Wie bereits erwähnt wurde, werden wir uns in diesem und in allen folgenden Kapiteln an den üblichen Aufbau mathematischer Theorien halten und alle Aussagen aus den gegebenen Axiomen ableiten. In unserem Fall sind letztere die Axiome der reellen Zahlen, die wir gemeinsam mit der naiven Mengenlehre (inklusive Funktionen und Relationen) verwenden werden, um die Analysis aufzubauen. Wir werden diesen Aufbau in Etappen erledigen und nach jeder Etappe klarstellen, was wir erreicht haben und in Zukunft verwenden dürfen.

2.1 – Die Axiome der reellen Zahlen

2.1.1 – Körperaxiome

An dieser Stelle kann man sich einige Fragen stellen. Beispielsweise ist nicht klar, wieso die Notation $(-x)$ für die additive Inverse eines Elements $x \in \mathbb {R}$ gerechtfertigt ist; a priori könnte es ja mehrere additive Inverse eines Elements geben. Deswegen sollte $(-x)$ vorerst als der Name eines Elements in $\mathbb {R}$ gesehen werden und nicht als ein eindeutig bestimmtes, zu $x$ gehörendes Element. Fragen wie diese möchten wir in Kürze beantworten.

(Für welche $x\in \mathbb {R}$ wurde die Eigenschaft in Axiom (1) verwendet und wie?

)

Das Negative $-x \in \mathbb {R}$ ist für jedes $x \in \mathbb {R}$ durch die Eigenschaft $x + (-x) = 0$ eindeutig bestimmt. Insbesondere können wir von der additiven Inversen eines Elements sprechen und die Abbildung $-:x \in \mathbb {R} \mapsto -x \in \mathbb {R}$ ist wohldefiniert. In der Tat, falls $y,z\in \mathbb {R}$ zu $x\in \mathbb {R}$ die Identitäten $x+y = x+z= 0$ erfüllen, dann gilt
$\begin{aligned}[]y = y+0 &= y+(x+z) \\ &= (y+x)+z = (x+y)+z = 0 + z = z,\end{aligned}$
nach der Eigenschaft der Null in Axiom (1), der Annahme für $z$, dem Assoziativgesetz in Axiom (3), dem Kommutativgesetz in Axiom (4), der Annahme für $y$ und wiederum die Eigenschaft der Null in Axiom (1).
Wegen der Eindeutigkeit der additiven Inversen gilt $-(-x) = x$ für jedes $x \in \mathbb {R}$. Denn für $x \in \mathbb {R}$ gilt $(-x) + x = 0$ nach der Definition der additiven Inversen von $x$ in Axiom (2) und damit ist nach () schliesslich $-(-x) = x$.
«Additives Kürzen» ist erlaubt: Sind $x,y,z \in \mathbb {R}$ mit $x+y = x+z$, so darf man $x$ wegstreichen. (Das heisst, die Aussage $\forall x,y,z \in \mathbb {R}: x+y = x+z \implies y=z$ gilt.) In der Tat gilt
$\begin{aligned}[]y = ((-x)+x) + y & = (-x) + (x+y) \\ &= (-x) + (x + z) = ((-x)+x)+ z = z,\end{aligned}$
wobei die Eigenschaft der Null in Axiom (1), Eigenschaft der additiven Inversen in Axiom (2), das Assoziativgesetz in Axiom (3), die Annahme $x+y = x+z$, das Assoziativgesetz in Axiom (3) und nochmals die Eigenschaft in den Axiomen (2) und (1) verwendet wurden.

Nach dem Assoziativgesetz in Axiom (3) können wir für $x,y,z \in \mathbb {R}$ anstelle von $(x+y)+z$ oder $x+(y+z)$ einfach $x+y+z$ schreiben, da diese nach Axiom (3) gleich sind. Anstelle von $x+(-y)$ für $x,y\in \mathbb {R}$ schreiben wir oft auch die Subtraktion $x-y$ und anstelle von $(-x)+y$ auch $-x + y$.

Des Weiteren muss bei Kombination der Addition und der Multiplikation folgendes Gesetz gelten.

Wir werden sehen, dass die Axiome ()-() implizieren, dass $\mathbb {R}^\times = \mathbb {R}\setminus \left \lbrace {0} \right \rbrace$ mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe bildet, die auch die Einheitengruppe von $\mathbb {R}$ genannt wird. Dies wird uns insbesondere erlauben, die Folgerungen aus den Axiomen (1)-() auf die Multiplikation analog anzuwenden.

nach dem Distributivgesetz in Axiom () und der Eigenschaft der Null. Durch Wegstreichen von $0 \cdot x$ (siehe Folgerung ()) erhalten wir $0\cdot x = 0$. Nach dem Kommutativgesetz in Axiom () folgt auch $x\cdot 0 = 0$ und die Behauptung ist gezeigt.

Es gilt $(-1)\cdot x = -x$ für alle $x \in \mathbb {R}$. Denn für ein $x \in \mathbb {R}$ ist
$\begin{aligned}[]x + (-1)\cdot x &= 1 \cdot x + (-1) \cdot x \\ &= (1+(-1)) \cdot x = 0 \cdot x = 0,\end{aligned}$
was wegen Folgerung () die gewünschte Aussage impliziert.
Es gilt, dass für jedes $x \in \mathbb {R}^\times$ auch jedes Element $(x^{-1})$ wie in Axiom () in $\mathbb {R}^\times$ liegt. Denn wäre $x \in \mathbb {R}^\times$ mit $(x^{-1}) = 0$, so würde $1 = x\cdot (x^{-1}) = x \cdot 0 = 0$ gelten, was in Axiom () ausgeschlossen wurde.
«Multiplikatives Kürzen» ist erlaubt: Sei $x \in \mathbb {R}^\times$ und eine Gleichung der Form $x\cdot y = x \cdot z$ für $y,z \in \mathbb {R}$ gegeben. Dann darf man $x$ wegstreichen und es gilt $y =z$. In der Tat ist
$\begin{aligned}[]y = 1 \cdot y = ((x^{-1})\cdot x) \cdot y &= (x^{-1})\cdot (x \cdot y) \\ &= (x^{-1})\cdot (x \cdot z) = ((x^{-1})\cdot x) \cdot z = 1 \cdot z = z.\end{aligned}$

Es gibt keine «Keine Nullteiler» : Falls $x \cdot y = 0$ für zwei Elemente $x,y \in \mathbb {R}$ gilt, dann ist $x = 0$ oder $y =0$. Denn nimmt man an, dass $x \neq 0$ ist, so folgt aus der Gleichung $x \cdot y = 0 = x \cdot 0$, die nach Folgerung () und der Voraussetzung gilt, dass $y=0$ ist nach Folgerung ().

Wegen dem Assoziativgesetz in Axiom () schreiben wir anstelle von $x \cdot (y \cdot z)$ oder $(x\cdot y) \cdot z$ auch $x \cdot y \cdot z$ für $x,y,z \in \mathbb {R}$. Wir verwenden im Weiteren die Regel «Punkt- vor Strichrechnung» und lassen den Punkt in der Multiplikation oft auch weg. Insbesondere werden wir das Distributivgesetz in Axiom () auch in der Form $(x+y) z = xz + yz$ für alle $x,y,z \in \mathbb {R}$ schreiben.

Wir verwenden oft die Schreibweise des Quotienten $\frac {x}{y} = x y^{-1}$ für alle Zähler $x \in \mathbb {R}$ und Nenner $y \in \mathbb {R}^\times$. Die Inverse $\frac {1}{y} = y^{-1}$ von $y \in \mathbb {R}^\times$ nennen wir auch den reziproken Wert oder den Kehrwert von $y$.

Die Axiome (1)-() werden auch die Körperaxiome genannt und machen also $\mathbb {R}$ zu einem Körper. Diese definieren die üblichen Rechenregeln und sind damit gut als Axiome geeignet. Die Folgerungen ()-(), Übung 2.3 und Übungen 2.5—2.7 gelten für beliebige Körper und nicht nur für die reellen Zahlen.

Obige Beispiele zeigen, dass die «üblichen Rechenoperationen» (das wären die Axiome (1)-()) von vielen Zahlensystemen erfüllt werden, oder präziser formuliert, dass es viele verschiedene Körper gibt. Wir sind an diesen Körpern hier(!) nicht weiter interessiert und schliessen sie aus, indem wir weitere Axiome einführen.

