Satz 11.1: Stetige lokale Lösungsfunktion

Sei [latex]r > 0[/latex] ein Radius und seien [latex]x_0 \in \mathbb {R}^n[/latex], [latex]y_0 \in \mathbb {R}^m[/latex] Punkte. Wir betrachten die offene Teilmenge

von [latex]\mathbb {R}^n \times \mathbb {R}^m[/latex]. Sei [latex]F: B_r^{\mathbb {R}^n}(x_0) \times B_r^{\mathbb {R}^m}(y_0)\to \mathbb {R}^m[/latex] eine stetige Funktion, die die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

• [latex]F(x_0,y_0) =0[/latex].
• Die partiellen Ableitungen
  [latex]
  \begin{aligned}[]\partial _{y_k} F:B_r^{\mathbb {R}^n}(x_0) \times B_r^{\mathbb {R}^m}(y_0) \to \mathbb {R}^m\end{aligned}
  [/latex]

  existieren für alle [latex]k \in \left \lbrace {1,\ldots ,m} \right \rbrace[/latex] und sind auf [latex]B_r^{\mathbb {R}^n}(x_0) \times B_r^{\mathbb {R}^m}(y_0)[/latex] stetig.

• Die totale Ableitung [latex]A[/latex] bei [latex]y_0[/latex] der Abbildung [latex]y \in B_r(y_0) \mapsto F(x_0,y)[/latex] ist invertierbar, das heisst, die Matrix [latex]A = (\partial _{y_k} F_j(x_0,y_0))_{j,k} \in \operatorname {Mat}_{m,m}(\mathbb {R})[/latex] hat nicht-verschwindende Determinante.

Dann existiert ein offener Ball [latex]U_0 = B_\alpha (x_0)[/latex] um [latex]x_0[/latex] und ein offener Ball [latex]V_0 = B_\beta (y_0)[/latex] um [latex]y_0[/latex] mit [latex]\alpha ,\beta \in (0,r)[/latex] und eine stetige Funktion [latex]f:U_0 \to V_0[/latex], so dass für alle [latex](x,y) \in U_0 \times V_0[/latex] die Gleichung [latex]F(x,y) = 0[/latex] genau dann gilt, wenn [latex]y = f(x)[/latex] gilt. Insbesondere ist [latex]f(x_0) = y_0[/latex].

Satz 11.2: Differenzierbarkeit der lokalen Lösungsfunktion

Seien [latex]r > 0[/latex], [latex]x_0 \in \mathbb {R}^n[/latex], [latex]y_0 \in \mathbb {R}^m[/latex] und [latex]F: B_r(x_0) \times B_r(y_0)\to \mathbb {R}^m[/latex] mit den Eigenschaften aus Satz 11.1 und sei [latex]f: U_0 \to V_0[/latex] die stetige lokale Lösungsfunktion aus Satz 11.1. Angenommen [latex]F[/latex] ist [latex]d[/latex]-mal stetig differenzierbar für [latex]d \geq 1[/latex]. Dann ist die stetige Lösungsfunktion [latex]f[/latex] ebenso [latex]d[/latex]-mal stetig differenzierbar und die Ableitung von [latex]f[/latex] bei [latex]x \in U_0[/latex] ist durch
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:impl-diffimplfctthm} \thinspace {\rm {D}}_x f = - ((\pmb {\partial }_{{y}} F)(x,f(x)))^{-1} (\pmb {\partial }_{{x}} F)(x,f(x))\end{aligned}
[/latex]
gegeben.

Beispiel 11.3: Zum Differential der impliziten Funktion

1. Der Einheitskreis [latex]\mathbb {S}^1[/latex] in [latex]\mathbb {R}^2[/latex] ist definiert durch die Gleichung [latex]x^2+y^2=1[/latex]. Nahe jedem Punkt [latex](x_0,y_0)\in \mathbb {S}^1[/latex] mit [latex]x_0\neq 0[/latex] ist diese Gleichung nach der Variablen [latex]x[/latex] auflösbar und für die so definierte implizite Funktion [latex]x=x(y)[/latex] erhalten wir durch Ableiten der definierenden Gleichung nach [latex]y[/latex] und Auswerten im Punkt [latex](x_0,y_0)[/latex]
   [latex]
   \begin{aligned}[]2x_0x'(y_0)+2y_0=0,\end{aligned}
   [/latex]

   also [latex]x'(y_0)=-\frac {y_0}{x_0}[/latex].

2. Die Funktion [latex]F\colon \mathbb {R}^4\to \mathbb {R}^2[/latex] sei definiert durch
   [latex]
   \begin{aligned}[]F(x,y,z,w)=\begin{pmatrix}x^2+y+z-2\\ y-2z+w^3\end{pmatrix}\end{aligned}
   [/latex]

   für [latex](x,y,z,w)^t\in \mathbb {R}^4[/latex]. Wir wollen die Auflösbarkeit der Gleichung [latex]F(x,y,z,w)=0[/latex] in einer Umgebung des Punktes [latex](x_0,y_0,z_0,w_0)=(0,1,1,1)[/latex] untersuchen. Dazu betrachten wir das Differential

   [latex]
   \begin{aligned}[]\thinspace {\rm {D}}_{(x_0,y_0,z_0,w_0)}F=\begin{pmatrix}0&1&1&0\\ 0&1&-2&3\end{pmatrix}.\end{aligned}
   [/latex]

