Definition 9.1: Metrik

Ein metrischer Raum [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ist eine Menge [latex]X[/latex] gemeinsam mit einer Abbildung [latex]\mathrm {d}: X \times X \to \mathbb {R}_{\geq 0}[/latex], die die Metrik auf [latex]X[/latex] genannt wird und die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:

• (Definitheit) Für alle [latex]x_1,x_2 \in X[/latex] gilt [latex]\mathrm {d}(x_1,x_2) = 0 \iff x_1 = x_2[/latex].
• (Symmetrie) Für alle [latex]x_1,x_2 \in X[/latex] gilt [latex]\mathrm {d}(x_1,x_2) = \mathrm {d}(x_2,x_1)[/latex].
• (Dreiecksungleichung) Für alle [latex]x_1,x_2,x_3 \in X[/latex] gilt [latex]\mathrm {d}(x_1,x_3) \leq \mathrm {d}(x_1,x_2) + \mathrm {d}(x_2,x_3)[/latex].

Lemma 9.2: Eine Norm definiert eine Metrik

Sei [latex]V[/latex] ein Vektorraum über^[1] [latex]\mathbb {R}[/latex] und [latex]\| {\cdot }\|[/latex] eine Norm auf [latex]V[/latex]. Dann definiert

für [latex]v_1,v_2 \in V[/latex] eine Metrik [latex]\mathrm {d}[/latex] auf [latex]V[/latex], die man auch die von der Norm [latex]\| {\cdot }\|[/latex] induzierte Metrik auf [latex]V[/latex] nennt.

Beispiel 9.3: Weitere metrische Räume

1. (Diskrete Metriken) Sei [latex]X[/latex] eine Menge und [latex]\mathrm {d}_{\rm {diskret}}:X \times X \to \mathbb {R}_{\geq 0}[/latex] definiert durch
   [latex]
   \begin{aligned}[]\mathrm {d}_{\rm {diskret}}(x_1,x_2) = \left \lbrace \begin{array}{cc} 1 & \text {falls } x_1 \neq x_2 \\ 0 & \text {falls } x_1 = x_2\end{array} \right .\end{aligned}
   [/latex]

   für [latex]x_1,x_2 \in X[/latex]. Dann ist [latex](X,\mathrm {d}_{\rm {diskret}})[/latex] ein metrischer Raum. In der Tat ist [latex]\mathrm {d}_{\rm {diskret}}[/latex] definit und symmetrisch per Definition. Des Weiteren erfüllt [latex]\mathrm {d}[/latex] die Dreiecksungleichung: Seien [latex]x_1,x_2,x_3[/latex] Punkte in [latex]X[/latex]. Falls [latex]\mathrm {d}(x_1,x_3) = 0[/latex] gilt, dann ist [latex]\mathrm {d}(x_1,x_3) \leq \mathrm {d}(x_1,x_2) + \mathrm {d}(x_2,x_3)[/latex] trivialerweise erfüllt. Falls [latex]\mathrm {d}(x_1,x_3) = 1[/latex] gilt, dann ist [latex]x_1 \neq x_3[/latex] und [latex]x_2[/latex] ist mindestens von einem Punkt in [latex]\left \lbrace {x_1,x_3} \right \rbrace[/latex] verschieden und die Dreiecksungleichung gilt ebenso.

   Man beachte, dass die diskrete Metrik auf [latex]\mathbb {R}^d[/latex] für [latex]d \geq 2[/latex] nicht durch eine Norm gegeben ist. In der Tat würde eine Norm [latex]\| {\cdot }\|[/latex] mit [latex]\| {v_2-v_1}\| = \mathrm {d}_{\rm {diskret}}(v_1,v_2)[/latex] für alle [latex]v_1,v_2 \in \mathbb {R}^d[/latex] widersprüchlicherweise die Homogenitätseigenschaft in Definition 5.84 nicht erfüllen können.

2. (Manhattanmetrik) Wir setzen [latex]X = [0,1]^2[/latex] und
   [latex]
   \begin{aligned}[]\mathrm {d}_{\rm {NY}}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = |x_1-x_2|+|y_1-y_2|\end{aligned}
   [/latex]

   für [latex](x_1,y_1),(x_2,y_2) \in [0,1]^2[/latex]. In der Tat erfüllt [latex]\mathrm {d}_{\rm {NY}}[/latex] alle Axiome einer Metrik auf [latex][0,1]^2[/latex], da [latex]\mathrm {d}_{\rm {NY}}=\mathrm {d}_1|_{X\times X}[/latex] die Einschränkung der Einsmetrik [latex]\mathrm {d}_1[/latex] von [latex]\mathbb {R}^2[/latex] auf [latex]X=[0,1]^2[/latex] ist. Die Metrik [latex]\mathrm {d}_{\rm {NY}}[/latex] wird oft auch Manhattan-Metrik genannt. Grund dafür ist, dass man in schachbrettartig angelegten Orten wie zum Beispiel Manhattan auf folgende Weise von [latex](x_1,y_1)[/latex] nach [latex](x_2,y_2)[/latex] gelangt: Man geht zuerst bei gleichbleibender [latex]y[/latex]-Koordinate von [latex](x_1,y_1)[/latex] nach [latex](x_2,y_1)[/latex] und dann bei gleichbleibender [latex]x[/latex]-Koordinate von [latex](x_2,y_1)[/latex] nach [latex](x_2,y_2)[/latex], oder umgekehrt von [latex](x_1,y_1)[/latex] nach [latex](x_1,y_2)[/latex] und dann von [latex](x_1,y_2)[/latex] nach [latex](x_2,y_2)[/latex]. Es gäbe zwar noch andere Möglichkeiten, aber wenn alle Strassen in Manhattan von West-Ost oder Nord-Süd verlaufen, dann misst [latex]\mathrm {d}_{\rm {NY}}[/latex] den relevanten Abstand zwischen zwei Punkten.

3. (Metrik der französischen Eisenbahn) Wir setzen [latex]X = \mathbb {C}[/latex] und definieren die SNCF-Metrik [latex]\mathrm {d}_{\rm {SNCF}}[/latex] auf [latex]X[/latex] durch
   [latex]
   \begin{aligned}[]\mathrm {d}_{\rm {SNCF}}(z_1,z_2) = \left \lbrace \begin{array}{ll} |z_1-z_2| & \text {falls } z_1,z_2 \text { linear abhängig über } \mathbb {R} \text { sind} \\ |z_1|+|z_2| & \text {falls } z_1,z_2 \text { linear unabhängig über } \mathbb {R} \text { sind}\end{array} \right .\end{aligned}
   [/latex]

   für alle [latex]z_1,z_2 \in \mathbb {C}[/latex]. Der Grund für den Namen dieser Metrik (siehe Übung 9.4) ist, dass eine Bahnreise von einer französischen Stadt bei [latex]z_1[/latex] zu einer anderen bei [latex]z_2[/latex] meist über den Ursprung [latex]z=0[/latex] (auch Paris genannt) führt, ausser wenn [latex]z_1[/latex] und [latex]z_2[/latex] auf derselben — von Paris ausgehenden geraden Strecke liegen. Gewissermassen besteht [latex]\mathbb {C}[/latex] in dieser Metrik also aus unendlich vielen Halbgeraden, die sich nur im Ursprung treffen.

4. Ein kombinatorischer Graph ist eine endliche Menge von Punkten, die sogenannten Ecken, von welchen einige mit sogenannten Kanten verbunden sind. Diese lassen sich auf natürliche Weise mit mehreren Metriken ausstatten; der Konkretheit halber betrachten wir einen spezifischen Graphen, doch muss ein Graph nicht unbedingt als Teilmenge von [latex]\mathbb {R}^d[/latex] für [latex]d\geq 2[/latex] gegeben sein.
   

   Man kann nun eine Metrik auf den Ecken (durch [latex]\color{blue} \bullet[/latex] gekennzeichnet) dadurch definieren, dass man benachbarten Ecken die Distanz [latex]1[/latex] zuweist und dies iteriert. Beispielsweise definiert man die Distanz zweier Ecken, die man über zwei aber nicht weniger Kanten erreichen kann, als [latex]2[/latex]. Dazu notwendig ist, dass man von einer Ecke zu jeder anderen Ecke über Ablaufen von Kanten gelangen kann (wie bei obigem Graphen) — diese Eigenschaft nennt sich auch Zusammenhang des Graphen.

   Des Weiteren ist es auch möglich, eine Metrik auf dem kompletten (kontinuierlichen) Graphen zu definieren, indem man die obige Definition auf folgende Weise erweitert. Fasst man eine Kante als Kopie des Intervalles [latex][0,1][/latex] auf, wobei [latex]0[/latex] und [latex]1[/latex] die zwei Ecken der Kante sind, so kann man eine Distanz auf den Kanten über die Distanz [latex]|x-y|[/latex] auf [latex][0,1][/latex] definieren. Ähnlich wie oben kann man nun damit eine Metrik auf dem gesamten Graphen (inklusive den Kanten) definieren.

Übung 9.4

Zeigen Sie, dass die in Beispiel 9.3(iii) definierten Metriken tatsächlich Metriken sind. Führen Sie des Weiteren die Konstruktion der Metriken in (iv) vollständig und formal durch.

Wichtige Übung 9.5: Umgekehrte Dreiecksungleichung

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass für alle [latex]x_1,x_2,y \in X[/latex] gilt

Übung 9.6: Deformation der Metrik

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass

für [latex]x,y \in X[/latex] zwei Metriken [latex]d_{\frac {1}{2}}[/latex], [latex]\tilde {d}[/latex] auf [latex]X[/latex] definieren.

Definition 9.7: Konvergenz

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum und [latex](x_n)_n[/latex] eine Folge in [latex]X[/latex]. Wir sagen, dass [latex](x_n)_n[/latex] gegen einen Punkt [latex]x_0 \in X[/latex] konvergiert, falls es für jedes [latex]\varepsilon > 0[/latex] ein [latex]N \in \mathbb {N}[/latex] gibt, so dass [latex]\mathrm {d}(x_n,x_0) Grenzwert der Folge [latex](x_n)_n[/latex]. Wir sagen, dass eine Folge [latex](x_n)_n[/latex] mit [latex]x_n\in X[/latex] für alle [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] in [latex]X[/latex] konvergent ist falls es ein [latex]x_0\in X[/latex] mit [latex]\lim _{n \to \infty } x_n = x_0[/latex] gibt.

Definition 9.8: Offene Bälle und Umgebungen

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum. Für ein [latex]\varepsilon > 0[/latex] und einen Punkt [latex]x_0 \in X[/latex] nennt man

den offenen Ball mit Radius [latex]\varepsilon[/latex] um [latex]x_0[/latex] oder auch die [latex]\varepsilon[/latex]–Umgebung von [latex]x_0[/latex]. Eine Umgebung von [latex]x_0 \in X[/latex] ist eine Teilmenge [latex]V \subseteq X[/latex], die eine [latex]\varepsilon[/latex]-Umgebung von [latex]x_0[/latex] für ein [latex]\varepsilon >0[/latex] enthält.

Wichtige Übung 9.9: Offene Bälle

Beschreiben Sie die offenen Bälle in folgenden metrischen Räumen.

• [latex](X,\mathrm {d}_{\rm {diskret}})[/latex] für eine Menge [latex]X[/latex] und die diskrete Metrik [latex]\mathrm {d}_{\rm {diskret}}[/latex] auf [latex]X[/latex].
• [latex][0,1]^2[/latex] mit der Manhattanmetrik.
• [latex]\mathbb {C}[/latex] mit der französischen Eisenbahnmetrik.
• [latex]\mathbb {R}^2[/latex] mit der Metrik [latex]\mathrm {d}_\infty[/latex] gegeben durch [latex]\mathrm {d}_\infty ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \max \left \lbrace {|x_1-x_2|,|y_1-y_2|} \right \rbrace[/latex] für [latex](x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \mathbb {R}^2[/latex].

