariable (oben die Variable [latex]x[/latex]) als Konstante interpretieren und diese Integrale wiederum eine Funktion bezüglich der äusseren Integrationsvariable (oben [latex]x[/latex]) definieren. Dies trifft in der Tat für stetige Funktionen [latex]f[/latex] zu — geeignet interpretiert auch allgemeiner — und wird als der Satz von Fubini bezeichnet. Informell können wir dies in zwei Dimensionen auch durch die Gleichung [latex]\, \mathrm {dvol}=\thinspace {\rm {d}} x\thinspace {\rm {d}} y[/latex] ausdrücken.

Der Satz von Fubini ist extrem nützlich, da wir mit diesem Satz die Berechnung von mehrdimensionalen Integrale auf die Berechnung eindimensionaler Integrale zurückführen können (und wir für letztere im Laufe dieses Semester viele Methoden zur Berechnung lernen werden).

Beispiel 4.46: Volumen des Zeltes

Wir definieren das Zelt

[latex]
\begin{aligned}[]Z=\left \lbrace {(x,y,z)\in \mathbb {R}^3} \mid {(x,y)\in [-1,1]^2\text { und }0\leq z\leq 2-x^2-y^2}\right \rbrace .\end{aligned}
[/latex]

Abbildung 4.4 – Das Zelt [latex]Z[/latex] ist der Bereich unterhalb des Graphen der Funktion [latex](x,y) \mapsto 2-x^2-y^2[/latex].

Das Volumen des Zeltes ist auf Grund von [latex]f(x,y)=2-x^2-y^2\geq 0[/latex] für alle [latex](x,y)\in [-1,1]^2[/latex] und obiger Diskussionen durch

[latex]
\begin{aligned}[]\operatorname {vol}(Z)&=\int _{[-1,1]^2}(2-x^2-y^2)\, \mathrm {dvol}\\ &=\int _{-1}^1\left [\int _{-1}^1(2-x^2-y^2)\thinspace {\rm {d}} y\right ]\thinspace {\rm {d}} x\\ &=\int _{-1}^1\left (\tfrac {10}3-2x^2\right )\thinspace {\rm {d}} x\\ &=\tfrac {20}3-\tfrac 43=\tfrac {16}3\end{aligned}
[/latex]

gegeben, wobei wir für das innere Integral über [latex]y\in [-1,1][/latex] die Variable [latex]x[/latex] als Konstante betrachtet haben und die Rechnung

[latex]
\begin{aligned}[]\int _{-1}^1(2-x^2-y^2)\thinspace {\rm {d}} y&=2\cdot (2-x^2)-\int _{-1}^1y^2\thinspace {\rm {d}} y\\ &=4-2x^2-\left (\tfrac 131^3-\tfrac 13(-1)^3\right )\\ &=\tfrac {10}3-2x^2\end{aligned}
[/latex]

verwendet haben.

4.9.3 – Schwerpunkt eines Körpers

Wir wollen als weitere Anwendung von mehrdimensionalen Integralen den Schwerpunkt von Körpern [latex]K\subseteq \mathbb {R}^3[/latex] berechnen, wobei [latex]\rho :K\to \mathbb {R}_{\geq 0}[/latex] die vom Punkt abhängige Dichte des Körpers beschreibt. In Analogie zu Abschnitt 4.4.3 sind dann die Gesamtmasse [latex]m[/latex] des Körpers und die Koordinaten [latex](x_0,y_0,z_0)[/latex] des Schwerpunktes durch die Formeln

gegeben. Wir haben in diesen Definition auch eine Verallgemeinerung des mehrdimensionalen Integrals versteckt, da wir nicht immer annehmen wollen, dass [latex]K=Q[/latex] ein Quader ist. Im Sinne der Anwendung liegt es aber nahe anzunehmen, dass [latex]K[/latex] beschränkt ist. Dadurch existiert ein Quader wie in obiger Diskussion [latex]Q[/latex], der [latex]K[/latex] enthält. Nun setzen wir die Dichtefunktion [latex]\rho[/latex] von [latex]K[/latex] auf ganz [latex]Q[/latex] fort, indem wir [latex]\rho |_{Q\setminus K}=0[/latex] setzen. Dies macht Sinn, denn wir wollen ja Masse und Schwerpunkt des betrachteten Körpers berechnen und werden dabei davon ausgehen, dass ausserhalb des Körpers Vakuum herrscht. In diesem Sinne ist ein Integral über eine Funktion [latex]f[/latex] auf [latex]K[/latex] durch

definiert, wobei

Wir erwähnten bereits, dass man den Satz von Fubini für zwei-dimensionale Integrale auf zwei verschiedene Arten anwenden kann. Dies hilft manchmal um die Berechnung des Integrals zu beschleunigen, wie in der nächsten Übungsaufgabe.