   Der Satz über implizite Funktionen besagt nun, dass wir die Gleichung [latex]F(x,y,z,w)=0[/latex] nahe [latex](x_0,y_0,z_0,w_0)[/latex] nach zwei der Variablen [latex]x,y,z,w[/latex] auflösen können, sofern die [latex]2\times 2[/latex]-Teilmatrix obigen Differentials bestehend aus den zu diesen Variablen gehörigen partiellen Ableitungen invertierbar ist. Zum Beispiel ist dies der Fall für das Variablenpaar [latex]y[/latex] und [latex]w[/latex], da die Teilmatrix [latex](\begin{smallmatrix}1&0\\ 1&3\end{smallmatrix})[/latex] bestehend aus der 2. und 4. Spalte invertierbar ist. Die Ableitung der so definierten impliziten Funktionen [latex]y=y(x,z)[/latex] und [latex]w=w(x,z)[/latex] in [latex](x_0,z_0)=(0,1)[/latex] ist gemäss der Formel in Satz 11.2 dann gegeben durch

   [latex]
   \begin{aligned}[]\thinspace {\rm {D}}_{(x_0,z_0)}\begin{pmatrix}y\\ w\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1&0\\ 1&3\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0&1\\ 0&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\ 0&1\end{pmatrix}.\end{aligned}
   [/latex]

Übung 11.4: Geometrische Reihe von Matrizen

Es bezeichne [latex]\| {\cdot }\| _{\mathrm {op}}[/latex] die Matrixnorm (siehe Definition 9.75).

1. Zeigen Sie, dass für [latex]B \in \operatorname {Mat}_{m,m}(\mathbb {R})[/latex] mit [latex]\| {B}\| _{\mathrm {op}} [latex]
   \begin{aligned}[](I_m-B)^{-1} = \sum _{j=0}^\infty B^j.\end{aligned}
   [/latex]

Proposition 11.12: Lokale Darstellbarkeit durch Graphen

Eine Teilmenge [latex]M \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] ist genau dann eine [latex]k[/latex]-dimensionale Teilmannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt [latex]p \in M[/latex] eine offene Umgebung [latex]U_p[/latex] von [latex]p[/latex] in [latex]\mathbb {R}^n[/latex], eine glatte Funktion [latex]f_p:\tilde {U}_p\to \mathbb {R}^{n-k}[/latex] auf einer offenen Teilmenge [latex]\tilde {U}_p\subseteq \mathbb {R}^k[/latex] und ein [latex]\sigma \in S_n[/latex] gibt, so dass

Applet 11.13: Illustration zur Darstellbarkeit durch Graphen

In diesem Applet illustrieren wir Proposition 11.12 anhand einer eindimensionalen Teilmannigfaltigkeit von [latex]\mathbb {R}^2[/latex], wobei Sie rechts auswählen können ob für den ausgewählten Punkt die Vertauschung der Koordinaten angewendet werden sollte.

Übung 11.14: Ein Überschneidungspunkt

Sei [latex]M = \left \lbrace {(x,y)\in \mathbb {R}^2} \mid {x(y^2-x) = 0}\right \rbrace[/latex]. Zeigen Sie unter Verwendung von Proposition 11.12, dass [latex]M\setminus \left \lbrace {0} \right \rbrace[/latex] eine Teilmannigfaltigkeit ist, aber [latex]M[/latex] nicht.

Übung 11.15: Topologische Eigenschaften von Teilmannigfaltigkeiten

Zeigen Sie, dass jede [latex]n[/latex]-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von [latex]\mathbb {R}^n[/latex] eine offene Teilmenge von [latex]\mathbb {R}^n[/latex] ist. Zeigen Sie ebenso, dass jede nulldimensionale Teilmannigfaltigkeit von [latex]\mathbb {R}^n[/latex] eine diskrete Teilmenge von [latex]\mathbb {R}^n[/latex] ist.

Bemerkung: [latex]C^\ell[/latex]-Teilmannigfaltigkeiten

Der Begriff der glatten Teilmannigfaltigkeit in Definition 11.10 lässt sich zum Begriff von [latex]C^\ell[/latex]-Teilmannigfaltigkeiten für ein beliebiges [latex]\ell \in \mathbb {N} \cup \left \lbrace {\infty } \right \rbrace[/latex] verallgemeinern. Dazu betrachtet man in Analogie zu Definition 11.10 lokale [latex]C^\ell[/latex]-Diffeo­morphismen [latex]\varphi _p[/latex]. Da wir in Zukunft aber sowieso meist an glatten Teilmannigfaltigkeiten interessiert sein werden und die Notation einfach halten möchten, haben wir auf diese Verallgemeinerung verzichtet.

Theorem 11.16: Satz über den konstanten Rang

Sei [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] offen, [latex]1 \leq m

Beispiel 11.17

Der einzige kritische Punkt der Funktion [latex]F: (x,y,z)^t \mapsto x^2+y^2-z^2[/latex] auf [latex]\mathbb {R}^3[/latex] ist wiederum der Ursprung (wieso?). Aus diesem Grund und wegen Theorem 11.16 sind das sogenannte einschalige Hyperboloid

und das sogenannte zweischalige Hyperboloid

zweidimensionale Teilmannigfaltigkeiten von [latex]\mathbb {R}^3[/latex].

