Wie bereits erwähnt, waren alle Erfindungen wie negative Zahlen, irrationale Zahlen und so weiter leichter zu akzeptieren als die komplexe Zahlen, vielleicht, weil sie Platz auf der Zahlengeraden fanden, und man sie so relativ leicht visualisieren konnte (man konnte sie «sehen»). Das ist nicht offensichtlich der Fall für komplexe Zahlen, was zuerst etwas schwer zu verstehen ist.

Man hat komplexe Zahlen verwendet, weil sie sehr nützlich waren, aber eher zähneknirschend. Wo ist der natürliche Platz von [latex]i[/latex]? Diese drei Mathematiker haben gleichzeitig und unabhängig die folgende Darstellung gefunden/erfunden.

Sie sagten: «Ach, es gibt keinen Platz auf der Zahlengerade, also fügen wir eine neue Gerade hinzu!»

Da Real- und Imaginärteil voneinander unabhängig sind, fassen wir beide als kartesische Koordinaten in einer Ebene auf, der komplexen Zahlenebene. So können wir uns jede komplexe Zahl als einen Punkt in dieser Ebene vorstellen. Den Realteil fassen wir als [latex]x[/latex]-Koordinate auf und die [latex]x[/latex]-Achse wird dann die «Realachse» (reelle Achse) genannt. Den Imaginärteil fassen wir als [latex]y[/latex]-Koordinate auf und die [latex]y[/latex]-Achse wird die «Imaginärachse» (imaginäre Achse) genannt.

Verwenden Sie folgendes Applet, um die Darstellung von komplexen Zahlen als Punkte in der Ebene zu verstehen.

Fazit: Stellen Sie sich ab jetzt komplexe Zahlen gleichzeitig als Zahl (das heisst, als algebraische Ausdrücke der Form [latex]a+bi[/latex]) als auch als Punkt/Vektor in der Ebene vor. Durch diese Darstellung können wir die bereits vorgestellten Begriffe veranschaulichen und auch Neues definieren.

Das folgende Video fasst die eben vorgestellt Darstellung komplexer Zahlen nochmals zusammen und zeigt auf, wie die Rechenoperationen geometrisch veranschaulicht werden können.

3.1 – Der Betrag einer komplexen Zahl

Ebenso wie im reellen Zahlenbereich können wir auch von einer komplexen Zahl [latex]z=a+bi[/latex] den Betrag [latex]\left |{z}\right |[/latex] als Abstand vom Nullpunkt einführen.

Wie berechnen wir den Betrag einer Zahl [latex]z=a+bi[/latex]? Nach Pythagoras erhalten wir

In diesem Zusammenhang lohnt es sich, sich eine komplexe Zahl [latex]z[/latex] auch als Vektor oder Pfeil vorzustellen, wie wir das im Video schon gesehen haben.

Verwenden Sie folgendes Applet, um den Begriff des Betrags in den Griff zu bekommen:

Allgemeiner gilt, dass [latex]\left |z_{1}-z_{2}\right |[/latex]

den Abstand zwischen [latex]z_{1}[/latex] und [latex]z_{2}[/latex] darstellt.

Zum Beispiel ist der Abstand zwischen [latex]1+i[/latex] und [latex]-2[/latex]

Allgemeiner gilt

• [latex]\left |z-z_{0}\right |=R[/latex] beschreibt einen Kreis mit Radius [latex]R[/latex] und Zentrum [latex]z_{0}[/latex],
• [latex]\left| z-z_{0}\right| \lt R[/latex] beschreibt das Innere dieses Kreises,
• [latex]\left |z-z_{0}\right | \gt R[/latex] beschreibt das Äussere dieses Kreises.

3.2 – Die Illustration der Addition und Subtraktion komplexer Zahlen als Parallelogramm

Betrachten wir nun die Addition in der Ebene. Stellen wir uns [latex]z_{1}[/latex] und [latex]z_{2}[/latex] als Vektoren/Pfeile vor, die von [latex]0[/latex] bis zu den entsprechenden Punkten gehen. Um [latex]z_{1}+z_{2}[/latex] zu finden, nimmt man den Vektor [latex]z_{2}[/latex] und «klebt» ihn an den Vektor [latex]z_{1}[/latex] an, wie wir hier sehen können:

Anders gesagt: [latex]z_{1}+z_{2}[/latex] ist die Diagonale, vom Nullpunkt/ Ursprung aus, des durch [latex]z_{1}[/latex] und [latex]z_{2}[/latex] aufgespannten Parallelogramms.

Die Subtraktion hat eine analoge geometrische Veranschaulichung. Denken Sie, dass wir [latex]z_{1}-z_{2}[/latex] schreiben können als [latex]z_{1}+(-z_{2})[/latex] .

Diese Veranschaulichung der Addition erklärt unmittelbar die Dreiecksungleichung:

[latex]\begin{aligned}[]\left |{z_{1}+z_{2}}\right |\leq \left |{z_{1}}\right |+\left |{z_{2}}\right | \label{eq:Dreieckunglei-1} \end{aligned}[/latex]

Wenn man an [latex]z_{1}+z_{2}[/latex], [latex]z_{1}[/latex] und [latex]z_{2}[/latex] als Vektoren denkt, bilden sie zusammen ein Dreieck und die Dreiecksungleichung 3.1 besagt, dass die Länge der Kante [latex]z_{1}+z_{2}[/latex] kleiner ist als die Summe der Längen der anderen Kanten [latex]z_{1}[/latex] und [latex]z_{2}[/latex]. Und diese Tatsache ist offensichtlich.

3.3 – Multiplikation mit einer reellen Zahl

Für die geometrische Bedeutung der Multiplikation müssen wir Polarkoordinaten einführen. Dies werden wir in Abschnitt tun. Hier können wir die geometrische Bedeutung der Multiplikation mit einer reellen Zahl [latex]t=t+0i[/latex] betrachten.

Wir haben

und geometrisch, also in der Ebene, entspricht das einer Streckung mit dem Zentrum [latex]0[/latex] und dem Streckfaktor [latex]t[/latex]. Der Vektor ändert seine Richtung nicht, aber sein Betrag wird mit dem Faktor [latex]t[/latex] multipliziert.

3.4 – Die Konjugation

Wie wir gesehen haben, bildet die Konjugation aus einer komplexe Zahl [latex]z=a+bi[/latex] ihre Konjugierte [latex]\bar {z}=a-bi[/latex], oder kürzer

In der komplexen Ebene entspricht die Konjugation der Spiegelung der Zahl an der reellen Achse ([latex]x[/latex]-Achse).

Spielen Sie mit dem folgenden Applet, um den Zusammenhang zwischen einer komplexen Zahlen und ihrer Konjugierten zu sehen: