Wir werden in diesem Kapitel sogenannte Reihen also «Summen von allen Gliedern einer Folge» betrachten, was uns auch zu den Definitionen vieler weiterer Ihnen bekannten Funktionen führen wird.

6.1 – Reihen

Definition 6.1: Reihen

Sei $(a_k)_k$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir wollen die (unendliche) Reihe $\sum _{k=1}^\infty a_k$ betrachten, wobei $a_k$ für $k \in \mathbb {N}$ das $k$ -te Glied oder der $k$ -te Summand der Reihe genannt wird. Für $n \in \mathbb {N}$ ist die $n$ -te Partialsumme der Reihe $\sum _{k=1}^\infty a_k$ durch $s_n = \sum _{k=1}^n a_k$ gegeben. Wir nennen die Reihe $\sum _{k=1}^\infty a_k$ konvergent, falls der Grenzwert

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 a_{k} = lim n \to \infty n \sum k = 1 a_{k} = lim n \to \infty s_{n} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^\infty a_k = \lim _{n \to \infty }\sum _{k=1}^n a_k = \lim _{n \to \infty }s_n\end{aligned}$

in $\mathbb {C}$ existiert, wobei wir diesen dann als Wert der Reihe bezeichnen. Ansonsten nennen wir die Reihe divergent.

Eine kleine Warnung: Mit «Sei $\sum _{k=1}^\infty a_k$ eine Reihe …» meinen wir trotz der Notation nicht wirklich, dass $\sum _{k=1}^\infty a_k$ effektiv eine Zahl darstellt. Vor allem bevor wir wissen, ob die Reihe konvergent ist, ist $\sum _{k=1}^\infty a_k$ vielmehr als formales Objekt zu verstehen (gewissermassen als die Folge der Partialsummen), dessen Konvergenzeigenschaften wir untersuchen wollen.^[1] Der erste Summand der Reihe muss nicht immer dem Index $k=1$ zugeordnet sein und obige Definition ist in solchen Fällen entsprechend anzupassen.

Eine einfache aber auch sehr wichtige Eigenschaft konvergenter Reihen ist in folgender Proposition enthalten.

Proposition 6.2: Nullfolgen

Falls die Reihe $\sum _{k=1}^\infty a_k$ konvergiert, dann ist die Folge $(a_n)_n$ eine Nullfolge, das heisst $\lim _{n \to \infty }a_n =0$ .

Beweis

Nach Annahme haben die Partialsummen $s_n=\sum _{k=1}^na_k$ für $n\in \mathbb {N}$ einen Grenzwert $\lim _{n\to \infty }s_n=S=\sum _{k=1}^\infty a_k$ und damit gilt ebenso

\begin{matrix} lim n \to \infty a_{n} = lim n \to \infty (s_{n} - s_{n - 1}) = S - S = 0. \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_n-s_{n-1})=S-S=0.\end{aligned}$

∎

Beispiel 6.3: Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe $\sum _{n=0}^\infty q^n$ zu $q \in \mathbb {R}$ (oder $\mathbb {C}$ ) konvergiert genau dann, wenn [latex]|q|

\begin{matrix} \infty \sum k = 0 q^{k} = \frac{1}{1 - q} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=0}^\infty q^k = \frac {1}{1-q}.\end{aligned}$

In der Tat impliziert Konvergenz der Reihe mittels Proposition 6.2, dass [latex]|q|3.8 und der Konvergenz der geometrischen Folge in Beispiel 5.13, dass

\begin{matrix} n \sum k = 0 q^{k} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} \to \frac{1}{1 - q} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=0}^n q^k = \frac {1-q^{n+1}}{1-q} \to \frac {1}{1-q}\end{aligned}$

für $n \to \infty$ .

Beispiel 6.4: Harmonische Reihe

Die Umkehrung von Proposition 6.2 gilt nicht. Beispielsweise ist die harmonische Reihe $\sum _{k=1}^\infty \frac {1}{k}$ divergent.

Wir beweisen die Divergenz mit einer konkreten Abschätzung. Sei $n=2^\ell$ , dann erfüllt die Partialsumme der harmonischen Reihe für $n$ die Abschätzung

\begin{matrix} 2^{ℓ} \sum k = 1 \frac{1}{k} & = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{2^{ℓ - 1} + 1} + \dots + \frac{1}{2^{ℓ}} \geq 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}      = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}      = \frac{1}{2} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{ℓ}} + \dots + \frac{1}{2^{ℓ}}      = \frac{1}{2} = 1 + \frac{ℓ}{2} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^{2^\ell }\frac 1k&=1+\frac 12+\frac 13+\frac 14+\frac 15+\frac 16+\frac 17+\frac 18+\frac 19+\cdots +\frac 1{2^{\ell -1}+1}+\cdots +\frac 1{2^\ell }\\ &\geq 1+\frac 12+\underbrace {\frac 14+\frac 14}_{=\frac 12}+\underbrace {\frac 18+\frac 18+\frac 18+\frac 18}_{=\frac 12}+\frac 1{16}+\cdots +\underbrace {\frac 1{2^{\ell }}+\cdots +\frac 1{2^\ell }}_{=\frac 12}=1+\frac \ell 2.\end{aligned}$

Da $\ell \in \mathbb {N}$ beliebig war, erkennen wir, dass die Partialsummen nicht beschränkt sind, und daher ist die harmonische Reihe divergent.

Wir präsentieren noch eine kleine Anwendung der Divergenz der harmonischen Reihe aus dem Alltag.

Beispiel 6.5: Harmonischer Springturm

Wir wollen am Rande des Zürichsees einen Springturm bauen, der aus einzelnen quaderförmigen Bausteinen (von gleicher Form und gleichem Material) besteht und möglichst weit in den See hineinragen soll. Wie weit können wir kommen, ohne die Bausteine aneinander oder an das ebene, äusserst stabile, am Uferrand liegende Fundament zu befestigen? Wir wollen $n$ Bausteine von 2 Metern Länge verwenden und rechnen von oben weg jeweils aus, wie weit die Bausteine zueinander verschoben sein dürfen, ohne dass der Turm einstürzt. Für $n=1$ sehen wir in Figur 6.1, dass der Baustein $1m$ in den See ragen kann.

Abbildung 6.1 – Der Schwerpunkt $s$ des Bausteins muss oberhalb des Ufers liegen, denn sonst kippt der Stein in den See. Wir wollen im Folgenden immer den Grenzfall, wo der Schwerpunkt genau über dem Uferrand liegt, ebenso als stabil erklären.

Wir schieben jetzt einen Baustein von unten ein und wollen beide Bausteine soweit wie möglich in den See schieben.

Abbildung 6.2 – Bei beiden Steinen gibt es jetzt auch zwei Punkte, bei denen der Turm kippen und zumindest teilweise in den See stürzen könnte. Der obere Kipppunkt ist kein Problem, da wir beide Steine gemeinsam verschoben haben und somit den Schwerpunkt des oberen Steins genau am Rand des unteren liegt.

Um zu bestimmen, wie weit man beide Steine in Richtung See schieben darf, berechnen wir den Schwerpunkt der beiden Steine gemeinsam. Hierfür verwenden wir ein geeignetes Koordinatensystem; nämlich messen wir nach rechts vom Uferrand (also der linken Kante des unteren Steins) aus — siehe dazu das linke Bild in Figur 6.2. Der Schwerpunkt des oberen Steins hat in diesem Koordinatensystem die Koordinate $0$ , der untere die Koordinate $1$ und damit beide zusammen die Koordinate $\frac {1}{2} = \frac {0+1}{2}$ . Also können wir beide $\frac {1}{2}m$ in Richtung See verschieben und kommen somit total $1m+\frac {1}{2}m = \frac {3}{2}m$ in den See hinein.

Wir heben jetzt diese beiden an und fügen einen weiteren Stein so hinzu, dass die linke Kante genau unter dem Schwerpunkt der ersten zwei und damit am Uferrand zu liegen kommt. Wir müssen also wieder den gemeinsamen Schwerpunkt dieser drei Steine bestimmen. Die oberen beiden haben den gemeinsamen Schwerpunkt $0$ , der untere hat die Koordinate $1$ und somit haben alle drei zusammen den Schwerpunkt $\frac {1}{3} = \frac {2\cdot 0 + 1 \cdot 1}{3}$ . Wir verschieben also alle drei um $\frac {1}{3}m$ in Richtung See, was eine totale Verschiebung von $1m+\frac {1}{2}m + \frac {1}{3}m$ ergibt, und wiederholen den Vorgang so oft wie wir wollen. Da aber die Partialsummen der harmonischen Reihe unbeschränkt sind, können wir damit beliebig weit in den See hineinbauen. Eine interaktive Darstellung dieses Vorgehens findet man unter diesem Link und ein Video unter diesem.

Für die Praxis ist diese Methode kaum zu empfehlen, zum einen haben wir das Gewicht des Turmspringers ignoriert, und weiters haben wir nicht beschrieben, wie hoch der Turm wirklich wird, wenn wir auch nur $10m$ in den See hineinreichen wollen (da in diesem Fall $n=12367$ Bausteine notwendig sind).

Die folgenden drei Lemmata sind einfache Konsequenzen der Definition der Konvergenz von Reihen.

Lemma 6.6: Linearität

Seien $\sum _{k=1}^\infty a_k$ , $\sum _{k=1}^\infty b_k$ konvergente Reihen und $\alpha \in \mathbb {C}$ . Dann sind die Reihen $\sum _{k=1}^\infty (a_k+b_k)$ , $\sum _{k=1}^\infty (\alpha a_k)$ konvergent und es gilt

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 (a_{k} + b_{k}) = \infty \sum k = 1 a_{k} + \infty \sum k = 1 b_{k}, \infty \sum k = 1 (α a_{k}) = α \infty \sum k = 1 a_{k} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^\infty (a_k+b_k) = \sum _{k=1}^\infty a_k + \sum _{k=1}^\infty b_k, \quad \sum _{k=1}^\infty (\alpha a_k) = \alpha \sum _{k=1}^\infty a_k.\end{aligned}$

Also bilden konvergente Reihen einen Vektorraum über $\mathbb {C}$ und der Wert der Reihe stellt eine lineare Abbildung auf diesem Vektorraum nach $\mathbb {C}$ dar.

Übung 6.7

Beweisen Sie Lemma 6.6.

Lemma 6.8: Indexverschiebung für Reihen

Sei $\sum _{k=1}^\infty a_k$ eine Reihe. Für jedes $N \in \mathbb {N}$ ist die Reihe $\sum _{k=N}^\infty a_k = \sum _{\ell =1}^\infty a_{\ell +N-1}$ genau dann konvergent, wenn die Reihe $\sum _{k=1}^\infty a_k$ konvergent ist. In diesem Fall gilt

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 a_{k} = N - 1 \sum k = 1 a_{k} + \infty \sum k = N a_{k} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^\infty a_k = \sum _{k=1}^{N-1} a_k+\sum _{k=N}^\infty a_k.\end{aligned}$

Insbesondere zeigt Lemma 6.8, dass das Konvergenzverhalten einer Reihe sich nicht ändert, wenn endlich viele Glieder der Reihe weggelassen, hinzugefügt oder geändert werden. Wir werden diese zentrale Eigenschaft oft und deswegen mitunter auch implizit verwenden.

Beweis

Für $n \geq N$ gilt

\begin{matrix} n \sum k = 1 a_{k} = N - 1 \sum k = 1 a_{k} + n \sum k = N a_{k} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^n a_k = \sum _{k=1}^{N-1}a_k + \sum _{k=N}^n a_k.\end{aligned}$

Insbesondere konvergieren die Partialsummen von $\sum _{k=N}^\infty a_k$ genau dann, wenn die Partialsummen von $\sum _{k=1}^\infty a_k$ konvergieren und das Lemma folgt. ∎

Lemma 6.9: Zusammenfassen von benachbarten Gliedern

Sei $\sum _{n=1}^\infty a_n$ eine konvergente Reihe und $(n_k)_k$ eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen. Definiere $A_{1} = a_1 + \cdots + a_{n_1}$ und $A_k = a_{n_{k-1}+1}+\cdots +a_{n_k}$ für $k \geq 2$ . Dann gilt

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 A_{k} = \infty \sum n = 1 a_{n} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^\infty A_k = \sum _{n=1}^\infty a_n.\end{aligned}$

Beweis

Die $K$ -te Partialsumme von $\sum _{k=1}^\infty A_k$ ist

\begin{matrix} K \sum k = 1 A_{k} = (a_{1} + \dots + a_{n_{1}}) + (a_{n_{1} + 1} + \dots + a_{n_{2}}) + \dots + (a_{n_{K - 1} + 1} + \dots + a_{n_{K}}) = n_{K} \sum n = 1 a_{n} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^K A_k = (a_1 + \ldots + a_{n_1})+ (a_{n_1+1}+\ldots + a_{n_2})+ \ldots + (a_{n_{K-1}+1}+\ldots +a_{n_K})= \sum _{n=1}^{n_K} a_n.\end{aligned}$

Somit bilden die Partialsummen von $\sum _{k=1}^\infty A_k$ eine Teilfolge der konvergenten Folge der Partialsummen von $\sum _{n=1}^\infty a_n$ . ∎

Beispiel 6.10

Die Umkehrung von Lemma 6.9 gilt im Allgemeinen nicht. Beispielsweise ist die Reihe $\sum _{n=1}^\infty (-1)^n$ nach Proposition 6.2 divergent, aber die Reihe $\sum _{k=1}^\infty ((-1)^{2k-1}+(-1)^{2k})$ , die aus zusammengefügten Gliedern von $\sum _{n=1}^\infty (-1)^n$ besteht, ist konvergent, da jedes Glied Null ist.

6.1.1 – Reihen mit nicht-negativen Gliedern

Für Reihen mit nicht-negativen Gliedern gilt folgende fundamentale Eigenschaft.

Proposition 6.11: Monotone Partialsummen

Für eine Reihe $\sum _{k=1}^\infty a_k$ mit nicht-negativen Gliedern $a_k \geq 0$ für alle $k \in \mathbb {N}$ bilden die Partialsummen $s_n = \sum _{k=1}^n a_k$ eine monoton wachsende Folge. Falls diese Folge der Partialsummen beschränkt ist, dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^\infty a_k$ . Ansonsten gilt

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 a_{k} = lim n \to \infty s_{n} = \infty . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^\infty a_k = \lim _{n\to \infty }s_n = \infty .\end{aligned}$

Insbesondere können wir für die harmonische Reihe in Beispiel 6.4

\begin{matrix} \infty \sum n = 1 \frac{1}{n} = \infty \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{n=1}^\infty \frac {1}{n} = \infty\end{aligned}$

schreiben.

Beweis

Aus $a_{n+1}\geq 0$ folgt $s_{n+1}=s_n+a_{n+1}\geq s_n$ für alle $n\in \mathbb {N}$ . Falls die Partialsummen $\left \lbrace {s_n} \mid {n\in \mathbb {N}}\right \rbrace$ zusätzlich noch beschränkt sind, dann sind diese (und damit auch die Reihe) konvergent nach Satz 5.34. ∎

Korollar 6.12: Vergleichssatz

Seien $\sum _{k=1}^\infty a_k$ , $\sum _{k=1}^\infty b_k$ zwei Reihen mit der Eigenschaft $0 \leq a_k \leq b_k$ für alle $k\in \mathbb {N}$ . Dann gilt $\sum _{k=1}^\infty a_k\leq \sum _{k=1}^\infty b_k$ und insbesondere gelten die Implikationen

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 b_{k} konvergent & ⟹ \infty \sum k = 1 a_{k} konvergent \infty \sum k = 1 a_{k} divergent & ⟹ \infty \sum k = 1 b_{k} divergent . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^\infty b_k \text { konvergent } &\implies \sum _{k=1}^\infty a_k \text { konvergent }\\ \sum _{k=1}^\infty a_k \text { divergent } &\implies \sum _{k=1}^\infty b_k \text { divergent }.\end{aligned}$

Diese beiden Implikationen treffen auch dann zu, wenn $0 \leq a_n \leq b_n$ nur für alle hinreichend grossen $n\in \mathbb {N}$ gilt.

Man nennt unter den Annahmen des Korollars die Reihe $\sum _{k=1}^\infty b_k$ eine Majorante der Reihe $\sum _{k=1}^\infty a_k$ , und letztere auch eine Minorante der Reihe $\sum _{k=1}^\infty b_k$ . Daher spricht man auch von dem Majoranten- und dem Minorantenkriterium.

Beweis

Aus $a_k \leq b_k$ für alle $k\in \mathbb {N}$ folgt $\sum _{k=1}^n a_k\leq \sum _{k=1}^n b_k$ für alle $n\in \mathbb {N}$ . Somit gilt nach Monotonie der Folge der Partialsummen

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 a_{k} = sup {n \sum k = 1 a_{k} ∣ n \in N} \leq sup {n \sum k = 1 b_{k} ∣ n \in N} = \infty \sum k = 1 b_{k} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^\infty a_k = \sup \left \lbrace {\sum _{k=1}^n a_k} \mid {n\in \mathbb {N}}\right \rbrace \leq \sup \left \lbrace {\sum _{k=1}^n b_k} \mid {n\in \mathbb {N}}\right \rbrace = \sum _{k=1}^\infty b_k.\end{aligned}$

Die letzte Aussage der Proposition ist nun eine Konsequenz von Lemma 6.8 (wieso?). ∎

Übung 6.13

Zeigen Sie, dass die Annahme in Korollar 6.12, dass die Reihen $\sum _{k=1}^\infty a_k$ , $\sum _{k=1}^\infty b_k$ nicht-negative Glieder haben, notwendig ist.

Beispiel 6.14: Reihe der Kehrwerte der Quadratzahlen

Die Reihe $\sum _{k=1}^\infty \frac {1}{k^2}$ ist konvergent. Tatsächlich gilt $a_k = \frac {1}{k^2}\leq \frac {1}{k(k-1)} =b_k$ für $k \geq 2$ und die Reihe $\sum _{k=1}^\infty b_k$ ist konvergent, da deren $n$ -te Partialsumme unter Auflösen einer Teleskopsumme (siehe Abschnitt 3.1.1) durch

\begin{matrix} n \sum k = 2 \frac{1}{k (k - 1)} = n \sum k = 2 (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}) = 1 - \frac{1}{n} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=2}^n \frac {1}{k(k-1)} = \sum _{k=2}^n \left (\frac {1}{k-1}-\frac {1}{k}\right ) = 1- \frac {1}{n}\end{aligned}$

gegeben ist.

Beispiel 6.15: Reihenkonvergenz und Folgenasymptotik

Wir betrachten die Reihe

\begin{matrix} \infty \sum n = 1 \frac{2 n - 10}{n^{3} - 10 n + 100} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{n=1}^\infty \frac {2n-10}{n^3-10n+100}\end{aligned}$

und wollen zeigen, dass diese konvergiert. Für dies bemerken wir, dass $a_n=\frac {2n-1}{n^3-10n+100}$ im Wesentlichen sich wie $\frac 1{n^2}$ verhalten sollte. Genauer formuliert gilt $a_n=O(\frac {1}{n^2})$ für $n\to \infty$ (siehe Abschnitt 5.6) da

\begin{matrix} lim n \to \infty \frac{a_{n}}{1 / n^{2}} = lim n \to \infty \frac{n^{2} (2 n - 10)}{n^{3} - 10 n + 100} = 2. \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\lim _{n\to \infty }\frac {a_n}{1/n^2}=\lim _{n\to \infty }\frac {n^2(2n-10)}{n^3-10n+100}=2.\end{aligned}$

Daher gibt es ein $M>0$ mit $a_n\leq \frac {M}{n^2}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ (wieso?) und ein $N\in \mathbb {N}$ mit $0\leq a_n$ für alle $n\geq N$ . Verwenden wir nun Korollar 6.12 und Beispiel 6.14 ergibt sich die Konvergenz von $\sum _{n=1}^\infty \frac {2n-10}{n^3-10n+100}$ .

Proposition 6.16: Verdichtung

Eine Reihe $\sum _{k=1}^\infty a_k$ mit nicht-negativen, monoton abnehmenden Gliedern $a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq 0$ ist genau dann konvergent, wenn $\sum _{k=1}^\infty 2^k a_{2^k}$ konvergent ist.

Beweis

Es gelten auf Grund der angenommenen Monotonie von $(a_n)_n$ die Ungleichungen

\begin{matrix} a_{2} & \leq a_{2} \leq a_{1} 2 a_{4} & \leq a_{3} + a_{4} \leq 2 a_{2} 2^{2} a_{8} & \leq a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8} \leq 2^{2} a_{4} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]a_2 &\leq a_2 \leq a_1\\ 2a_4 &\leq a_3+a_4 \leq 2a_2\\ 2^2a_8 &\leq a_5 + a_6 + a_7 + a_8 \leq 2^2a_4\end{aligned}$

und allgemeiner

\begin{matrix} 2^{n} a_{2^{n + 1}} & \leq a_{2^{n} + 1} + \dots + a_{2^{n + 1}} \leq 2^{n} a_{2^{n}} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]2^n a_{2^{n+1}} &\leq a_{2^{n}+1} + \ldots +a_{2^{n+1}}\leq 2^n a_{2^{n}}\end{aligned}$

für $n\in \mathbb {N}$ . Für die Summen ergibt sich daher die Ungleichung

\begin{matrix} n + 1 \sum k = 1 2^{k - 1} a_{2^{k}} \leq 2^{n + 1} \sum ℓ = 2 a_{ℓ} \leq n \sum k = 0 2^{k} a_{2^{k}} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^{n+1}2^{k-1}a_{2^k} \leq \sum _{\ell =2}^{2^{n+1}}a_\ell \leq \sum _{k=0}^{n}2^k a_{2^k}\end{aligned}$

und wir erhalten die Proposition durch den Grenzübergang $n \to \infty$ und Korollar 6.12. ∎

Beispiel 6.17: $p$ -Test

Die Reihe $\sum _{n=1}^\infty \frac {1}{n^p}$ für $p \in \mathbb {R}$ konvergiert genau dann, wenn $p > 1$ . Für $p \leq 0$ ist $\frac {1}{n^p} \geq 1$ für alle $n \in \mathbb {N}$ und die Reihe nach Proposition 6.2 somit divergent. Für $p \leq 1$ gilt $\frac {1}{n}\leq \frac {1}{n^p}$ für alle $n \in \mathbb {N}$ und die Reihe divergiert nach Korollar 6.12, da die harmonische Reihe divergiert. Wir wenden nun Proposition 6.16 an. Für $p \geq 0$ ist $\big (\frac {1}{n^p}\big )_n$ eine monoton abnehmende Folge und wir erhalten aus Proposition 6.16, dass $\sum _{n=1}^\infty \frac {1}{n^p}$ genau dann konvergiert, wenn

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 2^{k} \frac{1}{(2^{k})^{p}} = \infty \sum k = 1 (2^{1 - p})^{k} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^\infty 2^k \frac {1}{(2^k)^p} = \sum _{k=1}^\infty (2^{1-p})^k\end{aligned}$

konvergiert. Diese geometrische Reihe konvergiert aber nach Beispiel 6.3 genau dann, wenn $p > 1$ ist.

Übung 6.18

Zeigen Sie für $p \in \mathbb {R}$ , dass die Reihe $\sum _{n=2}^\infty \frac {1}{n \log (n)^p}$ genau dann konvergiert, wenn $p>1$ ist.
Ist die Reihe $\sum _{n=3}^\infty \frac {1}{n \log (n)\log (\log (n))}$ konvergent oder divergent?

Übung 6.19: q-äre Darstellungen

Sei $q \in \mathbb {N}$ , $q>1$ . In Übung 3.7 haben wir gezeigt, dass jede ganze Zahl eine Ziffernentwicklung zur Basis $q$ besitzt. In dieser Übung wollen wir die analoge Aussage für reelle Zahlen formulieren und beweisen. Sei $x \in \mathbb {R}$ . Wegen Übung 3.7 wollen wir sogar annehmen, dass $x \in [0,1)$ . Zeigen Sie, dass eine Folge von Ziffern $(\alpha _k)_k$ mit $\alpha _k \in \left \lbrace {1,\ldots ,q-1} \right \rbrace$ für alle $k \in \mathbb {N}$ existiert, so dass die Reihe $\sum _{k=1}^\infty \alpha _k q^k$ konvergiert und $x$ darstellt im Sinne von

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 α_{k} q^{- k} = x . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^\infty \alpha _k q^{-k} = x.\end{aligned}$

Sind die Ziffern $(\alpha _k)_k$ zu $x\in \mathbb {R}$ wie oben eindeutig bestimmt?

Hinweis.

Sei $x_1 = x$ und $\alpha _1 = \lfloor {qx_1} \rfloor$ . Dann gilt [latex]|x- \frac {\alpha _1}{q}|

\begin{aligned}[]\bigg |x- \sum _{\ell =1}^k \frac {\alpha _\ell }{q^\ell } \bigg |

$\begin{aligned}[]\bigg |x- \sum _{\ell =1}^k \frac {\alpha _\ell }{q^\ell } \bigg |$

für alle $k$ .