Beispiel 11.18: 2-Torus

Seien [latex]0

Wir möchten hier zeigen, dass der [latex]2[/latex]-Torus eine zweidimensionale Teilmannigfaltigkeit des [latex]\mathbb {R}^3[/latex] ist. Passend zu der geometrischen Beschreibung können wir den [latex]2[/latex]-Torus auch durch eine Gleichung definieren, nämlich

Wir betrachten also die glatte Funktion

und zeigen, dass [latex]0[/latex] ein regulärer Wert von [latex]F[/latex] ist. Zuerst bemerken wir, dass

für alle [latex]z\in \mathbb {R}[/latex]. Für [latex]p =(x,y,z)^t\in M[/latex] gilt also [latex]p\in (\mathbb {R}^2\setminus \left \lbrace {0} \right \rbrace ) \times \mathbb {R}[/latex] und

Wenn nun obiges [latex]p[/latex] ein kritischer Punkt (das heisst, [latex]\thinspace {\rm {D}}_pF = 0[/latex]) ist, so gilt [latex]z = 0[/latex] und [latex]R = \sqrt {x^2+y^2}[/latex] wegen [latex](x,y) \neq 0[/latex]. Keiner dieser Punkte liegt aber auf [latex]\mathbb {T}^2[/latex] und somit ist [latex]0[/latex] ein regulärer Wert von [latex]F[/latex]. Nach Theorem 11.16 ist der [latex]2[/latex]-Torus eine zweidimensionale Teilmannigfaltigkeit des [latex]\mathbb {R}^3[/latex].

Übung 11.19: Parametrisierung des [latex]2[/latex]-Torus

Wir möchten hier eine Parametrisierung des [latex]2[/latex]-Torus mit Parametern [latex]R,r[/latex] besprechen.

Dazu betrachten wir als erstes zwei Winkel [latex]\varphi , \psi[/latex]. Dabei stellt der erste Winkel [latex]\varphi[/latex] den Winkel in der [latex]xy[/latex]-Ebene dar und der zweite Winkel [latex]\psi[/latex] stellt den Winkel in der Ebene dar, die von der [latex]z[/latex]-Richtung und der von [latex]\varphi[/latex] fixierten Richtung in der [latex]xy[/latex]-Ebene gegeben ist.

1. Sei
   [latex]
   \begin{aligned}[]\bar {f}: [0,2\pi ] \times [0,2\pi ] \to \mathbb {T}^2,\quad (\varphi ,\psi ) \mapsto ((R+r \sin \psi )\cos \varphi ,(R+r\sin \psi )\sin \varphi ,r \cos \psi )^t.\end{aligned}
   [/latex]

   Zeigen Sie, dass [latex]\bar {f}[/latex] tatsächlich eine stetige Abbildung ist, die auf [latex]\mathbb {T}^2[/latex] abbildet. Überzeugen Sie sich auch davon, dass [latex]\bar {f}[/latex] surjektiv, aber nicht injektiv ist.

2. Die Abbildung [latex]\bar {f}[/latex] lässt sich auch nicht so einschränken, dass [latex]\bar {f}[/latex] eine stetige Bijektion mit stetiger Inverser wird (was wir wollen). Überzeugen Sie sich als Beispiel davon, dass [latex]\bar {f}|_{[0,2\pi )^2}[/latex] bijektiv und stetig ist, aber keine stetige Inverse besitzt.

Nach (ii) ist [latex]\bar {f}[/latex] offenbar nicht die optimale Weise, den [latex]2[/latex]-Torus topologisch zu verstehen. Wir wechseln nun deswegen vom Intervall [latex][0,2\pi ][/latex] auf den Einheitskreis, wo die Winkel [latex]0[/latex] und [latex]2 \pi[/latex] automatisch identifiziert werden.

2. Zeigen Sie, dass die Abbildung
   [latex]
   \begin{aligned}[]f: \mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^1 \to \mathbb {T}^2,\quad ((x,y)^t, (v,w)^t) &\mapsto ((R+rw)x,(R+rw)y,rv)^t\end{aligned}
   [/latex]

   eine stetige Bijektion mit stetiger Inversen definiert.

Tatsächlich ist, wenn man weiss, was differenzierbare Abbildung zwischen Teilmannigfaltigkeiten sind, die obige Abbildung [latex]f[/latex] glatt mit glatter Inversen und somit die richtige Art und Weise [latex]\mathbb {T}^2[/latex] zu verstehen.

Definition 11.20: Tangentialraum

Sei [latex]M \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] eine [latex]k[/latex]-dimensionale Teilmannigfaltigkeit. Der Tangentialraum (oder Phasenraum) von [latex]M[/latex] bei [latex]p \in M[/latex] ist durch

und das Tangentialbündel von [latex]M[/latex] durch

definiert.

Satz 11.21: Lokale Beschreibung des Tangentialbündels

Sei [latex]M \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] eine [latex]k[/latex]-dimensionale Teilmannigfaltigkeit.

• Sei [latex]U_0 \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] eine offene Umgebung und sei [latex]\varphi : U_0 \to V_0 \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] ein Diffeomorphismus mit
  [latex]
  \begin{aligned}[]\varphi (U_0 \cap M) = \left \lbrace {y\in V_0} \mid {y_{k+1} = \ldots = y_n = 0}\right \rbrace = V_0 \cap \mathbb {R}^k\end{aligned}
  [/latex]

  wie in Definition 11.10. Wir definieren [latex]\psi = \varphi ^{-1}: V_0 \to U_0[/latex] und die Ableitung

  [latex]
  \begin{aligned}[]\thinspace {\rm {D}} \psi : \mathrm {T} V_0 &\to \mathrm {T} U_0\\ (y,h) &\mapsto (\psi (y), \thinspace {\rm {D}}_y \psi (h)).\end{aligned}
  [/latex]

  Dann ist die Einschränkung von [latex]D\psi[/latex] eine Bijektion von [latex]\mathrm {T} (V_0 \cap \mathbb {R}^k) = (V_0 \cap \mathbb {R}^k) \times \mathbb {R}^k[/latex] nach [latex]\mathrm {T} (U_0 \cap M)[/latex]. Insbesondere ist [latex]\mathrm {T}_p M[/latex] ein [latex]k[/latex]-dimensionaler Unterraum von [latex]\mathrm {T}_p \mathbb {R}^n[/latex] für alle [latex]p\in M[/latex].