2.1.2 – Angeordnete Körper

Die Axiome ()-() sind die Axiome einer Ordnung und zusammen mit Axiom () bilden sie die Axiome einer linearen (oder auch totalen) Ordnung. Damit die Relation $\leq$ auf dem Körper $\mathbb {R}$ nützlich ist, benötigen wir die folgenden Axiome, die die Relation mit der Körperstruktur koppeln:

Wie bereits erwähnt wurde, sprechen wir $x \leq y$ als «$x$ ist kleiner gleich $y$» aus. Wir definieren für $x,y\in \mathbb {R}$ auch $y \geq x$ durch $x \leq y$ und sprechen dies als «$y$ ist grösser gleich $x$» aus. Weiter definieren wir $x kleiner als [latex]y$» oder «$x$ ist echt kleiner als $y$» ) durch $x \leq y \wedge x \neq y$. Natürlich definieren wir $x > y$ durch $y grösser als [latex]y$» oder «$x$ ist echt grösser als $y$» . Wir verwenden diese Symbole oft auch in «gleich gerichteten Ketten» ; beispielsweise steht $x \leq ypositiv, falls [latex]x>0$ gilt, und negativ, falls $xnichtnegativ falls [latex]x\geq 0$, beziehungsweise nichtpositiv falls $x\leq 0$.

nach der multiplikativen Kompatibilität in Axiom () und Übungen 2.5 und .

Für $x,y\in \mathbb {R}$ impliziert $0 Wir behaupten zuerst, dass [latex]x^{-1} > 0$ ($y^{-1} > 0$ folgt analog). Denn falls nicht, dann wäre wegen der Trichotomie in Folgerung () und Folgerung () $x^{-1} 0$ und es gilt
$\begin{aligned}[]y^{-1} = x x^{-1} y^{-1} \leq y x^{-1} y^{-1} = x^{-1}.\end{aligned}$

Falls $0 \leq x \leq y$ und $0 \leq z \leq w$ für $x,y,z,w \in \mathbb {R}$, dann gilt auch $0 \leq x z \leq y w$ (siehe Übung 2.9).
In einer Ungleichung der Form $x + y \leq x +z$ für $x,y,z \in \mathbb {R}$ darf man $x$ streichen, das heisst, $y \leq z$ folgern (siehe Übung 2.9).
In einer Ungleichung der Form $x y \leq x z$ für $x,y,z\in \mathbb {R}$ darf man $x$ streichen, das heisst, $y \leq z$ folgern, wenn $x > 0$ ist (siehe Übung 2.9).

Obige Axiome, Folgerungen und Aussagen in den Übungen stellen die üblichen Eigenschaften für Ungleichungen dar. Mit Hilfe dieser können wir auch Aufgaben wie in folgender Übung lösen.

Falls ein Körper (der ja per Definition die Axiome (1)-() erfüllt) eine Relation $\leq$ besitzt, die auch die Axiome ()-() erfüllt, dann nennen wir den Körper mit der Relation einen angeordneten (oder geordneten) Körper.

2.1.3 – Das Vollständigkeitsaxiom

Für die Analysis sind die Axiome (1)-() noch nicht ausreichend; Grund dafür ist, dass man vorerst noch zu viele «Lücken» in $\mathbb {R}$ haben könnte. Wir benötigen also noch ein weiteres Axiom. Gewissermassen hat die Suche nach diesem Axiom mit den Arbeiten der Griechen wie Pythagoras, Euklid und Archimedes begonnen, doch wurde sie erst im 19. Jahrhundert in den Arbeiten zahlreicher Mathematiker, darunter Weierstrass, Heine, Cantor und Dedekind, erfolgreich (siehe auch diesen Link).

Wie wir in Kürze besprechen wollen, ist dieses Axiom trotzdem relativ leicht vorstellbar und wie wir im Laufe des Jahres sehen werden, ist es Grundlage für die ganze Analysis.

Wenn $\mathbb {R}$ die Axiome (1)–() erfüllt, dann sprechen wir auch von einem vollständig angeordneten Körper. Wir werden uns die reellen Zahlen häufig als die Punkte auf einer Geraden vorstellen, wobei wir deswegen die Gerade auch die Zahlengerade nennen.

Die Relation [latex]x 1 > 0[/latex], $3 = 2 + 1 > 2$ und so weiter – siehe auch den Abschnitt 2.2.

Was bedeutet in diesem Bild das Vollständigkeitsaxiom? Seien $X,Y$ nicht-leere Teilmengen von $\mathbb {R}$, so dass für alle $x \in X$ und alle $y \in Y$ die Ungleichung $x \leq y$ gilt. Dann sind alle Elemente von $X$ links von allen Elementen von $Y$ wie im nachfolgenden Bild.

Nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert also ein $c$, das dazwischen liegt. Die Existenz der Zahl $c$ ist gewissermassen eine Versicherung, dass $\mathbb {R}$ keine «Lücken» hat.

Es ist gut, sich die obigen Axiome und Folgerungen, aber auch alle folgenden Lemmata, Propositionen, Sätze, Theoreme und deren Beweise auf der Zahlengeraden zu veranschaulichen. Doch sollte die Zahlengerade als Motivation und zur Entwicklung einer guten Intuition, aber nicht für die Beweisführung verwendet werden.

2.1.4 – Eine erste Anwendung der Vollständigkeit

Wir schliessen diesen Abschnitt indem wir als eine Anwendung des Vollständigkeitsaxioms die Wurzelfunktion auf $\mathbb {R}_{\geq 0}=\{ x\in \mathbb {R}: x\geq 0\}$ einführen.

2.1.5 – Verwendung der reellen Zahlen und der Axiome

Zusammenfassend gilt, dass die Körperaxiome der reellen Zahlen die üblichen Rechenregeln und Gleichungsumformungen erlauben, wobei (wie gewohnt) Division mit Null nicht gestattet ist. Des Weiteren erfüllen die Relationen $\leq$ und [latex](1)-(), die Folgerungen ()-() und die Aussagen in den Übungen) im Folgenden ohne Verweis verwenden. Das Vollständigkeitsaxiom (Axiom (16)) war bereits notwendig für den Beweis der Existenz einer Wurzelfunktion. Die wahre Bedeutung dieses Axioms werden wir hingegen erst sehen, wenn wir es für weitere Aussagen verwenden. Insbesondere werden wir bis auf Weiteres stets darauf verweisen, wenn wir es verwenden.

Wir werden häufig die Variablen $a,b,c,s,t,x,y$ verwenden um damit reelle Zahlen zu bezeichnen, werden aber im Sinne der Transparenz trotzdem immer «Sei $a\in \mathbb {R}$ …» oder ähnliches schreiben.

2.2 – Die natürlichen Zahlen

Da wir alle unsere Diskussionen auf den Axiomen der reellen Zahlen in Abschnitt 2.1 aufbauen werden, wollen wir jetzt die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen finden und die wichtigsten elementaren und geometrischen Eigenschaften dieser Zahlen beweisen.

2.2.1 – Definition der natürlichen Zahlen und vollständige Induktion

Beispielsweise ist $\mathbb {R}$ eine induktive Menge (gewissermassen die grösste solche). Die «kleinste» induktive Menge sollen die natürlichen Zahlen sein.

Aus der Definition folgt unmittelbar, dass $\mathbb {N}$ in jeder induktiven Teilmenge von $\mathbb {R}$ enthalten ist und dass $1 \in \mathbb {N}$, da jede induktive Teilmenge die Eins enthalten muss und $\mathbb {N}$ der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen ist. Des Weiteren können wir folgern, dass für alle $n \in \mathbb {N}$ die Ungleichung $n \geq 1$ gilt. In der Tat ist die Teilmenge $\left \lbrace {x \in \mathbb {R} } \mid {x \geq 1}\right \rbrace$ induktiv (überprüfen Sie dies) und enthält somit $\mathbb {N}$.

Wir können nun das Prinzip der vollständigen Induktion als Konsequenz unserer Definition der natürlichen Zahlen (und der Axiome der reellen Zahlen) beweisen.

Wir untersuchen nun weitere algebraische und geometrische Eigenschaften von $\mathbb {N}$. Die Bedeutung der folgenden Diskussionen liegt nicht so sehr in den behaupteten Aussagen, die anschaulich klar sind. Vielmehr zeigen Sie, dass unsere Axiome von $\mathbb {R}$ und unsere Definition von $\mathbb {N}$ auch in der Lage sind, diese natürlichsten Eigenschaften von $\mathbb {N}$ zu beweisen, die wiederum Grundlage für die weiteren Diskussionen bilden.

Nachdem wir im letzten Lemma einige algebraische Fragen beantwortet haben, wollen wir uns nun geometrischen Fragen zuwenden. Da $\mathbb {N}$ induktiv ist, sind $1$ und $2=1+1$ in $\mathbb {N}$. Gibt es eine natürliche Zahl zwischen $1$ und $2$? Die negative Antwort zu dieser Frage ist in allgemeinerer Form in folgendem Lemma enthalten.

Wie bereits im Abschnitt 1.6.3 kurz erwähnt haben, gibt es mehrere Versionen der vollständigen Induktion.

Die vollständige Induktion in der Version von Satz 2.20 erlaubt uns im Induktionsschritt statt der Annahme, dass die Aussage bloss für die vorhergehende natürliche Zahl gilt, die stärkere Annahme, dass die Aussage bereits für alle echt kleineren natürlichen Zahlen gilt, zu verwenden.