Übung 9.10: Manhattan und SNCF sind sehr verschieden

Sei [latex]X = [0,1]^2[/latex]. Finden Sie eine Folge in [latex]X[/latex], die zwar bezüglich der Manhattanmetrik, aber nicht bezüglich der französischen Eisenbahnmetrik konvergiert (wobei wir [latex]\mathbb {R}^2[/latex] mit [latex]\mathbb {C}[/latex] und damit [latex]X[/latex] mit einer Teilmenge von [latex]\mathbb {C}[/latex] identifizieren).

Beispiel 9.11: Supremumsnorm und Gleichmässige Konvergenz

Sei [latex]K = [a,b][/latex] ein kompaktes Intervall mit [latex]a

für [latex]f \in C(K)[/latex]. Dann ist [latex]\| {\cdot }\| _\infty[/latex] eine Norm auf [latex]C(K)[/latex]. Es gilt Definitheit, denn für alle [latex]f \in C(K)[/latex] ist [latex]\| {f}\| _\infty \geq 0[/latex] per Definition von [latex]\| {\cdot }\| _\infty[/latex] und [latex]\| {f}\| _\infty = 0[/latex] genau dann, wenn [latex]f =0[/latex]. Für [latex]\alpha \in \mathbb {C}[/latex] und [latex]f \in C(K)[/latex] gilt des Weiteren

und somit Homogenität von [latex]\| {\cdot }\| _\infty[/latex]. Schlussendlich gilt für [latex]f_1,f_2 \in C(K)[/latex] auch

womit wir die Dreiecksungleichung bewiesen haben und gezeigt haben, dass [latex]\| {\cdot }\| _\infty[/latex] eine Norm auf [latex]V[/latex] ist.

Wir beschreiben nun Konvergenz in [latex]C(K)[/latex] mit der von [latex]\| {\cdot }\| _\infty[/latex] induzierten Metrik. Sei [latex](f_n)_n[/latex] eine Folge in [latex]C(K)[/latex] und [latex]f_0\in C(K)[/latex]. Die Funktionenfolge [latex](f_n)_n[/latex] konvergiert bezüglich der von [latex]\| {\cdot }\| _\infty[/latex] induzierten Metrik genau dann gegen [latex]f_0[/latex], wenn [latex](f_n)_n[/latex] gleichmässig gegen [latex]f_0[/latex] konvergiert. In der Tat, falls [latex]\| {f_n-f_0}\| _\infty \to 0[/latex] für [latex]n \to \infty[/latex] und [latex]\varepsilon > 0[/latex] ist, dann existiert ein [latex]N[/latex] mit [latex]\| {f_n-f_0}\| _\infty

Übung 9.12: [latex]1[/latex]-Norm und Konvergenz im Mittel

Sei [latex]K = [a,b][/latex] ein kompaktes Intervall mit [latex]a

für [latex]f \in V[/latex].

1. Zeigen Sie, dass [latex]\| {\cdot }\| _1[/latex] eine Norm auf [latex]V[/latex] ist. Konvergenz in [latex]V[/latex] bezüglich [latex]\| {\cdot }\| _1[/latex] nennt man Konvergenz im Mittel.
2. Sei [latex](f_n)_n[/latex] eine Folge in [latex]V[/latex]. Zeigen Sie, dass Konvergenz [latex]f_n \to f[/latex] für [latex]n \to \infty[/latex] bezüglich [latex]\| {\cdot }\| _\infty[/latex] für ein [latex]f \in V[/latex] auch die Konvergenz [latex]f_n \to f[/latex] für [latex]n \to \infty[/latex] bezüglich [latex]\| {\cdot }\| _1[/latex] impliziert.
3. Finden Sie eine Folge [latex](f_n)_n[/latex] in [latex]V[/latex] mit [latex]\| {f_n}\| _1 \to 0[/latex] für [latex]n \to \infty[/latex] und [latex]\| {f_n}\| _\infty =1[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex].

Applet 9.13: Bälle in einigen metrischen Räumen

Die folgenden Apps sollten helfen die Vielfalt der Möglichkeiten für die Gestalt von Bällen in metrischen Räumen visualisieren.

Definition 9.14: Offene oder abgeschlossene Teilmengen

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum. Eine Teilmenge [latex]O \subseteq X[/latex] heisst offen (in [latex]X[/latex]), falls es zu jedem Punkt in [latex]O[/latex] einen offenen Ball um diesen Punkt gibt, der in [latex]O[/latex] liegt. Eine Teilmenge [latex]A \subseteq X[/latex] heisst abgeschlossen (in [latex]X[/latex]), falls ihr Komplement [latex]X \setminus A[/latex] offen ist.

Beispiel 9.15: Offene oder abgeschlossene Teilmengen

1. Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum. Sei [latex]x_0 \in X[/latex] ein Punkt und [latex]r > 0[/latex] ein Radius. Der Ball [latex]B_r(x_0) = \left \lbrace {x \in X} \mid {\mathrm {d}(x,x_0) 0[/latex]. Der Ball mit Radius [latex]\varepsilon[/latex] um [latex]x[/latex] ist damit in [latex]B_r(x_0)[/latex] enthalten, denn es gilt für [latex]y \in B_\varepsilon (x)[/latex] per Definition [latex]\mathrm {d}(y,x)
2. Sei [latex]A = \left \lbrace {x_1,\ldots ,x_n} \right \rbrace \subseteq X[/latex] eine endliche Teilmenge eines metrischen Raumes [latex](X,\mathrm {d})[/latex]. Dann ist [latex]A[/latex] abgeschlossen. Sei [latex]x \in X \setminus A[/latex] und sei [latex]r = \min \left \lbrace {\mathrm {d}(x,x_1),\ldots ,\mathrm {d}(x,x_n)} \right \rbrace > 0[/latex]. Dann ist der Ball [latex]B_r(x)[/latex] in [latex]X \setminus A[/latex] enthalten, denn für [latex]k \in \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace[/latex] gilt [latex]\mathrm {d}(x,x_k) \geq r[/latex] und somit [latex]x_k \not \in B_r(x)[/latex]. Also ist [latex]X\setminus A[/latex] offen und [latex]A[/latex] abgeschlossen.
3. Wir betrachten [latex]X=[-1,1][/latex] als Teilraum von [latex]\mathbb {R}[/latex]. Die Teilmenge [latex](0,1][/latex] von [latex]X[/latex] ist offen, da [latex](0,1][/latex] aus den Punkten in [latex][-1,1][/latex] mit Abstand kleiner [latex]1[/latex] von [latex]1[/latex] besteht. Anders ausgedrückt ist [latex](0,1][/latex] der Ball von Radius [latex]1[/latex] um [latex]1[/latex] im metrischen Raum [latex]X=[-1,1][/latex] und somit nach (i) offen. Betrachtet man stattdessen die Teilmenge [latex][-1,0) \cup (0,1] = [-1,1] \setminus \left \lbrace {0} \right \rbrace[/latex], so ist diese nach (ii) offen, da [latex]\left \lbrace {0} \right \rbrace[/latex] eine abgeschlossene Teilmenge von [latex][-1,1][/latex] ist und ihr Komplement somit offen ist. Wir bemerken, dass für diese Diskussion die Definition des Grundraum [latex]X=[-1,1][/latex] mehrmals verwendet wurde (siehe auch Lemma 9.20 und die anschliessende Diskussion).
4. Wir betrachten den Raum [latex]X = \left \lbrace {\frac {1}{n}} \mid {n\in \mathbb {N}}\right \rbrace \cup \left \lbrace {0} \right \rbrace[/latex] als Teilraum von [latex]\mathbb {R}[/latex].
   • Die Teilmenge [latex]Y_1 = \left \lbrace {\frac {1}{m}} \mid {m\geq n}\right \rbrace \cup \left \lbrace {0} \right \rbrace[/latex] von [latex]X[/latex] ist für jedes feste [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] offen, da [latex]X \setminus Y_1[/latex] endlich ist. Sie ist auch abgeschlossen, da es zu jedem [latex]y \in X\setminus Y_1[/latex] ein [latex]\varepsilon > 0[/latex] mit [latex]\frac {1}{n}
   • Die Teilmenge [latex]Y_2 = \left \lbrace {\frac {1}{m}} \mid {m\geq n}\right \rbrace[/latex] von [latex]X[/latex] ist nicht abgeschlossen. Tatsächlich ist [latex]X \setminus Y_2[/latex] nicht offen, da zu jedem [latex]\varepsilon > 0[/latex] ein [latex]m \in \mathbb {N}[/latex] mit [latex]|\frac {1}{m}-0|

Übung 9.16: Abgeschlossener Ball

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass der abgeschlossene Ball [latex]\left \lbrace {x \in X} \mid {\mathrm {d}(x,x_0) \leq r}\right \rbrace[/latex] mit Radius [latex]r > 0[/latex] um [latex]x_0 \in X[/latex] tatsächlich eine abgeschlossene Teilmenge von [latex]X[/latex] ist.

Lemma 9.17: Topologie

Sei [latex](X, \mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum. Dann gilt

• Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
• Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
• Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
• Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Übung 9.18: Äquivalente Normen

Sei [latex]\mathrm {d}_\infty[/latex] die von der Maximumsnorm auf [latex]\mathbb {R}^2[/latex] induzierte Metrik, [latex]\mathrm {d}_1[/latex] die von der [latex]1[/latex]-Norm auf [latex]\mathbb {R}^2[/latex] induzierte Metrik und [latex]\mathrm {d}_2[/latex] die Euklidsche Metrik. Zeigen Sie, dass die von [latex]\mathrm {d}_\infty ,\mathrm {d}_1[/latex] respektive [latex]\mathrm {d}_2[/latex] induzierten Topologien gleich sind. Formulieren und beweisen Sie die analoge, verallgemeinerte Aussage für äquivalente Normen auf einem Vektorraum.

Lemma 9.19: Charakterisierung offener und abgeschlossener Mengen durch Konvergenz

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum.

• Eine Teilmenge [latex]O \subseteq X[/latex] ist genau dann offen, wenn für jede konvergente Folge in [latex]X[/latex] mit Grenzwert in [latex]O[/latex] fast alle Folgenglieder in [latex]O[/latex] liegen.
• Eine Teilmenge [latex]A \subseteq X[/latex] ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge [latex](x_n)_n[/latex] in [latex]X[/latex] mit [latex]x_n \in A[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] auch der Grenzwert in [latex]A[/latex] liegt.

Lemma 9.20: Relativ offene oder abgeschlossene Teilmengen

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum und [latex]Y\subseteq X[/latex] ein Teilraum. Eine Teilmenge von [latex]Y[/latex] ist offen (bezüglich der induzierten Metrik) genau dann wenn sie die Form [latex]O\cap Y[/latex] hat, wobei [latex]O\subseteq X[/latex] eine offene Teilmenge in [latex]X[/latex] ist. Ebenso ist eine Teilmenge von [latex]Y[/latex] abgeschlossen genau dann wenn sie die Form [latex]A\cap Y[/latex] hat, wobei [latex]A\subseteq X[/latex] eine abgeschlossene Teilmenge ist.

Übung 9.21: Beispiele relativ offener Teilmengen

1. Beschreiben Sie die in [latex]Y = \left \lbrace {(x,y)\in \mathbb {R}^2} \mid {y\geq 0}\right \rbrace[/latex] offenen Teilmengen, welche Punkte der Achse [latex]\left \lbrace {(x,y)} \mid {y=0}\right \rbrace[/latex] enthalten.
2. Sei [latex]X = \left \lbrace {(x,y) \in \mathbb {R}^2} \mid {xy=0}\right \rbrace[/latex]. Charakterisieren Sie die in [latex]X[/latex] offenen Teilmengen.

Lemma 9.22: Supremum von abgeschlossenen und offenen Teilmengen in [latex]\mathbb {R}[/latex]

Für eine abgeschlossene nicht-leere von oben beschränkte Teilmenge [latex]A\subseteq \mathbb {R}[/latex] gilt [latex]\sup A=\max A\in A[/latex]. Für eine offene nicht-leere von oben beschränkte Teilmenge [latex]O\subseteq \mathbb {R}[/latex] gilt [latex]\sup O\notin O[/latex]. Dies gilt analog für von unten beschränkte Teilmengen und das Infimum.

