In diesem kurzen Abschnitt möchten wir das sogenannte «Basler Problem» lösen und

zeigen. Die Konvergenz der Reihe haben wir bereits in Beispiel 6.14 als eine der ersten Beispiele konvergenter Reihen gesehen, doch haben wir den Wert der Reihe mit den Methoden der Analysis 1 nicht berechnen können. Ähnlich wie bei der Besprechung des Werts der alternierenden harmonischen Reihe oder der Leibniz-Reihe in Abschnitt 8.1 werden wir ein allgemeineres Resultat zeigen, nämlich dass
[latex]
\begin{aligned}[]\label{eq:fourier-series for x(x-1)} \frac 16 - \sum _{n \in \mathbb {Z}\setminus \left \lbrace {0} \right \rbrace } \frac {1}{2\pi ^2n^2}\mathrm {e}^{2\pi \mathrm {i} n x} = \frac {1}{6}- \sum _{n=1}^\infty \frac {1}{\pi ^2n^2} \cos (2 \pi n x) = x(1-x)\end{aligned}
[/latex]
für alle [latex]x \in [0,1][/latex]. Hier werden wir jedoch sogenannte Fourier-Reihen im Beweis verwenden.

Eine weitere Motivation zur Betrachtung von Fourier-Reihen findet man in der Musiktheorie. Was macht den Unterschied der Note [latex]A[/latex] auf der Klanggabel, dem Horn und der Klarinette aus? Alle drei haben die Frequenz [latex]440[/latex] Hz. Im Gegensatz zur Klanggabel sind beim Horn und bei der Klarinette abgesehen von der Grundschwingung zu [latex]440[/latex] Hz weitere Obertöne vorhanden. Die Amplituden dieser Schwingungen sind für die Klangfarbe verantwortlich. In diesem Sinne ist die mathematische «Definition der Klarinette» durch

gegeben (siehe auch diesen Link). Detailliertere Erklärungen finden sich unter diesem Link. Dieses Experiment des Physik-Departments zeigt verschiedene Arten von Schwingungen, die auf einer Saite erzeugt werden können; weitere solche findet man hier.

Wir kehren nun zur mathematischen Diskussion zurück.

Die wichtigsten Beispiele von [latex]\mathbb {Z}[/latex]-periodischen Funktionen sind die Funktionen

für [latex]n \in \mathbb {Z}[/latex]. Die [latex]\mathbb {Z}[/latex]-periodischen Funktionen sind, wie wir gleich sehen werden, genau die Funktionen auf dem eindimensionalen Torus.

Formal ist der eindimensionale Torus also der Quotient von [latex]\mathbb {R}[/latex] bezüglich der Äquivalenz­relation [latex]\sim[/latex] gegeben durch [latex]x \sim y \iff x-y \in \mathbb {Z}[/latex] für alle [latex]x,y\in \mathbb {R}[/latex] (wieso?). Als Menge kann man [latex]\mathbb {T}[/latex] durch die Bijektion

mit dem Intervall [latex][0,1)[/latex] identifizieren.

Wie schon erwähnt wurde, gibt es eine eineindeutige Korrespondenz (das heisst, eine Bijektion)

Zum einen definiert eine Funktion [latex]F: \mathbb {T} \to \mathbb {C}[/latex] die [latex]\mathbb {Z}[/latex]-periodische Funktion [latex]f:x\in \mathbb {R} \mapsto F(x+\mathbb {Z})\in \mathbb {C}[/latex]. Umgekehrt induziert eine [latex]\mathbb {Z}[/latex]-periodische Funktion [latex]f: \mathbb {R} \to \mathbb {C}[/latex] eine wohldefinierte Funktion [latex]F: \mathbb {T} \to \mathbb {C}[/latex], indem man [latex]F(x+\mathbb {Z}) = f(x)[/latex] für [latex]x + \mathbb {Z} \in \mathbb {T}[/latex] setzt. Hierbei war [latex]\mathbb {Z}[/latex]-Periodizität fundamental (wieso?). Interessierte können diese Diskussion mit der allgemeineren Diskussion nach Beispiel 1.65 vergleichen. Wir werden im Folgenden [latex]\mathbb {Z}[/latex]-periodische Funktionen auf [latex]\mathbb {R}[/latex] und Funktionen auf [latex]\mathbb {T}[/latex] oft miteinander identifizieren.