Wir bemerken, dass man die Induktion auch verwenden kann, um zum Beispiel für ein vorgebenes $n_0\in \mathbb {N}$ eine Aussage für alle natürliche Zahlen $n \geq n_0$ zu zeigen. In diesem Fall würde man als Induktionsanfang die Aussage für $n=n_0$ beweisen und im Induktionsschritt für eine natürliche Zahl $n \geq n_0$ annehmen.

Die Existenz eines kleinsten Elements zu jeder nicht-leeren Teilmenge ist etwas, was die natürlichen Zahlen auszeichnet und beispielsweise von den reellen Zahlen nicht erfüllt ist. Die Teilmenge der positiven Zahlen $\left \lbrace {x \in \mathbb {R}} \mid {x > 0}\right \rbrace$ oder $\mathbb {R}$ selbst sind konkrete Beispiele von Teilmengen, die kein kleinstes Element haben. (Wieso?

)

Wir definieren die nicht-negativen ganzen Zahlen als $\mathbb {N}_0 = \mathbb {N} \sqcup \left \lbrace {0} \right \rbrace$. Diese stellen auf natürliche Weise die Kardinalitäten der endlichen Mengen dar, wobei die natürlichen Zahlen die Kardinalitäten der endlichen, nicht-leeren Mengen darstellen. Summen und Produkte sind in diesem Zusammenhang auch wichtig:

2.2.2 – Die ganzen Zahlen

Die ganzen Zahlen sind als Teilmenge von $\mathbb {R}$ durch

definiert.

2.2.3 – Die rationalen Zahlen

Die rationalen Zahlen sind definiert als die Teilmenge von Quotienten

Eine reelle Zahl $x \in \mathbb {R}$ heisst irrational, falls $x\not \in \mathbb {Q}$. An dieser Stelle könnte man sich fragen, ob es überhaupt irrationale Zahlen gibt und wenn ja, wieviele. Um die erste Frage zu beantworten, werden wir die Wurzelfunktion (siehe Übungen 2.12) verwenden, mit welcher man aus rationalen Zahlen irrationale konstruieren kann.

Man kann Lemma 2.31 als einen Grund sehen, wieso es nicht ausreichend ist, nur rationale Zahlen zu betrachten. Eine visuelle Veranschaulichung des folgenden Beweises des Lemmas findet sich in diesem Video.

Wir werden im Abschnitt 2.6.4 zeigen, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind. Vergleicht man diese Tatsache mit Übung 2.30, so kommt man zum Schluss, dass es viel mehr irrationale als rationale Zahlen gibt.

2.2.4 – Division mit Rest und Anfänge der Zahlentheorie*

Wir wollen hier für Interessierte kurz andeuten, was Division mit Rest mit Begriffen wie Primzahlen, Primfaktorzerlegung, etc. zu tun hat. Da eine ausführliche Besprechung uns aber zu weit vom Thema Analysis ablenken würde, begnügen wir uns mit einer Skizze anhand einer Serie von Übungsaufgaben. Des Weiteren verweisen wir auf die Algebra $1$-Vorlesung im dritten Semester des Mathematikstudiums und das Buch ^[1]für mehr Details.

Wir sagen, dass eine Zahl $d\in \mathbb {Z}$ eine Zahl $n\in \mathbb {Z}$ teilt und schreiben $d|n$, falls es ein $q \in \mathbb {Z}$ gibt, so dass $qd = n$. Eine natürliche Zahl $p > 1$ ist prim oder eine Primzahl, falls für alle $a,b\in \mathbb {N}$ die Implikation $p|ab \implies (p|a \vee p|b)$ zutrifft. Eine natürliche Zahl $p > 1$ heisst irreduzibel, falls sie nicht als Produkt $p = ab$ für $a,b\in \mathbb {N}$ mit $a>1$ und $b>1$ geschrieben werden kann (das heisst, ausser $1$ und $p$ keine Teiler hat). Wir haben bereits in einer Übung in Abschnitt 1.7.7 gesehen, dass wir jede Zahl $n \in \mathbb {N}$ als ein Produkt von irreduziblen Zahlen darstellen können. (Die für den Beweis dieser Übung notwendige Form der vollständigen Induktion haben wir inzwischen in der Form von Satz 2.20 nachgeliefert.) Aber wie zeigt man, dass diese Produktzerlegung (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig bestimmt ist?

Unter Verwendung der Tatsache, dass irreduzible Zahlen prim sind (und umgekehrt), lässt es sich etwas einfacher zeigen, dass die Wurzel aus $2$ (oder jeder anderen Primzahl) irrational ist. Wir überlassen das wiederum als Übung (siehe auch dieses Lied).

Wir möchten an dieser Stelle noch kurz erwähnen, dass vielleicht überraschenderweise die tiefgreifende Untersuchung von Primzahlen viele Methoden der Analysis (und auf jeden Fall alle Methoden dieser Analysis-Vorlesung) voraussetzt. Für eine Andeutung dieser Tatsache und einen historischen Exkurs verweisen wir auf den Podcast der BBC.

2.2.5 – Verwendung der ganzen Zahlen und deren Eigenschaften

Die algebraischen und geometrischen Aussagen in diesem Abschnitt über die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen stellen bloss die Standardeigenschaften dieser Zahlen dar. Deswegen werden wir die oben bewiesenen Lemmata und Sätze im Folgenden meist ohne Referenz verwenden. Dies gilt ebenso für die vollständige Induktion in Satz 2.16.

Wir werden im Abschnitt 2.6.1 zwei weitere grundlegende Eigenschaften von $\mathbb {Z}$ respektive $\mathbb {Q}$ beweisen, die die Geometrie von $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {Q}$ als Teilmengen von $\mathbb {R}$ beschreiben.

Wir werden oft die Variablen $j,k,\ell ,m,n$ für natürliche oder ganze Zahlen verwenden. Weiters verwenden wir meist die Variable $r$ für rationale Zahlen.

2.3 – Die komplexen Zahlen

Unter Verwendung der reellen Zahlen können wir die Menge der komplexen Zahlen als

definieren. Wir schreiben ein Element $z = (x,y) \in \mathbb {C}$ viel häufiger in der Form $z = x+y\mathrm {i}$, wobei das Symbol $\mathrm {i}$ als die imaginäre Einheit bezeichnet wird. Man beachte, dass bei dieser Identifikation $+$ vorerst als Ersatz für das Komma zu verstehen ist. Die Zahl $x \in \mathbb {R}$ wird als der Realteil von $z$ bezeichnet und man schreibt $x = \operatorname {Re}(z)$; die Zahl $y = \operatorname {Im}(z) \in \mathbb {R}$ ist der Imaginärteil von $z$. Die Elemente von $\mathbb {C}$ mit Imaginärteil $0$ bezeichnet man auch als reell und die Elemente mit Realteil $0$ als rein imaginär. Via der injektiven Abbildung $x\in \mathbb {R} \mapsto x+0\mathrm {i} \in \mathbb {C}$ identifizieren wir $\mathbb {R}$ mit der Teilmenge der reellen Elemente von $\mathbb {C}$ (der «$x$-Achse» ).

Die Menge $\mathbb {C}$ (inklusive deren graphische Darstellung wie oben) wird ganz im Sinne der Identifikation $\mathbb {C} = \mathbb {R}^2$ auch komplexe Ebene (alternativ Gausssche Zahlenebene oder auch Argand-Ebene) genannt. In der geometrischen Denkweise wird die Menge der reellen Punkte als die reelle Achse und die Menge der rein imaginären Punkte als die imaginäre Achse bezeichnet.

Wie Sie vielleicht schon erwartet haben, soll $\mathrm {i}$ eine Wurzel von $-1$ sein. Formal ausgedrückt, wollen wir, dass $\mathbb {C}$ einen Körper darstellt, in dem die Rechenoperationen von $\mathbb {R}$ «verallgemeinert» werden, und dass $\mathrm {i}^2 = \mathrm {i} \cdot \mathrm {i} = -1$ gilt. Die Addition auf $\mathbb {C}$ definieren wir «komponentenweise» durch

für $x_1,x_2,y_1,y_2 \in \mathbb {R}$. Die Multiplikation auf $\mathbb {C}$ definieren wir hingegen durch

für $x_1,x_2,y_1,y_2 \in \mathbb {R}$. Insbesondere gilt $(0+1 \mathrm {i})^2 = -1+0\mathrm {i}$ und die Addition und Multiplikation auf $\mathbb {C}$ erweitern die entsprechenden Operationen auf $\mathbb {R}$.

Für die Geschichte der komplexen Zahlen verweisen wir auf den Podcast der BBC (zum Beispiel ab der 14. oder 20. Minute).

Wie schon zuvor angedeutet, wollen wir $\mathbb {R}$ als eine Teilmenge von $\mathbb {C}$ auffassen. Vielmehr nennt man $\mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$ auch einen Unterkörper, da Addition und Multiplikation auf $\mathbb {C}$ eingeschränkt auf $\mathbb {R}$ die Addition und Multiplikation auf $\mathbb {R}$ ergeben. Wir werden deswegen von nun an für alle $x\in \mathbb {R}$ kürzer $x = x+0\mathrm {i}$ und $x\mathrm {i} = 0+x\mathrm {i}$ schreiben. Insbesondere wollen wir auch $1 = 1+0\mathrm {i}$, $0 = 0+0\mathrm {i}$ und $\mathrm {i} = 0+1\mathrm {i}$ schreiben. Per Definition der Multiplikation gilt nun $\mathrm {i}^2 = -1$ wie gewünscht.