Definition 9.23: Inneres, Rand und Abschluss

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum und [latex]Y \subseteq X[/latex] eine Teilmenge. Ein Punkt [latex]x \in Y[/latex] heisst innerer Punkt von [latex]Y[/latex], falls es ein [latex]\varepsilon > 0[/latex] mit [latex]B_\varepsilon (x) \subseteq Y[/latex] gibt. Die Menge aller inneren Punkte

wird das Innere von [latex]Y[/latex] genannt. Ein Punkt [latex]x \in X[/latex] ist ein Randpunkt von [latex]Y[/latex], falls zu jedem [latex]\varepsilon > 0[/latex] beide Durchschnitte [latex]B_\varepsilon (x) \cap Y[/latex] und [latex]B_\varepsilon (x) \cap (X \setminus Y)[/latex] nichtleer sind. Die Menge der Randpunkte

wird als der Rand von [latex]Y[/latex] bezeichnet. Der Abschluss einer Menge wird durch [latex]\overline {Y}=Y\cup \partial Y[/latex] definiert.

Wichtige Übung 9.24: Eigenschaften des Abschluss und des Inneren

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum und sei [latex]Y \subseteq X[/latex] eine Teilmenge.

1. Zeigen Sie, dass [latex]Y^\circ[/latex] eine offene Teilmenge von [latex]X[/latex] ist und jede offene Teilmenge [latex]U \subseteq Y[/latex] enthält.
2. Zeigen Sie, dass [latex]\overline {Y}[/latex] eine abgeschlossene Teilmenge von [latex]X[/latex] ist und in jeder abgeschlossenen Teilmenge [latex]A \supseteq Y[/latex] enthalten ist.

Definition 9.25: Häufungspunkte und Dichtheit

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum. Ein Punkt [latex]x_0 \in X[/latex] ist ein Häufungspunkt einer Folge [latex](x_n)_n[/latex] in [latex]X[/latex], falls es eine konvergente Teilfolge [latex](x_{n_k})[/latex] gibt mit [latex]\lim _{k \to \infty }x_{n_k} = x_0[/latex]. Ein Punkt [latex]x_0 \in X[/latex] ist ein Häufungspunkt einer Teilmenge [latex]D \subseteq X[/latex], falls für jedes [latex]\varepsilon > 0[/latex] der Durchschnitt [latex]D \cap (B_{\varepsilon }(x_0) \setminus \left \lbrace {x_0} \right \rbrace )[/latex] nicht-leer ist. Eine Teilmenge [latex]D \subseteq X[/latex] heisst dicht, falls für jedes [latex]x_0 \in X[/latex] und jedes [latex]\varepsilon > 0[/latex] der Durchschnitt [latex]D \cap B_{\varepsilon }(x_0)[/latex] nicht-leer ist.

Wichtige Übung 9.26

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum.

1. Zeigen Sie, dass ein Punkt [latex]x_0 \in X[/latex] genau dann ein Häufungspunkt einer Teilmenge [latex]D \subseteq X[/latex] ist, wenn es eine Folge [latex](x_n)_n[/latex] in [latex]D[/latex] gibt mit [latex]x_n \neq x_0[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] und Grenzwert [latex]\lim _{n \to \infty } x_n = x_0[/latex].
2. Zeigen Sie, dass eine Teilmenge [latex]D \subseteq X[/latex] genau dann dicht ist, wenn es für jeden Punkt [latex]x_0 \in X[/latex] eine Folge in [latex]D[/latex] gibt mit Grenzwert [latex]x_0[/latex].
3. Zeigen Sie, dass eine konvergente Folge [latex](x_n)_n[/latex] in [latex]X[/latex] den Grenzwert [latex]\lim _{n \to \infty } x_n[/latex] als einzigen Häufungs­punkt hat. Insbesondere hat die konstante Folge [latex](x_0)_n[/latex] den Punkt [latex]x_0[/latex] als Häufungspunkt.
4. Zeigen Sie, dass eine endliche Teilmenge von [latex]X[/latex] keinen einzigen Häufungspunkt besitzt. Insbesondere sind die Häufungspunkte einer Folge [latex](x_n)_n[/latex] in [latex]X[/latex] im Allgemeinen nicht dieselben wie jene der Teilmenge [latex]\left \lbrace {x_n} \mid {n\in \mathbb {N}}\right \rbrace[/latex].

Wichtige Übung 9.27: Charakterisierung der Häufungspunkte einer Folge

Zeigen Sie in Analogie zu Proposition 5.23, dass für einen metrischen Raum [latex]X[/latex], eine Folge [latex](x_n)_n[/latex] und einen Punkt [latex]x_0 \in X[/latex] folgende Bedingungen äquivalent sind.

1. Der Punkt [latex]x_0[/latex] ist ein Häufungspunkt der Folge [latex](x_n)_n[/latex].
2. Für jedes [latex]\varepsilon > 0[/latex] und jedes [latex]N \in \mathbb {N}[/latex] gibt es ein [latex]n \geq N[/latex] mit [latex]x_n \in B_\varepsilon (x_0)[/latex].

Übung 9.28: Häufungspunkte einer Teilmenge und der Abschluss

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum und [latex]Y \subseteq X[/latex] eine Teilmenge.

1. Zeigen Sie, dass [latex]x\in \overline {Y}[/latex] genau dann wenn es eine Folge in [latex]Y[/latex] mit Grenzwert gleich [latex]x[/latex] gibt.
2. Sei [latex]x \in X \setminus Y[/latex]. Zeigen Sie, dass [latex]x[/latex] genau dann ein Häufungspunkt von [latex]Y[/latex] ist, wenn [latex]x \in \overline {Y}[/latex].
3. Zeigen Sie, dass [latex]Y[/latex] genau dann dicht in [latex]X[/latex] ist, wenn [latex]\overline {Y} = X[/latex] gilt.

Definition 9.29: Zusammenhang

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein nicht-leerer metrischer Raum. Wir nennen [latex](X,\mathrm {d})[/latex] zusammenhängend, falls es keine zwei offene nicht-leere Teilmengen [latex]O_1,O_2 \subseteq X[/latex] gibt mit [latex]X = O_1 \sqcup O_2[/latex]. Wir sagen, dass eine Teilmenge [latex]G\subseteq X[/latex] abgeschloffen ist, falls [latex]G[/latex] zugleich offen und abgeschlossen ist.

Proposition 9.30: Zusammenhang in den reellen Zahlen

Eine nicht-leere Teilmenge [latex]X\subseteq \mathbb {R}[/latex] ist genau dann zusammenhängend, wenn [latex]X[/latex] ein Intervall ist.

Lemma 9.31: Vereinigungen von zusammenhängenden Teilmengen

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum und seien [latex]Y_1,Y_2[/latex] zwei zusammenhängende Teilräume. Falls der Schnitt [latex]Y_1 \cap Y_2[/latex] nicht-leer ist, dann ist die Vereingung [latex]Y_1 \cup Y_2[/latex] zusammenhängend.

Wichtige Übung 9.32

Verallgemeinern Sie Lemma 9.31 für beliebige Vereinigungen.

Übung 9.33: Zusammenhang der Ebene

Wir möchten zeigen, dass [latex]\mathbb {R}^2[/latex] zusammenhängend ist (wobei wir [latex]\mathbb {R}^2[/latex] mit der Standardtopologie betrachten). Gehen Sie dazu wie folgt vor:

1. Betrachten Sie [latex]\mathbb {R}^2[/latex] mit der Maximumsnorm. Zeigen Sie, dass die offenen Teilmengen des Teilraumes [latex]\left \lbrace {x} \right \rbrace \times \mathbb {R}[/latex] für [latex]x \in \mathbb {R}[/latex] (respektive [latex]\mathbb {R} \times \left \lbrace {y} \right \rbrace[/latex] für [latex]y \in \mathbb {R}[/latex]) von der Form [latex]\left \lbrace {x} \right \rbrace \times U[/latex] für [latex]U \subseteq \mathbb {R}[/latex] offen (respektive [latex]U \times \left \lbrace {y} \right \rbrace[/latex] für [latex]U \subseteq \mathbb {R}[/latex] offen) sind.
2. Zeigen Sie, dass die Teilräume [latex]\left \lbrace {x} \right \rbrace \times \mathbb {R}[/latex] für [latex]x \in \mathbb {R}[/latex] und [latex]\mathbb {R} \times \left \lbrace {y} \right \rbrace[/latex] für [latex]y \in \mathbb {R}[/latex] zusammenhängend sind.
3. Verwenden Sie Lemma 9.31 und Übung 9.32 um zu zeigen, dass [latex]\mathbb {R}^2[/latex] zusammenhängend ist.

Definition 9.34: Stetigkeit bei einem Punkt

Seien [latex](X,\mathrm {d}_X),(Y,\mathrm {d}_Y)[/latex] zwei metrische Räume und sei [latex]f: X \to Y[/latex] eine Funktion. Wir sagen, dass [latex]f[/latex] bei [latex]x_0 \in X[/latex] [latex]\mathbf {\varepsilon }[/latex]–[latex]\mathbf {\delta }[/latex]-stetig ist, falls für alle [latex]\varepsilon >0[/latex] ein [latex]\delta > 0[/latex] existiert, so dass für alle [latex]x \in B_\delta (x_0)[/latex] auch [latex]f(x) \in B_{\varepsilon }(f(x_0))[/latex] gilt. Wir sagen, dass [latex]f[/latex] bei [latex]x_0 \in X[/latex] folgenstetig ist, falls für jede konvergente Folge [latex](x_n)_n[/latex] in [latex]X[/latex] mit Grenzwert [latex]\lim _{n \to \infty }x_n = x_0[/latex] die Folge [latex](f(x_n))_n[/latex] konvergiert und Grenzwert [latex]\lim _{n \to \infty }f(x_n) = f(x_0)[/latex] hat.

Lemma 9.35: Stetigkeit bei einem Punkt

Seien [latex]X[/latex] und [latex]Y[/latex] zwei metrische Räume, [latex]f:X \to Y[/latex] eine Funktion und [latex]x_0 \in X[/latex] ein Punkt. Dann ist [latex]f[/latex] genau dann bei [latex]x_0[/latex] [latex]\varepsilon[/latex]–[latex]\delta[/latex]-stetig, wenn [latex]f[/latex] bei [latex]x_0[/latex] folgenstetig ist.

Definition 9.36

Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum, [latex]D \subseteq X[/latex] eine Teilmenge, [latex]x_0 \in X[/latex] ein Häufungspunkt von [latex]D[/latex] und [latex]f: D \to Y[/latex] eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum [latex]Y[/latex]. Dann ist [latex]y_0 \in Y[/latex] der Grenzwert von [latex]f(x)[/latex] für [latex]x \to x_0[/latex], geschrieben [latex]y_0 = \lim _{x \to x_0}f(x)[/latex], falls gilt

Proposition 9.37: Charakterisierungen der Stetigkeit

Seien [latex]X,Y[/latex] zwei metrische Räume und [latex]f:X \to Y[/latex] eine Funktion. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. Die Funktion [latex]f[/latex] ist stetig.
2. Für jedes [latex]x \in X[/latex] ist [latex]f[/latex] bei [latex]x[/latex] [latex]\varepsilon[/latex]–[latex]\delta[/latex]-stetig.
3. Für jedes [latex]x \in X[/latex] ist [latex]f[/latex] bei [latex]x[/latex] folgenstetig.
4. Für jede offene Teilmenge [latex]O \subseteq Y[/latex] ist [latex]f^{-1}(O)[/latex] eine offene Teilmenge von [latex]X[/latex].
5. Für jede abgeschlossene Teilmenge [latex]A \subseteq Y[/latex] ist [latex]f^{-1}(A)[/latex] eine abgeschlossene Teilmenge von [latex]X[/latex].

