Definition 7.1: Differenzierbarkeit

Sei [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex] eine Teilmenge, [latex]f: D \to \mathbb {R}[/latex] eine Funktion und [latex]a \in D[/latex] ein Häufungspunkt von [latex]D[/latex]. Wir sagen, dass [latex]f[/latex] bei [latex]a[/latex] differenzierbar ist, falls der Grenzwert
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:abl-ableitungdef} f'(a) = \lim _{x \to a} \frac {f(x)-f(a)}{x-a} = \lim _{h \to 0} \frac {f(a+h)-f(a)}{h}\end{aligned}
[/latex]
existiert. In diesem Fall nennen wir [latex]f'(a)[/latex] die Ableitung von [latex]f[/latex] bei [latex]a[/latex]. Falls [latex]f[/latex] bei jedem Häufungspunkt von [latex]D[/latex] in [latex]D[/latex] differenzierbar ist, dann sagen wir auch, dass [latex]f[/latex] (auf [latex]D[/latex]) differenzierbar ist und nennen die Funktion [latex]a \mapsto f'(a)[/latex] definiert auf den Häufungspunkten von [latex]D[/latex] in [latex]D[/latex] die Ableitung von [latex]f[/latex].

Falls [latex]a \in D[/latex] ein rechtseitiger Häufungspunkt von [latex]D[/latex] ist, dann ist [latex]f[/latex] bei [latex]a[/latex] rechtsseitig differenzierbar, wenn die rechtsseitige Ableitung

existiert. Linksseitige Differenzierbarkeit und die linksseitige Ableitung [latex]f_-'(a)[/latex] werden analog über die Bewegung [latex]x \nearrow a[/latex] definiert.

Applet 7.2: Bewegung der Sekante

Wir sehen den Graphen einer Funktion und wie die Sekante zwischen [latex]x_0[/latex] und [latex]x_0+h[/latex] sich bei den meisten Fusspunkten [latex]x_0[/latex] der Tangente bei [latex]x_0[/latex] nähert falls [latex]h\to 0[/latex].

Beispiel 7.3: Erste Beispiele differenzierbarer Funktionen

1. Konstante Funktionen sind überall differenzierbar und haben die Nullfunktion als Ableitung (wieso?).
2. Die Identitätsfunktion [latex]f:x \in \mathbb {R} \mapsto x\in \mathbb {R}[/latex] ist differenzierbar und ihre Ableitung ist die konstante [latex]1[/latex]-Funktion, denn
   [latex]
   \begin{aligned}[]f'(a) = \lim _{x \to a} \frac {x-a}{x-a} = 1\end{aligned}
   [/latex]

   für alle [latex]a \in \mathbb {R}[/latex].

3. Die Exponentialfunktion [latex]\exp : \mathbb {R} \to \mathbb {R}_{>0}[/latex] ist differenzierbar und ihre Ableitung ist die Exponentialfunktion. Allgemeiner behaupten wir, dass für ein festes [latex]\alpha \in \mathbb {R}[/latex] (oder [latex]\alpha \in \mathbb {C}[/latex]) die Ableitung von [latex]f:x\in \mathbb {R}\mapsto \exp (\alpha x)\in \mathbb {R}[/latex] durch [latex]f'(a)=\alpha \exp (\alpha a)[/latex] für alle [latex]a \in \mathbb {R}[/latex] gegeben ist. In der Tat gilt für [latex]a \in \mathbb {R}[/latex], dass
   [latex]
   \begin{aligned}[]f'(a) = \lim _{h \to 0} \frac {f(a+h)-f(a)}{h} &= \lim _{h \to 0} \frac { \exp (\alpha a)\exp (\alpha h)-\exp (\alpha a)}{h}\\ &= \exp (\alpha a)\lim _{h \to 0} \frac { \exp (\alpha h)-1}{h}\\ &= \exp (\alpha a)\lim _{h \to 0} \frac { \sum _{k=0}^\infty \frac {1}{k!}(\alpha h)^k -1 }{h}\\ &= \exp (\alpha a)\lim _{h \to 0} \sum _{k=1}^\infty \frac {1}{k!}\alpha ^kh^{k-1}\\ &= \exp (\alpha a)\lim _{h \to 0} \sum _{\ell =0}^\infty \frac {\alpha ^{\ell +1}}{(\ell +1)!}h^{\ell }\\ &= \exp (\alpha a)\alpha ,\end{aligned}
   [/latex]

   da die Abbildung [latex]h \in \mathbb {R} \mapsto \sum _{\ell =0}^\infty \frac {\alpha ^{\ell +1}}{(\ell +1)!}h^{\ell }[/latex] nach Satz 6.56 stetig ist.

Wichtige Übung 7.4: Weitere differenzierbare Funktionen

1. Zeigen Sie
   [latex]
   \begin{aligned}[]\lim _{h \to 0} \frac {\sin (h)}{h} = 1,\quad \lim _{h \to 0} \frac {\cos (h)-1}{h} =0.\end{aligned}
   [/latex]
2. Verwenden Sie die Additionstheoreme aus Abschnitt 6.6.1 (oder Beispiel 7.3 (iii)), um zu zeigen, dass der Sinus und der Kosinus differenzierbare Funktionen sind und die Ableitungsregeln
   [latex]
   \begin{aligned}[]\sin '(x) = (\sin (x))' = \cos (x), \quad \cos '(x) = (\cos (x))' = -\sin (x)\end{aligned}
   [/latex]

   für alle [latex]x \in \mathbb {R}[/latex] gelten.

3. Zeigen Sie, dass die Funktionen [latex]\sinh[/latex] und [latex]\cosh[/latex] differenzierbar sind und verifizieren Sie die Ableitungsregeln
   [latex]
   \begin{aligned}[]\sinh '(x) = (\sinh (x))' = \cosh (x), \quad \cosh '(x) = (\cosh (x))' = \sinh (x).\end{aligned}
   [/latex]

   für alle [latex]x \in \mathbb {R}[/latex].

4. Zeigen Sie, dass die Betragsfunktion [latex]x \in \mathbb {R} \mapsto |x| \in \mathbb {R}_{>0}[/latex] nicht differenzierbar ist und bestimmen Sie bei jedem Punkt in [latex]\mathbb {R}[/latex] die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung.

Proposition 7.5: Summen und Produkte differenzierbarer Funktionen

Sei [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex] eine Teilmenge und [latex]a \in D[/latex] ein Häufungspunkt von [latex]D[/latex]. Seien [latex]f,g: D \to \mathbb {R}[/latex] bei [latex]a[/latex] differenzierbar. Dann sind [latex]f+g[/latex] und [latex]f\cdot g[/latex] bei [latex]a[/latex] differenzierbar und es gilt

Insbesondere ist jedes skalare Vielfache von [latex]f[/latex] bei [latex]a[/latex] differenzierbar und [latex](\alpha f)'(a) = \alpha f'(a)[/latex] für alle [latex]\alpha \in \mathbb {R}[/latex]. Dies gilt ebenso für komplexwertige Funktionen.

Korollar 7.6: Differenzierbarkeit von Polynomen

Reelle Polynome sind auf ganz [latex]\mathbb {R}[/latex] differenzierbar und es gilt
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:abl-monome} (1)'=0, \quad (x^n)' = n x^{n-1}\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex].

Übung 7.7: Potenzregel mittels Binomialsatz

Zeigen Sie Korollar 7.6 direkt unter Verwendung des Binomialsatzes. Beweisen Sie des Weiteren, dass der Kern der Abbildung [latex]f \in \mathbb {R}[x] \mapsto f' \in \mathbb {R}[x][/latex] aus den konstanten Polynomen besteht. Später werden wir sehen, dass nicht nur Polynome mit Ableitung Null, sondern auch differenzierbare Funktionen auf [latex]\mathbb {R}[/latex] mit Ableitung Null konstant sein müssen.

Satz 7.8: Kettenregel

Seien [latex]D,E \subseteq \mathbb {R}[/latex] Teilmengen und sei [latex]x_0\in D[/latex] ein Häufungspunkt. Sei [latex]f: D \to E[/latex] eine bei [latex]x_0[/latex] differenzierbare Funktion, so dass [latex]y_0 = f(x_0)[/latex] ein Häufungspunkt von [latex]E[/latex] ist, und sei [latex]g: E \to \mathbb {R}[/latex] eine bei [latex]y_0[/latex] differenzierbare Funktion. Dann ist [latex]g \circ f: D \to \mathbb {R}[/latex] in [latex]x_0[/latex] differenzierbar und

Beispiel 7.9: Kehrwert

Sei [latex]f: \mathbb {R}\setminus \left \lbrace {0} \right \rbrace \to \mathbb {R}, x \mapsto \frac {1}{x}[/latex]. Dann ist [latex]f[/latex] differenzierbar und es gilt [latex]f'(x) = -\frac {1}{x^2}[/latex] für alle [latex]x \in \mathbb {R}\setminus \left \lbrace {0} \right \rbrace[/latex]. In der Tat ist

wegen der Stetigkeit von [latex]h \mapsto (x+h)x[/latex] bei [latex]0[/latex].

