Bisher haben wir gesehen, dass wir komplexe Zahlen schreiben können als [latex]z=a+bi[/latex] (mit [latex]a,b, \in \mathbb{R}[/latex]; Real- und Imaginärteil). Diese Darstellung nennt man auch Normalform oder kartesische Form.

Ausserdem haben wir gesehen, dass komplexe Zahlen in der komplexe Ebene – auch Gaussschen Ebene genannt, geometrisch veranschaulicht werden können. Wir haben dabei den Realteil auf der [latex]x[/latex]-Achse und den Imaginärteil auf der [latex]y[/latex]-Achse abgetragen.

Im Folgenden erörtern wir die Frage, ob und wie komplexe Zahlen auch anders dargestellt, respektive beschrieben werden könne. Dies wird uns aufs Stichwort der Polarkoordinaten führen.

Die Idee der Polarkoordinaten ist sehr wichtig, nicht nur für komplexe Zahlen sondern fast immer, wenn man sich mit der Ebene beschäftigt. Diese Darstellung hilft insbesondere, die Multiplikation und das Wurzelziehen besser zu verstehen.

Die grundsätzliche Idee ist sehr einfach. Jeder Punkt in der Ebene lässt sich beschreiben durch

• seinen Abstand zum Ursprung, das heisst, den Betrag
• und einen Winkel (seine «Richtung»). Dieser Winkel ist gerade der Winkel, welcher von der positiven reellen Achse und dem Strahl durch den Ursprung und den betrachteten Punkt eingeschlossen wird. Dieser Winkel wird auch Polarwinkel genannt.

Sei [latex]z=a+bi[/latex]. Die untenstehende Abbildung illustriert die obige Beschreibung.

Den Betrag [latex]\left |{z}\right |=r=\sqrt {a^{2}+b^{2}}[/latex] haben wir schon erklärt. Ausserdem haben wir einen Winkel [latex]\varphi[/latex] zwischen dem entsprechenden Vektor [latex]z[/latex] und der positiven reellen Achse.

Wenn Sie noch Mühe haben mit dem Begriff Bogenmass oder mit dem Umrechnen vom Grad nach Bogenmass, dann schauen Sie nach im Brückenkurs im Skript oder bei den dazu passenden Aufgaben.Wenn wir fordern, dass der Winkel in einem Intervall der Länge [latex]2\pi[/latex] liegt, wird er eindeutig. Wir legen hier fest:

Achtung: Dies ist eine Wahl des Argumentintervalls. Eine andere populäre Wahl ist

[latex]\varphi=\arg(z) \in [0,2\pi).[/latex]

Auf dem Bild oben sehen wir, dass

gilt. Und somit
[latex]\begin{aligned}[]\varphi =\arctan\left (\frac {b}{a}\right )\label{eq:arctan-1}\end{aligned}[/latex]
wobei [latex]arctan[/latex] die Umkehrfunktion der Tangensfunktion ist. Beachten Sie, dass [latex]\arctan[/latex] Werte im Intervall [latex]\left (-\frac {\pi }{2},\frac {\pi }{2}\right )[/latex] annimmt. Deshalb stimmt (4.1) nur, wenn [latex]\arg(z)\in \left (\frac {-\pi }{2},\frac {\pi }{2}\right )[/latex]. Das gilt genau dann, wenn [latex]z=a+bi[/latex] in der rechten Halbebene liegt, also wenn [latex]a>0[/latex]. Das heisst, die komplexe Zahl liegt im I. oder IV. Quadranten.