6.1.2 – Bedingte Konvergenz

Wir sagen, dass eine Reihe $\sum _{n=1}^\infty a_n$ mit komplexen Summanden absolut konvergiert, falls die Reihe $\sum _{n=1}^\infty |a_n|$ konvergiert. Die Reihe $\sum _{n=1}^\infty a_n$ ist bedingt konvergent, falls sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.

Wie wir im nächsten Abschnitt besprechen werden, haben absolut konvergente Reihen, im Gegensatz zu bedingt konvergenten Folgen, sehr robuste Eigenschaften. Inwiefern letztere über gewisse (widersprüchlich erscheinende) Eigenheiten verfügen, wollen wir in diesem Teilabschnitt erklären.

Beispiel 6.20: Alternierende harmonische Reihe

Wir wollen zuerst zeigen, dass die alternierende harmonische Reihe

\begin{matrix} \infty \sum n = 1 \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac {1}{2} + \frac 13 - \frac 14 + \frac 15 + \ldots\end{aligned}$

bedingt konvergiert. Nach Beispiel 6.4 divergiert die harmonische Reihe

\begin{matrix} \infty \sum n = 1 \frac{1}{n} = \infty \sum n = 1 \frac{| (- 1)^{n + 1} |}{n} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{n=1}^\infty \frac {1}{n} = \sum _{n=1}^\infty \frac {|(-1)^{n+1}|}{n}\end{aligned}$

(nach unendlich). Wir müssen also nur noch Konvergenz der alternierenden Reihe beweisen. Wir betrachten zuerst zu $n\in \mathbb {N}$ die $2n$ -te Partialsumme

\begin{matrix} s_{2 n} & = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n}) = n \sum k = 1 (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k}) = n \sum k = 1 \frac{1}{2 k (2 k - 1)} \leq n \sum k = 1 \frac{1}{k^{2}} \leq \infty \sum k = 1 \frac{1}{k^{2}} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]s_{2n} &= \left (1-\frac {1}{2}\right )+\left (\frac {1}{3}-\frac 14\right )+ \ldots + \left (\frac {1}{2n-1}-\frac {1}{2n}\right ) = \sum _{k=1}^n\left ( \frac {1}{2k-1} - \frac {1}{2k} \right )\\ &=\sum _{k=1}^n \frac {1}{2k(2k-1)} \leq \sum _{k=1}^n \frac {1}{k^2}\leq \sum _{k=1}^\infty \frac {1}{k^2}\end{aligned}$

Die Folge $(s_{2n})_n$ ist somit monoton wachsend und beschränkt (wegen Beispiel 6.14) und konvergiert damit. Wegen $s_{2n-1} = s_{2n}-\frac {1}{2n}$ konvergiert aber ebenso die Folge $(s_{2n-1})_n$ und gegen den gleichen Limes.^[2] Also konvergiert die Reihe $\sum _{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n+1}}{n}$ (wieso?). Des Weiteren folgt $\sum _{n=1}\frac {(-1)^{n+1}}n\geq \frac 12$ , da nach obigem Argument die Partialsumme $s_{2n}$ als Summe von positiven Summanden geschrieben werden kann, wovon der erste Term gleich $\frac 12$ ist.

Folgender Satz mag zuerst überraschend sein und zeigt, dass man mit bedingter Konvergenz vorsichtig umgehen muss, da diese sehr zerbrechliche Eigenschaften besitzt.

Satz 6.21: Riemannscher Umordnungssatz

Sei $\sum _{n=1}^\infty a_n$ eine bedingt konvergente Reihe mit reellen Gliedern. Dann gibt es zu jedem $A \in \mathbb {R}$ eine bijektive Funktion (eine Umordnung) $\varphi : \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ , so dass die Reihe $\sum _{n=1}^\infty a_{\varphi (n)}$ bedingt konvergiert und $\sum _{n=1}^\infty a_{\varphi (n)} = A$ ist. Weiters gibt es eine Umordnung der Reihe, die divergiert.

Beispiel 6.22: Umordnen der alternierenden harmonischen Reihe

Wir ordnen die alternierende harmonische Reihe um und erhalten

\begin{matrix} (1 - \frac{1}{2}) - \frac{1}{4} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{8} + (\frac{1}{5} - \frac{1}{10}) - \frac{1}{12} + \dots \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\left (1- \frac {1}{2}\right ) - \frac 14 + \left (\frac {1}{3} -\frac 16\right ) -\frac 18 + \left (\frac 15 - \frac {1}{10}\right ) - \frac {1}{12} + \ldots\end{aligned}$

Wir bemerken, dass die so erhaltene Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe konvergiert und den halben Wert der alternierenden harmonischen Reihe annimmt. Hierbei sind die Klammern als Hilfestellung gedacht, denn rechnet man die Klammern aus, so erhält man die Reihe in der jeder Summand genau die Hälfte der Summanden der alternierenden harmonischen Reihe ausmacht. Lässt man hingegen die Klammern weg, so erhält man die umgeordnete Reihe der alternierenden harmonischen Reihe. Des Weiteren weiss man für diese Reihe, dass die Teilfolge $(s_{3n})_n$ der Partialsummen konvergiert. Da aber $s_{3n+1}-s_{3n}$ und $s_{3n+2}-s_{3n}$ Nullfolgen sind, können wir daraus schliessen, dass die umgeordnete Reihe konvergiert und den halben Wert der ursprünglichen Reihe hat.

Da dieser Satz eher negativer Natur ist, begnügen wir uns mit einer Beweisskizze und verweisen auf ^[3]. Sei also $\sum _{n=1}^\infty a_n$ eine bedingt konvergente Reihe (wobei es helfen könnte, an $\sum _{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n+1}}{n}$ zu denken). Dann gilt $a_n \to 0$ für $n \to \infty$ und $\sum _{n=1}^\infty |a_n| = \infty$ nach Annahme. Wir teilen die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ in die zwei Mengen

[latex]
\begin{aligned}[]P = \left \lbrace {n \in \mathbb {N}} \mid {a_n \geq 0}\right \rbrace ,\quad N = \left \lbrace {n \in \mathbb {N}} \mid {a_n [/latex]

auf. Dann müssen $P$ und $N$ beide unendliche Kardinalität haben, denn wenn zum Beispiel $N$ endlich wäre, dann würden sich $\sum _{n=1}^\infty a_n$ und $\sum _{n=1}^\infty |a_n|$ nur um endlich viele Terme unterscheiden. (Für $a_n = \frac {(-1)^{n+1}}{n}$ wäre $P = 2\mathbb {N}-1$ und $N = 2\mathbb {N}$ .) Wir zählen die Elemente in $P$ und $Q$ so auf, dass

[latex]
\begin{aligned}[]P = \left \lbrace {p_1 [/latex]

und

[latex]
\begin{aligned}[]N = \left \lbrace {n_1 [/latex]

Weiters ist $\sum _{k=1}^\infty a_{p_k} = +\infty$ und $\sum _{k=1}^\infty (-a_{n_k}) = +\infty$ . Denn falls beide Summen endlich wären, dann wäre [latex]\sum _{n=1}^\infty |a_n|

Für ein gegebenes $A \in \mathbb {R}$ konstruieren wir die bijektive Abbildung $\varphi : \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ gemeinsam mit der Reihe $\sum _{k=1}^\infty a_{\varphi (k)}$ auf folgende Weise.

Wir beginnen die Reihe mit den ersten nicht-negativen Gliedern

\begin{matrix} a_{p_{1}} + \dots + a_{p_{k_{1}}} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]a_{p_1} +\ldots + a_{p_{k_1}}\end{aligned}$

und wählen $k_1 \geq 1$ minimal, so dass die obige Summe grösser als $A$ ist (was wegen $\sum _{k=1}^\infty a_{p_k} = +\infty$ möglich ist). Anschliessend addieren wir die ersten negativen Glieder und wählen $\ell _1\geq 1$ , so dass die Summe

\begin{matrix} a_{p_{1}} + \dots + a_{p_{k_{1}}} + a_{n_{1}} + \dots + a_{n_{ℓ_{1}}} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]a_{p_1} +\ldots + a_{p_{k_1}} + a_{n_1}+ \ldots + a_{n_{\ell _1}}\end{aligned}$

kleiner als $A$ ist. Als nächstes addieren wir, beginnend mit $p_{k_1+1}$ , nicht-negative Terme, um die Summe grösser als $A$ werden zu lassen. Wir führen dies fort und weil $\sum _{k=1}^\infty a_{p_k} = +\infty$ und $\sum _{k=1}^\infty (-a_{n_k}) = +\infty$ können wir immer wieder nach endlich vielen Summanden von der einen Seite von $A$ zu der anderen Seite von $A$ wechseln. Da noch dazu $a_n \to 0$ für $n \to \infty$ gilt, werden die einzelnen Schritte über $A$ hinweg immer kleiner und wir können auf diese Art $A$ als Grenzwert der umgeordneten Folge realisieren.

Übung 6.23

Füllen Sie die unterlassenen Schritte am Ende der obigen Beweisskizze ein, um einen vollständigen Beweis von Satz 6.21 zu erhalten.

Falls Sie jetzt denken, dass der Riemann’sche Umordnungssatz (Satz 6.21) einen Widerspruch in der Mathematik darstellt, dann täuschen Sie sich. Denn wir haben eine klare Definition für den Wert einer Reihe in Definition 6.1 ausformuliert. Wir haben auch besprochen, wie sich das Zusammenfassen von benachbarten (!) Gliedern einer Reihe für diese Definition auswirkt (siehe Lemma 6.9) — hierbei geht man von der ursprünglichen Folge der Partialsummen zu einer Teilfolge der Partialsummen über und weder das Konvergenzverhalten noch der Wert ändern sich hier. Was hingegen passiert mit der Folge der Partialsummen, wenn sie die Summanden mittels einer beliebigen Bijektion $\varphi :\mathbb {N}\to \mathbb {N}$ permutieren? Dies ist unmöglich zu beantworten, denn es gibt im Allgemeinen überhaupt keinen Zusammenhang zwischen der Folge $\sum _{k=1}^na_k$ der Partialsummen der ursprünglichen Reihe $\sum _{k=1}^\infty a_k$ und der Folge $\sum _{k=1}^na_{\varphi (k)}$ der Partialsummen der permutierten Reihe $\sum _{k=1}^\infty a_{\varphi (k)}$ (da der Riemann’sche Umordnungssatz ja zeigt, dass wir das Konvergenzverhalten auf diese Weise komplett ändern können).

Wir sind immer mittels formaler Definitionen und Beweise vorgegangen und versuchen natürlich auch ein intuitives Verständnis für die so entstehenden Theorien zu entwickeln, doch wenn es (wie zum Beispiel hier) zu einer Diskrepanz zwischen unseren Sätzen und unserer Anschauung kommt, dann müssen wir daran arbeiten unsere Anschauung den gegebenen Fakten (also Definitionen und Sätzen) anzupassen. Für den Fall einer bedingt konvergenten Reihe müssen wir uns daran erinnern, dass der Wert der Reihe nicht als die Summe aller Summanden definiert wurde — wie sollen wir denn unendlich viele Additionen gleichzeitig durchführen? Stattdessen wurde der Wert der Reihe als der Grenzwert der Partialsummen definiert und für diese Definition müssen wir die Reihenfolge der Summanden kennen. Ändert sich die Reihenfolge, dann könnte sich dies auf die Definition auswirken (was bei bedingt konvergenten Reihen auf Grund von Satz 6.21 in der Tat der Fall ist).

Bedingt konvergente Reihen sind für uns am Rande interessant, da wir zum Beispiel zeigen werden, dass die alternierende harmonische Reihe den Wert $\log 2$ hat. Doch die weitaus meisten Reihen, die wir betrachten werden, werden absolut konvergent sein und robusteres Verhalten zeigen.

Applet 6.24: Drei Reihen

Wir stellen in diesem Applet die harmonische Reihe, die alternierende harmonische Reihe und die Reihe mit den reziproken Quadratzahlen gegenüber und sehen drei unterschiedliche Verhaltensweisen. Erklären Sie diese Unterschiede. Wie nennen wir diese Verhaltensweisen?

(*)

Wir schreiben im Fall der alternierenden harmonischen Reihe $s_n^+$ und $s_n^-$ für die Summe der positiven beziehungsweise negativen Summanden in der Partialsumme $s_n=s_n^++s_n^-$ für alle $n\in \mathbb {N}$ .

6.1.3 – Alternierende Reihen

Das in Beispiel 6.20 aufgetretene Phänomen tritt auch in folgendem Resultat auf (welches wegen der sehr einfachen Abschätzung auch für absolut konvergente Reihen von Interesse sein wird). Für eine Folge $(a_n)_n$ positiver Zahlen bezeichnen wir die Reihe $\sum _{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n$ als eine alternierende Reihe.

Proposition 6.25: Leibniz-Kriterium

Gegeben sei eine monoton fallende Folge $(a_n)_n$ positiver Zahlen, die gegen Null konvergiert. Dann konvergiert die zugehörige alternierende Reihe $\sum _{k=1}^\infty (-1)^{k+1} a_k$ und es gilt, dass
$\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-leibniz fehler} \bigg | \sum _{k=1}^\ell (-1)^{k+1} a_k - \sum _{k=1}^\infty (-1)^{k+1} a_k \bigg | \leq a_{\ell +1}.\end{aligned}$
für alle $\ell \in \mathbb {N}$ . Weiters ist

\begin{matrix} 2 n \sum k = 1 (- 1)^{k + 1} a_{k} \leq \infty \sum k = 1 (- 1)^{k + 1} a_{k} \leq 2 n - 1 \sum k = 1 (- 1)^{k + 1} a_{k} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} a_k \leq \sum _{k=1}^\infty (-1)^{k+1} a_k\leq \sum _{k=1}^{2n-1} (-1)^{k+1} a_k\end{aligned}$

für alle $n\in \mathbb {N}$ .

Abschätzungen des Typs (6.1) werden meist auch als Fehlerabschätzungen oder Fehlerschranken bezeichnet. Intuitiv beschreibt man damit, wie gross der Fehler höchstens ist, wenn man anstatt des Wertes der Reihe nur die Summe bis zu einem gewissen Glied (als Approximation gewissermassen) betrachtet.

Beweis

Ähnlich wie in Beispiel 6.20 spielen wir die Folge der Partialsummen zu geraden und ungeraden Indices gegeneinander aus. Für $n \in \mathbb {N}$ sei $s_n = \sum _{k=1}^n (-1)^{k+1}a_k$ . Es gilt

\begin{matrix} s_{2 n + 1} = s_{2 n - 1} - a_{2 n} + a_{2 n + 1} \leq s_{2 n - 1}, s_{2 n + 2} = s_{2 n} + a_{2 n + 1} - a_{2 n + 2} \geq s_{2 n} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]s_{2n+1}=s_{2n-1} -a_{2n} +a_{2n+1} \leq s_{2n-1},\quad s_{2n+2}=s_{2n}+a_{2n+1} -a_{2n+2}\geq s_{2n}\end{aligned}$

für alle $n\in \mathbb {N}$ . Insbesondere ist die Folge $(s_{2n-1})_n$ monoton fallend und die Folge $(s_{2n})_n$ ist monoton wachsend. Wegen $s_{2n} = s_{2n-1} - a_{2n}$ und der Monotonieeigenschaften gilt

\begin{matrix} s_{2} \leq s_{2 n} \leq s_{2 n - 1} \leq s_{1} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]s_2\leq s_{2n} \leq s_{2n-1}\leq s_1\end{aligned}$

für alle $n\in \mathbb {N}$ . Somit ist $(s_{2n})_n$ von oben beschränkt und damit konvergent. Analog ist auch $(s_{2n-1})_n$ von unten beschränkt und konvergent. Wir fassen die erhaltenen Erkenntnisse in folgendem Bild zusammen.

Da aber $(a_n)_n$ gegen Null konvergiert, haben die Folgen $(s_{2n})_n$ und $(s_{2n-1})_n$ wegen $s_{2n} = s_{2n-1} - a_{2n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ den gleichen Grenzwert. Insbesondere konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^\infty (-1)^{k+1} a_k = S \in \mathbb {R}$ (wieso?).

Wir zeigen nun die Fehlerabschätzung und die behauptete Ungleichung. Für $n\in \mathbb {N}$ gilt auf Grund der besprochenen Monotonieeigenschaften, dass

\begin{matrix} s_{2 n} \leq sup {s_{2 m} ∣ m \in N} = S = inf {s_{2 m - 1} ∣ m \in N} \leq s_{2 n + 1} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]s_{2n}\leq \sup \left \lbrace {s_{2m}} \mid {m\in \mathbb {N}}\right \rbrace =S=\inf \left \lbrace {s_{2m-1}} \mid {m\in \mathbb {N}}\right \rbrace \leq s_{2n+1}.\end{aligned}$

Für $\ell =2n$ ist aber $s_{2n+1}-s_{2n}=a_{\ell +1}$ und wir erhalten (6.1). Für $\ell =2n-1$ ungerade, gilt ebenso $s_{2n}=s_{2n-1}-a_{2n}\leq S\leq s_{2n-1}$ woraus sich (6.1) ergibt. Dies beweist die Fehlerabschätzung sowohl für einen geraden als auch für einen ungeraden Index und damit die Proposition. ∎

6.1.4 – Das Cauchy-Kriterium

Der nächste Satz übernimmt den Grossteil unserer Vorarbeiten über reellwertige und komplexwertige Folgen und gibt uns für den weiteren Aufbau der Theorie ein sehr wichtiges und genaues Kriterium für die Konvergenz von Reihen.

Satz 6.26: Cauchy-Kriterium

Die Reihe $\sum _{k=1}^\infty a_k$ konvergiert genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $N \in \mathbb {N}$ gibt, so dass für $n \geq m \geq N$

\begin{aligned}[]\bigg | \sum _{k=m}^n a_k \bigg |

$\begin{aligned}[]\bigg | \sum _{k=m}^n a_k \bigg |$

erfüllt ist.

Beweis

Dies folgt aus dem Cauchy-Kriterium für Folgen (Satz 5.48) angewendet auf die Folge der Partialsummen $s_n = \sum _{k=1}^n a_k$ , da für $n \geq m$

\begin{matrix} s_{n} - s_{m - 1} = n \sum k = 1 a_{k} - m - 1 \sum k = 1 a_{k} = n \sum k = m a_{k} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]s_n - s_{m-1} = \sum _{k=1}^na_k - \sum _{k=1}^{m-1}a_k = \sum _{k=m}^na_k.\end{aligned}$

∎

Beispiel 6.27: Harmonische Reihe

Um die Divergenz der harmonischen Reihe zu sehen, können wir auch das Cauchy-Kriterium verwenden. Wir setzen dazu $\varepsilon = \frac 12$ . Für ein beliebiges $N \in \mathbb {N}$ gilt dann

\begin{matrix} 2 N \sum k = N \frac{1}{k} = \frac{1}{N} + \frac{1}{N + 1} + \dots + \frac{1}{2 N} \geq \frac{N + 1}{2 N} > \frac{1}{2}, \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=N}^{2N} \frac {1}{k} = \frac {1}{N} + \frac {1}{N+1}+\ldots + \frac {1}{2N} \geq \frac {N+1}{2N} > \frac {1}{2},\end{aligned}$

was wegen dem Cauchy-Kriterium für Reihen (Satz 6.26) die Divergenz impliziert.

6.2 – Absolute Konvergenz

In diesem Abschnitt wollen wir uns vor allem mit absolut konvergenten Reihen auseinandersetzen und einige Konvergenzkriterien beweisen. Auch möchten wir zeigen, dass absolut konvergente Reihen im Gegensatz zu bedingt konvergenten Reihen stabilere Eigenschaften haben.

Proposition 6.28: Absolute Konvergenz

Eine absolut konvergente Reihe $\sum _{n=1}^\infty a_n$ ist auch konvergent und es gilt die verallgemeinerte Dreiecksungleichung

\begin{matrix} ∣ ∣ ∣ \infty \sum n = 1 a_{n} ∣ ∣ ∣ \leq \infty \sum n = 1 | a_{n} | . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\bigg |\sum _{n=1}^\infty a_n\bigg | \leq \sum _{n=1}^\infty |a_n|.\end{aligned}$

Beweis

Der erste Teil folgt unmittelbar aus zweimaliger Anwendung des Cauchy-Kriteriums für Reihen (Satz 6.26). Da die Reihe $\sum _{n=1}^\infty |a_n|$ konvergiert, gibt es für $\varepsilon > 0$ nach dem Cauchy-Kriterium ein $N \in \mathbb {N}$ , so dass für $n \geq m \geq N$ die Abschätzung

\begin{aligned}[]\sum _{k=m}^n |a_k|

$\begin{aligned}[]\sum _{k=m}^n |a_k|$

gilt. Daraus folgt

\begin{aligned}[]\bigg |\sum _{k=m}^n a_k\bigg | \leq \sum _{k=m}^n |a_k|

$\begin{aligned}[]\bigg |\sum _{k=m}^n a_k\bigg | \leq \sum _{k=m}^n |a_k|$

mit der Dreiecksungleichung. Da $\varepsilon >0$ beliebig war, beweist dies nach dem Cauchy-Kriterium die Konvergenz der Reihe $\sum _{n=1}^\infty a_n$ . Der zweite Teil folgt nun aus der Ungleichung

\begin{matrix} ∣ ∣ ∣ n \sum k = 1 a_{k} ∣ ∣ ∣ \leq n \sum k = 1 | a_{k} | \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\bigg |\sum _{k=1}^n a_k\bigg | \leq \sum _{k=1}^n |a_k|\end{aligned}$

für alle $n \in \mathbb {N}$ und dem Grenzübergang für $n \to \infty$ . ∎

6.2.1 – Hinreichende Kriterien für absolute Konvergenz

Falls sich die Glieder einer Reihe im Absolutbetrag durch die Glieder einer konvergenten Reihe abschätzen lassen, so ist die Reihe konvergent, wie wir in folgendem Korollar des Vergleichssatzes (Korollar 6.12) zeigen.

Korollar 6.29: Majorantenkriterium von Weierstrass

Sei $(a_n)_n$ eine komplexe und $(b_n)_n$ eine reelle Folge mit $|a_n|\leq b_n$ für alle hinreichend grossen $n \in \mathbb {N}$ . Falls $\sum _{n=1}^\infty b_n$ konvergiert, dann ist $\sum _{n=1}^\infty a_n$ absolut konvergent und daher auch konvergent.

Beweis

Nach dem Vergleichssatz (Korollar 6.12) ist $\sum _{n=1}^\infty a_n$ absolut konvergent und die Konvergenz folgt nun aus Proposition 6.28. ∎

Wir möchten nun zwei Korollare des Majorantenkriteriums diskutieren.

Korollar 6.30: Cauchy-Wurzelkriterium

Sei $(a_n)_n$ eine Folge komplexer Zahlen und

\begin{matrix} α = limsup n \to \infty \sqrt[n]{| a_{n} |} \in R \cup {\infty} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\alpha = \limsup _{n \to \infty }\sqrt [n]{|a_n|} \in \mathbb {R} \cup \left \lbrace {\infty } \right \rbrace .\end{aligned}$

Dann gilt

\begin{matrix} α 1 & ⟹ \infty \sum n = 1 a_{n} ist divergent und (a_{n})_{n} ist keine Nullfolge . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\alpha {\; \; } 1 &\implies \sum _{n=1}^\infty a_n \text { ist divergent und } (a_n)_n \text { ist keine Nullfolge}.\end{aligned}$

Sehr schwammig ausgedrückt lässt sich eine Folge $(a_n)_n$ für $\alpha 6.30 bis auf endlich viele Glieder und einen kleinen Fehler [latex]\varepsilon >0$ von oben durch die geometrische Folge $(\alpha +\varepsilon )^n$ abschätzen. Somit kann man Korollar 6.29 anwenden. Nun aber genauer.

Beweis

Angenommen [latex]\alpha

\begin{aligned}[]\sup _{k \geq n}\sqrt [k]{|a_k|}

$\begin{aligned}[]\sup _{k \geq n}\sqrt [k]{|a_k|}$

und somit [latex]|a_k|6.29) und der geometrischen Reihe in Beispiel 6.3.

Falls $\alpha > 1$ gilt, gibt es nach Satz 5.44 eine Teilfolge $(a_{n_k})_k$ mit $\sqrt [n_k]{|a_{n_k}|}>1$ für alle $k$ . Daraus folgt aber $|a_{n_k}|>1$ . Insbesondere ist $(a_n)_n$ keine Nullfolge und $\sum _{n=1}^\infty a_n$ divergiert nach Proposition 6.2. ∎

Beispiel 6.31: Der Fall $\alpha =1$ in Korollar 6.30

Sei $(a_n)_n$ eine Folge komplexer Zahlen und $\alpha = \limsup _{n \to \infty }\sqrt [n]{|a_n|}$ wie im Wurzelkriterium (Korollar 6.30). Falls $\alpha =1$ , dann kann anhand des Wurzelkriteriums keine Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz der Reihe $\sum _{n=1}^\infty a_n$ getroffen werden.