Übung 7.10: Negative Potenzen

Berechnen Sie [latex](x^{-n})'[/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex].

Korollar 7.11: Quotientenregel

Sei [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex] eine Teilmenge, [latex]a \in D[/latex] ein Häufungspunkt und seien [latex]f,g:D \to \mathbb {R}[/latex] bei [latex]a[/latex] differenzierbar. Falls [latex]g(a) \neq 0[/latex] ist, dann ist auch [latex]\frac {f}{g}[/latex] bei [latex]a[/latex] differenzierbar und es gilt

Beispiel 7.12: Vierfach verschachtelte Funktionen

Wir bestimmen die Ableitung der Funktion

mittels mehrmaligem Anwenden der Kettenregel (Satz 7.8). Da [latex]\exp ' = \exp[/latex] erhalten wir

wobei [latex]g(x) = \sin (\sin (x^2))[/latex]. Ebenso ist wegen [latex]\sin ' = \cos[/latex]

wobei [latex]h(x) = \sin (x^2)[/latex] und [latex]h'(x) = \cos (x^2) 2x[/latex]. Dadurch erhalten wir

für alle [latex]x \in \mathbb {R}[/latex].

Übung 7.13: Nochmals vierfach verschachtelt

Bestimmen Sie die Ableitung von der Funktion [latex]x \in \mathbb {R} \mapsto \cos ((\sin (\exp (x)))^3)[/latex].

Satz 7.14: Differenzierbarkeit der inversen Funktion

Seien [latex]D,E \subseteq \mathbb {R}[/latex] Teilmengen und sei [latex]f: D \to E[/latex] eine stetige, bijektive Abbildung, deren inverse Abbildung [latex]f^{-1}: E \to D[/latex] ebenfalls stetig ist. Falls [latex]f[/latex] in dem Häufungspunkt [latex]x_0\in D[/latex] differenzierbar ist und [latex]f'(x_0) \neq 0[/latex] gilt, dann ist [latex]f^{-1}[/latex] in [latex]y_0 = f(x_0)[/latex] differenzierbar und es gilt

Beispiel 7.15: Differenzierbarkeit des Logarithmus und der Potenzfunktionen

1. Die Funktion [latex]g: y \in \mathbb {R} \setminus \left \lbrace {0} \right \rbrace \mapsto \log (|y|) \in \mathbb {R}[/latex] ist differenzierbar mit Ableitung [latex]g'[/latex] gegeben durch [latex]g'(y) = \frac {1}{y}[/latex] für alle [latex]y \in \mathbb {R} \setminus \left \lbrace {0} \right \rbrace[/latex]. Denn die Abbildung [latex]\log :y \in \mathbb {R}_{>0} \mapsto \log (y) = g(y)[/latex] ist die Umkehrabbildung von [latex]\exp : \mathbb {R} \to \mathbb {R}_{>0}[/latex] und damit folgt aus Satz 7.14, dass [latex]g[/latex] bei allen Punkten [latex]y>0[/latex] differenzierbar ist mit [latex]g'(y) = \frac {1}{f'(x)}[/latex], wobei [latex]x = g(y) = \log (y)[/latex]. Da [latex]\exp ' = \exp[/latex] folgt nun
   [latex]
   \begin{aligned}[]g'(y) = \log '(y) = \frac {1}{\exp (x)} = \frac {1}{\exp (\log (y))} = \frac {1}{y}.\end{aligned}
   [/latex]

   Für [latex]y 7.8).

2. Für ein beliebiges [latex]s \in \mathbb {C}[/latex] ist die Abbildung [latex]x \in \mathbb {R}_{>0} \mapsto x^s[/latex] differenzierbar und es gilt
   [latex]
   \begin{aligned}[](x^s)' = s x^{s-1}.\end{aligned}
   [/latex]

   In der Tat gilt [latex]x^s = \exp (s\log (x))[/latex] für alle [latex]x > 0[/latex] per Definition beliebiger Potenzen in Abschnitt 6.5.2. Aus Beispiel 7.3 und der Ableitung der Logarithmusabbildung folgt somit

   [latex]
   \begin{aligned}[](x^s)' = \exp (s\log (x))' = \exp (s\log (x)) s \frac {1}{x} = x^s s x^{-1} = s x^{s-1}\end{aligned}
   [/latex]

   für alle [latex]x > 0[/latex].

Definition 7.16: Lokale Extremwerte

Sei [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex] eine Teilmenge und [latex]x_0 \in D[/latex]. Wir sagen, dass eine Funktion [latex]f: D \to \mathbb {R}[/latex] in [latex]x_0[/latex] ein lokales Maximum hat, falls es eine Umgebung [latex]U[/latex] von [latex]x_0[/latex] in [latex]D[/latex] gibt, auf der [latex]f[/latex] durch [latex]f(x_0)[/latex] beschränkt ist. Genauer formuliert heisst dies, dass es ein [latex]\delta >0[/latex] gibt, so dass für alle [latex]x \in D \cap (x_0-\delta ,x_0 + \delta )[/latex] gilt [latex]f(x) \leq f(x_0)[/latex]. Falls es sogar ein [latex]\delta > 0[/latex] gibt, so dass [latex]f(x) isoliertes lokales Maximum. Der Wert [latex]f(x_0)[/latex] wird auch ein lokaler Maximalwert von [latex]f[/latex] genannt. Ein lokales Minimum, ein isoliertes lokales Minimum und ein lokaler Minimalwert von [latex]f[/latex] sind analog definiert.

Des Weiteren nennen wir [latex]x_0[/latex] ein lokales Extremum von [latex]f[/latex] und [latex]f(x_0)[/latex] einen lokalen Extremwert von [latex]f[/latex], falls [latex]f[/latex] ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum in [latex]x_0[/latex] hat.

Proposition 7.17: Notwendige Bedingung für Extremum

Sei [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex] eine Teilmenge und [latex]f[/latex] eine reellwertige Funktion auf [latex]D[/latex]. Angenommen [latex]f[/latex] ist in einem lokalen Extremum [latex]x_0 \in D[/latex] differenzierbar und [latex]x_0[/latex] ist sowohl ein rechtsseitiger als auch ein linksseitiger Häufungspunkt von [latex]D[/latex]. Dann gilt [latex]f'(x_0) = 0[/latex].

Korollar 7.18: Lokale Extremwerte

Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall und [latex]f: I \to \mathbb {R}[/latex]. Sei [latex]x_0 \in I[/latex] ein lokales Extremum von [latex]f[/latex]. Dann bestehen genau folgende Möglichkeiten:

1. [latex]x_0[/latex] ist ein in [latex]I[/latex] enthaltener Endpunkt von [latex]I[/latex],
2. [latex]f[/latex] ist bei [latex]x_0[/latex] nicht differenzierbar oder
3. [latex]f[/latex] ist bei [latex]x_0[/latex] differenzierbar und [latex]f'(x_0) = 0[/latex].

Insbesondere sind alle lokalen Extrema einer differenzierbaren Funktion auf einem offenen Intervall Nullstellen der Ableitung.

Übung 7.19

1. Finden Sie alle lokalen Extrema des Polynoms [latex]f(x) = x^3-x[/latex] auf [latex]\mathbb {R}[/latex].
2. Finden Sie alle lokalen Extrema der Funktion [latex]|f|[/latex] auf [latex][-3,3][/latex].

Beispiel 7.20: Unstetige Ableitung

Wir betrachten zu [latex]p > 0[/latex] die Abbildung [latex]f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}[/latex] definiert durch

für alle [latex]x\in \mathbb {R}[/latex]. Da [latex]p > 0[/latex] ist, ist [latex]f_p[/latex] auch bei [latex]0[/latex] stetig (siehe das Sandwich Lemma 5.74). Die Ableitung von [latex]f[/latex] bei [latex]x\neq 0[/latex] existiert und ist durch

gegeben. Hierbei verwendeten wir auch, dass die Ableitung von [latex]x\in \mathbb {R}^\times \mapsto |x|[/latex] durch [latex]x\in \mathbb {R}^\times \mapsto \operatorname {sgn}(x)[/latex] gegeben ist. Für die Ableitung von [latex]f[/latex] bei [latex]0[/latex] können wir keine allgemeine Ableitungsregel verwenden und manipulieren deswegen den Grenzwert

wobei wir [latex]t = \frac {1}{x}[/latex] gesetzt haben. Falls [latex]p \leq 1[/latex] ist, dann existiert wegen [latex]1-p \geq 0[/latex] der Grenzwert [latex]\lim _{t \to \infty }\sin (t) t^{1-p}[/latex] nicht und somit ist [latex]f_p[/latex] nicht differenzierbar. Wir nehmen nun [latex]p >1[/latex] an, womit [latex]f[/latex] (ebenso auf Grund des Sandwich Lemmas) eine rechtsseitige Ableitung [latex](f_p)_+'(0)=0[/latex] besitzt. Analog können wir den Grenzwert mit [latex](f_p)_-'(0) = 0[/latex] berechnen und erhalten drei Fälle.