• Angenommen [latex]M = \left \lbrace {x \in U} \mid {F(x) = 0}\right \rbrace[/latex] ist gegeben als Niveaumenge einer glatten Funktion [latex]F: U \to \mathbb {R}^{n-k}[/latex] auf einer offenen Teilmenge [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex], so dass [latex]0[/latex] ein regulärer Wert von [latex]F[/latex] ist (wie im Theorem 11.16 über den konstanten Rang). Dann ist
  [latex]
  \begin{aligned}[]\mathrm {T} M = \left \lbrace {(p,v) \in M \times \mathbb {R}^n} \mid {\thinspace {\rm {D}}_p F (v) = 0}\right \rbrace .\end{aligned}
  [/latex]

Beispiel 11.22

Wir betrachten die Sphäre [latex]\mathbb {S}^{n-1} = \left \lbrace {(x_1,\ldots ,x_n)^t \in \mathbb {R}^n} \mid {F(x_1,\ldots ,x_n) = 0}\right \rbrace[/latex] wobei [latex]F:(x_1,\ldots ,x_n)^t \in \mathbb {R}^n \mapsto x_1^2+\ldots +x_n^2-1[/latex]. Dann ist für [latex]x \in \mathbb {S}^{n-1}[/latex]

Somit ist der Tangentialraum bei [latex]x\in \mathbb {S}^{n-1}[/latex] gegeben durch

was gerade die Menge der Vektoren ist, die senkrecht auf [latex]x[/latex] stehen (das orthogonale Komplement von [latex]x[/latex]), und der Anschauung entspricht.

Beispiel 11.23: Tangentialbündel des Einheitskreises und des [latex]2[/latex]-Torus*

1. Wir behaupten als erstes, dass [latex]\mathrm {T} \mathbb {S}^1 \cong \mathbb {S}^1 \times \mathbb {R}[/latex].

   Sei [latex]\iota : \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R}^2[/latex] die Rotation um [latex]90[/latex] Grad im Gegenuhrzeigersinn, das heisst, [latex]\iota (x_1,x_2) = (-x_2,x_1)^t[/latex] für alle [latex](x_1,x_2)^t \in \mathbb {R}^2[/latex]. Wir betrachten nun die Abbildung

   [latex]
   \begin{aligned}[]f: \mathrm {T} \mathbb {S}^1 \to \mathbb {S}^1 \times \mathbb {R}, \quad (x,v) \mapsto (x, \left \langle {v}, {\iota (x)} \right \rangle\end{aligned}
   [/latex]

   und behaupten, dass diese alle gewünschten Eigenschaft hat. Grund dafür ist im Wesentlichen, dass es bei einem fixierten Punkt [latex]x \in \mathbb {S}^1[/latex] nur eine, zu diesem orthogonale Richtung gibt, welche gerade von [latex]\iota (x)[/latex] aufgespannt wird. In der Tat definiert deswegen

   [latex]
   \begin{aligned}[]g: \mathbb {S}^1 \times \mathbb {R} \to \mathrm {T} \mathbb {S}^1,\quad (x,\alpha ) \mapsto (x,\alpha \iota (x))\end{aligned}
   [/latex]

   eine beidseitige Inverse von [latex]f[/latex]. Weiter erhält [latex]f[/latex] per Definition den Fusspunkt und die Abbildung [latex]f|_{\mathrm {T}_x \mathbb {S}^1}[/latex] ist linear und von Null verschieden, also ein Isomorphismus (da beide Räume eindimensional sind).

2. Wir möchten nun auch [latex]\mathrm {T} \mathbb {T}^2 \cong \mathbb {T}^2 \times \mathbb {R}^2[/latex] zeigen. Dazu verwenden wir, dass sich [latex]\mathbb {T}^2[/latex] mit [latex]\mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^1[/latex] via [latex]f: \mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^1 \to \mathbb {T}^2, ((x,y)^t, (v,w)^t) \mapsto ((R+rw)x,(R+rw)y,rv)^t[/latex] eineindeutig parametrisieren lässt (siehe Übung 11.19). Wir erweitern diese Abbildung zu einer Abbildung
   [latex]
   \begin{aligned}[]\tilde {f}: \mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^1 \times \mathbb {R}^2 &\to \mathrm {T}\mathbb {T}^2\\ \Biggl (\underbrace {\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}v\\ w\end{pmatrix}}_{=p},(s,t)\Biggr ) &\mapsto \left (f(p), s\begin{pmatrix}-(R+rw)y\\ (R+rw)x\\ 0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}rvx\\ rvy\\ -rw\end{pmatrix} \right ).\end{aligned}
   [/latex]

   Man kann nun überprüfen, dass [latex]\tilde f[/latex] einen Isomorphismus zwischen [latex]\mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^1 \times \mathbb {R}^2[/latex] und [latex]\mathrm {T}\mathbb {T}^2[/latex] definiert.