Ist $a_n = \frac {1}{n}$ für alle $n \in \mathbb {N}$ , dann gilt $\sqrt [n]{|a_n|} = \frac {1}{\sqrt [n]{n}} \to 1$ für $n \to \infty$ wegen Beispiel 5.33 und wegen Beispiel 6.4 divergiert die Reihe $\sum _{n=1}^\infty \frac {1}{n}$ gegen Unendlich.
Ist $a_n= \frac {1}{n^2}$ für alle $n \in \mathbb {N}$ , dann gilt $\sqrt [n]{|a_n|} = \frac {1}{\sqrt [n]{n}^2} \to 1$ für $n \to \infty$ und $\sum _{n=1}^\infty \frac {1}{n^2}$ konvergiert nach Beispiel 6.14.

Korollar 6.32: D’Alemberts Quotientenkriterium

Sei $(a_n)_n$ eine Folge komplexer Zahlen mit $a_n \neq 0$ für alle $n \in \mathbb {N}$ , so dass

\begin{matrix} α = lim n \to \infty \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\alpha = \lim _{n \to \infty } \frac {|a_{n+1}|}{|a_n|}\end{aligned}$

existiert. Dann gilt

\begin{matrix} α 1 & ⟹ \infty \sum n = 1 a_{n} ist divergent und (a_{n})_{n} konvergiert nicht gegen Null. \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\alpha {\; \; } 1 &\implies \sum _{n=1}^\infty a_n \text { ist divergent und } (a_n)_n \text { konvergiert nicht gegen Null.}\end{aligned}$

Wichtige Übung 6.33

Beweisen Sie Korollar 6.32.

Hinweis.

Gehen Sie wie im Beweis von Korollar 6.30 vor. Für [latex]\alpha

Übung 6.34

Wieso kann man im Quotientenkriterium (Korollar 6.32) nicht auch den Limes superior anstelle des Limes verwenden?

Lösung

In der Tat folgt aus $\limsup _{n\to \infty }\frac {|a_{n+1}|}{|a_n|}6.30 gezeigt werden kann. Doch kann aus [latex]\limsup _{n\to \infty }\frac {|a_{n+1}|}{|a_n|}>1$ keine Aussage über die Konvergenz der Reihe getroffen werden. Als Beispiel hierzu betrachten wir die Folge

\begin{matrix} a_{n} = {\begin{matrix} 2^{- n} für ungerades n \in N, 3^{- n} für gerades n \in N . \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]a_n=\begin{cases}2^{-n} \quad \text {für ungerades }n\in \mathbb {N},\\ 3^{-n} \quad \text {für gerades }n\in \mathbb {N}.\end{cases}\end{aligned}$

Für diese Folge gilt

\begin{matrix} limsup n \to \infty \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = lim k \to \infty \frac{2^{- (2 k + 1)}}{3^{- 2 k}} lim k \to \infty \frac{1}{2} {(\frac{3}{2})}^{2 k} = \infty . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\limsup _{n\to \infty }\frac {|a_{n+1}|}{|a_n|}= \lim _{k\to \infty }\frac {2^{-(2k+1)}}{3^{-2k}} \lim _{k\to \infty }\tfrac 12\left (\tfrac 32\right )^{2k}=\infty .\end{aligned}$

Trotzdem ist aber die Reihe $\sum _{n=1}^\infty a_n$ konvergent, was unter Verwendung von zwei geometrischen Reihen oder dem Wurzelkriterium schnell folgt.

6.2.2 – Umordnen von Reihen

Im Gegensatz zur bedingten Konvergenz in Teilabschnitt 6.1.2 ist absolute Konvergenz sehr robust. Der erste dieser Robustheitssätze ist folgender positive Umordnungssatz.

Satz 6.35: Umordnen absolut konvergenter Reihen

Sei $\sum _{n=1}^\infty a_n$ eine absolut konvergente Reihe mit komplexen Gliedern. Sei $\varphi :\mathbb {N}\to \mathbb {N}$ eine Bijektion. Dann ist $\sum _{n=1}^\infty a_{\varphi (n)}$ ebenso absolut konvergent und es gilt
$\begin{aligned}[]\label{eq;umordnenvonabsolutisto.k.} \sum _{n=1}^\infty a_{n} = \sum _{n=1}^\infty a_{\varphi (n)}.\end{aligned}$

Beweis

Sei $\varphi : \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ eine Bijektion und $\varepsilon > 0$ . Nach dem Cauchy-Kriterium (Satz 6.26) gibt es ein $N \in \mathbb {N}$ , so dass [latex]\sum _{k=m}^n |a_k| 6.28, dass

\begin{matrix} ∣ ∣ ∣ \infty \sum k = m a_{k} ∣ ∣ ∣ \leq \infty \sum k = m | a_{k} | \leq ε \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\bigg | \sum _{k=m}^\infty a_k\bigg | \leq \sum _{k=m}^\infty |a_k| \leq \varepsilon\end{aligned}$

für alle $m\geq N$ . (Es hilft vielleicht für das Folgende diese Abschätzung als «Die Summanden $a_1,\ldots ,a_N$ der ursprünglichen Reihe sind wichtig, aber die restlichen Summanden sind weniger wichtig.» zu interpretieren.)

Wir definieren $M = \max \left \lbrace {\varphi ^{-1}(k)} \mid {k \leq N}\right \rbrace$ und wählen ein $n \geq M$ . Dann gilt

\begin{aligned}[]\bigg | \sum _{\ell = 1}^n a_{\varphi (\ell )} -\sum _{k=1}^\infty a_k \bigg | &= \bigg | \sum _{\ell = 1}^n a_{\varphi (\ell )} -\sum _{k=1}^N a_k -\sum _{k=N+1}^\infty a_k \bigg |\\  &\leq \bigg | \sum _{\substack { \ell \leq n,\\  \varphi (\ell ) > N}} a_{\varphi (\ell )}\bigg |+\underbrace {\biggl |\sum _{k=N+1}^\infty a_k\biggr |}_{\leq \varepsilon }\leq \sum _{\substack { \ell \leq n,\\  \varphi (\ell ) > N}} |a_{\varphi (\ell )}|+\varepsilon

$\begin{aligned}[]\bigg | \sum _{\ell = 1}^n a_{\varphi (\ell )} -\sum _{k=1}^\infty a_k \bigg | &= \bigg | \sum _{\ell = 1}^n a_{\varphi (\ell )} -\sum _{k=1}^N a_k -\sum _{k=N+1}^\infty a_k \bigg |\\ &\leq \bigg | \sum _{\substack { \ell \leq n,\\ \varphi (\ell ) > N}} a_{\varphi (\ell )}\bigg |+\underbrace {\biggl |\sum _{k=N+1}^\infty a_k\biggr |}_{\leq \varepsilon }\leq \sum _{\substack { \ell \leq n,\\ \varphi (\ell ) > N}} |a_{\varphi (\ell )}|+\varepsilon$

wobei wir verwendet haben, dass $\varphi$ eine Bijektion ist. Insbesondere treten damit und wegen $n\geq M$ alle $k\in \{ 1,\ldots ,N\}$ genau einmal als $\varphi (\ell )$ für $\ell \in \{ 1,\ldots ,n\}$ auf und die Differenz $\sum _{\ell = 1}^n a_{\varphi (\ell )} -\sum _{k=1}^N a_k$ enthält nach Wegstreichen dieser Terme nur mehr eine Summe über gewisse $a_k$ mit $k\geq N$ (welche wir im Sinne obiger Interpretation als «weniger wichtig» betrachten und formal eben insgesamt durch ein $\varepsilon$ abschätzen können). Da $\varepsilon >0$ beliebig war, zeigt dies die Gleichung (6.2).

Wenden wir dasselbe Argument wie oben auf die Reihe $\sum _{n=1}^\infty |a_{\varphi (n)}|$ an, ergibt sich auch die absolute Konvergenz von $\sum _{n=1}^\infty a_{\varphi (n)}$ . ∎

6.2.3 – Produkte

Wir zeigen nun, dass wir absolut konvergente Reihen gliedweise ausmultiplizieren können.

Satz 6.36: Produktsatz

Seien $\sum _{n=1}^\infty a_n$ und $\sum _{n=1}^\infty b_n$ zwei absolut konvergente Reihen und $\varphi : \mathbb {N} \to \mathbb {N} \times \mathbb {N}$ eine bijektive Abbildung. Dann ist

\begin{matrix} \infty \sum n = 1 a_{φ (n)_{1}} b_{φ (n)_{2}} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{n=1}^\infty a_{\varphi (n)_1} b_{\varphi (n)_2}\end{aligned}$

eine absolut konvergente Reihe, wobei $\varphi (n) = (\varphi (n)_1,\varphi (n)_2)$ für alle $n \in \mathbb {N}$ . Weiters gilt
$\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-produktsatz} \sum _{n=1}^\infty a_{\varphi (n)_1} b_{\varphi (n)_2} = \bigg ( \sum _{n=1}^\infty a_n\bigg )\bigg ( \sum _{n=1}^\infty b_n\bigg ).\end{aligned}$

Informell ausgedrückt kann man schreiben

\begin{matrix} (\infty \sum m = 1 a_{m}) (\infty \sum n = 1 b_{n}) = \infty \sum m = 1 (\infty \sum n = 1 b_{n}) a_{m} = \sum (m, n) \in N^{2} a_{m} b_{n} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\bigg ( \sum _{m=1}^\infty a_m\bigg )\bigg ( \sum _{n=1}^\infty b_n\bigg ) = \sum _{m=1}^\infty \bigg ( \sum _{n=1}^\infty b_n\bigg ) a_m = \sum _{(m,n)\in \mathbb {N}^2}a_m b_n.\end{aligned}$

Die beiden (internen) Indices $(m,n)$ würde man nun gerne anders ausdrücken, damit aus der Doppelsumme auf der rechten Seite (die wir eigentlich nicht definiert haben) eine einfache Summe wird. Wählt man eine Bijektion $\varphi : \mathbb {N} \to \mathbb {N} \times \mathbb {N}$ , so durchläuft $\varphi (k)$ alle $(m,n)$ und somit wird aus der Doppelsumme eine einfache Summe $\sum _{k=1}^\infty a_{\varphi (k)_1} b_{\varphi (k)_2}$ . Satz 6.36 besagt nun, dass diese Reihe effektiv konvergiert und gleich dem gewünschten Produkt ist.

Beweis

Wir wählen zuerst die Bijektion $\varphi :\mathbb {N}\to \mathbb {N}^2$ so dass

\begin{matrix} {φ (1), φ (2), \dots, φ (n^{2})} = {1, 2, \dots, n} \times {1, 2, \dots, n} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\{ \varphi (1),\varphi (2),\ldots ,\varphi (n^2)\} =\{ 1,2,\ldots ,n\} \times \{ 1,2,\ldots ,n\}\end{aligned}$

für alle $n\in \mathbb {N}$ . Zum Beispiel könnte $\varphi$ wie im folgenden Bild definiert sein.^[4]

Für jedes $n\in \mathbb {N}$ gilt dann für die Partialsumme bis $n^2$ der gliedweise multiplizierten Reihe der Absolutbeträge das (endliche verallgemeinerte) Distributivgesetz

\begin{matrix} n^{2} \sum k = 1 | a_{φ (k)_{1}} | | b_{φ (k)_{2}} | = (n \sum ℓ = 1 | a_{ℓ} |) (n \sum m = 1 | b_{m} |) . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^{n^2}|a_{\varphi (k)_1}||b_{\varphi (k)_2}|= \left (\sum _{\ell =1}^n|a_\ell |\right )\left (\sum _{m=1}^n|b_m|\right ).\end{aligned}$

Insbesondere folgt also

\begin{matrix} n^{2} \sum k = 1 | a_{φ (k)_{1}} | | b_{φ (k)_{2}} | \leq (\infty \sum ℓ = 1 | a_{ℓ} |) (\infty \sum m = 1 | b_{m} |) \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^{n^2}|a_{\varphi (k)_1}||b_{\varphi (k)_2}|\leq \left (\sum _{\ell =1}^\infty |a_\ell |\right )\left (\sum _{m=1}^\infty |b_m|\right )\end{aligned}$

für alle $n\in \mathbb {N}$ . Da aber für eine Reihe mit nichtnegativen Termen die Folge die Partialsummen monoton wachsend sind, folgt daraus dass die Reihe $\sum _{k=1}^\infty |a_{\varphi (k)_1}||b_{\varphi (k)_2}|$ konvergiert und damit die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\varphi (k)_1}b_{\varphi (k)_2}$ absolut konvergent ist.

Obiges Distributivgesetz gilt auch in der Form

\begin{matrix} n^{2} \sum k = 1 a_{φ (k)_{1}} b_{φ (k)_{2}} = (n \sum ℓ = 1 a_{ℓ}) (n \sum m = 1 b_{m}) . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^{n^2}a_{\varphi (k)_1}b_{\varphi (k)_2}= \left (\sum _{\ell =1}^na_\ell \right )\left (\sum _{m=1}^nb_m\right ).\end{aligned}$

für alle $n\in \mathbb {N}$ . Mit Hilfe des Grenzwertübergangs $n\to \infty$ erhalten wir daraus

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 a_{φ (k)_{1}} b_{φ (k)_{2}} = (\infty \sum ℓ = 1 a_{ℓ}) (\infty \sum m = 1 b_{m}) . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^{\infty }a_{\varphi (k)_1}b_{\varphi (k)_2}= \left (\sum _{\ell =1}^\infty a_\ell \right )\left (\sum _{m=1}^\infty b_m\right ).\end{aligned}$

Betrachten wir eine beliebige Bijektion $\psi :\mathbb {N}\to \mathbb {N}^2$ , so ist $\varphi ^{-1}\circ \psi :\mathbb {N}\to \mathbb {N}$ eine Bijektion und die Formel

\begin{matrix} \infty \sum k = 1 a_{ψ (k)_{1}} b_{ψ (k)_{2}} = (\infty \sum ℓ = 1 a_{ℓ}) (\infty \sum m = 1 b_{m}) . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^{\infty }a_{\psi (k)_1}b_{\psi (k)_2}= \left (\sum _{\ell =1}^\infty a_\ell \right )\left (\sum _{m=1}^\infty b_m\right ).\end{aligned}$

folgt aus obigem und dem Umordnungssatz (Satz 6.35). ∎

Wie wir in Abschnitt 3.2 gesehen haben, lassen sich Polynome mittels der Regel

\begin{matrix} (N \sum n = 0 a_{n} x^{n}) (N \sum n = 0 b_{n} x^{n}) = 2 N \sum n = 0 (n \sum k = 0 a_{n - k} b_{k}) x^{k} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\bigg (\sum _{n=0}^N a_nx^n\bigg ) \bigg ( \sum _{n=0}^N b_nx^n\bigg ) = \sum _{n=0}^{2N} \bigg ( \sum _{k=0}^n a_{n-k}b_k \bigg )x^k\end{aligned}$

multiplizieren, wobei wir $a_{N+1}=\cdots =a_{2N}=b_{N+1}=\cdots =b_{2N}=0$ setzen. Setzt man $x=1$ , erhält man insbesondere

\begin{matrix} (N \sum n = 0 a_{n}) (N \sum n = 0 b_{n}) = 2 N \sum n = 0 (n \sum k = 0 a_{n - k} b_{k}) . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\bigg (\sum _{n=0}^N a_n\bigg ) \bigg ( \sum _{n=0}^N b_n\bigg ) = \sum _{n=0}^{2N} \bigg ( \sum _{k=0}^n a_{n-k}b_k \bigg ).\end{aligned}$

Diese Identität trifft, wie sich herausstellt, analog für Reihen zu, was wir im folgenden Korollar des Produktsatzes (Satz 6.36) festhalten wollen.

Korollar 6.37: Cauchy-Produkt

Falls $\sum _{n=0}^\infty a_n$ und $\sum _{n=0}^\infty b_n$ absolut konvergente Reihen mit komplexen Gliedern sind, dann gilt

\begin{matrix} \infty \sum n = 0 (n \sum k = 0 a_{n - k} b_{k}) = (\infty \sum n = 0 a_{n}) (\infty \sum n = 0 b_{n}), \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{n=0}^\infty \bigg ( \sum _{k=0}^n a_{n-k}b_k \bigg ) = \bigg ( \sum _{n=0}^\infty a_n \bigg ) \bigg (\sum _{n=0}^\infty b_n \bigg ),\end{aligned}$

wobei die Reihe $\sum _{n=0}^\infty \big ( \sum _{k=0}^n a_{n-k}b_k \big )$ absolut konvergent ist.

Beweis

Dies folgt, indem wir die Abzählung $\varphi$ von $\mathbb {N}_0 \times \mathbb {N}_0$ aus dem Bild unten auf den Produktsatz (Satz 6.36) anwenden und dann Glieder zusammenfassen (Lemma 6.9).

Die absolute Konvergenz folgt ebenso aus Satz 6.36 und

\begin{aligned}[]\sum _{n=0}^\infty \bigg | \sum _{k=0}^n a_{n-k}b_k \bigg | \leq \sum _{n=0}^\infty \sum _{k=0}^n |a_{n-k}b_k|

$\begin{aligned}[]\sum _{n=0}^\infty \bigg | \sum _{k=0}^n a_{n-k}b_k \bigg | \leq \sum _{n=0}^\infty \sum _{k=0}^n |a_{n-k}b_k|$

∎

Beispiel 6.38

Sei $q\in \mathbb {C}$ mit [latex]|q|

\begin{matrix} \frac{1}{(1 - q)^{2}} & = {(\infty \sum n = 0 q^{n})}^{2} = \infty \sum n = 0 n \sum k = 0 q^{n - k} q^{k} = \infty \sum n = 0 (n + 1) q^{n} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\frac 1{(1-q)^2}&=\left (\sum _{n=0}^\infty q^n\right )^2\\ &=\sum _{n=0}^\infty \sum _{k=0}^n q^{n-k}q^k =\sum _{n=0}^\infty (n+1)q^n.\end{aligned}$

Auf diese Weise erhalten wir auch eine Summenformel für

\begin{matrix} \infty \sum n = 1 n q^{n} = q \infty \sum n = 1 n q^{n - 1} = q \infty \sum k = 0 (k + 1) q^{k} = \frac{q}{(1 - q)^{2}}, \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{n=1}^\infty n q^n=q\sum _{n=1}^\infty n q^{n-1}=q\sum _{k=0}^\infty (k+1)q^k=\frac {q}{(1-q)^2},\end{aligned}$

wobei wir die Indexverschiebung $k=n-1$ durchgeführt haben.

Übung 6.39

Formal lässt sich auch für bedingt konvergente Reihen $\sum _{n=0}^\infty a_n$ und $\sum _{n=0}^\infty b_n$ das Cauchy-Produkt $\sum _{n=0}^\infty \big ( \sum _{k=0}^n a_{n-k}b_k \big )$ bilden. Es muss jedoch nicht mehr konvergent sein: Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkts der bedingt konvergenten Reihe

\begin{matrix} \infty \sum n = 0 \frac{(- 1)^{n + 1}}{\sqrt{n + 1}} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{n=0}^\infty \frac {(-1)^{n+1}}{\sqrt {n+1}}\end{aligned}$

mit sich selbst divergiert.

6.3 – Konvergenz von Funktionenfolgen

6.3.1 – Punktweise Konvergenz

Definition 6.40: Funktionenfolgen und punktweise Konvergenz

Eine reellwertige (oder komplexwertige) Funktionenfolge auf einer Menge $X$ ist eine Folge $(f_n)_n$ von Funktionen $f_n: X \to \mathbb {R}$ (oder $f_n: X \to \mathbb {C}$ ). Wir sagen, dass eine Funktionenfolge $(f_n)_n$ punktweise gegen eine Funktion $f: X \to \mathbb {R}$ (oder $f: X \to \mathbb {C}$ ) konvergiert, falls $f_n(x) \to f(x)$ für $n \to \infty$ und alle $x \in X$ . Wir bezeichnen die Funktion $f$ als den punktweisen Grenzwert (oder auch Grenzfunktion oder Limes) der Funktionenfolge $(f_n)_n$ . In Prädikatenlogik ist punktweise Konvergenz durch

\begin{aligned}[]\forall x \in X\  \forall \varepsilon > 0\  \exists N \in \mathbb {N}\  \forall n \in \mathbb {N}: \big ( n \geq N \implies |f_n(x)-f(x)|

$\begin{aligned}[]\forall x \in X\ \forall \varepsilon > 0\ \exists N \in \mathbb {N}\ \forall n \in \mathbb {N}: \big ( n \geq N \implies |f_n(x)-f(x)|$

gegeben.

Übung 6.41: Eindeutigkeit

Sei $(f_n)_n$ eine Funktionenfolge auf einer Menge $X$ . Zeigen Sie, dass der Grenzwert $f$ einer Funktionenfolge eindeutig bestimmt ist, falls er existiert.

Wir haben in Abschnitt 5.3 bereits ein Beispiel einer punktweise konvergenten Funktionenfolge gesehen, da wir die reelle Exponentialabbildung $\exp$ durch

\begin{matrix} exp (x) = lim n \to \infty {(1 + \frac{x}{n})}^{n} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\exp (x) = \lim _{n \to \infty } \left (1+\frac {x}{n}\right )^n\end{aligned}$

für $x \in \mathbb {R}$ definiert haben.

Wir betrachten einige weitere Beispiele, die die Nachteile der punktweisen Konvergenz aufzeigen werden.

Beispiel 6.42: Punktweise konvergent

Sei $X = [0,1]$ und $f_n:x \in [0,1] \to x^n\in \mathbb {R}$ . Dann konvergieren die stetigen Funktionen $f_n$ punktweise gegen die Funktion $f: [0,1] \to \mathbb {R}$ gegeben durch

\begin{aligned}[]f(x) = \mathds {1}_{\left \lbrace {1} \right \rbrace }(x) = \lim _{n \to \infty } f_n(x) = \lim _{n \to \infty } x^n = \left \lbrace \begin{array}{ll} 0 & \text {für } x

$\begin{aligned}[]f(x) = \mathds {1}_{\left \lbrace {1} \right \rbrace }(x) = \lim _{n \to \infty } f_n(x) = \lim _{n \to \infty } x^n = \left \lbrace \begin{array}{ll} 0 & \text {für } x$

für $x \in [0,1]$ , die nicht mehr stetig ist.

Beispiel 6.43: Punktweise konvergent

Sei wiederum $X= [0,1]$ und definiere $f_n: [0,1] \to \mathbb {R}$ durch

\begin{matrix} f_{n} (x) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} n^{2} x & für x \in [0, \frac{1}{2 n}] n^{2} (\frac{1}{n} - x) & für x \in [\frac{1}{2 n}, \frac{1}{n}] 0 & für x \in [\frac{1}{n}, 1] \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]f_n(x) = \left \lbrace \begin{array}{ll} n^2x & \text {für } x \in \big [0,\frac {1}{2n}\big ] \\ n^2\left (\frac {1}{n}-x\right ) & \text {für } x \in \big [\frac {1}{2n},\frac {1}{n}\big ] \\ 0 & \text {für } x \in \big [\frac {1}{n},1\big ]\end{array} \right .\end{aligned}$

für $x\in [0,1]$ und $n \in \mathbb {N}$ . Dann ist $f_n$ stetig (und somit auch Riemann-integrierbar) und konvergiert punktweise gegen die stetige Funktion $f:x \in [0,1] \mapsto \lim _{n \to \infty }f_n(x) =0$ .

Es gilt jedoch für alle $n \in \mathbb {N}$

\begin{matrix} \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \frac{1}{4} \neq 0 = \int_{0}^{1} f (x) d x . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\int _0^1 f_n(x) \thinspace {\rm {d}} x = \frac {1}{4} \neq 0 = \int _0^1 f(x) \thinspace {\rm {d}} x.\end{aligned}$

Also ist der Grenzwert der Integrale nicht gleich dem Integral der Limesfunktion, obwohl alle Funktionen stetig sind und die Limesfunktion stetig ist.

Beispiel 6.44: Punktweise konvergent

Sei wieder $X = [0,1]$ und $\mathbb {Q} \cap [0,1] = \left \lbrace {q_1,q_2,\ldots } \right \rbrace$ eine Abzählung. Dann ist für jedes $n\in \mathbb {N}$ die charakteristische Funktion

fn=\mathds1{q1,…,qn}

$\begin{aligned}[]f_n = \mathds {1}_{\left \lbrace {q_1,\ldots ,q_n} \right \rbrace }\end{aligned}$

der ersten $n$ rationalen Zahlen $\left \lbrace {q_1,\ldots ,q_n} \right \rbrace$ in $[0,1]$ Riemann-integrierbar mit $\int _0^1 f_n(x) \thinspace {\rm {d}} x = 0$ . Die Limesfunktion der Folge $(f_n)_n$ ist aber die charakteristische Funktion $\mathds {1}_{\mathbb {Q} \cap [0,1]}$ , die nach Beispiel 4.17 nicht Riemann-integrierbar ist.