• Falls [latex]p
• Falls [latex]p=2[/latex] ist, ist [latex]f_p'[/latex] beschränkt, aber nicht stetig bei [latex]0[/latex], da der Grenzwert [latex]\lim _{x \to 0} \cos \left (\frac {1}{x}\right )[/latex] nicht existiert.
• Falls [latex]p>2[/latex] ist, ist [latex]f_p'[/latex] stetig und [latex]f_p[/latex] ist stetig differenzierbar. Man beachte aber, dass [latex]f_p'[/latex] nicht differenzierbar sein muss, da für [latex]p\leq 3[/latex] der Grenzwert
  [latex]
  \begin{aligned}[]\lim _{x \searrow 0} \frac {f_p'(x)-f_p'(0)}{x-0} = \lim _{x\searrow 0} \frac {px^{p-1}\sin \left (\frac {1}{x}\right ) - x^{p-2} \cos \left (\frac {1}{x}\right )}{x} = \lim _{t \to \infty } \bigl (pt^{2-p}\sin \left (t\right ) - t^{3-p} \cos \left (t\right )\bigr )\end{aligned}
  [/latex]

  nicht existiert.

Übung 7.21

Sei [latex]n\in \mathbb {N}[/latex]. Zeigen Sie, dass die Funktion [latex]x \in \mathbb {R} \mapsto x^n |x|\in \mathbb {R}[/latex] [latex]n[/latex]-mal stetig differenzierbar, aber nicht [latex](n+1)[/latex]-mal differenzierbar ist.

Beispiel 7.22: Logarithmusfunktion

Der Logarithmus [latex]f = \log : (0,\infty ) \to \mathbb {R},\ x \to \log (x)[/latex] ist glatt. In der Tat gilt [latex]f'(x) = \frac {1}{x}[/latex], [latex]f''(x) = -\frac {1}{x^2}[/latex], [latex]f^{(3)}(x) = \frac {2}{x^3}[/latex] oder allgemein [latex]f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)! x^{-n}[/latex], was sich mit vollständiger Induktion beweisen lässt.

Beispiel 7.23: Glattes Abklingen

Die Funktion [latex]\psi : \mathbb {R} \to \mathbb {R}[/latex] definiert durch

für alle [latex]x\in \mathbb {R}[/latex] ist glatt und demnach auch beliebig oft stetig differenzierbar, siehe das folgende Bild.

Für [latex]x0[/latex] ergibt sich dies mittels Induktion, der Kettenregel (Satz 7.8), Beispiel 7.9, der Produktregel in Proposition 7.5 und Korollar 7.6. In der Tat gilt für [latex]x>0[/latex], dass

und (da die konkrete Formel für [latex]\psi ^{(n)}[/latex] schnell kompliziert wird) allgemeiner
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:abl-expm1overx 1} \psi ^{(n)}(x) = \exp \left (-\frac 1x\right ) f_n\left (\frac 1x\right )\end{aligned}
[/latex]
für gewisse Polynome [latex]f_n[/latex] und jedes [latex]n\in \mathbb {N}[/latex]. Für [latex]n=1[/latex] und [latex]n=2[/latex] haben wir diese Darstellung der Ableitung bereits bewiesen, wobei [latex]f_1(t) = t^2[/latex] und [latex]f_2(t) = t^4-2t^3[/latex]. Für den Induktionsschritt nehmen wir (7.4) für [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] an und erhalten

wobei das Polynom [latex]f_{n+1}[/latex] als [latex]f_{n+1}(t) = t^2(f_n(t)-f_n'(t))[/latex] gewählt wurde.

Es bleibt noch zu zeigen, dass [latex]\psi[/latex] auch in [latex]x=0[/latex] beliebig oft differenzierbar ist. Dabei können wir nicht auf unsere Ableitungsregeln zurückgreifen, sondern müssen dies direkt mit der Definition der Ableitung überprüfen. Wir behaupten, dass [latex]\psi ^{(n)}(0) = 0[/latex] für alle [latex]n\in \mathbb {N}[/latex].

Für den Beweis der Behauptung zeigen wir zuerst, dass für jedes Polynom [latex]f[/latex]
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:abl-expm1overx 2} \lim _{x \to 0} \psi (x) f(\tfrac {1}{x}) =0\end{aligned}
[/latex]
ist. Auf Grund der Linearität des Grenzwerts und da [latex]\psi (x) = 0[/latex] für [latex]x

äquivalent ist. Dies folgt aber mit dem Sandwich-Lemma aus der Ungleichung [latex](1+\frac {y}{n+1})^{n+1}\leq \exp (y)[/latex] für alle [latex]y\geq 0[/latex] und [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] (siehe Abschnitt 5.3).

Wir zeigen nun [latex]\psi ^{(n)}(0) = 0[/latex] für alle [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] per Induktion. Verwenden wir (7.5), so erhalten wir

Falls wir bereits [latex]\psi ^{(n)}(0) = 0[/latex] für ein [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] wissen, dann folgt ebenso

Wir haben nun also gezeigt, dass alle Ableitungen von [latex]\psi[/latex] auf ganz [latex]\mathbb {R}[/latex] existieren und somit ist [latex]\psi[/latex] glatt.

Übung 7.24: Hutfunktion

Finden Sie für beliebige reelle Zahlen [latex]a

Korollar 7.25: Summen und Produkte bei höherer Differenzierbarkeit

Sei [latex]D \subseteq \mathbb {R}[/latex] eine Teilmenge, so dass jeder Punkt in [latex]D[/latex] ein Häufungspunkt von [latex]D[/latex] ist. Seien [latex]f,g: D \to \mathbb {R}[/latex] [latex]n[/latex]-mal differenzierbar. Dann sind [latex]f+g[/latex] und [latex]f\cdot g[/latex] ebenso [latex]n[/latex]-mal differenzierbar und es gilt [latex]f^{(n)} + g^{(n)} = (f+g)^{(n)}[/latex] sowie

Insbesondere ist jedes skalare Vielfache [latex]n[/latex]-mal differenzierbar und [latex](\alpha f)^{(n)} = \alpha f^{(n)}[/latex] für alle [latex]\alpha \in \mathbb {R}[/latex].

Korollar 7.26: Verknüpfungen und höhere Differenzierbarkeit

Seien [latex]D,E \subseteq \mathbb {R}[/latex] Teilmengen, so dass jeder Punkt in [latex]D[/latex] respektive [latex]E[/latex] ein Häufungspunkt von [latex]D[/latex] respektive [latex]E[/latex] ist. Sei des Weiteren [latex]f: D \to E[/latex] eine [latex]n[/latex]-mal differenzierbare Funktion und sei [latex]g: E \to \mathbb {R}[/latex] eine [latex]n[/latex]-mal differenzierbare Funktion. Dann ist [latex]g \circ f: D \to \mathbb {R}[/latex] [latex]n[/latex]-mal differenzierbar.

Übung 7.27

Beweisen Sie die Korollare 7.25 und 7.26.

Satz 7.28: Rolle

Sei [latex][a,b][/latex] ein kompaktes Intervall mit [latex]a

Theorem 7.29: Mittelwertsatz

Sei [latex][a,b][/latex] ein kompaktes Intervall mit [latex]a

Übung 7.30: Intervall als Voraussetzung

Zeigen Sie anhand eines Beispiels die Notwendigkeit der Voraussetzung im Mittelwertsatz (Theorem 7.29), dass der Definitionsbereich [latex]D[/latex] der Funktion [latex]f:D \to \mathbb {R}[/latex] ein Intervall ist.

Übung 7.31: Lipschitz-Stetigkeit differenzierbarer Funktionen

Sei [latex][a,b][/latex] ein kompaktes Intervall mit Endpunkten [latex]a

Beispiel 7.32: Kreisparametrisierung

Sei [latex]\gamma : [0,2\pi ] \to \mathbb {C}[/latex] die Abbildung (besser: die Kurve) gegeben durch

Nach Beispiel 7.3(iii) ist die Ableitung gegeben durch [latex]\gamma '(t) = \mathrm {i} e^{t \mathrm {i}}[/latex]. An den Endpunkten des Intervalles [latex][0,2\pi ][/latex] gilt [latex]\gamma (0) = \gamma (2\pi ) =1[/latex]. Die Ableitung von [latex]\gamma[/latex] nimmt jedoch nie den Wert Null an, denn es gilt [latex]|\gamma '(\xi )| = 1[/latex] für alle [latex]\xi \in [0,2\pi ][/latex]. Somit können die Aussagen des Satzes von Rolle (Satz 7.28) und des Mittelwertsatzes (Theorem 7.29) für komplexwertige Funktionen in dieser Allgemeinheit nicht zutreffen.

