Definition 8.1

Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall in $\mathbb {R}$ und sei $f \in R([a,b])$ eine auf $[a,b]$ Riemann-integrierbare Funktion. Die Funktion

nennt sich das Integral mit veränderlichen oberen Grenze oder das partikuläre Integral von $f$.

Theorem 8.2: Ableitung des Integrals

Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten [latex]a

Korollar 8.3: Ableitung des Integrals

Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten [latex]a $\begin{aligned}[]\label{eq;hauptsatzformel} F(x) = \int _a^x f(t) \thinspace {\rm {d}} t + C\end{aligned}$
für alle $x \in [a,b]$ und eine Konstante $C \in \mathbb {R}$.

Korollar 8.4: Berechnung des Integrals

Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten [latex]a

Korollar 8.5: Integral der Ableitung

Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten [latex]a

für alle $x \in [a,b]$.

Übung 8.6: Theorem 8.2 für «fast überall» stetige Funktionen

Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten [latex]a

Wichtige Übung 8.7: Fundamentalsatz für komplexe Funktionen

In obigem Satz und dessen Korollaren haben wir für die Aussagen eigentlich nicht wirklich verwendet, dass die betrachteten Funktionen reellwertig sind. Zeigen Sie deswegen, dass alle obigen Resultate für komplexwertige Funktionen zutreffen.

Übung 8.8: Mittelwertsatz der Integralrechnung

Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten [latex]a

Können Sie zwei verschiedene Beweise finden?

Übung 8.9: Riemann-integrierbare Ableitung

Wir möchten hier eine etwas stärkere Version von Korollar 8.5 thematisieren. Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten [latex]a

Applet 8.10: Fundamentalsatz

Wir sehen hier nochmals die Idee des Beweises des Fundamentalsatzes der Integral- und Differentialrechnung (Theorem 8.2), wobei unten das partikuläre Integral der Funktion im oberen Fenster dargestellt wird.

Korollar 8.11: Differentiation von Potenzreihen

Sei $f(x) = \sum _{n=0}^\infty c_n x^n$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R > 0$. Dann ist $f:(-R,R) \to \mathbb {R}$ differenzierbar und es gilt

für alle $x \in (-R,R)$, wobei die Potenzreihe rechts ebenfalls Konvergenzradius $R$ hat.

Übung 8.12: Verallgemeinerung von Korollar 8.11

Sei $f(x) = \sum _{n=0}^\infty c_n x^n$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R > 0$. Zeigen Sie, dass $f:(-R,R) \to \mathbb {R}$ glatt ist und finden Sie eine Darstellung von $f^{(n)}$ durch eine Potenzreihe für jedes $n \in \mathbb {N}$.

Übung 8.13: Koeffizientenvergleich für Potenzreihen

Seien $f(x) = \sum _{n=0}^\infty c_n x^n$ und $g(x) = \sum _{n=0}^\infty d_n x^n$ Potenzreihen mit reellen Koeffizienten und positiven Konvergenzradien $R_f,R_g$. Sei $R = \min \left \lbrace {R_f,R_g} \right \rbrace$ und angenommen $f(x) = g(x)$ für alle $x \in (-R,R)$. Zeigen Sie, dass dann $c_n = d_n$ für alle $n \in \mathbb {N}_0$ und damit $R_f=R_g$ gilt.

Übung 8.14: Potenzreihenentwicklung für Wurzeln

Sei $\alpha \in \mathbb {C}$. Wir wollen hier zeigen, dass

für alle $x \in (-1,1)$, wobei die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten für $n \in \mathbb {N}_0$ durch

definiert sind.

1. Zeigen Sie, dass für $\alpha \not \in \mathbb {N}_0$ die Potenzreihe
   $\begin{aligned}[]g(x) = \sum _{n=0}^\infty \binom {\alpha }{n} x^n\end{aligned}$

   Konvergenzradius $1$ hat.

2. Berechnen Sie die Ableitung von $g$ und zeigen Sie, dass $f(x) = (1+x)^\alpha$ und $g(x)$ die Differentialgleichung
   $\begin{aligned}[]y' = \alpha \frac {y}{1+x}\end{aligned}$

   erfüllen.

3. Berechnen Sie die Ableitung von $\frac {g(x)}{f(x)}$ und schliessen Sie die Behauptung.

Beispiel 8.15: Beispiele partieller Integration

1. Wir berechnen das unbestimmte Integral $\int x \exp (x) \thinspace {\rm {d}} x$. Dafür setzen wir $u(x) = x$ und $v'(x) = \exp (x)$. Eine Stammfunktion von $v'$ ist $v(x) = \exp (x)$. Damit erhalten wir
   $\begin{aligned}[]\int x \exp (x) \thinspace {\rm {d}} x = x \exp (x) - \int 1 \cdot \exp (x) \thinspace {\rm {d}} x + C = x\exp (x) - \exp (x) + C.\end{aligned}$

   Wir bemerken, dass es genügt, in solchen Berechnungen immer bloss eine unbekannte Integrationskonstante $C$ zu verwenden, da mehrere solche einfach zusammengefasst werden können. (Kontrollieren Sie diese Rechnung durch Ableiten.) Dieselbe Berechnungsmethode führt auch für unbestimmte Integrale der Form $\int x^n \exp (x) \thinspace {\rm {d}} x$, $\int x^n \sin (x) \thinspace {\rm {d}} x$ und $\int x^n \cos (x) \thinspace {\rm {d}} x$ für $n \in \mathbb {N}$ zum Erfolg.

2. Wir wollen das unbestimmte Integral $\int \log (x) \thinspace {\rm {d}} x$ berechnen. Es mag zuerst etwas überra­schend sein, dass wir dazu partielle Integration verwenden wollen. Sei $u(x) = \log (x)$ und $v' = 1$. Dann ist $v(x) = x$ eine Stammfunktion von $v'$, womit
   $\begin{aligned}[]\int \log (x) \thinspace {\rm {d}} x &= \int \log (x) \cdot 1 \thinspace {\rm {d}} x = \log (x)\cdot x - \int \frac {1}{x} x \thinspace {\rm {d}} x + C = x\log (x) - \int 1 \thinspace {\rm {d}} x + C\\ &= x\log (x)-x + C.\end{aligned}$

   Dies kann man wiederum durch Ableiten verifizieren (was nicht notwendig ist, aber einen sehr einfachen Test darstellt).

Übung 8.16

1. Berechnen Sie $\int x^2\sin (x)\thinspace {\rm {d}} x$.
2. Geben Sie eine rekursive Formel zur Berechnung von $\int x^n \exp (x) \thinspace {\rm {d}} x$, $\int x^n \sin (x) \thinspace {\rm {d}} x$ und $\int x^n \cos (x) \thinspace {\rm {d}} x$ für $n \in \mathbb {N}$ an.
3. Berechnen Sie $\int x^s\log (x)\thinspace {\rm {d}} x$ für jedes $s\in \mathbb {R}$. Beachten Sie hierbei, dass der Fall $s=-1$ getrennt zu behandeln ist.
4. Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int e^{ax}\sin (bx) \thinspace {\rm {d}} x$ für $a,b \in \mathbb {R} \setminus \left \lbrace {0} \right \rbrace$.
   Hinweis.

   Bei (iv) ergibt sich nach zweifacher partieller Integration ein Gleichungssystem.

Beispiel 8.17

1. Es gilt
   $\begin{aligned}[]\int \frac {x}{1+x^2}\thinspace {\rm {d}} x =\int \underbrace {\frac {1}{1+x^2}}_{=\frac 1u}\underbrace {x\thinspace {\rm {d}} x}_{=\frac 12\thinspace {\rm {d}} u} = \frac {1}{2} \int \frac {1}{u}\thinspace {\rm {d}} u = \frac {1}{2} \log |u| = \frac 12 \log (1+x^2) + C,\end{aligned}$

   wobei $u = 1+x^2$ gesetzt wurde, womit $\thinspace {\rm {d}} u = 2x \thinspace {\rm {d}} x$.

2. Es gilt
   $\begin{aligned}[]\int \frac {1}{\sin (x) }\thinspace {\rm {d}} x &= \int \frac {1}{2\sin \left (\frac {x}{2}\right )\cos \left (\frac {x}{2}\right )}\thinspace {\rm {d}} x = \int \frac {1}{\tan (u) \cos ^2(u)} \thinspace {\rm {d}} u= \int \frac {1}{v}\thinspace {\rm {d}} v = \log |v| + C\\ &= \log \left | \tan \left (\frac {x}{2}\right ) \right |+ C,\end{aligned}$

   wobei $u = \frac {x}{2}$, $\thinspace {\rm {d}} u = \frac {1}{2}\thinspace {\rm {d}} x$, und $v = \tan (u)$, $\thinspace {\rm {d}} v = \frac {1}{\cos ^2(u)}\thinspace {\rm {d}} u$.

Beispiel 8.18: Integration von elementaren rationalen Funktionen

Sei $a \in \mathbb {R}$ beliebig und $n \geq 2$ eine natürliche Zahl.