Übung 11.24: Tangentialbündel von [latex]\mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^1[/latex]*

1. Zeigen Sie, dass [latex]\mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^1[/latex] eine zweidimensionale Teilmannigfaltigkeit von [latex]\mathbb {R}^4[/latex] ist und dass [latex]\mathrm {T} (\mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^1) \cong (\mathbb {S}^1 \times \mathbb {S}^1) \times \mathbb {R}^2[/latex].
2. Ergänzen Sie die unterlassenen Details in Beispiel 11.23(b) und konstruieren Sie einen Isomorphismus [latex]\mathrm {T} \mathbb {T}^2 \cong \mathbb {T}^2 \times \mathbb {R}^2[/latex].

Beispiel 11.25: Extrema im Inneren und auf dem Rand

Wir betrachten im Folgenden mehrere Situationen, in welchen jeweils eine Teilmenge [latex]B \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] und eine stetig differenzierbare, reellwertige Funktion [latex]f[/latex] auf [latex]B[/latex] gegeben ist. (Wir wollen des Weiteren immer annehmen, dass [latex]f[/latex] auf einer grösseren offenen Menge [latex]U \supseteq B[/latex] definiert und dort stetig differenzierbar ist.)

1. Falls [latex]B = I = [a,b][/latex] ein kompaktes Intervall mit [latex]a7.1.3. Das heisst, wir suchen die kritischen Punkte von [latex]f[/latex] in [latex](a,b)[/latex] und betrachten getrennt noch die Randpunkte [latex]\partial I = \left \lbrace {a,b} \right \rbrace[/latex].
2. Falls [latex]B = P[/latex] ein kompaktes Polygon im [latex]\mathbb {R}^2[/latex] wie zum Beispiel
   [latex]
   \begin{aligned}[]P = \left \lbrace {(x,y)^t\in \mathbb {R}^2} \mid {x \geq 0,\ y \geq 0,\ x+y \leq 1}\right \rbrace\end{aligned}
   [/latex]

   ist, so können wir die Extremwerte auf [latex]B[/latex] finden, indem wir zuerst nach kritischen Punkten von [latex]f[/latex] im Innern [latex]P^\circ[/latex] suchen (mit den Methoden aus Abschnitt 10.4). Anschliessend schränken wir [latex]f[/latex] auf die einzelnen Kanten von [latex]P[/latex] (in obigem Beispiel [latex][0,1] \times \left \lbrace {0} \right \rbrace[/latex], [latex]\left \lbrace {0} \right \rbrace \times [0,1][/latex] und [latex]\left \lbrace {(x,1-x)^t} \mid {x \in [0,1]}\right \rbrace[/latex]) ein und verwenden dort die Methoden von (a). Insbesondere muss man die Werte von [latex]f[/latex] an den Ecken [latex](0,0)^t[/latex], [latex](1,0)^t[/latex] und [latex](0,1)^t[/latex] auch in Betracht ziehen.

3. Falls [latex]B = \left \lbrace {v \in \mathbb {R}^n} \mid {\| {v}\| _2 \leq 1 }\right \rbrace[/latex] der abgeschlossene Einheitsball im [latex]\mathbb {R}^n[/latex] ist, so können wir die kritischen Punkte von [latex]f[/latex] im Inneren [latex]B^\circ = \left \lbrace {v \in \mathbb {R}^n} \mid {\| {v}\|
4. Falls
   [latex]
   \begin{aligned}[]B = \left \lbrace {(x,y,z)^t \in \mathbb {R}^3} \mid {x^2+y^2\leq z\leq 1}\right \rbrace\end{aligned}
   [/latex]

   ist, so können wir die Funktion [latex]f[/latex]

   • im Inneren [latex]B^\circ[/latex] von [latex]B[/latex],
   • auf der Teilmannigfaltigkeit [latex]\left \lbrace {(x,y,z)^t \in \mathbb {R}^3} \mid {x^2+y^2= z
   • auf der Kreisscheibe [latex]\left \lbrace {(x,y,z)^t \in \mathbb {R}^3} \mid {x^2+y^2
   • auf dem Kreis [latex]\left \lbrace {(x,y,z)^t \in \mathbb {R}^3} \mid {x^2+y^2= z = 1}\right \rbrace[/latex]

   getrennt betrachten. Wir finden dann die Extremwerte, indem wir alle kritischen Punkte der Einschränkungen von [latex]f[/latex] auf diese Teilmengen finden.

Proposition 11.26: Notwendige Bedingungen für Extrema mit Nebenbedingungen

Sei [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] offen und [latex]M \subseteq U[/latex] eine Teilmannigfaltigkeit von [latex]\mathbb {R}^n[/latex]. Weiter sei [latex]f:U \to \mathbb {R}[/latex] eine differenzierbare Funktion. Angenommen [latex]f|_M[/latex] nimmt in [latex]p \in M[/latex] ein lokales Extremum an. Dann ist [latex]\nabla f (p)[/latex] ein Normalenvektor an [latex]M[/latex] bei [latex]p[/latex], das heisst, es gilt [latex]\left \langle {\nabla f (p)}, {v} \right \rangle = 0[/latex] für alle [latex](p,v) \in \mathrm {T}_p M[/latex].