Korollar 7.33: Kriterium für Konstanz

Sei [latex]I\subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall mit Endpunkten [latex]a

Übung 7.34: Charakterisierung von Polynomen

Sei [latex]I\subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall mit Endpunkten [latex]a

Korollar 7.35: Kriterium für Monotonie

Sei [latex]I\subseteq \mathbb {R}[/latex] ein nicht-leeres Intervall und [latex]f:I \to \mathbb {R}[/latex] eine differenzierbare Funktion. Dann gilt

Wichtige Übung 7.36: Exakte Charakterisierung von Monotonie

Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein nicht-leeres Intervall und [latex]f: I \to \mathbb {R}[/latex] eine differenzierbare Funktion. Zeigen Sie, dass

Untersuchen Sie weiter das Beispiel [latex]f:x \in \mathbb {R} \mapsto x^3 \in \mathbb {R}[/latex].

Korollar 7.37: Hinreichende Kriterien für lokale Extrema

Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall mit Endpunkten [latex]a

• Angenommen der linke Endpunkt [latex]a[/latex] liegt in [latex]I[/latex].
  • Falls [latex]f'(a) > 0[/latex] erfüllt ist, dann hat [latex]f[/latex] in [latex]a[/latex] ein isoliertes lokales Minimum.
  • Falls [latex]f'(a)
• Beim Punkt [latex]x_0 \in I[/latex] gelten folgende Kriterien.
  • Falls ein [latex]\delta >0[/latex] existiert, so dass [latex]f'(x) > 0[/latex] für alle [latex]x \in (x_0-\delta ,x_0+\delta )\setminus \left \lbrace {x_0} \right \rbrace[/latex] (oder [latex]f'(x)
  • Falls ein [latex]\delta >0[/latex] existiert, so dass [latex]f'(x) > 0[/latex] für alle [latex]x \in (x_0-\delta ,x_0)[/latex] und [latex]f'(x)
  • Falls ein [latex]\delta >0[/latex] existiert, so dass [latex]f'(x) 0[/latex] für alle [latex]x \in (x_0,x_0+\delta )[/latex], dann nimmt [latex]f[/latex] in [latex]x_0[/latex] ein isoliertes lokales Minimum an.
  • Falls [latex]f[/latex] auf ganz [latex]I[/latex] zweimal stetig differenzierbar ist und [latex]f'(x_0) = 0[/latex] sowie [latex]f''(x_0)
  • Falls [latex]f[/latex] auf ganz [latex]I[/latex] zweimal stetig differenzierbar ist und [latex]f'(x_0) = 0[/latex] sowie [latex]f''(x_0) > 0[/latex] gilt, dann nimmt [latex]f[/latex] in [latex]x_0[/latex] ein isoliertes lokales Minimum an.
• Angenommen der rechte Endpunkt [latex]b[/latex] liegt in [latex]I[/latex].
  • Falls [latex]f'(b) > 0[/latex] erfüllt ist, dann hat [latex]f[/latex] in [latex]b[/latex] ein isoliertes lokales Maximum.
  • Falls [latex]f'(b)

Definition 7.38: Konvexität und Konkavität

Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall und [latex]f:I \to \mathbb {R}[/latex] eine Funktion. Dann heisst [latex]f[/latex] konvex, falls
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:abl-defkonvex} f\big ((1-t)x_0+tx_1\big ) \leq (1-t) f(x_0) + tf(x_1)\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]x_0,x_1 \in I[/latex] und für alle [latex]t \in [0,1][/latex]. Wir sagen, dass [latex]f[/latex] streng konvex ist, falls in (7.6) eine strikte Ungleichung gilt, wenn immer [latex]x_0 \neq x_1[/latex] und [latex]t \in (0,1)[/latex] (in diesem Falls ist [latex](1-t)x_0+tx_1[/latex] echt zwischen [latex]x_0[/latex] und [latex]x_1[/latex]). Eine Funktion [latex]g:I \to \mathbb {R}[/latex] heisst (streng) konkav, wenn [latex]f = -g[/latex] (streng) konvex ist.

Lemma 7.39: Konvexität via Steigung von Sekanten

Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall und [latex]f:I \to \mathbb {R}[/latex] eine Funktion. Die Funktion [latex]f[/latex] ist genau dann konvex, wenn für alle [latex]x,x_0,x_1 \in I[/latex] gilt

Des Weiteren ist [latex]f[/latex] genau dann streng konvex, wenn

gilt.

Proposition 7.40: Kriterium für Konvexität

Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall mit Endpunkten [latex]a

Übung 7.41: Strenge Konvexität

Seien [latex]f,I[/latex] wie in Proposition 7.40. Angenommen [latex]f[/latex] ist streng konvex. Zeigen Sie, dass [latex]f'[/latex] streng monoton wachsend ist.

Korollar 7.42: Konvexität und die zweite Ableitung

Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall mit Endpunkten [latex]a 0[/latex] für alle [latex]x \in I[/latex], dann ist [latex]f[/latex] streng konvex.

Beispiel 7.43

Die Funktion [latex]f:x \in (0,\infty ) \mapsto x \log (x)[/latex] ist streng konvex. Dies ergibt sich aus Korollar 7.42, da [latex]f[/latex] glatt ist und

für alle [latex]x > 0[/latex]. Des Weiteren wissen wir bereits aus Beispiel 5.76, dass [latex]\lim _{x \to 0} x \log (x) = 0[/latex]. Zuletzt bemerken wir, dass [latex]\lim _{x \to 0} f'(x) = - \infty[/latex], was alles im Graphen von [latex]f[/latex] ersichtlich ist.

Lemma 7.44: Jensensche Ungleichung

Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall und [latex]f:I \to \mathbb {R}[/latex] eine konvexe Funktion. Seien [latex]n \in \mathbb {N}[/latex], [latex]x_1,x_2,\ldots ,x_n \in I[/latex] und [latex]t_1,t_2,\ldots ,t_n \in [0,1][/latex] mit [latex]\sum _{k=1}^n t_k = 1[/latex]. Dann gilt
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:abl-jensen ineq} f \bigg ( \sum _{k=1}^n t_k x_k \bigg ) \leq \sum _{k=1}^n t_k f(x_k).\end{aligned}
[/latex]

Übung 7.45: Harmonisches, geometrisches und arithmetisches Mittel

Zeigen Sie die Ungleichung

für das harmonische, das arithmetische und das geometrische Mittel von [latex]x_1,\ldots ,x_n \in \mathbb {R}_{>0}[/latex].

Übung 7.46: Integralform der Jensenschen Ungleichung

Sei [latex]\varphi :[0,1] \to I[/latex] stetig und sei [latex]f:I \to \mathbb {R}[/latex] eine stetige, konvexe Funktion. Dann gilt

Übung 7.47: Minima von konvexen Funktionen

Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall und [latex]f: I \to \mathbb {R}[/latex] eine konvexe Funktion. Zeigen Sie, dass jedes lokale Minimum von [latex]f[/latex] ein (globales) Minimum ist.

Satz 7.48: Erweiterter Mittelwertsatz

Seien [latex]f[/latex] und [latex]g[/latex] stetige Funktionen auf einem Intervall [latex][a,b][/latex] mit [latex]a [latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:abl-cauchy meanvaluethm} g'(\xi ) (f(b)-f(a)) = f'(\xi ) (g(b)-g(a)).\end{aligned}
[/latex]
Falls zusätzlich [latex]g'(x) \neq 0[/latex] für alle [latex]x \in (a,b)[/latex] gilt, dann gilt [latex]g(a) \neq g(b)[/latex] und

Bemerkung

Genau wie der Mittelwertsatz hat der Mittelwertsatz von Cauchy eine geometrische Interpretation, nur muss man dieses Mal in der zweidimensionalen Ebene suchen. Dort besagt der Mittelwertsatz von Cauchy unter den getroffenen Annahmen, dass die Kurve [latex]t \mapsto (f(t),g(t))[/latex] eine Tangente besitzt, die parallel zur Gerade durch die Punkte [latex](f(a),g(a))[/latex], [latex](f(b),g(b))[/latex] ist.

Satz 7.49: Regel von de l’Hôpital

Seien [latex]a

• («[latex]\, \frac 00[/latex]» ) [latex]\lim _{x \searrow a} f(x) = \lim _{x \searrow a} g(x) = 0[/latex]
• («[latex]\, \frac {\infty }{\infty }[/latex]» ) [latex]\lim _{x \searrow a} g(x) = +\infty[/latex] (oder [latex]\lim _{x \searrow a} g(x) = -\infty[/latex]).

Dann existiert auch der Grenzwert [latex]\lim _{x \searrow a} \frac {f(x)}{g(x)}[/latex] und es gilt

Analoge Aussagen gelten für die Bewegungen [latex]x \nearrow b[/latex] oder [latex]x \to x_0 \in (a,b)[/latex]. Im letzten Fall erlauben wir [latex]g(x_0) =0[/latex] oder auch [latex]g'(x_0) = 0[/latex], solange [latex]g(x) \neq 0[/latex] und [latex]g'(x) \neq 0[/latex] für alle [latex]x \in (a,b) \setminus \left \lbrace {x_0} \right \rbrace[/latex].