1. Es gilt
   $\begin{aligned}[]\int \frac {1}{x-a} \thinspace {\rm {d}} x = \int \frac {1}{u}\thinspace {\rm {d}} u = \log |u|+C = \log |x-a| + C,\end{aligned}$

   wobei $u=x-a$ gesetzt wurde und $\thinspace {\rm {d}} u = \thinspace {\rm {d}} x$ ist.

2. Für $n\geq 2$ gilt
   $\begin{aligned}[]\int \frac {1}{(x-a)^n} \thinspace {\rm {d}} x = \int u^{-n}\thinspace {\rm {d}} u = \frac {1}{-n+1} u^{-n+1}+C = \frac {1}{-n+1} (x-a)^{-n+1}+C,\end{aligned}$

   wobei wieder $u=x-a$ gesetzt wurde und $\thinspace {\rm {d}} u = \thinspace {\rm {d}} x$ ist.

3. Falls $a \neq 0$ ist, so gilt
   $\begin{aligned}[]\int \frac {1}{a^2+x^2} \thinspace {\rm {d}} x &= \frac {1}{a^2} \int \frac {1}{1+\left (\frac {x}{a}\right )^2}\thinspace {\rm {d}} x = \frac {1}{a} \int \frac {1}{1+u^2}\thinspace {\rm {d}} u = \frac {1}{a} \arctan (u) +C\\ &= \frac {1}{a} \arctan \left (\frac {x}{a}\right ) +C,\end{aligned}$

   wobei $u = \frac {x}{a}$ gesetzt wurde und $\thinspace {\rm {d}} u = \frac {1}{a}\thinspace {\rm {d}} x$ ist.

4. Es gilt
   $\begin{aligned}[]\int \frac {x}{a^2+x^2} \thinspace {\rm {d}} x = \frac {1}{2} \int \frac {1}{u} \thinspace {\rm {d}} u = \frac 12\log |u| +C = \frac 12 \log (a^2+x^2) + C,\end{aligned}$

   wobei $u = a^2+x^2$ und $\thinspace {\rm {d}} u = 2x \thinspace {\rm {d}} x$.

5. Für $n\geq 2$ gilt
   $\begin{aligned}[]\int \frac {x}{(a^2+x^2)^n} \thinspace {\rm {d}} x = \frac {1}{2}\int \frac {1}{u^n} \thinspace {\rm {d}} u = \frac {1}{2(1-n)} u^{1-n} + C = \frac {1}{2(1-n)} (a^2+x^2)^{1-n} + C,\end{aligned}$

   wobei $u = a^2+x^2$ und $\thinspace {\rm {d}} u = 2x \thinspace {\rm {d}} x$.

Beispiel 8.19: Integration rationaler Funktionen und die Partialbruchzerlegung

1. Wir wollen das unbestimmte Integral $\int \frac {x^4+1}{x^2(x+1)}\thinspace {\rm {d}} x$ bestimmen. Als erstes führen wir Division mit Rest
   $\begin{aligned}[](&x^4+1):(x^3+x^2) = x-1\\ -&\underline{x^4-x^3}\\ & \quad -x^3+1\\ & \quad \, \quad \underline{x^3+x^2}\\ & \qquad \ \qquad x^2+1 \quad \mathrm {Rest}\end{aligned}$

   durch, womit

   $\begin{aligned}[]\int \frac {x^4+1}{x^2(x+1)}\thinspace {\rm {d}} x = \int \left (x-1 + \frac {x^2+1}{x^2(x+1)}\right )\thinspace {\rm {d}} x = \frac {x^2}{2}-x + \int \frac {x^2+1}{x^2(x+1)}\thinspace {\rm {d}} x.\end{aligned}$

   Um die Partialbruchzerlegung von $\frac {x^2+1}{x^2(x+1)}$ zu erhalten, setzen wir

   $\begin{aligned}[]\frac {x^2+1}{x^2(x+1)} = \frac {A}{x^2} + \frac {B}{x} + \frac {C}{x+1}\end{aligned}$

   für noch unbekannte Zahlen $A,B,C \in \mathbb {R}$, multiplizieren mit $x^2(x+1)$ und erhalten

   $\begin{aligned}[]x^2+1 = A(x+1) + Bx(x+1)+Cx^2.\end{aligned}$

   Nun setzen wir in diesem $x=0$ um $A=1$ zu erhalten und $x=-1$, um $C=2$ zu erhalten. Für $x=1$ ergibt sich nun $2 = 1 \cdot 2 + B \cdot 2 + 2 \cdot 1$ und somit $B=-1$. (Alternativ kann man auch beide Seiten ausmultiplizieren, die Koeffizienten links und rechts vergleichen, und auf diese Weise drei Gleichungen in den unbekannten Variablen $A,B,C$ erhalten.) Daher ist

   $\begin{aligned}[]\int \frac {x^2+1}{x^2(x+1)}\thinspace {\rm {d}} x &= \int \frac {1}{x^2}\thinspace {\rm {d}} x - \int \frac {1}{x} \thinspace {\rm {d}} x + 2 \int \frac {1}{x+1}\thinspace {\rm {d}} x \\ &= - \frac {1}{x} - \log |x| + 2\log |x+1| + D\end{aligned}$
2. Wir berechnen das unbestimmte Integral $\int \frac {1}{x(x^2+2x+2)} \thinspace {\rm {d}} x$. Man beachte dabei, dass das Polynom $x^2+2x+2$ keine reellen Nullstellen hat. Für die Partialbruchzerlegung machen wir den Ansatz
   $\begin{aligned}[]\frac {1}{x(x^2+2x+2)} = \frac {A}{x} + \frac {Bx+C}{x^2+2x+2}.\end{aligned}$

   Nun multiplizieren wir mit $x(x^2+2x+2)$ und erhalten

   $\begin{aligned}[]1 = A(x^2+2x+2) + (Bx+C)x.\end{aligned}$

   Für $x = 0$ ergibt sich $A = \frac 12$. Daher ist

   $\begin{aligned}[]1 = (\tfrac 12 + B) x^2 + (1+C)x + 1\end{aligned}$

   und $B=-\frac 12$ und $C = -1$. Es folgt

   $\begin{aligned}[]\int \frac {1}{x(x^2+2x+2)} \thinspace {\rm {d}} x &= \tfrac 12 \int \frac {1}{x} \thinspace {\rm {d}} x - \tfrac 12 \int \frac {x+2}{x^2+2x+2}\thinspace {\rm {d}} x\\ &= \tfrac 12 \log |x|- \tfrac {1}{2} \int \frac {x+2}{(x+1)^2 +1} \thinspace {\rm {d}} x \\ &= \tfrac 12 \log |x|- \tfrac {1}{2} \int \frac {u+1}{u^2+1}\thinspace {\rm {d}} x\\ &= \tfrac 12 \log |x|- \tfrac {1}{4} \log |u^2+1| - \tfrac 12 \arctan (u) + D\\ &= \tfrac 12 \log |x|- \tfrac {1}{4} \log ((x+1)^2+1) - \tfrac 12 \arctan (x+1) + D,\end{aligned}$

   wobei wir $u=x+1$ gesetzt haben und Beispiele 8.18 (c) und (d) verwendet haben.

Bemerkung: Integration rationaler Funktionen mit mehrfachen komplexen Nullstellen

Wie oben schon bemerkt, kann man nach der Partialbruchzerlegung ein Integral einer rationalen Funktion auf die Integration von Ausdrücken der Form $\frac {1}{(x-a)^k}$ oder von $\frac {Ax+B}{(x^2+bx+c)^k}$ für $k \in \mathbb {N}$ und für Konstanten $a,A,B,b,c\in \mathbb {R}$ zurückführen, wobei die Polynome der Form $x^2+bx+c$ keine rellen Nullstellen haben. Für die Berechnung eines Integrals des zweiten Typs mit $k>1$ möchten wir hier einen Algorithmus erläutern, wobei wir uns auf den Fall $x^2+bx+c=x^2+1$ beschränken (auf welchen man den allgemeinen Fall mit quadratischem Ergänzen zurückführen kann).

Seien also $k>1$ und ein Polynom $q$ von Grad kleiner als $2k$ gegeben. Dann ist das unbestimmte Integral $\int \frac {q(x)}{(x^2+1)^k} \thinspace {\rm {d}} x$ immer von der Form
$\begin{aligned}[]\label{eq:fund-hoehereOrdkomplNST} \frac {p(x)}{(x^2+1)^{k-1}} + \alpha \arctan (x) + \beta \log (x^2+1)+C.\end{aligned}$
für ein Polynom $p$ von Grad kleiner $2k-2$ und Konstanten $\alpha ,\beta$. Durch Ableiten, auf den gemeinsamen Nenner bringen und Vergleich der Koeffizienten lässt sich somit die Stammfunktion ermitteln.

Übung 8.20

Wir möchten in dieser Übung den oben erklärten Algorithmus genauer erklären und beginnen mit einem konkreten Beispiel.

1. Berechnen Sie das Integral $\int \frac {1}{(x^2+1)^2} \thinspace {\rm {d}} x$.

Sei nun $k>1$ und $q$ ein Polynom von Grad kleiner als $2k$.