Zusammenfassend hat also der Begriff der punktweisen Konvergenz weder für die Stetigkeit noch für das Riemann-Integral besonders gute Eigenschaften. Wir wenden uns deswegen einem neuen Konvergenzbegriff zu.

6.3.2 – Gleichmässige Konvergenz

Definition 6.45: Gleichmässige Konvergenz

Sei $(f_n)_n$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $X$ und $f$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $X$ . Wir sagen, $f_n$ strebt gleichmässig gegen $f$ für $n \to \infty$ , oder dass $f$ der gleichmässige Grenzwert der Funktionenfolge $(f_n)_n$ ist, falls es zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $N\in \mathbb {N}$ gibt, so dass für alle $n \geq N$ und alle $x \in X$ die Abschätzung

\begin{aligned}[]|f_n(x)-f(x)|

$\begin{aligned}[]|f_n(x)-f(x)|$

gilt. In Prädikatenlogik ist gleichmässige Konvergenz durch

\begin{aligned}[]\forall \varepsilon > 0\  \exists N \in \mathbb {N}\  \forall n \in \mathbb {N}: \big ( n \geq N \implies (\forall x \in X: |f_n(x)-f(x)|

$\begin{aligned}[]\forall \varepsilon > 0\ \exists N \in \mathbb {N}\ \forall n \in \mathbb {N}: \big ( n \geq N \implies (\forall x \in X: |f_n(x)-f(x)|$

gegeben.

Im Gegensatz zur punktweisen Konvergenz von Funktionenfolgen nimmt man bei der gleichmässigen Konvergenz also an, dass ein $N \in \mathbb {N}$ existiert, so dass [latex]|f_n(x)-f(x)|

Übung 6.46: Gleichmässige Konvergenz

Sei $(f_n)_n$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $X$ und $f$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $X$ .

Zeigen Sie, dass $f_n$ genau dann gleichmässig gegen $f$ konvergiert, wenn
$\begin{aligned}[]\sup _{x \in X} |f_n(x) - f(x)| \to 0\end{aligned}$

für $n \to \infty$ .
Zeigen Sie, dass $f_n \to f$ gleichmässig für $n \to \infty$ auch $f_n \to f$ punktweise für $n \to \infty$ impliziert.
Zeigen Sie, dass die punktweise konvergenten Funktionenfolgen aus den Beispielen 6.42, 6.43 und 6.44 nicht gleichmässig konvergieren. Insbesondere ist punktweise Konvergenz eine schwächere Forderung als gleichmässige Konvergenz.

Für reellwertige Funktionen $f_n,f$ , $\varepsilon > 0$ und $x$ im Definitionsbereich ist die Abschätzung [latex]|f_n(x)-f(x)|

Abbildung 6.3 – Die Funktionenfolge $f_n$ konvergiert also gleichmässig gegen $f$ , wenn für jedes $\varepsilon > 0$ die Graphen von $f_n$ für alle hinreichend grossen $n$ im « $\varepsilon$ -Schlauch» rund um $f$ (also in dem Bereich zwischen den Graphen von $f-\varepsilon$ und $f + \varepsilon$ liegen.

Applet 6.47: Punktweise und Gleichmässige Konvergenz

Wir betrachten nochmals die Funktionenfolge aus Beispiel 6.42. Versuchen Sie anhand des Applets zu erkennen, dass durch Einschränkung auf geeignete Teilintervalle $[a,b]\subseteq [0,1]$ man gleichmässige Konvergenz der Funktionenfolge erreichen kann. Können Sie dies auch formal beweisen?

Gleichmässige Konvergenz hat für stetige Funktionen gute Eigenschaften.

Satz 6.48: Gleichmässige Konvergenz und Stetigkeit

Sei $D \subseteq \mathbb {C}$ und $f_n:D \to \mathbb {C}$ eine Funktionenfolge stetiger Funktionen. Falls $(f_n)_n$ gleichmässig gegen $f:D \to \mathbb {C}$ konvergiert, dann ist $f$ ebenso stetig.

Beweis

Sei $x_0 \in D$ und $\varepsilon > 0$ . Dann existiert ein $n \in \mathbb {N}$ , so dass

\begin{aligned}[]|f_n(x)-f(x)|

$\begin{aligned}[]|f_n(x)-f(x)|$

für alle $x \in D$ . Da $f_n$ bei $x_0$ stetig ist, existiert ein $\delta > 0$ , so dass

\begin{aligned}[]|x-x_0|

$\begin{aligned}[]|x-x_0|$

für alle $x \in D$ gilt. Unter dem Strich gilt nun für alle $x \in D$ mit [latex]|x-x_0|

\begin{aligned}[]|f(x)-f(x_0)| \leq |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|

$\begin{aligned}[]|f(x)-f(x_0)| \leq |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|$

Da $\varepsilon > 0$ beliebig war, ist $f$ bei $x_0$ stetig. Da $x_0 \in D$ beliebig war, folgt der Satz. ∎

Gleichmässige Konvergenz hat auch für die Integrierbarkeit gute Eigenschaften.

Satz 6.49: Gleichmässige Konvergenz und Riemann-Integrierbarkeit

Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und $f_n:[a,b] \to \mathbb {R}$ eine Funktionenfolge Riemann-integrierbarer Funktionen. Falls $(f_n)_n$ gleichmässig gegen $f:[a,b] \to \mathbb {R}$ konvergiert, dann ist $f$ Riemann-integrierbar und
$\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-intvsgrenzwert} \lim _{n\to \infty } \int _a^b f_n\thinspace {\rm {d}} x = \int _a^b \lim _{n\to \infty }f_n\thinspace {\rm {d}} x = \int _a^b f\thinspace {\rm {d}} x.\end{aligned}$

Bei gleichmässig konvergenten Folgen Riemann-integrierbarer Funktionen darf man also Integration und Grenzwert vertauschen. Dies gilt analog auch für Integrale von komplexwertigen oder vektorwertigen Funktionen (siehe Abschnitt 5.7.6), doch werden wir hier nur den Fall von reellwertigen Funktionen betrachten.

Beweis

Sei $\varepsilon > 0$ . Dann gibt es ein $N$ mit $f-\varepsilon \leq f_n \leq f+\varepsilon$ für alle $n \geq N$ . Da $f_n$ nach Annahme Riemann-integrierbar ist, gibt es Treppenfunktionen $u,o$ auf $[a,b]$ mit $u \leq f_n \leq o$ und [latex]\int _a^b (u-o)\thinspace {\rm {d}} x

\begin{matrix} u^{'} = u - ε \leq f_{n} - ε \leq f \leq f_{n} + ε \leq o + ε = o^{'} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]u' = u-\varepsilon \leq f_n - \varepsilon \leq f \leq f_n + \varepsilon \leq o + \varepsilon = o'\end{aligned}$

ist und

\begin{aligned}[]\int _a^b (o'-u')\thinspace {\rm {d}} x = \int _a^b (o-u)\thinspace {\rm {d}} x + 2\varepsilon (b-a)

$\begin{aligned}[]\int _a^b (o'-u')\thinspace {\rm {d}} x = \int _a^b (o-u)\thinspace {\rm {d}} x + 2\varepsilon (b-a)$

ist. Da $\varepsilon > 0$ beliebig war, folgt die Riemann-Integrierbarkeit von $f$ aus Proposition 4.12.

Für die zweite Aussage sei wiederum $\varepsilon > 0$ und $N \in \mathbb {N}$ , so dass $f-\varepsilon \leq f_n \leq f+\varepsilon$ für alle $n \geq N$ gilt. Aus der Monotonie des Riemann-Integrals in Satz 4.24 folgt nun

\begin{matrix} \int_{a}^{b} f d x - ε (b - a) = \int_{a}^{b} (f - ε) d x \leq \int_{a}^{b} f_{n} d x \leq \int_{a}^{b} (f + ε) d x = \int_{a}^{b} f d x + ε (b - a), \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\int _a^b f \thinspace {\rm {d}} x - \varepsilon (b-a) = \int _a^b (f-\varepsilon ) \thinspace {\rm {d}} x \leq \int _a^b f_n \thinspace {\rm {d}} x \leq \int _a^b (f+ \varepsilon ) \thinspace {\rm {d}} x = \int _a^b f \thinspace {\rm {d}} x + \varepsilon (b-a),\end{aligned}$

was zu

\begin{matrix} ∣ ∣ ∣ \int_{a}^{b} f d x - \int_{a}^{b} f_{n} d x ∣ ∣ ∣ \leq ε (b - a) \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\bigg | \int _a^b f \thinspace {\rm {d}} x- \int _a^b f_n \thinspace {\rm {d}} x \bigg | \leq \varepsilon (b-a)\end{aligned}$

äquivalent ist. Dies beweist die Konvergenz in Gleichung (6.4) und damit den Satz. ∎

Übung 6.50: Gleichmässige Konvergenz auf Teilmengen

Sei $(f_n)_n$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $X$ und $f$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $X$ .

Angenommen $X=X_1\cup X_2$ für zwei Teilmengen, $f_n|_{X_1}$ strebt gleichmässig gegen $f|_{X_1}$ für $n\to \infty$ und $f_n|_{X_2}$ strebt gleichmässig gegen $f|_{X_2}$ für $n\to \infty$ . Zeigen Sie, dass dann auch $f_n$ gleichmässig gegen $f$ strebt für $n\to \infty$ .
Zeigen Sie, dass sich Teil (i) im Allgemeinen nicht für unendliche Vereinigungen $X=\bigcup _{k\in \mathbb {N}} X_k$ verallgemeinern lässt.

Übung 6.51: Funktionenkonvergenz und Beschränktheit

Sei $(f_n)_n$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $X$ und $f$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $X$ . Wir nehmen nun an, dass die Funktionen $f_n$ für jedes $n\in \mathbb {N}$ beschränkt ist.

Zeigen Sie, dass falls $f_n$ gleichmässig gegen $f$ strebt für $n\to \infty$ , dann ist auch $f$ eine beschränkte Funktion.
Finden Sie ein Beispiel für $X$ und beschränkte Funktionen, die punktweise gegen $f$ streben für $n\to \infty$ , so dass $f$ nicht beschränkt ist.

Übung 6.52: Funktionenkonvergenz und Auswertung entlang einer konvergenten Folge

Sei $D\subseteq \mathbb {C}$ und $f_n:D\to \mathbb {C}$ für $n\in \mathbb {N}$ eine Funktionenfolge stetiger Funktionen und $f:D\to \mathbb {C}$ eine weitere Funktion. Sei $z_0\in D$ und $z_n\in D$ eine Folge mit $z_n\to z_0$ für $n\to \infty$ .

Zeigen Sie $f_n(z_n)\to f(z_0)$ für $n\to \infty$ unter der Annahme, dass $f_n$ gleichmässig gegen $f$ konvergiert für $n\to \infty$ .
Finden Sie ein Beispiel, wo zwar $f_n$ punktweise gegen $f$ konvergiert für $n\to \infty$ , aber $f_n(z_n)$ nicht gegen $f(z_0)$ konvergiert für $n\to \infty$ .

Übung 6.53: Gleichmässige Konvergenz und gleichmässige Stetigkeit

Sei $D\subseteq \mathbb {C}$ und $f_n:D\to \mathbb {C}$ für $n\in \mathbb {N}$ eine Funktionenfolge, die für $n\to \infty$ gleichmässig gegen $f:D\to \mathbb {C}$ strebt. Angenommen $f_n$ ist gleichmässig stetig für alle $n\in \mathbb {N}$ . Zeigen Sie, dass $f$ ebenso gleichmässig stetig ist.

6.4 – Potenzreihen

Definition 6.54: Potenzreihe

Für jedes $n \in \mathbb {N}_0$ sei $a_n \in \mathbb {C}$ . Dann ist der formale Ausdruck
$\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-def potenzreihe} \sum _{n=0}^\infty a_nz^n\end{aligned}$
eine Potenzreihe in der Variable $z$ .

Es drängt sich bei obiger Definition ein Vergleich zur Definition eines Polynoms in Definition 3.13 auf. Im Gegensatz zur Diskussion von Polynomen ist aber eine Potenzreihe vorerst nur ein formaler Ausdruck. Es ist nicht klar, bei welchen komplexen Zahlen man eine Potenzreihe auswerten darf. Insbesondere wissen wir (noch) nicht, ob wir diesem formalen Ausdruck überhaupt eine Funktion auf $\mathbb {C}$ oder einer bestimmten Teilmenge von $\mathbb {C}$ zuordnen können. Diese Frage hängt stark von den Koeffizienten $(a_n)_{n \in \mathbb {N}_0}$ ab und wird in Satz 6.56 beantwortet.

Wie schon bei Polynomen in Definition 3.11 ist auch hier die Definition (3.2) äusserst sinnvoll, damit die Potenzreihe (6.5) bei $z=0$ auf jeden Fall konvergiert und den Wert $a_0$ hat.

6.4.1 – Konvergenzradius

Definition 6.55

Sei $\sum _{n=0}^\infty a_nz^n$ eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten $(a_n)_{n\in \mathbb {N}_0}$ . Wir definieren den Konvergenzradius durch

\begin{matrix} R = \frac{1}{{limsup}_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |}}, \end{matrix}

$\begin{aligned}[]R=\frac {1}{\limsup _{n \to \infty }\sqrt [n]{|a_n|}},\end{aligned}$

wobei wir $\frac {1}{+\infty } = 0$ setzen und hier (aber auch nur hier) die Vereinbarung $\frac {1}{0} = + \infty$ treffen.

Satz 6.56: Über den Konvergenzradius

Sei $\sum _{n=0}^\infty a_nz^n$ eine Potenzreihe und $R$ ihr Konvergenzradius. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{n=0}^\infty a_nz^n$ für alle $z \in \mathbb {C}$ mit $|z|R$ . Weiters konvergiert die Funktionenfolge $\sum _{n=0}^N a_nz^n$ gleichmässig gegen $\sum _{n=0}^\infty a_nz^n$ auf jeder Kreisscheibe der Form [latex]B_S(0) = \left \lbrace {z \in \mathbb {C}} \mid {|z|

\begin{matrix} z \in B_{R} (0) \mapsto \infty \sum n = 0 a_{n} z^{n} \in C . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]z \in B_R(0) \mapsto \sum _{n=0}^\infty a_nz^n \in \mathbb {C}.\end{aligned}$

Beweis

Wir verwenden das Wurzelkriterium aus Korollar 6.30 für ein beliebiges $z\in \mathbb {C}$ und die Reihe $\sum _{n=0}^\infty a_nz^n$ und berechnen deswegen

\begin{matrix} limsup n \to \infty \sqrt[n]{| a_{n} z^{n} |} = limsup n \to \infty \sqrt[n]{| a_{n} |} | z | = | z | limsup n \to \infty \sqrt[n]{| a_{n} |} = \frac{| z |}{R} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\limsup _{n \to \infty } \sqrt [n]{|a_nz^n|} = \limsup _{n \to \infty } \sqrt [n]{|a_n|}|z| = |z| \limsup _{n \to \infty } \sqrt [n]{|a_n|} = \frac {|z|}{R}.\end{aligned}$

Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Reihe also absolut für $\frac {|z|}{R}1$ . Die Fälle $R=0$ und $R = +\infty$ ergeben sich aus dem gleichen Argument (wieso?).

Sei nun $S\in (0,R)$ . Für den Beweis der gleichmässigen Konvergenz auf $B_S(0)$ bemerken wir, dass nach obigem bereits $\sum _{n=0}^\infty |a_n|S^n0$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit [latex]\sum _{n=N}^\infty |a_n|S^n

\begin{aligned}[]\left |\sum _{k=0}^na_kz^k-\sum _{k=0}^\infty a_kz^k\right |=\left |\sum _{k=n+1}^\infty a_k z^k\right | \leq \sum _{k=N}^\infty |a_k|S^k

$\begin{aligned}[]\left |\sum _{k=0}^na_kz^k-\sum _{k=0}^\infty a_kz^k\right |=\left |\sum _{k=n+1}^\infty a_k z^k\right | \leq \sum _{k=N}^\infty |a_k|S^k$

Dies beweist die gleichmässige Konvergenz der stetigen Funktionenfolge $\sum _{k=0}^n a_k z^k$ auf $B_S(0)$ gegen $\sum _{k=0}^\infty a_k z^k$ und damit die Stetigkeit von $z \in B_S(0) \mapsto \sum _{k=0}^\infty a_kz^k \in \mathbb {C}$ nach Satz 6.48.

Insbesondere ist die Funktion $z \in B_R(0) \mapsto \sum _{n=0}^\infty a_nz^n \in \mathbb {C}$ stetig an jedem Punkt, da es zu $z \in B_R(0)$ ein [latex]S

Beispiel 6.57: Nicht gleichmässige Konvergenz

Man könnte denken, dass Satz 6.56 eigentlich sagt, dass die Partialsummen $\sum _{k=0}^na_kz^k$ der Potenzreihe auf ganz $B_R(0)$ gleichmässig gegen die durch die Potenzreihe definierte Funktion $z\in B_R(0)\mapsto \sum _{k=0}^\infty a_kz^k$ streben, da ja [latex]S6.50), wie wir hier kurz anhand der geometrischen Reihe zeigen wollen.

Für $\sum _{n=0}^\infty z^n$ ist der Konvergenzradius $R=1$ und die mittels der Potenzreihe definierte Funktion ist $z\in B_1(0)\mapsto \frac 1{1-z}$ . Falls die Konvergenz auf ganz $B_1(0)$ gleichmässig wäre, dann gäbe es für $\varepsilon =1$ ein $N$ so dass für alle $n\geq N$ und $z\in B_1(0)$ die Abschätzung

\begin{aligned}[]\biggl |\sum _{k=0}^nz^k-\frac 1{1-z}\biggr |

$\begin{aligned}[]\biggl |\sum _{k=0}^nz^k-\frac 1{1-z}\biggr |$

gelten würde. Wir setzen $n=N$ und erhalten mittels der Dreiecksungleichung daraus

\begin{aligned}[]\bigg |\frac 1{1-z}\bigg |

$\begin{aligned}[]\bigg |\frac 1{1-z}\bigg |$

für alle $z\in B_1(0)$ . Dies ist aber ein Widerspruch, da

\begin{matrix} lim x ↗ 1 \frac{1}{1 - x} = + \infty . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\lim _{x\nearrow 1}\frac 1{1-x}=+\infty .\end{aligned}$

Übung 6.58: Konvergenzradien

Finden Sie für jedes $R \in [0,\infty ) \cup \left \lbrace {\infty } \right \rbrace$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R$ .

Hinweis.

Für $R=0$ müssen Sie eine Potenzreihe mit sehr schnell wachsenden Koeffizienten verwenden.

Übung 6.59

Berechnen Sie den Konvergenzradius $R$ der Potenzreihe

\begin{matrix} \infty \sum n = 1 \frac{(\sqrt{n^{2} + n} - \sqrt{n^{2} + 1})^{n}}{n^{2}} x^{n} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{n=1}^\infty \frac {(\sqrt {n^2+n}-\sqrt {n^2+1})^n}{n^2} x^n\end{aligned}$

und zeigen Sie Konvergenz der Potenzreihe bei den Punkten $-R,R\in \mathbb {R}$ .

Lemma 6.60: Konvergenzradius via Quotientenkriterium

Sei $\sum _{n=0}^\infty a_n z^n$ eine Potenzreihe mit $a_n \neq 0$ für alle $n \in \mathbb {N}$ . Der Konvergenzradius $R$ ist gegeben durch

\begin{matrix} R = \frac{1}{{lim}_{n \to \infty} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |}} = lim n \to \infty \frac{| a_{n} |}{| a_{n + 1} |} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]R = \frac {1}{\lim _{n \to \infty }\frac {|a_{n+1}|}{|a_n|}} = \lim _{n \to \infty }\frac {|a_{n}|}{|a_{n+1}|}\end{aligned}$

falls dieser Grenzwert existiert.

Übung 6.61

Zeigen Sie Lemma 6.60.

Hinweis.

Wiederholen Sie den Beweis von Satz 6.56.

6.4.2 – Addition und Multiplikation

Proposition 6.62: Summen und Produkte

Seien $\sum _{n=0}^\infty a_nz^n$ und $\sum _{n=0}^\infty b_nz^n$ zwei Potenzreihen mit Konvergenzradius $R_a$ respektive $R_b$ . Dann gilt für alle $z \in \mathbb {C}$ mit [latex]|z|

\begin{matrix} \infty \sum n = 0 a_{n} z^{n} + \infty \sum n = 0 b_{n} z^{n} & = \infty \sum n = 0 (a_{n} + b_{n}) z^{n} (\infty \sum n = 0 a_{n} z^{n}) (\infty \sum n = 0 b_{n} z^{n}) & = \infty \sum n = 0 (n \sum k = 0 a_{n - k} b_{k}) z^{n} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{n=0}^\infty a_nz^n+\sum _{n=0}^\infty b_nz^n &= \sum _{n=0}^\infty (a_n +b_n)z^n\\ \bigg (\sum _{n=0}^\infty a_nz^n\bigg )\bigg (\sum _{n=0}^\infty b_nz^n\bigg ) &= \sum _{n=0}^\infty \bigg ( \sum _{k=0}^n a_{n-k}b_k \bigg ) z^n.\end{aligned}$

Insbesondere ist der Konvergenzradius der Potenzreihen auf der rechten Seite mindestens $\min \left \lbrace {R_a,R_b} \right \rbrace$ .

Beweis

Die erste Eigenschaft folgt aus Linearität des Grenzwerts. Die zweite verwendet noch Korollar 6.37. ∎

Beispiel 6.63

Falls $\sum _{n=0}^\infty a_nz^n$ mindestens Konvergenzradius $1$ hat, so gilt
$\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-anwendungcauchyprod} \frac {1}{1-z}\sum _{n=0}^\infty a_nz^n = \sum _{n=0}^\infty (a_0 + \ldots + a_n) z^n.\end{aligned}$
für alle $z\in \mathbb {C}$ mit [latex]|z|6.6) aus Proposition 6.62 folgt.

Übung 6.64

Berechnen Sie $\sum _{n=1}^\infty n2^{-n}$ .

Hinweis.

Der Wert von $\sum _{n=0}^\infty q^{n}$ für alle $q \in \mathbb {C}$ mit [latex]|q|

6.4.3 – Stetigkeit bei Randpunkten

Wir wollen nun eine Potenzreihe $\sum _{n=0}^\infty a_n x^n$ betrachten, wobei wir $a_n \in \mathbb {C}$ für $n \in \mathbb {N}$ erlauben, aber nur reelle Zahlen $x$ einsetzen wollen. Nach Satz 6.56 existiert ein $R > 0$ , so dass die Funktion

\begin{matrix} f : x \in (- R, R) \mapsto \infty \sum n = 0 a_{n} x^{n} \in C \end{matrix}

$\begin{aligned}[]f: x \in (-R,R) \mapsto \sum _{n=0}^\infty a_n x^n \in \mathbb {C}\end{aligned}$

wohldefiniert und stetig ist, aber $\sum _{n=0}^\infty a_n x^n$ für alle $x \in \mathbb {R}$ mit $|x|>R$ divergiert. Wir nehmen nun weiter an, dass $R\in (0,\infty )$ und $\sum _{n=0}^\infty a_n R^n$ ebenfalls konvergiert. Satz 6.56 sagt in diesem Fall überhaupt nichts über die erweiterte Funktion

\begin{matrix} ¯ f : x \in (- R, R] \mapsto \infty \sum n = 0 a_{n} x^{n} \in C \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\bar {f}:x \in (-R,R] \mapsto \sum _{n=0}^\infty a_n x^n \in \mathbb {C}\end{aligned}$

aus.

Satz 6.65: Abelscher Grenzwertsatz

Unter obigen Annahmen ist auch $\bar {f}$ stetig. Das heisst,

\begin{matrix} \infty \sum n = 0 a_{n} R^{n} = ¯ f (R) = lim x ↗ R ¯ f (x) = lim x ↗ R \infty \sum n = 0 a_{n} x^{n} \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\sum _{n=0}^\infty a_n R^n = \bar {f}(R) = \lim _{x \nearrow R} \bar {f}(x) = \lim _{x \nearrow R} \sum _{n=0}^\infty a_n x^n\end{aligned}$

Eine analoge Aussage gilt, falls $\sum _{n=0}^\infty a_n (-R)^n$ konvergiert.

Beispiel 6.66: Zwei alternierende Potenzreihen

Für $a_0 = 0$ und $a_n = \frac {(-1)^{n+1}}{n}$ für alle $n \in \mathbb {N}$ ist der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum _{n=0}^\infty a_n z^n$ durch $R=1$ gegeben und $\sum _{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n+1}}{n}$ konvergiert, womit der Abelsche Grenzwertsatz (Satz 6.65) angewendet werden kann (sobald wir die Funktion $f(x)=\sum _{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n+1}}{n}x^n$ für [latex]|x|
Für $a_n = (-1)^n$ für alle $n \in \mathbb {N}_0$ ist $R=1$ und der Abelsche Grenzwertsatz (Satz 6.65) kann nicht angewendet werden, da $\sum _{n=0}^\infty (-1)^n$ divergiert.