Wenn [latex]z=a+bi[/latex] in der linken Halbebene liegt, also wenn [latex]a\lt 0,[/latex] müssen wir die Fälle [latex]b > 0[/latex] und [latex]b\lt 0[/latex] unterscheiden, das heisst, ob die Zahl im II. oder III. Quadranten liegt:

• Im II. Quadranten müssen wir den Winkel um [latex]\pi[/latex] ([latex]180^\circ[/latex] Grad) verschieben, das heisst, wir haben[latex]\begin{aligned}[]\varphi =\arg(a+bi)=\arctan \frac {b}{a}+\pi .\end{aligned}[/latex]
• Im III. Quadranten müssen wir den Winkel um [latex]-\pi[/latex]  verschieben, das heisst, wir haben[latex]\begin{aligned}[]\varphi =\arg(a+bi)=\arctan \frac {b}{a}-\pi .\end{aligned}[/latex]

Ist [latex]a=0[/latex], dann liegt die Zahl auf der vertikalen Achse und hat die Form [latex]bi[/latex]. Dann gilt

Das Argument von [latex]0=0+0i[/latex] ist nicht definiert.

Damit haben wir ein Rezept für das Argument jeder komplexen Zahl. Diese Sache mit dem Argument ist am Anfang nicht ganz einfach. Wir werden uns weiter unten ein paar Beispiele dazu ansehen. Zuerst geben wir einige weitere Definitionen.

Die obigen Überlegungen zum Argument haben uns also gezeigt, wie wir von der Normalform in die Polarform umrechnen können. Dies ist zudem im folgenden Video nochmals zusammengefasst.

Die umgekehrte Umrechnung, nämlich von der Polarform in die Normalform ist dagegen viel einfacher. Offensichtlich gilt
[latex]\begin{aligned}[]a=r\cos \varphi \quad b=r\sin \varphi .\label{eq:von Polar to Normal-1}\end{aligned}[/latex]
Sind die Polarkoordinaten [latex]r[/latex] und [latex]\varphi[/latex] einer komplexen Zahl [latex]z[/latex] gegeben, findet man die Normalform [latex]z=a+ib[/latex] einfach durch (4.2). Dies wird im folgenden Video rekapituliert.

4.1 – Die Eulersche Formel

Wer jetzt schon mehr darüber erfahren möchte, warum die Eulersche Formel gilt, findet im folgenden Video mehr dazu.

Bemerken Sie, dass für jedes [latex]\varphi[/latex] gilt

Deshalb können wir uns in [latex]e^{i\varphi }[/latex] das [latex]\varphi[/latex] als die «Richtung» und [latex]r[/latex] als den «Betrag/Länge» der Zahl/des entsprechenden Vektors vorstellen.

Wichtiges Lernziel: Sie sollten beherrschen, wie man die eine Darstellung in die andere umwandelt.

4.2 – Beispiele

Beispiel

In diesem Beispiel wandeln wir eine komplexe Zahlen in der Normalform in die Polardarstellung um. Wir fangen mit [latex]z_{1}=1+i[/latex] an. Da [latex]{\rm Re}(1+i)=1[/latex] und [latex]{\rm Im}(1+i)=1[/latex], entspricht dies dem Punkt [latex](1,1)[/latex] der Zahl [latex]1+i[/latex].

 

 

Die gesuchte Polardarstellung lautet also:

Lösung:

Man berechnet direkt

und, um den richtigen Wert von [latex]\varphi[/latex] zu finden, muss man überlegen, in welcher Halbebene sich die komplexe Zahl befindet.

Da [latex]{\rm Re}(-1+\sqrt {3}i)=-1\lt 0[/latex], befindet sich die Zahl [latex]z_{3}=-1+\sqrt {3}i[/latex] in der linken Halbebene. Laut dem obigen Rezept gilt

So lautet die Polardarstellung

Die Tatsache, dass [latex]z_{3}=-1+\sqrt {3}i[/latex] in der linken Halbebene liegt, und folglich ihr Winkel zwischen [latex](\frac {\pi }{2},\frac {3\pi }{2})[/latex] liegt, kann man natürlich aus einem Bild sehen:

Aber manchmal geht es einfacher mit einer direkten Berechnung.

Lösung:

Man muss den Winkel [latex]-\frac {\pi }{6}[/latex] und den Betrag [latex]2[/latex] einfach in (4.2) einsetzen. Einfacher gesagt, benutzt man die Definition von [latex]e^{i\theta }[/latex] und berechnet die Kosinus- und Sinuswerte, um die Zahl in die Form [latex]a+bi[/latex] zu bringen:

4.3 – Multiplikation in der Polardarstellung

Mittels Normalform können wir die Addition komplexer Zahlen als Addition von Vektoren veranschaulichen. Hingegen ist es nicht klar, was die geometrische Bedeutung der Multiplikation in Normalform ist. Mittels der Polardarstellung können wir die geometrische Bedeutung leicht verstehen, und dann folgen auch viele wichtige Konsequenzen daraus. Seien [latex]z_{1}[/latex] und [latex]z_{2}[/latex] zwei beliebige komplexe Zahlen und stellen wir sie in Polarkoordinaten dar:

Dann gilt

wobei die Additionstheoreme für Kosinus und Sinus angewandt wurden. Das bedeutet die folgende wichtige Tatsache:

Anders gesagt: Das Produkt zweier Zahlen ist gegeben durch die komplexe Zahl, die als Betrag das Produkt der Beträge der Faktoren hat und als Argument die Summe der beiden Winkel.

Mit der Eulerschen Formel ist das letzte Fazit leicht zu verstehen.
[latex]\begin{aligned}[]\underbrace {r_{1}e^{i\phi _{1}}}_{z_{1}}\underbrace {r_{2}e^{i\phi _{2}}}_{z_{2}}=\underbrace {r_{1}r_{2}e^{i(\phi _{1}+\phi _{2})}}_{z_{1}z_{2}}\label{eq:PolarMulti-1}\end{aligned}[/latex]

Spielen Sie mit [latex]z_{1}[/latex] und [latex]z_{2}[/latex] in diesem Applet, um das obige Fazit nachvollziehen zu können.

4.4 – Potenzen

Sei [latex]z=re^{i\theta }[/latex]. Durch wiederholte Anwendung der Formel (4.4) können wir Potenzen leicht berechnen.

Die einfache Verallgemeinerung hat den folgenden Namen.

Hier gibt es noch ein passendes Applet, welches die Formel graphisch veranschaulicht:

Lösung:

Wir berechnen die Polardarstellung von [latex]1+i[/latex], und dann ist es ein Kinderspiel. Die Polardarstellung haben wir schon gefunden:

Erinnern Sie sich, dass man keinen Arkustangens usw. braucht, um diese Polardarstellung zu finden, sondern nur diese Zahl in der komplexen Ebene einzeichnet, um daraus das Argument und den Betrag ablesen zu können.

Daher haben wir

Was ist in [latex]*[/latex] passiert? Erinnern Sie sich: «Der Polarwinkel ist nur bis auf ein Vielfaches von [latex]2\pi[/latex] bestimmt». Deshalb sollten wir, um den Winkel besser «zu sehen», diesen mit einem Vielfachen von [latex]2\pi[/latex] so verändern, bis er in [latex](-\pi,\pi ][/latex] liegt. So bemerken wir, dass gilt

Dies erklärt nun sofort [latex]*[/latex] .

4.5 – Division

Mit der Polardarstellung können wir auch leicht die Division verstehen. Sei [latex]z=re^{i\theta }[/latex] eine komplexe Zahl, die schon in Polarform gegeben ist.

Was ist die Polardarstellung von [latex]{\displaystyle \frac {1}{z}}[/latex]?

Das heisst, für welche [latex]R[/latex] und [latex]\phi[/latex] gilt [latex]{\displaystyle \frac {1}{z}=R e^{i\phi }}[/latex]?