Bemerkung

In der Vorlesung «Topologie» im vierten Semester des Mathematikstudiums werden allgemeiner über die Eigenschaften in Lemma 9.17 Kollektionen offener Teilmengen einer Menge betrachtet. Klebt man beispielsweise die Ränder des Quadrats [latex][0,1]^2[/latex] nach vorgegebenen Regeln aneinander, so lässt sich auf dem erhaltenen Quotientenraum eine natürliche Topologie mittels der Topologie auf [latex][0,1]^2[/latex] definieren. Stetigkeit wird dann wie in Proposition 9.37 dadurch definiert, dass Urbilder offener Mengen offen sein sollen.

Definition 9.38

Seien [latex](X,\mathrm {d}_X)[/latex] und [latex](Y,\mathrm {d}_Y)[/latex] zwei metrische Räume und [latex]f:X \to Y[/latex] eine Funktion. Dann heisst [latex]f[/latex] gleichmässig stetig, falls es zu jedem [latex]\varepsilon > 0[/latex] ein [latex]\delta >0[/latex] gibt, so dass für alle [latex]x_1,x_2 \in X[/latex] mit [latex]\mathrm {d}_X(x_1,x_2) Lipschitz-stetig, falls es eine sogenannte Lipschitz-Konstante [latex]L \geq 0[/latex] gibt mit

für alle [latex]x_1,x_2 \in X[/latex].

Proposition 9.39: Stetige Funktionen

Seien [latex]X,Y,Z[/latex] metrische Räume.

1. Falls [latex]f: X \to Y[/latex] und [latex]g:Y \to Z[/latex] stetig sind, dann ist auch [latex]g \circ f: X \to Z[/latex] stetig.
2. Eine Funktion [latex]f:X\to \mathbb {C}^d[/latex] ist genau dann stetig, wenn die Komponenten
   [latex]
   \begin{aligned}[]f_j=\pi _j\circ f:X\to \mathbb {C}\end{aligned}
   [/latex]

   für [latex]j=1,\ldots ,d[/latex] stetig sind, wobei [latex]\pi _j:(z_1,\ldots ,z_d)^t\in \mathbb {C}^d\mapsto z_j\in \mathbb {C}[/latex] für [latex]j\in \left \lbrace {1,\ldots ,d} \right \rbrace[/latex] die Projektion auf die [latex]j[/latex]-te Koordinate bezeichnet.

3. Die Addition [latex]+:\mathbb {C}^2\to \mathbb {C}[/latex] ist stetig.
4. Die Multiplikation [latex]\cdot :\mathbb {C}^2\to \mathbb {C}[/latex] ist stetig.
5. Die Kehrwertfunktion [latex](\ )^{-1}:z\in \mathbb {C}^\times \mapsto z^{-1}\in \mathbb {C}[/latex] ist stetig.
6. Polynome in [latex]\mathbb {C}[z][/latex], die komplexe Exponentialabbildung, der reelle Logarithmus, Wurzelfunktionen, die komplexen trigonometrischen Funktionen [latex]\sin[/latex], [latex]\cos[/latex], [latex]\tan[/latex], [latex]\cot[/latex] die komplexen hyperbolischen Funktionen [latex]\sinh[/latex], [latex]\cosh[/latex], [latex]\tanh[/latex], die reellen inversen trigonometrischen Funktionen [latex]\arcsin[/latex], [latex]\arccos[/latex], [latex]\arctan[/latex] und die reellen inversen hyperbolischen Funktionen [latex]\operatorname {arsinh}[/latex], [latex]\operatorname {arcosh}[/latex], [latex]\operatorname {artanh}[/latex] sind auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich stetig. Des Weiteren definieren Potenzreihen im Inneren des Konvergenzkreises stetige Funktionen.

Übung 9.40: Stetige Funktionen durch Fallunterscheidung

Seien [latex]X,Y[/latex] zwei metrische Räume und seien [latex]A_1,A_2 \subseteq X[/latex] zwei abgeschlossene Teilmengen von [latex]X[/latex] mit [latex]X = A_1 \cup A_2[/latex]. Angenommen [latex]f_1:A_1 \to Y[/latex] und [latex]f_2: A_2 \to Y[/latex] sind zwei stetige Funktionen mit [latex]f_1(x) = f_2(x)[/latex] für alle [latex]x \in A_1 \cap A_2[/latex]. Zeigen Sie, dass die damit wohldefinierte Funktion

stetig ist.

Wichtige Übung 9.41: Distanzfunktionen

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum. In dieser Übung möchten wir den Abstand von Teilmengen von [latex]X[/latex] zu Punkten diskutieren. Zu [latex]x\in X[/latex] und [latex]A \subseteq X[/latex] nicht-leer definieren wir

1. Zeigen Sie, dass eine nicht-leere Teilmenge [latex]A \subseteq X[/latex] genau dann abgeschlossen ist, wenn für alle [latex]x \in X[/latex] die Eigenschaft [latex]\mathrm {d}(x,A) = 0 \iff x \in A[/latex] gilt.
2. Zeigen Sie, dass die Funktion [latex]x \in X \mapsto \mathrm {d}(x,A)\in \mathbb {R}[/latex] Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante [latex]1[/latex] ist.

Beispiel 9.42

1. Sei [latex]f: \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R}[/latex] gegeben durch
   [latex]
   \begin{aligned}[]f(x,y) = \left \lbrace \begin{array}{cc} \frac {xy}{x^2+y^2} & \text {falls } (x,y)^t \neq (0,0)^t\\ 0 & \text {falls } (x,y)^t = (0,0)^t\end{array} \right .\end{aligned}
   [/latex]

   für [latex](x,y)^t \in \mathbb {R}^2[/latex]. Dann ist [latex]f[/latex] auf der [latex]x[/latex]-Achse und ebenso auf der [latex]y[/latex]-Achse identisch Null. Hingegen ist [latex]f[/latex] auf einer Geraden [latex]y = ax[/latex] zu [latex]a \neq 0[/latex] gleich [latex]\frac {a}{1+a^2}[/latex]. Daher ist [latex]f[/latex] bei [latex](0,0)^t[/latex] nicht stetig.

2. Sei [latex]f: \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R}[/latex] gegeben durch
   [latex]
   \begin{aligned}[]f(x,y) = \left \lbrace \begin{array}{cc} \frac {x^2y}{x^4+y^2} & \text {falls } (x,y)^t \neq (0,0)^t\\ 0 & \text {falls } (x,y)^t = (0,0)^t\end{array} \right .\end{aligned}
   [/latex]

   für [latex](x,y)^t \in \mathbb {R}^2[/latex]. Dann ist [latex]f[/latex] auf der [latex]x[/latex]-Achse und ebenso auf der [latex]y[/latex]-Achse identisch Null. Des Weiteren ist [latex]f[/latex] auf einer Geraden [latex]y = ax[/latex] zu [latex]a \neq 0[/latex] gleich [latex]\frac {ax^3}{x^4+a^2x^2} = \frac {ax}{a^2+x^2}[/latex] und damit entlang dieser Gerade stetig. Dennoch ist [latex]f[/latex] bei [latex](0,0)^t[/latex] nicht stetig, da für [latex]y = x^2[/latex] und [latex]x \neq 0[/latex]

   [latex]
   \begin{aligned}[]f(x,y)= f(x,x^2) = \frac {x^4}{2x^4} = \frac {1}{2}\end{aligned}
   [/latex]

   ist.

Proposition 9.43: Bilder zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen

Seien [latex]X,Y[/latex] metrische Räume und [latex]f: X \to Y[/latex] stetig. Falls [latex]X[/latex] zusammenhängend ist, dann ist das Bild [latex]f(X)[/latex] ein zusammenhängender Teilraum von [latex]Y[/latex].

Korollar 9.44: Zwischenwertsatz

Sei [latex]I\subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall, [latex]f: I \to \mathbb {R}[/latex] eine stetige Funktion und [latex]a,b\in I[/latex]. Für jedes [latex]c\in \mathbb {R}[/latex] zwischen [latex]f(a)[/latex] und [latex]f(b)[/latex] gibt es ein [latex]x\in I[/latex] zwischen [latex]a[/latex] und [latex]b[/latex], so dass [latex]f(x) = c[/latex] gilt.

Übung 9.45

Zeigen Sie folgende Verallgemeinerung des Zwischenwertsatzes: Sei [latex]X[/latex] ein zusammenhängender metrischer Raum und [latex]f: X \to \mathbb {R}[/latex] eine stetige Abbildung. Seien [latex]a,b \in X[/latex]. Dann existiert für jedes [latex]c \in \mathbb {R}[/latex] zwischen [latex]f(a)[/latex] und [latex]f(b)[/latex] ein [latex]x \in X[/latex] mit [latex]f(x) = c[/latex].

Definition 9.46: Wege und Wegzusammenhang

Sei [latex]X[/latex] ein nicht-leerer metrischer Raum.

• Ein Weg in [latex]X[/latex] ist eine stetige Abbildung [latex]\gamma :[a,b] \to X[/latex] auf einem nicht-leeren Intervall [latex][a,b]\subseteq \mathbb {R}[/latex] mit Startpunkt [latex]\gamma (a)[/latex] und Endpunkt [latex]\gamma (b)[/latex]. Dabei sagen wir auch, dass [latex]\gamma[/latex] ein Weg von [latex]\gamma (a)[/latex] nach [latex]\gamma (b)[/latex] ist.
• Wir nennen [latex]X[/latex] wegzusammenhängend, falls für je zwei Punkte [latex]x,y\in X[/latex] zwei reelle Zahlen [latex]a

Übung 9.48: Zusammenhang v.s. Wegzusammenhang

Zeigen Sie, dass der Teilraum

zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist.

Proposition 9.49

Sei [latex]O \subseteq \mathbb {R}^d[/latex] für [latex]d \geq 1[/latex] eine nicht-leere, offene Teilmenge. Dann ist [latex]O[/latex] genau dann wegzusammenhängend, wenn [latex]O[/latex] zusammenhängend ist.

Übung 9.50: Verkettung von Wegen

Wir möchten hier die oben verwendete Verkettung nochmals im Allgemeinen behandeln. Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum und sei [latex]\gamma :[0,1] \to X[/latex] ein Weg von [latex]x_0\in X[/latex] nach [latex]x_1 \in X[/latex].

1. (Umkehren von Wegen) Zeigen Sie, dass [latex]t \in [0,1] \mapsto \gamma (1-t)[/latex] ein Weg von [latex]x_1[/latex] nach [latex]x_0[/latex] ist.
2. (Verketten von Wegen) Sei [latex]\tilde {\gamma }:[0,1] \to X[/latex] ein Weg von [latex]x_1[/latex] nach [latex]x_2 \in X[/latex]. Zeigen Sie, dass
   [latex]
   \begin{aligned}[]t \in [0,1] \mapsto \left \lbrace \begin{array}{cc} \gamma (2t) & \text {falls } 0 \leq t \leq \tfrac {1}{2} \\ \tilde {\gamma }(2t-1) & \text {falls } \tfrac {1}{2} [/latex]

   einen Weg von [latex]x_0[/latex] nach [latex]x_2[/latex] definiert.

3. Wiederholen Sie damit den Beweis von Proposition 9.49.

Definition 9.51: Cauchy-Folgen und Vollständigkeit

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum. Eine Folge [latex](x_n)_n[/latex] in [latex]X[/latex] heisst Cauchy-Folge, falls es zu jedem [latex]\varepsilon > 0[/latex] ein [latex]N \in \mathbb {N}[/latex] gibt, so dass für alle [latex]m,n\geq N[/latex] die Abschätzung [latex]\mathrm {d}(x_n,x_m) vollständig, falls jede Cauchy-Folge in [latex]X[/latex] konvergiert.

Proposition 9.52: Vollständigkeit in endlich dimensionalen Vektorräumen

Sei [latex]d \geq 1[/latex]. Jede abgeschlossene Teilmenge von [latex]\mathbb {R}^d[/latex] ist vollständig.

Übung 9.53: Vollständigkeit und Abgeschlossenheit

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum und [latex]A \subseteq X[/latex] eine Teilmenge.

1. Angenommen [latex]X[/latex] ist vollständig und [latex]A[/latex] ist abgeschlossen. Zeigen Sie, dass der Teilraum [latex]A[/latex] auch vollständig ist.
2. Angenommen [latex]A[/latex] ist vollständig. Zeigen Sie, dass [latex]A \subseteq X[/latex] abgeschlossen ist.