1. Zeigen Sie, dass die Ableitung von $\frac {p(x)}{(x^2+1)^{k-1}}$ für ein beliebiges Polynom $p$ von Grad kleiner als $2k-2$ durch
   $\begin{aligned}[]\frac {(x^2+1)p'(x) - 2(k-1)xp(x)}{(x^2+1)^{k}}\end{aligned}$

   gegeben ist.

2. Berechnen Sie die Matrixdarstellung $M$ der Abbildung
   $\begin{aligned}[]\phi : p(x) \mapsto (x^2+1)p'(x) - 2(k-1)xp(x)\end{aligned}$

   bezüglich der Basis der Monome.

3. Schliessen Sie auf die Darstellung in (8.5), indem Sie zeigen, dass das Bild von $\phi$ zusammen mit $(x^2+1)^{k-1}$ und $2x(x^2+1)^{k-1}$ den Vektorraum der Polynome von Grad kleiner gleich $2k-1$ aufspannt.

Beispiel 8.21: Kreisfläche

Wir möchten für $r>0$ das unbestimmte Integral $\int \sqrt {r^2-x^2} \thinspace {\rm {d}} x$ berechnen. Auf Grund der trigonometrischen Identitäten $\sqrt {r^2 - r^2 \sin ^2(\theta )} = r \cos (\theta )$ bietet es sich nun an, die Funktion

für die Substitution zu verwenden. Denn mit dieser Substitution haben wir die Hoffnung, die Wurzel in einen anderen Ausdruck zu verwandeln.

Allerdings ist dies umgekehrt zu der Substitution in Abschnitt 8.2.2, da wir hier die «neue Variable»  $\theta$ verwenden um die «alte Variable»  $x=r\sin (\theta )$ auszudrücken. (Anstatt wie in Abschnitt 8.2.2 wo wir die neue Variable $u=f(x)$ als Funktion der alten Variable $x$ gesehen haben). Da $f$ bijektiv ist, ist dies kein Problem: denn $x=r\sin (\theta )\in (-r,r)$ ist zu $\theta =\arcsin (\frac {x}r)\in (-\frac \pi 2,\frac \pi 2)$ äquivalent. Weiters ist die Ableitung von $f=\frac {\thinspace {\rm {d}} x}{\thinspace {\rm {d}}\theta }$ gleich $r\cos \theta$ und damit auf ganz $(- \frac {\pi }{2},\frac {\pi }{2})$ ungleich $0$. Gemeinsam mit dem Satz über die Ableitung der inversen Funktion (Satz 7.14) erhalten wir daher

wobei wir eben $x = r \sin (\theta )$, $\sqrt {r^2-x^2} = r \cos (\theta )$, $\thinspace {\rm {d}} x = r \cos (\theta )\thinspace {\rm {d}} \theta$ und die trigonometrischen Identitäten

für $\theta \in (-\frac {\pi }2,\frac {\pi }2)$ verwendet haben.

Veranschaulichen Sie sich die Substitution und die wichtigsten der obigen Identitäten in einem rechtwinkeligen Dreieck. Geben Sie weiters eine geometrische Interpretation der beiden Terme des unbestimmten Integrals bei der Berechnung des bestimmten Integrals $\int _0^b\sqrt {r^2-x^2} \thinspace {\rm {d}} x$ für [latex]0

Dies zeigt, dass

eine Stammfunktion von $g_0:x\in (-r,r)\mapsto \sqrt {r^2-x^2}$ ist (was wie immer viel einfacher zu überprüfen ist). Da aber sogar die Funktion $g:x\in [-r,r]\mapsto \sqrt {r^2-x^2}$ stetig ist, besitzt $g$ nach Korollar 8.3 auch auf ganz $[-r,r]$ eine Stammfunktion $G_1$, welche auf $(-r,r)$ mit $G_0+C$ übereinstimmt. Da aber

auch eine auf ganz $[-r,r]$ stetige Funktion definiert, folgt aus Stetigkeit von $G$ und $G_1$, dass $G_1=G+C$ und damit ist $G$ auf ganz $[-r,r]$ eine Stammfunktion von $g$. Wir bemerken allerdings, dass $\arcsin \left (\frac {x}r\right )$ keine Ableitung in den Punkten $-r$ und $r$ besitzt. (Wieso ist dies kein Widerspruch zu obiger Diskussion?)

Beispiel 8.22: Trigonometrische Substitution

1. Es gilt für $a >0$
   $\begin{aligned}[]\int \frac {1}{(a^2+x^2)^{\frac 32}} \thinspace {\rm {d}} x &= \int \frac {\cos ^3(\theta )}{a^3} a\frac {1}{\cos ^2(\theta )} \thinspace {\rm {d}} \theta = \tfrac {1}{a^2} \int \cos (\theta ) d\theta = \tfrac {1}{a^2} \sin (\theta ) + C \\ &= \frac {x}{a^2\sqrt {a^2+x^2}} + C,\end{aligned}$

   wobei wir $x = a \tan (\theta )$, $\sqrt {a^2+x^2} = a \frac {1}{\cos (\theta )}$, $\thinspace {\rm {d}} x = a \frac {1}{\cos ^2(\theta )} \thinspace {\rm {d}} \theta$ verwendet haben. (Veranschaulichen Sie sich die Substitution und obige Identitäten in einem Bild.)

2. Es ist
   $\begin{aligned}[]\int x \sqrt {1-x^2} \thinspace {\rm {d}} x = - \tfrac {1}{2} \int u^{\frac 12} \thinspace {\rm {d}} u = - \tfrac {1}{2} \tfrac {2}{3} u^{\frac {3}{2}} + C = - \tfrac {1}{3} (1-x^2)^{\frac {3}{2}} + C,\end{aligned}$

   wobei $u = 1-x^2$, $\thinspace {\rm {d}} u = -2x \thinspace {\rm {d}} x$.

Beispiel 8.23

Wir berechnen

wobei $x = \cosh (u)$ und $\thinspace {\rm {d}} x = \sinh (u)\thinspace {\rm {d}} u$. Nach Auflösen ergibt sich somit

Übung 8.24: Halbwinkelmethode

Wir möchten das unbestimmte Integral $\int \frac {\cos (x)}{2+\sin (x)}\thinspace {\rm {d}} x$ mit der Substitution $u = \tan \left (\frac {x}{2}\right )$ berechnen. Zeigen Sie dafür zuerst die Identitäten

Zeigen Sie anschliessend, dass das obige Integral nach Substitution zu einem Integral einer rationalen Funktion in $u$ wird und berechnen Sie es.

Beispiel 8.25: Integralsinus

Der Integralsinus ist die Stammfunktion $\operatorname {Si}: \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ der stetigen Funktion

mit der Normalisierung $\operatorname {Si}(0) = 0$. Er lässt sich als Potenzreihe schreiben, denn nach Satz 6.85 gilt

für alle $x \in \mathbb {R}$.

Beispiel 8.26: Integralkosinus

Der Integralkosinus $\operatorname {Ci}: (0,\infty ) \to \mathbb {R}$ ist definiert als die Stammfunktion von $x \in (0,\infty ) \mapsto \frac {\cos (x)}{x} \in \mathbb {R}$ mit der Normalisierung $\lim _{x \to \infty } \operatorname {Ci}(x) = 0$.

Übung 8.27

Sei $F$ eine Stammfunktion von $x \in (0,\infty ) \mapsto \frac {\cos (x)}{x} \in \mathbb {R}$. Zeigen Sie, dass der Grenzwert $\lim _{x \to \infty } F(x)$ existiert. Drücken Sie $\operatorname {Ci}$ als Summe einer Konstanten (der sogenannten Euler-Mascheroni Konstanten), der Logarithmusfunktion und einer Potenzreihe aus.

Übung 8.28: Substitution für Riemann-integrierbare Funktionen

Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall in $\mathbb {R}$ mit Endpunkten [latex]a

Beispiel 8.29

Wir berechnen den Flächeninhalt des Kreises mit Radius $r> 0$. Dieser ist durch $2 \int _{-r}^r \sqrt {r^2-x^2} \thinspace {\rm {d}} x$ definiert (wieso?), und gemeinsam mit Bespiel 8.21 ergibt sich daraus

Beispiel 8.30: Hyperbolische Umkehrfunktionen

Wir verwenden die Funktion
$\begin{aligned}[]\label{eq:fund-param hyperbel} t\in \mathbb {R} \mapsto (x,y) = (\cosh (t), \sinh (t)) \in \mathbb {R}^2\end{aligned}$
um die «positive Hälfte» der Hyperbel $\left \lbrace {(x,y)} \mid {x^2-y^2 = 1}\right \rbrace$ zu parametrisieren. Wir stellen uns den Parameter $t \in \mathbb {R}$ vorerst als Zeit vor. In diesem Sinne beschreibt (8.6) eine Bewegung im $\mathbb {R}^2$. Wir wollen den Flächeninhalt des folgenden Gebietes in Rosa zwischen dem Ursprung und einem Teil der Hyperbel berechnen.