4.9.4 – Polarkoordinaten

Gelegentlich ist es in gewissen Problemen nützlich, ein Integral in anderen Koordinaten als den Kartesischen Koordinaten [latex]x,y,z[/latex] zu berechnen. Beispielsweise kann eine gegebene Funktion oder ein Integrationsbereich über gewisse Symmetrien verfügen, welche man sich zu Nutzen machen möchte. Wir illustrieren dies hier an den Polarkoordinaten in der Ebene und im nächsten Unterabschnitt an den Kugelkoordinaten im dreidimensionalen Raum.

Jeder Punkt [latex](x,y) \in \mathbb {R}^2[/latex] lässt sich schreiben als

für den Radius [latex]r = \sqrt {x^2+y^2}[/latex] und einen Winkel [latex]\varphi \in [0,2\pi )[/latex].^[2] Die Koordinaten [latex](r,\varphi )[/latex] des Punktes [latex](x,y)[/latex] werden dabei die Polarkoordinaten genannt. Wir bemerken natürlich, dass die Funktionen [latex]\cos : \mathbb {R} \to \mathbb {R}[/latex] und [latex]\sin : \mathbb {R} \to \mathbb {R}[/latex] noch nicht formal definiert wurden; wir werden diesen Mangel später beheben. Für den Moment begnügen wir uns mit folgendem Bild:

Gegeben eine Riemann-integrierbare Funktion [latex]f:B_R(0) \to \mathbb {R}[/latex] möchten wir nun das Integral [latex]\int _{B_R(0)} f[/latex] als Integral bezüglich den neuen Koordinaten [latex](r,\varphi )[/latex] ausdrücken. Dabei können wir aber nicht einfach [latex]\, \mathrm {dvol}[/latex] wie in der Diskussion vom Satz von Fubini als [latex]\thinspace {\rm {d}}\varphi \thinspace {\rm {d}} r[/latex] interpretieren, denn dies würde die vorliegende geometrische Bedeutung der Polarkoordinaten komplett ignorieren. Stattdessen gilt
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:Rint-polarkoordsubst} \int _{B_R(0)} f\, \mathrm {dvol} = \int _0^R \int _0^{2\pi } f(r \cos \varphi , r \sin \varphi )r \thinspace {\rm {d}} \varphi \thinspace {\rm {d}} r,\end{aligned}
[/latex]
Der zusätzliche Faktor [latex]r[/latex] beschreibt das Volumen kleiner Quader in den Koordinaten [latex](r,\varphi )[/latex], wie wir im folgenden Bild erklären möchten.

Abbildung 4.5 – Wir betrachten ein «Rechteck» in Polarkoordinaten (kurz «Polarrechteck» ), das aus jenen Punkten besteht, die Distanz zwischen [latex]r_1[/latex] und [latex]r_2>r_1[/latex] von Null haben und Winkel zwischen [latex]\varphi _1[/latex] und [latex]\varphi _2 > \varphi _1[/latex] zur [latex]x[/latex]-Achse haben. Sind [latex]\triangle r = r_2-r_1[/latex] und [latex]\triangle \varphi = \varphi _2-\varphi _1[/latex] klein, so ist dieser Ausschnitt eines Kreisringes fast rechteckig mit «Seitenlängen» [latex]\triangle r[/latex] und etwa [latex]r \triangle \varphi[/latex]. Wir werden diese Idee im 2. Semester zu einem Beweis von (4.16) ausbauen.

4.9.5 – Kugelkoordinaten

Ähnlich zum zweidimensionalen Fall gibt es im dreidimensionalen Raum sphärische Koordinaten. Jeder Punkt [latex](x,y,z) \in \mathbb {R}^3[/latex] lässt sich schreiben als

für den Radius [latex]r = \sqrt {x^2+ y^2 +z^2}[/latex] und Winkel [latex]\varphi \in [0,2\pi )[/latex], [latex]\theta \in [0,\pi )[/latex] wie im folgenden Bild.

Abbildung 4.6 – Der Winkel [latex]\varphi[/latex] definiert (abgesehen von der Einheit) den Längengrad des Punktes [latex](x,y,z)[/latex] und [latex]\theta[/latex] entspricht dem Breitengrad. Formal konstruiert sich der Winkel [latex]\varphi[/latex] als den Winkel, den man mit Polarkoordinaten erhält, wenn man den Punkt [latex](x,y,z)[/latex] auf die [latex]xy[/latex]-Ebene projiziert. Weiter ist [latex]\theta[/latex] der Winkel zwischen [latex](x,y,z)[/latex] und der positiven [latex]z[/latex]-Achse.