Offensichtlich lassen sich [latex]R[/latex] und [latex]\phi[/latex] aus der Gleichung [latex]{\displaystyle 1=z\cdot \frac {1}{z}}[/latex] bestimmen. Dazu brauchen wir einfach die Polardarstellung von [latex]1=1+0i[/latex]:

Daraus folgt also [latex]0=\phi +\theta[/latex] und [latex]1=r \cdot R[/latex], so dass [latex]\phi =-\theta[/latex] und [latex]{\displaystyle R =\frac {1}{r}}[/latex].

Fazit: Wenn [latex]{\displaystyle z=re^{i\theta }}[/latex] ist, dann ist [latex]{\displaystyle \frac {1}{z}=\frac {1}{re^{i\theta }}=\frac {1}{r}e^{-i\theta }}[/latex].

Allgemeiner seien [latex]{\displaystyle z_{1}=r_{1}e^{i\phi _{1}}}[/latex] und [latex]{\displaystyle z_{2}=r_{2}e^{i\phi _{2}}}[/latex]. Wir möchten die Polardarstellung von [latex]{\displaystyle \frac {z_{1}}{z_{2}}}[/latex] finden. Dazu merken wir einfach, dass [latex]{\displaystyle \frac {z_{1}}{z_{2}}=z_{1}\cdot \frac {1}{z_{2}}}[/latex] und deshalb

4.6 – Multiplikation mit [latex]e^{i\phi }[/latex]

Es ist nützlich, den Spezialfall der Multiplikation mit [latex]e^{i\phi }[/latex] gut zu verstehen. Zuerst überlegen wir uns, was die Zahl [latex]e^{i\phi }[/latex] ist. Ihr Betrag ist immer [latex]1[/latex], und ihr Polarwinkel ist [latex]\phi[/latex]. Wir möchten wissen, was die geometrische Bedeutung der Multiplikation mit [latex]e^{i\phi }[/latex] ist. Sei [latex]z_{0}=re^{i\theta }[/latex] irgendeine komplexe Zahl. Dann ist

Daher ist die Multiplikation mit [latex]e^{i\phi }[/latex] eine Rotation um den Winkel [latex]\phi[/latex]. Der Betrag ändert sich nicht, und der Winkel wird um [latex]\phi[/latex] grösser bzw. kleiner.

4.7 – Repetition: Rechnen in Polarform

Das folgende Video fasst die gesehenen Rechenregeln nochmals zusammen, die es zu beachten gilt, wenn wir in der Polarform rechnen.

4.8 – Trigonometrische Identitäten

Stellen Sie sich vor, Sie sind gerade bei der Basisprüfung, und Sie brauchen unbedingt die trigonometrische Formel für die Summe zweier Winkel [latex]\alpha[/latex] und [latex]\beta[/latex], und Sie finden diese Identitäten in ihrem Formelbuch nicht. Kein Stress! Wenn Sie sich an die Potenzregeln und an die Eulersche Formel
[latex]\begin{aligned}[]e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \label{eq:euler diff}\end{aligned}[/latex]
erinnern, dann werden Sie leicht zurechtkommen! Hier ist der Trick: Gemäss den Potenzregeln, die selbstverständlich auch im Komplexen gelten, haben wir

Mithilfe von 4.6 bekommen wir

Wir multiplizieren die Klammern aus und klammern [latex]i[/latex] aus

und dann können wir aus dem Realteil (bzw. dem Imaginärteil) die bekannten Formeln ablesen:

Wenn Sie beispielsweise eine Formel für [latex]\sin (n\theta )[/latex] als eine Funktion von [latex]\sin \theta[/latex]  und  [latex]\cos \theta[/latex] finden möchten, können Sie einfach die Gleichung

benutzen.

4.9 – Wurzeln

Herleitung eines Rezeptes

Sei [latex]z_{0}=a+ib[/latex] eine komplexe Zahl. Wir suchen nach der [latex]n[/latex]-ten Wurzel von [latex]z_{0}[/latex]. Eine [latex]n[/latex]-te Wurzel von [latex]z_{0}[/latex] ist eine komplexe Zahl [latex]w[/latex] mit

Daher ist die Suche nach der [latex]n[/latex]-ten Wurzel das Gleiche wie die Suche nach den Nullstellen des Polynoms

(Wieso?). Der folgende Fakt sagt uns, nach wie vielen Wurzeln wir suchen.