Bemerkung

Ein Banachraum ist per Definition ein vollständiger normierter Vektorraum. Interessant sind Banachräume unter anderem deswegen, weil sie (und Abbildungen auf ihnen) in der Praxis häufig vorkommen und oft relativ gute Eigenschaften besitzen. Für eine detaillierte Behandlung von Banachräumen verweisen wir auf die Vorlesung der Funktionalanalysis im dritten Studienjahr. Wird die Norm in einem Banachraum noch zusätzlich von einem inneren Produkt induziert, so spricht man von einem Hilbertraum. Hilberträume spielen unter anderem in der vollständigen Behandlung von Fourier-Reihen (siehe Appendix) eine fundamentale Rolle.

Satz 9.54: Banachscher Fixpunktsatz

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein nicht-leerer, vollständiger metrischer Raum. Sei [latex]T: X \to X[/latex] eine Lipschitz-Kontraktion, das heisst, eine Abbildung mit der Eigenschaft

für alle [latex]x_1,x_2 \in X[/latex] und für eine fixe Lipschitz-Konstante [latex]\lambda Fixpunkt von [latex]T[/latex]).

Übung 9.55: Notwendigkeit der Annahmen in Satz 9.54

• Finden Sie einen nicht-vollständigen metrischen Raum [latex]X[/latex] und eine Lipschitz-Kontra­ktion [latex]T: X \to X[/latex], die keinen Fixpunkt besitzt.
• Finden Sie einen vollständigen metrischen Raum [latex](X,\mathrm {d})[/latex] und eine Isometrie (das heisst, eine Abbildung [latex]T: X \to X[/latex] mit [latex]\mathrm {d}(T(x_1),T(x_2)) = \mathrm {d}(x_1,x_2)[/latex]), die keinen Fixpunkt besitzt.

Definition 9.56

Sei [latex]d \geq 1[/latex]. Eine [latex]d \times d[/latex]-Matrix [latex]A \in \operatorname {Mat}_{d,d}(\mathbb {R})[/latex] heisst nicht-negativ (positiv), falls [latex]A_{k \ell } \geq 0[/latex] ([latex]A_{k \ell } >0[/latex]) für alle [latex]k,\ell \in \left \lbrace {1,\ldots ,d} \right \rbrace[/latex] gilt. Eine nicht-negative Matrix [latex]P \in \operatorname {Mat}_{d,d}(\mathbb {R})[/latex] ist eine Wahrscheinlichkeitsmatrix, falls [latex]\sum _{k=1}^d P_{k\ell } =1[/latex] für alle [latex]\ell \in \left \lbrace {1,\ldots ,d} \right \rbrace[/latex] gilt. Ein Vektor [latex]{a} \in \mathbb {R}^d[/latex] ist ein Wahrscheinlichkeitsvektor, falls [latex]a_j \geq 0[/latex] für alle [latex]j \in \left \lbrace {1,\ldots ,d} \right \rbrace[/latex] und [latex]\sum _{j=1}^d a_j = 1[/latex]. Ein Wahrscheinlichkeitsvektor [latex]{a} \in \mathbb {R}^d[/latex] heisst stationär bezüglich einer Wahrscheinlichkeitsmatrix [latex]P \in \operatorname {Mat}_{d,d}(\mathbb {R})[/latex], falls [latex]P {a} = {a}[/latex] gilt (also falls [latex]{a}[/latex] ein Eigenvektor von [latex]P[/latex] zum Eigenwert [latex]1[/latex] ist).

Korollar 9.57

Sei [latex]d \geq 1[/latex] und [latex]P \in \operatorname {Mat}_{d,d}(\mathbb {R})[/latex] eine positive Wahrscheinlichkeitsmatrix. Dann existiert ein eindeutig bestimmter stationärer Wahrscheinlichkeitsvektor zu [latex]P[/latex], der auch [latex]a_j > 0[/latex] für alle [latex]j \in \left \lbrace {1,\ldots ,d} \right \rbrace[/latex] erfüllt.

Übung 9.58: Verallgemeinerungen

1. Sei [latex]P \in \operatorname {Mat}_{d,d}(\mathbb {R})[/latex] eine Wahrscheinlichkeitsmatrix mit einer positiven Potenz, zum Beispiel [latex]P = \left (\begin{smallmatrix}\frac {1}{2} & 1 \\ \frac {1}{2} & 0\end{smallmatrix} \right )[/latex]. Zeigen Sie, dass [latex]P[/latex] ebenso die Konklusionen in Korollar 9.57 erfüllt und beweisen Sie, dass alle von [latex]1[/latex] verschiedenen Eigenwerte von [latex]P[/latex] Absolutbetrag kleiner [latex]1[/latex] haben.
2. Sei [latex]P \in \operatorname {Mat}_{d,d}(\mathbb {R})[/latex] eine Wahrscheinlichkeitsmatrix mit der Eigenschaft, dass es für jedes Indexpaar [latex]k,\ell \in \left \lbrace {1,\ldots ,d} \right \rbrace[/latex] ein [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] gibt mit [latex](P^n)_{k,\ell } > 0[/latex], zum Beispiel [latex]P = \left (\begin{smallmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{smallmatrix} \right )[/latex]. Zeigen Sie, dass [latex]P[/latex] ebenso die Konklusionen in Korollar 9.57 erfüllt und beweisen Sie, dass alle von [latex]1[/latex] verschiedenen Eigenwerte von [latex]P[/latex] Absolutbetrag kleiner [latex]1[/latex] haben oder eine Wurzel aus [latex]1[/latex] sind.
3. Finden Sie weitere Beispiele von Wahrscheinlichkeitsmatrizen, wo andere Phänomene eintreten und obige Aussagen nicht immer gelten.

Definition 9.59: Folgenkompaktheit und Beschränktheit

Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum. Wir sagen, dass [latex]X[/latex] folgenkompakt ist, falls jede Folge in [latex]X[/latex] eine konvergente Teilfolge (mit Grenzwert in [latex]X[/latex]) besitzt. Ein Teilraum [latex]K \subseteq X[/latex] ist folgenkompakt, falls er als eigenständiger metrischer Raum folgenkompakt ist. Eine Teilmenge [latex]B \subseteq X[/latex] ist beschränkt, falls es ein Punkt [latex]x_0 \in X[/latex] und einen Radius [latex]R > 0[/latex] gibt, so dass [latex]B[/latex] im Ball [latex]B_R(x_0)[/latex] enthalten ist.

Lemma 9.60: Notwendige Eigenschaften

Eine folgenkompakte Teilmenge eines nicht-leeren metrischen Raumes ist abgeschlossen und beschränkt.

Definition 9.61: Überdeckungskompaktheit

Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum.

• Eine offene Überdeckung [latex]\mathcal {O}[/latex] von [latex]X[/latex] ist eine Kollektion offener Teilmengen von [latex]X[/latex], für die [latex]X = \bigcup _{O \in \mathcal {O}}O[/latex] gilt. Eine (endliche) Teilüberdeckung einer offenen Überdeckung [latex]\mathcal {O}[/latex] ist eine (endliche) Teilmenge [latex]\mathcal {O}' \subseteq \mathcal {O}[/latex], welche selbst eine offene Überdeckung bildet.
• Der Raum [latex]X[/latex] ist (abzählbar) überdeckungskompakt, falls für jede (abzählbare) offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung existiert.
• Wir sagen, dass [latex]X[/latex] das (abzählbare) Schachtelungsprinzip erfüllt, falls für jede (abzählbare) Kollektion [latex]\mathcal {A}[/latex] abgeschlossener Teilmengen von [latex]X[/latex] mit [latex]A_{1} \cap \ldots \cap A_n \neq \emptyset[/latex] für alle [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] und [latex]A_1,\ldots ,A_n \in \mathcal {A}[/latex] (auch endliche Schnitteigenschaft genannt) auch [latex]\bigcap _{A \in \mathcal {A}}A \neq \emptyset[/latex] gilt.

Beispiel 9.62: Offene Überdeckungen und Überdeckungskompaktheit

1. Jeder endliche metrische Raum [latex]X[/latex] ist überdeckungskompakt. In der Tat ist die Potenzmenge [latex]\mathcal {P}(X)[/latex] endlich und somit jede offene Überdeckung bereits endlich.
2. Der Teilraum [latex]X = (0,1] \subseteq \mathbb {R}[/latex] ist nicht überdeckungskompakt. Tatsächlich besitzt die offene Überdeckung [latex]\mathcal {O} = \left \lbrace {\left (\frac {1}{n},1\right ]} \mid {n \geq 2}\right \rbrace[/latex] keine endliche Teilüberdeckung. (Wieso?).
3. Falls wir stattdessen den Teilraum [latex]X = [0,1] \subseteq \mathbb {R}[/latex] betrachten, dann bildet die Kollektion [latex]\mathcal {O} = \left \lbrace {\left (\frac {1}{n},1\right ] \cap X} \mid {n \in \mathbb {N}}\right \rbrace[/latex] keine offene Überdeckung mehr, da [latex]0 \not \in \left (\frac {1}{n},1\right ][/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex]. Geben wir zu dieser Kollektion eine weitere offene Menge, die [latex]0[/latex] enthält (wie zum Beispiel [latex][0,\varepsilon ) = (-\varepsilon ,\varepsilon ) \cap X[/latex] für [latex]\varepsilon > 0[/latex]), hinzu, dann erhalten wir eine offene Überdeckung, die eine endliche Teilüberdeckung besitzt (wieso gilt dies im Beispiel?). In der Tat ist [latex][0,1][/latex] überdeckungskompakt (siehe Satz 9.66 weiter unten).

Übung 9.63

Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass [latex]X[/latex] genau dann überdeckungs­kompakt ist, wenn jede offene Überdeckung von [latex]X[/latex] bestehend aus offenen Bällen eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Definition 9.64: Lebesgue-Zahl

Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum und [latex]\mathcal {O}[/latex] eine offene Überdeckung von [latex]X[/latex]. Wir sagen, dass eine Zahl [latex]r>0[/latex] eine Lebesgue-Zahl für [latex]\mathcal {O}[/latex] ist, falls es für jedes [latex]x \in X[/latex] eine offene Menge [latex]O \in \mathcal {O}[/latex] gibt mit [latex]B_r(x) \subseteq O[/latex].

Definition 9.65: Total beschränkt

Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum. Wir sagen, dass [latex]X[/latex] total beschränkt ist, falls es für jedes [latex]\varepsilon > 0[/latex] endlich viele [latex]x_1,\ldots ,x_n \in X[/latex] gibt mit [latex]X= \bigcup _{j=1}^n B_\varepsilon (x_j)[/latex].

Satz 9.66: Kompaktheit

Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum. Dann sind folgende neun Eigenschaften äquivalent. Wenn diese erfüllt sind, so nennen wir [latex]X[/latex] einen kompakten metrischen Raum.

1. Jede unendliche Teilmenge von [latex]X[/latex] besitzt einen Häufungspunkt.
2. [latex]X[/latex] ist folgenkompakt (das heisst, jede Folge in [latex]X[/latex] hat eine in [latex]X[/latex] konvergente Teilfolge).
3. [latex]X[/latex] ist abzählbar überdeckungskompakt (das heisst, für jede Folge [latex]O_1,O_2,\ldots[/latex] offener Teilmengen in [latex]X[/latex] mit [latex]X=\bigcup _{n\in \mathbb {N}}O_n[/latex] gibt es ein [latex]N\in \mathbb {N}[/latex] mit [latex]X=\bigcup _{n=1}^NO_n[/latex]).
4. Jede stetige, komplexwertige Funktion auf [latex]X[/latex] ist beschränkt.
5. Jede stetige, reellwertige Funktion auf [latex]X[/latex] nimmt ein Maximum und ein Minimum an.
6. Jede offene Überdeckung von [latex]X[/latex] besitzt eine Lebesgue-Zahl und [latex]X[/latex] ist total beschränkt.
7. [latex]X[/latex] ist überdeckungskompakt.
8. [latex]X[/latex] erfüllt das Schachtelungsprinzip.
9. [latex]X[/latex] ist total beschränkt und vollständig.

