Beweis.Sei $f\in C\left(\right[a,b\left]\right)$ und $𝜀>0$. Nach Satz 3.82 ist $f$ gleichmässig stetig und es gibt ein $\delta >0$, so dass für alle $x,y\in [a,b]$ gilt

Sei nun $ℨ=\left\{a=x_0<x_1<\dots <x_n=b\right\}$ eine Zerlegung von $[a,b]$ mit

Wir definieren für jedes $k\in \left\{1,\dots ,n\right\}$ die Zahlen

wobei wir Satz 3.74 für die Existenz dieser Infima und Suprema benötigt haben. Wir behaupten nun, dass für alle $k\in \left\{1,\dots ,n\right\}$

gilt. In der Tat ist $|x-y|<\delta$ für alle $x,y\in [x_{k-1},x_k]$, womit nach der gleichmässigen Stetigkeit von $f$ die Ungleichung $\left|f\right(x)-f(y\left)\right|<𝜀$ und insbesondere $f\left(x\right)<f\left(y\right)+𝜀$ erfüllt ist. Da $y\in [x_{k-1},x_k]$ beliebig war, gilt

Dies beweist aber, dass $m_k+𝜀$ eine obere Schranke für $f\left(\right[x_{k-1},x_k\left]\right)$ darstellt, womit wir auf $M_k\le m_k+𝜀$ schliessen.

Wir definieren nun Treppenfunktionen $u,o$ durch

für $x\in [a,b]$. Nach Definition von $m_k,M_k$ für $k\in \left\{1,\dots ,n\right\}$ gilt daher $u\le f\le o$. Des Weiteren ist

Da $𝜀>0$ beliebig war (und $b-a$ fix ist), zeigt dies mittels Proposition 4.12, dass $f$ Riemann-integrierbar ist. □

Beweis.Angenommen es existieren zu jedem $𝜀>0$ stetige Funktionen $f_{+},f_{-}$ wie in der Proposition. Sei $𝜀>0$ und wähle stetige Funktionen $f_{+}$ und $f_{-}$ mit $f_{-}\le f\le f_{+}$ und

Da $f_{+}$ als stetige Funktion nach Satz 4.42 auch Riemann-integrierbar ist, so existiert eine Treppenfunktion $o\in \mathcal{𝒯}\mathcal{ℱ}\left(\right[a,b\left]\right)$ mit $f_{+}\le o$ und ${\int }_a^b(o-f_{+})dx<\frac{𝜀}{3}$. Genauso existiert $u\in \mathcal{𝒯}\mathcal{ℱ}\left(\right[a,b\left]\right)$ mit $u\le f_{-}$ und ${\int }_a^b(f_{-}-u)dx<\frac{𝜀}{3}$. Zusammenfassend gilt $u\le f_{-}\le f\le f_{+}\le o$ sowie nach Linearität

Da $𝜀>0$ beliebig war, beweist dies mit Hilfe von Proposition 4.12 die erste, einfachere Richtung der Proposition.

Wir beweisen nun die verbleibende Richtung und nehmen dazu zuerst zur Vereinfachung an, dass $f$ eine Treppenfunktion ist. Sei $ℨ=\left\{a=x_0<x_1<\dots <x_{n-1}<x_n=b\right\}$ eine Zerlegung in Konstanzintervalle für $f$ und seien $c_1,\dots ,c_n$ die Konstanzwerte. Wir konstruieren eine stetige Funktion $f_{+}:[a,b]\to ℝ$ mit $f\le f_{+}$ und ${\int }_a^b(f_{+}-f)dx<\frac{𝜀}{2}$. Wenden wir dies auf $-f$ an, so lässt sich analog eine stetige Funktion $f_{-}$ auf $[a,b]$ mit $f_{-}\le f$ und ${\int }_a^b(f-f_{-})dx<\frac{𝜀}{2}$ finden, was wegen

diese Richtung der Proposition für Treppenfunktionen beweist.

Bevor wir eine explizite Definition von $f_{+}$ angeben, fassen wir die Idee in folgendem Bild zusammen.

Sei $\delta >0$ mit

vorerst beliebig (dies wird die „halbe Breite“ der Spitzen sein) und sei $M=\max f\left(\right[a,b\left]\right)$. Formal definieren wir unter Verwendung der Zerlegung $ℨ=\left\{a=x_0<\dots <x_n=b\right\}$ in Konstanzintervalle von $f$ die Funktion $f_{+}$ für $x\in [a,b]$ durch die Fallunterscheidung

wobei die verschiedenen Fälle auf Grund unserer Wahl von $\delta$ disjunkt sind. Aus Übung 3.58 sowie Korollar 3.55 folgt, dass $f_{+}$ stetig ist. Dank der Wahl von $M$ ist auch $-M\le f\le f_{+}\le M$. Weiter gilt für jedes Konstanzintervall $(x_i,x_{i+1})$, dass $f_{+}\left(x\right)=f\left(x\right)$ für alle $x\in (x_i,x_{i+1})$ mit Distanz grösser als $\delta$ von den Randpunkten $x_i,x_{i+1}$. Insbesondere ist

und damit

Wählen wir nun $\delta <\frac{𝜀}{8Mn}$, so ist $4M\delta n<\frac{𝜀}{2}$. Daher hat die stetige Funktion $f_{+}$ alle gewünschten Eigenschaften.

Sei nun $f$ eine beliebige Riemann-integrierbare Funkton und sei $𝜀>0$. Nach Proposition 4.12 existieren Treppenfunktionen $u,o\in \mathcal{𝒯}\mathcal{ℱ}\left(\right[a,b\left]\right)$ mit $u\le f\le o$ und ${\int }_a^b(o-u)dx<\frac{𝜀}{3}$. Seien $u_{-},o_{+}\in C\left(\right[a,b\left]\right)$ wie vorhin konstruiert mit $u_{-}\le u$, $o\le o_{+}$, ${\int }_a^b(u-u_{-})dx<\frac{𝜀}{3}$ und ${\int }_a^b(o_{+}-o)dx<\frac{𝜀}{3}$. Die Funktionen $f_{+}=o_{+}$ und $f_{-}=u_{-}$ erfüllen nun die gewünschte Eigenschaft. □