Die Rechenoperationen mit komplexen Zahlen versteht man besser, wenn man diese zusammen mit ihren geometrischen Veranschaulichungen betrachtet. Das ist der Zweck dieses und des nächsten Abschnitts.
Zunächst wollen wir klären, wie man rechnerisch diese Operationen durchführt. Dies lässt sich einfach so zusammenfassen:
Mit komplexen Zahlen rechnen wir wie gewohnt unter Berücksichtigung, dass [latex]i^{2}=-1[/latex] gilt.
Das heisst, wir könnten so tun, als ob [latex]i[/latex] eine Variabel wäre, und wann immer wir [latex]i^{2}[/latex] sehen, ersetzen wir es durch [latex]-1[/latex]. Im Folgenden verwenden wir die Bezeichnungen [latex]z=a+bi[/latex] und [latex]w=c+di[/latex].
2.1 – Addition
Wir wollen die Summe
als
darstellen, wobei [latex]A[/latex] und [latex]B[/latex] reelle Zahlen sind. Dazu addieren wir die Zahlen, die nicht mit [latex]i[/latex] multipliziert werden, und diejenigen Zahlen, welche mit [latex]i[/latex] multiplizieren werden, zusammen und erhalten
Beispiel
2.2 – Subtraktion
Ganz kurz: Beim Subtrahieren gibt es keine Überraschungen. Es gilt
Offensichtlich sind [latex]a,b,c[/latex] und [latex]d[/latex] nur reelle Zahlen, aber nicht notwendigerweise positive!
2.3 – Multiplikation
Wir wollen das Produkt [latex]z\cdot w[/latex] als
darstellen, wobei [latex]A[/latex] und [latex]B[/latex] reelle Zahlen sind. Ohne Angst multiplizieren wir, wie wir es kennen:
Dann öffnen wir die Klammern, sortieren und zählen ähnliche Terme zusammen. Dann erhalten wir
Jetzt erinnern wir uns daran, dass gilt [latex]i^{2}=-1[/latex].
Schlussendlich bekommen wir
Eigentlich definiert man so die Addition und die Multiplikation, aber das interessiert uns nicht wirklich. Wir wollen wissen, wie man mit diesen Zahlen rechnen soll, und das schaffen wir auch so.
Beispiel
Interaktive Übung zu Addition, Subtraktion, Multiplikation
2.4 – Division
Von den vier Grundrechenarten haben wir drei bereits behandelt. Es fehlt noch die Division. Wie wir komplexe Zahlen dividieren, wird im folgenden Video erklärt.
Interaktive Übungen zur Division
Um die Division zu erklären, stellen wir zuerst eine einfache, aber sehr wichtige Definition auf.
Definition
Zu einer Zahl [latex]z=a+bi[/latex] definieren wir die komplex konjugierte Zahl
Man sagt «[latex]z[/latex] quer» oder «[latex]z[/latex] konjugiert». Die komplexe Konjugation besteht also allein im Umdrehen des Vorzeichens des Imaginärteils.
Beachten Sie, dass das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer Konjugierten eine reelle Zahl ist:
Das hilft dabei, die Division durchzuführen: Man muss einfach den Bruch mit der Konjugierten des Nenners erweitern.
Beispiel
Hier möchte man durch [latex]-2+i[/latex] dividieren und das Ergebnis in der Form [latex]A+Bi[/latex] schreiben, wobei [latex]A[/latex] und [latex]B[/latex] reelle Zahlen sind. Man erweitert mit der Konjugierten des Nenners.
Allgemein gilt:
Bemerkung
Der letzte Teil dieser Berechnung ist überflüssig! Man muss den Trick lernen, nicht die Formel! An diesem einfachen Beispiel zeigt sich deutlich, worauf man beim Lernen achten soll. Natürlich können Sie diese Formel auswendig lernen. Aber es ist viel sinnvoller zu verstehen, wie man durch die Erweiterung des Bruches den Nenner reell macht. Dann wird das Auswendiglernen überflüssig.
Hier ist das Fazit:
Um die Division bei komplexen Zahlen durchzuführen, erweitern wir den Bruch mit der Konjugierten des Nenners.
Bemerkung
Konjugieren ist eine nützliche Operation. Hier sind einige Eigenschaften.
- [latex]z\in \mathbb {R}[/latex] [latex]\iff z=\bar {z}[/latex].
- [latex]{\displaystyle {\rm Re}(z)=\frac {z+\bar {z}}{2}}[/latex] und [latex]{\displaystyle {\rm Im}(z)=\frac {z-\bar {z}}{2i}}[/latex]
- [latex]\overline {z_{1}+z_{2}}=\overline {z_{1}}+\overline {z_{2}}[/latex]
- [latex]\overline {z_{1}\cdot z_{2}}=\overline {z_{1}}\cdot \overline {z_{2}}[/latex].
Um 3. und 4. zu beschreiben, sagt man: «Konjugation kommutiert mit Addition und Multiplikation».
Die Beweise dieser Eigenschaften sind einfach.
Als Beispiel beweisen wir Eigenschaft [latex]4[/latex]:
Seien [latex]z_{1}=a+ib,\, z_{2}=c+id[/latex], wobei [latex]a,b,c,d[/latex] beliebige reelle Zahlen sind. Wir berechnen beide Seiten von [latex]4[/latex]:
Den Beweis der Eigenschaft [latex]3[/latex] überlassen wir Ihnen.