Im Sinne der obigen Korrespondenz nennen wir eine Funktion [latex]F: \mathbb {T} \to \mathbb {C}[/latex] stetig, falls [latex]f: x\in \mathbb {R} \mapsto F(x+\mathbb {Z})\in \mathbb {C}[/latex] stetig ist. Unter dieser Auffassung ist die Abbildung [latex]x + \mathbb {Z} \in \mathbb {T} \mapsto \left \lbrace {x} \right \rbrace \in [0,1)[/latex] nicht stetig (wieso?). Somit ist [latex]\mathbb {T}[/latex] geometrisches ein anderes Objekt als [latex][0,1)[/latex]. In der Tat ist die Bijektion

zwischen [latex]\mathbb {T}[/latex] und dem Einheitskreis [latex]\mathbb {S}^1 \subseteq \mathbb {C}[/latex] in beiden Richtungen stetig und in diesem Sinne ist [latex]\mathbb {T}[/latex] ein Kreis.

Wir möchten kurz eine weitere Methode erwähnen, mit der man stetige Funktionen auf dem Torus erhalten kann. Ist [latex]f:[0,1] \to \mathbb {C}[/latex] stetig mit [latex]f(0) = f(1)[/latex], dann definiert

eine stetige Funktion auf [latex]\mathbb {R}[/latex] (wieso?) und es gilt [latex]\tilde {f}(x) = f(x)[/latex] für alle [latex]x \in [0,1][/latex]. Die Funktion [latex]\tilde {f}[/latex] nennt sich auch die [latex]\mathbb {Z}[/latex]–periodische Fortsetzung von [latex]f[/latex] auf [latex]\mathbb {R}[/latex] und ist eindeutig bestimmt (wieso?).

Für welche Funktionen kann (A.2) stimmen? Das hängt davon ab, in welchem Sinn die Konvergenz und die Gleichheit verstanden wird. Wir wollen gleichmässige Konvergenz und Gleichheit für alle [latex]x \in \mathbb {R}[/latex] verwenden. Da die Partialsummen [latex]\sum _{n=-N}^N a_n \mathrm {e}^{2\pi \mathrm {i} n x}[/latex] stetig sind, muss auch der gleichmässige Limes [latex]f[/latex] stetig sein (wieso?). Somit können wir eine derartige Dartstellung einer [latex]\mathbb {Z}[/latex]-periodischen Funktion nur für stetige Funktionen [latex]f[/latex] erhoffen.

Stetigkeit von [latex]f[/latex] ist aber nicht hinreichend, um gleichmässige Konvergenz in (A.2) zu erzielen. Stetige Differenzierbarkeit der Funktion [latex]f[/latex] ist hierfür hinreichend — dies werden wir hier nicht zeigen. Wir wollen stattdessen zweimalige stetige Differenzierbarkeit annehmen.

Im Vergleich zu Taylor-Reihen in Abschnitt 8.5 ist Theorem A.4 ebenfalls sehr befriedigend — man nimmt zweimalige stetige Differenzierbarkeit an und schon hat man eine gleichmässig konvergente Darstellung der Funktion durch eine Fourier-Reihe. Für solche Funktionen sind die Taylor-Reihen im Allgemeinen nicht einmal definiert.

Wir beginnen den Beweis des Theorems damit, Fourierreihen selbst zu analysieren und diskutieren erst später die Frage der Darstellbarkeit aus Theorem A.4.

Sei nun [latex]f: \mathbb {R} \to \mathbb {C}[/latex] die periodische Fortsetzung des Polynoms [latex]x(1-x)[/latex] auf [latex][0,1][/latex]. Konkret ist diese gegeben durch [latex]f(x) = \left \lbrace {x} \right \rbrace (1-\left \lbrace {x} \right \rbrace )[/latex] für alle [latex]x \in \mathbb {R}[/latex] (wieso?).