Wichtige Übung 7.50

Vervollständigen Sie den obigen Beweis, indem Sie die Reduktionen in allen verbleibenden Fällen komplett ausführen.

Übung 7.51: Rechnen mit der Regel von de l’Hôpital

Berechnen Sie die Grenzwerte

Übung 7.52

Sei [latex][a,b][/latex] ein abgeschlossenes Intervall mit [latex]a

Übung 7.53: Zweite Ableitung als Grenzwert

Sei [latex]I=(a,b) \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall mit [latex]a

für alle [latex]x \in I[/latex]. Verifizieren Sie anhand der Vorzeichenfunktion [latex]x\in \mathbb {R} \mapsto \operatorname {sgn}(x)[/latex], dass die Existenz des obigen Grenzwerts nicht zweimalige Differenzierbarkeit impliziert.

Beispiel 7.54: Brechungsgesetz von Snellius

Wir werden hier das Brechungsgesetz der geometrischen Optik von Snellius (1580-1624) aus dem Fermat-Prinzip herleiten. Dabei besagt das Fermat-Prinzip, dass das Licht immer den Weg der kürzesten Reisezeit wählt. Gegeben sei eine geradlinige Grenze zwischen zwei Medien (zum Beispiel Luft und Glas oder Luft und Wasser) und die Lichtgeschwindigkeit [latex]c_1[/latex] und [latex]c_2[/latex] in diesen beiden Medien. (Die universelle Naturkonstante [latex]c[/latex] ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.) Wir wählen einen Punkt [latex]Q[/latex] im ersten Medium als Lichtquelle und wollen den Weg, den das Licht zu einem Punkt [latex]A[/latex] im zweiten Medium nimmt, bestimmen.

Wir wählen unser Koordinatensystem so, dass die Grenze zwischen den beiden Medien genau die [latex]x[/latex]-Achse ist, [latex]Q[/latex] auf der positiven Hälfte der [latex]y[/latex]-Achse liegt und die [latex]x[/latex]-Koordinate von [latex]A[/latex] gleich [latex]a > 0[/latex] ist. Die Reisezeit des Lichts, das zuerst geradlinig von [latex]Q[/latex] nach [latex](x,0)[/latex] (ein Ort des möglichen Grenzübertritts) und dann «nach Brechung» von [latex](x,0)[/latex] nach [latex]A[/latex] geht, ist durch

beschrieben. Die Funktion [latex]t: \mathbb {R} \to \mathbb {R},\ x \mapsto t(x)[/latex] ist auf ganz [latex]\mathbb {R}[/latex] differenzierbar (wir nehmen [latex]h_Q > 0[/latex] und [latex]h_A > 0[/latex] an) und die Abbildung ist durch

für alle [latex]x \in \mathbb {R}[/latex] gegeben. Diese verschwindet bei [latex]x \in \mathbb {R}[/latex] genau dann, wenn

wobei [latex]\alpha _A[/latex] und [latex]\alpha _Q[/latex] die beiden Winkel in obigem Bild bei dem Punkt [latex](x,0)[/latex] sind. Wir bemerken noch, dass obige Gleichung in [latex]x[/latex] für genau ein [latex]x \in \mathbb {R}[/latex] erfüllt ist und [latex]t: \mathbb {R} \to \mathbb {R}[/latex] für dieses [latex]x_0 \in (0,a)[/latex] tatsächlich ein globales Minimum annimmt. Die letzte Gleichung, welche die Winkel [latex]\alpha _A,\alpha _Q[/latex] und die Lichtgeschwindigkeiten [latex]c_1,c_2[/latex] in Verbindung bringt, wird das Brechungsgesetz von Snellius genannt.

Übung 7.55

Beweisen Sie die letzte Aussage in Beispiel 7.54.

Hinweis: Kann die Gleichung für [latex]x \leq 0[/latex] oder [latex]x \geq a[/latex] erfüllt sein? Verwenden Sie weiter, dass [latex]\alpha _Q = \arctan \left (\frac {x}{h_Q}\right ) \in \left (-\frac {\pi }{2},\frac {\pi }{2}\right )[/latex] streng monoton wachsend von [latex]x\in \mathbb {R}[/latex] abhängt und [latex]\alpha _A= \arctan \left (\frac {a-x}{h_A}\right ) \in \left (-\frac {\pi }{2},\frac {\pi }{2}\right )[/latex] streng monoton fallend von [latex]x\in \mathbb {R}[/latex] abhängt, wodurch [latex]\frac {\sin (\alpha _A)}{\sin (\alpha _Q)}[/latex] streng monoton fallend von [latex]x \in (0,a)[/latex] abhängt. Wir bemerken noch, dass [latex]\lim _{x \to \infty } t(x)= +\infty[/latex] und [latex]\lim _{x \to -\infty } t(x)= +\infty[/latex].

Übung 7.56

Verifizieren Sie die oben aufgestellten Behauptungen.

Applet 7.57: Einige Richtungsfelder und Anfangswertprobleme

Wir betrachten einige Funktionen [latex]f[/latex], die verschiedene Richtungsfelder angeben, und die dazugehörigen Anfangswertprobleme für einen bewegbaren Startpunkt [latex](x_0,y_0)[/latex].

Übung 7.58: Rekursive Näherung

Zeigen Sie, dass obige Heuristik für das Anfangswertproblem [latex]y'=y[/latex], [latex]y(0) =1[/latex] zu einer Lösung führt.

Lemma 7.59: Integrationskonstante

Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall, [latex]f:I \to \mathbb {R}[/latex] eine Funktion und [latex]F,F_1: I \to \mathbb {R}[/latex] Stammfunktionen von [latex]f[/latex]. Dann gibt es eine Konstante [latex]C \in \mathbb {R}[/latex] mit [latex]F_1 = F + C[/latex]. In anderen Worten, alle Lösungen von [latex]y'=f[/latex] sind gegeben durch die Formel [latex]y=F(x)+C[/latex], wenn wir die Konstante [latex]C\in \mathbb {R}[/latex] variieren.

Lemma 7.60: Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall, [latex]f:I \to \mathbb {R}[/latex] eine Funktion und [latex]F:I \to \mathbb {R}[/latex] eine Stammfunktion von [latex]f[/latex]. Die Lösungen [latex]y:I \to \mathbb {R}[/latex] der homogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung [latex]y' + f(x)y = 0[/latex] sind genau die Vielfachen der Funktion [latex]x \in I \mapsto \exp (-F(x))[/latex].

Lemma 7.61: Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall und seien [latex]f,g:I \to \mathbb {R}[/latex] Funktionen. Falls es eine Lösung [latex]y_{\operatorname {part}}:I \to \mathbb {R}[/latex] der Differentialgleichung [latex]y' + fy =g[/latex] gibt (die auch die partikuläre Lösung genannt wird), dann ist die allgemeine Lösung [latex]y_{\operatorname {inhom}}[/latex] von der Form [latex]y_{\operatorname {inhom}} = y_{\operatorname {part}} + y_{\operatorname {hom}}[/latex], wobei [latex]y_{\operatorname {hom}}[/latex] die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung [latex]y' + f(x)y = 0[/latex] ist.

Übung 7.62

Beweisen Sie Lemma 7.61. Vergleichen Sie Lemma 7.61 des Weiteren mit folgender Tatsache aus der linearen Algebra. Ist [latex]F: V \to W[/latex] eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen [latex]V,W[/latex] über einem Körper [latex]K[/latex] und [latex]v\in V[/latex] und [latex]w \in W[/latex] erfüllen [latex]F(v) = w[/latex], dann ist jedes [latex]\tilde {v} \in V[/latex] mit [latex]F(\tilde {v}) = w[/latex] von der Form [latex]\tilde {v} = v + v_0[/latex] für [latex]v_0[/latex] im Kern der Abbildung [latex]F[/latex].

Beispiel 7.63: Trennung der Variablen

Wir möchten das Anfangswertproblem

auf [latex]\mathbb {R}[/latex] lösen.

• Nach Lemma 7.60 berechnen wir zu [latex]f(x) = -2x[/latex]
  [latex]
  \begin{aligned}[]\int (-2x) \thinspace {\rm {d}} x = -x^2 + C\end{aligned}
  [/latex]

  und wählen somit [latex]F(x) = -x^2[/latex] als Stammfunktion. Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung [latex]y'-2xy = 0[/latex] ist somit von der Form [latex]y_{\operatorname {hom}}(x) = A \mathrm {e}^{x^2}[/latex] für [latex]A \in \mathbb {R}[/latex].