Die Zahl [latex]z_{0}[/latex] kann also höchstens [latex]n[/latex] verschiedene Wurzeln haben. Mit der Polardarstellung können wir sie leicht finden. Dazu sei [latex]z_{0}=r_{0}e^{i\theta _{0}}[/latex] die Polardarstellung von [latex]z_{0}[/latex]. Wenn [latex]w=re^{i\varphi }[/latex] eine [latex]n[/latex]-te Wurzel von [latex]z_{0}[/latex] ist, dann gilt
[latex]\begin{aligned}[]w^{n}=r^{n}e^{in\varphi }=z_{0}=r_{0}e^{i\theta _{0}}.\label{eq:wurzelEQ-1}\end{aligned}[/latex]
Wenn wir nicht vorsichtig sind, denken wir, dass sich aus (4.7)

bzw.

ergibt.

Wo sind die anderen Wurzeln? Um diese zu finden, müssen wir uns einfach in Erinnerung rufen, dass der Polarwinkel bis auf ein Vielfaches von [latex]2\pi[/latex] definiert ist. Daher folgt aus (4.7), dass

bzw.

Das heisst, jede komplexe Zahl
[latex]\begin{aligned}[]w_{k}=\sqrt [n]{r_{0}}e^{i\left (\frac {\theta _{0}}{n}+\frac {2\pi k}{n}\right )}\label{eq:W_k erste mal-1}\end{aligned}[/latex]
ist eine [latex]n[/latex]-te Wurzel von [latex]z_{0}[/latex].

Das ist aber ein bisschen seltsam, oder? Statt einer Wurzel haben wir jetzt unendliche viele? Laut Fakt können wir höchstens [latex]n[/latex] Wurzeln haben. Die Lösung dieses Geheimnisses liegt nochmals in der Tatsache, dass der Polarwinkel nur bis auf ein Vielfaches von [latex]2\pi[/latex] definiert ist. Der Lesbarkeit halber schreiben wir (4.8) mit [latex]\exp[/latex] statt mit [latex]e[/latex]:

Schauen wir uns die Zahlen genauer an. Alle [latex]w_{k}[/latex] haben den selben Betrag [latex]\sqrt [n]{r_{0}}[/latex], aber ihre Polarwinkel unterscheiden sich voneinander mit einem Vielfachen von [latex]\frac {2\pi }{n}[/latex]. Das weist daraufhin, dass [latex]w_{k}=w_{k+n}[/latex], und so ist es in der Tat.

Ausserdem sind die Wurzeln [latex]w_{0},w_{1},\cdots ,w_{n-1}[/latex] alle unterschiedlich voneinander. Aus obigem Fakt wissen wir, dass es keine anderen gibt.

Wir fassen diese Diskussion zusammen:

Die [latex]n[/latex]-ten Wurzeln von [latex]z_{0}=r_{0}e^{i\theta _{0}}[/latex] sind genau

für [latex]k=0,1,\dots ,n-1[/latex].

Lösung:
Um das Kochrezept oben zu verwenden, müssen wir zuerst die Polardarstellung von [latex]-8[/latex] bestimmen. Der Betrag ist

und der Winkel ist [latex]\pi[/latex]. Das heisst

Damit ergeben sich nach dem obigen Rezept die dritten Wurzeln wie folgt:

In Normalform

Wir sehen, dass [latex]w_{1}[/latex] eine reelle Wurzel ist.

4.9.1 – Wie sieht das geometrisch aus?