Für eine Riemann-integrierbare Funktion

gilt dann
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:Rint-subst-kugelkoord} \int _{B_R(0)} f \, \mathrm {dvol} = \int _0^R \int _0^\pi \int _0^{2 \pi } f(r\sin \theta \cos \phi , r \sin \theta \sin \varphi , r \cos \theta ) r^2 \sin \theta \thinspace {\rm {d}} \varphi \thinspace {\rm {d}} \theta \thinspace {\rm {d}} r.\end{aligned}
[/latex]
Wie im vorherigen Abschnitt beschreibt der Faktor [latex]r^2 \sin \theta[/latex] das Verhältnis des Volumens eines sehr kleinen Quaders bezüglich den neuen Kugelkoordinaten [latex](r,\theta ,\varphi )[/latex] im Vergleich zu dem Produkt der Differenzen der einzelnen (Kugel-)Koordinaten.

Abbildung 4.7 – Wie schon beim Bild 4.5 möchten wir hier erklären, wie der Faktor [latex]r^2 \sin \theta[/latex] in der Integrationsformel 4.17 zustande kommt. Betrachtet man den durch Radien [latex]r_1<r_2[/latex] und Winkel [latex]\theta _1 < \theta _2[/latex], [latex]\varphi _1< \varphi _2[/latex] gegebenen «Kugelquader» , so ist dessen Volumen in etwa das Produkt seiner Seitenlängen, falls [latex]\triangle r = r_2-r_1[/latex], [latex]\triangle \theta = \theta _2-\theta _1[/latex], [latex]\triangle \varphi = \varphi _2-\varphi _1[/latex] klein sind. Die Seitenlänge in radialer Richtung ist [latex]\triangle r[/latex] (unabhängig von beiden Winkeln) und die Seitenlänge in Richtung von [latex]\theta[/latex] ist etwa [latex]r\triangle \theta[/latex] (unabhängig von [latex]\varphi[/latex]). Die Seitenlänge in Richtung [latex]\varphi[/latex] ist gegeben durch [latex]r\sin (\theta ) \triangle \varphi[/latex], da für festes [latex]r[/latex] und [latex]\theta[/latex] und sich verändernden [latex]\varphi[/latex] eine Bewegung auf einem Kreis mit Radius [latex]r\sin \theta[/latex] beschrieben wird. Daraus ergibt sich, das das gesuchte Volumen des Kugelquaders in etwa durch [latex]r^2\sin \theta \triangle \varphi \triangle \theta \triangle r[/latex] gegeben ist, was die Formel (4.17) geometrisch erklärt.

4.9.6 – Zusammenfassung

Wir hoffen, dass Sie in dieser Diskussion folgende Punkte erkennen konnten:

• Der Satz von Fubini erlaubt uns mehrdimensionale Integrale mit Hilfe von eindimensionalen Integralen zu berechnen. Dies liefert zusätzliche Motivation weitere Methoden zur Berechnung von eindimensionalen Integralen zu finden, da wir diese Methoden auch für die Berechnung von mehrdimensionalen Riemann-Integralen benötigen werden.
• Die geometrische Anschauung ist sehr hilfreich — fast schon notwendig — um die betrachteten Integralausdrücke zu finden. Vor allem bei Polar- und Kugelkoordinaten ist es wichtig den zusätzlichen «geometrischen Faktor» in die Integrale einzubauen.
• Das Wort «etwa» ist in diesem Abschnitt unüblich oft aufgetreten, da eine genauere Begründung oder sogar ein Beweis der Aussagen für uns erst im nächsten Semester möglich ist. In der Tat hatten wir bei der Besprechung sehr viel Vertrauen in die Welt, da wir des Öfteren kleine Fehler erlaubten, aber dann über alle Teilquader summierten, ohne uns Gedanken zu machen, ob denn die kleinen Fehler auch in der Summe (über sehr viele kleine Teilquader) noch klein bleiben.
• Wir hoffen, dass Sie dies auch als Motivation sehen, unsere Theorie weiterhin schrittweise und ausführlich aufzubauen. Damit wir eben nicht wie oben «Integral-Alchemie» betreiben sondern auch die mehrdimensionale Integralrechnung und die dafür nötigen Theorien vollständig verstehen. Zum Beispiel werden wir dann auch die geometrischen Faktoren der Polar- und Kugelkoordinaten vollständig erklären und für beliebige «glatte Koordinaten­systeme» berechnen können.

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