Proposition 9.67: Lebesgue-Zahl

Sei [latex]X[/latex] ein folgenkompakter metrischer Raum. Dann hat jede offene Überdeckung eine Lebesgue-Zahl.

Übung 9.68

Sei [latex][a,b] \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein nicht-leeres, kompaktes Intervall. Verwenden Sie das Intervallschachtelungsprinzip, um die Überdeckungskompaktheit von [latex][a,b][/latex] zu beweisen.

Übung 9.69: Alternative Beweise

Beweisen Sie Lemma 9.60 unter Verwendung von Überdeckungskompaktheit.

Satz 9.70: Heine-Borel

Eine Teilmenge [latex]K \subseteq \mathbb {R}^d[/latex] für [latex]d \geq 1[/latex] ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Wichtige Übung 9.71: Alle Normen auf [latex]\mathbb {R}^d[/latex] sind äquivalent

Sei [latex]d \geq 1[/latex] und seien [latex]\| {\cdot }\| ,\| {\cdot }\| '[/latex] zwei Normen auf [latex]\mathbb {R}^d[/latex]. Wir möchten in folgenden Schritten zeigen, dass [latex]\| {\cdot }\|[/latex] und [latex]\| {\cdot }\| '[/latex] äquivalent sind.

1. Erklären Sie, wieso Sie annehmen können, dass [latex]\| {\cdot }\| ' = \| {\cdot }\| _1[/latex] die Einsnorm ist.
2. Finden Sie eine Konstante [latex]C > 0[/latex] mit [latex]\| {{x}}\| \leq C \| {{x}}\| _1[/latex] für alle [latex]{x} \in \mathbb {R}^d[/latex]. Schliessen Sie daraus auch, dass [latex]\| {\cdot }\| : \mathbb {R}^d \to \mathbb {R}[/latex] eine bezüglich der euklidischen Metrik [latex]\mathrm {d}_2[/latex] stetige Abbildung ist.
3. Sei [latex]A = \left \lbrace {{x} \in \mathbb {R}^d} \mid {\| {{x}}\| _1 = 1}\right \rbrace[/latex]. Zeigen Sie, dass die Einschränkung von [latex]\| {\cdot }\|[/latex] auf [latex]A[/latex] ein Minimum annimmt.
4. Verwenden Sie (iii) um eine Konstante [latex]C' > 0[/latex] mit [latex]C'\| {{x}}\| _1 \leq \| {{x}}\|[/latex] für alle [latex]{x} \in \mathbb {R}^d[/latex] zu finden und schliessen Sie damit auf die zu beweisende Aussage.

Satz 9.72: Kompaktes Bild

Seien [latex]X,Y[/latex] metrische Räume und sei [latex]f:X \to Y[/latex] eine stetige Abbildung. Falls [latex]X[/latex] kompakt ist, so ist auch [latex]f(X)[/latex] kompakt.

Übung 9.73

Beweisen Sie Satz 9.72 jeweils mit den Charakterisierungen (5) und (7) von Kompaktheit aus Satz 9.66.

Übung 9.74: Hilbert-Schmidt-Norm

Zeigen Sie, dass [latex]\left \langle {A}, {B} \right \rangle = \operatorname {Tr}(AB^T)[/latex] ein Skalarprodukt auf [latex]\operatorname {Mat}_{n,n}(\mathbb {R})[/latex] definiert. Die induzierte Norm wird die Hilbert-Schmidt-Norm auf [latex]\operatorname {Mat}_{n,n}(\mathbb {R})[/latex]. Identifizieren Sie die dazugehörige Norm auf [latex]\mathbb {R}^{n^2}[/latex].

Definition 9.75: Operatornorm

Die Operatornorm einer Matrix [latex]A \in \operatorname {Mat}_{m,n}(\mathbb {R})[/latex] ist durch

definiert.

Lemma 9.76: Eigenschaften der Operatornorm

Seien [latex]m,n\in \mathbb {N}[/latex]. Dann definiert [latex]\| {\cdot }\| _\mathrm {op}[/latex] in der Tat eine (wohldefinierte) Norm auf [latex]\operatorname {Mat}_{m,n}(\mathbb {R})[/latex] und erfüllt
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:metr-opnormeig1} \| {Ax}\| _2 \leq \| {A}\| _\mathrm {op} \| {x}\| _2\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]x \in \mathbb {R}^n[/latex] und alle [latex]A \in \operatorname {Mat}_{m,n}(\mathbb {R})[/latex]. Des Weiteren gilt für [latex]k\in \mathbb {N}[/latex], [latex]A \in \operatorname {Mat}_{m,n}(\mathbb {R})[/latex] und [latex]B \in \operatorname {Mat}_{n,k}(\mathbb {R})[/latex]
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:metr-opnormeig2} \| {AB}\| _\mathrm {op} \leq \| {A}\| _\mathrm {op} \| {B}\| _\mathrm {op}.\end{aligned}
[/latex]

Proposition 9.77

Seien [latex]X,Y[/latex] zwei metrische Räume und [latex]f:X \to Y[/latex] eine stetige Funktion. Falls [latex]X[/latex] kompakt ist, so ist [latex]f[/latex] gleichmässig stetig.

Proposition 9.79: Gleichmässig kleine Oszillation

Sei [latex]X[/latex] eine kompakter metrischer Raum und sei [latex]f:X \to \mathbb {R}[/latex] eine beschränkte Funktion. Angenommen es gibt [latex]\eta \geq 0[/latex], so dass [latex]\omega (f,x) \leq \eta[/latex] für alle [latex]x \in X[/latex]. Dann existiert für jedes [latex]\varepsilon > 0[/latex] ein [latex]\delta > 0[/latex], so dass für alle [latex]x \in X[/latex]

gilt.

Übung 9.80

Beweisen Sie Proposition 9.79 unter Verwendung einer offenen Überdeckung und der Existenz einer Lebesgue-Zahl in Proposition 9.67.

Theorem 9.81: Fundamentalsatz der Algebra

Jedes komplexe Polynom [latex]f \in \mathbb {C}[z][/latex] mit positivem Grad [latex]n = \deg (f) \geq 1[/latex] hat mindestens eine Nullstelle in [latex]\mathbb {C}[/latex]. Des Weiteren lässt sich [latex]f[/latex] als Produkt eines Skalars [latex]a_n \in \mathbb {C}^\times[/latex] und [latex]n[/latex] Linearfaktoren der Form [latex](z-\alpha _j)[/latex] schreiben, das heisst

mit [latex]\alpha _1,\ldots ,\alpha _n \in \mathbb {C}[/latex].

Übung 9.82: Endlich-dimensionale Körpererweiterungen von [latex]\mathbb {C}[/latex]

Sei [latex]\mathbb {K} \supseteq \mathbb {C}[/latex] ein Körper, für den die Körperoperationen auf [latex]\mathbb {C}[/latex] mit den üblichen Körperoperationen von [latex]\mathbb {C}[/latex] selbst übereinstimmen (eine Körpererweiterung von [latex]\mathbb {C}[/latex]). Dann lässt sich [latex]\mathbb {K}[/latex] auf natürliche Weise als Vektorraum über [latex]\mathbb {C}[/latex] auffassen. Zeigen Sie, dass der Körper [latex]\mathbb {K}[/latex] automatisch gleich [latex]\mathbb {C}[/latex] selbst ist, falls die Dimension von [latex]\mathbb {K}[/latex] über [latex]\mathbb {C}[/latex] endlich ist.

Übung 9.83: Minimumsprinzip

Sei [latex]f[/latex] eine komplexwertige Funktion auf einer offenen Teilmenge von [latex]\mathbb {C}[/latex], die sich lokal durch Potenzreihen darstellen lässt (eine analytische Funktion). Genauer soll für jedes [latex]x_0 \in U[/latex] ein [latex]R>0[/latex] mit [latex]B_R(x_0) \subseteq U[/latex] existieren, so dass [latex]f[/latex] auf [latex]B_R(x_0)[/latex] gleich einer Potenzreihe um [latex]x_0[/latex] mit Konvergenzradius grösser gleich [latex]R[/latex] ist. Zeigen Sie, dass [latex]f[/latex] kein Minimum annimmt.

Lemma 9.84: Vektorraum der stetigen Funktionen

Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum. Dann ist für jedes [latex]d \geq 1[/latex] die Menge

mit den (punktweisen) Verknüpfungen

für [latex]f,g[/latex] in [latex]C(X,\mathbb {R}^d)[/latex] und [latex]\lambda \in \mathbb {R}[/latex] ein Vektorraum.

Übung 9.85

Beweisen Sie Lemma 9.84.

Proposition 9.86: Vollständigkeit des Raumes der stetigen Funktionen

Sei [latex]K[/latex] ein kompakter metrischer Raum. Dann definiert

eine Norm auf [latex]C(K,\mathbb {R}^d)[/latex], die sogenannte Supremumsnorm, und [latex]C(K,\mathbb {R}^d)[/latex] ist bezüglich dieser Norm vollständig. Des Weiteren konvergiert [latex]f_n\in C(K)[/latex] bezüglich der Norm [latex]\| {\cdot }\| _\infty[/latex] gegen [latex]f\in C(K)[/latex] genau dann, wenn [latex]f_n[/latex] gleichmässig gegen [latex]f[/latex] konvergiert, das heisst wenn es zu jedem [latex]\varepsilon >0[/latex] ein [latex]N\in \mathbb {N}[/latex] gibt so dass für alle [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] mit [latex]n\geq N[/latex] und alle [latex]x\in X[/latex] die Abschätzung [latex]\| {f_n(x)-f(x)}\| _2

Satz 9.87: Existenz der reellen Zahlen

Man kann ein Modell [latex](\mathbb {R},+,\cdot ,\leq )[/latex] der Axiome der reellen Zahlen (in Abschnitt 2.1) unter Verwendung der natürlichen Zahlen (wie in Abschnitt 1.5) definieren.

Übung: [latex]p[/latex]-Normen

In dieser Übung möchten wir für jedes [latex]p \geq 1[/latex] eine Norm, die sogenannte [latex]p[/latex]-Norm definieren, die für [latex]p=1[/latex] gerade die Einsnorm und für [latex]p=2[/latex] gerade die Euklidsche Norm ist. Wir setzen für [latex]{x} = (x_1,\ldots ,x_d)^t \in \mathbb {R}^d[/latex]

Verfizieren Sie zuerst, dass [latex]\| {\cdot }\| _p[/latex] definit und homogen ist. Zeigen Sie dann die Dreiecksungleichung in folgenden Schritten. Sei [latex]q = \frac {p}{p-1}[/latex].

1. (Young-Ungleichung) Zeigen Sie für [latex]a,b \geq 0[/latex]
   [latex]
   \begin{aligned}[]ab \leq \frac {a^p}{p} + \frac {b^q}{q}.\end{aligned}
   [/latex]
2. (Hölder-Ungleichung) Zeigen Sie für [latex]{x} = (x_1,\ldots ,x_d)^t[/latex] und [latex]{y} = (y_1,\ldots ,y_d)^t[/latex]
   [latex]
   \begin{aligned}[]\sum _{k=1}^d |x_ky_k| \leq \| {{x}}\| _p \| {{y}}\| _q.\end{aligned}
   [/latex]
3. (Dreiecksungleichung/Minkowski-Ungleichung) Zeigen Sie für [latex]{x},{y} \in \mathbb {R}^d[/latex]
   [latex]
   \begin{aligned}[]\| {{x}+ {y}}\| _p \leq \| {{x}}\| _p + \| {{y}}\| _p.\end{aligned}
   [/latex]

Übung: Hexagon-Metrik

Finden Sie eine Norm auf [latex]\mathbb {R}^2[/latex], so dass der Einheitsball [latex]B_1(0)[/latex] bezüglich der induzierten Metrik das reguläre Hexagon mit Eckpunkt [latex](1,0)[/latex] ist. Gibt es eine Norm auf [latex]\mathbb {R}^2[/latex], so dass der Einheitsball durch ein reguläres Pentagon gegeben ist?