Dieser ist der Flächeninhalt $\frac {1}{2}x_0y_0 = \frac {1}{2}\cosh (t_0)\sinh (t_0)$ des eingezeichneten Dreiecks minus dem Flächeninhalt unterhalb der Hyperbel zwischen der $1$ und $x_0 = \cosh (t_0)$ in Blau. Letztere Fläche ist durch $\int _1^{x_0} \sqrt {x^2-1}\thinspace {\rm {d}} x$ gegeben. Um dieses Integral zu berechnen, verwenden wir die hyperbolische Substitution $x = \cosh (t)$, $\thinspace {\rm {d}} x = \sinh (t) \thinspace {\rm {d}} t$ und erhalten

Somit ist der Flächeninhalt des gesuchten Gebiets

Dies erklärt die Namen «Areasinus Hyperbolicus» und «Areakosinus Hyperbolicus» der Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen (wieso?).

Beispiel 8.31: Umfang des Kreises

Wir betrachten den Weg

Wegen $\gamma (0) = \gamma (2\pi ) = (1,0)^t$ sind der Start- und der Endpunkt von $\gamma$ gleich (wir sagen auch, dass der Weg $\gamma$ geschlossen ist). Auch gilt für die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt $t\in [0,2\pi ]$

Der Weg (oder die Kurve) $\gamma$ durchläuft (wegen $\cos ^2(t) + \sin ^2(t) = 1$ für alle $t\in \mathbb {R}$) den Einheitskreis also mit konstanter Geschwindigkeit Eins. Deswegen gilt

Des Weiteren besucht $\gamma$ jeden Punkt (bis auf den Endpunkt) genau einmal (siehe auch Abschnitt 6.6.4). Einen solchen Weg nennen wir auch einfach. Deswegen lässt sich die Bogenlänge von $\gamma$ auch als den Umfang des Einheitskreises auffassen, der somit $2\pi$ ist. Dies gilt analog für Teilstrecken und definiert den Begriff Winkel als Bogenlänge am Einheitskreis.

Lemma 8.32: Reparametrisierungen eines Weges

Sei $\gamma : [a,b] \to \mathbb {R}^d$ ein stetig differenzierbarer Weg für [latex]a Parametrisierung nach Bogenlänge genannt wird.

Übung 8.33: Eindeutigkeit der Parametrisierung

In Lemma 8.32 wird bereits von der Parametrisierung nach Bogenlänge gesprochen. Wir wollen dies hier begründen. Sei $\gamma :[a,b] \to \mathbb {R}^d$ ein stetig differenzierbarer, regulärer Weg. Nach Lemma 8.32 dürfen wir annehmen, dass $\gamma$ Einheitsgeschwindigkeit hat. Zeigen Sie, dass es keine weitere Reparametrisierung von $\gamma$ mit Einheitsgeschwindigkeit gibt.

Übung 8.34: Totale Variation des Weges

In dieser Übung wollen wir noch eine weitere Begründung für die Definition der Bogenlänge eines Weges $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R}^d$ geben. Hierfür interpretieren wir $d(v,w)=\| v-w\| _2$ als den Abstand zweier Punkte $v,w\in \mathbb {R}^d$. Die totale Variation von $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R}^d$ ist definiert als

wobei das Supremum über alle Zerlegungen [latex]\mathfrak {Z}=\left \lbrace {x_0=a

Beispiel 8.35: Abhängigkeit von der Wahl des Weges

Sei $\mathbf {{f}}:\mathbb {R}^2\to \mathbb {R}^2$ definiert durch $\mathbf {{f}}(x,y)= \Big ({\scriptsize \arraycolsep =0.3\arraycolsep \ensuremath {\begin{matrix}y\\ x^2\end{matrix}}}\Big )$. Wir betrachten den Weg $\gamma :[0,1]\to \mathbb {R}^2$ definiert durch $\gamma (t)=\Big ({\scriptsize \arraycolsep =0.3\arraycolsep \ensuremath {\begin{matrix}t\\ t^2\end{matrix}}}\Big )$ für $t\in [0,1]$. Dann ist das Wegintegral von $\mathbf {{f}}$ über den Weg $\gamma$ von $\gamma (0)=\Big ({\scriptsize \arraycolsep =0.3\arraycolsep \ensuremath {\begin{matrix}0\\ 0\end{matrix}}}\Big )$ nach $\gamma (1)=\Big ({\scriptsize \arraycolsep =0.3\arraycolsep \ensuremath {\begin{matrix}1\\ 1\end{matrix}}}\Big )$ durch

gegeben. Verwenden wir allerdings den Weg $\eta :[0,1]\to \mathbb {R}^2$ definert durch $\eta (t)=\Big ({\scriptsize \arraycolsep =0.3\arraycolsep \ensuremath {\begin{matrix}t^2\\ t\end{matrix}}}\Big )$ für $t\in [0,1]$, so sind zwar Anfangs- und Endpunkte unverändert, doch ist das Wegintegral durch

gegeben.

Applet 8.36: Wegintegral

Wir stellen sowohl das Vektorfeld $\mathbf {{f}}$, einen verschiebbaren Weg $\gamma$ mit animiertem Punkt $\gamma (t)$, die Ableitung $\gamma '(t)$ und darunter den Graph der Funktion $t\in [0,1]\mapsto \left \langle {\mathbf {{f}}(\gamma (t))}, {\gamma '(t)} \right \rangle$ dar.

Beispiel 8.37: Volumen der Kugel

Sei $K = \left \lbrace {(x,y,z) \in \mathbb {R}^3} \mid {x^2+y^2+z^2 \leq r^2}\right \rbrace$ für $r>0$ die Kugel mit Radius $r$. Die Kugel $K$ lässt sich auch als Rotationskörper mittels der Funktion $f:x \in [-r,r] \mapsto \sqrt {r^2-x^2}$ auffassen. Ihr Volumen ist deswegen durch

gegeben.

Übung 8.38

Motivieren Sie die Definition des Volumen eines Rotationskörpers mit mehr Details in Analogie zu Abschnitt 8.3.2 unter Verwendung von Proposition 4.30.

Beispiel 8.39: Kugeloberfläche

Wie in Beispiel 8.37 betrachten wir zu $r > 0$ die Funktion $x \in [-r,r] \mapsto \sqrt {r^2-x^2}$, deren Rotationskörper gerade die Kugel von Radius $r$ ist. Für alle $x \in [-r,r]$ ist

Damit ist die Kugeloberfläche gleich

Beispiel 8.40

Es gilt

Beispiel 8.41

Es gilt für $\alpha \in \mathbb {R}$

Insbesondere ist das obige uneigentliche Integral genau dann konvergent, wenn $\alpha >1$.

In der Tat ist

und

Übung 8.42

Berechnen Sie $\int _1^\infty x^{-\alpha } \thinspace {\rm {d}} x$ auch für $\alpha \in \mathbb {C}$.

Beispiel 8.43

Das uneigentliche Integral $\int _{-\infty }^\infty x \thinspace {\rm {d}} x$ existiert nicht, da $\int _{-\infty }^0 x \thinspace {\rm {d}} x$ sowie $\int _{0}^\infty x \thinspace {\rm {d}} x$ nicht existieren. Wir bemerken aber, dass der Grenzwert $\lim _{c \to \infty } \int _{-c}^c x \thinspace {\rm {d}} x = \lim _{c \to \infty }0 = 0$ existieren würde aber $\lim _{c \to \infty } \int _{-c}^{c+1} x \thinspace {\rm {d}} x = \lim _{c \to \infty }\frac 12((c+1)^2-c^2) = \infty$ wäre.

Lemma 8.44

Sei $a \in \mathbb {R}$ und $f:[a,\infty )\to \mathbb {R}_{\geq 0}$ eine nicht-negative Funktion mit $f \in R([a,b])$ für alle $b > a$. Entweder konvergiert das uneigentliche Integral über $f$ oder es divergiert gegen Unendlich. In beiden Fällen gilt

Beispiel 8.45: Gaussche Glockenkurve

Wir wollen das uneigentliche Integral

besprechen, wobei die Funktion $x\in \mathbb {R}\mapsto \mathrm {e}^{-x^2}$ die Gaussche Glockenkurve genannt wird. Auf Grund von Lemma 8.44 reicht es aus eine «Majorantenfunktion» zu finden, die ein konvergentes uneigentliches Integral definiert. Für $x\in [1,\infty )$ gilt zum Beispiel $x^2\geq x$ und daher $\mathrm {e}^{-x^2}\leq \mathrm {e}^{-x}$, woraus

folgt. Dies zeigt die Konvergenz des zweiten uneigentlichen Integrals, auf Grund der Symmetrie der Funktion ist daher auch $\int _{-\infty }^\infty \mathrm {e}^{-x^2}\thinspace {\rm {d}} x$ konvergent. Wir werden den Wert $I$ dieses Integral erst im zweiten Semester berechnen können. Doch wollen wir noch erwähnen, dass die streng monoton wachsende Funktion

die Verteilungsfunktion der Normalverteilung mit Erwartungswert $0$ und Standardabweichung $\frac 1{\sqrt 2}$ genannt wird. Diese Funktion lässt sich ebenso wie die Funktionen aus Abschnitt 8.2.6 nicht durch die sonst üblichen Funktionen ausdrücken und ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der Statstik und in vielen Anwendungen von fundamentaler Bedeutung.