Wir haben oben ein Kochrezept für alle [latex]n[/latex]-ten Wurzeln einer gegebenen komplexen Zahl [latex]z_{0}=r_{0}e^{i\theta _{0}}[/latex] hergeleitet. Als Nächstes zeichnen wir diese in die komplexe Ebene ein und sehen, welche geometrischen Eigenschaften sich herausstellen. Zuerst bemerken wir, dass der Betrag aller Wurzeln gleich ist: Er ist [latex]\sqrt [n]{r_{0}}[/latex]. Das heisst, dass alle Wurzeln auf einem Kreis mit Radius [latex]\sqrt [n]{r_{0}}[/latex] liegen.

Zweitens betrachten wir ihre Winkel. Eine Wurzel hat den Winkel [latex]\frac {\theta _{0}}{n}[/latex] und die anderen Wurzeln sind jeweils um den Winkel [latex]\frac {2\pi }{n}[/latex] versetzt.

Um die [latex]n[/latex]-te Wurzel einer Zahl [latex]z_{0}=r_{0}e^{i\theta _{0}}[/latex] zu zeichnen, müssen wir also eine Wurzel mit Betrag [latex]\sqrt [n]{r_{0}}[/latex] und Winkel [latex]\frac {\theta _{0}}{n}[/latex] zeichnen und dann diese Wurzel so oft um den Winkel [latex]\frac {2\pi }{n}[/latex] versetzen, bis wir zurückkommen zur ersten Wurzel.

Spielen Sie mit diesem Applet, um das eben Erklärte nachzuvollziehen.

Lösung:
Die Lösungen sind genau die acht Wurzeln von [latex]4+3i[/latex]. Also ist diese Aufgabe äquivalent zu: «Finden Sie die acht Wurzeln von [latex]4+3i[/latex]«.

Um das obige Rezept zu verwenden, müssen wir zuerst die Polardarstellung von [latex]4+3i[/latex] finden. Dazu berechnen wir

Da diese Zahl im ersten Quadranten liegt, berechnet sich ihr Winkel gemäss

(Man kann den Wert von [latex]\theta _{0}[/latex] mit einem Taschenrechner berechnen.) Mit diesen Informationen können wir schreiben

Laut der geometrischen Beschreibung ist nun die Lösung der Aufgabe sehr einfach zu zeichnen. Zuerst zeichnen wir die Wurzel mit dem Winkel [latex]{\displaystyle \frac {\theta _{0}}{8}}[/latex] und Betrag [latex]{\displaystyle \sqrt [8]{5}}.[/latex] In der Abbildung unten ist [latex]z_0[/latex] blau eingezeichnet, rot sind die Wurzeln eingezeichnet.

Des Weitern haben wir noch sieben andere Wurzeln, jede um [latex]{\displaystyle \frac {2\pi }{8}}[/latex] versetzt. Alle Wurzeln haben denselben Betrag.

Algebraisch sind die Wurzeln gleich

Um diese «Versetzung» algebraisch zu sehen, können wir das obige Resultat so umschreiben:

Lösung:
Das ist leicht geometrisch gemacht. Die Polardarstellung von [latex]1=1+0i[/latex] ist sehr einfach. Sie ist [latex]1=1e^{i\cdot 0}.[/latex] Deshalb ist eine [latex]n[/latex]-te Wurzel gleich

Das ist keine Überraschung. [latex]1[/latex] ist immer eine Lösung von 4.9, da [latex]1^{n}=1[/latex]. Die anderen Wurzeln sind um den Winkel [latex]{\displaystyle \frac {2\pi }{n}}[/latex] versetzt. Das heisst, dass alle Lösungen auf dem Einheitskreis liegen und jeweils den Winkel [latex]{\displaystyle \frac {2\pi k}{n}}[/latex] haben, [latex]\quad k=0,\cdots ,n-1.[/latex]

Für [latex]n=2[/latex] bekommen wir

Für [latex]n=3[/latex]

Zum Beispiel sind hier die Einheitswurzeln mit [latex]n=6[/latex]:

Für ein anderes [latex]n[/latex] können Sie die Wurzeln in diesem Applet sehen.

4.9.2 – Quadratwurzeln