Aus obigem Bild ist ersichtlich, dass [latex]f[/latex] nicht zweimal differenzierbar ist, wobei Probleme nur an den Randpunkten erscheinen. Insbesondere kommt Proposition A.7 nicht zur Anwendung. Wir berechnen deswegen die Fourier-Koeffizienten von [latex]f[/latex]. Für [latex]n=0[/latex] ist

Für [latex]n \neq 0[/latex] gilt

Insbesondere gilt [latex]a_n = O(\tfrac {1}{n^2})[/latex] für [latex]n \to \infty[/latex] und [latex]n \to -\infty[/latex] und die Fourier-Reihe von [latex]f[/latex] konvergiert ebenso gleichmässig wie die Fourier-Reihe einer [latex]\mathbb {Z}[/latex]-periodischen, zweimal stetig differenzierbaren Funktion. Nach Proposition A.6 ist [latex]\frac {1}{6} - \sum _{n \in \mathbb {Z}\setminus \left \lbrace {0} \right \rbrace } \frac {\mathrm {e}^{2\pi \mathrm {i} nx}}{2\pi ^2n^2}[/latex] der einzig mögliche Kandidat für eine Fourierreihe von [latex]f[/latex].

Um Gleichheit zu zeigen, müssen wir zuerst die Faltung definieren.

A..1 – Faltung auf dem Torus

Für eine stetige oder «Riemann-integrierbare» Funktion [latex]f: \mathbb {T} \to \mathbb {C}[/latex] definieren wir

wobei wir [latex]f[/latex] im zweiten Integral als [latex]\mathbb {Z}[/latex]-periodische Funktion auf [latex]\mathbb {R}[/latex] auffassen.

Dabei ist [latex]x + y[/latex] für [latex]x = \tilde {x}+ \mathbb {Z} \in \mathbb {T}[/latex] und [latex]y \in \mathbb {R}[/latex] durch [latex](\tilde {x}+y)+ \mathbb {Z}[/latex] gegeben. Analog ist [latex]-x[/latex] für [latex]x = \tilde {x}+ \mathbb {Z} \in \mathbb {T}[/latex] durch [latex](-\tilde {x})+ \mathbb {Z}[/latex] definiert.

Anschaulich lässt sich obiges Lemma wie folgt erklären. Unter der Auffassung von [latex]\mathbb {T}[/latex] als Einheitskreis [latex]\mathbb {S}^1[/latex] wird die Addition mit [latex]y \in \mathbb {R}[/latex] zu einer Rotation des Kreises mit Winkel [latex]2\pi y[/latex] und die Abbildung [latex]x \in \mathbb {T} \mapsto -x \in \mathbb {T}[/latex] zu einer Spiegelung (wieso?). Nun integriert man [latex]f[/latex] über den Kreis und über die rotierte (respektive gespiegelte) Version des Kreises und erhält beide Male dasselbe.

Man beachte dabei, dass [latex]f\ast g[/latex] wieder [latex]\mathbb {Z}[/latex]-periodisch ist und somit die Faltung zweier stetigen Funktionen auf dem Torus definiert wurde. Des Weiteren ist [latex]f\ast g = g\ast f[/latex] für alle [latex]f,g[/latex] wie oben, das heisst, die Faltung ist kommutativ. In der Tat ist nach Anwendung von Lemma A.8 und der Substitution [latex]s=x-t[/latex]

Der Zusammenhang der Faltung zu Fourier-Reihen wird im nächsten Beispiel klarer.

Sei [latex]f:\mathbb {T} \to \mathbb {C}[/latex] stetig (oder Riemann-integrierbar). Nach obigem Beispiel und Bilinearität der Faltung gilt für [latex]N \in \mathbb {N}[/latex]

für alle [latex]x \in \mathbb {R}[/latex].

Nach obigem gilt, dass das Faltungsprodukt [latex]f \ast D_N[/latex] genau die [latex]N[/latex]-te Partialsumme der Fourier-Reihe von [latex]f[/latex].