Bemerkung

Hierzu eine historische Anmerkung: Euler (1707-1783) und seine Zeitgenossen hatten noch einen anderen Zugang zu Reihen und wiesen auf Grund der Gleichung $\sum _{n=0}^\infty (-1)^n x^n = \frac {1}{1+x}$ für [latex]|x| 6.2) widerspricht.

Beweis des Abelschen Grenzwertsatzes

Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass der Konvergenzradius $1$ ist (sonst ersetzt man $a_n$ mit $a_nR^n$ für alle $n$ ). Nach Beispiel 6.63 gilt

\begin{matrix} \frac{1}{1 - x} \infty \sum n = 0 a_{n} x^{n} = \infty \sum n = 0 (a_{0} + \dots + a_{n}) x^{n} . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\frac {1}{1-x}\sum _{n=0}^\infty a_nx^n = \sum _{n=0}^\infty (a_0 + \ldots + a_n) x^n.\end{aligned}$

für alle $x \in (-1,1)$ . Wir definieren $A_n = a_0 + \ldots + a_n$ , $A = \lim _{n\to \infty } A_n = \sum _{n=0}^\infty a_n$ (was nach Annahme existiert) und erhalten mit $b_n = A_n -A$ für $n \in \mathbb {N}$ die Gleichung

\begin{matrix} f (x) = \infty \sum n = 0 a_{n} x^{n} = (1 - x) \infty \sum n = 0 A_{n} x^{n} = (1 - x) \infty \sum n = 0 (b_{n} + A) x^{n} = (1 - x) \infty \sum n = 0 b_{n} x^{n} + A \end{matrix}

$\begin{aligned}[]f(x) = \sum _{n=0}^\infty a_n x^n = (1-x) \sum _{n=0}^\infty A_n x^n = (1-x) \sum _{n=0}^\infty (b_n+A) x^n = (1-x) \sum _{n=0}^\infty b_n x^n + A\end{aligned}$

für alle $x \in (-1,1)$ . Obige Formelmanipulationen mögen vielleicht vom Himmel gefallen sein; ab jetzt wird das Argument jedoch wenig Überraschungen bieten. Sei $\varepsilon > 0$ . Dann existiert ein $N \in \mathbb {N}$ mit [latex]|b_n|

\begin{matrix} | f (x) - A | & = ∣ ∣ ∣ (1 - x) \infty \sum n = 0 b_{n} x^{n} ∣ ∣ ∣ \leq ∣ ∣ ∣ (1 - x) N \sum n = 0 b_{n} x^{n} ∣ ∣ ∣ + (1 - x) ε \infty \sum n = N + 1 x^{n} \leq ∣ ∣ ∣ (1 - x) N \sum n = 0 b_{n} x^{n} ∣ ∣ ∣ + ε . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]|f(x)-A| &= \bigg |(1-x) \sum _{n=0}^\infty b_n x^n \bigg | \leq \bigg |(1-x) \sum _{n=0}^N b_n x^n \bigg | + (1-x) \varepsilon \sum _{n=N+1}^\infty x^n\\ &\leq \bigg |(1-x) \sum _{n=0}^N b_n x^n \bigg | + \varepsilon .\end{aligned}$

Da aber das Polynom $(1-x) \sum _{n=0}^N b_n x^n$ auf $\mathbb {R}$ stetig ist und bei $1$ verschwindet, gibt es weiters ein $\delta > 0$ , so dass

\begin{aligned}[]x\in (1-\delta ,1) \implies \bigg |(1-x) \sum _{n=0}^N b_n x^n \bigg |

$\begin{aligned}[]x\in (1-\delta ,1) \implies \bigg |(1-x) \sum _{n=0}^N b_n x^n \bigg |$

Daher gilt [latex]|f(x)-A|

Übung 6.67

Wo wurde im obigen Beweis verwendet, dass $x$ reell ist?

Hinweis.

Für $z\in B_1(0)$ ist mitunter $1-|z|$ kleiner als $|1-z|$ , doch gilt $1-x=|1-x|=1-|x|$ für $x\in (0,1)$ .

6.5 – Die (komplexe) Exponentialabbildung

Wir haben in Abschnitt 5.3 die reelle Exponentiabbildung gesehen und ihre wichtigsten Eigenschaften gezeigt. Insbesondere haben wir verifiziert, dass

\begin{matrix} exp (x) = lim n \to \infty {(1 + \frac{x}{n})}^{n} = lim n \to \infty n \sum k = 0 \frac{1}{k!} x^{k} k - 1 \prod ℓ = 0 (1 - \frac{ℓ}{n}) . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\exp (x) = \lim _{n \to \infty } \left ( 1+ \frac {x}{n} \right )^n = \lim _{n \to \infty } \sum _{k=0}^n \frac {1}{k!} x^k \prod _{\ell =0}^{k-1}\left (1-\frac {\ell }{n}\right ).\end{aligned}$

für alle $x\in \mathbb {R}$ . Wir zeigen nun, dass wir die Exponentialabbildung alternativ durch die Potenzreihe
$\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-expdurchpotreihe} \exp (x) = \sum _{k=0}^\infty \frac {1}{k!}x^k\end{aligned}$
mit unendlichem Konvergenzradius definieren können und dadurch auf die gesamte komplexe Ebene fortsetzen können. Die Darstellung der Exponentialabbildung als Potenzreihe (6.7) ist gewissermassen flexibler als die Darstellung als Grenzwert wie in Proposition 5.54. Sie wird uns später in diesem Kapitel beispielsweise dabei helfen, das Riemann-Integral der Exponentialfunktion zu berechnen (siehe Korollar 6.86).

6.5.1 – Darstellung durch die Potenzreihe

Für ein festes $z \in \mathbb {C}$ gilt

\begin{matrix} \frac{\frac{1}{(k + 1)!} | z |^{k + 1}}{\frac{1}{k!} | z |^{k}} = \frac{| z |}{k + 1} \to 0 \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\frac {\frac {1}{(k+1)!} |z|^{k+1}}{\frac {1}{k!}|z|^k} = \frac {|z|}{k+1} \to 0\end{aligned}$

für $k \to \infty$ , was wegen dem Quotientenkriterium beweist, dass die Reihe $\sum _{k=0}^\infty \frac {1}{k!}z^k$ konvergiert. Da $z \in \mathbb {C}$ beliebig war, ist der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum _{k=0}^\infty \frac {1}{k!}z^k$ in der Tat unendlich (siehe Satz 6.56).

Sei nun $x \in \mathbb {R}$ , $\varepsilon > 0$ und $N \in \mathbb {N}$ , so dass

\begin{aligned}[]\sum _{k=N+1}^\infty \frac {1}{k!} |x|^k

$\begin{aligned}[]\sum _{k=N+1}^\infty \frac {1}{k!} |x|^k$

Für dieses $N$ gilt dann
$\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-exppotestimate1} \bigg |\sum _{k=0}^N \frac {1}{k!} x^k -\sum _{k=0}^\infty \frac {1}{k!} x^k \bigg |\leq \bigg |\sum _{k=N+1}^\infty \frac {1}{k!} x^k \bigg | \leq \sum _{k=N+1}^\infty \frac {1}{k!} |x|^k$
und für $n \geq N$ ebenso

\begin{matrix} ∣ ∣ ∣ N \sum k = 0 \frac{1}{k!} x^{k} - n \sum k = 0 \frac{1}{k!} x^{k} k - 1 \prod ℓ = 0 (1 - \frac{ℓ}{n}) ∣ ∣ ∣ \leq N \sum k = 0 \frac{1}{k!} | x |^{k} (1 - k - 1 \prod ℓ = 0 (1 - \frac{ℓ}{n})) + ε . \end{matrix}

$\begin{aligned}[]\bigg |\sum _{k=0}^N \frac {1}{k!} x^k- \sum _{k=0}^n \frac {1}{k!} x^k \prod _{\ell =0}^{k-1}\left (1-\frac {\ell }{n}\right )\bigg | \leq \sum _{k=0}^N \frac {1}{k!} |x|^k \bigg (1-\prod _{\ell =0}^{k-1}\left (1-\frac {\ell }{n}\right )\bigg ) + \varepsilon .\end{aligned}$

Wir fixieren nun $N$ und verwenden $\lim _{n \to \infty } \big (1-\prod _{\ell =0}^{k-1}\left (1-\frac {\ell }{n}\right )\big ) = 0$ für alle $k \in \left \lbrace {0,\ldots ,N} \right \rbrace$ , woraus folgt, dass

$\begin{aligned}[]\bigg |\sum _{k=0}^N \frac {1}{k!} x^k - \exp (x) \bigg | \leq \varepsilon .\end{aligned}$

Gemeinsam mit (6.8) erhalten wir

$\begin{aligned}[]\bigg |\sum _{k=0}^\infty \frac {1}{k!} x^k - \exp (x) \bigg | \leq 2\varepsilon .\end{aligned}$

Da $\varepsilon > 0$ beliebig war, folgt (6.7).

Die Darstellung der Exponentialfunktion als Potenzreihe liefert durch Betrachten von nur endlich vielen Termen eine Approximation von $\exp$ durch Polynome.

6.5.2 – Die komplexe Exponentialreihe

Wir verwenden nun die Potenzreihe aus (6.7), um die Exponentialfunktion $\exp : \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ auf der komplexen Zahlenebene zu definieren.

Satz 6.68: Komplexe Exponentialabbildung

Für $z \in \mathbb {C}$ definieren wir

$\begin{aligned}[]\exp (z) = \sum _{k=0}^\infty \frac {1}{k!}z^k,\end{aligned}$

womit eine stetige Erweiterung $\exp :\mathbb {C}\to \mathbb {C}$ der reellen Exponentialabbildung definiert wird. Des Weiteren gilt für alle $z,w\in \mathbb {C}$ die Additionsformel
$\begin{aligned}[]\label{eq;additionexpaufC} \exp (z+w) = \exp (z)\exp (w)\end{aligned}$
und die Formel
$\begin{aligned}[]\label{eq:expabsolutbet} |\exp (z)| = \exp (\operatorname {Re}(z))\end{aligned}$
für den Absolutbetrag. Insbesondere gilt $|\exp (\mathrm {i} y)| = 1$ für alle $y \in \mathbb {R}$ .

Auf Grund der Diskussion in Abschnitt 6.5.1 ist der Konvergenzradius der Reihe $\sum _{k=0}^\infty \frac {1}{k!}z^k$ unendlich. Wiederum nach Satz 6.56 ist damit $\exp :\mathbb {C}\to \mathbb {C}$ eine stetige Funktion, welche wegen Abschnitt 6.5.1 die reelle Exponentialfunktion erweitert. (Wir verwenden zwar das gleiche Symbol $\exp$ für die reelle und komplexe Exponentialfunktion, doch müssen wir diese unterscheiden, wenn wir Eigenschaften von Funktionen wie zum Beispiel Injektivität besprechen wollen.)

Für eine positive Basis $a \in \mathbb {R}_{>0}$ und $z \in \mathbb {C}$ setzen wir des Weiteren

$\begin{aligned}[]a^z = \exp (z \log (a)),\end{aligned}$

was wegen obigem mit der in Abschnitt 5.3.8 eingeführten Notation kompatibel ist. Insbesondere gilt $\mathrm {e}^{z}= \exp (z)$ für alle $z \in \mathbb {C}$ .

Übung 6.69: Grenzwertformel

Zeigen Sie, dass

$\begin{aligned}[]\exp (z)=\lim _{n\to \infty }\biggl (1+\frac {z}n\biggr )^n\end{aligned}$

für alle $z\in \mathbb {C}$ .

6.5.3 – Die Additionsformel

Wir wollen nun die Additionsformel (6.9) beweisen. In der Tat folgt für beliebige $z,w\in \mathbb {C}$ aus der Cauchy-Produktformel (Korollar 6.37), dass

$\begin{aligned}[]\exp (z)\exp (w) &= \bigg (\sum _{n=0}^\infty \frac {1}{n!}z^n\bigg )\bigg (\sum _{n=0}^\infty \frac {1}{n!}w^n\bigg )\\ &= \sum _{n=0}^\infty \sum _{k=0}^n \frac {1}{k!}\frac {1}{(n-k)!} z^k w^{n-k}\\ &= \sum _{n=0}^\infty \frac {1}{n!} \sum _{k=0}^n \frac {n!}{k!\ (n-k)!} z^k w^{n-k}\\ &= \sum _{n=0}^\infty \frac {1}{n!} \sum _{k=0}^n \binom {n}{k}z^k w^{n-k}\\ &= \sum _{n=0}^\infty \frac {1}{n!} (z+w)^n = \exp (z+w).\end{aligned}$

6.5.4 – Der Absolutbetrag der Exponentialabbildung

Es verbleibt für den Beweis von Satz 6.68 die Formel (6.10) für den Absolutbetrag zu beweisen. In der Tat gilt, da die Konjugation auf $\mathbb {C}$ stetig ist (wieso?), dass

$\begin{aligned}[]\overline {\exp (z)} = \overline { \lim _{n \to \infty } \sum _{k=0}^n \frac {1}{k!} z^k} = \lim _{n \to \infty } \overline { \sum _{k=0}^n \frac {1}{k!} z^k} = \lim _{n \to \infty } \sum _{k=0}^n \frac {1}{k!} \overline {z}^k = \exp (\overline {z}).\end{aligned}$

Insbesondere ist nach der Additionsformel

$\begin{aligned}[]|\exp (z)|^2 = \exp (z) \overline {\exp (z)} = \exp (z) \exp (\overline {z}) = \exp (z+ \overline {z}) = \exp (2 \operatorname {Re}(z)) = \exp (\operatorname {Re}(z))^2\end{aligned}$

womit die Formel $|\exp (z)| = \exp (\operatorname {Re}(z))$ nach Wurzelziehen folgt.

Übung 6.70

Zeigen Sie für alle $z \in \mathbb {C}$ mit [latex]|z|

Applet 6.71: Komplexe Exponentialabbildung

Wir stellen die komplexe Exponentialabbildung dar. Da der Graph dieser in $\mathbb {C}^2$ liegt, können wir den Graph wohl kaum auf dem Bildschirm darstellen. Stattdessen visualisieren wir die Abbildung anhand eines bewegbaren Punktes $z=s+\varphi \mathrm {i}\in \mathbb {C}$ und dessen Bildpunkt $\exp (z)=\mathrm {e}^s\exp (\varphi \mathrm {i})\in \mathbb {C}$ .

6.6 – Trigonometrische Funktionen

Wir definieren die Sinusfunktion bei $z \in \mathbb {C}$ durch
$\begin{aligned}[]\label{def:sinus} \sin (z) = z-\frac {z^3}{3!} + \frac {z^5}{5!}-+\ldots = \sum _{n=0}^\infty \frac {(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}\end{aligned}$
und die Kosinusfunktion bei $z \in \mathbb {C}$ durch
$\begin{aligned}[]\label{def:kosinus} \cos (z) = 1- \frac {z^2}{2!}+ \frac {z^4}{4!}-+\ldots = \sum _{n=0}^\infty \frac {(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}.\end{aligned}$

Wir sagen, dass eine Funktion $f$ auf $\mathbb {C}$ gerade ist, wenn $f(-z) = f(z)$ für alle $z \in \mathbb {C}$ und ungerade ist, wenn $f(-z) = -f(z)$ für alle $z \in \mathbb {C}$ . (Diese Begriffe werden analog für Funktionen mit Definitionsbereich $\mathbb {R}$ oder Intervallen der Form $[-a,a]$ für $a>0$ verwendet.)

Satz 6.72: Sinus- und Kosinusfunktionen

Die Potenzreihe (6.11) definiert die ungerade stetige Sinusfunktion $\sin :\mathbb {C}\to \mathbb {C}$ und die Potenzreihe (6.12) definiert die gerade stetige Kosinusfunktion $\cos :\mathbb {C}\to \mathbb {C}$ . Die Einschränkungen dieser Funktionen auf $\mathbb {R}$ sind reellwertig und werden ebenso also Sinusfunktion und Kosinusfunktion bezeichnet. Des Weiteren bestehen für alle $z\in \mathbb {C}$ die Beziehungen

$\begin{aligned}[]\exp (\mathrm {i} z)&=\cos (z)+\mathrm {i}\sin (z)\\ \sin (z)&=\frac {\mathrm {e}^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e}^{-\mathrm {i} z}}{2\mathrm {i}}\\ \cos (z)&=\frac {\mathrm {e}^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e}^{-\mathrm {i} z}}2\end{aligned}$

zu der Exponentialfunktion und es gelten die trigonometrischen Additionsformeln
$\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-sin addformel} \sin (z+w) &= \sin (z)\cos (w) + \cos (z) \sin (w)\\ \label{eq:reihe-cos addformel} \cos (z+w) &= \cos (z) \cos (w) - \sin (z) \sin (w)\end{aligned}$
für alle $z,w\in \mathbb {C}$ .

Eine kurze Rechnung (zum Beispiel wie schon in Abschnitt 6.5.1 unter Verwendung des Quotientenkriteriums) zeigt, dass die Reihen (6.11)–(6.12) für alle $z\in \mathbb {C}$ konvergieren. Nach Satz 6.56 haben diese Potenzreihen daher unendlichen Konvergenzradius, und Satz 6.56 besagt nun, dass $\sin$ und $\cos$ auf ganz $\mathbb {C}$ definiert und stetig sind. Für die Partialsummen $s_n(z)$ der Reihe in (6.11) gilt $s_n(-z)=-s_n(z)$ für alle $z\in \mathbb {C}$ , und daher ist $\sin$ eine ungerade Funktion. Analog ergibt sich, dass $\cos$ eine gerade Funktion definiert. Da die Koeffizienten der Potenzreihen $\sin$ und $\cos$ in $\mathbb {R}$ liegen, gilt $\sin (\mathbb {R})\subseteq \mathbb {R}$ und $\cos (\mathbb {R})\subseteq \mathbb {R}$ .

Applet 6.73: Potenzreihen

Wir betrachten die ersten Partialsummen der Potenzreihen, welche $\exp$ , $\sin$ und $\cos$ (beziehungsweise $\sinh$ , $\cosh$ vom nächsten Abschnitt) definieren. Durch Vergrössern des Ausschnittes können Sie die Qualität der Annäherungen der Partialsummen überprüfen. Bei den trigonometrischen Funktionen kann man auch im Bild gut erkennen, dass die Potenzreihe alternierende Reihen bilden.

Wir beweisen nun den Zusammenhang zur Exponentialabbildung. Für $z\in \mathbb {C}$ gilt

$\begin{aligned}[]\mathrm {e}^{\mathrm {i} z} = 1 + \mathrm {i} z - \frac {z^2}{2!}-\mathrm {i} \frac {z^3}{3!}+ \frac {z^4}{4!}+ \mathrm {i} \frac {z^5}{5!} -\ldots = \cos (z) + \mathrm {i} \sin (z)\end{aligned}$

und analog

$\begin{aligned}[]\mathrm {e}^{-\mathrm {i} z} =\cos (z) - \mathrm {i} \sin (z).\end{aligned}$

für alle $z \in \mathbb {C}$ . Lösen wir diese beiden Gleichungen nach $\sin (z)$ und $\cos (z)$ auf, so ergeben sich die Formeln im Satz.

6.6.1 – Additionsformeln

Wir wollen nun für alle $z,w\in \mathbb {C}$ die trigonometrischen Additionsformeln in Satz 6.72 beweisen. Hierzu multiplizieren wir $\mathrm {e}^{\mathrm {i} z}$ und $\mathrm {e}^{\mathrm {i} w}$ und erhalten auf Grund der Additionsformel (6.9) für die Exponentialabbildung

$\begin{aligned}[]\mathrm {e}^{\mathrm {i} (z+w)}&=\cos (z+w)+\mathrm {i}\sin (z+w)=\mathrm {e}^{\mathrm {i} z}\mathrm {e}^{\mathrm {i} w}\\ &=(\cos (z)+\mathrm {i}\sin (z))(\cos (w)+\mathrm {i}\sin (w))\\ &=\cos (z)\cos (w)-\sin (z)\sin (w)\\ &\quad \quad \quad +\mathrm {i}(\sin (z)\cos (w)+\sin (w)\cos (z))\end{aligned}$

und ebenso

$\begin{aligned}[]\mathrm {e}^{-\mathrm {i} (z+w)}&=\cos (z+w)-\mathrm {i}\sin (z+w)=\mathrm {e}^{-\mathrm {i} z}\mathrm {e}^{-\mathrm {i} w}\\ &=(\cos (z)-\mathrm {i}\sin (z))(\cos (w)-\mathrm {i}\sin (w))\\ &=\cos (z)\cos (w)-\sin (z)\sin (w)\\ &\quad \quad \quad -\mathrm {i}(\sin (z)\cos (w)+\sin (w)\cos (z)).\end{aligned}$

Auf Grund dieser beiden Gleichungen erhalten wir die Formeln (6.13)–(). (Für $z,w\in \mathbb {R}$ würde die erste der beiden Gleichungen ausreichen indem wir Real- und Imaginärteile betrachten. Aber für $z,w\in \mathbb {C}$ erhalten wir zum Beispiel () durch Addition obiger Gleichungen.) Dies beendet den Beweis von Satz 6.72.

Für $z = w \in \mathbb {C}$ ergeben sich insbesondere die Winkelverdoppelungsformeln

$\begin{aligned}[]\sin (2z) &= 2 \sin (z) \cos (z),\\ \cos (2z) &= \cos ^2(z) - \sin ^2(z),\end{aligned}$

wobei wir die Notation $\cos ^2(z) = (\cos (z))^2$ und $\sin ^2(z) = (\sin (z))^2$ für $z \in \mathbb {C}$ verwendet haben und auch für andere Funktionen und andere Potenzen des Öfteren verwenden werden. Des Weiteren folgt für $w = -z$ aus () und der Tatsache, dass der Sinus ungerade und der Kosinus gerade ist, die Kreisgleichung für Sinus und Kosinus

$\begin{aligned}[]1 = \cos ^2(z)+ \sin ^2(z)\end{aligned}$

für alle $z\in \mathbb {C}$ .

6.6.2 – Die Kreiszahl

Wir können nun die Kreiszahl $\pi$ definieren.

Satz 6.74: Pi

Es gibt genau eine Zahl $\pi \in (0,4)$ mit $\sin (\pi ) =0$ . Für diese Zahl gilt weiters

$\begin{aligned}[]\mathrm {e}^{2\pi \mathrm {i}} &= \cos (2\pi ) + \mathrm {i} \sin (2\pi ) = 1,\\ \mathrm {e}^{\pi \mathrm {i}} &= \cos (\pi ) = -1,\\ \mathrm {e}^{\frac 12{\pi }\mathrm {i}} &= \cos \big (\frac {\pi }{2}\big ) + \mathrm {i} \sin \big (\frac {\pi }{2}\big ) = \mathrm {i}, \\ \mathrm {e}^{\frac 32{\pi }\mathrm {i}} &= \cos \big (\frac {3\pi }{2}\big ) + \mathrm {i} \sin \big (\frac {3\pi }{2}\big ) = -\mathrm {i}, \\ \mathrm {e}^{\frac 14{\pi }\mathrm {i}} &= \cos \big (\frac {\pi }{4}\big ) + \mathrm {i} \sin \big (\frac {\pi }{4}\big )= \frac {1}{\sqrt {2}}+\frac {\mathrm {i}}{\sqrt {2}}.\end{aligned}$

Beweis

Aus dem Leibniz-Kriterium (Proposition 6.25) und der Monotonie der Folge $(\frac {x^n}{n!})_n$ für alle $x \in (0,1]$ folgt, dass

$\begin{aligned}[]\sin (x) \geq x - \tfrac {x^3}{3!}\geq 0\end{aligned}$

und

$\begin{aligned}[]1 > 1-\tfrac {x^2}{2}+\tfrac {x^4}{24}\geq \cos (x) \geq 1- \tfrac {x^2}{2}> 0\end{aligned}$

für alle $x \in (0,1]$ . Für $x=0$ ist $\sin (0) = 0$ und für $x=1$ ergibt sich

$\begin{aligned}[]\sin ^2(1) \geq (1-\tfrac 16)^2 = \tfrac {25}{36} > \frac 12\end{aligned}$

und wegen Positivität von $\sin (1)$ damit $\sin (1) > \frac {1}{\sqrt {2}}$ . Daher existiert nach dem Zwischenwertsatz (Satz 3.59) eine Zahl $p \in (0,1)$ mit $\sin (p) = \frac {1}{\sqrt {2}}$ . Wegen $\sin ^2(p) + \cos ^2(p) = 1$ und $\cos (p) > 0$ folgt ebenso $\cos (p) = \frac {1}{\sqrt {2}}$ . Wir definieren $\pi = 4p$ . Die weiteren Formeln im Satz folgen aus den Additionsformeln (und den Winkelverdopplungsformeln).