Definition 11.27

Die Lagrange-Funktion [latex]L: U \times \mathbb {R}^{n-k} \to \mathbb {R}[/latex] für eine Funktion [latex]f:U\to \mathbb {R}[/latex] ist durch

definiert. Die Komponenten von [latex]\lambda[/latex] werden auch Lagrange-Multiplikatoren genannt.

Korollar 11.28: Notwendige Bedingungen mit Lagrange-Multiplikatoren

Sei [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] eine offene Teilmenge und [latex]M = \left \lbrace {x \in U} \mid {F(x) = 0}\right \rbrace[/latex] eine [latex]k[/latex]-dimensionale Teilmannigfaltigkeit gegeben als Niveaumenge durch eine glatte Funktion [latex]F:U \to \mathbb {R}^{n-k}[/latex] mit regulärem Wert [latex]0[/latex] (siehe Theorem 11.16).

Sei [latex]f:U \to \mathbb {R}[/latex] eine differenzierbare Funktion, für die [latex]f|_M[/latex] in [latex]p \in M[/latex] ein lokales Extremum annimmt, und sei [latex]L[/latex] die zu [latex]M[/latex] und [latex]f[/latex] gehörige Lagrange-Funktion. Dann existieren Lagrange-Multiplikatoren [latex]\lambda \in \mathbb {R}^{n-k}[/latex], so dass die Gleichungen

für alle [latex]i \in \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace[/latex] und [latex]j \in \left \lbrace {1,\ldots ,n-k} \right \rbrace[/latex] erfüllt sind. Dabei ist zu [latex](x,\lambda ) \in U \times \mathbb {R}^{n-k}[/latex]
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:lagrangepartial} \partial _{x_i} L(x,\lambda ) = \partial _i f(x) - \sum _{j=1}^{n-k}\lambda _j \partial _i F_j(x),\quad \partial _{\lambda _j} L(x,\lambda ) = -F_j(x)\end{aligned}
[/latex]
für [latex]i \in \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace[/latex] und [latex]j \in \left \lbrace {1,\ldots ,n-k} \right \rbrace[/latex].

Applet 11.29: Lagrange-Multiplikatoren und Normalenvektoren

In diesem Applet illustrieren wir Proposition 11.26 und Korollar 11.28 anhand einer eindimensionalen Teilmannigfaltigkeit. Unter dieser Annahme liegt nur ein Gradientenvektor [latex]\nabla F[/latex] vor, womit Proposition 11.26 besagt, dass [latex]\nabla F[/latex] und [latex]\nabla f[/latex] parallel sein sollen.

Beispiel 11.30

Wir betrachten die kompakte Menge

welche durch die Funktion [latex]F: (x,y)^t \in \mathbb {R}^2 \mapsto y^3-x^2[/latex] definiert wird. Wir beobachten zuerst, dass [latex]K[/latex] die Punkte [latex](1,1)^t[/latex] und [latex](-1,1)^t[/latex] enthält, welche eine getrennte Behandlung erfordern (wieso?). Wir betrachten die Funktion [latex]f(x,y)=4y-3x[/latex]. Die Punkte [latex](1,1)^t[/latex] und [latex](-1,1)^t[/latex] erfüllen

Wir betrachten also [latex]M = K \setminus \left \lbrace {(1,1)^t, (-1,1)^t} \right \rbrace[/latex] und wollen alle möglichen lokalen Extremwerte von [latex]f|_M[/latex] auffinden. Dazu verwenden wir (vorerst ohne gross zu überlegen) die Methode der Lagrange-Multiplikatoren (Korollar 11.28) an. Anschliessend sollten wir das globale Minimum und das globale Maximum von [latex]f|_K[/latex] sehr leicht unter den gefundenen Funktionswerten bestimmen können. Die zu [latex]f[/latex] und [latex]M[/latex] gehörige Lagrange-Funktion ist gegeben durch

Man berechnet

Aus [latex]-3 + 2\lambda x = 0[/latex] folgt [latex]\lambda \neq 0[/latex] und [latex]x \neq 0[/latex] sowie [latex]\lambda = \frac {3}{2x}[/latex]. Genauso folgt aus [latex]4-3\lambda y^2 = 0[/latex], dass [latex]y \neq 0[/latex] und [latex]\lambda = \frac {4}{3y^2}[/latex]. Damit gilt [latex]\frac {3}{2x} = \frac {4}{3y^2}[/latex] oder äquivalent dazu [latex]x = \frac {9}{8}y^2[/latex]. Andererseits gilt des Weiteren [latex]\partial _\lambda L(x,y,\lambda ) = -(y^3-x^2)=0[/latex]. Setzen wir nun [latex]x = \frac {9}{8}y^2[/latex] ein, so erhalten wir

Da [latex]y \neq 0[/latex] ist, ergibt dies [latex]y =\frac {8^2}{9^2}[/latex] und [latex]x = \frac {9}{8}y^2 = \frac {8^3}{9^3}[/latex]. Wir erhalten also mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren einen einzigen weiteren Kandidaten nebst den Randpunkten für die Extremwerte, nämlich

Haben wir jetzt alle lokalen Extremwerte gefunden? Nein, denn [latex]f[/latex] nimmt das globale Minimum auf [latex]K[/latex] im Punkt [latex](0,0)[/latex] an. Wir haben diesen Punkt mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren nicht gefunden, da [latex]M[/latex] keine Teilmannigfaltigkeit von [latex]\mathbb {R}^2[/latex] ist und [latex](0,0)[/latex] ein kritischer Punkt von [latex]F[/latex] ist.