Satz 8.46: Integraltest für Reihen

Sei $f:[1,\infty ) \to \mathbb {R}_{\geq 0}$ eine monoton fallende Funktion. Dann gilt

Insbesondere konvergiert die Reihe $\sum _{n=1}^\infty f(n)$ genau dann, wenn das uneigentliche Integral $\int _1^\infty f(x) \thinspace {\rm {d}} x$ konvergiert. Dies gilt analog für Integrale der Form $\int _N^\infty f(x)\thinspace {\rm {d}} x$ für $N \in \mathbb {N}$.

Übung 8.47: Divergenzrate der harmonischen Reihe

Verwenden Sie obigen Satz, um den $p$-Test in Beispiel 6.17 zu erhalten. Imitieren Sie des Weiteren die Methodik im obigen Beweis von Satz 8.46, um die Divergenzrate

für $N \to \infty$ für die harmonische Reihe zu beweisen.

Übung 8.48: Eine lange Nadel

Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche des «un­eig­ent­lichen Rotations­körpers» , der entsteht, wenn man das Gebiet unter dem Graphen der Funktion $x \in [1,\infty ) \mapsto \frac {1}{x}$ um die $x$-Achse rotiert.

Übung 8.49: Ein oszillierendes Integral

Entscheiden Sie für welche $p \in \mathbb {R}_{\geq 0}$ das uneigentliche Integral $\int _0^\infty x \sin (x^p) \thinspace {\rm {d}} x$ konvergiert.

Übung 8.50: Kompatibilität

Sei $f:[a,B) \to \mathbb {C}$ wie oben. Angenommen $f$ ist beschränkt. Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral $\int _a^B f(x)\thinspace {\rm {d}} x$ existiert und gleich dem Riemann-Integral $\int _a^B f(x) \thinspace {\rm {d}} x$ ist, wobei man $f$ auf beliebige Weise auf den Punkt $B$ erweitert.

Beispiel 8.51

Wir berechnen $\int _0^1 \log (x) \thinspace {\rm {d}} x$ mittels

nach Beispiel 8.15 und Beispiel 5.76.

Beispiel 8.52

Wir betrachten das Integral $\int _{-1}^1 \frac {1}{x} \thinspace {\rm {d}} x$. Dieses ist uneigentlich, da $x \mapsto \frac {1}{x}$ auf jeder Umgebung von $0$ unbeschränkt ist. Es gilt daher auf Grund der Definition in diesem Fall, dass

wobei beide Integrale rechts uneigentlich sind und das uneigentliche Integral $\int _{-1}^1 \frac {1}{x} \thinspace {\rm {d}} x$ per Definition genau dann existiert, wenn die beiden Integrale rechts existieren. Des Weiteren gilt

wodurch $\int _{-1}^1 \frac {1}{x} \thinspace {\rm {d}} x$ nicht existiert (und wir diesem auch nicht das Symbol $\infty$ oder $-\infty$ zuweisen).

Beispiel 8.53: Bogenlänge des Kreises

Wir wollen nochmals die Bogenlänge des Kreises berechnen. Doch verwenden wir diesmal die Gleichung $y=f(x)=\sqrt {1-x^2}$ als Definition des oberen Halbkreises. Die Bogenlänge des Kreises ist demnach gegeben durch das Integral

Übung 8.54

Berechnen Sie $\int _0^1 \frac {1}{\sqrt {x}} \thinspace {\rm {d}} x$ und $\int _0^{\frac {\pi }{2}} \tan (x) \thinspace {\rm {d}} x$.

Übung 8.55: Absolute Konvergenz

Sei $a \in \mathbb {R}$ und $f:[a,\infty )\to \mathbb {C}$ eine komplexwertige Funktion mit $f \in R([a,b])$ für alle $b > a$. Wir nennen das uneigentliche Integral $\int _a^\infty f(x) \thinspace {\rm {d}} x$ absolut konvergent, falls $\int _a^\infty |f(x)| \thinspace {\rm {d}} x$ konvergent ist. Zeigen Sie, dass absolute Konvergenz des uneigentlichen Integrals $\int _a^\infty f(x) \thinspace {\rm {d}} x$ auch die Konvergenz dieses Integrals impliziert.

Bemerkung

Zusammenfassend haben wir bei den Definitionen in diesem Abschnitt bei jedem Problempunkt eines möglichen Riemann-Integrals einen Grenzwert verwendet, um den Integralbegriff zu erweiteren. Dies wirft nochmals die Frage auf, ob es nicht vielleicht einen Integralbegriff gibt, der diese und auch andere bereits erwähnte Probleme des Riemann-Integrals auf natürliche Art und Weise löst. Diese Frage wird im zweiten Studienjahr des Mathematikstudiums mit der Theorie des Lebesgue-Integrals in der Vorlesung «Mass und Integral» positiv beantwortet.

Übung 8.56: Challenge

Für $z\in \mathbb {C}$ mit $\Re (z)>0$ definiert man
$\begin{aligned}[]\label{eq:fund-def gammafct-komplex} \Gamma (z) = \int _0^\infty x^{z-1} \mathrm {e}^{-x} \thinspace {\rm {d}} x.\end{aligned}$

(a) Zeigen Sie, dass $\int _0^1 x^{z-1} \mathrm {e}^{-x} \thinspace {\rm {d}} x$ für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $\Re (z)>0$ konvergiert.

(b) Zeigen Sie, dass $\int _1^\infty x^{z-1} \mathrm {e}^{-x} \thinspace {\rm {d}} x$ für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $\Re (z)>0$ konvergiert.

(c) Zeigen Sie (8.9) für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $\Re (z)>0$.

(d) Verwenden Sie (8.9) um rekursiv $\Gamma (z)$ für $z\in \mathbb {C}\setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \}$ mit $\Re (z)>-1$, oder $\Re (z)>-2$, …, zu definieren, so dass anschliessend $\Gamma (z)$ für alle $z\in \mathbb {C}\setminus \{ 0,-1,-2,\ldots \}$ definiert ist und (8.9) auf dem ganzen Definitionsbereich erfüllt.

Hinweis: Sie können in (a) und (b) Übung 8.55 verwenden.

Beispiel 8.57: Verschwindende Taylorreihe

Wir betrachten die Funktion

die nach Beispiel 7.23 glatt ist und $\psi ^{(n)}(0) = 0$ für alle $n \in \mathbb {N}_0$ erfüllt. Wir zeigen, dass sich $\psi$ nicht durch eine Potenzreihe um $0$ darstellen lässt.

Wir nehmen also indirekt an, dass es eine Potenzreihe $f(x) = \sum _{n=0}^\infty c_n x^n$ mit reellen Koeffizienten und Konvergenzradius $R > 0$ gibt, so dass $f(x) = \psi (x)$ für alle $x \in (-R,R)$. Nach Korollar 8.11 (oder genauer Übung 8.12) ist $f^{(n)}(0) = c_n n!$. Aber da $f(x) = \psi (x)$ für alle $x \in (-R,R)$ angenommen wurde und da Ableiten eine lokale Operation ist, schliessen wir, dass $f^{(n)}(0) = 0$ und somit $c_n = 0$ für alle $n \in \mathbb {N}_0$. Dies widerspricht jedoch $\psi (x) > 0$ für alle $x > 0$. Also kann $\psi$ in keiner Umgebung von $0$ durch eine Potenzreihe dargestellt werden.

Theorem 8.58: Taylor-Approximation

Sei $(a,b) \subseteq \mathbb {R}$ ein offenes, nicht-leeres Intervall und sei $f:(a,b) \to \mathbb {C}$ eine $(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion. Sei $x_0 \in (a,b)$. Dann gilt für alle $x \in (a,b)$

wobei $P_{x_0,n}^{f}$ die $n$-te Taylor-Approximation ist und wir den Fehlerterm $R_{x_0,n}^{f}$ durch das sogenannte Integral-Restglied

darstellen können. Dies gilt auch für Funktionen auf $[x_0,b)$ und Punkte $x \in [x_0,b)$ (beziehungsweise $(a,x_0]$ und $x \in (a,x_0]$).

Korollar 8.59: Taylor-Abschätzung

Sei $(a,b) \subseteq \mathbb {R}$ ein offenes, nicht-leeres Intervall, sei $f:(a,b) \to \mathbb {C}$ eine $(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion und seien $x_0,x \in (a,b)$ zwei Punkte. Wir setzen $M_{n+1} = \max \left \lbrace {|f^{(n+1)}(t)|} \mid {t \text { zwischen } x_0 \text { und } x}\right \rbrace$. Dann gilt

Insbesondere ist $f(x) = P_{x_0,n}^{f}(x) + O((x-x_0)^{n+1})$ für $x \to x_0$.