Wir wollen eigentlich zeigen, dass [latex]f\ast D_N(x)[/latex] gegen [latex]f(x)[/latex] strebt für [latex]N \to \infty[/latex] und für [latex]x \in \mathbb {T}[/latex]. Wir schlagen aber einen weiteren Umweg ein.

Der [latex]N[/latex]-te Fejér-Kern ist also das Mittel der ersten [latex]N+1[/latex] Dirichlet-Kerne. Wir werden zeigen, dass [latex]F_N[/latex] «gute» Eigenschaften hat. (Diese Eigenschaften sind der Grund warum wir mit [latex]F_N[/latex] anstatt mit [latex]D_N[/latex] arbeiten wollen.)

Mit Proposition A.15 lässt sich insbesondere das asymptotische Verhalten der Fejér-Kerne besser charakterisieren.

Wir fassen die Erkenntnisse über die Fejér-Kerne aus Proposition A.15 und Korollar A.15 in folgendem Bild zusammen.

Der wichtigste Schritt für den Beweis von Theorem A.4 ist der folgende.

A..2 – Bezug zu weiteren Themen

Die Ideen der Fourier-Theorie auf dem Torus haben viele und weitreichende Verallgemeinerungen auf beispielsweise mehrdimensionalen Tori [latex]\mathbb {T}^d = \mathchoice {\text {\raise 0.4ex\hbox {${\mathbb {R}^d}$}\big /\lower 0.4ex\hbox {${\mathbb {Z}^d}$}}} {{\mathbb {R}^d}/\text {\hspace {-0.3ex}\vspace {-0.5ex}${\mathbb {Z}^d}$} } {{\mathbb {R}^d}\, /{\mathbb {Z}^d} } {{\mathbb {R}^d}\, /{\mathbb {Z}^d} }[/latex] und führen weiter auch noch zur Theorie der Fourier-Transformation auf [latex]\mathbb {R}^d[/latex].

Des Weiteren wird der Skalar

das innere Produkt der Funktionen [latex]f(x)[/latex] und [latex]\mathrm {e}^{2\pi \mathrm {i} nx}[/latex] genannt. Dieses ist für zwei stetige Funktionen [latex]f,g[/latex] auf [latex][0,1][/latex] durch

definiert. Innere Produkte werden sowohl in der Linearen Algebra 2, in der Analysis 2, aber auch in weiterführenden Vorlesungen bei Betrachtung von Fourier-Reihen, Hilberträumen, Riemannschen Metriken und anderen Themen eine zentrale Rolle spielen (siehe zum Beispiel die Vorlesungen «Methoden der mathematischen Physik» im 2. Jahr, «Funktionalanalysis» und «Differentialgeometrie» ab dem 3. Jahr).

Das innere Produkt erlaubt uns folgende einfache geometrische Interpretation der Fourier-Reihen. Die Funktionen [latex]e_n(x)=\mathrm {e}^{2\pi \mathrm {i} nx}[/latex] haben «Länge» [latex]1[/latex] für jedes [latex]n\in \mathbb {Z}[/latex] und der Ausdruck [latex]a_ne_n[/latex] mit [latex]a_n=\langle f, e_n\rangle[/latex], der in der Fourier-Reihe für jedes [latex]n\in \mathbb {Z}[/latex] auftritt, ist die «orthogonale Projektion» von [latex]f[/latex] auf den eindimensionalen Teilraum [latex]\mathbb {C} e_n[/latex].

Wir möchten des Weiteren erwähnen, dass die von uns gewünschte gleichmässige Konvergenz der Fourier-Reihe nicht der beste Konvergenzbegriff für Fourier-Reihen ist. Wenn man stattdessen den Begriff der Konvergenz im quadratischen Mittel verwendet, dann besitzt jede Riemann-integrierbare Funktion auf dem Torus (und noch viele weitere) eine Fourier-Reihe. Um dies in einem Special erklären zu können, müssten aber Weihnachten und Ostern zusammenfallen.

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