Satz 11.31

Jede symmetrische Matrix [latex]A \in \operatorname {Mat}_{n,n}(\mathbb {R})[/latex] ist über [latex]\mathbb {R}[/latex] diagonalisierbar. Des Weiteren existiert sogar eine Orthonormalbasis von [latex]\mathbb {R}^n[/latex] bestehend aus Eigenvektoren von [latex]A[/latex].

Lemma 11.32

Sei [latex]n \geq 1[/latex] und [latex]A \in \operatorname {Mat}_{n,n}(\mathbb {R})[/latex] eine symmetrische Matrix. Dann besitzt [latex]A[/latex] einen reellen Eigenvektor.

Übung 11.33

Der Vollständigkeit halber möchten wir hier ein elementares Argument zum Beweis von Lemma 11.32 unter Verwendung des Fundamentalsatzes angeben. Sei [latex]n \geq 1[/latex] und [latex]A \in \operatorname {Mat}_{n,n}(\mathbb {R})[/latex] eine symmetrische Matrix.

1. Zeigen Sie, dass alle komplexen Eigenwerte von [latex]A[/latex] reell sind.
2. Beweisen Sie Lemma 11.32, indem Sie zeigen, dass [latex]A[/latex] genau dann einen komplexen Eigenvektor besitzt, wenn [latex]A[/latex] einen reellen Eigenvektor besitzt.

Das in unserem Beweis gewonnene geometrische Verständnis der Eigenwerte von [latex]A[/latex] kann aber auch anders genutzt werden. Als Beispiel davon kann man einen Spezialfall des Satzes von Courant-Fischer beweisen.

2. Zeigen Sie, dass die Werte
   [latex]
   \begin{aligned}[]\min _{x \in \mathbb {S}^{n-1}}x^t A x,\quad \max _{x \in \mathbb {S}^{n-1}}x^t A x\end{aligned}
   [/latex]

   den kleinsten respektive den grössten Eigenwert von [latex]A[/latex] darstellen.

Beispiel 11.34

Wir betrachten für [latex]a > b > 0[/latex] die Teilmannigfaltigkeit

welche eine Ellipse in Hauptachsenlage darstellt, siehe folgendes Bild.

Des Weiteren betrachten wir die Funktion

welche eingeschränkt auf [latex]E[/latex] globale Minima bei [latex](0,-b)^t[/latex] und [latex](0,b)^t[/latex] und globale Maxima bei [latex](-a,0)^t[/latex] und [latex](a,0)^t[/latex] annimmt, was aus dem Bild folgt (wieso?).

Falls wir aber mit Hilfe unseren bisherigen Methoden entscheiden wollen, bei welchen der vier Punkte [latex](0,-b)^t[/latex], [latex](0,b)^t[/latex], [latex](-a,0)^t[/latex] und [latex](a,0)^t[/latex] lokale Minima oder lokale Maxima vorliegen, so ist es vorerst unklar, wie wir dies machen können. In der Tat greift die Diskussion des letzten Abschnitts diese Thematik überhaupt nicht auf und auch das Kriterium aus 10.32 greift nicht, denn die kritischen Punkte von [latex]f[/latex] als Funktion auf [latex]\mathbb {R}^2[/latex] liegen nicht auf [latex]E[/latex]. Versuchen wir diese beiden Methoden ohne gross darüber nachzudenken zu verbinden, so würden wir fälschlicherweise zu dem Schluss kommen, dass alle vier Punkte ein Minimum der Funktion darstellen da die Hesse-Matrix von [latex]f[/latex] bei jedem Punkt positiv definit ist. Aber wo wäre dann das Maximum von [latex]f|_E[/latex]?

Korollar 11.35: Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion

Sei [latex]U \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] eine offene Teilmenge, sei [latex]M = \left \lbrace {x \in U} \mid {F(x) = 0}\right \rbrace[/latex] eine [latex]k[/latex]-dimensionale Teilmannigfaltigkeit gegeben als Niveaumenge durch eine glatte Funktion [latex]F:U \to \mathbb {R}^{n-k}[/latex] mit regulärem Wert [latex]0[/latex] und sei [latex]f: U \to \mathbb {R}[/latex] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Sei des Weiteren [latex]p \in M[/latex] ein kritischer Punkt für [latex]f|_M[/latex] mit Lagrange-Parameter [latex]\lambda \in \mathbb {R}^{n-k}[/latex], das heisst, [latex](p,\lambda )[/latex] erfüllt die Lagrange-Gleichungen

für alle [latex]j \in \left \lbrace {1,\ldots ,n} \right \rbrace[/latex]. Wir definieren eine quadratische Form [latex]Q: \mathrm {T}_p M \to \mathbb {R}[/latex] durch

für [latex](p,v)\in \mathrm {T}_p M[/latex] (wobei [latex]v_1,\ldots ,v_n[/latex] die Koordinaten von [latex]v[/latex] bezüglich der Standardbasis in [latex]\mathbb {R}^n[/latex] darstellen). Dann gelten folgende Aussagen:

• Falls [latex]Q[/latex] positiv definit ist, dann nimmt [latex]f|_M[/latex] bei [latex]p[/latex] ein striktes lokales Minimum an.
• Falls [latex]Q[/latex] negativ definit ist, dann nimmt [latex]f|_M[/latex] bei [latex]p[/latex] ein striktes lokales Maximum an.
• Falls [latex]Q[/latex] indefinit ist, dann nimmt [latex]f|_M[/latex] bei [latex]p[/latex] kein lokales Extremum an.