Bemerkung

Wir hätten andere Versionen des obigen Satz zu Taylor-Approximationen bereits in Abschnitt 7.2 für reellwertige Funktionen beweisen können. Dies sogar unter der etwas schwächeren Annahme an die $(n+1)$-te Ableitung, dass diese bloss zwischen $x_0$ und $x$ existieren soll und nicht unbedingt stetig sein muss. Unter dieser Voraussetzung gibt es ein $\xi _C$ zwischen $x_0$ und $x$, so dass das sogenannte Restglied nach Cauchy durch

gegeben ist. Es gibt unter denselben Voraussetzungen auch ein $\xi _L$ zwischen $x_0$ und $x$, so dass das Restglied nach Lagrange durch

gegeben ist. Wir verweisen dafür auf folgende Übung.

Übung 8.60: Andere Formeln für das Restglied

Gegeben sei ein nicht-leeres Intervall $(a,b) \subseteq \mathbb {R}$, Zahlen $x,x_0 \in (a,b)$ und eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion $f:(a,b) \to \mathbb {R}$.

1. Zeigen Sie, dass die Ableitung der Funktion
   $\begin{aligned}[]F:t \in (a,b) \mapsto \sum _{k=0}^n \frac {f^{(k)}(t)}{k!} (x-t)^k,\end{aligned}$

   durch $t \in (a,b) \mapsto \frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n$ gegeben ist.

2. Wenden Sie den Mittelwertsatz (Theorem 7.29) auf die obige Funktion $F$ an, um die Formel $R_{x_0,n}^{f}(x) = \frac {1}{n!}f^{(n+1)}(\xi _C) (x-\xi _C)^n (x-x_0)$ für das Restglied nach Cauchy zu beweisen.
3. Verwenden Sie den verallgemeinerten Mittelwertsatz (Satz 7.48) für obiges $F$ und die Funktion $g: t \mapsto (x-t)^{n+1}$, um die Formel $R_{x_0,n}^{f}(x) = \frac {1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi _L)(x-x_0)^{n+1}$ für das Restglied nach Lagrange zu beweisen.

Beispiel 8.61: Extremwerte

Wir wollen die Taylor-Approximation verwenden um die Diskussion in Abschnitt 7.1.3 und Korollar 7.37 zu verfeinern. Sei $(a,b) \subseteq \mathbb {R}$ ein offenes, nicht-leeres Intervall und sei $f:(a,b) \to \mathbb {C}$ eine $n$-mal stetig differenzierbare Funktion. Angenommen $x_0\in (a,b)$ erfüllt

Dann gelten folgende Implikationen.

• Falls [latex]f^{(n)}(x_0)
• Falls $f^{(n)}(x_0)>0$ ist und $n$ gerade ist, so nimmt $f$ in $x_0$ ein lokales Minimum an.
• Falls $f^{(n)}(x_0)\neq 0$ und $n$ ungerade ist, so ist $x_0$ kein lokales Extremum von $f$.

Alle drei Aussagen folgen aus der Taylor-Approximation in Theorem 8.58, die in diesem Fall für $x\in (a,b)$ die Form

annimmt. Falls $f^{(n)}(x_0)>0$ ist, existiert ein $\delta >0$ mit $f^{(n)}(t)>0$ für alle $t\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$. Wir betrachten nun mehrere Fälle. Ist $x\in (x_0,x_0+\delta )$, so ist obiges Integral positiv und damit $f(x)>f(x_0)$. Ist $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ und $n-1$ gerade, so ist obiges Integral (auf Grund der umgekehrten Reihenfolge der Integrationsgrenzen) negativ, womit [latex]f(x)f(x_0)[/latex], womit $f$ ein lokales Minimum in $x_0$ annimmt. Für [latex]f^{(n)}(x_0)

Applet 8.62: Taylor-Approximationen

Wir stellen einige Taylor-Approximationen bei verschiebbaren Fusspunkten zu bekannten Funktionen dar.

Übung 8.63

Sei $[a,b] \subseteq \mathbb {R}$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten [latex]a

1. Sei $f:[a,b] \to \mathbb {R}$ ein Polynom oder eine der Funktionen $\exp ,\sin ,\cos$. Zeigen Sie, dass Konstanten $c,A \geq 1$ mit
   $\begin{aligned}[]\label{eq:fund-polygrowthofderivatives} \max _{t \in [a,b]} |f^{(n+1)}(t)|\leq cA^n\end{aligned}$
   existieren.
2. Zeigen Sie, dass falls $f,g:[a,b] \to \mathbb {R}$ Funktionen mit der Eigenschaft (8.11) auch $f+g$ und $f \cdot g$ diese Eigenschaften besitzen.

Übung 8.64

Sei $\alpha \in \mathbb {C}$. Zeigen Sie, dass

für alle $x \in (-1,1)$, wobei für $n \in \mathbb {N}_0$

Bemerkung

Analytische Funktionen haben im Zusammenhang mit «holomorphen Funktionen» auf offenen Teilmengen von $\mathbb {C}$ nach $\mathbb {C}$ eine schöne, geschlossene Behandlung, die in der Vorlesung «Funktionentheorie» im zweiten Studienjahr thematisiert wird. Der komplexe Blickwinkel erklärt zum Beispiel, warum die analytische Funktion $x\in \mathbb {R}\to \frac 1{1+x^2}$ bei $x_0=0$ eine Taylorreihe mit Konvergenzradius $1$ besitzt, obwohl die Funktion auf ganz $\mathbb {R}$ definiert ist.

Beispiel 8.65

Sei $[a,b] \subseteq \mathbb {R}$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten [latex]a0[/latex] für alle $x \in [a,b]$. (Wir erinnern daran, dass dies im Allgemeinen nicht dasselbe wie strenge Monotonie von $f$ ist, aber strenge Monotonie impliziert.) Angenommen es gilt $f(a) 0$. Dann gibt es auf Grund des Zwischenwertsatzes (Satz 3.59) ein $z \in [a,b]$ mit $f(z) = 0$, das wegen der strengen Monotonie von $f$ eindeutig bestimmt ist. Beginnend mit einem gewählten Punkt $x_0 \in [a,b]$ definieren wir rekursiv
$\begin{aligned}[]x_{n+1} = x_{n} - \frac {f(x_n)}{f'(x_n)}\end{aligned}$
für alle $n \in \mathbb {N}_0$ (falls $x_n \in [a,b]$). Die Idee hinter diesem Verfahren möchten wir in folgendem Bild erklären.

Abbildung 8.2 – In einem ersten Schritt approximiert man $f$ mit der Tangenten $g_0: t \mapsto f(x_0) + f'(x_0) (t-x_0)$ bei $x_0$. Von dieser berechnet man nun die eindeutige Nullstelle $x_1 = x_{0} - \frac {f(x_0)}{f'(x_0)}$. In einem zweiten Schritt verwendet man nun diesen neuen Punkt $x_1$ und berechnet die eindeutige Nullstelle $x_2$ der Tangenten $g_1$ bei $x_1$. Dies führt man iterativ so fort.

Falls die Folge $(x_n)_n$ definiert ist (das heisst, $x_n \in [a,b]$ für alle $n \in \mathbb {N}$) und konvergiert, dann ist ihr Grenzwert eine Nullstelle von $f$ und somit unter unseren Annahmen gleich der Nullstelle $z$. In der Tat gilt für $z' = \lim _{n \to \infty }x_n$

und somit $f(z') = 0$ und $z'=z$.

Das Konvergenzverhalten der Folge $(x_n)_n$ ist im Allgemeinen «sehr chaotisch» . Unter etwas stärkeren Annahmen möchten wir nun aber zeigen, dass die Folge $(x_n)_n$ konvergiert und die Konvergenzgeschwindigkeit untersuchen.

Wir nehmen zusätzlich an, dass $f$ zweimal stetig differenzierbar ist und definieren

Nun wenden wir Korollar 8.59 an, um den Fehlerterm $R_{x_0,1}^f$ bei der Approximation von $f$ durch die Tangente um $x_0$ abzuschätzen. Bei der Nullstelle $z$ ergibt dies
$\begin{aligned}[]\label{eq:fund-newton1} |R_{x_0,1}^f(z)| \leq \frac {M |z-x_0|^2}{2}\end{aligned}$
Des Weiteren gilt per Definition
$\begin{aligned}[]\label{eq:fund-newton2} 0 = f(z) = f(x_0) + f'(x_0) (z-x_0) + R_{x_0,1}^f(z).\end{aligned}$
Wir dividieren Gleichung (8.14) durch $f'(x_0)$ und erhalten

Mit der Abschätzung (8.13) ergibt dies
$\begin{aligned}[]\label{eq:fund-newton3} |x_1-z| = \left | \frac {R_{x_0,1}^f(z)}{f'(x_0)}\right | \leq \tfrac {M}{2m}\, |x_0-z|^2\end{aligned}$
Falls nun $\varepsilon \in (0,\frac {m}{M})$ klein genug ist, so dass $B_\varepsilon (z) \subseteq [a,b]$ gilt, und falls $x_0 \in B_\varepsilon (z)$ ist, dann folgt aus (8.15), dass

Daher liegt $x_1$ auch in $[a,b]$ und ist bereits näher an $z$ als $x_0$. Komplett analog beweist man, dass für alle $n \in \mathbb {N}_0$

gilt, was mit vollständiger Induktion auch

für alle $n \in \mathbb {N}_0$ zeigt. Insbesondere konvergiert die Folge $(x_n)_n$ und wir können das Newton-Verfahren (unter geeigneter Wahl eines Startpunktes $x_0$) verwenden, um die Nullstelle mit hoher Genauigkeit zu approximieren. Die Konvergenz ist noch schneller als diese Abschätzung beweist; man spricht von quadratischer Konvergenz.