Übung: Ultrametriken

Eine Ultrametrik auf einer Menge [latex]X[/latex] ist eine Abbildung [latex]\mathrm {d}:X \times X \to \mathbb {R}_{\geq 0}[/latex], die die gleichen Eigenschaften wie eine Metrik hat, abgesehen davon, dass sie anstelle der Dreiecksungleichung die Ungleichung

für alle [latex]x_1,x_2,x_3\in X[/latex] erfüllt.

1. Zeigen Sie, dass jede Ultrametrik eine Metrik ist.
2. ([latex]p[/latex]-adische Metrik auf [latex]\mathbb {Z}[/latex]) Sei [latex]p \in \mathbb {Z}[/latex] eine Primzahl. Wir definieren
   [latex]
   \begin{aligned}[]\nu _p(x) = \max \left \lbrace {k} \mid {p^k \text { teilt } x}\right \rbrace\end{aligned}
   [/latex]

   für [latex]x \in \mathbb {Z} \setminus \left \lbrace {0} \right \rbrace[/latex] und [latex]\mathrm {d}_p:\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {R}_{\geq 0}[/latex] durch

   [latex]
   \begin{aligned}[]\mathrm {d}_p(x,y) = \left \lbrace \begin{array}{cc} p^{-\nu _p(x-y)} & \text {falls } x \neq y \\ 0 & \text {falls } x=y\end{array} \right . .\end{aligned}
   [/latex]

   für [latex]x,y\in \mathbb {Z}[/latex]. Zeigen Sie, dass [latex]\mathrm {d}_p[/latex] eine Ultrametrik auf [latex]\mathbb {Z}[/latex] definiert und beschreiben Sie die Bälle in dieser Metrik.

3. Sei [latex]X[/latex] eine Menge und [latex]\mathrm {d}[/latex] eine Ultrametrik. Zeigen Sie, dass für alle [latex]r>0[/latex], [latex]x_0 \in X[/latex] und [latex]x\in B_r(x_0)[/latex] der Ball von Radius [latex]r[/latex] um [latex]x[/latex] gleich [latex]B_r(x_0)[/latex] ist. In anderen Worten ist jeder Punkt in einem Ball Zentrum dieses Balles.

Übung: Rangmetrik

Sei [latex]\mathbb {K}[/latex] ein Körper und [latex]X[/latex] die Menge der [latex]m \times n[/latex]-Matrizen über [latex]\mathbb {K}[/latex]. Wir definieren [latex]\mathrm {d}(A,B) = \operatorname {rang}(A-B)[/latex] für [latex]A,B \in X[/latex]. Zeigen Sie, dass [latex]\mathrm {d}[/latex] eine Ultrametrik auf [latex]X[/latex] ist.

Übung: Verschiedene Produktmetriken und die Produkttopologie

In dieser Übung möchten wir kartesische Produkte von metrischen Räumen mit Metriken ausstatten, so dass «horizontale und vertikale» Abstände gewissermassen natürlich sind. Seien [latex](X,\mathrm {d}_X)[/latex] und [latex](Y,\mathrm {d}_Y)[/latex] metrische Räume. Für [latex](x_1,y_1),(x_2,y_2) \in X\times Y[/latex] definieren wir

Verfizieren Sie, dass [latex]\mathrm {d}_\infty ,\mathrm {d}_1[/latex] und [latex]\mathrm {d}_2[/latex] Metriken auf [latex]X \times Y[/latex] definieren und dass diese Metriken die gleiche Topologie induzieren. Diese Topologie nennt sich die Produkttopologie auf [latex]X \times Y[/latex]. Zeigen Sie, dass eine Teilmenge [latex]U \subseteq X \times Y[/latex] genau dann offen ist, wenn für jedes [latex]x\in U[/latex] offene Teilmenge [latex]U_1 \subseteq X[/latex] und [latex]U_2 \subseteq Y[/latex] mit [latex]x\in U_1 \times U_2 \subseteq U[/latex] existieren.

Übung: Metriken auf Folgenräumen

Für einen beschränkten metrischen Raum [latex](X,\mathrm {d})[/latex] und Punkte [latex](x_n)_n,(y_n)_n \in X^{\mathbb {N}}[/latex] setzen wir

Zeigen Sie, dass [latex]\mathrm {d}'[/latex] eine (wohldefinierte) Metrik auf [latex]X^\mathbb {N}[/latex] darstellt. Fast in Analogie zu obiger Übung kann man auch hier die offenen Mengen charakterisieren. Zeigen Sie, dass eine Teilmenge [latex]U \subseteq X^\mathbb {N}[/latex] genau dann offen ist, wenn für alle [latex]x\in U[/latex] offene Mengen [latex]U_1,U_2,\ldots[/latex] in [latex]X[/latex] existieren mit [latex]U_n = X[/latex] für fast alle [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] und

Übung

Sei [latex]f:\mathbb {R}_{\geq 0} \to \mathbb {R}_{\geq 0}[/latex] eine monoton wachsende, konkave Funktion mit [latex]f(x) = 0 \iff x = 0[/latex] für alle [latex]x \in \mathbb {R}_{\geq 0}[/latex] und sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum. Zeigen Sie wie folgt, dass [latex]f \circ \mathrm {d}[/latex] eine Metrik auf [latex]X[/latex] definiert.

1. Beweisen Sie die Ungleichung [latex]f(tx) \geq tf(x)[/latex] für alle [latex]x \in \mathbb {R}_{\geq 0}[/latex] und [latex]t \in [0,1][/latex].
2. Zeigen Sie, dass für alle [latex]x,y \in \mathbb {R}_{\geq 0}[/latex] die Ungleichung [latex]f(x)+f(y) \geq f(x+y)[/latex] gilt ([latex]f[/latex] ist subadditiv).
3. Schliessen Sie auf die zu beweisende Aussage.

Geben Sie des Weiteren ein Beispiel einer solchen Abbildung [latex]f[/latex] und der Metrik [latex]f \circ \mathrm {d}[/latex] für [latex]X = \mathbb {R}[/latex] und die Standardmetrik [latex]\mathrm {d}[/latex] auf [latex]\mathbb {R}[/latex] an.

Übung: Hausdorff-Metrik

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum. In dieser Übung möchten wir einen Abstand von Teilmengen von [latex]X[/latex] zueinander einführen und verwenden die in Übung 9.41 definierten Distanzfunktionen. Für nicht-leere, abgeschlossene Teilmengen [latex]A,B \subseteq X[/latex] sei

Für die Wohldefiniertheit wollen wir hierbei annehmen, dass [latex]\mathrm {d}(x,y) \leq M[/latex] für ein [latex]M > 0[/latex] und alle [latex]x,y \in X[/latex] (siehe Übung 9.6). Zeigen Sie, dass obiges eine Metrik auf der Menge der nicht-leeren abgeschlossenen Teilmengen von [latex]X[/latex] definiert.

Übung: Teilmengen gegeben durch Gleichungen

1. Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum und [latex]\mathcal {I}[/latex] eine Menge. Gegeben sei für jedes [latex]\alpha \in \mathcal {I}[/latex] ein metrischer Raum [latex]Y_\alpha[/latex], eine stetige Abbildung [latex]f_\alpha : X \to Y_\alpha[/latex] und ein Punkt [latex]y_\alpha \in Y_\alpha[/latex]. Zeigen Sie, dass die durch Gleichungen gegebene Teilmenge
   [latex]
   \begin{aligned}[]\left \lbrace {x \in X} \mid {\forall \alpha \in \mathcal {I}: f_\alpha (x) = y_\alpha }\right \rbrace \subseteq X\end{aligned}
   [/latex]

   abgeschlossen ist. Zeigen Sie auch, dass die Teilmenge [latex]\left \lbrace {x \in X} \mid {\forall \alpha \in \mathcal {I}: f_\alpha (x) \neq y_\alpha }\right \rbrace[/latex] offen ist, falls [latex]\mathcal {I}[/latex] eine endliche Menge ist.

Wenden Sie dies nun auf einige anschauliche Beispiele an.

1. Zeigen Sie, dass die Sphäre [latex]\mathbb {S}^{d-1} = \left \lbrace {{x} = (x_1,\ldots ,x_{d}) \in \mathbb {R}^{d}} \mid {x_1^2+\ldots +x_{d}^2 = 1}\right \rbrace[/latex] für [latex]d \geq 1[/latex] abgeschlossen ist.
2. Zeigen Sie, dass alle (linearen) Unterräume von [latex]\mathbb {C}^d[/latex] für [latex]d \geq 1[/latex] abgeschlossen sind.
3. Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall und [latex]\gamma : I \to \mathbb {R}^d[/latex] eine stetige Funktion für [latex]d \geq 1[/latex] (ein stetiger Weg in [latex]\mathbb {R}^d[/latex]). Zeigen Sie, dass der Graph von [latex]\gamma[/latex]
   [latex]
   \begin{aligned}[]\left \lbrace {{x} = (t,{v}) \in \mathbb {R}^{d+1}} \mid {\gamma (t) = {v}}\right \rbrace \subseteq \mathbb {R}^{d+1}\end{aligned}
   [/latex]

   (auch die Spur des Weges [latex]\gamma[/latex] genannt) abgeschlossen ist.

Übung: Urysohn’s Lemma

Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum. Wir möchten zeigen, dass sich disjunkte, abgeschlossene Teilmengen von [latex]X[/latex] mit einer stetigen Funktion «trennen» lassen. Seien also [latex]A,B \subseteq X[/latex] abgeschlossene, nicht-leere, disjunkte Teilmengen. Zeigen Sie, dass eine stetige Funktion [latex]f: X \to [0,1][/latex] mit [latex]f(a) =0[/latex] für alle [latex]a \in A[/latex] und [latex]f(b) = 1[/latex] für alle [latex]b \in B[/latex] existiert. Betrachten Sie dazu die Funktion

und verifizieren Sie auch, dass diese wohldefiniert ist.

Übung: Fortsetzungssatz von Tietze

Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum, sei [latex]A \subseteq X[/latex] eine nicht-leere abgeschlossene Teilmenge und sei [latex]f: A \to \mathbb {R}_{\geq 0}[/latex] eine stetige, beschränkte Funktion. Für alle [latex]x\in X[/latex] setzen wir

Zeigen Sie, dass [latex]F:X \to \mathbb {R}_{\geq 0}[/latex] eine stetige Funktion mit [latex]F|_A = f[/latex] ist.

Übung: Stetigkeit der Matrixmultiplikation

Seien [latex]d,d' \geq 1[/latex].

1. Zeigen Sie, dass [latex]\operatorname {Mat}_{d',d}(\mathbb {C}) \times \mathbb {C}^d,\ (A,{x}) \mapsto A{x}\in \mathbb {C}^{d'}[/latex] stetig ist.
2. Zeigen Sie, dass die Gruppe der invertierbaren [latex]d\times d[/latex]-Matrizen [latex]\operatorname {GL}_d(\mathbb {C})[/latex] eine offene Teilmenge von [latex]\operatorname {Mat}_{d,d}(\mathbb {C})[/latex] bildet.
3. Beweisen Sie, dass die Abbildungen
   [latex]
   \begin{aligned}[](A,B) \in \operatorname {GL}_d(\mathbb {C}) \mapsto AB \in \operatorname {GL}_d(\mathbb {C}),\quad A \in \operatorname {GL}_d(\mathbb {C}) \mapsto A^{-1} \in \operatorname {GL}_d(\mathbb {C})\end{aligned}
   [/latex]

   stetig sind.

Übung: Topologie von Matrixgruppen

Sei [latex]d \geq 1[/latex].

1. Zeigen Sie, dass [latex]\operatorname {GL}_d(\mathbb {C})[/latex] wegzusammenhängend und somit auch zusammenhängend ist. Verifizieren Sie auch, dass [latex]\operatorname {GL}_d(\mathbb {R})[/latex] nicht zusammenhängend ist.
2. Zeigen Sie, dass [latex]\operatorname {SL}_d(\mathbb {R}) = \left \lbrace {A \in \operatorname {GL}_d(\mathbb {R})} \mid {\det (A) = 1}\right \rbrace[/latex] wegzusammenhängend ist.
3. Zeigen Sie, dass [latex]\operatorname {SO}(d) = \left \lbrace {A \in \operatorname {SL}_d(\mathbb {R})} \mid {A^T A = \operatorname {id}}\right \rbrace[/latex] kompakt und zusammenhängend ist.