Übung 11.36

1. Überprüfen Sie, dass in Beispiel 11.34 die Methode der Lagrange-Multiplikatoren genau die vier Punkte [latex](0,-b)^t[/latex], [latex](0,b)^t[/latex], [latex](-a,0)^t[/latex] und [latex](a,0)^t[/latex] aufspürt. Berechnen Sie dabei jeweils die dazugehörigen Lagrange-Multiplikatoren.
2. Verwenden Sie Korollar 11.35, um bei jedem der vier Punkte zu entscheiden, ob und, wenn ja, was für ein lokales Extremum angenommen wird.

Übung: Umkehrabbildung zu Kugelkoordinaten

Wir betrachten den Diffeomorphismus

wie in Abschnitt 11.1.4.

1. Begründen Sie, warum die offene Menge [latex]f((0,\infty )\times (0,\pi ) \times (-\pi ,\pi ))[/latex] in der Tat Komplement [latex]((-\infty ,0] \times \left \lbrace {0} \right \rbrace \times \mathbb {R})[/latex] hat.
2. Bestimmen Sie die Umkehrabbildung von [latex]f[/latex].

Übung: Elliptische Kurven

Sei [latex]a \in \mathbb {R}[/latex] und [latex]M_a = \left \lbrace {(x,y)\in \mathbb {R}^2} \mid {y^2= x^3 + a}\right \rbrace[/latex]. Für welche [latex]a[/latex] ist [latex]M_a[/latex] eine Teilmannigfaltigkeit?

Übung: Quadratische Hyperflächen

Sei [latex]A \in \operatorname {Mat}_{n,n}(\mathbb {R})[/latex] eine symmetrische Matrix, so dass die assoziierte quadratische Form [latex]Q_A: x \mapsto x^t A x[/latex] nicht-degeneriert ist. Zeigen Sie, dass [latex]\left \lbrace {x \in \mathbb {R}^n} \mid {Q(x) = 1}\right \rbrace[/latex] eine [latex](n-1)[/latex]-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von [latex]\mathbb {R}^n[/latex] definiert.

Übung: [latex]\operatorname {SL}_2(\mathbb {R})[/latex]

In dieser Übung möchten wir zeigen, dass die Gruppe

eine Teilmannigfaltigkeit von [latex]\operatorname {Mat}_{2,2}(\mathbb {R}) \cong \mathbb {R}^4[/latex] darstellt.

1. Zeigen Sie, dass [latex]I_2 \in \operatorname {SL}_2(\mathbb {R})[/latex] ein regulärer Punkt von [latex]\det[/latex] ist und dass [latex]\thinspace {\rm {D}}_{I_2}\det = \operatorname {Tr}[/latex] ist, wobei [latex]\operatorname {Tr}: (a_{ij})_{ij} \in \operatorname {Mat}_{2,2}(\mathbb {R}) \mapsto a_{11} + a_{22}[/latex] die Spur bezeichnet.
2. Sei [latex]g \in \operatorname {SL}_2(\mathbb {R})[/latex] und [latex]v\in \operatorname {Mat}_{2,2}(\mathbb {R})[/latex]. Zeigen Sie, dass die Richtungableitung [latex]\partial _v \det (g)[/latex] existiert und durch [latex]\operatorname {Tr}(g^{-1}v)[/latex] gegeben ist.
3. Zeigen Sie, dass [latex]\operatorname {SL}_2(\mathbb {R})[/latex] eine Teilmannigfaltigkeit ist.

Übung: Tangentialbündel ist auch eine Teilmannigfaltigkeit

Sei [latex]M \subseteq \mathbb {R}^n[/latex] eine [latex]k[/latex]-dimension­ale Teilmannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass [latex]\mathrm {T} M \subseteq \mathrm {T} \mathbb {R}^n = \mathbb {R}^n \times \mathbb {R}^n[/latex] eine [latex]2k[/latex]-dimensionale Teilmannigfaltigkeit ist.

Übung: Tangentialbündel eines Graphen

Sei [latex]M[/latex] eine [latex]k[/latex]-dimensionale Teilmannigfaltigkeit gegeben durch den Graphen einer glatten Funktion wie in Beispiel 11.11(c) (oder Proposition 11.12). Charakterisieren Sie in dieser Situation des Tangentialbündel von [latex]M[/latex] in Analogie zum zweiten Teil der Aussage von Satz 11.21.

Übung: Challenge — Parametrisierung eindimensionaler Teilmannigfaltigkeiten

Sei [latex]M[/latex] eine zusammenhängende, [latex]1[/latex]-dimensionale, kompakte Teilmannigfaltigkeit von [latex]\mathbb {R}^n[/latex]. Zeigen Sie, dass ein regulärer, einfacher, glatter Weg [latex]\gamma :[0,1] \to M[/latex] existiert mit [latex]\gamma ([0,1]) = M[/latex].

Übung

Sei [latex]n\geq 2[/latex]. Zeigen Sie, dass zwei Punkte [latex]x,y \in \mathbb {S}^{n-1}[/latex] genau dann (maximalen) Abstand [latex]2[/latex] haben, wenn [latex]x = - y[/latex] ist. Betrachten Sie hierzu die Funktion [latex](x,y) \mapsto \| {x-y}\| ^2[/latex] auf [latex]\mathbb {S}^{n-1}\times \mathbb {S}^{n-1}\subseteq \mathbb {R}^{2n}[/latex].