Übung 8.66: Quadratische Konvergenz

Wir möchten die Konvergenzgeschwindigkeit des Newton-Verfahrens hier genauer analysieren. In obigem Beispiel wurde gezeigt, dass sich der Fehler in jedem Schritt mindestens halbiert. Wir betrachten nun das Argument etwas genauer (und behalten dementsprechend die Notation). Sei $\beta = \frac {M}{2m}$. Zeigen Sie für den mit $\beta$ gewichteten Abstand $\beta |x_n-z|$ die Abschätzung

für jedes $n \in \mathbb {N}$ gilt.

Übung 8.67

Verwenden Sie das Newton-Verfahren, um $\sqrt {2}$ (oder alternativ eine andere irrationale, reelle algebraische Zahl) auf drei Dezimalstellen genau zu berechnen. Für die genaue, numerische Berechnung des Resultats dürfen Sie einen Rechner oder ein Computer-Programm benutzen.

Satz 8.68

Seien [latex]a

1. (Rechtecksregel*) Falls $f$ stetig differenzierbar ist, dann gilt
   $\begin{aligned}[]\int _a^{b} f(x) \thinspace {\rm {d}} x = h \big ( f(x_0) + \ldots + f(x_{n-1}) \big ) + F_1,\end{aligned}$

   wobei der Fehler $F_1$ durch $|F_1| \leq \frac {(b-a)^{2}}{2n} \max _{x \in [a,b]} |f'(x)|$ beschränkt ist.

2. (Sehnentrapezregel) Falls $f$ zweimal stetig differenzierbar ist, dann gilt
   $\begin{aligned}[]\int _a^{b} f(x) \thinspace {\rm {d}} x &= h \left ( \frac {f(x_0)+f(x_1)}{2} + \ldots + \frac {f(x_{n-1})+f(x_n)}{2} \right ) + F_2 \\ &= \frac {h}{2} \big ( f(x_0) + 2f(x_1) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) \big ) + F_2,\end{aligned}$

   wobei der Fehler $F_2$ durch $|F_2| \leq \frac {(b-a)^{3}}{6n^{2}} \max _{x \in [a,b]} |f''(x)|$ beschränkt ist.

3. (Simpson-Regel*) Falls $f$ viermal stetig differenzierbar ist und $n$ gerade ist, dann gilt
   $\begin{aligned}[]\int _a^{b} f(x) \thinspace {\rm {d}} x = \frac {h}{3} \big ( f(x_0) + 4 f(x_1) + 2 f(x_2) &+ 4 f(x_3) + 2 f(x_4) + \ldots \\ &+ 2 f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\big ) + F_3,\end{aligned}$

   wobei der Fehler $F_3$ durch $|F_3| \leq \frac {(b-a)^{5}}{45 n^{4}} \max _{x \in [a,b]}|f^{(4)}(x)|$ beschränkt ist.

Übung 8.69

Erklären Sie unter Verwendung der Simpson-Regel, wie man $\pi = 4 \int _0^1 \frac {1}{1+x^2} \thinspace {\rm {d}} x$ auf beliebig viele Dezimalstellen genau bestimmen kann.

Übung 8.70

Sei $a \in \mathbb {R}$ und seien $f,g:[a,\infty ) \to \mathbb {R}$ zwei stetige Funktionen mit $g(x)>0$ für alle $x\in [a,\infty )$. Zeigen Sie, dass die Aussagen

äquivalent sind.

Beispiel 8.71: Parameterabhängigkeit bei Landau-Notation

Sei $k \in \mathbb {N}$ und $\alpha \in (-\infty ,2]$.

1. Nach Taylorapproximation im Sinne von Korollar 8.59 gilt
   $\begin{aligned}[]\left |x^{\frac {3}{2}} - \left ( k^{\frac {3}{2}} + \tfrac {3}{2} k^{\frac {1}{2}}(x-k) \right )\right | \leq \tfrac {1}{2}\max _{t\in [1,\infty )}\bigl |\tfrac 34t^{-\frac 12}\bigr | (x-k)^2 = \tfrac {3}{8} (x-k)^2\end{aligned}$

   für $x\in [1,\infty )$ . Insbesondere gilt

   $\begin{aligned}[]x^{\frac {3}{2}} = k^{\frac {3}{2}} + \tfrac {3}{2} k^{\frac {1}{2}} (x-k) + O((x-k)^2)\quad \text {für } x \in [1,\infty ),\end{aligned}$

   wobei die in $O(\cdot )$ versteckte implizite Konstante also nicht vom Parameter $k$ abhängt.

2. Hängt die implizite Konstante, nicht wie in (a) oben, vom Parameter ab, so indizieren wir den Parameter bei $O(\cdot )$. Ein konkretes Beispiel: Wenn $\alpha \in (-\infty ,2]$, dann gilt
   $\begin{aligned}[]x^\alpha = 1+ \alpha (x-1) + O_\alpha ((x-1)^2)\end{aligned}$

   für $x \in [\frac {1}{2},\infty )$ auf Grund der Taylorapproximation in Korollar 8.59.

3. Auch eine Abhängigkeit des Definitionsbereichs vom Parameter ist denkbar und oft nützlich. Für alle Zahlen $t \in \left [k-\frac 12,k+\frac 12\right ]$ gilt $(\log )''(t)=-\frac 1{t^{2}}=O\left (\frac 1{k^2}\right )$ und daher
   $\begin{aligned}[]\log (t) = \log (k) + \tfrac {1}{k} (t-k) + O\left (\tfrac {(t-k)^2}{k^2} \right ) = \log (k) + \tfrac {1}{k} (t-k) + O\left (\tfrac {1}{k^2} \right )\end{aligned}$

   auf Grund der Taylorapproximation in Korollar 8.59.

Im Allgemeinen sollte man die Landau-Notation sorgfältig verwenden, da sich hier oft Fehler einschleichen insbesondere bei der Frage der Abhängigkeit der impliziten Konstanten.

Übung 8.72: Besuche bei der Irrfahrt auf $\mathbb {Z}$

Wir betrachten eine (diskrete) zufällige Bewegung auf den ganzen Zahlen ausgehend von Null. Also beginnen wir zur Zeit $t = 0$ im Ursprung, hüpfen dann mit Wahrscheinlichkeit $\tfrac {1}{2}$ entweder nach links auf die Position $-1$ oder nach rechts auf die Position $1$. Bezeichnet im Allgemeinen $x_t \in \mathbb {Z}$ die Position zur Zeit $t\in \mathbb {N}$, so bewegen wir uns auf die Zeit $t+1$ hin wieder entweder links oder rechts mit gleicher Wahrscheinlichkeit von $\frac {1}{2}$.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man sich zur Zeit $t \in \mathbb {N}$ bei Null befindet und approximieren Sie diese mit der Stirling-Formel.

Übung 8.73

Eine Münze wird $n$-mal geworfen. Sei $\varepsilon >0$. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze höchstens $(\frac 12-\varepsilon )n$-mal auf Kopf fällt, für $n \to \infty$ gegen Null geht.

Hinweis: Sie dürfen dabei annehmen, dass $2^{-n}\binom {n}{k}$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei $n$-maligem Wurf die Münze $k$-mal auf Kopf fällt. Zeigen Sie auch, dass die Funktion $x\in (0,1)\mapsto x\log (x)+(1-x)\log (1-x)$ ein striktes lokales Maximum bei $x=\frac 12$ hat.

Übung 8.74: Ein Ausblick auf Algorithmik

In dieser Übung wollen wir die worst case Geschwindigkeit eines Sortieralgorithmus abschätzen. Sei also gegeben ein Algorithmus, der zu einem Datensatz $a_1,\ldots ,a_n \in \mathbb {Z}$ diesen umordnet, das heisst, eine Abbildung $j: \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace \to \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace$ findet, so dass $a_{j(1)}\leq \ldots \leq a_{j(n)}$. Wir interessieren uns nun für die Zahl $W(n)$ der Anzahl Vergleiche zweier Zahlen des Datensatzes, die der Algorithmus schlimmstenfalls durchführen muss, um den Datensatz zu sortieren. Zeigen Sie, dass eine von $n$ unabhängige Konstante $C> 0$ existiert, so dass $W(n) \geq C n \log (n)$.

Übung 8.75

Wir wollen die Asymptotik (8.22) in dieser Übung beweisen.