Es verbleibt die Eindeutigkeit von $\pi$ wie im Satz zu zeigen. Für dies zeigen wir zuerst, dass es keine Nullstelle $r\in (0,2]$ von der Sinusfunktion geben kann. Wir nehmen indirekt an, dass $r\in (0,2]$ die Gleichung $\sin (r)=0$ erfüllt. Dann gilt $\cos (r) = \mathrm {e}^{r\mathrm {i}} \in \left \lbrace {1,-1} \right \rbrace$ und somit $\mathrm {e}^{\frac {r}{2}\mathrm {i}} \in \left \lbrace {1,-1,\mathrm {i},-\mathrm {i}} \right \rbrace$ . Da aber $\frac {r}{2}$ in $(0,1]$ liegt, verfügen wir bereits über die Ungleichungen [latex]0

Angenommen $s \in (0,4) \setminus \left \lbrace {\pi } \right \rbrace$ erfüllt ebenso $\sin (s) = 0$ . Dann gilt nach obigem, dass $s\in (2,4)$ . Wir definieren

$\begin{aligned}[]r = \left \lbrace \begin{array}{ll} \pi -s & \text {falls } 2$

Dann gilt $r \in (0,2]$ und $\sin (r) = 0$ (wieso?), was aber obigem Argument widerspricht. Daher ist $\pi \in (0,4)$ durch die Gleichung $\sin (\pi ) = 0$ eindeutig bestimmt. ∎

Aus den Additionsformeln erhält man folgendes Korollar.

Korollar 6.75: Periodizität

Es gelten

$\begin{aligned}[]\sin (z+\pi ) &= -\sin (z),\\ \cos (z+\pi ) &= -\cos (z),\\ \sin (z+2\pi ) &= \sin (z),\\ \cos (z+2\pi ) &= \cos (z),\end{aligned}$

und $\cos (z) = \sin \big (z+ \frac {\pi }{2}\big )$ für alle $z \in \mathbb {C}$ .

Insbesondere sind die Werte des Sinus und des Kosinus auf $\mathbb {R}$ durch die Werte auf dem Intervall $[0,\frac {\pi }{2}]$ eindeutig bestimmt (wieso?). Dieses Prinzip überträgt sich unter anderem auf die Nullstellen von Sinus und Kosinus.

Wichtige Übung 6.76: Nullstellen von $\sin$ und $\cos$

Zeigen Sie, dass die Nullstellen von $\sin$ genau die Punkte in $\pi \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {C}$ sind und dass die Nullstellen von $\cos$ genau die Punkte in $\pi \mathbb {Z}+ \frac {\pi }{2}$ sind.

Hinweis.

Überzeugen Sie sich zuerst davon, dass der Sinus nur reelle Nullstellen hat. Verwenden Sie die Periodizität des Sinus und die Definition von $\pi$ , um die Nullstellen von $\sin$ zu bestimmen. Anschliessend können Sie Korollar 6.75 für die Aussage über den Kosinus benutzen.

Übung 6.77: Monotonie von Sinus

Zeigen Sie die Formel

$\begin{aligned}[]\sin (z)-\sin (w) = 2 \cos \bigg (\frac {z+w}{2}\bigg ) \sin \bigg (\frac {z-w}{2}\bigg )\end{aligned}$

für alle $z,w\in \mathbb {C}$ . Verwenden Sie dies, um zu zeigen, dass der eingeschränkte Sinus

$\begin{aligned}[]\sin : \left [-\frac {\pi }{2},\frac {\pi }{2}\right ]\to [-1,1]\end{aligned}$

strikt monoton wachsend und bijektiv ist.

Übung 6.78

Zeigen Sie, dass die Zahl $\cos \big (\frac {\pi }{7}\big )$ algebraisch ist.

Übung 6.79: Abschätzungen für $\pi$

Zeigen Sie $\pi \in (3,4)$ oder sogar [latex]3.1

6.6.3 – Tangens und Cotangens

Wir definieren die Tangensfunktion $\tan$ durch

$\begin{aligned}[]\tan (z) = \frac {\sin (z)}{\cos (z)}\end{aligned}$

für alle $z \in \mathbb {C}$ mit $\cos (z) \neq 0$ , was nach Übung 6.76 gerade alle $z \in \mathbb {C} \setminus (\pi \mathbb {Z}+ \frac {\pi }{2})$ sind. Analog ist die Cotangensfunktion $\cot$ durch

$\begin{aligned}[]\cot (z) = \frac {\cos (z)}{\sin (z)}\end{aligned}$

für alle $z \in \mathbb {C}$ mit $\sin (z) \neq 0$ (oder äquivalent alle $z \in \mathbb {C} \setminus \pi \mathbb {Z}$ nach Übung 6.76) definiert.

Übung 6.80: Additionsformel für den (Co-)Tangens

Zeigen Sie, dass für $z,w \in \mathbb {C}$ die Additionsformel

$\begin{aligned}[]\tan (z+w) = \frac {\tan (z)+\tan (w)}{1-\tan (z)\tan (w)}\end{aligned}$

gilt, wo definiert. Finden und beweisen Sie eine analoge Additionsformel für den Cotangens.

6.6.4 – Polarkoordinaten und Multiplikation auf den komplexen Zahlen

Die Beschreibung eines Punktes $z \in \mathbb {C}$ durch Polarkoordinaten besteht aus einem Radius $r \geq 0$ und einem «Winkel» $\theta \in \mathbb {R}$ mit

$\begin{aligned}[]z = r \mathrm {e}^{\mathrm {i}\theta }=r(\cos (\theta )+\mathrm {i}\sin (\theta )).\end{aligned}$

Wir bezeichnen hier den reellen Parameter $\theta$ als Winkel, obwohl wir diesem noch keine geometrische Bedeutung formal zuweisen. Wir werden dies korrigieren, sobald wir die Definition der Bogenlänge einer Kurve kennen.

Ist eine derartige Darstellung von $z\in \mathbb {C}$ gegeben, so gilt $r = |r| = |z|$ womit $r$ den Abstand von $z$ zum Ursprung darstellt. Die Menge der Elemente mit Absolutbetrag Eins

$\begin{aligned}[]\mathbb {S}^1 = \left \lbrace {z \in \mathbb {C}} \mid {|z|=1}\right \rbrace = \left \lbrace {\mathrm {e}^{\mathrm {i} \theta }} \mid {\theta \in \mathbb {R}}\right \rbrace\end{aligned}$

wird als der Einheitskreis in $\mathbb {C}$ bezeichnet (wobei $\mathbb {S}^1$ auch für die $1$ -dimensionale Sphäre steht).

Lemma 6.81: Existenz von Polarkoordinaten

Für alle $z \in \mathbb {C}$ existiert ein eindeutig bestimmtes $r\geq 0$ und ein Winkel $\theta \in [0,2\pi )$ mit $z = r \mathrm {e}^{\mathrm {i}\theta }$ . Des Weiteren ist der Winkel $\theta$ eindeutig bestimmt, falls $z \neq 0$ .

Beweis

Für $z = 0$ gibt es nichts zu zeigen. Also nehmen wir $z \neq 0$ an. Nach Division mit $|z|$ können wir des Weiteren $r=|z| = 1$ annehmen. Wir betrachten zuerst den Fall $\operatorname {Im}(z)\geq 0$ und behaupten, dass ein $\theta \in [0,\pi ]$ existiert, so dass $z = \mathrm {e}^{\mathrm {i}\theta }$ . In der Tat ist $z=x+y\mathrm {i}$ für ein $x\in [-1,1]$ und es gilt $\cos (0) = 1$ und nach Satz 6.74 auch $\cos (\pi ) = -1$ . Insbesondere existiert nach dem Zwischenwertsatz ein $\theta \in [0,\pi ]$ mit $\operatorname {Re}(z) =x= \cos (\theta )$ . Nun gilt aber auch

$\begin{aligned}[]\sin (\theta ) = \sqrt {1-\cos ^2(\theta )} = \sqrt {1-\operatorname {Re}(z)^2} = y=\operatorname {Im}(z)\end{aligned}$

da wir $y=\operatorname {Im}(z)\geq 0$ angenommen haben, und somit

$\begin{aligned}[]z = \operatorname {Re}(z)+\operatorname {Im}(z) \mathrm {i} = \cos (\theta ) + \sin (\theta )\mathrm {i} = \mathrm {e}^{\mathrm {i}\theta }.\end{aligned}$

Falls [latex]\operatorname {Im}(z)

Sind $\theta ,\theta ' \in [0,2\pi )$ mit $z = \mathrm {e}^{\mathrm {i}\theta } = \mathrm {e}^{\mathrm {i}\theta '}$ , dann gilt $\mathrm {e}^{\mathrm {i}(\theta -\theta ')} =1$ und daher auch $\sin (\theta -\theta ')=0$ . Aus der Eindeutigkeit von $\pi$ in Satz 6.74 und der Formel $\sin (x+\pi )=-\sin (x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$ in Korollar 6.75 ergibt sich daraus, dass $\theta -\theta '\in \{ -\pi ,0,\pi \}$ . Falls $\theta -\theta '\in \{ -\pi ,\pi \}$ , dann ist aber $\mathrm {e}^{\mathrm {i}(\theta -\theta ')}=-1$ , und daher muss $\theta =\theta '$ gelten. ∎

In Polarkoordinaten lässt sich die Multiplikation auf $\mathbb {C}$ neu interpretieren. Sind $z = r \mathrm {e}^{\mathrm {i}\theta }$ und $w= s\mathrm {e}^{\mathrm {i}\psi }$ in $\mathbb {C}$ , dann ist $zw = rs\mathrm {e}^{\mathrm {i}(\theta +\psi )}$ . Multiplikation mit $z$ streckt also um den Faktor $r$ und rotiert um den Winkel $\theta$ , oder anders formuliert bei Multiplikation der Vektoren $z,w\in \mathbb {C}$ multiplizieren sich die Längen der Vektoren und addieren sich die Winkel. Diese geometrische Erklärung der Multiplikation hat in der Geschichte der komplexen Zahlen die komplexen Zahlen ausgehend von einem etwas mysteriösen rein algebraischem Objekt zu einem eigenständigen Zahlenbegriff verwandelt. Daraufhin hat dieser Zahlenbegriff schnell Einzug in die weitere Entwicklung der Mathematik gefunden. Wir verweisen hierfür auf einen weiteren BBC Podcast.

Applet 6.82: Geometrische Bedeutung der Komplexen Zahlen

Wir können anhand der eingezeichneten Polarkoordinatenlinien die geometrische Bedeutung der Multiplikation von komplexen Zahlen und der Inversen und der Wurzeln einer vorgegebenen Zahl erkennen. Bei Bewegung von $z$ um den Ursprung im Wurzelmodus ist ersichtlich, warum eine stetige Definition von Wurzelfunktionen nicht möglich ist.

Darstellung der Abbildung $z \in \mathbb {C} \mapsto z^2 \in \mathbb {C}$ . Wir möchten illustrieren, wie sich die Abbildung $z \in \mathbb {C} \mapsto z^2 \in \mathbb {C}$ auf Kreisen in der komplexen Ebene verhält. Dazu teilen wir die komplexe Ebene in die obere und die untere Halbebene auf und färben die Kreise (hier für Radien in $\left \lbrace {\frac {1}{2},1,2} \right \rbrace$ ) entsprechend ein.

Wir betrachten die beiden Hälften nun gesondert. Zusätzlich zu den bestehenden Halbkreisen zeichnen wir von Null ausgehende Strahlen zu verschiedenen Winkeln ein.

Die Abbildung $z \mapsto z^2$ öffnet nun obige Bilder, die an Fächern erinnern, in die eingezeichnete Richtung auf. Genauer werden die Radien quadriert (und liegen somit in $\left \lbrace {\frac 14,1,4} \right \rbrace$ ) und die Winkel in die eingezeichnete Richtung verdoppelt. Das erhaltene Bild ist in beiden Fällen dasselbe; das Bild der gesamten Abbildung stellt sich also wie folgt dar. Insbesondere hat also jeder Punkt in $\mathbb {C}^\times$ genau zwei Quadratwurzeln.

Abgesehen von dieser geometrischen Interpretation der Multiplikation können Polarkoordinaten verwendet werden, um Nullstellen von Polynomen zu bestimmen. Dies trifft in einem gewissen Sinn auch für allgemeine Polynome im Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra zu, doch wollen wir hier zuerst nur folgende Spezialfälle betrachten.

Übung 6.83: Wurzeln

Sei $w = r\mathrm {e}^{\mathrm {i}\theta }$ . Zeigen Sie, dass die Nullstellen des Polynoms $p(z) = z^n-w$ (die $n$ -ten Wurzeln von $w$ ) gerade durch

$\begin{aligned}[]\sqrt [n]{r}\mathrm {e}^{\mathrm {i}\frac {\theta }{n}},\ \sqrt [n]{r}\mathrm {e}^{\mathrm {i}\frac {\theta }{n}+\mathrm {i}\frac {2\pi }{n}},\ \ldots , \sqrt [n]{r} \mathrm {e}^{\mathrm {i}\frac {\theta }{n}+\mathrm {i}\frac {2\pi (n-1)}{n}}\end{aligned}$

gegeben sind und dass diese paarweise verschieden sind. Die $n$ -ten Wurzeln von $1$ nennen sich die $n$ -ten Einheitswurzeln.

Zeigen Sie des Weiteren für alle natürlichen Zahlen $n\geq 2$ die Identität

$\begin{aligned}[]\sum _{k=0}^{n-1} \mathrm {e}^{\mathrm {i}\frac {2\pi k}{n}} = 0.\end{aligned}$

Übung 6.84: Quadratische Formel

Verallgemeinern Sie Übung 3.18 und zeigen Sie, dass jedes komplexe Polynom vom Grad $2$ als Produkt zweier komplexen Polynomen mit Grad $1$ geschrieben werden kann.

6.6.5 – Zwei Logarithmen auf der komplexen Zahlenebene

Wir erinnern daran, dass wir den reellen Logarithmus als die inverse Abbildung von der bijektiven Abbildung $\exp :\mathbb {R}\to \mathbb {R}_{>0}$ definierten. Wir wollen dies nun wiederholen und den Logarithmus für komplexe Zahlen definieren. Leider gibt es hier aber ein fundamentales Problem: die Exponentialabbildung ist auf der komplexen Zahlenebene ganz und gar nicht bijektiv, da beispielsweise $\exp (2n\pi \mathrm {i})=1$ für alle $n\in \mathbb {Z}$ .

Aus diesem Grund müssen wir die Exponentialabbildung auf eine geeignete Teilmenge $D$ von $\mathbb {C}$ einschränken, so dass die eingeschränkte Abbildung $\exp |_D:D\to \mathbb {C}^\times$ bijektiv ist. Dies kann durch viele verschiedene Teilmengen erreicht werden. Wir wollen hier zwei Möglichkeiten ansprechen.

Zum Beispiel könnten wir die Teilmenge

$\begin{aligned}[]D_{\operatorname {Polar}}=\mathbb {R}\times [0,2\pi )=\left \lbrace {x+y\mathrm {i}} \mid {x\in \mathbb {R},\ y\in [0,2\pi )}\right \rbrace\end{aligned}$

betrachten. In diesem Fall entsprechen $x\in \mathbb {R}$ und $y\in [0,2\pi )$ mit $\exp (x+y\mathrm {i})=z\in \mathbb {C}^\times$ der Polarkoordinatendarstellung von $z=r\mathrm {e}^{\theta \mathrm {i}}\in \mathbb {C}^\times$ in Lemma 6.81 mit $r=\exp (x)$ und $\theta =y$ . Da die Polarkoordinatendarstellung von jedem $z\in \mathbb {C}^\times$ eindeutig bestimmt ist, ist die Einschränkung $\exp |_{D_{\operatorname {Polar}}}:D_{\operatorname {Polar}}\to \mathbb {C}^\times$ bijektiv. Der Nachteil dieser Abbildung ist, dass die entsprechende Umkehrabbildung bei jeder positiven Zahl in $(0,\infty )$ unstetig ist (wieso?).

Die Unstetigkeit des komplexen Logarithmus lässt sich zwar nicht vermeiden (zumindest dann nicht, wenn man Bijektivität der Logarithmusabbildung bewahren will), doch können wir diese mit der anderen Wahl $D$ «etwas besser verstecken». Wir definieren

$\begin{aligned}[]D_{\operatorname {Haupt}}=\mathbb {R}\times (-\pi ,\pi ]=\left \lbrace {x+y\mathrm {i}} \mid {x\in \mathbb {R},\ y\in (-\pi ,\pi ]}\right \rbrace .\end{aligned}$

Man sieht auf die gleiche Weise wie oben, dass

$\begin{aligned}[]\exp |_{D_{\operatorname {Haupt}}}:D_{\operatorname {Haupt}}\to \mathbb {C}^\times\end{aligned}$

bijektiv ist. In der Tat entspricht dies leicht veränderten Polarkoordinaten, wo wir einen Winkel $\theta \in [0,\pi ]$ unverändert lassen aber einen Winkel $\theta \in (\pi ,2\pi )$ durch $\theta -2\pi \in (-\pi ,0)$ ersetzen (welcher wegen $\mathrm {e}^{(\theta -2\pi )\mathrm {i}}=\mathrm {e}^{\theta \mathrm {i}}$ den gleichen Zweck wie $\theta$ erfüllt). Die entsprechende Umkehrabbildung wird der Hauptzweig des Logarithmus

$\begin{aligned}[]\log :\mathbb {C}^\times \to D_{\operatorname {Haupt}}=\left \lbrace {x+y\mathrm {i}} \mid {x\in \mathbb {R},\ y\in (-\pi ,\pi ]}\right \rbrace\end{aligned}$

genannt. Er ist auf der negativen Halbachse [latex]\mathbb {R}_{

Wir bemerken noch, dass wir keine Potenzen $z^w$ mit komplexer (oder auch nur negativer) Basis $z$ und komplexen (oder auch nur reellen) Exponenten $w$ definieren. Der Grund dafür ist, dass diese Definition von einer Wahl eines geeigneten Logarithmus abhängen würde und aus diesem Grunde nicht natürlich wäre.

Die Abbildung $\exp |_{D_{\operatorname {Polar}}}$ in Bildern Wir stellen zuerst die Teilmenge $D_{\operatorname {polar}}$ dar.

In obigem Bild sind die blauen Linien bei $y \in \left \lbrace 0,\frac {\pi }{6}, \frac {\pi }{4},\frac {2\pi }{5}, \frac {\pi }{2}, \frac {2\pi }{3},\pi , \frac {4\pi }{3}, \frac {7\pi }{4} \right \rbrace$ eingezeichnet. Wir wenden nun auf der $x$ -Koordinate die Exponentialabbildung an und erhalten folgendes Bild in den Koordinaten $r = \mathrm {e}^x,\ \theta = y$ .

Man beachte, dass die grüne Linie von der Abbildung nicht getroffen wird. Jetzt weisen wir jedem Punkt mit Koordinaten $(r,\theta )$ die komplexe Zahl zu, die diese Polarkoordinaten hat. Die blaue Linie beim Wert $\theta$ wird damit auf den von $0$ ausgehenden Strahl mit Winkel $\theta$ abgebildet. Die rote Linie beim Wert $r$ wird auf den Kreis mit Radius $r$ abgebildet. Die grüne Linie wird auf den Punkt $0$ kollabiert.

6.7 – Integration von Potenzreihen

Wir haben in den Abschnitten 6.5 und 6.6 einige sehr wichtige, durch Potenzreihen definierte Funktionen gesehen. Daher drängt sich die Frage auf, ob wir das Riemann-Integral über diese Funktionen berechnen können. Die positive Antwort ist eine direkte Anwendung der Resultate in Abschnitt 6.3.

Satz 6.85: Integration von Potenzreihen

Sei $f(x) = \sum _{n=0}^\infty c_n x^n$ eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten $(c_n)_{n\in \mathbb {N}_0}$ und Konvergenzradius $R$ . Dann definiert $F(x) = \sum _{n=0}^\infty \frac {c_n}{n+1}x^{n+1}$ eine Potenzreihe mit demselben Konvergenzradius $R$ und es gilt

$\begin{aligned}[]\int _a^b f(x)\thinspace {\rm {d}} x = F(b) -F(a)\end{aligned}$

für alle $a,b \in (-R,R)$ .

Man spricht in diesem Zusammenhang auch von gliedweiser Integration der Potenzreihe, da wir einfach jeden Summanden getrennt integrieren und damit das richtige Ergebnis erhalten.

Beweis

Wir beweisen zuerst die Behauptung über den Konvergenzradius $R$ . Sei $S$ der Konvergenzradius der Reihe $\sum _{\ell =1}^\infty \frac {c_{\ell -1}}\ell x^\ell =\sum _{n=0}^\infty \frac {c_n}{n+1}x^{n+1}$ . Falls $\sum _{n=0}^\infty c_n x^n$ absolut konvergiert, dann konvergiert $\sum _{n=0}^\infty \frac {c_n}{n+1}x^{n+1}$ ebenfalls absolut, da

$\begin{aligned}[]\bigg | \frac {c_n}{n+1}x^{n+1} \bigg |\leq |x||c_n x^n|\end{aligned}$

für alle $n\in \mathbb {N}_0$ . Dies beweist $S\geq R$ auf Grund der Eigenschaften des Konvergenzradiuses in Satz 6.56.

Falls umgekehrt $\sum _{n=0}^\infty \frac {c_n}{n+1}x^{n+1}$ konvergiert, dann gibt es ein $M > 0$ mit $\big | \frac {c_n}{n+1}x^{n}\big |\leq M$ für alle $n \in \mathbb {N}_0$ . Für $y \in (-x,x)$ ist dann

$\begin{aligned}[]|c_ny^n| = \bigg |\frac {c_n}{n+1}x^{n}\bigg |\ (n+1) \left |\frac {y}{x}\right |^n \leq M (n+1) \left |\frac {y}{x}\right |^n\end{aligned}$

und daher

$\begin{aligned}[]\limsup _{n \to \infty }\sqrt [n]{|c_n| y^n} \leq \lim _{n \to \infty } \sqrt [n]{M (n+1) \left |\frac {y}{x}\right |^n } = \left |\frac {y}{x}\right |$

Aus dem Wurzelkriterium (Korollar 6.30) folgt daher die Konvergenz von $\sum _{n=0}^\infty c_n y^n$ . Dies beweist die umgekehrte Ungleichung $S\leq R$ (siehe wiederum Satz 6.56). Daher gilt $S=R$ und der erste Teil des Satzes ist bewiesen.

Seien nun $a,b\in (-R,R)$ mit [latex]a4.37, um

$\begin{aligned}[]\int _a^b f_N(x) \thinspace {\rm {d}} x = \sum _{n=0}^N \frac {c_n}{n+1} b^{n+1}-\sum _{n=0}^N \frac {c_n}{n+1} a^{n+1}\end{aligned}$

zu erhalten. Auf Grund von Satz 6.56 konvergiert die Funktionenfolge $f_N(x)$ der Partialsummen der Potenzreihe gleichmässig gegen $f(x)$ auf $[a,b]$ . Lässt man nun $N$ gegen Unendlich gehen, ergibt sich unter Verwendung von Satz 6.49, dass

$\begin{aligned}[]\int _a^b f(x)\thinspace {\rm {d}} x = \lim _{N \to \infty } \int _a^b f_N(x)\thinspace {\rm {d}} x = F(b)-F(a).\end{aligned}$

∎

Wenden wir obigen Satz auf die uns mittlerweile wohlbekannten Potenzreihen an, erhalten wir folgende Formeln.

Korollar 6.86

Für alle $a,b\in \mathbb {R}$ gelten die Integrationsformeln

$\begin{aligned}[]\int _a^b \exp (x) \thinspace {\rm {d}} x &= [\exp (x)]_a^b=\exp (b)-\exp (a)\\ \int _a^b \sin (x) \thinspace {\rm {d}} x &= [-\cos (x)]_a^b=-\cos (b)+\cos (a)\\ \int _a^b \cos (x) \thinspace {\rm {d}} x &= [\sin (x)]_a^b=\sin (b)-\sin (a).\end{aligned}$

Beweis

Wir verwenden Satz 6.85 und erhalten zum Beispiel

$\begin{aligned}[]\int _a^b \exp (x) \thinspace {\rm {d}} x &= \sum _{n=0}^\infty \frac {\frac {1}{n!}}{n+1} b^{n+1} - \sum _{n=0}^\infty \frac {\frac {1}{n!}}{n+1} a^{n+1}\\ &= \sum _{n=0}^\infty \frac {1}{(n+1)!} b^{n+1} - \sum _{n=0}^\infty \frac {1}{(n+1)!} a^{n+1} = \exp (b)-\exp (a).\end{aligned}$

Die Beweise der anderen beiden Formeln sind ähnlich (siehe Übung 6.87). ∎

Übung 6.87

Beweisen Sie die letzten beiden Formeln in Korollar 6.86.