Wir wollen ebenso bemerken, dass die komplexen Zahlen keinen angeordneten Körper bilden — unabhängig davon, welche Ordnung man auf $\mathbb {C}$ wählt. Angenommen es gäbe eine Ordnung $\leq _\mathbb {C}$, so dass $\mathbb {C}$ mit $\leq _\mathbb {C}$ ein angeordneter Körper ist. In einem angeordneten Körper sollte [latex]-1 <_ gelten was aber _ widerspricht abschnitt href="https://wp-prd.let.ethz.ch/WP0-CIPRF9693/chapter/die-reellen-zahlen/#section:real-axiome_von_R">2.1).

An dieser Stelle möchten wir uns kurz fragen, wieso die komplexen Zahlen überhaupt von Interesse sind. Während eine der schönen Eigenschaften der reellen Zahlen deren vollständige Ordnung ist, so zeichnen sich die komplexen Zahlen unter anderem durch algebraische Schön­heit aus. Auf $\mathbb {C}$ hat nicht nur die Gleichung $x^2+1=0$ eine Lösung, sondern auch jede andere Gleichung der Form $a_nx^n + ...+a_1x+a_0 = 0$ für $n \in \mathbb {N}$ und $a_0,a_1,...,a_n \in \mathbb {C}$ mit $a_n \neq 0$ und $n>0$. Diese Tatsache («$\mathbb {C}$ ist algebraisch abgeschlossen» ) ist Inhalt des sogenannten Fundamentalsatzes der Algebra, den wir im zweiten Semester beweisen werden. Intuitiv sollte man in Analogie zu «$\mathbb {R}$ ist vollständig, da $\mathbb {R}$ keine Lücken hat» den Fundamentalsatz der Algebra lesen als «$\mathbb {C}$ hat algebraisch keine Lücken» .

Zum Abschluss dieses ersten Exkurses in das Reich der komplexen Zahlen wollen wir die komplexe Konjugation definieren. Diese ist im Wesentlichen nichts anderes als eine Spiegelung um die reelle Zahlengerade (und wird zum Beispiel in der Linearen Algebra in der Untersuchung von komplexen inneren Produkten unentbehrlich sein).

Im Beweis von Proposition 2.34 wurde die komplexe Konjugation indirekt schon verwendet: die multiplikative Inverse eines von Null verschiedenen Elements $x+y\mathrm {i} \in \mathbb {C}$ ist

Wie schon angemerkt wurde, gelten die Folgerungen ()-() in Abschnitt 2.1.1 für alle Körper und insbesondere auch für $\mathbb {C}$.

2.3.1 – Verwendung der komplexen Zahlen

Unsere Konstruktion von $\mathbb {C}$ aus $\mathbb {R}$ mag etwas formal gewesen sein, doch muss man sich eigentlich nur merken, dass $\mathrm {i}^2=-1$ und sonst alle gewöhnlichen Eigenschaften für die Addition und Multiplikation gelten. Sogar die Formel für das multiplikative Inverse von $z\in \mathbb {C}$ muss man nicht auswendig lernen wenn man sich stattdessen merkt, dass man den Bruch $\frac 1z$ mit dem konjugierten Element $\overline {z}$ erweitert. Sie werden der komplexen Konjugation noch öfter und insbesondere in der Linearen Algebra-Vorlesung in der Diskussion von «inneren Produkten auf Vektorräumen über $\mathbb {C}$» begegnen. Wir bemerken noch, dass wir manchmal die Variable $i$ (zum Beispiel als Indexvariable) verwenden werden. Man sollte dies allerdings vermeiden, wenn gleichzeitig komplexen Zahlen eine wesentliche Rolle in der Diskussion spielen.

Wir verwenden häufig die Variablen $z$ und $w$ für Elemente der komplexen Zahlen.

2.4 – Intervalle und der Absolutbetrag

2.4.1 – Intervalle

Wie bereits erwähnt, stellen wir $\mathbb {R}$ als die Zahlengerade dar. In diesem Bild entsprechen folgende Teilmengen Strecken auf dieser Geraden, wobei wir vier Möglichkeiten haben, je nachdem, ob man die Endpunkte in der Teilmenge haben will oder nicht.

Wir möchten an dieser Stelle anmerken, dass beispielsweise die Intervalle $(a,b],[a,b),(a,b)$ für $a,b\in \mathbb {R}$ nicht-leer sind genau dann, wenn [latex]a endliche oder beschränkte Intervalle genannt, wenn wir sie von folgenden Intervallen unterscheiden wollen.

Statt runden Klammern werden manchmal auch umgedrehte eckige Klammern verwendet, um offene und halboffene Intervalle zu bezeichnen. Zum Beispiel findet man anstelle von $(a,b)$ für $a,b\in \mathbb {R}$ oft auch $]a,b[$ in der Literatur. Wir werden hier stets runde Klammern verwenden.

Der folgende Begriff wird für uns später sehr bedeutsam sein.

Beispielsweise wäre also $\mathbb {Q} \cup [-1,1]$ eine Umgebung von $0 \in \mathbb {R}$. Falls ein $y \in \mathbb {R}$ in einer $\delta$-Umgebung eines Punktes $x\in \mathbb {R}$ liegt für ein «kleines» $\delta >0$, so sagt man auch, dass $y$ «$\delta$-nahe» an $x$ ist.

2.4.2 – Der Absolutbetrag auf den reellen Zahlen

Wir betrachten zuerst einige Konsequenzen dieser Definition.

Für alle $x \in \mathbb {R}$ gilt $x = \operatorname {sgn}(x)|x|$, wobei $\operatorname {sgn}(x)$ das Vorzeichen (oder Signum) von $x$ ist, welches durch

definiert ist. Das Vorzeichen einer Zahlen ist also genau dann $1$ (respektive $-1$), wenn die Zahl positiv (respektive negativ) ist. Die Zahl $0$ ist weder positiv noch negativ und deswegen weist man ihr das «Vorzeichen Null» zu.

Wir bemerken noch, dass für $\delta > 0$ und $x \in \mathbb {R}$ die $\delta$-Umgebung von $x$ (siehe Definition 2.44) durch [latex]\left \lbrace {y \in \mathbb {R}} \mid {|x-y| Abstand von $x$ zu $y$ interpretieren. Im Sinne des Wortes «Abstand» kann man ein paar der obigen Folgerungen neu intuitiver ausdrücken. Zum Beispiel besagt (b), dass für $x,y\in \mathbb {R}$ die Gleichheit $|x-y |= |y-x|$ erfüllt ist, was also bedeutet, dass der Abstand von $x$ zu $y$ dem Abstand von $y$ zu $x$ gleich ist (wie man sich wünschen könnte). Des Weiteren werden Umgebungen einer reellen Zahl $x\in \mathbb {R}$ auch Nachbarschaften von $x$ genannt.

Intuitiv ausgedrückt ist eine Teilmenge offen, wenn für jeden Punkt $x$ in der Menge alle Punkte, die nahe genug an $x$ sind, wieder in der Menge liegen. Wir kennen bereits Beispiele von offenen Mengen:

2.4.3 – Der Absolutbetrag auf den komplexen Zahlen

Wir möchten nun den Absolutbetrag auf $\mathbb {C}$ so definieren, so dass dieser möglichst viele Eigenschaften des Absolutbetrags auf $\mathbb {R}$ hat und mit diesem kompatibel ist. Wir verwenden dazu die Wurzelfunktion, die in Übung 2.12 eingeführt wurde.

An dieser Stelle bemerken wir, dass für $z=x+y\mathrm {i} \in \mathbb {C}$ die Summe der Quadrate $x^2+y^2$ gerade gleich $z \overline {z}$ ist, denn

Somit gilt für alle $z \in \mathbb {C}$

Des Weiteren möchten wir anmerken, dass für ein $x\in \mathbb {R}$ der zu Beginn von Abschnitt 2.4.2 definierte Absolutbetrag $|x|$ und der Absolutbetrag von $x$ als Element von $\mathbb {C}$ übereinstimmen, da $\sqrt {x\overline {x}} = \sqrt {x^2} = |x|$ (vergleiche Übung 2.48). Insbesondere ist die neu eingeführte Notation nicht widersprüchlich und wir haben den Absolutbetrag von $\mathbb {R}$ auf $\mathbb {C}$ erweitert.

Wir fassen nun einige Eigenschaften des Absolutbetrags auf $\mathbb {C}$ zusammen:

Genauso wie auf $\mathbb {R}$ wollen wir mit Hilfe des Absolutbetrags den Abstand zweier Punkte $z,w\in \mathbb {C}$ als die nicht-negative Zahl $|z-w|$ auffassen. Wir bemerken noch, dass Definition 2.52 dem Satz von Pythagoras (siehe die entsprechende Übung in Abschnitt 1.7.6) entspricht. Doch haben wir dies als Definition des Absolutbetrages von $z=x+y\mathrm {i}$ gewählt, womit es (abgesehen von obigen Eigenschaften) nichts zu beweisen gibt.