1. Beweisen Sie, dass das Integral in der Definition von $\gamma$ konvergiert und dass die Gleichung
   $\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^n \frac {1}{k} = \log (n) + \gamma + \frac {1}{n} - \int _{n}^\infty \left (\frac {1}{\lfloor {x} \rfloor }-\frac {1}{x}\right ) \thinspace {\rm {d}} x\end{aligned}$

   für alle $n \in \mathbb {N}$ gilt.

2. Verwenden Sie Taylor-Approximation, um
   • $\log (m+1) = \log (m) + \tfrac {1}{m}- \tfrac {1}{2m^2} + O(\tfrac {1}{m^3})$
   • $\frac {1}{m} - \int _m^{m+1} \frac {1}{t} \thinspace {\rm {d}} t = \frac {1}{2m^2} + O(\tfrac {1}{m^3}) = \tfrac {1}{2} \int _m^{m+1} t^{-2} \thinspace {\rm {d}} t + O(\tfrac {1}{m^3})$

   für $m \in \mathbb {N}$ zu beweisen.

3. Verwenden Sie das Integralkriterium (Satz 8.46) um zu zeigen, dass
   $\begin{aligned}[]\sum _{m=n}^\infty \frac {1}{m^3} = O(\tfrac {1}{n^2})\end{aligned}$

   für $n \to \infty$.

4. Verbinden Sie die obigen Aussagen zu einem Beweis von (8.22).
5. Wiederholen Sie Beispiel 6.5 und approximieren Sie mit der Formel (8.22) die notwendige Anzahl Bausteine $n$ für einen Sprungturm, der $10$m in den See hinreicht. Vergleichen Sie dies dann zum exakten Resultat $n=12367$.

Übung

Berechnen Sie die unbestimmten Integrale

Übung

Zeigen Sie, dass jede stetig differenzierbare Funktion $f: [a,b] \to \mathbb {R}$ auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ mit Endpunkten [latex]a 4.8.2) hat und dass $V(f)(x) = \int _a^x |f'(t)| \thinspace {\rm {d}} t$ gilt für alle $x \in [a,b]$.

Übung: Abel-Summation und Partielle Integration

Wir wollen in dieser Übung den Zusammenhang zwischen der Abel-Summation und der partiellen Integration erklären. Sei also [latex]a3.3, um die partielle Integration $\int _a^b uv'\thinspace {\rm {d}} x=[uv]_a^b-\int _a^bu'v\thinspace {\rm {d}} x$ zu beweisen.

Übung: Ein alternativer Beweis von Proposition 4.30

Wir möchten hier einen Beweis von Proposition 4.30 unter der Annahme, dass $f$ stetig ist, durchführen. Gehen Sie wie folgt vor:

1. Zeigen Sie, dass die Abbildung $F:x\in [a,b] \mapsto \mathcal {I}(a,x)$ differenzierbar ist und dass $F' = f$.
2. Verwenden Sie nun den Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung, um auf Proposition 4.30 zu schliessen.

Übung: Volumen einer Vase

Berechnen Sie das Volumen der Vase

Übung: Gleichmässige Konvergenz der Ableitungen

Sei $(f_n)_n$ eine Folge stetig differenzierbarer reellwertiger Funktionen auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ mit Endpunkten [latex]a

Übung

Wir verwenden obige Übung, um eine glatte Funktion zu konstruieren, deren Taylorreihe um einen Punkt Konvergenzradius Null hat.

1. Zeigen Sie, dass die Reihe $\sum _{n=0}^\infty \mathrm {e}^{-n} \cos (n^2 x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$ absolut konvergiert.
2. Nach (i) definieren wir die Funktion
   $\begin{aligned}[]f: x \in \mathbb {R} \mapsto \sum _{n=0}^\infty \mathrm {e}^{-n} \cos (n^2 x).\end{aligned}$

   Zeigen Sie, dass $f$ glatt ist.

3. Berechnen Sie die Taylorreihe von $f$ um Null und deren Konvergenzradius.

Übung: Krümmung ebener Kurven

In dieser Übung möchten wir die Krümmung ebener Kurven betrachten. Alle Kurven, die wir dabei betrachten wollen, sollen zweimal differenzierbar, regulär und einfach sein, hier der Einfachheit vorerst inklusive den Endpunkten. Für eine solche Kurve $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R}^2$ und ein $p\in \mathbb {R}^2$ auf der Kurve sei $t\in [a,b]$ der eindeutige Zeitpunkt mit $\gamma (t) = p$. Dann ist die Krümmung von $\gamma$ bei $p$ definiert als

wobei $R = \Big ({\scriptsize \arraycolsep =0.3\arraycolsep \ensuremath {\begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}}} \Big )$. Ist $\gamma$ einfach, aber erfüllt $\gamma (a) = \gamma (b)$, so reicht es anzunehmen, dass $\dot {\gamma }(a) = \dot {\gamma }(b)$ und $\ddot {\gamma }(a) = \ddot {\gamma }(b)$ gilt, damit obiger Ausdruck für die Krümmung Sinn ergibt.

1. Berechnen Sie die Krümmung der Kurven $t \mapsto (\cos (t),\sin (t))$ und $t \mapsto (\cosh (t),\sinh (t))$ (definiert auf geeigneten Intervallen).
2. Zeigen Sie, dass die Krümmung unabhängig ist von der Parametrisierung, das heisst, dass für jede Reparametrisierung $\gamma \circ \psi$ einer Kurve $\gamma$ wie oben gilt $\kappa _{\gamma \circ \psi }(p) = \kappa _\gamma (p)$ für alle Punkte $p$ auf der Kurve.

Übung: Existenz von Kurven vorgegebener Krümmung

Wie in vorheriger Übung möchten wir hier die Krümmung ebener Kurven betrachten, aber dabei zulassen, dass die betrachteten Kurven nicht einfach sind, womit für eine reguläre Kurve $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R}^2$ die Krümmung $\kappa _\gamma$ definiert ist als Funktion auf $[a,b]$ via $\kappa _\gamma (t) = \frac {\langle \dot {\gamma }(t),R \ddot {\gamma }(t) \rangle }{\| {\dot {\gamma }(t)}\| ^3}$.

Sei nun $\kappa :[a,b] \to \mathbb {R}$ eine beliebige stetige Funktion auf einem Intervall $[a,b]$ mit Endpunkten [latex]a

und setzen

Zeigen Sie, dass die Komponenten von $\gamma$ jeweils zweimal stetig differenzierbar ist und dass $\gamma$ eine reguläre, nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ist. Verifizieren Sie anschliessend, dass $\kappa _\gamma = \kappa$ gilt.

Übung: Irrationalität der Kreiszahl

In dieser Übung möchten wir zeigen, dass $\pi$ irrational ist, wobei wir dem Beweis von Niven ^[3]folgen werden.

Per Widerspruch wollen wir annehmen, dass $\pi = \frac {a}{b}$ ist für $a,b \in \mathbb {N}$. Nun betrachten wir die Polynome

für ein $n \in \mathbb {N}$, welches wir später wählen werden.

1. Begründen Sie, wieso $f$, alle Ableitungen von $f$ und $F$ bei $0$ und bei $\pi$ ganzzahlige Werte annehmen. Verifizieren Sie des Weiteren, dass $f|_{[0,\pi ]}$ eine nicht-negative Funktion ist, welche genau bei $0$ und $\pi$ verschwindet.
2. Zeigen Sie, dass
   $\begin{aligned}[](F'(x) \sin (x) - F(x) \cos (x))' = f(x) \sin (x)\end{aligned}$

   und $\int _0^\pi f(x) \sin (x) \thinspace {\rm {d}} x = F(\pi ) + F(0)$.

3. Schliessen Sie auf einen Widerspruch.

Übung: Summe der Reziproken der Primzahlen

In dieser Übung möchten wir für natürliche Zahlen $n \in \mathbb {N}$ die Summe $\sum _{p \in \mathbb {P}: p \leq n} \frac {1}{p}$ betrachten, wobei $\mathbb {P} \subseteq \mathbb {N}$ die Menge der Primzahlen bezeichnet. Dabei möchten wir zeigen, dass

für alle $n\geq 3$ und eine Konstante $C >1$. Insbesondere gibt es unendlich viele Primzahlen (wieso?). Die obige Ungleichung stellt eine (stark) abgeschwächte Version des zweiten Theorems von Mertens (und damit einen Vorreiter des Primzahlsatzes) dar.

1. Verifizieren Sie für alle $n\in \mathbb {N}$ die Ungleichung
   $\begin{aligned}[]\exp \bigg (\sum _{p \in \mathbb {P}: p \leq n} \frac {1}{p}\bigg ) \geq \prod _{p \in \mathbb {P}: p \leq n} \left ( 1 + \frac {1}{p}\right ).\end{aligned}$
2. Zeigen Sie für alle $n \in \mathbb {N}$
   $\begin{aligned}[]\sum _{k=1}^n \frac {1}{k} \leq \bigg ( \sum _{\ell =1}^n \frac {1}{\ell ^2} \bigg ) \prod _{p \in \mathbb {P}: p \leq n} \left ( 1 + \frac {1}{p}\right )\end{aligned}$
3. Schliessen Sie auf die Aussage.