Applet 6.88: Integration von transzendenten Funktionen

Wir stellen obige Integrationsgesetze (und jene vom nächsten Unterabschnitt) grafisch dar.

6.7.1 – Die hyperbolischen Funktionen

In Analogie zu den Winkelfunktionen sind manchmal auch folgende Funktionen, die in engem Zusammenhang mit der Hyperbel $\left \lbrace {(x,y)\in \mathbb {R}^2} \mid {x^2-y^2=1}\right \rbrace$ stehen, nützlich. Wir definieren den Sinus Hyperbolicus durch

$\begin{aligned}[]\sinh (z) = \frac {e^z-e^{-z}}{2} = z + \frac {z^3}{3!} + \frac {z^5}{5!}+ \ldots = \sum _{k=0}^\infty \frac {1}{(2k+1)!}z^{2k+1}\end{aligned}$

für alle $z \in \mathbb {C}$ , den Kosinus Hyperbolicus durch

$\begin{aligned}[]\cosh (z) = \frac {e^z+e^{-z}}{2} = 1 + \frac {z^2}{2!} + \frac {z^4}{4!}+ \ldots = \sum _{k=0}^\infty \frac {1}{(2k)!}z^{2k}\end{aligned}$

für alle $z \in \mathbb {C}$ und den Tangens Hyperbolicus durch

$\begin{aligned}[]\tanh (z) = \frac {\sinh (z)}{\cosh (z)}=\frac {e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}\end{aligned}$

für alle $z \in \mathbb {C}$ .

Die Funktionen $\sinh$ und $\tanh$ sind ungerade und $\cosh$ ist gerade. Es gelten die Additionsformeln

$\begin{aligned}[]\sinh (z+w) &= \sinh (z)\cosh (w) +\cosh (z) \sinh (w),\\ \cosh (z+w) &= \cosh (z)\cosh (w)+\sinh (z)\sinh (w)\end{aligned}$

für alle $z,w\in \mathbb {C}$ und weiters

$\begin{aligned}[]\cosh ^2(z) - \sinh ^2(z) = 1,\\ \cosh (z) + \sinh (z) = e^z\end{aligned}$

für alle $z \in \mathbb {C}$ .

Auf Grund der Definitionen von Sinus und Kosinus Hyperbolicus und Korollar 6.86 ergibt sich nun

$\begin{aligned}[]\int _a^b \sinh (x) \thinspace {\rm {d}} x &= [\cosh (x)]_a^b=\cosh (b)-\cosh (a)\\ \int _a^b \cosh (x) \thinspace {\rm {d}} x &= [\sinh (x)]_a^b=\sinh (b)-\sinh (a).\end{aligned}$

Übung 6.89

Beweisen Sie ausgehend von den Definitionen des hyperbolischen Sinus und des hyperbolischen Kosinus die obigen Formeln.

6.8 – Ziffernentwicklungen und fraktale Konstruktionen*

Für jede natürliche Zahl $p \geq 2$ und jede reelle positive Zahl $x>0$ gibt es eine Ziffernentwicklung zur Basis $p$ . Genauer formuliert existiert ein $\ell \in \mathbb {Z}$ mit $x [latex] \begin{aligned}[]\label{eq:reihe-ziffentw} x = \sum _{n=\ell }^\infty d_np^{-n}.\end{aligned}$
Um dies zu sehen, nehmen wir, da die Ziffernentwicklung auf $\mathbb {N}_0$ ja bereits bekannt ist (siehe Übung 3.7), ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $\ell =1$ und also $x=x_0 \in (0,1)$ . Wir können dann die rekursiv definierten Zahlen

$\begin{aligned}[]d_1 &= \lfloor {px_0} \rfloor \in \left \lbrace {0,1,2,\ldots , p-1} \right \rbrace ,\qquad x_1 = \left \lbrace {px_0} \right \rbrace \in (0,1) \\ d_2 &= \lfloor {px_1} \rfloor \in \left \lbrace {0,1,2,\ldots , p-1} \right \rbrace ,\qquad x_2 = \left \lbrace {px_1} \right \rbrace \in (0,1)\end{aligned}$

und weiter

$\begin{aligned}[]d_{n+1} &= \lfloor {px_{n}} \rfloor \in \left \lbrace {0,1,2,\ldots , p-1} \right \rbrace ,\qquad x_{n+1} = \left \lbrace {px_{n}} \right \rbrace \in (0,1)\end{aligned}$

für jedes $n\in \mathbb {N}$ betrachten. Insbesondere ist $px_n = d_{n+1}+x_{n+1}$ für alle $n \in \mathbb {N}$ und damit ergibt sich mittels Induktion

$\begin{aligned}[]x-\sum _{n=1}^Nd_np^{-n} = p^{-N}x_N\end{aligned}$

für alle $N \in \mathbb {N}$ . Daraus folgt die Fehlerabschätzung

$\begin{aligned}[]\bigg |x- \sum _{n=1}^Nd_np^{-n}\bigg |\leq p^{-N}|x_N|$

und mit dem Grenzübergang $N \to \infty$ auch (6.14). Wir möchten an dieser Stelle erwähnen, dass obiges Vorgehen eine explizite Variante (einen Algorithmus) liefert, um die Ziffernentwicklung einer Zahl zur Basis $p$ zu finden.

Übung 6.90

Finden Sie eine Ziffernentwicklung von $\frac {1}{7}$ zur Basis $3$ .

In den meisten, aber nicht allen Fällen ist die Ziffernentwicklung eindeutig. Es ist zum Beispiel

$\begin{aligned}[]\sum _{n=1}^\infty (p-1)p^{-n} = \frac {p-1}{p}\sum _{n=0}^\infty p^{-n} = \frac {p-1}{p}\frac {1}{1-p^{-1}} = 1.\end{aligned}$

Im Spezialfall $p=10$ kennt man dies in der Form $0.\dot {9} = 1$ .

Wir behaupten, dass diese Rechnung gewissermassen der einzige Grund für eine Zweideutigkeit in der Ziffernentwicklung sein kann. Angenommen

$\begin{aligned}[]x = \sum _{n=\ell }^\infty d_np^{-n} = \sum _{n=\ell '}^\infty d_n' p^{-n}\end{aligned}$

sind zwei verschiedene Ziffernentwicklungen einer Zahl $x>0$ zur Basis $p$ . Dann können wir, notfalls unter Hinzufügen von Nullen, annehmen, dass $\ell =\ell '$ ist. Falls $k> \ell$ die kleinste Zahl ist mit $d_n=d_n'$ für [latex]\ell \leq n

$\begin{aligned}[]x = \sum _{n=\ell }^\infty d_np^{-n} \leq d_\ell p^{-\ell } + \sum _{n=\ell +1}^\infty (p-1)p^{-n} = (d_\ell +1)p^{-\ell } \leq \sum _{n=\ell }^\infty d_n'p^{-n} = x,\end{aligned}$

was aber $d_\ell +1 = d_\ell '$ , $d_n = p-1$ und $d_n' =0$ für alle $n \geq \ell +1$ impliziert (wieso?). Insbesondere sind somit die Zahlen mit nicht eindeutiger Ziffernentwicklung genau jene (rationale Zahlen), die eine abbrechende Ziffernentwicklung besitzen.

Übung 6.91: Zahlen mit schliesslich periodischer Ziffernentwicklung

Eine Folge $(d_n)_{n \geq \ell }$ für $\ell \in \mathbb {N}$ heisst periodisch, falls ein $N$ existiert mit $d_{n+N} = d_n$ für alle $n \geq \ell$ . Sie heisst schliesslich periodisch, falls es ein $k\geq \ell$ und ein $N\in \mathbb {N}$ gibt mit $d_{n+N} = d_n$ für alle $n \geq k$ . Wir wollen hier zeigen, dass die Zahlen mit einer schliesslich periodischen Ziffernentwicklung gerade die rationalen Zahlen sind. Sei $x>0$ eine reelle und $p\geq 2$ eine natürliche Zahl. Unterscheiden Sie folgende Fälle:

Angenommen $x$ hat eine schliesslich periodische Ziffernentwicklung. Zeigen Sie, dass $x$ rational ist.
Zeigen Sie, dass $x$ genau dann eine abbrechende (und damit schliesslich periodische) Ziffernentwicklung hat, wenn $x$ von der Form $\frac {n}{p^k}$ für $k,n\in \mathbb {N}_0$ ist (und damit rational ist).
Angenommen $x\in \mathbb {Q}$ hat keine abbrechende Ziffernentwicklung. Dann ist insbesondere die Ziffernentwicklung von $x$ eindeutig bestimmt. Sei o.B.d.A. $x\in (0,1)$ und seien $x_k,d_k$ für $k \in \mathbb {N}$ wie in der Konstruktion der Ziffernentwicklung nach (6.14). Nach Annahme ist $x = \frac {m}{n}$ für $(m,n)\in \mathbb {N}^2$ teilerfremd und $m\leq n$ . Zeigen Sie nun, dass $x_k \in \left \lbrace {\frac {1}{n},\ldots ,\frac {n-1}{n}} \right \rbrace$ ist für alle $k\in \mathbb {N}$ und wenden Sie das Schubfachprinzip an.

Übung 6.92: Mächtigkeit der reellen Zahlen

Zeigen Sie $[0,1]\sim \mathcal {P}(\mathbb {N})$ sowie $\mathbb {R}\sim \mathcal {P}(\mathbb {N})$ .

Hinweis.

Verwenden Sie die Ziffernentwicklung zur Basis $2$ und die Abbildung $x\in [0,1] \mapsto (d_n)_{n} \in \left \lbrace {0,1} \right \rbrace ^\mathbb {N}$ , wobei $d_1,d_2,\ldots$ definiert sind wie in der Konstruktion nach (6.14). Bei abzählbar vielen Punkten im Definitionsbereich und Wertebereich verwenden Sie am besten eine andere Bijektion.

6.8.1 – Die Cantor-Menge

Wir haben die Cantor-Menge bereits in Abschnitt 2.6.5 kurz besprochen. Wir möchten nun die Cantor-Menge neu, jetzt deutlich einfacher, mit Hilfe der Ziffernentwicklung zur Basis $3$ charakterisieren. Die Cantor-Menge ist

$\begin{aligned}[]C = \left \lbrace {x \in [0,1]} \mid {\text {es gibt } (d_n)_n \in \left \lbrace {0,2} \right \rbrace ^\mathbb {N} \text { mit } x = \sum _{n=1}^\infty d_n3^{-n}}\right \rbrace .\end{aligned}$

Übung 6.93: Cantor-Menge in Basis 3

Zeigen Sie, dass diese Beschreibung der Cantor-Menge zutrifft.

Insbesondere hat jeder Punkt $x \in C$ eine eindeutig bestimmte Ziffernentwicklung zur Basis $3$ mit Ziffern in $\left \lbrace {0,2} \right \rbrace$ . Jede Ziffernentwicklung $(d_n)_n \in \left \lbrace {0,2} \right \rbrace ^\mathbb {N}$ bestimmt einen eindeutig bestimmten Punkt $x\in C$ .

Übung 6.94: «Gesamtlänge» der Cantor-Menge

Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion der Cantor-Menge $\mathds {1}_C$ auf $[0,1]$ Riemann-integrierbar ist und $\int _0^1\mathds {1}_C\thinspace {\rm {d}} x = 0$ ist. In diesem Sinne hat $C$ sozusagen «Gesamtlänge» $0$ und $[0,1]\setminus C$ hat «Gesamtlänge» $1$ .

6.8.2 – Cantors Teufelstreppe

Wir wollen hier kurz die Cantor Funktion $f:[0,1] \to [0,1]$ besprechen, die monoton wachsend und surjektiv ist. Der Graph von $f$ wird auch die Teufelstreppe genannt und ist unten im Bild dargestellt.

Die teuflische Eigenheit dieser Funktion ist die Tatsache, dass jeder Punkt in $[0,1]\setminus C$ eine Umgebung besitzt, auf der $f$ konstant ist und $[0,1]\setminus C$ in einem gewissen Sinne fast das ganze Intervall ausmacht (siehe Übung 6.94). Trotzdem schafft es die Cantor Funktion auf stetige Weise von $0$ zu $1$ anzuwachsen.

Wir definieren $f$ zuerst auf der Cantormenge $C$ und beschreiben dann, wie $f$ von $C$ auf ganz $[0,1]$ fortgesetzt werden kann. Wie in Abschnitt 6.8.1 beschrieben wurde, hat jede Zahl $x \in C$ eine eindeutig bestimmte Ziffernentwicklung $x = \sum _{n=1}^\infty d_n3^{-n}$ zur Basis $3$ mit $d_n \in \left \lbrace {0,2} \right \rbrace$ für alle $n\in \mathbb {N}$ . Auf dem Punkt $x$ definieren wir nun den Wert von $f$ mittels der Ziffernentwicklung als

$\begin{aligned}[]f(x) = \sum _{n=1}^\infty \frac {d_n}{2}2^{-n}.\end{aligned}$

Das heisst, wir ersetzen jede Ziffer $2$ durch die Ziffer $1$ und ersetzen die Basis $3$ durch die Basis $2$ . Daraus folgt, dass $f: C \to [0,1]$ surjektiv ist, da jede Zahl $y\in [0,1]$ eine Ziffernentwicklung $y=\sum _{n=1}^\infty e_n2^{-n}$ zur Basis $2$ hat und wir durch $d_n = 2e_n$ für alle $n \in \mathbb {N}$ und $x = \sum _{n=1}^\infty d_n3^{-n}$ einen Punkt mit $f(x) = y$ finden können.

Per Definition ist $f:C \to [0,1]$ monoton wachsend. Des Weiteren ist $f$ nicht streng monoton wachsend (wieso?), aber da eine Zahl in $[0,1]$ höchstens zwei verschiedene Ziffernentwicklungen zur Basis $2$ besitzt, gibt es zu $x \in C$ höchstens einen weiteren Punkt $x' \in C$ mit $f(x') = f(x)$ .

Um $f$ auf ganz $[0,1]$ zu definieren, finden wir zu einem Punkt $x\not \in C$ den grössten Punkt $x_-$ links von $x$ in der Cantormenge und den kleinsten Punkt $x_+$ rechts von $x$ in der Cantormenge. Wir werden unten zeigen, dass die Punkte $x_-$ und $x_+$ eindeutig durch $x$ bestimmt sind und $f(x_-)=f(x_+)$ gilt. Nun definieren wir $f(x) = f(x_-)=f(x_+)$ . Dies erweitert also $f$ zu einer Abbildung $[0,1] \to [0,1]$ . Des Weiteren ist $f$ für jedes $x\in [0,1]\setminus C$ konstant in der Umgebung $[x_-,x_+]$ von $x$ (und damit auch stetig auf $(x_-,x_+)$ ).

Formal können wir dies wie folgt beschreiben. Sei

$\begin{aligned}[]x= \sum _{n=1}^{k-1} d_n3^{-n}+1\cdot 3^{-k} + \sum _{n=k+1}^\infty d_n3^{-n} \not \in C,\end{aligned}$

wobei $k\in \mathbb {N}$ die kleinste Zahl mit $d_k =1$ ist. Dann setzen wir

$\begin{aligned}[]x_- &= \sum _{n=1}^{k-1} d_n3^{-n}+1\cdot 3^{-k} = \sum _{n=1}^{k-1} d_n3^{-n} + \sum _{n=k+1}^\infty 2 \cdot 3^{-n}\in C\\ x_+ &= \sum _{n=1}^{k-1} d_n3^{-n}+2\cdot 3^{-k} \in C,\end{aligned}$

womit $x_- \leq x \leq x_+$ erfüllt ist. Damit gilt

$\begin{aligned}[]f(x_-) = \sum _{n=1}^{k-1} \frac {d_n}{2}2^{-n} + \sum _{n=k+1}^\infty 2^{-n} = \sum _{n=1}^{k-1} \frac {d_n}{2}2^{-n} + 2^{-k} = f(x_+)\end{aligned}$

wie gewünscht.

Übung 6.95: Cantor-Funktion

Zeigen Sie, dass die Cantor-Funktion $f:[0,1]\to [0,1]$ monoton wachsend und stetig ist.

6.8.3 – Peanos raumfüllende Kurve

Wir wollen nun dem ursprünglichen Argument von Peano (^[5]) folgend eine stetige, surjektive Funktion (die sogenannte Peano-Kurve)

$\begin{aligned}[]f: [0,1] \to [0,1]^2\end{aligned}$

konstruieren. Dabei werden wir von der Cantormenge ausgehen.

Für $x = \sum _{n=1}^\infty d_n(x) 3^{-n}\in C$ mit $d_n(x)\in \left \lbrace {0,2} \right \rbrace$ für alle $n \in \mathbb {N}$ definieren wir
$\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-defpeano} \mathbf {{f}}_C(x) = (f_1(x),f_2(x))^t = \left ( \sum _{n=1}^\infty \frac {d_{2n-1}(x)}{2} 2^{-n} , \sum _{n=1}^\infty \frac {d_{2n}(x)}{2} 2^{-n} \right )^t.\end{aligned}$
Wir behaupten nun, dass die Abbildung $\mathbf {{f}}_C: C \to [0,1]^2$ surjektiv ist. Für $(y_1,y_2)^t \in [0,1]^2$ existiert eine Ziffernentwicklung der Komponenten $y_j = \sum _{n=1}^\infty e_{j,n} 2^{-n}$ für $j\in \left \lbrace {1,2} \right \rbrace$ zur Basis $2$ , wobei $e_{j,n} \in \left \lbrace {0,1} \right \rbrace$ für alle $n \in \mathbb {N}$ und $j\in \left \lbrace {1,2} \right \rbrace$ . Wir definieren nun $d_{2n-1}= 2e_{1,n}$ und $d_{2n} = 2e_{2,n}$ für alle $n \in \mathbb {N}$ , womit $d_n \in \left \lbrace {0,2} \right \rbrace$ für alle $n \in \mathbb {N}$ gilt. Sei $x = \sum _{n=1}^\infty d_n 3^{-n} \in C$ das Element der Cantormenge mit diesen Ziffern. Dann gilt $(y_1,y_2)^t = \mathbf {{f}}_C(x) \in \mathbf {{f}}_C(C)$ wie gewünscht. Da $(y_1,y_2)^t \in [0,1]^2$ beliebig war, ist $\mathbf {{f}}_C$ surjektiv.

Lemma 6.96: Stetigkeit

Für jedes $n\in \mathbb {N}$ ist die Abbildung $x \in C \mapsto d_n(x) \in \left \lbrace {0,2} \right \rbrace$ stetig. Insbesondere ist die Abbildung $\mathbf {{f}}_C: C \to [0,1]^2$ stetig.

Beweis

Für $n=1$ , $x,y \in C$ und [latex]|x-y|

Abbildung 6.4 – Zwei Punkte $x,y\in C$ mit $|x-y|<\frac {1}{3}$ sind entweder beide links (und erfüllen also $d_1(x) = d_2(x) = 0$ ) oder beide rechts (und erfüllen $d_1(x) = d_2(x)=1$ ) in der Cantormenge.

Dies zeigt die Stetigkeit von $d_1: C \to \left \lbrace {0,2} \right \rbrace$ ( $\delta = \frac {1}{3}$ tut’s für jedes $\varepsilon > 0$ ). Mittels Induktion folgt damit, dass für $n >1$ die Abbildung

$\begin{aligned}[]x \mapsto d_n(x) = d_1\bigg (3^{n-1}(x-(d_1(x)3^{-1} + \ldots + d_{n-1}(x)3^{-(n-1)})\bigg )\end{aligned}$

als Verknüpfung von stetigen Funktionen wiederum stetig ist (siehe Proposition 3.51 und Proposition 3.53). Für jedes $N \in \mathbb {N}$ sind die Abbildungen

$\begin{aligned}[]x \in C \mapsto \sum _{n=1}^N \frac {d_{2n-1}(x)}{2} 2^{-n},\quad x \in C \mapsto \sum _{n=1}^N \frac {d_{2n}(x)}{2} 2^{-n}\end{aligned}$

als Verknüpfung von stetigen Funktionen stetig. Wegen

$\begin{aligned}[]\bigg | \sum _{n=1}^N \frac {d_{2n-1}(x)}{2} 2^{-n} - \sum _{n=1}^\infty \frac {d_{2n-1}(x)}{2} 2^{-n} \bigg | = \bigg | \sum _{n=N+1}^\infty \frac {d_{2n-1}(x)}{2} 2^{-n} \bigg | \leq \sum _{n=N+1}^\infty 2^{-n} = 2^{-N}\end{aligned}$

für alle $x \in C$ , konvergieren die Abbildungen $x \in C \mapsto \sum _{n=1}^N \frac {d_{2n-1}(x)}{2} 2^{-n}$ gleichmässig gegen $f_1: C \to [0,1]$ . Damit folgt aus Satz 6.48, dass $f_1$ stetig ist. Analog zeigt man, dass $f_2$ stetig ist und somit ist auch $\mathbf {{f}}_C$ stetig. ∎

Wir wollen nun $\mathbf {{f}}_C$ zu einer stetigen Abbildung $\mathbf {{f}}_P: [0,1] \to [0,1]^2$ fortsetzen, wobei wir stückweise affine Abbildungen auf $[0,1] \setminus C$ verwenden wollen. Das heisst, für $x \in C$ definieren wir $\mathbf {{f}}_P(x) = \mathbf {{f}}_C(x)$ und für $x \not \in C$ setzen wir $\mathbf {{f}}_P(x)$ wie folgt fest. Ist $x_-\in C$ der eindeutige Punkt in der Cantormenge links neben $x$ und $x_+\in C$ der eindeutige Punkt in der Cantormenge rechts neben $x$ wie in Abschnitt 6.8.2, so setzen wir $s(x) = \frac {x-x_-}{x_+-x_-} \in (0,1)$ und
$\begin{aligned}[]\label{eq:reihe-peano ext to [0,1]} \mathbf {{f}}_P(x) &= \mathbf {{f}}_C(x_-) + s(x) (\mathbf {{f}}_C(x_+)-\mathbf {{f}}_C(x_-))\\ &= (x_+-x_-)^{-1}((x_+-x)\mathbf {{f}}_C(x_-)+(x-x_-)\mathbf {{f}}_C(x_+)) \nonumber\end{aligned}$
unter Verwendung von $x = x_- + s(x)(x_+-x_-)$ .

Proposition 6.97: Existenz einer raumfüllenden Kurve

Die Abbildung $\mathbf {{f}}_P: [0,1] \to [0,1]^2$ ist stetig und surjektiv.

Beweis

Da $\mathbf {{f}}_C: C \to [0,1]^2$ surjektiv ist und $\mathbf {{f}}_P|_C = \mathbf {{f}}_C$ gilt, ist auch $\mathbf {{f}}_P$ surjektiv. Daher müssen wir nur noch die Stetigkeit von $\mathbf {{f}}_P$ überprüfen.

Für Punkte, die nicht in $C$ liegen, ist dies einfacher zu sehen. Intuitiv ausgedrückt liegt dies daran, dass die Funktionen $x \mapsto x_+$ und $x \mapsto x_-$ auf dem Komplement von $C$ «lokal konstant» sind. Nun genauer. Sei also $x_0 \not \in [0,1] \setminus C$ und seien $x_{0,-},x_{0,+} \in C$ wie oben. Dann gilt $(x_{0,-},x_{0,+}) \subseteq [0,1] \setminus C$ , wie in Abschnitt 6.8.2 erklärt wurde. Für alle $x \in (x_{0,-},x_{0,+})$ erfüllen $x_{0,-}$ und $x_{0,+}$ dieselbe Rolle für $x$ wie für $x_0$ , das heisst $x_- = x_{0,-}$ und $x_+ = x_{0,+}$ . Damit ist $x \mapsto s(x) = \frac {x-x_-}{x_+-x_-} = \frac {x-x_{0,-}}{x_{0,+}-x_{0,-}}$ stetig auf dem Intervall $(x_{0,-},x_{0,+})$ . Es folgt die Stetigkeit von $\mathbf {{f}}_P$ bei $x_0$ .

Sei nun $x_0 \in C$ . Falls $x_0$ ein «rechter Endpunkt» von $C$ ist, also von der Form $x_0 = y_-$ für ein $y \in [0,1] \setminus C$ ist, dann gilt

$\begin{aligned}[]\mathbf {{f}}_P(x) = (y_+-y_-)^{-1}((y_+-x)\mathbf {{f}}_C(x_0)+(x-x_0)\mathbf {{f}}_C(y_+))\end{aligned}$

für alle $x\in (x_0,y_+)$ . Daraus folgt gemeinsam mit $\mathbf {{f}}_P(x_0) = \mathbf {{f}}_C(x_0)$ die rechtsseitige Stetigkeit von $\mathbf {{f}}_P$ bei $x_0$ .