Wie vorhin lässt sich mit Hilfe des Absolutbetrags ein Begriff von Offen- und Abgeschlossenheit einführen. Für die Definition von offenen Mengen in $\mathbb {R}$ wurden die symmetrisch um einen zuvor fixierten Punkt liegenden offenen Intervalle verwendet. In Analogie dazu definieren wir folgende Teilmengen von $\mathbb {C}$.

Der offene Ball $B_r(z)$ zu $r>0$ und $z \in \mathbb {C}$ besteht also gerade aus jenen Punkten, die Abstand (strikt) kleiner $r$ von $z$ haben. Offene Bälle in $\mathbb {C}$ und offene Intervalle in $\mathbb {R}$ sind in folgendem Sinne kompatibel: Ist $x\in \mathbb {R}$ und $r>0$, so ist der Schnitt des offenen Balles $B_r(x)\subseteq \mathbb {C}$ mit $\mathbb {R}$ gerade das offene, symmetrisch um $x$ liegende Intervall $(x-r,x+r)$ (wieso?).

Nach Übung 2.54 sind beispielsweise alle Bälle offen.

Es gibt, abgesehen von den offenen Bällen, noch viele weitere, offene Teilmengen von $\mathbb {C}$. Beispielsweise ist jede Vereinigung von offenen Teilmengen offen. Zum Studium der offenen Mengen und damit verwandten Begriffen werden wir in deutlicher grösserer Allgemeinheit im zweiten Semester zurückkehren. Insbesondere wollen wir uns hier noch nicht auf eine ausführliche Diskussion einlassen.

2.5 – Maximum und Supremum

2.5.1 – Maximum und Minimum

Wir dürfen in der Tat von dem Maximum einer Teilmenge $X \subseteq \mathbb {R}$ sprechen, da es durch die Definition eindeutig bestimmt ist. Denn falls $x_0,x_0'$ beide die Eigenschaften eines Maximums erfüllen, so folgt $x_0 \leq x_0'$ (weil $x_0 \in X$ und $x_0'$ ein Maximum ist) und $x_0' \leq x_0$ (weil $x_0' \in X$ und $x_0$ ein Maximum ist) und damit $x_0 = x_0'$.

Ein abgeschlossenes Intervall $[a,b]$ mit Endpunkten [latex]a

Des Weiteren kann $\mathbb {R}$ (oder auch Intervalle der Form $[a,\infty ),(a,\infty )$ für $a \in \mathbb {R}$) kein Maximum besitzen, da für beliebige $x \in \mathbb {R}$ die Ungleichung [latex]x

Die obige Diskussion lässt sich auf analoge Weise für das Minimum anwenden. Dieses ist also eindeutig bestimmt, muss aber nicht unbedingt existieren.

2.5.2 – Supremum und Infimum

Wie wir bereits bemerkt haben, hat zum Beispiel das Intervall $(0,1)$ kein Maximum. Es hat aber obere Schranken, $100$ ist ein Beispiel. Natürlich ist $100$ keine «gute» obere Schranke; $10$ oder auch $2$ oder $\frac {3}{2}$ sind kleinere also auch «bessere» obere Schranken. Die absolut beste obere Schranke ist aber durch $1$ gegeben. Denn nach Definition von $(0,1)$ ist $1$ sicherlich eine obere Schranke und für jede obere Schranke $s$ gilt $s \geq 1$. (Falls $s0$, $\frac {s+1}{2} \in (0,1)$ und [latex]s

Diese Gedanken führen gemeinsam mit dem Vollständigkeitsaxiom (Axiom () in Abschnitt 2.1) zu folgendem grundlegenden Begriff.

Um diesen wichtigen Begriff noch etwas genauer zu beleuchten, wollen wir vor dem Beweis noch ein paar Bemerkungen machen.

• Falls das Maximum $x_0 = \max (X)$ existiert, dann ist $x_0$ eine obere Schranke von $X$ und ist vielmehr auch die kleinste obere Schranke, also $\max (X) = \sup (X)$. Denn aus $x_0 \in X$ folgt $x_0 \leq s$ für jede obere Schranke $s$ von $X$.
• Wenn das Supremum $\sup (X)$ in $X$ liegt, dann ist $\sup (X) = \max (X)$, da das Supremum eine obere Schranke ist. Also ist das Supremum eine Verallgemeinerung des Maximums einer Menge.
• Die Formulierung «kleinste obere Schranke» ist natürlich ein Synonym für das Minimum der oberen Schranken und ist dadurch eindeutig bestimmt, falls es existiert.

Genauso wie auch andere Konsequenzen des Vollständigkeitsaxioms, die wir behandeln werden, ist die Existenz des Supremums in der Tat äquivalent zum Vollständigkeitsaxiom. In anderen Worten hätten wir anstelle von Axiom () einfach die Aussage von Satz 2.60 fordern können. Mehr dazu finden Sie im Abschnitt 2.8.2.

Für eine von unten beschränkte, nicht-leere Teilmenge $X \subseteq \mathbb {R}$ wird die grösste, untere Schranke auch das Infimum $\inf (X)$ von $X$ genannt. Für das Infimum gilt eine ähnliche Aussage wie in Satz 2.60:

Die in obiger Übung erschienene Notation lässt sich verallgemeinern. Sei $x \in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl und seien $A,B \subseteq \mathbb {R}$ zwei Teilmengen. Wir definieren

Es gelten also beispielsweise die Identitäten $x+ A = \left \lbrace {x} \right \rbrace +A$, $xA = \left \lbrace {x} \right \rbrace A$ für alle $x \in \mathbb {R}$ und $A \subseteq \mathbb {R}$. Auch gilt $[a,b]+[c,d] = [a+c,b+d]$ für $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ mit $a\leq b$ und $c \leq d$. (Wieso?)

Wir empfehlen Ihnen hier, sich die Aussage dieser (genauso wie der nächsten) Proposition zuerst am Begriff des Maximums zu veranschaulichen.

2.5.3 – Uneigentliche Werte, Suprema und Infima

In diesem Abschnitt wollen wir die Begriffe «Supremum» und «Infimum» auf beliebige Teilmengen von $\mathbb {R}$ erweitern (ohne die in Abschnitt 2.5.2 getroffenen Annahmen). Dazu verwenden wir die Symbole $\infty = + \infty$ und $-\infty$, die keine reellen Zahlen darstellen. Wir definieren die erweiterte Zahlengerade (die auch Zweipunktkompaktifizierung von $\mathbb {R}$ genannt wird) durch

und stellen uns diese als die Zahlengerade

vor. Hier haben wir den Punkt $+\infty$ rechts von $\mathbb {R}$ und den Punkt $-\infty$ links von $\mathbb {R}$ zu der Gerade hinzugefügt. Formaler formuliert: wir erweitern die Relation (Ordnung) $\leq$ auf $\overline {\mathbb {R}}$, so dass $-\infty \leq x \leq +\infty$ für alle $x \in \overline {\mathbb {R}}$ gilt, aber keine weiteren $\leq$-Relationen für die Symbole $-\infty ,+\infty$ erfüllt sind. Inbesondere schreiben wir auch [latex]-\infty

Das Maximum und das Minimum einer Teilmenge $X \subseteq \overline {\mathbb {R}}$ ist nun wie in Abschnitt 2.5.1 definiert (falls es existiert).

Falls $X \subseteq \mathbb {R}$ nicht von oben beschränkt ist, dann definieren wir $\sup (X) = +\infty$. Falls $X$ leer ist, setzen wir $\sup (\emptyset ) = -\infty$ (da jedes $x \in \mathbb {R}$ eine obere Schranke von $\emptyset$ darstellt). Analog definieren wir $\inf (\emptyset ) = +\infty$ und $\inf (X) = -\infty$, falls $X\subseteq \mathbb {R}$ nicht von unten beschränkt ist.

Folgende Übungen stellen natürliche Eigenschaften von Supremum und Infimum dar. Sie sollten mindestens eine dieser Übungen ausarbeiten. Betrachten Sie hierbei die Spezialfälle, die zu einem uneigentlichen Supremum oder Infimum führen, getrennt und gehen Sie anschliessend wie im Beweis von Proposition 2.64 vor.

Weiter definieren wir für die Übungen die «Rechenregeln»

für alle $x\in \mathbb {R}$ und

für alle $y>0$, wovon wir einen Teil verwenden werden. Die Ausdrücke $\infty -\infty$ und $0\cdot \infty$ oder ähnliche bleiben wohlgemerkt aber undefiniert.