• Um eine partikuläre Lösung zu finden, brauchen wir eine Stammfunktion der Funktion [latex]g(x)\exp (F(x)) = 1[/latex], wobei [latex]g(x) = \mathrm {e}^{x^2}[/latex]. Wir setzen somit [latex]y_{\operatorname {part}}(x) = x\mathrm {e}^{x^2}[/latex].
• Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist nach Lemma 7.61 somit von der Form [latex]y(x) = A \mathrm {e}^{x^2} + x\mathrm {e}^{x^2}[/latex]. Unter Verwendung des Anfangswerts erhalten wir [latex]y(0) = A = 1[/latex] und somit ist die eindeutig bestimmte Lösung des obigen Anfangswertproblems durch
  [latex]
  \begin{aligned}[]y(x) = \mathrm {e}^{x^2} + x\mathrm {e}^{x^2} = (x+1)\mathrm {e}^{x^2}\end{aligned}
  [/latex]

  gegeben. An dieser Stelle empfiehlt es sich durch Einsetzen zu überprüfen, dass [latex]y[/latex] tatsäch­lich eine Lösung ist.

Übung 7.64

Finden Sie eine Lösung des Anfangswertproblems

auf dem Intervall [latex](0,\infty )[/latex].

Beispiel 7.65: Einige homogene Gleichungen

Die folgenden Behauptungen sind sehr leicht mit Differentiation überprüfbar. (Die Anmerkungen zu den betrachteten Polynomen soll gewisse Übereinstimmungen andeuten und sollte zumindest nach der Besprechung des allgemeinen Verfahrens für Sie Sinn machen.)

1. Für die Differentialgleichung [latex]y''=0[/latex] sind die Funktionen
   [latex]
   \begin{aligned}[]x\in \mathbb {R}\mapsto y(x)=C_1+C_2x\end{aligned}
   [/latex]

   für beliebige Konstanten [latex]C_1,C_2\in \mathbb {C}[/latex] Lösungen. (Die [latex]0[/latex] ist die einzige Lösung der Gleichung [latex]T^2=0[/latex].)

2. Für die Differentialgleichung [latex]y''-y'=0[/latex] sind die Funktionen
   [latex]
   \begin{aligned}[]x\in \mathbb {R}\mapsto y(x)=C_1+C_2\exp (x)\end{aligned}
   [/latex]

   für beliebige Konstanten [latex]C_1,C_2\in \mathbb {C}[/latex] Lösungen. (Die Lösungen der Gleichung [latex]T^2-T=0[/latex] sind gegeben durch [latex]0[/latex] und [latex]1[/latex].)

3. Für die Differentialgleichung [latex]y''+y=0[/latex] sind die Funktionen
   [latex]
   \begin{aligned}[]x\in \mathbb {R}\mapsto y(x)=C_1\sin (x)+C_2\cos (x)\end{aligned}
   [/latex]

   für beliebige Konstanten [latex]C_1,C_2\in \mathbb {C}[/latex] Lösungen. Ebenso sind die Funktionen

   [latex]
   \begin{aligned}[]x\in \mathbb {R}\mapsto y(x)=D_1\exp (\mathrm {i} x)+D_2\exp (-\mathrm {i} x)\end{aligned}
   [/latex]

   für beliebige Konstanten [latex]D_1,D_2\in \mathbb {C}[/latex] Lösungen, und auf Grund des Zusammenhangs zwischen der komplexen Exponentialabbildung und den trigonometrischen Funktionen in Satz 6.72 werden dadurch die gleiche Menge an Lösungen beschrieben. (Die Lösungen der Gleichung [latex]T^2+1=0[/latex] sind gegeben durch [latex]\mathrm {i},-\mathrm {i}\in \mathbb {C}[/latex].)

Wichtige Übung 7.66: Homogene Gleichung

1. Zeigen Sie, dass die Menge der Lösungen der homogenen Differentialgleichung (7.14) auf [latex]\mathbb {R}[/latex] einen Teilraum des Vektorraums aller zweimal differenzierbarer Funktionen auf [latex]\mathbb {R}[/latex] bildet.
2. Zeigen Sie, dass die Funktionen in (7.15), (7.16) beziehungsweise (7.17) Lösungen von (7.14) sind.
3. Zeigen Sie, dass wir in den Spezialfällen von Beispiel 7.65 tatsächlich alle Lösungen der jeweiligen Differentialgleichung gefunden haben.

Beispiel 7.67: Gedämpfte Schwingung

Wir bringen ein Gewicht an einer elastischen Feder an und wählen das Koordinatensystem, so dass [latex]y=0[/latex] dem Ruhezustand (wo sich das Gewicht nicht bewegt) entspricht.

Wir wollen die Position [latex]y(t)[/latex] des Gewichts als Funktion der Zeit [latex]t[/latex] betrachten. Nach den Newtonschen Grundgesetzen der Bewegung ist die zweite Ableitung [latex]\ddot {y}[/latex] (nach der Zeit) multipliziert mit der Masse [latex]m[/latex] des Gewichts gleich der Kraft, die auf das Gewicht wirkt. Eine Komponente dieser Kraft entsteht durch die Ausdehnung der Feder und orientiert sich in Richtung Ruhezustand. Nach dem Hookeschen Gesetz ist diese Kraft durch [latex]-ky[/latex] gegeben, wobei [latex]k >0[/latex] die Federkonstante genannt wird. Weiter wirken üblicherweise Reibungkräfte auf die Bewegung. Wir nehmen an, dass die entsprechende Krafteinwirkung durch [latex]-d\dot {y}[/latex] gegeben ist, wobei [latex]d \geq 0[/latex] die Dämpfungskonstante ist. Die Differentialgleichung, die die Bewegung [latex]y(t)[/latex] der Masse beschreibt, ist somit

was also eine gewöhnliche lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung ist. Wir setzen zur Vereinfachung der Notation [latex]m=1[/latex]. Das charakteristische Polynom obiger Differentialgleichung ist

mit Nullstellen

Für [latex]\frac {d^2}{4} -k

siehe auch folgendes Bild.

Abbildung 7.10 – Die ungedämpfte Schwingung links (mit [latex]d=0[/latex]) und die gedämpfte Schwingung (mit [latex]d>0[/latex]) rechts.

Falls die Reibung stark ist und [latex]\frac {d^2}{4}-k > 0[/latex] ist, dann wird die Schwingung zerstört — dies kann mit einem Türschliess-Mechanismus verglichen werden. Die Lösungen sind dann von der Form [latex]A\mathrm {e}^{\alpha _1t} + B \mathrm {e}^{\alpha _2 t}[/latex], wobei [latex]\alpha _1 = - \frac {d}{2} + \sqrt {\frac {d^2}{4} -k}

Der Grenzfall [latex]\frac {d^2}{4} -k = 0[/latex] ist nochmals anders, da wir in diesem Fall bis jetzt nur eine eindimensionale Lösungsmenge bestehend aus allen Vielfachen von [latex]y_1 = \mathrm {e}^{- \frac {d}{2}t}[/latex] gefunden haben. Mit obiger Anleitung erhält man eine weitere Lösung [latex]y_2(t) = t \mathrm {e}^{-\frac {d}{2}t}[/latex], die linear unabhängig zu [latex]y_1[/latex] ist (wieso?). In der Tat gilt

und somit

für alle [latex]t \in \mathbb {R}[/latex].

Beispiel 7.68: Partikuläre Lösungen

Wir betrachten einige Spezialfälle für die obigen Ansätze.

1. Zum Beispiel könnten das charakteristische Polynom durch [latex]p(T)=(T+1)(T+2)[/latex] und das Störglied durch [latex]x\in \mathbb {R}\mapsto g(x)=x\exp (x)[/latex] gegeben sein. In diesem Fall ist der Skalar [latex]\alpha =1[/latex] in der Exponentialfunktion des Störglieds keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und wir können den Ansatz [latex]y_{\operatorname {part}}=(C_1x+C_2)\exp (x)[/latex] für noch zu bestimmende Konstanten [latex]C_1,C_2[/latex] verwenden.
2. Für [latex]p(T)=(T+1)(T+2)[/latex] und Störglied [latex]x\in \mathbb {R}\mapsto g(x)=x\exp (-x)[/latex] muss man allerdings den Ansatz [latex]y_{\operatorname {part}}=(C_1x^2+C_2x)\exp (-x)[/latex] für noch zu bestimmende Konstanten [latex]C_1,C_2[/latex] verwenden, da [latex]-1[/latex] sehr wohl eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
3. Falls [latex]p(T)=(T+1)^2[/latex] und das Störglied durch [latex]x\in \mathbb {R}\mapsto g(x)=x\exp (-x)[/latex] gegeben ist, so muss man den Ansatz [latex]y_{\operatorname {part}}=(C_1x^3+C_2x^2)\exp (-x)[/latex] für noch zu bestimmende Konstanten [latex]C_1,C_2[/latex] verwenden, da [latex]-1[/latex] eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
4. Falls [latex]p(T)=T^2+1[/latex] und das Störglied durch [latex]x\in \mathbb {R}\mapsto g(x)=x\sin (x)[/latex] gegeben ist, so muss man den Ansatz [latex]y_{\operatorname {part}}=(C_1x^2+C_2x)\sin (x)+(C_3x^2+C_4x)\cos (x)[/latex] für noch zu bestimmende Konstanten [latex]C_1,C_2,C_3,C_4[/latex] verwenden. Dies ergibt sich ebenso aus obigen Fällen, denn [latex]\sin (x)=\frac 1{2\mathrm {i}}(\exp (\mathrm {i} x)-\exp (-\mathrm {i} x))[/latex] und beide Skalaren [latex]\mathrm {i},-\mathrm {i}[/latex] sind einfache Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Deswegen müssen wir den Grad der Polynomfaktoren vor [latex]\exp (\mathrm {i} x)[/latex] und vor [latex]\exp (-\mathrm {i} x)[/latex] jeweils um [latex]1[/latex] erhöhen, was zu den getrennten Ansätzen [latex](D_1x^2+D_2x)\exp (\mathrm {i} x)[/latex] für die partikuläre Lösung für das Störglied [latex]\frac 1{2\mathrm {i}}x\exp (\mathrm {i} x)[/latex] beziehungsweise [latex](D_3x^2+D_4x)\exp (-\mathrm {i} x)[/latex] für das Störglied [latex]-\frac 1{2\mathrm {i}}x\exp (-\mathrm {i} x)[/latex] führt. Wollen wir die Rechnung über die reellen Zahlen ausführen, so betrachten wir stattdessen obigen Ansatz mit Sinus und Kosinus.