Sei also nun $x_0$ kein rechter Endpunkt von $C$ , womit eine streng monoton fallende Folge $(x_n)_n$ in $C$ existiert, die gegen $x_0$ konvergiert. Sei $\varepsilon >0$ , dann gibt es wegen der Stetigkeit von $\mathbf {{f}}_C$ ein $\delta >0$ , so dass für alle $y \in C$

$\begin{aligned}[]|y-x|$

gilt. Weiter gibt es ein $x_n \in C \cap (x_0,x_0+\delta )$ . Für $x \in (x_0,x_n)$ unterscheiden wir zwei Fälle. Wenn $x$ in $C$ liegt, gilt [latex]|\mathbf {{f}}_P(x)-\mathbf {{f}}_P(x_0)| = |\mathbf {{f}}_C(x)-\mathbf {{f}}_C(x_0)|

$\begin{aligned}[]|\mathbf {{f}}_P(x)-\mathbf {{f}}_P(x_0)| &= \big | (x_+-x_-)^{-1}((x_+-x)\mathbf {{f}}_C(x_-)+(x-x_-)\mathbf {{f}}_C(x_+)) - \mathbf {{f}}_C(x_0)\big |\\ &= \frac {1}{x_+-x_-} \big | (x_+-x)\mathbf {{f}}_C(x_-)+(x-x_-)\mathbf {{f}}_C(x_+) - (x_+-x_-)\mathbf {{f}}_C(x_0) \big |\\ &= \frac {1}{x_+-x_-} \big | (x_+-x)(\mathbf {{f}}_C(x_-)-\mathbf {{f}}_C(x_0))+(x-x_-)(\mathbf {{f}}_C(x_+)-\mathbf {{f}}_C(x_0))\big |\\ &$

Somit gilt nun $|\mathbf {{f}}_P(x)-\mathbf {{f}}_P(x_0)| 0$ beliebig war, ist $\mathbf {{f}}_P$ rechsseitig stetig bei $x_0$ . Das Argument für die linksseitige Stetigkeit ist analog. ∎

Bemerkung: Approximative Darstellung der Peano-Kurve

Auf Grund der Surjektivität der Kurve $\mathbf {{f}}_P$ macht es wenig Sinn, diese darstellen zu wollen. Stattdessen stellt man eine Approximation der Peano-Kurve dar. Für $N \in \mathbb {N}$ setzt man

$\begin{aligned}[]\mathbf {{f_C^{(N)}}}(x) = (f_1^{(N)}(x),f_2^{(N)}(x))^t = \left ( \sum _{n: 2n-1 \leq N} \frac {d_{2n-1}(x)}{2} 2^{-n} , \sum _{n: 2n \leq N} \frac {d_{2n}(x)}{2} 2^{-n} \right )^t\end{aligned}$

für alle $x \in C$ und erweitert anschliessend die Funktion $\mathbf {{f_C^{(N)}}}:C \to [0,1]^2$ zu einer stetigen Funktion $\mathbf {{f}}_P:[0,1]\to [0,1]^2$ in Analogie zu (6.16). Die Funktionenfolge $(\mathbf {{f_C^{(N)}}})_N$ konvergiert, wie man zeigen kann, gleichmässig gegen $\mathbf {{f}}_C$ .

Abbildung 6.5 – Das Bild der approximativen Peano-Kurven $\mathbf {{f_C^{(N)}}}$ für $N \in \left \lbrace {6,8,10} \right \rbrace$ .

Wir bemerken noch, dass eine stetige, surjektive Funktion $\mathbf {{f}}:[0,1]\to [0,1]^2$ nie injektiv sein kann. Dies ist eine Manifestation der Tatsache, dass $[0,1]$ und $[0,1]^2$ geometrisch verschiedene Objekte sind. Aussagen dieser Form sind Teil der (algebraischen) Topologie, doch der vorliegende konkrete Fall benötigt keine allzu grosse Theorie (siehe Übung 6.98).

Übung 6.98: Kein Homöomorphismus

Wir wollen hier zeigen, dass es keine stetige und bijektive Funktion von $[0,1]$ nach $[0,1]^2$ gibt. Wir nehmen indirekt an, dass $\mathbf {{f}}: [0,1] \to [0,1]^2$ stetig und bijektiv sei.

Wir wissen bereits, dass $\mathbf {{f}}$ konvergente Teilfolgen auf konvergente Teilfolgen abbildet. Zeigen Sie, dass $\mathbf {{f}}^{-1}:[0,1]^2 \to [0,1]$ dies ebenfalls tut.

Hinweis.

Sei $(x_n)_n$ eine Folge in $[0,1]$ , so dass $(\mathbf {{f}}(x_n))_n$ gegen $f(x)$ konvergiert. Zeigen Sie, dass jede konvergente Teilfolge von $(x_n)_n$ gegen $x$ konvergieren muss. Schliessen Sie daraus, dass $(x_n)_n$ konvergiert.
Finden Sie eine stetige Abbildung (eine Kurve) $\mathbf {{g}}:[0,1] \to [0,1]^2\setminus \left \lbrace {\mathbf {{f}}(\frac 12)} \right \rbrace$ mit $\mathbf {{g}}(0) = \mathbf {{f}}(\frac 14)$ und $\mathbf {{g}}(1) = \mathbf {{f}}(\frac 34)$ .
Zeigen Sie, dass die Abbildung $\mathbf {{f}}^{-1}\circ \mathbf {{g}}: [0,1] \to [0,1]\setminus \{ \frac 12\}$ stetig ist und schliessen Sie mit dem Zwischenwertsatz auf einen Widerspruch.

Übung 6.99: Stetiges Füllen der Ebene

Finden Sie eine stetige, surjektive Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}^2$ .

Hinweis.

Überdecken Sie $\mathbb {R}$ mit abgeschlossenen Intervallen der Form $[n,n+1]$ für $n \in \mathbb {Z}$ und $\mathbb {R}^2$ mit Quadraten der Form $[n,n+1] \times [m,m+1]$ für $n,m\in \mathbb {Z}$ .

Die hier besprochene Konstruktion einer fraktalen raumfüllenden Kurve mag auf dem ersten Blick unnatürlich und auf jeden Fall weltfremd anmuten. Doch enthält die mathematischen Modellierung der Brownschen Bewegung ähnliche fraktale Kurven, die typischerweise nicht raumfüllend aber genauso wie die Peano-Kurve stetig und «sehr zittrig» sind. Wie man das Gegenteil «schön glatt» von «sehr zittrig» mathematisch formulieren kann, besprechen wir im nächsten Kapitel.

6.9 – Weitere Lernmaterialien

6.9.1 – Verwendung des Kapitels

Wie wir gesehen haben, sind Potenzreihen, deren Konvergenzradius und Konvergenzverhalten fundamentale Werkzeuge für die Definition von vielen Ihnen bereits bekannten Funktionen (und auch weiteren). Wir werden also ab nun sowohl die komplexe Exponentialfunktion, die trigonometrischen Funktionen auf $\mathbb {R}$ und auf $\mathbb {C}$ , als auch die hyperbolischen Funktionen gemeinsam mit den wichtigsten Eigenschaften dieser Funktionen (meist ohne Verweise) verwenden. (Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen werden wir erst im nächsten Kapitel einführen.)

Für den Begriff der Potenzreihe benötigten wir die grundlegenden Definitionen der Reihe und der Funktionenfolgen. Für Reihen ist die Unterscheidung der bedingten und absoluten Konvergenz fundamental, da gewisse Operationen (Umordnen, Cauchy-Produkt) nur für den letzteren Konvergenzbegriff erlaubt sind. Dabei ist es sehr hilfreich, dass für Potenzreihen im Inneren des Konvergenzbereichs absolute Konvergenz vorliegt und damit alle Operationen erlaubt sind. Die folgenden Konvergenzkriterien sind für Beispiele aber auch für die Theorie unabdingbar:

die geometrische Reihe in Beispiel 6.3,
Majoranten- und Minorantenkriterium für Reihen mit positiven Gliedern in Korollar 6.12 und Korollar 6.29,
Verdichtung in Proposition 6.16,
$p$ -Test in Beispiel 6.17,
Leibniz-Kriterium in Proposition 6.25 (welches vor allem für bedingt konvergente aber wegen der Fehlerabschätzung auch für absolut konvergente Reihen nützlich sein kann),
Cauchy-Kriterium in Satz 6.26 (meist als theoretisches Hilfsmittel),
Wurzelkriterium in Korollar 6.30 (als theoretisches und praktisches Hilfsmittel),
Quotientenkriterium in Korollar 6.32 (meist als praktisches Hilfsmittel, da es oft einfacher anwendbar ist, aber im Gegensatz zu dem Wurzelkriterium zum Beispiel für Potenzreihen weniger allgemein einsetzbar ist),
aber wenn sonst nichts zum Erfolg führt, sollte man nicht vergessen, dass auf Grund von Proposition 6.2 die Folgenglieder einer konvergenten Reihe eine Nullfolge bilden.

Wir bemerken noch, dass diese Kriterien sehr hilfreich sind für die Entscheidung ob Konvergenz oder Divergenz bei einer Reihe vorliegt, doch haben wir sehr wenige allgemeine Gesetze um den Grenzwert von Reihen zu bestimmen.

Wie bereits erwähnt war der Begriff der Funktionenfolge auch für die Besprechung der Potenzreihen notwendig. Für Funktionenfolgen haben wir zwei unterschiedliche Konvergenzbegriffe besprochen. Der Begriff der punktweisen Konvergenz mag zwar als der natürliche Konvergenzbegriff für Funktionen betrachtet werden, doch hat dieser keine guten Eigenschaften (weder für Stetigkeit noch für das Riemann-Integral). Sie sollten die entsprechenden Gegenbeispiele im Gedächtnis behalten. Dies motivierte die Definition der gleichmässigen Konvergenz, welche wegen den guten Eigenschaften für Stetigkeit und das Riemann-Integral für uns immer wieder wichtig sein wird. Die Unterscheidung dieser Konvergenzbegriffe ist wohlgemerkt keine Spitzfindigkeit.

6.9.2 – Übungen

Übung

Sei $\sum _{k=1}^\infty a_k$ eine konvergente Reihe. Falls $(a_k)_k$ eine monoton fallende Folge ist, so ist nicht nur $(a_k)_k$ , sondern auch $(ka_k)_k$ eine Nullfolge. Beweisen Sie dies.

Hinweis.

Überzeugen Sie sich von der Ungleichung

$\begin{aligned}[](n-m+1)a_n \leq \sum _{k=m}^n a_k\end{aligned}$

für $n>m$ .

Übung

Sei $f: \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ eine bijektive Abbildung. Konvergiert die Reihe $\sum _{n=1}^\infty \frac {f(n)}{n^2}$ ?

Hinweis.

Für jedes $n\in \mathbb {N}$ gilt [latex]|\left \lbrace {k\in \mathbb {N}} \mid {2^n\leq k

Übung: Raabes Quotientenkriterium

Sei $(a_n)_n$ eine Folge komplexer Zahlen mit $a_n \neq 0$ für alle $n \in \mathbb {N}$ , so dass $\lim _{n \to \infty } \frac {|a_{n+1}|}{|a_n|} = 1$ und

$\begin{aligned}[]Q = \lim _{n \to \infty }n \left (1-\frac {|a_{n+1}|}{|a_n|}\right )\end{aligned}$

existiert. Zeigen Sie, dass die Reihe $\sum _{n=1}^\infty a_n$ konvergiert, falls $Q > 1$ . (J. Raabe war einer der ersten Mathematikprofessoren an der ETH Zürich.)

Hinweis: Finden Sie ein $p>1$ , so dass für alle bis auf endlich viele $n$

$\begin{aligned}[]\frac {|a_{n+1}|}{|a_n|}$

gilt. Verwenden Sie die kontinuierliche Bernoulli-Ungleichung aus Übung 5.61, um zu zeigen, dass

$\begin{aligned}[]\frac {|a_{n+1}|}{|a_n|} \leq \left (1-\frac {1}{n}\right )^p = \frac {(n-1)^p}{n^p}.\end{aligned}$

Schliessen Sie nun auf die Aussage unter Verwendung von Korollar 6.29 und Beispiel 6.17.

Übung: Vertauschung der Summationsreihenfolge

Wie schon vor dem Beweis des Produktsatzes (Satz 6.36) angedeutet, ist der Produktsatz stark mit Vertauschbarkeit von Summationsreihenfolge verwandt. Wir wollen dies hier genauer formulieren. Dazu betrachten wir eine doppelt indizierte Folge $(a_{(m,n)})_{(m,n)\in \mathbb {N}^2}$ .

Um zu sehen, dass die Vertauschbarkeit der Summationsreihenfolge für Reihen nicht immer gilt, definieren wir
$\begin{aligned}[]a_{(m,n)} = \left \lbrace \begin{array}{ll} 1 & \text {falls } m=n\\ -1 & \text {falls } m+1 =n \\ 0 & \text {sonst }.\end{array} \right .\end{aligned}$

für alle $(m,n)\in \mathbb {N}^2$ . Zeigen Sie, dass die Doppelreihen

$\begin{aligned}[]\sum _{m=1}^\infty \bigg (\sum _{n=1}^\infty a_{(m,n)}\bigg ),\quad \sum _{n=1}^\infty \bigg (\sum _{m=1}^\infty a_{(m,n)}\bigg )\end{aligned}$

konvergieren, aber verschieden sind.
Angenommen $(a_{(m,n)})_{(m,n)\in \mathbb {N}^2}$ erfüllt [latex]\sum _{m=1}^\infty \big (\sum _{n=1}^\infty |a_{(m,n)}|\big )

Übung: Zerlegung in gerade und ungerade Funktionen

Sei $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ eine Funktion. Zeigen Sie, dass sich $f$ als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben lässt.

Übung

Seien $a,b \in \mathbb {R}$ . Zeigen Sie, dass es ein $\theta \in \mathbb {R}$ gibt, so dass

$\begin{aligned}[]a \sin (\varphi ) + b \cos (\varphi ) = \sqrt {a^2+b^2}\, \sin (\varphi +\theta )\end{aligned}$

für alle $\varphi \in \mathbb {R}$ .

Hinweis.

Betrachten Sie $\sqrt {a^2+b^2}\left (\frac {a}{\sqrt {a^2+b^2}} \sin (\varphi ) + \frac {b}{\sqrt {a^2+b^2}} \cos (\varphi )\right )$ und finden Sie eine reelle Zahl $\theta$ mit $\cos (\theta )=\frac {a}{\sqrt {a^2+b^2}}$ und $\sin (\theta )=\frac {b}{\sqrt {a^2+b^2}}$ .

Übung: Irrationalität der Eulerschen Zahl

Zeigen Sie, dass $\mathrm {e} = \sum _{k=0}^\infty \frac {1}{k!}$ irrational. Nehmen Sie indirekt an, dass $\mathrm {e}$ rational ist und verwenden Sie die Exponentialreihe.

Hinweis.

Nehmen Sie indirekt an, dass $\mathrm {e}^{-1}=\frac {p}{q}$ für $p,q\in \mathbb {N}$ . Nun vergleichen Sie, $\mathrm {e}=\frac {p(q-1)!}{q!}$ mit der Partialsumme $\sum _{n=0}^q\frac {(-1)^n}{n!}$ . Vergleichen Sie den Fehler im Leibniz-Kriterium und die Aussage, dass zwei rationale Zahlen mit dem gleichem Nenner $Q$ entweder gleich oder Mindestabstand $\frac 1Q$ haben.

Übung

Wir wollen einen (spielsüchtigen) Kasinobesucher und ein unübliches, den Spieler bevorzugendes, Spiel betrachten. Das Spiel besteht aus einem einfachen Münzwurf mit zwei möglichen gleich wahrscheinlichen Ergebnissen, nämlich Kopf und Zahl. Bei Kopf gewinnt das Kasino den Einsatz des Spielers und bei Zahl gewinnt der Spieler das Vierfache seines Einsatzes. Wir wollen die verschiedenen Ergebnisse des iterierten Spieles anhand einer Funktion auf $[0,1]$ beschreiben. Hierbei verwenden wir die binäre Zifferndarstellung reeller Zahlen, wobei wir die Nichteindeutigkeit einfach ignorieren, da diese für sich gesehen extrem unwahrscheinlichen Ergebnissen des iterierten Spieles entsprechen.^[6] Wir interpretieren die Ziffer $0$ als Kopf und die Ziffer $1$ als Zahl, womit die reelle Zahl $0.100101\ldots$ für die wiederholten Würfe der Münze mit den Ergebnissen Zahl-Kopf-Kopf-Zahl-Kopf-Zahl und so weiter steht (und die Null vor dem Komma ignoriert wird).

Bestimmen Sie eine Funktion $f_n:[0,1]\to \mathbb {R}$ , die den Gewinn nach $n$ Wiederholungen des Spiels beschreibt, wobei der Spieler mit einem Franken das Spiel beginnt und bei Gewinn jeweils sein Gesamtvermögen im nächsten Spiel wieder einsetzt.
Bestimmen Sie den Erwartungswert für den Spieler, wenn dieser das Spiel $n$ mal wiederholt (also das Integral von $f_n$ ).
Wir nehmen nun an, dass der Spieler spielsüchtig ist und auch bei Gewinn von wirklich grossen Summen nicht aufhören kann zu spielen. Bestimmen Sie die Funktion, die den Gewinn des Spielers beschreibt. Sie sollten bemerken, dass dies der punktweise Grenzwert der Funktion $f_n$ ist.
Bestimmen Sie den Erwartungswert des unbeschränkt langen Spiels für den spielsüchtigen Spieler.

Übung: Der Fall der absoluten Konvergenz am Rand

Sei $\sum _{n=0}^\infty a_nz^n$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R\in (0,\infty )$ . Sei des Weiteren [latex]\sum _{n=0}^\infty |a_n|R^n

$\begin{aligned}[]z\in \overline {B_R(0)}=\left \lbrace {z\in \mathbb {C}} \mid {|z|\leq R}\right \rbrace \mapsto \sum _{n=0}^\infty a_nz^n\end{aligned}$

wohldefiniert und stetig ist.

Übung: Bestimmte Divergenz am Rand

Sei $\sum _{n=0}^\infty a_nx^n$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R\in (0,\infty )$ und nicht-negativen Koeffizienten $a_n\geq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ . Sei des Weiteren $\sum _{n=0}^\infty a_nR^n=\infty$ . Zeigen Sie, dass in diesem Fall

$\begin{aligned}[]\lim _{x\nearrow R}\sum _{n=0}^\infty a_n x^n=\infty .\end{aligned}$

Übung: Challenge

Wir betrachten das Gitter $\mathbb {N}^2$ in der Ebene $\mathbb {R}^2$ und fixieren uns ein Quadrat darin, $Q = [1,15]^2 \cap \mathbb {N}^2$ . Auf den Punkten $(1,1)$ , $(2,1)$ , $(3,1)$ , $(1,2)$ , $(2,2)$ , $(1,3)$ platzieren wir nun jeweils eine Münze und beginnen dann folgendes Spiel. Sie als Spieler dürfen jeweils eine der Münzen entfernen, worauf Sie eine Münze oberhalb und eine Münze rechts von der entfernten Münze platzieren. Dieser Zug ist aber nur dann erlaubt, wenn die Plätze rechts und oberhalb der zu entfernenden Münze noch frei sind. Ihre Aufgabe besteht nun darin, nach endlich vielen Zügen keine Münzen mehr innerhalb des Quadrat $Q$ liegen zu haben. Ist das möglich?

Hinweis.

Die Antwort ist nein. Um dies zu beweisen, suchen Sie nach einer Funktion $f: \mathbb {N}^2 \to \mathbb {N}$ , so dass die Summe von $f$ über die Positionen der Münzen im $n$ -ten Schritt nicht von $n$ oder von der gewählten Strategie abhängt. In anderen Worten soll diese Summe unter der in der Aufgabenstellung beschriebenen Operation erhalten bleiben.

6.9.3 – Lernkarten

Sie können wiederum die Lernkarten oder den Graphen für Ihre Wiederholung der Themen des Kapitels verwenden.

<!– post meta –>

Manche Autoren verwenden in diesem Zusammenhang auch $\sum _na_n$ für die Reihe als formales Objekt, welches mit der Folge der Partialsummen identifiziert werden kann, und $\sum _{n=1}^\infty a_n$ für den Wert der Reihe. ↵
Wir werden den Wert dieser Reihe erst später berechnen können. ↵
W. Walter: Analysis 1 (Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004) ↵
Wir verwenden hier das Bild um uns eine sonst eher langweilige formale Definition der Abbildung $\varphi$ zu ersparen. Sie sollten sich aber davon überzeugen, dass man diese Definition durchaus formal machen kann oder einfach formal mittels Induktion nach $n$ die Existenz einer Bijektion mit der gewünschten Eigenschaft zeigen kann. Wir verwenden hier also das Bild als eine Abkürzung für einen formalen Beweis und nicht als einen Ersatz. ↵
G. Peano: Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane (Mathematische Annalen, 1890) ↵
Dies genauer und mathematisch exakt zu formulieren würde hier zu weit führen. ↵

6 Reihen, Funktionenfolgen und Potenzreihen

6.1 – Reihen

Definition 6.1: Reihen

Proposition 6.2: Nullfolgen

Beispiel 6.3: Geometrische Reihe

Beispiel 6.4: Harmonische Reihe

Beispiel 6.5: Harmonischer Springturm

Lemma 6.6: Linearität

Übung 6.7

Lemma 6.8: Indexverschiebung für Reihen

Lemma 6.9: Zusammenfassen von benachbarten Gliedern

Beispiel 6.10

6.1.1 – Reihen mit nicht-negativen Gliedern

Proposition 6.11: Monotone Partialsummen

Korollar 6.12: Vergleichssatz

Übung 6.13

Beispiel 6.14: Reihe der Kehrwerte der Quadratzahlen

Beispiel 6.15: Reihenkonvergenz und Folgenasymptotik

Proposition 6.16: Verdichtung

Beispiel 6.17: ppp-Test

Übung 6.18

Übung 6.19: q-äre Darstellungen

6.1.2 – Bedingte Konvergenz

Beispiel 6.20: Alternierende harmonische Reihe

Satz 6.21: Riemannscher Umordnungssatz

Beispiel 6.22: Umordnen der alternierenden harmonischen Reihe

Übung 6.23

Applet 6.24: Drei Reihen

6.1.3 – Alternierende Reihen

Proposition 6.25: Leibniz-Kriterium

6.1.4 – Das Cauchy-Kriterium

Satz 6.26: Cauchy-Kriterium

Beispiel 6.27: Harmonische Reihe

6.2 – Absolute Konvergenz

Proposition 6.28: Absolute Konvergenz

6.2.1 – Hinreichende Kriterien für absolute Konvergenz

Korollar 6.29: Majorantenkriterium von Weierstrass

Korollar 6.30: Cauchy-Wurzelkriterium

Beispiel 6.31: Der Fall α=1α=1\alpha =1 in Korollar 6.30

Korollar 6.32: D’Alemberts Quotientenkriterium

Wichtige Übung 6.33

Übung 6.34

6.2.2 – Umordnen von Reihen

Satz 6.35: Umordnen absolut konvergenter Reihen

6.2.3 – Produkte

Satz 6.36: Produktsatz

Korollar 6.37: Cauchy-Produkt

Beispiel 6.38

Übung 6.39

6.3 – Konvergenz von Funktionenfolgen

6.3.1 – Punktweise Konvergenz

Definition 6.40: Funktionenfolgen und punktweise Konvergenz

Übung 6.41: Eindeutigkeit

Beispiel 6.42: Punktweise konvergent

Beispiel 6.43: Punktweise konvergent

Beispiel 6.44: Punktweise konvergent

6.3.2 – Gleichmässige Konvergenz

Definition 6.45: Gleichmässige Konvergenz

Übung 6.46: Gleichmässige Konvergenz

Applet 6.47: Punktweise und Gleichmässige Konvergenz

Satz 6.48: Gleichmässige Konvergenz und Stetigkeit

Satz 6.49: Gleichmässige Konvergenz und Riemann-Integrierbarkeit

Übung 6.50: Gleichmässige Konvergenz auf Teilmengen

Übung 6.51: Funktionenkonvergenz und Beschränktheit

Übung 6.52: Funktionenkonvergenz und Auswertung entlang einer konvergenten Folge

Übung 6.53: Gleichmässige Konvergenz und gleichmässige Stetigkeit

6.4 – Potenzreihen

Definition 6.54: Potenzreihe

6.4.1 – Konvergenzradius

Definition 6.55

Satz 6.56: Über den Konvergenzradius

Beispiel 6.57: Nicht gleichmässige Konvergenz

Übung 6.58: Konvergenzradien

Übung 6.59

Lemma 6.60: Konvergenzradius via Quotientenkriterium

Übung 6.61

6.4.2 – Addition und Multiplikation

Proposition 6.62: Summen und Produkte

Beispiel 6.63

Übung 6.64

Beispiel 6.17: $p$ -Test

Beispiel 6.31: Der Fall $\alpha =1$ in Korollar 6.30

Wichtige Übung 6.76: Nullstellen von $\sin$ und $\cos$

Übung 6.79: Abschätzungen für $\pi$