2.5.4 – Verwendung des Supremums und des Infimums

Das Supremum ist eine natürliche und notwendige Verallgemeinerung des Maximums einer Menge, da letzteres sogar für beschränkte Intervalle nicht existieren muss. Das Supremum kann aber auch hilfreich sein in Situationen, wo das Maximum existiert. Denn falls man beweisen will, dass ein Maximum existiert, dann hat man mit dem Supremum den richtigen Kandidaten und kann den Beweis mit der Existenz des Supremums beginnen. Auf die gleiche Weise ist das Infimum einer Menge eine Verallgemeinerung des Minimums.

Es ist wichtig, dass Sie sich die charakterisierenden Eigenschaften des Supremums und Infimums einprägen, da diese Begriffe fundamentale Bausteine unserer zu entwickelnden Theorie sein werden. Zum Beispiel werden wir das Integral einer Funktion durch ein Supremum definieren (siehe Figur 1.2 und Kapitel 4).

2.6 – Konsequenzen der Vollständigkeit

Wir haben in Abschnitt 2.1 unter Verwendung des Vollständigkeitsaxiom die Wurzelfunktion eingeführt und in Abschnitt 2.5 bereits das Vollständigkeitsaxiom verwendet um die Existenz des Supremums zu beweisen. Letzteres kann aber auch bloss als eine Umformulierung des Vollständigkeitsaxiom betrachtet werden. In diesem Abschnitt werden wir eine bereits bekannte Fragestellung und einige weitere Themen betrachten und erkennen wie nützlich das Vollständigkeitsaxiom sein kann.

2.6.1 – Das Archimedische Prinzip

Mit Hilfe der Existenz des Supremums können wir nun das Archimedische Prinzip beweisen.

Wir können das Archimedische Prinzip beispielsweise verwenden, um folgende Funktionen zu definieren.

• Der ganzzahlige Anteil $\lfloor {x} \rfloor$ einer Zahl $x\in \mathbb {R}$ ist die nach Satz 2.69 eindeutig bestimmte ganze Zahl $n\in \mathbb {Z}$ mit [latex]n \leq x Abrundungsfunktion genannt wird.
• Der gebrochene Anteil (oder auch Nachkommaanteil) ist $\left \lbrace {x} \right \rbrace = x - \lfloor {x} \rfloor \in [0,1)$ und wir erhalten eine Funktion $x \in \mathbb {R} \mapsto \left \lbrace {x} \right \rbrace \in [0,1)$ mit $x=\lfloor {x} \rfloor +\left \lbrace {x} \right \rbrace$ für alle $x\in \mathbb {R}$.

Mit Hilfe des Archimedischen Prinzips können wir auch den geometrischen Zusammenhang zwischen $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {R}$ im folgenden Korollar beschreiben. (Ein Korollar ist eine Folgerung aus einer Proposition, einem Satz oder einem Theorem.)

Anders formuliert zeigt obiges Korollar, dass $\mathbb {Q}$ jede Umgebung $I$ einer reellen Zahl schneidet (das heisst, $I \cap \mathbb {Q} \neq \emptyset$), oder auch, dass wir jede reelle Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren können. Die Eigenschaft wird auch als $\mathbb {Q}$ ist dicht in $\mathbb {R}$ bezeichnet und wird uns später in einem allgemeineren Kontext wiederbegegnen.

2.6.2 – Häufungspunkte einer Menge

Wie oben bereits erwähnt, kann jeder Punkt in $\mathbb {R}$ durch Punkte in $\mathbb {Q}$ approximiert werden. Allgemeiner möchten wir nun zu einer Menge $A \subseteq \mathbb {R}$ jene Punkte betrachten, denen $A$ «von aussen» beliebig nahe kommt.

In anderen Worten gibt es für einen Häufungspunkt $x_0$ in jeder Umgebung abgesehen von $x_0$ Punkte in $A$ (wobei es keine Rolle spielt ob $x_0$ in $A$ liegt oder nicht). Die Menge $A$ kommt also ihren Häufungspunkten «von aussen» beliebig nahe.

Ebenso gibt es unendliche Mengen ohne Häufungspunkte. Zum Beispiel hat $A=\mathbb {Z}$ keine Häufungspunkte. In der Tat gibt es für $x_0\in \mathbb {Z}$ kein $n\in \mathbb {Z}$ mit [latex]02.19 und Übung 2.27). Des Weiteren ist für jedes $x_0\in \mathbb {R}\setminus \mathbb {Z}$ die Zahl $\varepsilon =\min \left \lbrace {x_0-\lfloor {x_0} \rfloor ,\lfloor {x_0} \rfloor +1-x_0} \right \rbrace$ positiv und erfüllt $|n-x_0|\geq \varepsilon$ für alle $n\in \mathbb {Z}$. Für beschränkte unendliche Mengen ist die Situation aber besser wie folgender Satz zeigt.

Abbildung 2.1 – Wir möchten in diesem Bild die Idee des Beweises von Satz 2.76 erläutern. Wir betrachten das «grösste» $x_0 \in \mathbb {R}$, für welches links von $x_0$ (im Bild in rot) nur endliche viele Punkte von $A$ (im Bild in grün) liegen. Um genau zu sein, muss ein solches $x_0$ nicht existieren, weswegen wir $x_0$ als das Supremum über alle $x$ mit dieser Eigenschaft nehmen. Schiebt man dieses $x_0$ nun um ein kleines $\varepsilon >0$ nach rechts auf $x_0+\varepsilon$, so müssen unendlich viele Elemente von $A$ links von $x_0+\varepsilon$ liegen. Umgekehrt kann man $x_0$ etwas nach links nach $x_0-\varepsilon$ schieben, womit nur endlich viele Elemente von $A$ links von $x_0-\varepsilon$ liegen können. Also befinden sich unendlich viele Elemente von $A$ zwischen $x_0-\varepsilon$ und $x_0+\varepsilon$. Da aber $\varepsilon$ beliebig war, muss $x_0$ ein Häufungspunkt von $A$ sein.

Insbesondere erkennen wir im Beweis eine stärkere Aussage für den gefundenen Häufungspunkt $x_0$ der Menge $A$, nämlich dass für alle $\varepsilon >0$ der Durchschnitt $A\cap (x_0-\varepsilon ,x_0+\varepsilon )$ unendlich ist. Dies stellt eine alternative Definition des Begriffs dar.

Die Existenz eines Häufungspunkt in Satz 2.76 kann man als ein Schubfachprinzip der Analysis auffassen: Anstatt einer echten Übereinstimmung wie im regulären Schubfachprinzip für endliche Mengen (wie in Abschnitt 1.6.4) erlauben wir näherungsweise Übereinstimmungen wie in der Definition eines Häufungspunktes und haben einen Punkt gefunden mit dem unendlich viele Punkte der Menge «fast übereinstimmen» . Wir werden noch andere Sätze kennenlernen, bei denen ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall ähnliche Eigenschaften wie eine endliche Menge haben wird.

2.6.3 – Intervallschachtelungsprinzip

Der Durchschnitt von ineinander geschachtelten, nicht-leeren Intervallen, das heisst, Intervallen $I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3\subseteq \cdots$ in $\mathbb {R}$, die kleiner werden, muss nicht unbedingt nicht-leer sein. Zum Beispiel gilt

auf Grund des Archimedischen Prinzip in Satz 2.69. Für abgeschlossene und beschränkte Intervalle ist die Situation aber deutlich besser. Dies ist nochmals eine Konsequenz des Vollständig­keitsaxioms.

Sollte die Aussage verwirrend sein, überzeugen Sie sich doch zuerst davon, dass

für beliebige $a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb {R}$ gilt.

2.6.4 – Überabzählbarkeit

In diesem Teilabschnitt möchten wir eine klassische Anwendung des Intervallschachtelungsprinzips präsentieren, nämlich den Beweis für die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen.

2.6.5 – Die Cantor-Menge*

Wir definieren rekursiv Teilmengen des Intervalles $[0,1]$ durch

für $n \in \mathbb {N}_0$. Beispielsweise gilt also

Ziel dieses Teilabschnitts ist es, die Cantor-Menge und ihre schönen «fraktalen» Eigenschaften auszukundschaften. Dazu wollen wir zuerst die Mengen $C_n$ besser verstehen. Grob gesagt wollen wir die für folgendes Bild notwendigen Aussagen treffen:

und also $C_{n+2} \subseteq C_{n+1}$. Somit folgt die Aussage per vollständiger Induktion.