Übung: Topologische Eigenschaften von Produkträumen

Seien [latex]X[/latex] und [latex]Y[/latex] nicht-leere metrische Räume. In einer Übung in Abschnitt 9.9.2 wurden Metriken [latex]\mathrm {d}_\infty , \mathrm {d}_1, \mathrm {d}_2[/latex] auf dem Produkt [latex]X \times Y[/latex] definiert, welche allesamt die gleiche Topologie (die Produkttopologie) induzieren. Im Folgenden möchten wir topologische Eigenschaften des Produktraumes [latex]X \times Y[/latex] charakterisieren.

1. Zeigen Sie, dass eine Folge in [latex]X \times Y[/latex] genau dann konvergiert, wenn sie komponentenweise konvergiert.
2. Beweisen Sie, dass [latex]X \times Y[/latex] genau dann kompakt ist, wenn [latex]X[/latex] und [latex]Y[/latex] kompakt sind.
3. Zeigen Sie, dass [latex]X \times Y[/latex] genau dann zusammenhängend ist, wenn [latex]X[/latex] und [latex]Y[/latex] zusammenhängend sind.
4. Zeigen Sie, dass [latex]X \times Y[/latex] genau dann wegzusammenhängend ist, wenn [latex]X[/latex] und [latex]Y[/latex] wegzusammenhängend sind.

Übung: Der abzählbare Diagonalfolgentrick

Sei [latex][0,1]^{\mathbb {N}}[/latex] die Menge der [latex][0,1][/latex]-wertigen Folgen und sei

für [latex]{x}=(x_n)_n,{y}=(y_n)_n \in [0,1]^\mathbb {N}[/latex]. In einer Übung in Abschnitt 9.9.2 wurde gezeigt, dass [latex]\mathrm {d}[/latex] in der Tat eine Metrik auf [latex][0,1]^{\mathbb {N}}[/latex] definiert. Auch wurde die Topologie auf [latex][0,1]^{\mathbb {N}}[/latex] beschrieben. In dieser Übung möchten wir beweisen, dass [latex][0,1]^{\mathbb {N}}[/latex] kompakt ist. Sei also [latex]({x}^{(n)})_n[/latex] eine Folge in [latex][0,1]^\mathbb {N}[/latex].

1. Zeigen Sie, dass eine Folge in [latex][0,1]^\mathbb {N}[/latex] genau dann konvergiert, wenn sie komponentenweise konvergiert.

Wir konstruieren nun eine konvergente Teilfolge von [latex]({x}^{(n)})_n[/latex] wie folgt.

1. Finden Sie eine unendliche Teilmenge [latex]\mathcal {J}_1 \subseteq \mathbb {N}[/latex], so dass [latex](\pi _1({x}^{(n)}))_{n \in \mathcal {J}_1}[/latex] konvergiert. Genau genommen wählt man hier für die korrekte Formulierung eine streng monotone Bijektion [latex]\varphi _1: \mathbb {N} \to \mathcal {J}_1[/latex], womit die Teilfolge [latex](\pi _1({x}^{(\varphi _1(n))}))_{n}[/latex] konvergieren soll.
2. Wenden Sie obige Idee rekursiv an, um unendliche Teilmengen [latex]\mathcal {J}_1 \supseteq \mathcal {J}_2 \supseteq \ldots[/latex] zu konstruieren, so dass [latex](\pi _k({x}^{(n)}))_{n \in \mathcal {J}_k}[/latex] für jedes [latex]k \in \mathbb {N}[/latex] konvergiert.

Nun würde man gerne den Schnitt [latex]\bigcap _{k \in \mathbb {N}} \mathcal {J}_k[/latex] zum Auffinden einer konvergenten Teilfolge betrachten. Da hier aber über unendliche viele Teilmengen geschnitten wird, könnte dieser leer sein. Stattdessen geht man wie folgt vor.

4. Sei [latex](n_k)_k[/latex] eine aufsteigende Folge in [latex]\mathbb {N}[/latex], so dass [latex]n_k \in \mathcal {J}_k[/latex] für jedes [latex]k \in \mathbb {N}[/latex]. Zeigen Sie, dass [latex]({x}^{(n_k)})_{k}[/latex] konvergiert.

Übung: Umgebungsfilter

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum. Der Umgebungsfilter eines Punktes [latex]x \in X[/latex] ist die Menge

Zeigen Sie, dass [latex]\mathcal {U}_x[/latex] für jeden Punkt [latex]x \in X[/latex] einen Filter auf [latex]X[/latex] definiert.

Übung: Regeln für den Abschluss

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum und [latex]Y \subseteq X[/latex] eine Teilmenge. Verifizieren Sie die Regeln

für Teilmengen [latex]Y,Y_1,Y_2 \subseteq X[/latex] und erklären Sie anhand eines Beispiels, dass die Gleichheit [latex]\overline {Y_1 \cap Y_2} = \overline {Y_1} \cap \overline {Y_2}[/latex] nicht immer gelten muss.

Übung: Zusammenhangskomponenten eines metrischen Raumes

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum.

1. Zeigen Sie, dass jeder Punkt [latex]x \in X[/latex] in einem maximalen zusammenhängenden Teilraum [latex]Z(x) \subseteq X[/latex] enthalten ist.
2. Zeigen Sie, dass für [latex]x,y\in X[/latex] entweder [latex]Z(x) = Z(y)[/latex] oder [latex]Z(x) \cap Z(y) = \emptyset[/latex] gilt.
3. Schliessen Sie, dass die Mengen [latex]Z(x)[/latex] — die sogenannten Zusammenhangskomponenten von [latex]X[/latex]— für [latex]x \in X[/latex] eine Partition von [latex]X[/latex] bilden.

Übung: Abschluss einer zusammenhängenden Teilmenge

Sei [latex](X,\mathrm {d})[/latex] ein metrischer Raum und sei [latex]Y \subseteq X[/latex] ein zusammenhängender Teilraum. Zeigen Sie, dass dann auch jeder Teilraum [latex]B\subseteq X[/latex] mit [latex]Y \subseteq B \subseteq \overline {Y}[/latex] zusammenhängend ist. Verwenden Sie dies, um zu zeigen, dass die Zusammenhangskomponenten von [latex]X[/latex] aus der vorherigen Übung abgeschlossen sind.

Übung: Direkter Beweis gewisser Implikation in Satz 9.66

Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum. Beweisen Sie folgende Aussagen ohne auf Satz 9.66 zurückzugreifen.

1. Ist [latex]X[/latex] folgenkompakt, so besitzt [latex]X[/latex] eine Lebesgue-Zahl und [latex]X[/latex] ist total beschränkt.
2. Erfüllt [latex]X[/latex] das Schachtelungsprinzip, so ist [latex]X[/latex] überdeckungskompakt.
3. Ist [latex]X[/latex] überdeckungskompakt, so nimmt jede stetige, reellwertige Funktion ein Maximum und ein Minimum an.

Übung

In dieser Übung möchten wir zeigen, dass für gewisse stetige, bijektive Funktion auch deren Inverse stetig ist.

1. Wir beginnen mit einem Gegenbeispiel zur allgemeinen Aussage. Finden Sie metrische Räume [latex]X,Y[/latex] und eine bijektive, stetige Abbildung [latex]f: X \to Y[/latex], so dass [latex]f^{-1}[/latex] nicht stetig ist.
2. Seien [latex]X,Y[/latex] metrische Räume und [latex]f: X \to Y[/latex] bijektiv und stetig. Zeigen Sie, dass [latex]f^{-1}[/latex] stetig ist, falls [latex]X[/latex] kompakt ist.

Übung: Diskrete Teilmengen von kompakten Räumen

Sei [latex]X[/latex] ein metrischer Raum. Wir nennen eine Teilmenge [latex]A \subseteq X[/latex] diskret, falls es um jeden Punkt [latex]x_0[/latex] in [latex]A[/latex] einen Ball [latex]B_r(x_0) \subseteq X[/latex] gibt mit [latex]B_r(x_0) \cap A = \left \lbrace {x_0} \right \rbrace[/latex]. Beispielweise ist [latex]\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R}[/latex] diskret. Zeigen Sie, dass eine diskrete, abgeschlossene Teilmenge eines kompakten metrischen Raumes endlich ist.

Übung: Separable Räume

Wir nennen einen metrischen Raum [latex]X[/latex] separabel, falls er eine abzählbare dichte Teilmenge enthält. Beispielsweise ist [latex]\mathbb {R}[/latex] separabel, da [latex]\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}[/latex] abzählbar und dicht ist. Zeigen Sie, dass jeder kompakte metrische Raum separabel ist.

Übung: Challenge — Satz von Arzelà-Ascoli

Der Satz von Heine-Borel beschreibt die kompakten Teilmengen von [latex]\mathbb {R}^d[/latex] für [latex]d\geq 1[/latex]. In dieser Übung möchten wir die kompakten Teilmengen in einer weiteren Situation beschreiben. Sei [latex]K[/latex] ein kompakter metrischer Raum und sei [latex]\mathcal {F} \subseteq C(K)[/latex] eine Familie stetiger Funktionen, wobei wir [latex]C(K)[/latex] mit der Norm [latex]\| {\cdot }\| _\infty[/latex] ausstatten.

Zeigen Sie, dass [latex]\mathcal {F}[/latex] genau dann kompakt ist, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:

• [latex]\mathcal {F}[/latex] ist abgeschlossen.
• [latex]\mathcal {F}[/latex] ist beschränkt.
• [latex]\mathcal {F}[/latex] ist gleichstetig. Das heisst, es gibt für alle [latex]\varepsilon > 0[/latex] ein [latex]\delta > 0[/latex], so dass für alle [latex]f \in \mathcal {F}[/latex] und für alle [latex]x,y \in K[/latex] gilt [latex]\mathrm {d}(x,y)

Übung: Ein unendlich-dimensionaler vollständiger normierter Vektorraum

1. Wir betrachten den Vektorraum
   [latex]
   \begin{aligned}[]\ell ^1 = \left \lbrace {(x_k)_k \in \mathbb {C}^\mathbb {N}} \mid {\sum _{k=1}^\infty x_k \text { konvergiert absolut}}\right \rbrace\end{aligned}
   [/latex]

   mit der Norm [latex]\| {(x_k)_k}\| _1 = \sum _{k=1}^\infty |x_k|[/latex]. Zeigen Sie, dass [latex]\ell ^1[/latex] vollständig ist. (Dies ist ein erstes Beispiel eines sogenannten Banachraums.)

2. Zeigen Sie, dass der Unterraum [latex]U \subseteq \ell ^1[/latex] der Folgen, die schliesslich Null sind, dicht in [latex]\ell ^1[/latex] liegt und nicht vollständig ist.

Übung: Ein unendlich-dimensionaler, nicht-vollständiger, normierter Vektorraum

Sei [latex][a,b][/latex] ein kompaktes Intervall mit Endpunkten [latex]a9.12. Zeigen Sie, dass [latex]C([a,b])[/latex] mit dieser Norm nicht vollständig ist.

Übung

Seien [latex](V,\| {\cdot }\| _V), (W,\| {\cdot }\| _W)[/latex] normierte Vektorräume und sei [latex]F: V \to W[/latex] eine lineare Abbildung. Genau wie in Definition 9.75 setzen wir nun

Zeigen Sie, dass [latex]F[/latex] genau dann stetig ist, wenn [latex]\| {F}\| _\mathrm {op}

Übung

Sei [latex]\alpha > 1[/latex]. Verwenden Sie den Banachschen Fixpunktsatz und dessen Beweis, um zu zeigen, dass die durch

rekursiv definierte Folge [latex](x_n)_n[/latex] konvergent ist.

Übung

Zeigen Sie, dass es für jedes [latex]g \in C([0,1])[/latex] ein [latex]f \in C([0,1])[/latex] mit

gibt.