Beispiel 7.69: Gedämpfte Schwingung mit periodischer Krafteinwirkung

Wir verändern die homogene Differentialgleichung

der gedämpften Schwingung aus Beispiel 7.67, indem wir eine periodische Krafteinwirkung der Form [latex]a \sin (t)[/latex] für ein [latex]a \in \mathbb {R}[/latex] dem System hinzufügen, wodurch wir die inhomogene Differentialgleichung [latex]\ddot {y} + d \dot {y} + ky = a\sin (t)[/latex] erhalten. Wir wollen nun eine Lösung des Anfangswertproblems

finden, wobei die Anfangsbedingungen der unbewegten Ruhelage am Anfang entspricht.

Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung haben wir bereits in Beispiel 7.67 diskutiert. Wir möchten hier jedoch nur der Fall [latex]\frac {d^2}{4}-k

wobei [latex]\gamma = \sqrt {\big |\frac {d^2}{4} -k\big |}[/latex].

Für die partikuläre Lösung machen wir den Ansatz [latex]y_{\operatorname {part}}(t) = -C \sin (t) + D\cos (t)[/latex] und erhalten

Wir möchten also [latex]C,D[/latex] so bestimmen, dass

oder nach Vergleich der Koeffizienten (wieso geht das?), dass

in Matrixschreibweise. Falls die Determinante [latex](1-k)^2+d^2[/latex] nicht Null ist, sehen wir nach Inversion, dass die Lösung des Gleichungssystems durch

gegeben ist, wodurch

Wir addieren zu [latex]y_{\operatorname {part}}[/latex] die allgemeine Lösung [latex]y_{\operatorname {hom}}[/latex] der homogenen Differentialgleichung, um eine Lösung [latex]y[/latex] zu erhalten. Nun setzen wir [latex]t=0[/latex] sowohl in der Lösung [latex]y[/latex] als auch ihrer Ableitung und erhalten gemeinsam mit den Anfangsbedingungen

Somit wählen wir die Konstanten [latex]A,B[/latex] als

Die Lösung des Anfangswertproblems ist somit gegeben durch

Man kann in diesem einfachen Modell bereits einige physikalische Beobachtungen wiedererkennen.

• Bei positiver Dämpfung [latex]d > 0[/latex] strebt die Lösung gegen eine Schwingung mit Frequenz der vorgegebenen Krafteinwirkung. Die Amplitude dieser Schwingung ist durch [latex]\frac {a}{\sqrt {(1-k)^2+d^2}}[/latex] gegeben (siehe die entsprechende Übung in Abschnitt 6.9.2) und hängt also linear von der vorgegeben Amplitude der Krafteinwirkung ab. Sie wird grösser, wenn [latex]k[/latex] nahe bei [latex]1[/latex] und [latex]d[/latex] nahe bei [latex]0[/latex] ist.
  
• Bei verschwindender Dämpfung [latex]d =0[/latex] ergibt sich eine Lösung, die eine Überlagerung der «Eigenschwingung» des Systems und der «vorgegebenen Schwingung» der Krafteinwirkung ist. Falls [latex]k \neq 1[/latex] nahe bei [latex]1[/latex] ist, dann können sich diese Schwingungen manchmal gleichzeitig verstärken und manchmal fast auslöschen, siehe folgendes Bild.
  
• Bei [latex]d=0[/latex] und [latex]k=1[/latex] gilt obige Diskussion nicht mehr. In diesem Fall ist eine partikuläre Lösung durch [latex]y_{\operatorname {part}}(t) = - \frac {a}{2} t \cos (t)[/latex] gegeben (wieso?) und eine Lösung des Anfangswertproblems durch [latex]y(t) = - \frac {a}2 t \cos (t) + \frac {a}{2} \sin (t)[/latex]. Diese Lösung ist also unbeschränkt (unabhängig davon wie klein [latex]a\neq 0[/latex] auch sein mag). Physikalisch begründet sich dies mit der Tatsache, dass die Krafteinwirkung mit dem System im gleichen Takt ist und die Schwingung (bei Abwesenheit von Reibung) aufschaukelt.
  

Die Phänomene in diesem Beispiel werden als Resonanz bezeichnet und können in verschiedenen Situationen beobachtet werden. Zum Beispiel kann sich die Schwingung von einer Saite einer Gitarre auf die gleiche Saite einer anderen Gitarre übertragen, ohne dass diese sich berühren müssen. Denn durch Anzupfen der Saite auf der ersten Gitarre erzeugt man einen Ton, der als Schwingung der Luft in einer gewissen Frequenz definiert werden kann. Diese Schwingung breitet sich aus und übt auf die gleiche Saite der zweiten Gitarre in der richtigen Frequenz eine Kraft aus, die zwar sehr klein ist, aber in der Frequenz mit der Eigenschwingung der Saite der zweiten Gitarre übereinstimmt. Aus diesen Grund beginnt die Saite der zweiten Gitarre sichtbar zu schwingen. (Zur Not kann man dies auch nur mit einer Gitarre beobachten, aber hierzu muss man auf zwei Saiten die gleiche Note greifen.)

Applet 7.70: Harmonischer Oszillator

Sie können sowohl die Koeffizienten der Differentialgleichung [latex]\ddot y+d\dot y+ky=a\sin t[/latex] als auch die Anfangsbedingungen [latex]y(0)=y_0[/latex] und [latex]\dot y(0)=y_1[/latex] einstellen.

Übung

Finden Sie eine differenzierbare Funktion auf einem offenen Intervall [latex]I[/latex], so dass ein Punkt [latex]x_0 \in I[/latex] mit [latex]f'(x_0) = 0[/latex] existiert, der kein lokales Extremum ist.

Übung: Vielfachheit von Nullstellen

Sei [latex]f\in \mathbb {R}[T][/latex] ein Polynom und sei [latex]k \in \mathbb {N}[/latex]. Wir erinnern daran, dass eine [latex]k[/latex]-fache Nullstelle von [latex]f[/latex] ein [latex]z\in \mathbb {C}[/latex] ist mit der Eigenschaft, dass [latex](T-z)^{k}[/latex] das Polynom [latex]f[/latex] teilt, aber [latex](T-z)^{k+1}[/latex] das Polynom [latex]f[/latex] nicht teilt. Zeigen Sie, dass folgende Eigenschaften für einen Punkt [latex]x_0 \in \mathbb {R}[/latex] äquivalent sind:

1. [latex]x_0[/latex] ist eine [latex]k[/latex]-fache Nullstelle von [latex]f[/latex].
2. [latex]f^{(\ell )}(x_0) = 0[/latex] für alle [latex]\ell \in \mathbb {N}_0[/latex] mit [latex]\ell \leq k-1[/latex] und [latex]f^{(k)}(x_0) \neq 0[/latex].

Daraus folgt beispielsweise, dass eine [latex]k[/latex]-fache Nullstelle von [latex]f[/latex] eine [latex]k-1[/latex]-fache Nullstelle von [latex]f'[/latex] ist (wieso?). Die zweite Eigenschaft (ii) lässt sich direkt auf beliebige, glatte Funktionen [latex]f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}[/latex] erweitern. Mit etwas mehr stimmt dies auch für (i) und man erhält wiederum eine äquivalente Charakterisierung.

Allerdings muss nicht jede Nullstelle einer von Null verschiedenen, glatten Funktion [latex]f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}[/latex] eine endliche Vielfachheit besitzen. Finden Sie ein nicht-triviales Beispiel einer solchen Funktion. Das heisst, finden Sie eine glatte Funktion [latex]f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}[/latex] mit einer Nullstelle [latex]x_0 \in \mathbb {R}[/latex], so dass [latex]f^{(k)}(x_0) = 0[/latex] für alle [latex]k \in \mathbb {N}_0[/latex], aber [latex]f|_U \neq 0[/latex] für alle Umgebungen [latex]U[/latex] von [latex]x_0[/latex].