(Disjunktheit) Die Mengen $\frac {1}{3} C_n$ und $\left (\frac {1}{3} C_n+\frac {2}{3}\right )$ sind disjunkt für jedes $n\in \mathbb {N}_0$. Insbesondere gilt $C_{n+1} = \frac {1}{3} C_n \sqcup \left (\frac {1}{3} C_n+\frac {2}{3}\right )$ für jedes $n\in \mathbb {N}_0$. Bei genauerer Betrachtung sieht man sogar, dass $\frac {1}{3} C_n$ in $[0,\frac {1}{3}]$ und $\left (\frac {1}{3} C_n+\frac {2}{3}\right )$ in $[\frac {2}{3},1]$ liegt. Dies impliziert die behauptete Disjunktheit und folgt sofort aus $C_n \subseteq [0,1]$.
(Zerlegung in Intervalle) Für $n\in \mathbb {N}_0$ besteht $C_{n+1}$ aus genau doppelt so vielen disjunkten, abgeschlossenen Intervallen wie $C_n$. Dies folgt aus (ii).
(Von der Zerlegung von $C_n$ zur Zerlegung von $C_{n+1}$) Sei $I$ eines der Intervalle in der Zerlegung von $C_n$ und schreibe $I = [a,b]$. Dann sind $\bigl [a,a+\frac {b-a}{3}\bigr ]$ und $\bigl [b-\frac {b-a}{3},b\bigr ]$ zwei Intervalle in der Zerlegung von $C_{n+1}$ und

Insbesondere ist die Länge eines Intervalles in $C_{n+1}$ ein Drittel der Länge eines Intervalles in $C_n$. Für $n=0$ (und auch $n=1$) haben wir dies bereits direkt nachgerechnet. Wenn dies bereits für $C_n$ und $C_{n+1}$ bekannt ist, dann gilt die Aussage auch für die verkleinerten Versionen $\frac 13C_{n+1}\subseteq \frac 13C_{n}$ und $(\frac 13C_{n+1}+\frac 23)\subseteq (\frac 13C_{n}+\frac 23)$, was wiederum die Aussage für $C_{n+1}$ und $C_{n+2}$ ergibt.

Wir wenden uns nun der Cantor-Menge $C$ zu. Wir möchten einem Punkt in $C$ eine Art «Adresse» zuweisen. Dazu definieren wir rekursiv die Adresse eines Punktes $x\in C$ wie folgt. Setze

Wir weisen $x$ also die erste Adresse $\mathrm {l}$ zu, falls $x$ im linken Drittel von $[0,1]$ liegt und $\mathrm {r}$, falls $x$ im rechten Drittel von $[0,1]$ liegt. Kennen wir die erste Adresse $a_1(x)$ von $x$, so ist $I_1(x)$ das entsprechende Intervall, in dem $x$ liegt. Wir fahren genauso fort: Die zweite Adresse von $x$ ist definiert durch

Des Weiteren ist $I_2(x)$ das linke Drittel von $I_1(x)$, wenn $a_2(x) = \mathrm {l}$, und sonst das rechte Drittel. Genauso fährt man fort, um für jedes $k \in \mathbb {N}_0$ die $k$-te Adresse $a_k(x)$ von $x$ zu erhalten. Wir erhalten somit eine Liste von Adressen oder genauer eine Abbildung

Die Menge der Abbildung $\mathbb {N}_0 \to \left \lbrace {\mathrm {l},\mathrm {r}} \right \rbrace$ schreiben wir als $\left \lbrace {\mathrm {l},\mathrm {r}} \right \rbrace ^{\mathbb {N}_0}$. Unter dem Strich haben wir also die Funktion

konstruiert, die einem Element in der Cantor-Menge ihre Adressen zuweist. Folgende Beschreibung der Cantor-Menge folgt aus dem Intervallschachtelungsprinzip (Satz 2.78).

Wir bemerken, dass die letzte Bijektion in obigen Satz auf Grund von Übung 1.76 gilt und die Überabzählbarkeit daher aus Cantor’s Diagonalargument (Theorem 1.74) folgt.

Wir stellen die Cantor-Menge im folgenden Applet dar und werden sie einige Male am Rande für weitere «fraktale» Konstruktionen verwenden. Unser Hauptinteresse wird aber bei «glatten» Objekten und weniger bei derartigen «fraktalen» Objekten liegen.

2.7 – Modelle und Eindeutigkeit der Menge der reellen Zahlen*

Wir wollen in diesem Abschnitt andeuten, warum die Axiome der reellen Zahlen die reellen Zahlen im Wesentlichen eindeutig festlegen. Damit dürfen wir ohne Weiteres eine beliebige Version der reellen Zahlen betrachten oder je nach Zusammenhang auch verschiedene Vorstellungen von reellen Zahlen haben. Zuerst wollen wir aber einige mögliche Modelle der reellen Zahlen ansprechen.

2.7.1 – Ebene Geometrie und die Zahlengerade

Falls wir von der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ausgehen, so können wir $\mathbb {R}$ definieren indem wir eine Gerade $g$ in der Ebene gemeinsam mit zwei verschiedenen ausgezeichneten Punkten $P_0,P_1\in g$ auswählen. Addition und Multiplikation wird dann mit geometrischen Konstruktionen (siehe folgendes Applet) so definiert, dass in $\mathbb {R}=g$ die Punkte $P_0$ und $P_1$ die Rolle von $0$ und $1$ in $\mathbb {R}$ übernehmen.

2.7.2 – Dezimalbrüche

Eine übliche Vorstellung der reellen Zahlen wird durch (im Allgemeinen nicht abbrechenden und vorzeichenbehafteten) Dezimalbrüche gegeben. Die Addition und Multiplikation von Dezimalbrüchen sind durch die bekannten Algorithmen gegeben. Allerdings muss die formale Beschreibung dieser Algorithmen auch nicht abbrechende Dezimalbrüche erlauben und die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ müssen in diesem Zusammenhang als Quotientenraum von der Menge der Dezimalbrüche modulo einer Äquivalenzrelation definiert werden. Denn zum Beispiel stellen $1.00\ldots$ und $0.99\ldots$ dieselbe reelle Zahl dar, und es gibt unendlich viele reelle Zahlen mit zwei Dezimalbruchentwicklungen. Daher muss vor Besprechung der Axiome diese Äquivalenzrelation genau definiert werden und auch gezeigt werden, dass die Algorithmen wohldefinierte Abbildungen auf dem Quotientenraum $\mathbb {R}$ definieren.

Insgesamt ist die korrekte Konstruktion mit dieser Methode überraschend aufwendig. Des Weiteren gibt es keinen guten Grund nur Dezimalbrüche zu betrachten und nicht auch andere Basen zu erlauben (zum Beispiel Binärdarstellungen von Zahlen). Letzteres wirft aber die Frage auf, ob denn vielleicht manche Eigenschaften der reellen Zahlen davon abhängen, ob man 10 Symbole oder eine andere Anzahl verwendet. Die Eindeutigkeit der reellen Zahlen verneint diese Frage. Wir werden auf Dezimalbruchentwicklungen im Kapitel 6 nochmals zu sprechen kommen.

2.7.3 – Dedekind-Schnitte

Formal einfacher ist die Konstruktion der reellen Zahlen ausgehend von den rationalen Zahlen durch sogenannte Dedekind-Schnitte, welche nach dem deutschen Mathematiker Dedekind (1831-1916) benannt sind. Hier definiert man $\mathbb {R}$ als die Familie aller von oben beschränkten Teilmengen $A\subseteq \mathbb {Q}$ ohne Maximum, welche die Eigenschaft

erfüllen (Strahlen in $\mathbb {Q}$). Der Hinweis, warum dies funktionieren sollte, ist in Übung 2.72 enthalten. Die rationale Zahl $r\in \mathbb {Q}$ identifiziert man mit der Teilmenge [latex]\left \lbrace {s\in \mathbb {Q}} \mid {s2.64 erklärt, warum die Definition der Summe von «den Zahlen» $A$ und $B$ durch $A+B=\left \lbrace {a+b} \mid {a\in A,b\in B}\right \rbrace$ gegeben ist. Die Definition der Multiplikation erfordert das Betrachten mehrerer Fälle und ist etwas aufwendiger (siehe auch Übung 2.67).

2.7.4 – Vervollständigung der rationalen Zahlen

Es gibt eine wichtige Methode, wie man ausgehend von einem Raum mit einer Abstandsfunktion (einem sogenannten «metrischen Raum» ) einen grösseren «vollständigen Raum» definieren kann. Dies erfordert etwas mehr Theorie, die wir im Laufe des ersten Semesters besprechen werden, kann auch auf die Menge $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen angewendet werden und liefert in diesem Fall eine Konstruktion der reellen Zahlen $\mathbb {R}$. Auch hier wird $\mathbb {R}$ als Quotientenraum einer grösseren Menge modulo einer Äquivalenzrelation definiert. Wir werden diesen Existenzbeweis später ausführlich besprechen.