Übung: Satz von Darboux

Sei [latex][a,b][/latex] ein kompaktes Intervall mit Endpunkten [latex]a

Gehen Sie wie folgt vor, um einen Beweis zu erhalten.

1. Sei [latex]c[/latex] zwischen [latex]f'(a)[/latex] und [latex]f'(b)[/latex]. Betrachten Sie die Funktion [latex]x \in [a,b] \mapsto f(x)-cx \in \mathbb {R}[/latex] um zu argumentieren, dass man ohne Beschränkung der Allgemeinheit [latex]f'(a) \leq 0[/latex], [latex]f'(b) \geq 0[/latex] sowie [latex]c=0[/latex] annehmen kann.
2. Verwenden Sie nun den Extremwertsatz (Korollar 3.72) und Proposition 7.17 um zu zeigen, dass ein Punkt [latex]x \in [a,b][/latex] mit [latex]f'(x) = 0[/latex] existiert.

Übung

Zeigen Sie, dass die Funktion

glatt ist.

Übung

Sei [latex]f:D \to \mathbb {C}[/latex] eine Funktion auf einer Teilmenge [latex]D\subseteq \mathbb {R}[/latex] und sei [latex]a \in D[/latex] Häufungspunkt. Wir erinnern daran, dass [latex]f[/latex] bei [latex]a[/latex] differenzierbar ist, falls der Grenzwert [latex]\lim _{x \to a} \frac {f(x)-f(a)}{x-a}[/latex] existiert. Zeigen Sie, dass [latex]f[/latex] genau dann bei [latex]a[/latex] differenzierbar ist, wenn [latex]\operatorname {Re}(f)[/latex] und [latex]\operatorname {Im}(f)[/latex] bei [latex]a[/latex] differenzierbar sind.

Übung: Challenge

In dieser Übung möchten wir eine differenzierbare Funktion [latex]f[/latex] auf [latex][0,1][/latex] konstruieren, deren Ableitung an allen (und insbesondere überabzählbar vielen) Punkten in der Cantor-Menge nicht stetig ist. Als Ausgangspunkt betrachten wir dazu die Funktion

Zeigen Sie, dass [latex]\varphi[/latex] differenzierbar ist, aber dass [latex]\varphi '[/latex] bei [latex]0[/latex] und [latex]1[/latex] nicht stetig ist.

Sei [latex]C[/latex] die Cantor-Menge. Wir verwenden die Notation [latex]x_+,x_-[/latex] zu [latex]x \in [0,1]\setminus C[/latex] aus Abschnitt 6.8.2 und definieren damit [latex]f:[0,1] \to \mathbb {R}[/latex] durch [latex]f(x) = 0[/latex] für [latex]x \in C[/latex] und

für [latex]x \in [0,1] \setminus C[/latex]. Zeigen Sie, dass [latex]f[/latex] differenzierbar ist und dass [latex]f'[/latex] bei keinem Punkt in [latex]C[/latex] stetig ist.

Übung

Eine irrationale reelle Zahl [latex]\alpha \in \mathbb {R}[/latex] ist eine Liouville-Zahl, falls für jedes [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] eine rationale Zahl [latex]\frac {p}{q} \in \mathbb {Q}[/latex] existiert mit

In einem gewissen Sinne ist eine Liouville-Zahl also eine irrationale Zahl, die sich sehr gut durch rationale Zahlen approximieren lässt.

1. Zeigen Sie, dass [latex]\sum _{n=0}^\infty 10^{-n!}[/latex] eine Liouville-Zahl ist. Verwenden Sie die Ziffernentwicklung zur Basis [latex]10[/latex] und Übung 6.91.

Wir wollen nun zeigen, dass jede Liouville-Zahl (und damit auch [latex]\sum _{n=0}^\infty 10^{-n!}[/latex]) transzendent ist. Dazu behaupten wir, dass es für jede algebraische Zahl [latex]\beta[/latex] eine Konstante [latex]A > 0[/latex] und ein [latex]n\in \mathbb {N}[/latex] gibt, so dass
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:abl-liouville thm} \left | \beta - \frac {p}{q} \right | \geq \frac {A}{q^n}\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]\frac {p}{q} \in \mathbb {Q}[/latex].

1. Sei [latex]f \in \mathbb {Q}[x][/latex] mit [latex]f(\beta ) = 0[/latex] und Grad [latex]n\geq 1[/latex]. Sei weiters [latex]\frac {p}{q} \in \mathbb {Q}\cap [\beta -1,\beta +1][/latex] keine Nullstelle von [latex]f[/latex]. Zeigen Sie, dass [latex]\left |f\left (\frac {p}{q}\right )\right | \geq \frac {1}{q^n}[/latex].
2. Argumentieren Sie mit dem Mittelwertsatz, dass [latex]\left |f\left (\frac {p}{q}\right )\right | = |f'(\xi )| \left | \beta - \frac {p}{q} \right |[/latex] für ein [latex]\xi[/latex] zwischen [latex]\beta[/latex] und [latex]\frac {p}{q}[/latex]. Schliessen Sie, dass es ein [latex]a>0[/latex] gibt mit [latex]|f'(x)|\leq a[/latex] für alle [latex]x\in [\beta -1,\beta +1][/latex] und folgern Sie (7.19).
3. Zeigen Sie, dass jede Liouville-Zahl transzendent ist.

Übung: Konvexität und Mittelpunktseigenschaft

Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein Intervall und [latex]f:I \to \mathbb {R}[/latex] eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass [latex]f[/latex] genau dann konvex ist, wenn für alle [latex]x,y\in I[/latex] die Ungleichung

gilt. Begründen Sie auch intuitiv, wieso letztere Ungleichung implizit in (7.6) enthalten ist und somit (zumindest auf den ersten Blick) die schwächere Annahme ist. Sie können dazu mit einem Bild arbeiten. Zeigen Sie unter Verwendung obiger Charakterisierung, dass [latex]x\in \mathbb {R} \mapsto |x|[/latex] eine konvexe Funktion ist.

Übung

In dieser Übung möchten wir zeigen, dass konvexe Funktionen fast überall differenzierbar sind. Sei [latex]I \subseteq \mathbb {R}[/latex] ein nicht-leeres Intervall und sei [latex]f:I \to \mathbb {R}[/latex] konvex.

1. Zeigen Sie, dass die links- und rechtsseitigen Ableitungen [latex]f_-'(x) \leq f_+'(x)[/latex] von [latex]f[/latex] bei jedem [latex]x \in I[/latex] ausser vielleicht bei den Endpunkten von [latex]I[/latex] existieren.
2. Zeigen Sie, dass [latex]f[/latex], möglicherweise abgesehen von den Endpunkten von [latex]I[/latex], stetig ist.
3. Zeigen Sie, dass es eine höchstens abzählbare Ausnahmemenge [latex]A \subseteq I[/latex] gibt, so dass [latex]f[/latex] bei jedem [latex]x \in I \setminus A[/latex] differenzierbar ist.

Hinweis: Für (i) können Sie Lemma 7.39 verwenden, um eine Monotonie der Differenzenquotienten zu zeigen. Für (ii) können Sie folgendes Bild als Hinweis verwenden.

Für (iii) verwenden Sie Übung 3.58 für [latex]f_-',f_+'[/latex].

Übung: Newton-Verfahren für konvexe Funktionen

Seien [latex]a0[/latex] und [latex]f(b)

1. Zeigen Sie, dass [latex]f[/latex] eine eindeutig bestimmte Nullstelle [latex]z[/latex] in [latex][a,b][/latex] besitzt.

Wir betrachten nun das Newton-Verfahren zur numerischen Bestimmung von Nullstellen. Sei [latex]x_0 = a[/latex] und [latex]x_{n+1}=x_n-\frac {f(x_n)}{f’(x_n)}[/latex] für [latex]n\in \mathbb {N}_0[/latex]. Dabei ist [latex]x_{n+1}[/latex] die Nullstelle der Tangente an [latex]f[/latex] durch [latex]x_n[/latex] für jedes [latex]n\in \mathbb {N}[/latex]; siehe dazu folgendes Bild.

Nun wollen wir zeigen, dass die Folge [latex](x_n)_n[/latex] gegen [latex]z[/latex] konvergiert.

1. Zeigen Sie, dass die Folge [latex](x_n)_n[/latex] Grenzwert [latex]z[/latex] hat, falls sie konvergiert.
2. Zeigen Sie, dass die Folge [latex](x_n)_n[/latex] monoton wachsend ist und dass [latex]x_n \leq z[/latex] und somit auch [latex]x_n \in [a,b][/latex] für alle [latex]n \in \mathbb {N}[/latex] erfüllt ist. Schliessen Sie damit auf die Konvergenz des Newton-Verfahrens mit Startpunkt [latex]a[/latex].

Wir werden später mit Hilfe zusätzlicher Werkzeuge das Newton-Verfahren in einem allgemeineren Kontext besprechen können — siehe Beispiel 8.65.