2.7.5 – Definition mittels Steigungen

Der schweizer Mathematiker A’Campo (geb. 1941) hat in diesem Jahrhundert (2003) eine weitere kuriose Konstruktion gefunden (siehe ^[2]). Für dies nennen wir eine Abbildung $f:\mathbb {Z}\to ~\mathbb {Z}$ quasi-linear, falls sie die Eigenschaft

hat. Wir bezeichnen die Menge der quasi-linearen Abbildungen mit $\mathcal {Q}$ und die Menge der Abbildungen von $\mathbb {Z}$ nach $\mathbb {Z}$ mit endlichem Bild mit $\mathcal {K}$. Wir bemerken, dass $\mathcal {K}\subseteq \mathcal {Q}$ und zum Beispiel $\operatorname {id}_\mathbb {Z}\in \mathcal {Q}\setminus \mathcal {K}$. Man kann nun $\mathbb {R}$ als den Quotientenraum von $\mathcal {Q}$ definieren, wobei $f_1,f_2\in \mathcal {Q}$ equivalent sind, wenn die Funktion

endliches Bild besitzt, das heisst, in $\mathcal {K}$ liegt. Im Sinne der Algebra ist $\mathcal {Q}$ bereits eine Gruppe bezüglich «punktweiser Addition» , $\mathcal {K}\subseteq \mathcal {Q}$ ist eine Untergruppe, und $\mathbb {R}=\mathcal {Q}/\mathcal {K}$. Überraschenderweise ist die Multiplikation der reellen Zahlen $[f_1],[f_2]\in \mathcal {Q}/\mathcal {K}$ durch $[f_1\circ f_2]$ und die $1$ durch $[\operatorname {id}_\mathbb {Z}]$ gegeben. Eine rationale Zahl $r\in \mathbb {Q}$ wird in diesem Modell durch die Äquivalenzklasse $[f_r]$ der Funktion

dargestellt. Gewissermassen wird hier eine reelle Zahl durch die «durchschnittliche Steigung» einer quasi-linearen Abbildung definiert.

Sie sollten nicht zu viel Zeit dazu verwenden, diese Konstruktion vollständig zu verstehen, denn wir werden im Laufe des ersten Semesters mittels einigen Übungen ein besseres Verständnis für diesen Zugang erhalten. Vor allem aber wollten wir damit und auch mit den anderen, obigen Modellen Ihnen klarstellen, dass es nicht nur eine Art und Weise gibt, wie man die reellen Zahlen finden kann. Dies unterstreicht die Wichtigkeit der Frage nach der Eindeutigkeit.

2.7.6 – Eindeutigkeit

Wie auch in anderen Situationen ist der Beweis der Eindeutigkeit einfacher als der Beweis der Existenz. Er enthält aber trotzdem gewisse Einblicke, die weiterentwickelt auch zum Existenzbeweis beitragen.

Dieser Satz ist befriedigend, da es wegen ihm nicht darauf ankommt, welches Modell der reellen Zahlen man untersucht oder welche Konstruktion ausgehend aus den rationalen (oder auch aus den natürlichen) Zahlen wir verwenden, um die reellen Zahlen zu finden. Eine Abbildung $\Phi$ wie in Satz 2.87 nennen wir eine Isomorphie (von angeordneten Körpern), denn sie ist eine Bijektion, die alle Strukturen von $\mathbb {R}$ auf die entsprechenden Strukturen von $\mathbb {R}'$ abbildet.

Wie bereits bemerkt, könnte man obigen Satz auch mit Schach vergleichen, wo es ebenso nicht darauf ankommt, ob die Figuren aus Glas, Holz, Plastik oder Metall sind. Denn sobald man die verschiedenen Figuren richtig erkannt hat, besteht eine klare Korrespondenz (eine Isomorphie) zwischen den Figuren in dem Schachspiel aus Glas und dem Schachspiel aus Holz, und weiter kann man mit den einen genau dasselbe machen wie mit den anderen (die Isomorphie erhält alle möglichen Schachzüge).

Wir möchten im Folgenden einen Beweis zur Existenz einer solchen Abbildung $\Phi$ skizzieren und überlassen Interessierten die Verifikation einiger Details (siehe Übung 2.89). Wie wir sehen werden besteht der Beweis gewissermassen aus einer Wiederholung vieler fundamentaler Themen aus diesem Kapitel. Etwas überspitzt lässt sich die Idee des Beweises wie folgt darstellen:

Abbildung 2.2 – Wir definieren $\Phi$ zuerst so auf $0,1,2,...$, dass $0$ auf $0'$, $1$ auf $1'$, $2$ auf $2'$ und so weiter abgebildet wird. Dann erweitern wir $\Phi$ auf alle Brüche so, dass beispielsweise $\frac {1}{2}$ auf $\frac {1'}{2'}$ abgebildet wird, und schliesslich verwenden wir das Supremum von Teilmengen von $\mathbb {Q}$ um $\Phi$ auf ganz $\mathbb {R}$ zu definieren. Dadurch erhalten wir, dass $\mathbb {R}'$ dasselbe ist wie $\mathbb {R}$, nur halt bloss in grün.

Des Weiteren ist folgende Übung ein hilfreicher erster Schritt für den Eindeutigkeitsbeweis.

2.8 – Weitere Lernmaterialien

2.8.1 – Verwendung des Kapitels

Die Themen dieses Kapitels stellen den Anfang unserer Entwicklung der Analysis dar und sind aus diesem Grunde für das Folgende fundamental. Wie bereits erwähnt werden wir die üblichen Eigenschaften der reellen, natürlichen, ganzen, rationalen und komplexen Zahlen (inklusive der Konjugation komplexer Zahlen) im Folgenden ohne Verweise verwenden. Es ist auch nicht notwendig, die Beweise der elementaren Aussagen in Abschnitt 2.1 auswendig zu lernen. Manche der Beweise in Abschnitt 2.2 sind auch etwas zu formal, als dass sie für das Folgende von grosser Bedeutung sein werden. Für ein fundiertes Verständnis der Induktion sind die besprochenen Varianten der Induktion samt Beweise wichtig und auch die Beweise der algebraischen und geometrischen Aussagen stellen eine gute Übung dar. In Abschnitt 2.4 haben wir einige Ihnen wahrscheinlich bekannte Definition ausgesprochen, doch werden auch die Ihnen wahrscheinlich neuen Begriffe «offen» und «abgeschlossen» zunehmend an Bedeutung gewinnen.

Die Kernthemen dieses Kapitels sind hingegen in folgender Liste enthalten.

• Das Vollständigkeitsaxiom in Abschnitt 2.1.3.
• Existenz und Eigenschaften des Supremums und Infimums in Abschnitt 2.5 (inbesondere beispielsweise die Unterscheidung von Maximum und Supremum).
• Korollare der Vollständigkeit in Abschnitt 2.6: Das Archimedische Prinzip (Satz 2.69), die Existenz von Häufungspunkten für beschränkte unendliche Mengen (Satz 2.76), das Intervallschachtelungsprinzip (Satz 2.78), und die Überabzählbarkeit von $\mathbb {R}$ in Korollar 2.82.

Diese Themen und deren Beweismethoden sind von zentraler Bedeutung für das Folgende und Sie werden weitere Vorlesungsstunden besser verstehen, wenn Sie diese Kernthemen bereits im Gedächnis und auf Abruf bereit haben.

Im Laufe dieses Kapitels haben wir auch bereits einige grundlegende Funktionen eingeführt, welche wir ohne Verweis und mit den üblichen Eigenschaften in Zukunft wieder benötigen werden.

• Die Körperoperationen auf $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.
• Das Quadrieren $(\cdot )^2$ auf $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$.
• Die Quadratwurzel $\sqrt {\cdot }:\mathbb {R}_{\geq 0}\to \mathbb {R}_{\geq 0}$.
• Der Absolutbetrag $|\cdot |$ auf $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$.
• Die Vorzeichenfunktion $\operatorname {sgn}(\cdot )$ auf $\mathbb {R}$.
• Der ganzzahlige Anteil $\lfloor \cdot \rfloor :\mathbb {R}\to \mathbb {Z}$.
• Der Nachkommaanteil $\{ \cdot \} :\mathbb {R}\to [0,1)$.
• Das Maximum $\max (x,y)=\max (\{ x,y\} )$ und das Minimum $\min (x,y)=\min (\{ x,y\} )$ zweier reeller Zahlen $x,y\in \mathbb {R}$ ergeben sich als Spezialfälle von Maximum und Minimum der Menge $\{ x,y\}$ (welche auf Grund einer Fallunterscheidung basierend auf die Trichotomie reeller Zahlen immer existieren).

2.8.2 – Weitere Übungsaufgaben

In Abschnitt 2.6.1 haben wir bereits beschrieben, was Dichtheit der rationalen Zahlen in $\mathbb {R}$ bedeutet. Allgemeiner sagt man, dass eine Teilmenge $A \subseteq \mathbb {R}$ dicht ist, wenn für jedes offene, nicht-leere Intervall $I \subseteq \mathbb {R}$ der Schnitt $I \cap A$ nicht-leer ist.

2.8.3 – Multiple-Choice Fragen

In folgendem Fragen-Typ können Sie aus mehreren verschiedenen Lösungsvarianten auswählen (Multiple-Choice). Es ist dabei nicht unbedingt nur eine Lösung richtig.

2.8.4 – Lernkarten

Für das Lernen der Themen dieses Kapitels könnten wieder die Lernkarten helfen.

Des Weiteren können Sie auch die Zusammenhänge der einzelnen Sätze dieses Kapitels mit Hilfe folgenden Graphen wiederholen. (Die Darstellung wird zufällig generiert, und es empfiehlt sich die Knoten des Graphen etwas logischer zu platzieren.)

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